Casio - Dãy truy hồi

Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
Ngày soạn : 04/10/10
Ngày dạy : 13/10/10
Chủ đề 8
Buổi 1
Dạng toán về dãy truy hồi
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh bớc đầu biết lập công thức truy hồi và công thức tổng quát
để tính u
n
, biết tính các số hạng đầu tiên của dãy, biết viết quy trình bấm
phím liên tục trên máy casio để tính giá trị u
n
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng lập công thức tổng quát và công thức truy hồi theo nhiều
cách
- Rèn kĩ năng trình bày
Thái độ
- Giáo dục tính cẩn thận, chính xác, khả năng t duy, sáng tạo của HS
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV: Máy tính bỏ túi
- HS: Máy tính bỏ túi, đồ dùng học tập, vở ghi
C/Tiến trình bài dạy
I. Tổ chức - sĩ số
II. Kiểm tra bài cũ
III. Bài mới
I Lí thuyết

1. Cụng th c truy h i v cụng th c t ng quỏt c a dóy s
- Dóy s u
n
= au
n-1
+ bu
n-2
(1) g i l cụng th c truy h i tớnh u
n
.
- Dóy s : u
n
= c
1
u
1
n
+ c
2
u
2
n
(2) g i l cụng th c t ng quỏt tớnh u
n
- Cụng th c (1) v (2) cựng bi u di n tớnh giỏ tr c a u
n
v cú quan
h v i nhau.
- cụng th c (2), u
1

v u
2
l nghi m c a ph ng trỡnh: u
2
= au + b hay:
u
2
au b = 0
- Do v y n u bi t c cụng th c truy h i ta tỡm c cụng th c t ng
quỏt v ng c l i.
Vớ d 1 :
Cho dóy s u
0
= 2 ; u
1
= 10 ; u
n+1
= 10u
n
u
n-1
(n = 1, 2, 3 )
Tỡm cụng th c t ng quỏt c a u
n

Gi i : Cụng th c t ng quỏt cú d ng: u
n
= c
1
x

1
n
+ c
2
x
2
n

Trong ú x
1
v x
2
l nghi m c a ph ng trỡnh: x
2
10x + 1 = 0 (*)
Gi i ph ơng trình (*) cú x
1
=
625
+
; x
2
= 5 - 2
6

u
n
= c
1
(

625
+
)
n
+ c
2
(5 - 2
6
)
n
do u
0
= 2 ; u
1
= 10 nờn ta cú:
Giáo án Bồi dưỡng HSG - Môn Casio
Trờng THCS Hồng Hng



=++
=+
10c)625(c)625(
2cc
21
21


c
1

= c
2
= 1
V y cụng th c t ng quỏt: u
n
= (
625
+
)
n
+ (5 - 2
6
)
n

Vớ d 2 :
Cho dóy s : U
n
=
32
)32()32(
nn
+
V i n = 0; 1; 2; 3; .
L p cụng th c truy h i tớnh U
n + 2
theo U
n
v U
n + 1

Gi i :
Cỏch 1: Ta bi u di n U
n
d i d ng t ng quỏt u
n
= c
1
u
1
n
+ c
2
u
2
n
nh sau:
U
n
=
nn
)32(
32
1
)32(
32
1
+

c
1

=
32
1
; c
2
= -
32
1
;
u
1
= 2+
3
;u
2
= 2-
3
Trong ú u
1
; u
2
l nghi m c a ph ơng trình: (u 2-
3
)(u 2+
3
) = 0
Hay: u
2
4u + 1 = 0

u
2

= 4u 1
V y cụng th c truy h i: u
n+2
= 4u
n + 1
- u
n
v i u
1
= 1 ; u
2
= 4
Cỏch 2: t a = 2 +
3
; b = 2 -
3
Ta cú:
n n
n n n 1 n 1
n n 1
a (2 3 ) b (2 3 )
a b a b
u ;u
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
+ +
+
+

= = =
n 2 n 2
n 2
a b
u
2 3 2 3
+ +
+
= =
n 2 n 2
a (2 3 ) b (2 3 )
2 3 2 3
+


n n
a (4 4 3 3) b (4 4 3 3)
2 3 2 3
+ + +
=
n n
a (8 4 3 1) b (8 4 3 1)
2 3 2 3
+
=
=
n n
n n
a (2 3 ) b (2 3 )
a b

