Slide bài giảng xác suất thống kê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - MARKETING
BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ

Slide bài giảng

MÔN XÁC SUẤT
THỐNG KÊ TOÁN
Giảng viên : ThS. Nguyễn Trung Đông
Mail :

Tp. Hồ Chí Minh, 01 – 01 – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC
TÀI CHÍNH - MARKETING
KHOA CƠ BẢN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC
TÀI CHÍNH - MARKETING
KHOA CƠ BẢN

Môn: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

MÔN : XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Hình thức đánh giá môn học
Điểm quá trình (30%)
Điểm kết thúc học (70%)
Điểm học phần = (Điểm quá trình + Điểm kết thúc học)

Số tín chỉ : 3
Số tiết : 45

Giảng viên : ThS. Nguyễn Trung Đông
Mail :
1

NỘI DUNG MÔN HỌC

Giảng viên : ThS. Nguyễn Trung Đông
2
Mail :

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Chương 0. Giải tích tổ hợp.
Chương 1. Đại cương về xác suất.
Chương 2. Biến ngẫu nhiên.
Chương 3. Phân phối xác suất.
Chương 4. Mẫu và ước lượng tham
số.
Chương 5. Kiểm định giả thuyết.
3

1) Đinh Ngọc Thanh, Giáo trình Lý thuyết xác
suất và Thống kê toán, tài liệu lưu hành nội
bộ.
2) Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Lý thuyết
xác suất và thống kê toán, NXB.GD.
3) Trần Minh Thuyết, Giáo trình xác suất thống
kê, tài liệu lưu hành nội bộ, 2007.
4) Đậu Thế Cấp, xác suất thống kê, NXB
ĐHQG TPHCM.

5) Ngoài ra, một số tài liệu khác
4

1


Bài Giảng
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Chương 0. Đại Cương Về
Giải Tích Tổ Hợp
Tập hợp

Chương 0. Đại cương về
Giải Tích Tổ Hợp

Quy tắc đếm

GV: ThS. Nguyễn Trung Đông


Giải tích tổ hợp

1

2

1. Tập hợp

1. Tập hợp

Tập hợp là 1 khái niệm nguyên thủy không

1.1. Phương pháp xác định tập hợp:

có định nghĩa. Sự gom góp một đối tượng
→ hình ảnh tập hợp. Đối tượng được gom

góp → phần tử của tập hợp. Tập hợp được
Ký hiệu A, B, C,…, phần tử được ký hiệu
a, b, c,…Nếu a là phần tử của A,
ta viết a ∈ A , ngược lại ta viết a ∉ A.

Có 3 phương pháp
Phương pháp liệt kê.
Phương pháp trưng tính (cùng tính
chất đặc trưng).
Phương pháp giản đồ Venn.

3

4

1. Tập hợp

1. Tập hợp

1.2. Các phép toán trên tập hợp

1.2. Các phép toán trên tập hợp

1.2.1. Tập con

1.2.2. Phần giao

Tập hợp A là con của tập hợp B,

Tập hợp A giao tập hợp B, ký hiệu A ∩ B
A ∩ B = {x ∈ X | x ∈ A ∧ x ∈ B}

ký hiệu A ⊂ B
A ⊂ B ⇔ ∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B

1.2.3. Phần hội

Tập hợp tất cả các tập con của X

Tập hợp A hội tập hợp B, ký hiệu A ∪ B

ρ ( X ) = {A | A ⊂ X}

5

A ∪ B = {x ∈ X | x ∈ A ∨ x ∈ B}

6

1

1. Tập hợp

1. Tập hợp

1.2. Các phép toán trên tập hợp

1.2. Các phép toán trên tập hợp

1.2.4. Phần hiệu

1.2.6. Một số tính chất khác

Tập hợp A hiệu tập hợp B, ký hiệu A \ B
A \ B = {x ∈ X | x ∈ A ∧ x ∉ B}

i) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

ii) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

1.2.5. Phần bù

iii) A ∩ B = A ∪ B; A ∪ B = A ∩ B

Phần bù của của A trong X, ký hiệu A

iv) A ∩ A = ∅; A ∪ A = X

A = {x ∈ X | x ∉ A}

7

8

1. Tập hợp

2. Quy tắc đếm

Ví dụ 1. Cho A = {1, 2,3} và B = {3, 4,5, 6}
a) Xác định A ∩ B, A ∪ B, A \ B.

Ta chỉ khảo sát tập hữu hạn: X = {x1 , x 2 ,..., x n }

b) Tìm tất cả các tập con của A, B.
Ví dụ 2. Cho A và B là hai tập hợp hữu
hạn. Chứng minh rằng

Cho X, Y là hai tập hữu hạn và X ∩ Y = ∅
Ta có: X ∪ Y = X + Y
Tổng quát: Cho n tập hữu hạn X1 , X 2 ,..., X n

a) A = A \ B + A ∩ B
b) A ∪ B = A + B − A ∩ B

sao cho Xi ∩ X j = ∅, i ≠ j
9

2. Quy tắc đếm
Ta có

có n phần tử, ký hiệu: X = n

2.1. Công thức cộng

10

2. Quy tắc đếm

X1 ∪ X 2 ∪ ... ∪ X n = X1 + X 2 + ... + X n

2.2. Công thức nhân

Cho n tập hữu hạn

X1 , X 2 ,..., X n

, ta định

nghĩa tập tích như sau:

Cho X, Y hai tập hữu hạn, ta định nghĩa

X1 × X 2 × ... × X n = {( x1 , x 2 ,.., x n ) | x i ∈ X i }

tập tích như sau:
Ta có

X × Y = {( x, y ) | x ∈ X ∧ y ∈ Y}

X1 × X 2 × ... × X n = X1 ⋅ X 2 ⋅ ... ⋅ X n

Ta có X × Y = X ⋅ Y

11

12

2


2. Quy tắc đếm

2. Quy tắc đếm

2.3. Quy tắc cộng. Giả sử một công việc có
thể thực hiện một trong k phương pháp, trong đó
Phương pháp 1 : có n1 cách thực hiện,
Phương pháp 2 : có n 2 cách thực hiện,…,
Phương pháp k : có n k cách thực hiện, và hai
phương pháp khác nhau không có cách thực
hiện chung. Khi đó, ta có n1 + n 2 + ... + n k
cách thực hiện một công việc.

