TOÁN CAO CẤP ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Page:

Love NeverDies

Lời giải:

Hoàng Bá Mạnh

Toán cho các nhà kinh tế
Giải bài tập giáo trình

CHƯƠNG 7
ĐẠO HÀM
VÀ
VI PHÂN

NEU – Winter 2019


1
Bài 1

f   4   lim

f  x   f 4
x4

x 4

 2 x  1  9
2x 1  3

2
1
 lim
 lim

x

4
x

4
x4
2x 1  3 3
 x  4 2x  1  3

 lim



x 4



Bài 2

x 2  5x  4
3
f  x   f 1
x2  2x  1
x 1

f  1  lim
 lim
 lim
 lim 1  1
2
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
 x  1
Bài 3
a) MXĐ: D 

, với mọi x0 

f   x0   lim

f  x   f  x0 
x  x0

x  x0

, ta có:

x  x0
x  x0
2 sin
sin

cos x  cos x0
2
2
 lim
 lim
x  x0
x

x
0
x  x0
x  x0

x  xo
2 .sin x  x0   sin x
 lim
0
x  x0
x  x0
2
2
 f   x    sin x
 sin

b) MXĐ:  0;  . Với mọi x0   0;   ta có:

 x
 x  x0 
ln  
ln  1 


f  x   f  x0 
x0 
x0  1
ln x  ln x0


f   x0   lim
 lim
 lim
 lim

x  x0
x  x0
x  x0 x  x
x  x0
x  x0
x  x0
x  xo
x0
0
. x0
x0

 f  x  

1
x

Bài 4

a)

f  x  là hàm chẵn  f   x   f  x  . Đạo hàm của f  x  tại điểm x0 là: f   x0   lim

f  x   f  x0 

x  x0

Ta có f    x0   lim

f  x   f   x0 
x    x0 

x  x0

x  x0

f  t   f  x0 

  lim

t  x0

t  x0

 lim

x  x0

f  x   f  x0   t  x 

f  t   f  x 0 
 lim
t  x0
x  x0
t  x0

  f   x0 

Như vậy f    x    f   x  hay f   x  là hàm lẻ
b) Làm tương tự ý a)
c) f  x  tuần hoàn chu kì T thì f  x  T   f  x  . Với mọi điểm x0 thuộc MXĐ ta có:

f   x0   lim

f  x   f  x0 
x  x0

x  x0

và f   x0  T   lim

f  x   f  x0  T 

x  x0  T

x   x0  T 

 lim

x  x0  T

f  x   f  x0 
x  T  x0

Đặt z  x  T  x  z  T ; x  x0  T  z  x0 và ta có:

f   x0  T   lim
z  x0

f  z  T   f  x0 
z  x0

 lim
z  x0

f  z   f  x0 
z  x0

 f   x0 

Vậy, f   x  T   f   x  hay f   x  là hàm tuần hoàn chu kì T
Hoàng Bá Mạnh

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies


2
Bài 5

a) y 

5
9
13
2 27 4 112 2 152
x  x  x  y  x 2  2 x 2  x 2
7
11
15

1
 y  3x 2  3ln x  1  2 x 3 .  3x 2  3ln x  1  2 x 2
x

b) y  x 3  3ln x  1
c) y  3x 2 arctan x 
d) y 





x3
1  x2

a x 2  1  2 x  ax  b 
x2 1



ax 2  2bx  a
x2 1

e) y   xe x   sin x  cos x   xe x  cos x  sin x    e x  xe x   sin x  cos x   xe x  cos x  sin x 
 e x  sin x  2 x cos x 

Bài 6

10
a) y  10  arctan x  arctan 9 x 
arctan 9 x
2
1 x
2x 1
b) y  2
x  x 1
c) y   sin x  2sin x ln 2  2 x cos x. ln 2
d)

x
y 

4

 2x2 



2 x4  2x2



4 x3  4 x
2 x4  2x2

x 
x

e) y  2  arcsin  arcsin  2
5
5


f)



2x3  2x
x4  2x2

 x 
5
 
x
1  
5

2

arcsin

x
2
x

arcsin
2
5
5
25  x

2
1
2
2

y   3x  1 3  y  .3  3x  1 3  3
3
3x  1

Bài 7
1

1
 1  sin x  2 1  1  sin x  1
a) y  ln 
 ln 
 ln 1  sin x   ln 1  sin x 



2  1  sin x  2
2
 1  sin x 
1 cos x
1  cos x
cos x
1
 y  .
 .


