ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU Năng lực, phát triển năng lực VÀ năng lực giải toán CỦA HỌC SINH THPT

Chương 1: cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1 Năng lực , phát triển năng lực, năng lực giải toán
1.1.1 Năng lực là gì? Năng lực giải tốn là gì?
Đã có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực và do vậy, cũng có nhiều khái
niệm khác nhau. Có thể xem xét khái niệm năng lực từ nhiều phương diện
khác nhau.
- Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm lí học. khái niệm này cho
đến ngày nay vẫn có nhìu cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau
- Theo quan điểm của những nhà tâm lí học năng lực là tổng hợp các đặc
điểm, thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một
hoạt động nhất định nhằ đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao
- Theo Nguyên Huy Tú [ 12;11] : “… năng lực tự nhiên là loại năng lực đc
nảy sinh trên cơ sở những tư chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác
động của giáo dục và đào tạo. nó cho phép con người giải quyết được những
yêu cầu tối thiểu, quen thuộc đặt ra cho mình trong cc sống”.
- X.L.Rubinxtein cho rằng : “ năng lực là tồn bộ các thuộc tính tâm lí làm
cho con người thích hợp với một hoạt động có lợi ích xã hội nhất định”.
- Tâm lí chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực chung và năng
lực chuyên môn.năng lực được chia thành 3 mức độ : năng lực, tài năng,
thiên tài
- Theo từ điển tiếng việt : “ năng lực là khả năng làm việc tốt, nhờ có phẩm
chất đạo đức và trình độ chun mơn.”
- song song với năng lực là tri thức, kĩ năng kĩ xảo : tri thức, kĩ năng kĩ xảo là
điều kiện cần thiết để hình thành năng lực song không đồng nhất với năng
lực; năng lực góp phần làm cho q trình lĩnh hội tri thức, kĩ năng, kĩ xảo
trong lĩnh vực hoạt động nhất định được nhanh chóng thuận lợi và dễ dàng
hơn; có năng lực hoạt động tức là có tri thức, kĩ năng, kĩ xảo khơng có nghĩa
là có năng lực trong lĩnh vực ấy.
• năng lực tốn học
- Trong tâm lí học khái niệm về năng lực toán học được hiểu theo 2 hướng:
+ Thứ nhất: đó là năng lực hoạt động sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu

toán học với tư cách là khoa học. Người có năng lực sáng tọa tốn học sẽ
cống hiến cho nhân lọai những cơng trình toán học đầy ý nghĩa đối với


hoạt động thực tiễn của con người và đối với sự phát triển của khoa học
tốn học.
+ Thứ hai: đó là năng lực trong học tập, trong việc nắm vững các khái
niệm, định lí, tính chất, hệ quả tốn học với tư cách là mơn học. ở đây
nguời học có năng lực học toán sẽ nhanh nhạy trong việc tiếp thu các
kiến thức toán học và thực hiện thành thạo các kĩ nang kĩ xảo tương ứng.
có thể khẳng định có năng lực tốn học là điều kiện cần của năng lực
sáng tọa tốn học. bởi vì năng lực sáng tạo tốn học có thể xuất phát từ
việc tạo lập ra một định nghĩa mới hay một định lí mới, nó hồn tồn
khác so với năng lực hiểu được những định lí tốn học đã được chứng
minh và thùa nhận trước đó.
- Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực tốn học. Con người có những
năng lực khác nhau vì có những tố chất khác nhau và năng lực chỉ được hình
thành thơng qua hoạt động trong những điều kiện xã hội của mơi trường
sống. Năng lực tốn học được cho là có mối quan hệ mật thiết với hoạt động
trực giác và sự sáng tạo toán học ở người nghiên cứu. Do đó, trên cơ sở
nghiên cứu quá trình sáng tạo của các nhà tốn học, J.Addamaa cho rằng q
trình sáng tạo tốn học gồm 4 giai đoạn và tương ứng với mỗi giai đoạn là
các đặc điểm riêng bao gồm giai đoạn chuẩn bị, giai đoạn ấp ủ, giai đoạn
bừng sáng và giai đoạn kiểm chứng. Sự sáng tạo thể hiện ý thức của con
người ở trình độ cao, tức biểu thị mức độ phát triển cao trong nhận thức của
con người.
- Theo A.N.Kô mô gô rôp, trong thành phần của những năng lực toán học
gồm:
1. Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm
được con đường giải các phương trình khơng theo các quy tắc chuẩn hoặc