2.4. Quy tắc nhân. Giả sử 1 công việc có
thể thực hiện tuần tự theo k bước, trong đó
Bước 1: có n1 cách thực hiện,
Bước 2: có n 2 cách thực hiện,…,
Bước k: có n k cách thực hiện,
Khi đó, ta có n1 ⋅ n 2 ⋅ ... ⋅ n k cách thực hiện
một công việc.

13

2. Quy tắc đếm

14

3. Giải tích tổ hợp

Ví dụ 3. Giả sử một sinh viên có 5 áo sơ mi
ngắn tay, 6 áo sơ mi dài tay. Hỏi sinh viên
này có bao nhiêu cách chọn một cái áo sơ
mi.
Ví dụ 4. Giả sử một sinh viên có 5 cái áo, 4
cái quần và 3 đôi giày. Hỏi sinh viên này
có bao nhiêu cách chọn một bộ trang phục
gồm áo, quần, và giày.

3.1. Chỉnh hợp
3.1.1. Định nghĩa. Chỉnh hợp chập k từ n
phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k
phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho
3.1.2. Số chỉnh hợp. Số chỉnh hợp chập k
từ n phần tử, ký hiệu A kn
A kn =

n!
= n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
(n − k)!

15

16

3. Giải tích tổ hợp

3. Giải tích tổ hợp

3.2. Chỉnh hợp lặp

Ví dụ 5. Giả sử đêm chung kết cuộc thi hoa
khôi sinh viên trường đại học tài chính–
Marketing có 10 thí sinh, chọn 3 thí sinh
trao giải: hoa khôi, á khối 1, á khôi 2.
Hỏi Có bao nhiêu cách chọn.
Ví dụ 6. Giả sử có 1 vị thần có quyền phân
phát ngày sinh cho con người, có bao
nhiêu cách phân bố ngày sinh cho 10 em
bé ra đời trong năm 2014.

3.2.1. Định nghĩa. Chỉnh hợp lặp chập k
từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự
gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho
3.2.2. Số chỉnh hợp lặp. Số chỉnh hợp
lặp chập k từ n phần tử, ký hiệu A kn

A kn = n k

17

18

3

3. Giải tích tổ hợp

3. Giải tích tổ hợp

3.3. Hoán vị

3.4. Tổ hợp

3.3.1. Định nghĩa. Một hoán vị từ n phần

3.4.1. Định nghĩa. Một tổ hợp chập k từ
n phần tử là một tập con gồm k phần
tử phần tử lấy từ n phần tử

tử là một bộ có kể thứ tự gồm n phần tử
khác nhau.

3.4.2. Số tổ hợp. Số tổ hợp chập k từ n
phần tử, ký hiệu Ckn

3.3.2. Số hoán vị

Số hoán vị n phần tử, ký hiệu Pn
Pn = n! = 1.2.3...n

C kn =
19

n!
k!(n − k)!

20

3. Giải tích tổ hợp
Ví dụ 7. Giải bóng đá ngoại hạng Anh có
20 đội bóng thi đấu vòng tròn. Hỏi có
bao nhiêu trận đấu được tổ chức, nếu:
a) Thi đấu vòng tròn 1 lượt.
b) Thi đấu vòng tròn 2 lượt.

21

4


1

Bài Giảng
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Chương 1. Đại cương về xác suất

GV: ThS. Nguyễn Trung Đông


Hiện tượng ngẫu nhiên
Xác suất
Xác suất có điều kiện

Công thức xác suất toàn phần
Công thức Bayes
Công thức Bernoulli

1. Hiện tượng ngẫu nhiên

1. Hiện tượng ngẫu nhiên

Chương 1
Đại cương về xác suất
1

2

1.1. Các khái niệm cơ bản
HT tất định: Những HT khi thực hiện trong
ĐK như nhau sẽ cho kết quả giống nhau.
Ví dụ 1. Đun nước đến 100 độ C trong điều
kiện bình thường thì nước bốc hơi.
HT ngẫu nhiên: Những HT dù được thực hiện
trong ĐK như nhau vẫn có thể cho kết quả
khác nhau. Ví dụ 2. Tung một con xúc xắc.
3

1. Hiện tượng ngẫu nhiên

Phép thử: Mỗi lần cho xảy ra một hiện
tượng ngẫu nhiên được gọi là phép thử.
Không gian mẫu: là tập hợp tất cả các
khả năng xảy ra của một phép thử.

Biến cố (sự kiện): là một tập con của
không gian mẫu.
Biến cố sơ cấp: là một phần tử của
không gian mẫu.

4

1. Hiện tượng ngẫu nhiên

1.2. Ký hiệu
Phép thử: τ
Không gian mẫu: Ω
Biến cố: A, B,C,... ⊂ Ω
Biến cố sơ cấp: ω∈ Ω
Ví dụ 3.
Xét phép thử τ “tung một con xúc xắc”

Ta có: Không gian mẫu:
Ω = {1, 2,3, 4,5,6}

Gọi A là biến cố “ nhận được mặt chẵn”
A = {2, 4,6} ⊂ Ω

Biến cố sơ cấp
ω = 1, 2,3, 4,5,6 ∈ Ω
5

6

1

1

1. Hiện tượng ngẫu nhiên

1. Hiện tượng ngẫu nhiên

Biến cố chắc chắn A = Ω : là biến cố luôn
luôn xảy ra khi thực hiện phép thử.
Biến cố không thể có A = ∅ : là biến cố
không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép
thử.
Ví dụ 4.
Xét phép thử τ “tung hai con xúc xắc”

A : “Tổng số nút nhỏ hơn bằng 13”
B : “Tổng số nút bằng 1”
thì A là biến cố chắc chắn và B là biến
cố không thể có.
Xét hai biến cố A, B ⊂ Ω , ta thành lập
A ∩ B ≡ AB : “A và B cùng xảy ra khi
thực hiện phép thử”.