2
2 1  sin x 2 1  sin x 1  sin x cos x

b) y 



 2 x3 
1 
6 
 1 x 

Hoàng Bá Mạnh



6 x 2 1  x 6  6 x 5 .2 x 3

 2 x 3 

6 
 1 x 

1  x 
6

2



2

 2 x3 
1 
6 
 1 x 

2



6 x 2  6 x8

1  x  1  x 
6

6

2


 4 x6

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU



6x2 1  x2



1  x  1  x
6

6

Trang: Love NeverDies


3
2
 1  x 
2
 1 x 
1  x 




 1 x 
1 x
1 x


2
2
1

x
1
1
 
1 x 
1 x 
c) y  
(MXĐ của y: 1  x  1 )

1 x
2
2
1  x 2 1  x2
1
2 1  x 
1 x
1 x
1 x
1 x
3  2 x  1  4 x 10 x  3
4

2

 3
d) y  3  2 x  1  x. 3
3 2x 1
33 2x 1
3 2x 1
1
2
1 2
x

2
x
a
1 2
x
a2
e) y 
a  x2  .
 . a

a  x2 

 a2  x 2
2
2
2
2
2

2
2
2
2 2 a x
2
2
x
2 a x
2 a x
1 2
a
Bài 8
a) y  3sin3 x  3x.3cos x.sin 2 x  3sin x  3   sin x  cos2 x  9 x cos x sin 2 x

1
3
3
1
2
2
2
2
b) y  ln  x  1  ln  x  3  ln  x  2   ln  x  4 
2
2
2
2
1
3
3

1
y 



x 1 x  3 x  2 x  4
1
1
1 2
c) y  sin  ln x  .cos  ln x   ln x  y  cos2  ln x   sin2  ln x    cos2  ln x 
x
x
x x
1
1


d) y  2 x e 2 x 2 x  1  e 2 x . 2 x  1 
e 2x 2x 1 
e 2x  e 2x
2x
2x
x
1
2 x
x
x
x
x


 arccos 

 arccos
e) y  arccos  x.
2
2
2
2
2
2
2
x
2 4x
4x
4 x
2 1
4









 9  x 

2 
9 x 



2

f)

y 

 9  x2 
1 
2 
9 x 

2















2 x 9  x 2  2 x 9  x 2

9  x 
2





2

 9  x2 
1 
2 
 9 x 

2



36 x

9  x  9  x   9  x 
2

2

2

2

2

 6
 9  x 2 ; x  0
36 x


9  x 2 36 x 2  6 ; x  0
 9  x 2





Bài 9

a) y 



ln 1  x

b) y  e

ln x
x ln  tan x 

2





2 x ln x ln 1  x

2
x
 y  1  x
ln 2 x

2






 

2 x 2 ln x  1  x 2 ln 1  x 2







x 1  x ln x
2

2

1
x


x ln tan x
 y   x ln  tan x   e     ln  tan x   x
 tan x 
2

tan x.cos x 

x
x


  ln  tan x  
 tan x 

sin x cos x 


Hoàng Bá Mạnh

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies

4
ye

c)

d) y  e

x ln  arcsin x 

x ln  arctan x 

 y   x ln  arcsin x   e

 y   x ln  arctan x   e

x ln  arcsin x 

x ln  arctan x 



x
x
  ln  arcsin x  
  arcsin x 
2
1  x arcsin x 




x
x
  arctan x 
  ln  arctan x  
2
1  x arctan x 






Bài 10
2 x  2; x  2

y  2
; 0 x2
2  2 x ; x  0


x  2  y  2

0  x  2  y  0

Tại x  0 :

lim

y  y 0
x 0

x 0

lim

x 0

x 0

Tại x  2 :

lim

lim

x 2
x 2

 lim

22
 0  y  0   0  y  0   2  y không có đạo hàm tại 0
x

 lim

2x  2  2
 lim 2  2  f  2   2

x 2
x 2

 lim

22
 lim 0  0  y  2   0  y  2   y không có đạo hàm tại 2
x  2 x 2 

x 2

y  y 2

x 2

2  2x  2
 lim  2   2  y  0   2
x 0
x

x 0

y  y 2

x 2

 lim
x 0

y  y 0

x  0  y  2

x 2

 2; x  2

Vậy y   0
; 0 x2
2; x  0


Bài 11

x  0  f  x  là hàm sơ cấp nên f  x  liên tục và có đạo hàm tại mọi x  0
1
1
f   x   2 x sin  cos
x
x
x  0 : f  0   0;lim f  x   lim x 2 sin
x 0