4
2 3 2 3 2 3 2 3


+

ữ
ữ



=
n 1 n 1 n n
a b a b
4
2 3 2 3 2 3 2 3
+ +


ữ

ữ


V y ta cú cụng th c truy h i: u
n+2
= 4u
n + 1
- u
n

2. Lp quy trỡnh tớnh trờn mỏy casio
l p quy trỡnh tớnh trờn mỏy casio f
x
- 570 MS cú nhi u quy trỡnh ta
nờn s d ng theo quy trỡnh sau l ng n g n nh t:
Vớ d 1 :
Cho dóy s : u
1
= 2 ; u
2
= 20, u
n+1
= 2u
n
+ u
n-1
( n= 2; 3 )
Vi t quy trỡnh b m phớm liờn t c tớnh cỏc giỏ tr c a u
n
v i
u
1
= 2 ; u
2
= 20, u
n+1
= 2u
n
+ u

n-1
( n= 2; 3 )
Gi i : 2 /shift / sto A (gỏn u
1
vo A)
20 /shift / sto B (gỏn u
2
vo B)
Alpha /A / Alpha / = /2 /Alpha /B / + / Alpha / A / Alpha / :
Alpha /B / Alpha / = /2 /Alpha /A / + / Alpha / B / Alpha / = ( c u
4
)
L p l i d u = ta c cỏc s h ng ti p theo .
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
Vớ d 2 : Cho dóy s u
n
= u
n 1
+ 2u
n 2
+ 3u
n 3
Bi t u
1
= 1; u
2
= 2 ; u

3
= 3
Vi t quy trỡnh b m phớm liờn t c tớnh giỏ tr c a u
n
v i n

4
1 /shift / sto A (gỏn u
1
vo A)
2 /shift / sto B (gỏn u
2
vo B)
3 /shift / sto C (gỏn u
3
vo C)
Alpha /A / Alpha / = /Alpha /C / + / 2 / Alpha / B / + / 3 /Alpha /A / Alpha /:
Alpha /B / Alpha / = /Alpha /A / + / 2 / Alpha / C / + / 3 /Alpha /B / Alpha /:
Alpha /C / Alpha / = /Alpha /B / + / 2 / Alpha / A / + / 3 /Alpha /C / Alpha / =
(u
6
)
L p l i d u = ta c cỏc s h ng ti p theo .
Vớ d 3:
Cho u
1
= 1 ; u
2
= 2 v dóy s c xỏc nh
N u n ch n: u

2n+2
= 3u
2n+1
+ 5u
2n
- 1
N u n l : u
2n+1
= 5u
2n
+ 3u
2n-1
a)L p quy trỡnh tớnh trờn mỏy casio tớnh u
12
; u
13
; S
12
; S
13
(S
12
b ng
t ng cỏc s h ng c a dóy ng n = 12)
b) Tớnh u
12
; u
13
v tớnh t ng S
12

; S
13

Gi i : Thi t l p quy trỡnh tớnh trờn mỏy nh sau.
Gỏn u
1
= 1 vo A (l ) ( 1 /shift / sto/ A )
u
2
= 2 vo B (ch n) (2 /shift / sto/ B)
S
2
= 3 vo C (3 /shift / sto /C)
Nh p:
A = 5B + 3A : (u
3
) (Alpha/A/Alpha/=/5/Alpha/B/+/3/Alpha/A/Alpha /:/)
C = C + A : (S
3
) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/A /:/)
B = 3A + 5B - 1: (u
4
) (Alpha/B/Alpha/=/3/Alpha/A/+/5/Alpha/B/-/1/Alpha /:/)
C = C + B (S
4
) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/B/=/=/=/=/
n liờn ti p cỏc d u b ng: L n 1 = ( c u
3
)
L n 2 = ( c S

3
)
L n 3 = ( c u
4
)
L n 4 = ( c S
4
)
L p l i d u = c th ta tỡm c dóy s theo chu kỡ: (u
3
, S
3
, u
4
, S
4
) ; (u
5
,
S
5
, u
6
, S
6
) (u
7
, S
7
, u

8
, S
8
) .
Nh v y ta d dng gi i quy t c bi toỏn:
u
12
=11980248 ; S
12
=15786430 ; u
13
=69198729 ; S
13
=84985159
II B i t p
B i 1 : Cho dóy s : u
1
= 2 ; u
2
= 20, u
n+1
= 2u
n
+ u
n-1
( n= 2; 3 )
a) Tớnh u
3
; u
4