7

1. Hiện tượng ngẫu nhiên

8

2. Xác suất (Probability)

Khi AB = ∅ , ta nói A và B là hai biến
cố xung khắc (A và B không bao giờ
cùng xảy ra)
A ∪ B ≡ A + B : “A xảy ra hay B xảy ra
khi thực hiện phép thử”
Biến cố đối lập: A = Ω \ A “ A xảy ra
nếu và chỉ nếu A không xảy ra”

Xác suất của một biến cố là một
con số đặc trưng cho khả năng xảy
ra khách quan của biến cố đó.
Xác suất của biến cố A, ký hiệu P(A)
được định nghĩa theo nhiều cách
9

10

2. Xác suất

2. Xác suất

2.1. Định nghĩa cổ điển
Xét phép thử τ với n kết quả xảy ra,
nghĩa là không gian mẫu Ω có n biến
cố sơ cấp và biến cố A có k phần tử.
Nếu các biến cố sơ cấp có cùng khả
năng xảy ra thì xác suất của A được
định nghĩa là

Ví dụ 5. Một công ty liên doanh cần
tuyển 3 nhân viên vào 3 chức vụ:
Giám đốc, thư ký, trưởng phòng nhân
sự. Có 50 sinh viên mới tốt nghiệp
đại học nộp đơn dự tuyển trong đó có
20 sinh viên nữ. Tính xác suất trong 3
người được tuyển có Giám đốc là nữ.

P (A)=

Soá phaàn töû cuûa A k
=
Soá phaàn töû cuûa Ω n

11

12

2


1

2. Xác suất

2. Xác suất

2.2. Định nghĩa xác suất bằng tần suất

Ví dụ 6. Tung một đồng xu “công bằng”.
Bằng thực nghiệm một số nhà khoa
học đã tung đồng xu nhiều lần và nhận
kết quả sau

Giả sử phép thử τ có thể lập lại
nhiều lần trong điều kiện giống nhau.
Nếu trong n lần thực hiện phép thử mà
k
biến cố A xảy ra k lần thì tỷ số được
n
gọi là tần suất xảy ra của A trong n
k k
phép thử. Khi đó P ( A ) = lim ≈
n →∞

n

n

13

2. Xác suất

14

2. Xác suất

2.3. Định nghĩa xác suất bằng tiên đề
Kolmogorov

iii) P ( A1 + ⋯ + A n ) = P ( A1 ) + ⋯ + P ( A n )

Với A1 , A 2 ,..., A n xung khắc với nhau

P : ρ(Ω) → ℝ
A ֏ P(A)

từng đôi một, nghĩa là Ai A j = ∅ khi i ≠ j
iv) Coâng thöùc coäng. Với hai biến cố A, B

Thỏa các tính chất sau
i) P ( Ω ) = 1; P ( ∅ ) = 0

bất kỳ, ta có
P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB )

ii) P ( A ) ≥ 0, ∀A ∈ ρ(Ω)
15

2. Xác suất

16

2. Xác suất

v) Nếu A và B xung khắc, AB = ∅ thì
P ( A + B) = P ( A ) + P ( B )

vi) P ( A ) = 1 − P ( A )

Ví dụ 7. Qua cuộc điều tra trong sinh viên, ta
biết 40% học thêm ngoại ngữ, 55% học thêm
tin học và 30% học thêm cả hai môn này.
Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất
sinh viên này không học thêm môn nào cả.
17

Ví dụ 8. Lấy ý kiến 100 người về 2 loại nước hoa
A và B, ta có số liệu sau:
55 người thích dùng nước hoa A.
20 người thích dùng nước hoa B.
10 người thích dùng cả hai loại.
Chọn ngẫu nhiên 1 người, tính XS để người này:
1. Thích dùng nước hoa A.
2. Thích dùng ít nhất một loại nước hoa trên.
3. Không thích dùng loại nước hoa nào.
4. Chỉ thích dùng nước hoa A.
5. Chỉ thích dùng nước hoa B.
18

3


1

3. Xác suất có điều kiện

3. Xác suất có điều kiện
3.1. Định nghĩa.

Xét biến cố B với P ( B ) > 0. Xác suất
của biến cố A, khi biết biến cố B xảy
ra là
P ( A | B) =

P ( AB )
P ( B)
19

20

3. Xác suất có điều kiện

3. Xác suất có điều kiện
3.2. Định lý (Quy tắc nhân xác suất)
Với hai biến cố A và B bất kỳ, ta có
P ( AB ) = P ( A ) P ( B | A )
Tổng quát
với n biến cố bất kỳ A1 , A 2 ,..., A n , ta có
P ( A1A 2 ...A n ) = P ( A1 ) P ( A 2 | A1 ) ...P ( A n | A1...A n −1 )
21

Ví dụ 10. Một thủ quỹ có một chùm
chìa khóa gồm 9 chìa giống hệt nhau
trong đó chỉ có 2 chìa có thể mở được
két sắt. Anh ta thử ngẫu nhiên từng
chìa (chìa nào không mở được két sắt
bỏ ra trong lần thủ kế tiếp). Tìm xác
suất để anh ta mở được két sắt vào
đúng lần thử thứ ba.

22

3. Xác suất có điều kiện

3. Xác suất có điều kiện
3.3. Định nghĩa. Hai biến cố A và B
được gọi là độc lập nếu xác suất của
biến cố này xảy ra không phụ thuộc
vào việc biến cố kia xảy ra, nghĩa là
Do đó

Ví dụ 9. Lâu ngày không gặp nhau, nhân dịp
tết anh A đến thăm anh B, biết bạn mình có
hai người con nhưng không biết trai gái thế
nào.
a) Trong khi ngồi trong phòng khách chờ bạn.
Anh A dự đoán bạn mình có một người con
gái. Tính XS anh B có một con gái.
b) Hai người ngồi nói chuyện, có một bé gái
bê nước mời khách. Anh B giới thiệu đây
là con gái của tôi. Tính xác suất anh B có
một con gái.