lim

f  x   f 0
x 0

x 0

x 0

 lim
x 0

1
1
 0 vì lim x 2  0 và sin  1
x

0
x
x

1
0
1
1
x
 lim x sin  0 vì lim x  0 và sin  1
x

0
x

0
x
x
x

x 2 sin

 f  0  0
1
1

2 x sin  cos ; x  0
Vậy f   x   
x
x

0
; x 0


Bài 12

f 1  12  1 ; lim f  x   lim  2ax  b   2a  b ;
x 1

x 1

 

lim f  x   lim x 2  1

x 1

x 1

f  x  liên tục tại x  1  lim f  x   lim f  x   f 1  2a  b  1
x 1

Hoàng Bá Mạnh

x 1

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies


5
Xét lim

f  x   f 1
x 1

x 1

lim

 lim
x 1

f  x   f 1

x 1

x 1

x2 1
 lim  x  1  2  f 1  2
x  1 x 1

 lim
x 1

2a  x  1
2ax  b  1
2ax  1  2a  1
 lim
 lim
 2a  f 1  2a
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1

f  x  có đạo hàm tại x  1  f 1  f 1  2  2a  a  1  b  1
Vậy, a  1; b  1 thì f  x  liên tục và có đạo hàm tại x  1
Bài 13





df  x   f   x  dx  12 x 3  12 x 2 dx  df 1  24dx

f 1  f 1  x   f 1  f 1  x   7

Δf(1)

df(1)

dx  x  1

=7

= f(2) – f(1) = 16 – 7 = 73

dx  x  0,2

= 7.0,2 = 1,4

= f(1,2) – f(1) = 6,1328

dx  x  0,05

= 7.0,05 = 0,35

= f(1,05) – f(1) = 1,277

Nhận xét: x càng nhỏ thì f  x  càng gần với df  x 
Bài 14
a) dy  ydx 

6x2  6x
dx

2 x 3  3x 2

2 x  1 

tan

1
1
4  1


b) y  
2x 1
2 sin 2 x  1 .cos 2 x  1 sin  x  0,5
tan
4
4
4

 dy 

c) y  ln 3 x  3ln 2 x  6 ln x  6  3ln 2 x  6 ln x  6  ln 3 x

 dy  ln 3 x dx



 



dx
x  0,5





Bài 23

1
1
1
1
2
1
1
a) y   sin 3x  x cos3x  sin 3x  sin 3x  x cos3x  y  cos3x  cos3x  x sin3x  x sin3x
9
3
3
3
9
9
3
3
2x
x
2x
x

1 x2 

 arcsin x 
 x 1  x 2  arcsin x
b) y 
2
2
2
3
3 1 x
3 1 x
1 x
 y  1  x 2 

x2
1 x





c) y  ln x  x 2  a2 

2

1



1 x

x
x 2  a2

2



1 x2  x2 1
1 x

x



x 2  a2

2

 2 1 x2



 ln x  x 2  a2

  y 

1
x 2  a2

Bài 24

1
1
1
ln x
y   2 ln x  2
x
x
x
6
2 9 11 6 ln x
y   4 ln x  4  4  4  4
x
x
x
x
x

a) y 

7

b)

y   2 x  3 2

5

 y  7  2 x  3  2

y 

2
1 2
2
3
ln x  3  3  3 ln x  3
3
x
x x
x
x

3

y  35  2 x  3 2

1

y  105  2 x  3 2

Bài 25

Hoàng Bá Mạnh

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies

6
1

a) y 

 x  2  x  2 
1/ 2

y 
b) y 

 x  2

3



1/ 4 1/ 4

x 2 x 2



1/ 2

 x  2

y  
y  

3

2
1

2 x  1 x  0,5

y  

1/ 4

 x  2

3/ 2

 x  2



4

1

 x  0,5



1/ 4

 x  2

3/ 2

2

y  

6

4

 x  2

y 

2

2

4

 x  2

2

y  

5



 x  0,5

 x  2

5

6

4

3

6

 x  0,5

4

Bài 26
y  k 3ekx

y  k 2 ekx

a) y  kekx
1
b) y  
 x  1

1

y 

 x  1

y  

2

y    k n e kx
n

...