như các nhà tốn học quen gọi các năng lực tính tốn hay năng lực <gơritmic>>.
2. trí tưởng tượng hình học hay là <<trực giác hình học>>
Tóm lại năng lực tốn học gắn liền với hoạt động trí tuệ của học sinh, giúp
học sinh nắm vững và vận dụng tốt tri thức, kĩ năng và kĩ xảo của mình
trong học tập mơn tốn
• năng lực giải tốn chính là khả năng giải quyết các bài tốn hay nói một
cách chính xác là khả năng giải quyết tình huống trong tốn bao gồm các
dạng bài đã có motip giải, các dạng chưa có hoặc phải biến đổi, vận dụng


các kiến thức khác. Đây là yếu tố bộc lộ sự nhanh nhẹn, linh hoạt, mềm
dẻo,sáng tạo,biết khai thác, tích cực của bản thân, đây chính là kĩ năng mềm
để giúp giải tốn- là chìa khóa cho mọi bài tốn kể cả hóc búa.tuy nhiên
khơng phải ai cũng có năng lực và bộc lộ được năng lực này.đây là 1 q
trình khơng ngừng trau dồi, luyện tập, học hỏi từ năm này sang năm khác, từ
nhỏ đến lớn, từ cái dễ đến cái khó.năng lực của học sinh là do chính bản thân
học sinh xây dựng tuy nhiên cịn chịu sự tác động không nhỏ của thầy cô
giảng dạy. người giáo viên muốn nâng cao năng lực giải toán cho học sinh
thì phải tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những dạng tri thức khác
nhau,rèn luyện cho học sinh những kĩ năng trên những bình diện khác nhau,
bên cạnh đó cịn phải biết cho học sinh kết hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và
rèn luyện kĩ năng, và cuối cùng là cần phải làm nổi bật mạch tri thức xun
suốt chương trình. Như thế học sinh mới có thể được rèn luyện kĩ năng giải
tốn tốt nhât từ đó tạo đà phát triển năng lực giải toán của học sinh.
Vậy làm thế nào để học sinh có năng lực giải toán và phát triển năng lực
giải toán ấy ra sao?
- Thứ nhất, cần trang bị tri thức kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán
học: ta biết mơn tốn cần cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng,
phương pháp tốn học phổ thơng cơ bản, thiết thực( chương trình giáo dục

học năm 2002,tr.2 và tr.6)
Học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, đó là cơ sở để thực hiện các
mục tiêu về các phương diện khác. Để đạt được mục tiêu quan trọng này
mơn tốn cần trang bị cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức,
kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, hiện đại, sát thực tiễn Việt
Nam, theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp; đồng thời bồi dưỡng cho họ
khả năng vận dụng những hiểu biết tốn học vào việc học tập các mơn học
khác, vào đời sống lao động sản xuất và tạo tiềm lực tiếp thu khoa học kĩ
thuật.
- Thứ hai, cần phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh: mơn tốn cần góp phần
quan trọng vào việc phát triển năng lực tri tuệ, hình thành khả năng suy luận
đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống ( chương trình giáo dục học
năm 2002, tr.2 và tr.6)
Mơn tốn có khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho học
sinh. Mục tiêu này cần được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có