Tổng quát, Cho A1 , A 2 , A3 ,..., A n độc lập
với nhau từng đôi một
P ( A1A 2 ...A n ) = P ( A1 ) P ( A 2 ) ...P ( A n )
Ví dụ 11. Ba xạ thủ cùng bắn vào một mục
tiêu với xác suất bắn trúng mục tiêu của ba
xạ thủ lần lượt là 0,4; 0,5; 0,8. Tính xác suất

để có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu

P ( A | B) = P ( A )

P ( AB ) = P ( A ) P ( B )
23

24

4


1

4. Công thức xác suất toàn phần

4. Công thức xác suất toàn phần

Với hai biến cố A, B bất kỳ, ta có

P (A) =

P ( A ) = P ( A | B) P ( B ) + P ( A | B) P ( B)

25

Cho B1 , B2 ,..., Bn là họ đầy đủ các biến
cố và xét biến cố A với P ( A ) > 0
Với mỗi k = 1, 2,..., n, ta có
P ( A |Bk ) P ( Bk )

P(A)
n

∑ P(A | B ) P(B )
i

i

i

Ví dụ 12. Một nhà máy có ba phân xưởng A, B,
C tương ứng làm ra 25%, 35% và 40% tổng
sản phẩm của nhà máy. Giả sử xác suất làm
ra một sản phẩm hỏng của các phân xưởng
A, B, C lần lượt là 1%, 2% và 3%. Chọn
ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Tính
xác suất sản phẩm đó hỏng.
26

5. Công thức Bayes

5. Công thức Bayes

với P ( A ) =

∑P(A | B )P(B )
i =1

Tổng quát, cho B1 , B2 ,..., Bn là họ đầy đủ
các biến cố, nghĩa là

i) B1 + B2 + ... + Bn = Ω và
ii) Bi B j = ∅ nếu i ≠ j
thì với mọi biến cố A, ta có

P ( Bk | A ) =

n

i

i =1

Ví dụ 13.Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường
người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách
hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người trả
lời “sẽ mua”, 96 người trả lời “có thể mua” và
70 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm
cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản
phẩm tương ứng với cách trả lời trên là 40%,
20% và 1%.
a) Tính tỉ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm đó.
b) Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì
có bao nhiêu phần trăm trả lời “sẽ mua”.

27

28

6. Công thức Bernoulli

6. Công thức Bernoulli
Thực hiện phép thử nhiều lần một cách
độc lập nhau và quan sát số lần biến cố đó
xảy ra để tính được tần suất biến cố đó.
Phương pháp khảo sát này được gọi là
lược đồ Bernoulli.
Xét phép thử với KGM là Ω và biến cố
A ⊂ Ω với xác suất P(A) = p . Thực hiện
phép thử này n lần một cách độc lập nhau
và quan sát số lần xảy ra của biến cố A.
29

Đặt
với

“biến cố A xảy ra đúng k lần”,
0 ≤ k ≤ n . Ta có P ( H k ) = C kn p k (1 − p) n −k
Hk :

Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n
lần thực hiện phép thử. Khi đó mỗi một
biến cố sơ cấp ta gán cho nó một con số.
Do đó “biến cố A xảy ra đúng k lần” còn
được ký hiệu là X = k
P ( X = k ) ≡ P ( H k ) = C kn p k (1 − p) n −k

30

5

1

6. Công thức Bernoulli
Ví dụ 14. Xác suất thành công một thí
nghiệm sinh hóa là 40%. Một nhóm
gồm 9 sinh viên cùng tiến hành thí
nghiệm này độc lập với nhau. Tìm xác
suất để
a) Có đúng 6 thí nghiệm thành công,
b) Có ít nhất một thí nghiệm thành công,
c) Có ít nhất 8 thí nghiệm thành công.
31

6


Bài Giảng
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Chương 2.

Biến Ngẫu Nhiên
GV : ThS. Nguyễn Trung Đông


Chương 2. Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa và phân loại.
Biến ngẫu nhiên rời rạc.
Biến ngẫu nhiên liên tục.
Tham số đặc trưng của biến

số ngẫu nhiên.
Vectơ ngẫu nhiên rời rạc.

1

1. Định nghĩa

1. Định nghĩa

Xét phép thử τ với không gian mẫu Ω
Giả sử, ứng với mỗi biến cố sơ cấp ω ∈ Ω ,
ta liên kết với một số thực X ( ω) ∈ ℝ thì X
được gọi là một biến ngẫu nhiên
Tổng quát: X : Ω → ℝ
X(ω)

Ví dụ 1. Xét trò chơi sấp ngửa bằng
cách tung đồng xu, giả sử nếu xuất
hiện mặt sấp, ta được một đồng; nếu
xuất hiện mặt ngửa, ta mất một đồng.
Hãy chỉ ra không gian mẫu, biến cố

ω ֏ X(ω)

thì

2

sơ cấp và biến ngẫu nhiên.

gọi là biến ngẫu nhiên
3

4

3. Biến ngẫu nhiên rời rạc

2. Phân loại

3.1. Bảng phân phối xác suất

Khi X ( Ω ) = {x1 , x 2 ,..., x n }, ta nói X là

Xét biến ngẫu nhiên rời rạc

một biến ngẫu nhiên rời rạc.