2

 x  1

y

3

 n

 1 .  n  1!

n
 x  1
n

Bài 27

1
1
y  cos  ln x   sin  ln x 
x
x
y  

1
1
1
1
2
cos  ln x   2 sin  ln x   2 sin  ln x   2 cos  ln x    2 cos  ln x 
2
x
x
x
x
x

x 2 y  xy  y   2 cos  ln x    cos  ln x   sin  ln x    sin  ln x   cos  ln x   0 (dpcm)
Bài 28

y   n arcsin x  .cos  n arcsin x  

nx

y 

1  x 
 y  xy  n y 
2

1  x

2

cos  n arcsin x  

3

n
1 x2

cos  n arcsin x 

n2
.sin  n arcsin x 
1  x2

2

 nx

nx

cos  n arcsin x   n2 sin  n arcsin x   

cos  n arcsin x   n 2 sin  n arcsin x   0
2
2
1 x
 1 x


Bài 29
y  e x  16e2 x

y  e x  8e2 x

y  e x  4 e 2 x

(tự thay nốt)

Bài 30

1

y 

x

y 

x 4
2

x

2

4



3

 d2 y  

x

x

2

4



3

dx 2

Bài 31

1
y 
1  x2

y  

2x

1  x 
2

d y
3

2  6x2

1  x 
2

3

2

y  



2 1  x2



2



 2 x.2.2 x 1  x 2

1  x 
2

4



2  6x2

1  x 
2

3

dx 3

Bài 32
Hoàng Bá Mạnh

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies


7
f   x   5x 4  3x 2  6 x  f  1  2

f 1  0

f

f   x   60 x 2  6  f  1  66

4

f   x   20 x 3  6 x  6  f  1  20

 x   120 x  f  4 1  120

f  x   2  x  1  10  x  1  11  x  1  5  x  1   x  1
2

3

4

5

f

5

 x   120  f 5 1  120

(không dư vì f(x) là đa thức)

Bài 33
1

f  x   

f 0  1

2

1  x 

3

 

1
3
f  x   1 x  x2  o x2
2
8

 f  0  

1
2

3

f   x  
4

1  x 

5

 f   0  

3
4

Phần dư Lagrange bị giảm tải nên mình dùng Peano thay

Bài 34

f  x  

f 1  1

f   x  

f

5

10
3

27 x

x 

243 x

 f  x   1

33 x2

 f  1 

8

880
3

1

14

 f

5

 f  1 

10
27

1 

f

1
3

4

x 

f   x   
80
3

81 x

11

 f

4

2
9 3 x5

1  

 f  1  

2
9

80
81

880
243

1
1
5
10
22
2
3
4
5
5
 x  1   x  1   x  1   x  1   x  1  o  x  1 
3
9
81
243
729

Bài 35
f 0  1

f   x   cos x.esin x  cos x. f  x   f   0   1

f   x    sin x. f  x   cos x. f   x 

 f   0   f   0   1

f   x    cos x. f  x   sin x. f   x   sin x. f   x   cos x. f   x   f   0   1  0  0  1  0

 

1
 f  x   1  x  x2  o x3
2
Bài 36

eax  e ax  L 
aeax  ae ax
 lim
2
x 0 ln 1  x 
x 0
1
1 x

a) lim

1  cos ax
1  cos ax  L
a sin ax  L
a2 cos ax a2
 lim

lim


lim

x 0
x 0
x 0
x 0
x sin x
x2
2x
2
2

b) sin x ~ x  lim

  2arctan x
 1 1
c) x   thì ln  1   ~ nên lim
x

 1
 x x
ln  1  
 x
1
ln x  L 
sin x 1
 lim x  lim
.
1
d) lim

x 0 ln  sin x 
x 0 cos x
x 0
x cos x
sin x

Hoàng Bá Mạnh

2
2
  2arctan x
2
 lim
 lim 1  x  lim
2
x 
x

x

1
1
1
 2
1 2
x
x
x

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

 L

Trang: Love NeverDies


8
1

2
ln 1  x   L 
1  x  lim sin  x  lim sin  1  x  .sin  x  1
e) lim
 lim
x 1
x 1
x 1  1  x 
x 1

cot  x
 1  x 
 2
sin  x
m  L
m 1  L 
m  m  1 x m 1
x
mx
m!
 lim

  Lopitan thªm m  2 lÇn   lim x m  0
f) lim x  lim x
x
2
x  a
x  a ln a
x 
x  a ln a
a ln a
Bài 37



