Bai cuc tri de thi HSG HT

Câu 6:(HSG Hà Tĩnh2011-2012) Cho x > 1, y > 1. Chứng minh rằng:
x2
y2

�8
y 1 x 1

Hướng dẫn
áp dụng BĐT :

 A  B

2

�4AB
x2
4
y2
y 1
4

1�
1 �4
 x�
 x 1
2

x 1

1�
1 �4

 y �
 y 1
2

y2
4y2
x  1 x2
x2
4x2
y  1 y2

x2
y2
4x2 4 y 2
4x2 4 y 2

� 2  2 �2
.
8
y 1 x 1 y
x
y 2 x2

nen :

�x  1  1
�y  1  1
�
�
Dau "  " � �4 x 2 4 y 2 � x  y  2

�y 2  x 2
�
�
�x, y  1

Câu 6: (HSG Hà Tĩnh2012-2013) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A

1
1
1
 3 3
 3
Với x, y, z > 0 và xyz = 1
3
x  y  1 y  z  1 z  x3  1
3

x  y  1   x  y   x  xy  y
3

3

2

Hướng dẫn

2

  xyz � x  y   2 xy  xy   xyz  xy  x  y  z 

Tuong tu : z 3  y 3  1 �zy  x  y  z  ; z 3  x 3  1 �zx  x  y  z 

1

1

1

x  y z

Suy ra A �xy x  y  z  zy x  y  z  xz x  y  z  xyz x  y  z  1








Max( A)  1 � x  y  z  1

Bài 6: (HSG Hà Tĩnh 2014-2015) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn:
2xy + 6yz + 2xz = 7xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
H

4 xy
9 xz
4 yz



x  2 y x  4z y  z

Hướng dẫn
Từ GT suy ra

2 6 2
  7
z x y

4 xy
9 xz
4 yz
4
9
4
2
1
1





; Dat :  a;  b;  c
1
2
1
4
1

1
x  2 y x  4z y  z
x
y
z



y x z x z y
4
9
4
H


; 2c  3a  2b  7
b  a c  2a c  b
H


Áp dụng BĐT Bunhia dãy 1:
Day 1:

2
a b

;

3
c  2a

;

2
b c

; day 2: a  b; c  2a; b  c
2

� 2
�
3
2
Ta co :  a  b  c  2a  c  b .H ��
. a b 
. c  2a 
. b c �
c  2a
b c
� a b
�
49
49
۳ H

 7;
3a  2b  2c 7
3a  2b  2c  7
�
�

Min(H )  7 � � 2
3
2 � a  b  c  1 � x  2; y  z  1


�
�a  b c  2a b  c

Câu 11(HSG Hà Tĩnh 2015-2016)
Cho hai số không âm a, b thỏa mãn a 2  b 2  a  b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: S 

a
b

a 1 b 1

Hướng dẫn

Áp dụng BĐT Bunhiacopsky

2 a2  b2  � a  b � 2 a  b � a  b � a  b �2
2

2

Mặt khác
a
b
1

1
1


a 1
b 1 a 1 b 1
1
1
Bunhia day 1:
;
a 1
b 1
P  2  S 1

day 2 :

a  1;

b 1
2

� 1
�
1
Ta co :  a b�
2  .P ۳�
. a 1
. b 1� 4
P
�

b 1
� a 1
�
�
a 2  b2  a  b
�
1
�1
� S  2  P �1 � Max (S )  1 � �

� a  b 1
a

1
b

1
�
ab  2
�
�

4
ab2

4
22

1