X:Ω → ℝ ,

Khi X ( Ω ) là một khoảng của ℝ (hay
cả ℝ ), ta nói X là một biến ngẫu

Giả sử

nhiên liên tục.
5

với X ( Ω ) = {x1 , x 2 ,..., x n ,...} .

x1 < x 2 < ⋯ < x n < ⋯

với pi = P ( X = x i ) ;

∑p =1
i

6

i

1


3. Biến ngẫu nhiên rời rạc

3. Biến ngẫu nhiên rời rạc

3.1. Bảng phân phối xác suất

3.2. Hàm xác suất (Probability function)
Hàm số f : ℝ → ℝ được gọi là hàm xác
suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X, nếu
f được xác định như sau:

Ví dụ 2. Một cơ quan có 3 xe ơtơ: 1 xe
4 chỗ, 1 xe 50 chỗ và 1 xe tải. Xác suất
trong một ngày làm việc các xe được
sử dụng lần lượt là 0,8; 0,4 và 0,9. Hãy
lập bảng phân phối xác suất cho số xe
được sử dụng trong ngày của cơ quan.

p
f (x) =  i
0

khi x = x i
khi x ≠ x i , ∀i

Tính chất
i) ∀x ∈ ℝ, f (x) ≥ 0; ii)

7

∑ f (x) = 1

8

x

3. Biến ngẫu nhiên rời rạc

3. Biến ngẫu nhiên rời rạc

3.2. Hàm xác suất (Probability function)
Ví dụ 3. Tung một đồng xu 3 lần. Gọi
X là số mặt sấp nhận được.
a) Lập bảng phân phối xác suất cho X
b) Tìm hàm xác suất cho biến ngẫu
nhiên X.

3.3. Hàm phân phối (tích lũy)
a) Định nghĩa
Hàm số f : ℝ → ℝ là hàm xác suất của
biến ngẫu nhiên rời rạc X, hàm số
F : ℝ → ℝ được gọi là hàm phân phối,
nếu F được xác định như sau
F(x) = P ( X ≤ x ) =

10

3. Biến ngẫu nhiên rời rạc

3.3. Hàm phân phối (tích lũy)

3.3. Hàm phân phối (tích lũy)

Nếu X lấy giá trị tạo thành dãy
x1 < x 2 < ⋯ < x n < ⋯

i

xi ≤x

9

3. Biến ngẫu nhiên rời rạc

∑ f (x )

b) Tính chất

ta có hàm phân phối

khi x < x1
0

F(x) = f (x1 ) + ⋯ + f (x n −1 ) khi x n −1 ≤ x < x n
1
khi x n ≤ x

11

i) 0 ≤ F(x) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ,
ii) lim F(x) = 0; lim F(x) = 1,
x →−∞

x→+∞

iii) F là hàm tăng,
iv) F là hàm liên tục bên phải tại x ∈ ℝ
12

2


3. Biến ngẫu nhiên rời rạc

4. Biến ngẫu nhiên liên tục

3.3. Hàm phân phối (tích lũy)

4.1. Hàm mật độ (density function)
Hàm số f : ℝ → ℝ được gọi là hàm mật
độ của biến ngẫu nhiên liên tục X, nếu
f được xác định như sau:

Ví dụ 4. Với biến ngẫu nhiên được cho
trong ví dụ 3 ở trên. Tìm hàm phân
phối xác suất cho X và vẽ đồ thị của
hàm phân phối.

b

∫

P ( a ≤ X ≤ b ) = f (x)dx
a

Tính chất

+∞

i) ∀x ∈ ℝ, f (x) ≥ 0; ii)
13

∫ f (x)dx = 1

−∞

4. Biến ngẫu nhiên liên tục

4. Biến ngẫu nhiên liên tục

4.2. Hàm phân phối (tích lũy)

4.2. Hàm phân phối (tích lũy)

a) Định nghĩa. Hàm số f : ℝ → ℝ là
hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên
tục X, hàm số F : ℝ → ℝ được gọi là
hàm phân phối, nếu F được xác định
như sau
x
F(x) = P ( X ≤ x ) =

∫ f (t)dt

−∞

14

b) Tính chất
i) 0 ≤ F(x ) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ,
ii) lim F(x ) = 0; lim F(x) = 1,
x →−∞

x →+∞

iii) F là hàm tăng,
iv) F là hàm liên tục bên phải tại x ∈ ℝ

15

16

4. Biến ngẫu nhiên liên tục

5. Tham số đặc trưng BNN

4.2. Hàm phân phối (tích lũy)

5.1. Định nghĩa. Cho X là biến ngẫu
nhiên với u(X) là hàm theo biến ngẫu
nhiên X. Kỳ vọng của u(X) được xác
định như sau

Ví dụ 5. Cho X là biến ngẫu nhiên có
hàm mật độ xác suất như sau
0
x

f (x) = 
2 − x
0

khi x ≤ 0
khi 0 < x ≤ 1

E ( u(X) ) =

khi 1 < x ≤ 2
khi 2 < x

Tìm hàm phân phối cho X, tính P ( X < 0,5)

17

E ( u(X) ) =

∑ u(x )f (x )
i

i

Khi X là BNNRR

i
+∞

∫ u(x)f (x)dx

−∞

Khi X là BNNLT
18

3


5. Tham số đặc trưng BNN

Trường hợp khi u ( X ) = X : thì E(X) được
gọi là trung bình của X, ký hiệu µ X
µX = E ( X ) =

∑ x f (x )
i

i

Khi X là BNNRR

i

µX = E ( X ) =

5. Tham số đặc trưng BNN
2
Trường hợp khi u(X) = ( X − µ X ) : thì

(

E ( X − µX )

σ 2X =

∑( x − µ
i

X

)

2

f (x i ) Khi X là BNNRR

i

+∞

∫ xf (x)dx

)

được gọi là phương sai
của X, ký hiệu σ2X
2

Khi X là BNNLT

−∞

19

5. Tham số đặc trưng BNN

+∞

σ =
2

X

∫ (x − µ

X

)

2

f (x)dx Khi X là BNNLT

−∞

20

5. Tham số đặc trưng BNN
5.3. Mốt và Trung vị.

Độ lệch chuẩn của X: σX

a) Mốt. Mốt của đại lượng ngẫu nhiên
X, ký hiệu Mod ( X )

5.2. Mệnh đề.
Cho X là biến ngẫu nhiên với trung
bình E ( X ) = µ X . Ta có
σ 2X = E ( X 2 ) − µ 2X
21

Khi X là BNNRR
Mod ( X ) = x 0 sao cho P ( X = x 0 ) là max
Khi X là BNNLT
Mod ( X ) = x 0 sao cho f X ( x 0 ) là max
22