kế hoạch chứ không phải là tự phát. Muốn vậy, người thầy giáo cần có ý
thức đầy đủ về các mặt sau
. rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác
. phát triển khả năng suy đốn và tưởng tượng
.rèn luyện những trí tuệ cơ bản
.những phẩm chất trí tuệ ( tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo…)
- Thứ ba, cần giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động
khoa học: mơn tốn cần góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất,
phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen
tự học thường xun( chương trình 2002,tr.2 và tr.26)
Để thực hiên mục tiêu này, mơn tốn cần được khai thác nhằm góp phần bồi
dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vậy biện chứng, rèn luyện cho họ
những phẩm chất và phong cách lao động khoa học trong học tập như làm

viêc có mục đích, có kế hoạch, có phương pháp, có kiểm tra, tính cẩn thận,
kỉ luật, chính xác, có óc thẩm mĩ…
- Thứ tư, tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao
động
1.2.1. Thực trạng học chủ đề Đại số Tổ Hợp của học sinh THPT hiện nay.
Chúng tôi đã tiến hành khảo sát thực trạng kết quả học chủ đề Đại số Tổ hợp
của 129 học sinh lớp 11 – Ban cơ bản trường THPT Đồng Hỷ với hình thức ra
phiếu điều tra trắc nghiệm
Đề của phiếu điều tra học sinh
1. Theo các em trong chuyên đề đại số tổ hợp phần nào là khó nhất?
A: Chỉnh hợp
B: Tổ hợp
C: Nhị thức Niu- tơn
D: Chỉnh hợp + Tổ hợp
E: Tổ hợp + Nhị thức Niu- tơn
F: Chỉnh hợp + Nhị thức Niu- tơn


G: Khơng có phần nào khó
H: Chỉnh hợp + Tổ hợp + Nhị thức Niu- tơn
2. Các em có hứng thú( yêu thích) học chuyên đề đại số tổ hợp khơng?
A: Có

B: Khơng

3. Theo các em việc phát triển năng lực giải toán đại số tổ hợp cho học sinh THPT
có cần thiết khơng?
A: Rất cần thiết
B: Cần thiết
C: Ít cần thiết

D: Không cần thiết
4.Theo các em thầy (hoặc cô) đã chú ý phát triển năng lực giải toán đại số tổ
hợp cho các em trong quá trình dạy học chưa?
A: Có

B: Chưa

• Trong q trình đi kiến tập tại trường THPT chúng tôi đã được dự giờ một
số tiết tại lớp 11 về chủ đề đại số tổ hợp. Bên cạnh những em học tốt, hiểu
về chủ đề đại số tổ hợp thì vẫn cịn những em học sinh hiểu sai đề bài, vận
dụng sai công thức, ... Sau đây tơi xin trình bày một số cách giải tốn sai
của học sinh mà tôi đã tổng hợp được sau khi đi kiến tập.
Bài 1: Một đồn tàu có 3 toa 1, 2, 3. Trên ga có 4 khách mỗi khách có 4 chỗ
trống. hỏi
a,có bao nhiêu cách xếp khách lên tàu
b,có bao nhiêu cách xếp khách sao cho 1 toa có đúng 3 khách
- Học sinh lên bảng trả lời
a, số cách xếp khách lên tàu là C412 = 495 cách
b, Chọn 1 trong 3 toa có C13 cách


Chọn 3 người trong 4 người xếp vào toa đã chọn có A34 cách
Xếp 1 người cịn lại vào 2 toa cịn lại có 2 cách
Vậy có C13 x A34 x 2 =144 cách
Nhận xét: Học sinh không nắm vững khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp nên đã sử
dụng sai công thức
- Lời giải:
a, gọi 4 người khách là a, b, c, d
a có 3 cách chọn
b có 3 cách chọn

c có 3 cách chọn
d có 3 cách chọn
vậy có 3 x 3 x 3 x 3 = 81 cách
b, chọn 3 khách trong số 4 khách có C34 cách
có 3 cách xếp 3 khách vừa chọn lên tàu
có 2 cách xếp 1 khách cịn lại lên tàu
vậy có C34 x 3 x 2 = 24 cách
Bài 2: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 8 học sinh
trung bình. Có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người,
sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá?
- Học sinh lên bảng trả lời
Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2
học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số
cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài tốn. Có 2 trường hợp chọn tổ A:
Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách chọn
tổ A trong trường hợp này là:


A13+A25+A58= 6743 cách
Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A
trong trường hợp này là:
A13 + A35 + A48 = 1743 cách
Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:
6743 + 1743 = 8486 cách
Nhận xét: Học sinh sử dụng sai quy tắc.
- Lời giải:
Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có
2 học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính
là số cách chia tổ thoả mãn u cầu bài tốn. Có 2 trường hợp chọn tổ A:
Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách

chọn tổ A trong trường hợp này là:
C13.C25.C58 = 1680 cách
Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình.
Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là:
C13.C35.C48 = 2100 cách
Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:
1680 + 2100 = 3780 cách
• Sau đây là kết quả phiếu điều tra mà tôi đã thu được sau khi khảo sát học
sinh lớp 11 – ban cơ bản trường THPT Đồng Hỷ
Câu hỏi

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

Phần trăm đáp án (%)

A : 2,3
B : 8,5
C : 44,2

A : 38
B : 62

A : 31
B : 41

C : 18,6

A : 71,3
B : 28,7


D :10,1
E :2,4
F :5,4
G :3,1
H : 24

D : 9,4

* Nhận xét chung :
Qua thực tế chúng tôi thấy số học sinh mắc sai lầm khi giải bài tập về chủ đề
”Đại số tổ hợp” khá nhiều, kể cả một số học sinh khá trong lớp. Đa số học sinh
mắc sai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, phân chia trường
hợp riêng.
Qua đó cho thấy năng giải tốn của học sinh cịn yếu. Câu hỏi đặt ra là trong
khi học chủ đề ”Đại số tổ hợp” học sinh có thể mắc những sai lầm nào ? Cách hạn
chế và khắc phục sai lầm cho học sinh ra sao để nâng cao hiệu quả cho việc dạy
học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng và nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nói
chung.
1.2.2 : Những khó khăn, sai lầm của học sinh trong khi giải toán đại số tổ hợp
Bên cạnh phiếu điều tra học sinh chúng tơi cịn xin ý kiến của các em học sinh và
các thầy cô giáo về câu hỏi sau: Theo các em ( các thầy , cơ giáo) có những khó
khăn gì khi các em học sinh giải tốn đại số tổ hợp ?
Sau khi tổng kết những ý kiến và tham khảo một số tài liệu sau đây tơi xin trình
bày những khó khăn, sai lầm của học sinh trong khi giải toán đại số tổ hợp mà tôi

đã thu được
a, Sai lầm do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp...
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác tư duy
nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượng khác,
thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó”. Trong q trình học chủ đề


Đại Số Tổ Hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của khái niệm tổ hợp
nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được định nghĩa.
Ví dụ 1 :
Học sinh thường phát biểu : ‘Tổ hợp chập k của n là Ckn ’’ mà phát biểu đúng
là: ‘Số tổ hợp chập k của n là Ckn’’ hoặc ‘Chỉnh hợp chập k của n là Akn ’’ mà phát
biểu đúng là: ‘Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là Akn ” .
Cũng có những học sinh áp dụng cơng thức rất thành thạo nhưng lại khơng
hiểu ý nghĩa của cơng thức.
Ví dụ 2 :
Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Có bao nhiêu cách
bầu ra ban cán sự lớp gồm hai bạn: 1 nam và 1 nữ?
Học sinh giải như sau:
Số học sinh nữ là: 40 – 20 = 20 (học sinh).
Vận dụng quy tắc cộng ta có :
20 + 20 = 40 cách.
Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh đã khơng hiểu rõ khái niệm vì khi chọn ra hai bạn: 1 nam, 1 nữ là
ta đã thực hiện hai hành động liên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1 bạn nữ
(hoặc ngược lại), hai hành động này phụ thuộc nhau (ứng với mỗi cách chọn 1 bạn
nam có 20 cách chọn ra bạn nữ).
Lời giải đúng là:
Số học sinh nữ trong lớp là:
40 – 20 = 20 (học sinh)

