Phân tích Fourier dùng xử lý nhiểu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

CHƯƠNG TRÌNH KỸ SƯ
CHẤT LƯỢNG CAO VIỆT - PHÁP ( P.F.I.E.V)

Đề tài:
Phân tích Fourier
dùng xử lý nhiểu.

Giảng viên hướng dẫn: Tiến sĩ Đặng Văn Vinh
Thành viên nhóm:
1) Lương Tuấn Khang
2) Đoàn Minh Tuấn
3) Nguyễn Trần Quang Nguyên
4) Vũ Quốc Anh Hoàng
5) Nguyễn Đức Thịnh
6) Đặng Thanh Thiện
11


Lời tựa

11


I.

Quá trình xử lý số các tín hiệu (Digital signal processing-DSP)
Gồm 3 bước:
- Bước 1: lấy mẫu và lượng tử hóa các mẫu này (Analog to digital).

- Bước 2: dùng bộ xử lý tín hiệu (DSP) để xử lý các mẫu vừa thu được.
- Bước 3: sau khi xử lý, các mẫu được khôi phục lại.
Trong phần này, chúng ta xem tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm
thời gian x(t).

Số liệu đưa vào

II.

Lấy mẫu và
lượng tử hóa

Bộ xử lý
số tín hiệu

Phương pháp biến đổi Fourier:

Bộ
khôi phục
tín hiệu

Số liệu thu được

1. Biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Transform – DFT):
Dưới dạng đại số, DFT N-điểm có thể xem là một phép biến đổi
tuyến tính ma trận vecto L-chiều (dữ liệu thời gian) thành vecto N-chiều
(dữ liệu tần số).

Với
Phép biến đổi DFT được biểu diễn dưới dạng ma trận cỡ NxL.

Có thể viết DFT()= X() = . (2.1)
11


Với A là ma trận DFT với các phần tử được xác định như sau:
= e-2πi. =( với được gọi là hệ số twiddle). (2.2)
Với 0 ≤ m ≤ N-1 và 0 ≤ n ≤ L-1.
 A= (2.3)
Biến đổi Fourier rời rạc được sử dụng để phân tích dữ liệu số.
Là một công cụ xử lý thông tin, tính toán phổ tần số của tín hiệu.
 Đệm Zero: Hầu hết các vấn đề liên quan đến DFT đều giả sử rằng
L=N. Nếu L< N, có thể đệm thêm (N – L) zero tại cuối chuỗi dữ
liệu để làm cho nó có chiều dài N. Nếu L > N, ta có thể giảm chiều
dài chuỗi dữ liệu xuống N bằng phương pháp giảm Modulo-N.
 Phép giảm Modulo-N( Wrapping): chia tín hiệu x(t) thành những
khối không dẫm lên nhau liên tiếp, có chiều dài N, xếp các khối
N biên theo thời gian
N cộng chúng với N
canh
nhau.
N với khối đầu, và
x0

x1

x2

x1
x2
x3

11

x3


Khi đó, chuỗi tín hiệu thu được là:
(2.4)
= =() (2.5)
2. Các bước tính toán:
Bước 1: xác định các phần tử của ma trận A theo công thức 2.2
Bước 2: nhân ma trận A vào bên phải ma trận x(t) (ma trận tín hiệu theo
thời gian) => ma trận X() là ma trận tín hiệu theo tần số.
Bước 3: đối với các ma trận có kích thước lớn, phức tạp trong việc tính
toán: thực hiện phép giảm Modulo cho ma trận.
III. Biến đổi DFT ngược
Thực hiện phép biển đổi DFT ngược là vấn đề phục hồi tín hiệu
x(t) ban đầu có chiều dài L từ biến đổi DFT của nó (X()), nghĩa
là mối quan hệ ngược lại:
() = ( công thức 2.5)
Khi L > N, ma trận A không thể nghịch đảo, ta thực hiện
phép giảm Modulo-N để đưa về . Lúc này, ma trận DFT tương
ứng là ma trận vuông cấp Nkhả nghịch. Phép biến đổi DFT ngược
như sau:
( 3.1)
11


Ma trận nghịch đảo có thể thu được bằng tính chất unitarity
của ma trận DFT :
(3.2)

Với là liên hợp phức của ma trận ( nếu biểu diễn ma trận
phức = A +i.B, với A và B là 2 ma trận thưc, i là đơn vị ảo => =A
–i.B). Nhân vào 2 vế của (3.2), ta thu được:
(3.3)
Vây, công thức (3.1) có thể viết lại dưới dạng:
(3.4)
IV.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:
Khi khảo sát mẫu tín hiệu vô tuyến, người ta ghi nhận được chuỗi tín
hiệu sau:
Lần 1: x= [2 3]T
Lần 2: x= [2 3 5 2]T
Xác định DFT-2 điểm của lần 1 và DFT-4 điểm của lần 2.
Bài giải.
Đầu tiên ta xác định ma trận A với trường hợp 2 điểm và 4 điểm:
N=2: W2= e = cos( + i.sin( (công thức Euler).
11


 Ma trận A2=.
 Ma trận X= A2.x=
Vậy DFT-2 điểm X=
N=4: W4= e = cos( + i.sin(
 A4==
 X= A4.x= .=
Vậy DFT-4 điểm X=
Ví dụ 2: Xử lý các mẫu có kích thước lớn.

Tiếp tục khảo sát tín hiệu vô tuyến trên, người ta thu được một chuỗi tín
hiệu gồm 8 phần tử:

Hãy tìm DFT-4 điểm của tín hiệu đó.
Bài giải.
Cách 1: Tính trực tiếp trên tín hiệu ban đầu:
Xác định các phần tử của ma trận A:
N=4: W4= e = cos( + i.sin() = -i.
 A8= =
 X= A8.x= .=
11


Cách 2: Tính trên phiên bản wrap mod 4:
Ta chia tính hiệu x thành 2 phần, mỗi phần gồm 4 tín hiệu sau đó cộng 2
phần lại tạo thành :
Phần 1: x1=[2 3 5 2]T
Phần 2: x2=[-2 3 2 5]T
Tín hiệu sau khi giảm Modulo:
=.

Lúc này ma trận DFT-4 điểm là:
=
Tín hiệu theo tần số thu được là:
=.

Ví dụ 3: với chuỗi tín hiệu tần số , hãy tìm ma trận tín hiệu (t) ?
Bài giải
Trước tiên ta xác định ma trận DFT-4 điểm:
=

Ta biểu diễn lại ma trận :
11


 Ma trận liên hợp phức là:

Lúc này, ma trận tín hiệu theo thời gian ta tìm được là:

V. Tài liệu tham khảo:

11


1. Lê Tiến Thường, Xử lý số tín hiệu và Wavelets, Trường Đại Học Bách
Khoa, Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh, 2015, ISBN 978-604-733229-8
2. James P. LeBlanc , Signal Processing & Fourier Analysis , Prof. of
3.

Signal Processing Lulea University of Technology.
Alfred Mertins, Signal Analysis, Time-Frequency Transforms and
Applications, 1999, ISBN 0-470-84183-4

11