; u
5
; u
6
; u
7
b) Vi t quy trỡnh b m phớm liờn t c tớnh cỏc giỏ tr c a u
n
v i
u
1
= 2 ; u
2
= 20, u
n+1
= 2u
n
+ u
n-1
(n= 2; 3 )
c) S d ng quy trỡnh trờn, tớnh giỏ tr c a u
22
; u
23
; u
24
; u
25
H ng d n:
a) Vì u

n+1
= 2u
n
+ u
n-1
nên ta có :
3 2 1
u 2u u 2.20 2 42= + = + =
; tơng tự tính đợc
4 5
u ,u
. Kết quả là:
Giáo án Bồi dưỡng HSG - Môn Casio
Trờng THCS Hồng Hng
u
3
= 42 ; u
4
= 104 ; u
5
= 250 ; u
6
= 604 ; u
7
= 1458
b) Thực hiện trên máy casio f(x) - 570MS nh sau:
Gỏn: 2

A ; 20

B ; ghi A = 2B + A : B = 2A + B , n liờn t c d u =
L u ý : Thực hiện trên máy casio f(x) - 570ES thì cần nhấn phím CALC trớc
khi thực hiện nhấn liên tục dấu "="
c) Kết quả: u
22
= 804268156; u
23
= 1941675090 ; u
24
= 4687618336; u
25
=
11316911762
B i 2 : Cho dóy s u
0
= 2 ; u
1
= 10 ; u
n+1
= 10u
n
u
n-1
(n = 1, 2, 3 )
a) L p m t quy trỡnh tớnh u
n+1

b) Tớnh u
2
, u

3
, u
4
, u
5
, u
6
c) Tỡm cụng th c t ng quỏt c a u
n
H ng d n:
a) Gỏn: 2

A ; 10

B ; nh p A = 10B - A : B = 10A - B n liờn t c d u
=
b) u
2
= 98 ; u
3
= 970 ; u
4
= 9602 ; u
5
= 95050 ; u
6
= 940898
c) Công thức tổng quát cú d ng U
n
= C

1
x
1
n
+ C
2
x
2
n
trong ú x
1
; x
2
l
nghi m ph ơng trình: x
2
= 10x 1
2
x 10x 1 0 + =
(*)
Gi i ph ơng trình (*) cú x
1
=
625
+
; x
2
= 5 - 2
6

u
n
= c
1
(
625
+
)
n
+ c
2
(5 - 2
6
)
n
do u
0
= 2 ; u
1
= 10 nờn ta cú:



=++
=+
10c)625(c)625(
2cc
21
21

1 2
1 2 1 2
c c 2
5(c c ) 2 6 (c c ) 10
+ =



+ + =


1 2
1 2
c c 2
c c 0
+ =



=



c
1
= c
2
= 1
V y cụng th c t ng quỏt: u
n

= (
625
+
)
n
+ (5 - 2
6
)
n

B i 3 : Cho dóy s u
0
= 2 ; u
1
= 3 ; u
n+1
= u
2
n
+ u
2
n-1

a) L p quy trỡnh tớnh u
n
b) Tớnh u
2
, u
3
, u

4
, u
5
.
H ng d n:
a) Gỏn: 2

A ; 3

B ; ghi A = B
2
+ A
2
: B = A
2
+ B
2
n liờn t c d u =
b) Kết quả: u
2
= 13 ; u
3
= 178 ; u
4
= 31853 ; u
5
= 1014645293
B i 4 : Cho dóy s s p th t u
1
, u

2
, u
3
, , u
n
, u
n + 1
. Bi t u
1
= 1; u
2
= 2 ;
u
3
= 3 v u
n
= u
n 1
+ 2u
n 2
+ 3u
n 3
a) Tớnh u
4
, u
5
; u
6
; u
7

.
b) Vi t quy trỡnh b m phớm liờn t c tớnh giỏ tr c a u
n
v i n

4
c) S d ng quy trỡnh trờn tớnh giỏ tr c a u
22
, u
25
; u
28
; u
30
H ng d n:
a) Vì u
n
= u
n 1
+ 2u
n 2
+ 3u
n 3
=>
4 3 2 1
u u 2u 3u 3 2.2 3.1 10= + + = + + =
; tơng tự
ta tính đợc
5 6 7
u ,u ,u

. Kết quả: u
5
= 22 ; u
6
= 51 ; u
7
= 125.
b) Gỏn: 1

A ; 2

B ; 3

C ghi A = C + 2B + 3A : B = A + 2C + 3B : C = B
+ 2A + 3C , n liờn t c d u = c cỏc s h ng ti p theo c a dóy
Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu
Vì sự nghiệp giáo dục
Năm học
2010 - 2011
c) u
22
= 53147701 ; u
25
= 711474236 ; u
28
= 9524317645 ; u
30
= 53697038226
B i 5 : Cho dóy s U
n