Việc chọn ban cán sự được chia làm hai công đoạn:


Cơng đoạn 1: Chọn 1 bạn nam có 20 cách.
Cơng đoạn 2: Ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn 1 bạn nữ.
Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra ban cán sự gồm một bạn nam
và 1 bạn nữ là:
20.20 = 400 (cách chọn)
Ví dụ 3:
Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam. Người ta tổ chức cuộc
chơi gồm 3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ra cặp để tham gia trò chơi?
Học sinh giải như sau:
Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 bạn nam trong 7 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3
của 7, nên số các chọn 3 nam có thứ tự là A37 = 210 cách. Tương tự số cách chọn 3
nữ có thứ tự là: A39 = 504 cách. Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 3 cặp để tham
gia trò chơi là:
A13.A35 = 210.504 = 105840 (cách)
Sai lầm học sinh mắc phải:
Việc sắp xếp thứ tự 3 nam và 3 nữ dẫn đến việc lặp lại. Giả sử 3 bạn nam
xếp thứ tự là A,B,C ghép với 3 nữ theo thứ tự a, b, c. Ta có 3 cặp (A,a), (B,b),
(C,c). Nếu lấy thứ tự khác của 3 nam là B,C,A và 3 nữ là b,c,a thì ta cũng có 3 cặp
(B,b), (C,c), (A,a) giống trước. Như vậy trong bài tốn này ta phải dùng cơng thức
tính số tổ hợp chứ khơng dùng cơng thức tính số chỉnh hợp.
Lời giải đúng là:
Xem việc lập 3 cặp để tham gia trị chơi gồm 3 cơng đoạn:
Cơng đoạn 1: Chọn 3 học sinh nam. Số cách chọn là:


C13 = 35 cách

Công đoạn 2: Chọn 3 học sinh nữ. Số cách chọn là:
C39 = 84 cách
Công đoạn 3: Sắp xếp 6 bạn trên thành 3 đôi nam nữ. Có 3! Cách xếp.
Theo quy tắc nhân số cách chọn 3 cặp nam nữ thoả mãn yêu cầu bài toán là:
3!. 84.35 = 17640 cách
b, Hiểu sai khái niệm cơ bản tốn học.
Trong q trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại
diên khái niêm sẽ dẫn tới học sinh hiểu khơng trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản
chất khái niệm. Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước,
việc khơng nắm vững và hiểu khơng đúng khái niệm có liên quan làm học sinh
không hiểu, không nắm được khái niệm mới.
Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các khái niệm cơ bản sẽ dẫn đến việc
tất yếu là học sinh giải tốn sai.
Ví dụ 1:
Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số phân biệt và
trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
Lời giải của học sinh:
Số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt lấy từ {1; 2; 3; 4; 5} là:
A46 = 360 cách
Mỗi cách lập cho ta một số có 4 chữ số phân biệt thoả mãn yêu cầu bài tốn.
Trong đó số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt khơng có mặt chữ số 5 là:
A45 = 120 cách


Theo quy tắc cộng ta có kết quả của bài toán là:
A46 - A45 = 360 – 120 = 240 (Số)
Sai lầm ở đây là:
Học sinh tính số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt nhưng trong các số
lập được có số dạng 0abc, đây là dạng số có 4 chữ số khơng thoả mãu u cầu bài
tốn.

