Phương trình laplace và hàm điều hòa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THÙY TRANG

PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VÀ HÀM ĐIỀU HÒA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Hà Nội – Năm 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THÙY TRANG

PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VÀ HÀM ĐIỀU HÒA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS: ĐỖ HOÀNG SƠN

Hà Nội – Năm 2018

Lời cảm ơn
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo Khoa Toán
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô trong tổ Giải tích đã
giúp đỡ em trong quá trình học tập cũng như đã tạo điều kiện thuận
lợi cho em hoàn thành khóa luận.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, TS Đỗ Hoàng Sơn ở
Viện Toán học, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình trong
quá trình em thực hiện khóa luận.
Trong quá trình nghiên cứu khó tránh khỏi những sai sót và hạn
chế. Rất mong nhận được sự đóng góp từ các thầy cô giáo và bạn đọc
để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 8 tháng 5 năm 2018
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Thùy Trang


Lời cam đoan
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Đỗ Hoàng Sơn,
bài khóa luận của em không trùng với bất kì đề tài nào khác.
Để thực hiện bài khóa luận em đã dựa trên một số tài liệu tham
khảo và xin được trình bày ở trang cuối khóa luận.

Hà Nội, ngày 8 tháng 5 năm 2018
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Thùy Trang

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Ký hiệu và kiến thức phụ trợ

2

1.1

1.2

Kí hiệu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Kí hiệu hình học . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2

Ký hiệu các hàm số . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Ký hiệu đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.4

Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . .

4

Một số kiến thức về giải tích thực . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Định lý Gauss-Green . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Định lý Arzelà-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Tích chập và sự trơn hóa . . . . . . . . . . . . .

6

2 Toán tử Laplace và hàm điều hòa
2.1

8

Toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.1

Định nghĩa hàm điều hòa

. . . . . . . . . . . .

8

2.1.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2

Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3

Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang

3 Bài toán Dirichlet trên hình cầu

14

3.1

Công thức Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.2

Công thức nghiệm đối với hình cầu . . . . . . . . . . .

15

3.3

Tính liên tục H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4 Một số đánh giá trên các hàm điều hòa

21

5 Định lý Harnack và ứng dụng

25

5.1

Định lý Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

5.2

Tính giải tích của hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . .

27

5.3

Một tiêu chuẩn về tính điều hòa . . . . . . . . . . . . .

29

Kết luận

32

TÀI LIỆU THAM KHẢO

33

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang

Lời mở đầu
Phương trình Laplace là phương trình có dạng: ∆u = 0, được
nghiên cứu đầu tiên bởi nhà toán học, nhà thiên văn học người Pháp,
Pierre–Simon Laplace. Phương trình này là một trong những ví dụ
đơn giản nhất về phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai. Tuy
nhiên, nó có vai trò rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học như
các lĩnh vực điện từ, thiên văn học và động lực học chất lỏng.
Mục tiêu của khóa luận này là trình bày một vài phương pháp và

kết quả quan trọng trong lý thuyết về phương trình Laplace. Khóa
luận gồm 5 chương:
Chương 1 “Ký hiệu và kiến thức phụ trợ” nêu ra các ký hiệu được
sử dụng trong bài và một số kiến thức liên quan cơ bản.
Chương 2 “Toán tử Laplace và hàm điều hòa” trình bày về khái
niệm và một số tính chất cơ bản về toán tử Laplace và hàm điều hòa.
Chương 3 “Bài toán Dirichlet trên hình cầu” trình bày về công thức
nghiệm của bài toán Dirichlet trên hình cầu và tính liên tục H¨older
của nghiệm khi điều kiện biên là liên tục H¨older.
Chương 4 “ Một số đánh giá trên các hàm điều hòa” trình bày về
định lý Harnack trên miền tổng quát trong Rn , định lý Liouville và
một số đánh giá khác.
Chương 5 “ Định lý Harnack và ứng dụng” trình bày về định lý
Harnack, tính giải tích của hàm điều hòa, tập không điểm của hàm
điều hòa và điều kiện cần và đủ để một hàm liên tục là điều hòa.