5. Tham số đặc trưng BNN

5. Tham số đặc trưng BNN

5.3. Mốt và Trung vị

Ví dụ 6. Tính trung bình, phương sai,
mốt, trung vị của X trong ví dụ 3.

b) Trung vị. Trung vị của đại lượng
ngẫu nhiên (rời rạc hay liên tục) X, ký
hiệu Me ( X )
Me ( X ) = x 0

sao cho P ( X ≤ x 0 ) = P ( X ≥ x 0 )
23

Ví dụ 7. Cho BNN liên tục X với hàm
mật độ như sau:
Ax ( 3 − x ) khi x ∈ [ 0,3]
f (x) = 
khi x ∉ [ 0,3]
0

Tìm A, TB, PS, Mốt, Trung vị, P ( X > 2 )

24

4


5. Tham số đặc trưng BNN

5. Tham số đặc trưng BNN

5.4. Hệ số đối xứng và hệ số nhọn

5.4. Hệ số đối xứng và hệ số nhọn

a) Hệ số đối xứng
γ1 (X) =

Ví dụ 8. Đo đường kính (X) một chi tiết

E(X − µ X )
σ3X

3

máy (đơn vị mm). Ta có các số liệu sau
201; 203; 208; 204; 202; 205; 200; 206;

b) Hệ số nhọn
E(X − µ X )

σ 4X
Nếu γ1 (X) = 0 thì phân phối của X đối xứng; γ1 (X) > 0 lệch
phải và γ1 (X) < 0 lệch trái. γ 2 (X) càng lớn thì càng nhọn.25

207. Tính trung bình, phương sai, hệ số

6. Vectơ ngẫu nhiên rời rạc

1. Bảng phân phối xác suất đồng thời.
Xét vectơ ngẫu nhiên V = ( X,Y ) . Giả sử

4

γ 2 (X) =

1. Bảng phân phối xác suất đồng thời.
2. Hàm xác suất đồng thời.
3. Hàm xác suất thành phần.
4. Hàm xác suất có điều kiện.
5. Biến ngẫu nhiên độc lập.
6. Tham số đặc trưng của vectơ ngẫu
nhiên.

đối xứng, hệ số nhọn của X.
26

X = x1 , x 2 , x 3 ,...;Y = y1 , y 2 , y3 ,...

Đặt

pij = P ( X = x i ;Y = y j )

27

2. Hàm xác suất đồng thời.
Hàm số f : ℝ 2 → ℝ , được gọi là hàm xác
suất đồng thời nếu f được xác định như
sau
pij
f (x, y) = 
0

khi (x, y) = (x i , y j )

28

3. Hàm xác suất thành phần.
Từ bảng phân phối xác suất đồng thời,
ta có các bảng phân phối xác suất cho X
P(X = x k ) = P(X = x k ;Y = y1 , y 2 ,...)
= P(X = x k ;Y = y1 ) + P(X = x k ;Y = y 2 ) + ⋯

khi (x, y) ≠ (x i , y j )

= p k1 + p k 2 + ⋯ ≡ p k•

Tính chất
i) f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y)

ii) ∑ f (x, y) = 1

x ,y

f X (x) = ∑ f (x, y)
29

y

30

5


3. Hàm xác suất thành phần.
Từ bảng phân phối xác suất đồng thời,
ta có các bảng phân phối xác suất cho Y
P(X = y k ) = P(X = x1 , x 2 ,...;Y = y k )
= P(X = x1 ;Y = y k ) + P(X = x 2 ;Y = y k ) + ⋯

4. Hàm xác suất có điều kiện.
Để khảo sát BNN X khi biết Y xảy ra,
ta tính XS có điều kiện P(X|Y)
P(X = x i | Y = y j ) =

P(X = x i ;Y = y j )
P(Y = y j )

=

pij
p• j

= p1k + p 2k + ⋯ ≡ p• k

f X|Y (x) =

f Y (y) = ∑ f (x, y)
x

31

4. Hàm xác suất có điều kiện.
Để khảo sát BNN Y khi biết X xảy ra,
ta tính XS có điều kiện P(Y|X)
P(Y = y j | X = x i ) =

P(Y = y j ;X = x i )
P(X = x i )

=

pij
pi •

f (x, y)
f Y (y)

32

5. Biến ngẫu nhiên độc lập.
Hai BNN X và Y được gọi là độc lập,

nếu hàm xác suất có điều kiện của X,
khi biết Y = y không phụ thuộc vào y,
nghĩa là

f X|Y (x) = f X (x)
Do đó
f (x, y)
f Y|X (y) =
f X (x)

f (x, y) = f X (x)f Y (y)
33

Ví dụ 9.
Cho vectơ ngẫu nhiên V = (X, Y) có bảng
phân phối xác suất đồng thời như sau

34

6. Tham số đặc trưng vectơ ngẫu nhiên.
Xét vectơ ngẫu nhiên V = ( X, Y )
Kỳ vọng (trung bình) thành phần
µ X = ∑ xf X (x) = ∑ x ∑ f (x, y) =∑ xf (x, y)
x

x

y

x,y

µ Y = ∑ yf Y (y) = ∑ y∑ f (x, y) =∑ yf (x, y)
y

y

x

x,y

Phương sai thành phần
Lập các bảng phân phối xác suất thành
phân và tìm các hàm xác suất
35

σ 2X = ∑ (x − µ X ) 2 f X (x) = ∑ (x − µ X ) 2 f (x, y)
x

x,y

σ 2Y = ∑ (y − µ Y )2 f Y (y) = ∑ (y − µ Y ) 2 f (x, y)
y

x,y

36

6

6. Tham số đặc trưng vectơ ngẫu nhiên.
Xét vectơ ngẫu nhiên V = ( X, Y )
Hiệp phương sai của (X,Y),

Ví dụ 10.
Cho vectơ ngẫu nhiên V = (X, Y) có bảng
phân phối xác suất đồng thời như sau