1  1  tan 2 x
1
1
x  tan x tan x ~ x
x  tan x  L 

 1

 lim
 lim
 lim
a) lim cot x    lim 
x 0
x 0
x 0
x  x 0  tan x x  x 0 x tan x
x2

2x




 tan 2 x tan x ~ x
x2
 lim
 lim   x   0
x 0
x 0 x
x 0
x
 
 
2 x sin x    L 
2sin x  2 x cos x

 x sin x
lim  x tan x 
 lim 

 lim
 lim
 1


x  /2
x



/2
x


/2
x


/2
2 cos x 
2 cos x
2sin x

 cos x 2 cos x 
 lim

b)



 x  L
1
1

 tan u ~u


4
 lim


c) lim tan 2 x. tan   x   lim tan 2 x.   x   lim
2
x  / 4
x  / 4
2
4

4
 x  / 4 cot 2 x x  / 4 2 1  cot 2 x



d) lim ln x. ln 1  x   lim ln 1   x  1 ln 1  x 
x 1

x 1



 L

 lim
x 1



1
1 x
1

1  x 

ln 1 u  ~ u





lim  x  1 ln 1  x   lim

x 1

x 1

ln 1  x 
1
1 x

 lim 1  x   0
x 1

2

Bài 38
1
ln  e  x   1  L 
1
1
 lim e  x 

a) lim  ln  e  x   1  lim
x 0 x
x 0
x

0
x
1
e
x
x
cos
b) y  1  x  2  ln y  cos
ln 1  x 
2

1
x

 lim ln  e  x   e

1
e

x 0

1
x
x
cos

2 cot
ln 1  x   L 
1 x
2 .
2
lim ln y  lim cos
ln 1  x   lim
 lim
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
1
 x x 1 1  x
2

 sin 2
x
.
cos
2 cos2  x
2
2
x
x
cos
2 cot
 L
2  0 nên lim ln y  0

2  lim  sin  x   và lim
Ta có lim


x 1
x 1
x 1 2
x 1
1 x
2
2


x

Vậy, lim 1  x 
x 1

1

 tan x  x
c) y  

 x 

2

cos

x

2

 e0  1

 tan x 
ln 
x 
 ln y   2 
x

Hoàng Bá Mạnh

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies


9
 tan x 
 tan x  x 
tan x  x
ln 
ln  1 

 ln1 u ~u
tan x  x
x
x
  lim
x

lim ln y  lim  2   lim 
 lim
2
2
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
x
x3
 L

2

1  tan 2 x  1
tan 2 x
1  tan x  1
 lim
 lim
 lim 

2
2
x 0
x

0

x

0
3x
3x
3  x  3
1

 tan x  x 2
Vậy, lim 
 e3

x 0
 x 
1

1 x
e x  x  1  L
d) lim e  x  1  lim
 lim e x  1  2
x 0 x
x 0
x 0
x







e) y  2  x
x



1
x

 ln y 

lim ln y  lim

x 







x



1
x

x 0



 e2



  lim 2
L

x 

x

Vậy, lim 2 x  x



 lim e  x

1
x

x

ln 2  x

x 

x 



ln 2 x  x



x

ln 2  1  L 
2 x ln 2 2  L 
2 x ln3 2

lim

lim
 lim ln 2  ln 2
x  2 x ln 2  1
x  2 x ln 2 2
x 
2x  x

x

 eln2  2

x

2

2


y   arctan x   ln y  x ln  arctan x 





f)

1
2
ln    ln  arctan x   L 
2
1  x arctan x

2

lim ln y  lim x ln  arctan x   lim  
 lim
x 
x 
x 
1
1

 x 
 2
x
x
1

2
 lim

x   1


 x 2  1 arctan x





x



2

Vậy, lim  arctan x   e 
x  



2

Bài 39
a) MXĐ:  0;  y  4 x 
x
y′

1
1
0 x 
x
2
0

bảng dấu của y


1/2





0

Từ bảng => y tăng trên khoảng (1/2; +∞) giảm trên (0;1/2)
y  1  cos x  0 x  y  0  cos x  1  x    k 2 => chỉ bằng 0 trên tập rời
b) MXĐ:
rạc
Do vậy y tăng trên
c) MXĐ:

2
3
3
2
2

y   x  1  x  2   x 2  x  1 x  2   3  x  1  x  2   



  x  1 x  2   x  1 x  2   2 x  x  2   3x  x  1
2





 2  x  1 x  2  3x 2  5x  1
2

Hoàng Bá Mạnh

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies


10

x  1
x 1  0


y  0   x  2  0
 x  2


3x 2  5x  1  0
 x  5  13

6

Dấu của y theo dấu của  x  1  3 x 2  5 x  1

5  13
6
0



x

y



5  13
6
0

1





0



2





0

 5  13
 5  13 

Từ bảng => y tăng trên 
;   ; giảm trên
;1 và 
 6
 6








 5  13 
5  13 
 ;


 và  1;
6 
6 



e x x  e x  x  1 e
y 

 0  x 1  0  x  1
d) MXĐ: \ 0
x2
x2
Dấu của y theo dấu của  x  1
x



x
y

0
||





4

4
y  x 3 6 x  7  x 2
3
3

x  0
x  0
y  0  

x 1  0
x  1



x
y

1
3

6 x  7

2



4  x  6 x  7   x 2 
3 3 6 x  7

2



28 x  x  1
3 3 6 x  7

2

Dấu của y theo dấu của x  x  1

0





giảm trên  ;0  và  0;1

Từ bảng => y tăng trên 1;  ;
e) MXĐ:



1
0

1


0



7/6



0

Từ bảng => y tăng trên  ;0  và 1; 



||

(7/6 vẫn nằm trong MXĐ)

giảm trên (0;1)
f) MXĐ:  1;  

y  1 

x
y

1
x

0 x 0
1 x 1 x

Dấu của y theo dấu của x 1  x 



0

-1




0

Từ bảng => y tăng trên (0; +∞), giảm trên (-1; 0)
x  1
 ln x  0
y  ln 2 x  2 ln x  ln x  ln x  2   0  

2
 ln x  2  0
x  e

g) MXĐ: (0; +∞)

x
y

e-2

0
+

0

Từ bảng => y tăng trên (0; e-2) và (1; +∞);

+∞

1


0

+

giảm trên (e-2; 1)

x  0
y  2 xe  x  x 2 e  x  x  2  x  e  x  0  
x  2
Dấu y′ theo dấu của x(2 – x)

h) MXĐ:

Hoàng Bá Mạnh

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies

11
x

-∞

0


y′

+∞

2

0

+

Từ bảng => y tăng trên (0; 2);



0

giảm trên (-∞; 0) và (2; +∞)

Bài 40

x2

y  1  x 2 

a) MXĐ: [-1;1]

1 x
Dấu của y′ theo dấu của (1 – 2x2)
x
1 / 2
-1
y′

2

-



1  2x2
1 x

0

2

 0  1 2x  0  x  

1/ 2
0

+

1
2

1
-

Từ bảng => y có 1 cực tiểu xCT  1 / 2 , 1 cực đại xCD  1 / 2

b) MXĐ:

y  1 
c) MXĐ:

(Kết luận theo Định lý về điều kiện đủ bậc 1, Giáo trình trọng điểm trang 357.
Ngoài ra các bạn có thể vẽ bảng biến thiên cho rõ)
1
1
2x
y  
 0  x 2  1  x  1
y 
2
2
2 1 x
1  x2





1
1
y 1   0  x  1 là cực tiểu của y
 0  x  1 là cực đại của y
2
2
3 x
3 x
3 x
y  e  3xe  1  3x  e  0  x  1 / 3
y  3  2  3 x  e 3 x

y 1 / 3  3.e1  0  x  1 / 3 là cực đại của y

2x
5x  2
3
0 x 2/5
3x  2
3x  2
Dấu y′ theo dấu của (5x – 2)(3x – 2)
x
-∞
2/5
2/3
0


y′
+
||
+
y  3  3x  2  
2

d) MXĐ:

3

Từ bảng => hàm số có 1 cực đại xcđ = 2/5
y  1

e) MXĐ:



1 cực tiểu xct = 2/3

-∞

y′

+
y 

f) MXĐ:

-1

0



-∞

g) MXĐ:

Hoàng Bá Mạnh





4  5x

2



2

Dấu y′ theo dấu của (2x2 – 2)
+∞

0

5x

Tự kết luận nốt :v

+



 




2
2
4  5 x 2  3 4  5 x  5 x  15 x 
4  5x 2 4  5x 2



12  5 x

 4  5x 
2

3

Dấu của y′ theo dấu của (12 – 5x)
+∞

12/5

0


Từ bảng => hàm số có 1 cực đại xcđ = 12/5
y′



1

3 4  5 x 2  1  3 x 

y  0  12  5x  0  x  12 / 5 .
x



2 x 2  x  1  2 x  2 x  1
2x
2x2  2


y



2
x2  x 1
x2  x  1
x2  x 1

y  0  2 x 2  2  0  x 2  1  x  1

x

+∞



x  0
x  0
1 
1



y  x arctan x   x   x  arctan x    0 
  


2 4
2
4
arctan x 
x  tan  1


4

4
Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies


12
y  arctan x 



x
4 1  x2




y  0   


4

 0  x  0 là cực đại của hàm số

1
 0  x  1 là cực tiểu của hàm số
2
1
1 1
1
1 x2

y  x arcsin x   x 2  


1 x2 
 x
2
2  1  x2 4
4 1  x2 6
y 1 

h) MXĐ:



 



2
2
2
  2x 1  1  x  x



 x  arcsin x   
 x  arcsin x  
6
6


4 1  x2

x  0
x  0

y  0 

arcsin x  
 x  sin   1

6

6 2

y  arcsin x 


6



x
1  x2



y  0   


6

 0  x  0 là cực đại của hàm số

1
1 1
y   
 0  x  là cực tiểu của hàm số
2
3
2
Bài 41
f   x   3  3x 2  0  x 2  1  x  1

a)

f(-1) = -2
f(1) = 2
Vậy, Max f  x   f 1  f  2   2

f(-2) = 2

x 2;3

x 2;3

1 x2 1
 2  0  x2  0  x  1
2
x
x
Max f  x   f 100   f  0,01  100,01

b) f   x   1 
Vậy,

f(3) = 0
Min f  x   f  1  2

x0,01;100

f  1  2

f  0,01  f 100   100,01

Min f  x   f 1  2

x0,01;100

c) y  2 x ln x  2 x  2 x  ln x  1  0  ln x  1  0  x  e 1

 

f e 1  e 2

f  e   e2

f 1  0

 

Min y  x   y e1  e2

Vậy, Max y  y  e   e2

x1;e

x1; e

d) Bài 40-a đã tính được 2 điểm tới hạn là x  

 1  1
=> f 

 2 2

1
 1 
f 
2
2


 1  1
Vậy, Max y  y 

x 1; 1
 2 2

1
2
f  1  f 1  0

1
 1 
Min y  y  


x 1;1
2
2


2
 1  x 

2
1 x 
1 x

2
1





 0 x
e) y 
2
2
2

2
1  x2
1  x   1  x 
 1 x 
 1 x 

1 
 1 1 x 
1 x 



 Max y  y  0   arctan 1 
x0; 1


4

Min y  y 1  arctan 0  0

x0,1

Bài 42
Xét x0 là cực đại của f(x), tức là tồn tại   0 sao cho  x   x0   ; x0    thì f  x   f  x0 
Hoàng Bá Mạnh

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies

13
Nếu x0 là cực đại duy nhất thì  x   a, b  ta luôn có f  x   f  x0  hay max f  x   f  x0 
x a ;b 

Tình huống tương tự nếu x0 là cực tiểu duy nhất của f(x)
Vậy, nếu x0 là cực trị duy nhất của f(x) trên khoảng (a, b) thì nó cũng là cực trị toàn cục
Bài 43
Nếu f″(x) > 0  x   a, b  thì f   x  đơn điệu tăng trên (a,b) => f   a   f   x   f   b 
-

Nếu f   a  . f   b   0  f   x   0 hoặc f   x   0  x   a, b   f  x  không có điểm dừng

-

Nếu f   a  . f   b   0  tồn tại duy nhất điểm x0   a, b  sao cho f   x0   0

=>f(x) có tối đa 1 điểm dừng khi f″(x) > 0, và theo bài 42 thì đây cũng là cực trị toàn cục của f(x)
Tình huồng tương tự khi f″(x) < 0 trên (a,b), lúc này f′(x) đơn điệu giảm trên (a,b)
Bài 44

y  x   
y  x  

4
9
4
9
2


0 2 
 4 1  x   9 x 2  ...  x  2 / 5
2
2
2
x 1  x 
x
1  x 

8
18

 0  x   0,1
3
x 1  x 3

Như vậy, theo kết luận bài 43, x = 2/5 là cực tiểu duy nhất của y trên (0;1) và cũng tại đó, y đạt GTNN
Bài 45
1 x

y   3 x  2 
3

3

 x  2

2

7  4x


3

3

 x  2

2

0 x 

7
4

Bài này mình không y″ vì biểu
thức khá cồng kềnh và hơn nữa là
y″ không luôn dương hoặc luôn
âm trên

Dấu của y′ theo dấu của (7 – 4x)
x

-∞

7/4

y′

+

0

+∞

2


Không tin, em có thể thử :”))



||

Từ bảng => x = 7/4 là cực đại duy nhất của y trên

nên tại đây, y đạt GTLN

Bài 46 (Chưa thi, chưa kiểm tra bao giờ nên mình mạnh dạn bỏ qua)
Bài 47
MPPL  Q  L  

5
3

2

L

 MPPL  L  8  

5
 1,25
4

Ý nghĩa: tại L = 8, khi xài thêm 1 đơn vị lao động thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ 1,25 đơn vị
Tương tự với L = 1000
Bài 48