Như vậy học sinh đã khơng trừ đi các số khơng thoả mãn u cầu dẫn đến
tính sai kết quả.
Lời giải đúng ở đây là:
Giả sử a1a2a3a4 là số thoả mãn yêu cầu bài toán, suy ra a1 ≠ 0.
Số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ 0 đến 5 là A46 – A35 = 300 cách.
Trong đó số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ 0 đến 5 và khơng có
mặt chữ số 5 là: A45 – A34 = 96 cách.
Mỗi cách sắp xếp cho ta một số duy nhất. Sử dụng quy tắc cơng ta có kết
quả của bài tốn là:
300 – 96 = 204 số.
c, Phân chia trường hợp riêng.
Phân chia trường hợp là biện pháp hay dùng khi giải các bài tập tổ hợp.
Đứng trước bài toán phức tạp, phân chia trường hợp làm đơn giản hoá bài tốn
giúp học sinh giải bài tập một cách chính xác. Tuy nhiên, để có thể phân chia đúng,
học sinh cần nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân. Nếu là quy tắc nhân thì phân
chia thành các cơng đoạn thích hợp, cịn nếu là quy tắc cộng thì phân chia thành
các tập hợp con. Nhiều học sinh chưa nắm vững tiêu chí của sự phân chia nên đã
dẫn đến sai lầm khi giải toán. Để phân chia một khái niệm thành những khái niệm
nhỏ thì phải dựa vào dấu hiệu (tiêu chí) của sự phân chia.


Ví dụ1:
Cho 10 người ngồi trên 10 cái ghế, xung quanh một bàn trịn, trong đó có 4
học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho khơng có
hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau?
Lời giải của học sinh:
Ta xét bài toán gián tiếp: Tính số cách sắp xếp sao cho mỗi học sinh nữ đều
ngồi cạnh một học sinh nam khác.
Ta có A24 cách chọn 2 học sinh nữ bất kỳ (có thứ tự). Như vậy 4 học sinh nữ
được chia làm 2 nhóm. Ta cần tìm 2 trong số 5 cặp chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ

này. Có C25 cách chọn chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ.
6 học sinh nam còn lại được xếp tuỳ ý giữa các học sinh nữ, ta cố định vị trí
của một học sinh nam thì 5 học sinh nam cịn lại có 5! Cách xếp vịng trịn. Vậy số
cách xếp để mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh học sinh nữ khác là:
A24.C25.5! = 14400 cách.
Mặt khác, 10 người xếp quanh bàn trịn thì có 9! Cách xếp
Vậy số cách xếp 2 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau là:
9! – 14400 = 348480 cách.
Nguyên nhân sai lầm:
Do học sinh phân chia thiếu trường hợp 3 nữ ngồi cạnh nhau, học sinh nữ
cịn lại khơng ngồi cạnh bạn nữ nào.
Lời giải đúng là:
Giả sử đã xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam. Vì 4 học sinh nữ khơng ngồi
cạnh nhau nên họ được chọn 4 trong 6 vị trí xen kẽ giữa học sinh nam. Số cách
chọn là: A46. Vì 2 cách xếp vị trí cho 10 người với cùng một thứ tự quanh bàn tròn


được coi là một nên ta có thể chọn trước vị trí cho một học sinh nam nào đó, số
hốn vị của 5 học sinh nam còn lại vào các vị trí là 5!.
Vậy theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp là:
A46.5! = 43200 cách.
•
•

Ngồi ra cịn một số khó khăn, sai lầm sau:
Nhớ lẫn lộn giữa cơng thức tính số tổ hợp và số chỉnh hợp .
Khơng biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc.
Sử dụng sai quy tắc .
Kết luận
Chủ đề đại số tổ hợp là một lĩnh vực khó đối với học sinh THPT. Để hiểu

được lĩnh vực này các em học sinh cần phải hiểu được bản chất của các
khái niệm , nhớ các công thức, biết phối hợp các công thức, làm thật nhiều
các bài tập,…từ đó tích lũy được vốn kiến thức cho bản thân để khơng mắc
sai lầm khi giải tốn
Các thầy , cơ giáo cần nắm bắt được những khó khăn sai lầm mà học sinh
gặp phải khi học chủ đề đại số tổ hợp để từ đó xây dựng các biên pháp khắc
phục cái thiện năng lực giải toán đại số tổ hợp của các em học sinh ngày
càng tốt hơn.