1


Chương 1
Ký hiệu và kiến thức phụ trợ
1.1

Kí hiệu cơ bản

1.1.1

Kí hiệu hình học

• Rn : không gian Euclide thực n chiều, n ≥ 2, với điểm x =

(x1 , ...xn ), xi ∈ R.
• ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) là vectơ tọa độ thứ i.
• U, V và Ω, Ω thường ký hiệu các tập mở của Rn . Ta viết
Ω ⊂⊂ Ω
nếu Ω ⊂ Ω và Ω compact.
• ∂Ω là tập các điểm biên của Ω, Ω là bao đóng của Ω.
• Br (a) := {x ∈ R| |x − a| < r} là hình cầu mở tâm a ∈ Rn , bán
kính r.
• ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn được tính theo công thức:

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang



π n/2


nếu n chẵn,
(n/2)!
ωn =
[n/2]


 2.2π
nếu n lẻ.

n!!
• Ω\Ω := {x ∈ Ω | x ∈
/ Ω }.
1.1.2

Ký hiệu các hàm số

• Nếu u : U → R, ta viết u(x) = u(x1 , ..., xn ) (x ∈ U ).
• Nếu Σ là mặt trơn (n − 1) chiều trong Rn , ta viết
uds
Σ

để ký hiệu tích phân của u trên Σ với độ đo (n − 1) chiều.
• Tính trung bình:
udy =
Br (x)

1
ωn .rn

udy
Br (x)

là trung bình của u trên hình cầu Br (x), và
uds =

1
nωn .rn−1

∂Br (x)

uds
∂Br (x)

là trung bình của u trên mặt cầu ∂Br (x).
1.1.3

Ký hiệu đạo hàm

Giả thiết u : U → R, x ∈ U .
•

∂u
u(x + hei ) − u(x)
(x) = lim
, nếu giới hạn này tồn tại.
h→0
∂xi
h
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

• Di u =

Nguyễn Thị Thùy Trang

∂ 2u
∂u

, Dij u =
, Du = (D1 u, ...Dn u) là gradient của
∂xi
∂xi ∂xj

u.
• Đa chỉ số là bộ n số tự nhiên α = (α1 , ..., αn ), αi ∈ N, với quy
ước

n

αi ; xα = x1 α1 x2 α2 ...xn αn ;

|α| =
i=1

∂ |α| u
D u=
.
∂x1 α1 ∂x2 α2 ...∂xn αn
α

1.1.4

Các không gian hàm

• C 0 (Ω) (C 0 (Ω)): tập các hàm liên tục trên Ω (Ω).
• C k (Ω): tập các hàm khả vi đến cấp k liên tục trong Ω.
• C ∞ (Ω): tập các hàm khả vi vô hạn trên Ω.

1.2
1.2.1

Một số kiến thức về giải tích thực
Định lý Gauss-Green

¯ với B là hình
Định lý 1 (Định lý Gauss-Green). Giả sử u ∈ C 1 (B)
cầu trong Rn . Khi đó
uν i ds (i = 1, 2...n).

uxi dx =
B

(1.1)

∂B

¯
Định lý 2 (Công thức tích phân từng phần). Giả sử u, v ∈ C 1 (B)

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang

với B là hình cầu trong Rn . Khi đó
uxi vdx = −

B

uvν i ds (i = 1, 2...n).

uvxi dx +
B

(1.2)

∂B

¯ với B là hình cầu
Định lý 3 (Công thức Green). Cho u, v ∈ C 2 (B)
trong Rn . Khi đó:
∆udx =