TC 3Q2  7Q  12
12

 3Q  7 
Q
Q
Q
10
ATC  2Q2  3Q  4 
Q

a) MC  TC  Q   6Q  7

ATC 

b) MC  TC  6Q2  6Q  4
Bài 49
MR  TR  Q   200  6Q

TR  P  Q  P  Q  
Hoàng Bá Mạnh

TR
 200  3Q
Q

 hàm cầu Q 

200 1
 P
3 3

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies


14
Bài 50

Q  500  0,2 p  p  2500  5Q

 TR  pQ   2500  5Q  Q  2500Q  5Q2

MR  TR  Q   2500  10Q

 MR  90   1600

Ý nghĩa: tại Q = 90, nếu sản xuất thêm 1 đơn vị sản lượng thì doanh thu tăng xấp xỉ 1600 đơn vị
Bài 51
a)  d 

dQ p
p
 p2
.   p.

dp Q
3200  0,5 p2 3200  0,5 p2

P < 80 là hiển nhiên vì Q > 0
Không cần quan tâm

2

20
2

2
3200  0,5.20
15
Ý nghĩa: tại p = 20, khi giá tăng 1 (%) thì lượng cầu giảm xấp xỉ 2/15 (%)
Tương tự cho p = 50

b) p  20   d  

Bài 52

Q  a  bp  0  p 

a

b

 d  Q  p 

p
p
 pb
 b.

Q
a  bp a  bp

 d  1 

bp
a
 1  bp  a  bp  2bp  a  p 
a  bp
2b
(1) Tìm đường cầu: p 

Bài 53 Hướng dẫn:

Tương tự cho các trường hợp
ε < -1 và -1 < ε < 0

TR
 500  4Q  Q  125  0,25 p
Q

(2) Tính co giãn → thay p = 300 và giải thích ý nghĩa như bài 51-b
Bài 54  s  Qs  p  .

p
b

Qs a  bp

Bài 55

Q  30  0

   Q   Q2  28Q  60  0  

Q  2  lo¹i 

 Q  30 ;

   2Q  28     30   32  0

Vậy, Q = 30 là cực đại duy nhất của π(Q) nên nó là mức sản lượng tối đa lợi nhuận
Bài 56
a)   TR  TC  2Q3  30Q2  3600Q  5000

   6Q2  60Q  3600  0  ...  Q  20 ;

   12Q  60  0

Vậy, Q = 20 là cực đại duy nhất của π nên nó là mức sản lượng cần tìm
b) Tương tự, các em triển nhé, Q = 40

Bài 57

  TR  TC
   MR  MC  0   5900  20Q    6Q2  8Q  140   0  6Q2  12Q  5760  0  ...  Q  30

   MR  MC  12Q  12  0  Q  0
Vậy, Q = 30 là cực đại duy nhất của π nên nó là mức sản lượng cần tìm
Bài 58 (Đây là dạng bài điển hình mà các em sẽ gặp trong đề kiểm tra, đề thi)

Hoàng Bá Mạnh

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies


15
p  1400  7,5Q  Q 

560 2
 p
3 15

p
2
p
p
 .

Q

15 560  2 p 1400  p
3 15
b. TR  pQ  1400  7,5Q  Q  1400Q  7,5Q2

a.  d  Q  p 

 MR  1400  15Q

  TR  TC
   MR  MC  0  1400  15Q    3Q2  12Q  140   0  3Q2  3Q  1260  0  ..  Q  20
   6Q  3  0 Q  0
Vậy, Q = 20 là cực đại duy nhất của π, nên nó là mức sản lượng cần tìm
Bài 59

TR  pQ  20.12 3 L2  240 3 L2

 

   TR  TC  240 3 L2  40 L  C0

TC  40 L  C0

160
 40  0  3 L  4  L  64
3
L

   

160

3 3 L4

 0 L  0

Vậy, L = 64 là cực đại duy nhất của π, nên nó là mức sử dụng lao động cần tìm
Bài 60



Q  D  p   750  p  p  750  Q  TR   750  Q  Q  750Q  Q2  750.6 L  6 L

TC  14 L  C0

 



2

 4500 L  36 L

   TR  TC  4500 L  50 L  C0

2250
 50  0  L  45  L  2025
L

   

1125

L3

 0 L  0

Vậy, L = 2025 là cực đại duy nhất của π, nên nó là mức sử dụng lao động cần tìm

Hoàng Bá Mạnh

Nhóm: Toán cao cấp – Tài liệu NEU

Trang: Love NeverDies