Cov(X,Y) = E(X − µ X )(Y − µ Y )
= ∑ (x − µ X )(y − µ Y )f (x, y)
x,y

Mệnh đề: Cov(X, Y) = E(XY) − µ X µ Y
Hệ số tương quan
ρ(X,Y) =

Cov(X,Y)
σX σY

Tính trung bình, phương sai thành phần,
hiệp phương sai, hệ số tương quan.
37

38

7


Bài Giảng
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Chương 3. Các Quy Luật
Phân Phối Xác Suất
GV: ThS. Nguyễn Trung Đông


1

Phân phối nhị thức, B ( n; p )
Phân phối siêu bội, H ( N, K, n )
Phân phối Poisson, P ( µ )
Phân phối đều, U[a, b]
Phân phối Gauss, N ( 0;1)
Phân phối chuẩn, N ( µ; σ2 )
2
Phân phối chi bình phương, χ (n)
Phân phối Student, St(n)
Phân phối Fisher, F ( n, m )

2

1. Phân phối nhị thức

1. Phân phối nhị thức
1.1. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời
rạc X được gọi là phân phối nhị thức,
ký hiệu X ∼ B ( n;p ) , nếu hàm xác suất
của X có dạng sau
C x p x (1 − p) n − x
f (x) =  n
0

Chương 3. Các QL phân phối xác suất

khi x = 0,1,..., n

1.2. Công thức tính xác suất:
Cho

X ∼ B ( n;p ) ,

ta có

P ( X = k ) = Ckn p k (1 − p) n −k

Với k = 0,1, 2,..., n

khi x ≠ 0,1,..., n
3

4

1. Phân phối nhị thức

1. Phân phối nhị thức

1.3. Mệnh đề: Cho biến ngẫu nhiên
X ∼ B ( n; p ) . Với q = 1 − p , ta có

1.4. Ví dụ 1: Trong một vùng dân cư có
70% gia đình có máy giặt, chọn ngẫu

nhiên 12 gia đình.
a) Tính xác suất nhận được đúng 5 gia
đình có máy giặt.
b) Tính xác suất có ít nhất hai gia đình
có máy giặt.

i) Trung bình: µ X = E(X) = np,
ii) Phương sai: σ2X = npq,
iii) Giá trị tin chắc nhất: Mod ( X ) = k 0 với
k 0 là số nguyên thỏa bất phương trình
np − q ≤ Mod ( X ) ≤ np − q + 1.

5

6

1


2. Phân phối siêu bội

1. Phân phối nhị thức
1.4. Ví dụ 2: Gieo 1000 hạt giống với
xác suất nảy mầm của mỗi hạt là 0,8.
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ hạt nảy
mầm. Tính trung bình và phương sai
của biến ngẫu nhiên X.

2.1. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời
rạc X được gọi là phân phối siêu

bội, ký hiệu X ∼ H ( N, K, n ) , nếu hàm
xác suất của X có dạng sau
f (x) =

C xK C nN−−xK
C nN

khi max ( 0,n-N+K ) ≤ x ≤ min(n,K),
7

và f(x)=0 trong các trường hợp còn lại

2. Phân phối siêu bội

2. Phân phối siêu bội

2.2. Cơng thức tính xác suất:

2.3. Mệnh đề: Cho biến ngẫu nhiên

Cho

X ∼ H ( N, K, n ) ,

P(X = k) =

X ∼ H ( N, K, n ) . Với q = 1 − p ,

ta có
k

K

8

ta có

i) Trung bình: µ X = np, với p = K / N

n −k
N −K
n
N

C C
C

ii) Phương sai: σ2X = npq

N−n
.
N −1

Lưu ý: Khi n << N thì PPSB được xấp
xỉ bằng PPNT H ( N, K, n ) ≡ B ( n; p )

Với max ( 0, n − N + K ) ≤ k ≤ min(n, K)
9

10

2. Phân phối siêu bội

2. Phân phối siêu bội

2.4. Ví dụ 3: Từ một hộp đựng 15 quả
cam trong đó có 5 quả hư, lấy ra 3
quả. Gọi X là số quả hư trong 3 quả
lấy ra.

2.4. Ví dụ 4: Trong 10000 sản phẩm trên
một dây chuyền sản suất, có 2000 sản
phẩm khơng được kiểm tra chất
lượng. Tính xác suất trong 100 sản
phẩm sản xuất ra có 20 sản phẩm
khơng được kiểm tra chất lượng.

a) Tính xác suất 3 quả lấy ra đều hư.
b) Tính trung bình và phương sai của X.
11

12

2


3. Phân phối Poisson

3. Phân phối Poisson

3.1. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời

rạc X được gọi là phân phối Poisson,
ký hiệu X ∼ P ( µ ) , nếu hàm xác suất
của X có dạng sau

3.2. Công thức tính xác suất:

 −µ µ x
e
f (x) = 
x!
0


Cho

X ∼ P ( µ ),

ta có

P ( X = k ) = e −µ

µk
k!

khi x = 0,1,..., n

Với k = 0,1, 2,..., n

khi x ≠ 0,1,..., n
13

14

3. Phân phối Poisson

3. Phân phối Poisson

3.3. Mệnh đề: Cho BNN X ∼ P ( µ ) , ta có

Ví dụ 5: Một nhà máy dệt cho 5000
ống sợi. Xác suất để trong một phút,
một ống sợi bị đứt là 0,0002. Tìm
xác suất để trong một phút có không
quá hai ống sợi bị đứt.

i) Trung bình: µ X = µ,
ii) Phương sai: σ2X = µ.
Lưu ý: Khi n đủ lớn và p đủ nhỏ thì
PPNT được xấp xỉ bằng PP Poisson
B ( n;p ) ≡ P ( np )

15

16

4. Phân phối đều

4. Phân phối đều

4.1. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên

tục X được gọi là phân phối đều, ký
hiệu X ∼ U[a, b] , nếu hàm mật độ của
X có dạng sau

4.2. Công thức: Cho X ∼ U[a, b], ta có

 1

f (x) =  b − a
0


khi x ∈ [ a, b]
khi x ∉ [ a, b ]
17

β−α
b−a
a+b
ii) µ X = E(X) =
2
(b − a) 2
iii) σ2X = D(X) =
12
i) P ( α ≤ X ≤ β ) =

