Đê thi HSG HT 0809

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
HÀ TĨNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008 - 2009

ĐỀ

CHÍNH THỨC Môn Toán
Thời gian làm bài : 150 phút
Ngày thi: 20 / 03 / 2009

Bài 1. a) Giải hệ phương trình:








=++
=++
8
y
x
y
1
x
12
y
x
y
1

x
2
2
b) Ba số
c,b,a
khác 0, thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
1cba
=++
và

1
c
1
b
1
a
1
=++
. Chứng minh:
200920092009
cba
++

1
=
Bài 2. Giải phương trình:
)2x3(x3)2x3(2x
33
−=−+
Bài 3. Từ một điểm A ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AD, AE (D, E

là các tiếp điểm). Tia AO cắt đường tròn tâm O tại B, C (B ở giữa A và C)
Kẻ DH vuông góc với CE tại H. Gọi P là trung điểm của DH. Tia CP cắt
đường tròn tâm O tại Q (Q
≠
C). Gọi giao điểm của AC và DE là I.
a) Chứng minh tứ giác DQIP là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 3 điểm A, D, Q.
Bài 4. Cho đường thẳng d nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ OA vuông góc với d
tại A. Từ A, kẻ các cát tuyến d
1
, d
2
lần lượt cắt đường tròn (O) tại B, C và
D, E ( B ở giữa A và C, còn D ở giữa A và E ). Gọi M, N thứ tự là giao
điểm của các đường thẳng BE và DC với đường thẳng d. Chứng minh
tam giác OMN là tam giác cân.
Bài 5. Các số thực
z,y,x
thoả mãn:
3zyx
444
=++
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P =
).xz(z)zy(y)yx(x
222
+++++
_________ Hết ________
Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: .....................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

HÀ TĨNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008 - 2009

Môn Toán
Thời gian làm bài : 150 phút
Ngày thi: 20 / 03 / 2009

Bài 1. a) Giải hệ phương trình:








=++
=++
8
y
x
y
1
x
12
y
x
y
1
x
2

2
b) Ba số
c,b,a
khác 0, thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
1cba
=++
và

1
c
1
b
1
a
1
=++
. Chứng minh:
200920092009
cba
++

1
=
Bài 2. Giải phương trình:
)2x3(x3)2x3(2x
33
−=−+
Bài 3. Từ một điểm A ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AD, AE (D, E
là các tiếp điểm). Tia AO cắt đường tròn tâm O tại B, C (B ở giữa A và C)
Kẻ DH vuông góc với CE tại H. Gọi P là trung điểm của DH. Tia CP cắt

đường tròn tâm O tại Q (Q
≠
C). Gọi giao điểm của AC và DE là I.
a) Chứng minh tứ giác DQIP là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 3 điểm A, D, Q.
Bài 4. Cho đường thẳng d nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ OA vuông góc với d
tại A. Từ A, kẻ các cát tuyến d
1
, d
2
lần lượt cắt đường tròn (O) tại B, C và
D, E ( B ở giữa A và C, còn D ở giữa A và E ). Gọi M, N thứ tự là giao
điểm của các đường thẳng BE và DC với đường thẳng d. Chứng minh
tam giác OMN là tam giác cân.
Bài 5. Các số thực
z,y,x
thoả mãn:
3zyx
222
=++
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P =
xyzzyx
−++
.
_________ Hết ________
Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: .....................