=
53
n
)53(
n
)53(
+
a) Tớnh 4 s h ng u tiờn c a dóy s .
b) Ch ng minh: U
n + 2
= 6U
n + 1
4U
n
c) L p quy trỡnh n phớm liờn t c tớnh U
n + 2
trờn mỏy Casio
H ng d n:
a) Nhập trên máy
X X
(3 5 ) (3 5 )
3 5
+
, sau đó nhấn phím CALC, =, nhập
các giá trị X = 0; 1; 2; 3 đợc kết quả: u
0
= 0 ; u
1
=
3

2
; u
2
= 4 ; u
3
= 21
3
1
b) Ch ng minh: U
n + 2
= 6U
n + 1
4U
n
Cách 1: t a = 3 +
5
; b = 3 -
5
ta cú:
u
n
=
n n
a b
3 5

; u
n + 1
=
( ) ( )

n n
a 3 5 b 3 5
3 5
+
u
n+2
=
( ) ( )
2 2
n n
a 3 5 b 3 5
3 5
+
=
( ) ( )
n n
a 9 6 5 5 b 9 6 5 5
3 5
+ + +

=
( ) ( )
n n
a 18 6 5 4 b 18 6 5 4
3 5
+
=
( ) ( )
(
)

n n
n n
a b
a 3 5 b 3 5
6 4
3 5 3 5

+


= 6u
n + 1
- 4u
n
. V y: u
n+2
= 6u
n + 1
- 4u
n

Cách 2: Ta biểu diễn u
n
d i d ng t ng quỏt u
n
= c
1
u
1
n

+ c
2
u
2
n
nh sau:
u
n
=
n n
1 1
(3 5 ) (3 5 )
3 5 3 5
+

c
1
=
1
3 5
; c
2
= -
1
3 5
;
1 2
u 3 5 ;u 3 5= + =
Trong ú u
1

; u
2
l nghi m c a ph ơng trình:
2 2 2
1 2 1 2 1 2
(u u )(u u ) 0 u (u u )u u u 0 u 6u 4 0 u 6u 4 = <=> + + = <=> + = <=> =
V y cụng th c truy h i: u
n+2
= 6u
n + 1
- 4u
n
v i u
0
= 0 ; u
1
=
2
3
c) Gỏn: 0

A ;
2
3


B ; ghi A = 6B - 4A : B = 6A - 4B
B m = ( c u
2
) =

IV. Hớng dẫn về nhà
- Giải bài tập sau:
B i 6 : Cho dóy s : U
n
=
3
n
2
25
n
2
25


+
+

V i n = 1; 2; 3; .
a) Tớnh 6 s h ng u tiờn c a dóy.
b) L p cụng th c truy h i tớnh U
n + 2
theo U
n
v U
n + 1
c) L p quy trỡnh n phớm liờn t c tớnh U
n + 2
trờn mỏy casio
H ng d n:
Giáo án Bồi dưỡng HSG - Môn Casio
Trờng THCS Hồng Hng
a) Nhập trên máy
X X
5 2 5 2
3
2 2
+
+

ữ ữ

, sau đó nhấn phím CALC, =,
nhập các giá trị X = 1; 2; 3; 4; 5; 6 đợc kết quả: u
1
= 2 ; u

2
= 10,5 ; u
3
= 35,75 ;
u
4
= 113,125 ; u
5
= 354, 8125; u
6
= 1118,34375
b) Đặt a =
5 2
2
+
và b =
5 2
2

Ta có:
n n n 1 n 1 n n
n n 1
5 2 5 2
u a b 3 ;u a b 3 a b 3
2 2
+ +
+

+
= + = + = +

ữ ữ

n 2 n 2
n 2
u a b 3
+ +
+
= +
=
2 2
n n
5 2 5 2
a b 3
2 2

+
+
ữ ữ


n n
25 10 2 2 25 10 2 2
a b 3
4 4

+ + +
= +
ữ ữ

n n
50 10 2 23 50 10 2 23
a b 3
4 4

+
= +
ữ ữ

=
(
)
n n n n
5 2 5 2
23
5 a b a b 3
2 2 4


+
+ +
ữ ữ



=
(
)
n n n n
5 2 5 2

23 9
5 a b 3 a b 3 3
2 2 4 4


+
+ +
ữ ữ



=
(
)
n n n n
5 2 5 2
23
21
5 a b 3 a b 3
2 2 4 4


+
+ +
ữ ữ



Vậy
n 2 n 1 n

23
21
u 5u u
4 4
+ +
=
c) Gỏn: 2

A ; 10,5

B
Ghi A = 5B
23
4
A
21
4
: B = 5A
23
4
B
21
4
, b m = ( c u
3
) =
( c cỏc s h ng ti p theo c a dóy)
D/Bổ sung
*******************************
Ngày soạn : 12/10/10

Giaựo vieõn: Phaùm Vaờn Hieọu