18

3

5. Phân phối Gauss

5. Phân phối Gauss

5.1. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên

5.2. Công thức tính xác suất:

liên tục X được gọi là phân phối Gauss,
ký hiệu X ∼ N ( 0;1) , nếu hàm mật độ của
X có dạng sau

Cho

X ∼ N(0;1)

, ta có
b

∫

= φ0 ( b ) − φ 0 ( a )

2

1 − x2
f (x) =
e , − ∞ < x < +∞
2π

x

5. Phân phối Gauss

2

t
−
1
e 2 dt
Với φ0 ( x ) =
2π 0

∫

19

2

x
−
1
P (a ≤ X ≤ b) =
e 2 dx
2π a

20

5. Phân phối Gauss

Lưu ý: i) Nếu x < 0 thì φ0 (− x) = −φ0 (x)

5.3. Mệnh đề: Cho X là biến ngẫu nhiên

ii) Nếu x ≥ 4 thì φ0 (x) = 0,5

liên tục có phân phối Gauss, X ∼ N(0;1)

Ví dụ 6: Cho X ∼ N(0;1) . Tính

Ta có

i) P ( −1, 25 ≤ X ≤ 1,5 )

i) Trung bình: µX = 0,

ii) P ( X ≥ 1,5)

ii) Phương sai: σ2X = 1.

iii) P ( X ≤ −1, 25 )
21

6. Phân phối chuẩn

22

Đồ thị của phân phối chuẩn

6.1. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên

liên tục X được gọi là phân phối chuẩn,
ký hiệu X ∼ N ( µ; σ2 ) , nếu hàm mật độ
của X có dạng sau
−
1
f (x) =
e
σ 2π

(x −µ )2
2 σ2

, − ∞ < x < +∞
23

24

4


6. Phân phối chuẩn

6. Phân phối chuẩn

6.2. Công thức tính xác suất:

6.3. Mệnh đề: Cho X là biến ngẫu nhiên
liên tục có phân phối chuẩn, X ∼ N(µ; σ2 )

Ta có
i) Trung bình: µX = µ,
ii) Phương sai: σ2X = σ 2 .
6.4. Mệnh đề: Nếu X ∼ N ( µ; σ2 ) và
X − µ thì
Y ∼ N(0;1)
Y=

Cho X ∼ N(µ; σ2 ) , ta có
b

−
1
P (a ≤ X ≤ b) =
e
σ 2π a

∫

(x −µ ) 2
2 σ2

dx

 b−µ 
 a −µ
= φ0 
 − φ0 

 σ 

 σ 
25

6. Phân phối chuẩn

σ

26

6. Phân phối chuẩn

Ví dụ 7: Giả sử chiều cao người Việt
Nam là biến ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn với trung bình là 160 cm
và độ lệch chuẩn là 4 cm. Hãy tính
tỷ lệ những người cho chiều cao từ
155 cm đến 166 cm.

Lưu ý: Cho biến ngẫu nhiên
X ∼ B ( n;p ) . Khi n đủ lớn thì ta có thể

xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân
phối chuẩn, nghĩa là
X ∼ B ( n;p ) ≡ N ( np;npq )

27

6. Phân phối chuẩn

28

6. Phân phối chuẩn
Ví dụ 8: Trong 10000 sản phẩm trên dây
chuyền sản xuất, có 2000 sản phẩm
không được kiểm tra chất lượng. Tìm xác
suất để trong 400 sản phẩm sản xuất ra:

 k + 0,5 − µ 
 k − 0,5 − µ 
i) P ( X = k ) ≈ φ0 
 − φ0 

σ
σ




 n + 0,5 − µ 
 m − 0,5 − µ 
ii) P ( m ≤ X ≤ n ) ≈ φ0 
 − φ0 

σ
σ





a) Có từ 70 đến 100 sản phẩm không được
kiển tra chất lượng,
b) Có đúng 80 sản phẩm không được kiểm
tra chất lượng.
29

30

5


7. Phân phối chi bình phương

Sơ đồ sấp xỉ các phân phối

7.1. Mệnh đề: Cho X1 , X 2 ,..., X n là biến
ngẫu nhiên liên tục, độc lập và có

phân phối Gauss, Xi ∼ N ( 0;1) ,i = 1,..., n
thì X i2 có phân phối chi bình phương với 1
bậc tự do, Xi2 ∼ χ2 (1) . Đặt Y = X12 + ⋯ + X n2
thì Y có phân phối chi bình phương với n
31

7. Phân phối chi bình phương

bậc tự do, Y ∼ χ 2 (n)

32

8. Phân phối Student, St(n)
8.1. Mệnh đề: Cho X là BNN liên tục

7.2. Mệnh đề:

Ta có

có phân phối Gauss, X ∼ N ( 0;1) . Y là
BNN có phân phối chi bình phương với n
bậc tự do, Y ∼ χ2 (n) và X, Y là hai biến

i) Trung bình: µ Y = n,

độc lập.

Cho BNN Y ∼ χ 2 (n) .

ii) Phương sai: σ 2Y = 2n.

Đặt T = X
Y

33

n

thì T có phân phối
Student, T ∼ St(n).

34

8. Phân phối Student, St(n)

9. Phân phối Fisher, F(n, m)

8.2. Mệnh đề: Cho BNN T ∼ St(n). Ta có

9.1. Mệnh đề: Cho X,Y là hai BNN

liên tục có phân phối chi bình phương,

i) Trung bình: µ T = 0,
ii) Phương sai:

X ∼ χ 2 (n);Y ∼ χ 2 (m)

n
σ =
.
n−2
2
T

và X, Y là hai biến

độc lập.

Lưu ý: Nếu X ∼ St(n), với n ≥ 30,

Đặt F =

thì X ∼ N ( 0;1) .
35

X
Y

n
m

thì F có phân phối
Fisher, F ∼ F(n, m).
36

6