(i)
B

∂B

∂u
ds;
∂ν

DuDvdx = −

(ii)
B

u∆vdx +
B

∂B

(u∆v − v∆u)dx =

(iii)
B

1.2.2

u

(u
∂B

∂v
ds;
∂ν

∂v
∂u
− v )ds.
∂ν
∂ν

Định lý Arzelà-Ascoli

1) Định lý Arzela-Ascoli cho không gian metric

Giả sử X là không gian metric compact, Y là không gian metric đầy đủ với metric d và C(X, Y ) là không gian các hàm liên tục
X −→ Y với metric ρ xác định như sau: ρ(f, g) = max d(f (x), g(x))
X

với f, g ∈ C(X, Y ).
Khi đó một tập con F của C(X, Y ) là compact nếu và chỉ nếu
nó đồng liên tục, bị chặn từng điểm và đóng.
(i) F là đồng liên tục, nghĩa là ∀x ∈ X, ∀ε > 0, tồn tại lân cận
U của x sao cho
d(f (x), g(x)) < ε ∀y ∈ U, f ∈ F.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang

(ii) F là bị chặn từng điểm nếu ∀x ∈ X, {f (x) : f ∈ F } bị chặn
trong Y .
2) Tiêu chuẩn compact Arzela-Ascoli đối với hội tụ đều địa phương
Giả sử {fk }∞
k=1 là một dãy hàm giá trị thực xác định trên miền
Ω ⊂ Rn sao cho với mọi K ⊂⊂ Ω: |fk (x)| ≤ M (k ∈ N, x ∈ K),
với M là hằng số và {fk }∞
k=1 là liên tục đều đồng bậc trên K.
∞
Khi đó tồn tại một dãy con {fkj }∞
j=1 ⊆ {fk }k=1 và một hàm liên

tục f sao cho fkj → f đều trên mỗi tập con compact Ω.
Dãy {fk }∞
k=1 được gọi là liên tục đều đồng bậc nếu ∀ε > 0, ∃ δ(ε) >
0 sao cho |x − y| < δ thì |fk (x) − fk (y)| < ε ∀fk .
1.2.3

Tích chập và sự trơn hóa

Nếu f : Rn → R là hàm khả tích và g : Rn → R là hàm bị chặn, đo
được, thỏa mãn g = 0 thì ta có định nghĩa tích chập giữa f và g
f (y)g(x − y)dy.

f ∗ g(x) :=
Rn

Tích chập cũng có thể định nghĩa được trong trường hợp tập xác định
của f là miền Ω ⊂ Rn và g có giá nằm trong hình cầu B (0). Lúc này,
tích chập được định nghĩa như sau
f ∗ g(x) :=

f (y)g(x − y)dy,
Ω

với mọi x ∈ Ωε := {x ∈ Ω | dist(x, ∂Ω) > ε}.
Một trong các ứng dụng của tích chập là dùng để trơn hóa một
hàm, tức là, tìm một dãy các hàm trơn hội tụ đến hàm ban đầu theo
một nghĩa nào đó.
6

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang

Định nghĩa 1.
(i) Ta xác định η ∈ C ∞ (Rn ) bởi


1

C exp(
)
2
|x|
−
1
η(x) :=


0

nếu|x| < 1,
nếu|x| ≥ 1,

ηdx = 1.

hằng số C > 0 được chọn sao cho
Rn

(ii) Với mỗi ε > 0, đặt

ηε (x) :=

1 x
η( ).
εn ε

Ta gọi η là hàm làm trơn chuẩn. Hàm ηε là C ∞ và thỏa mãn
ηε dx = 1, sup(ηε ) ⊂ Bε (0).
Rn

Định nghĩa 2. Nếu u : Ω → R là khả tích địa phương, ta định nghĩa
hàm trơn hóa của nó là
uε := ηε ∗ u trong Ωε .
Nghĩa là:

ηε (x − y)u(y)dy =

uε (x) =
Ω

ηε (y)u(x − y)dy,
Bε (0)

với x ∈ Ωε .

7


Chương 2
Toán tử Laplace và hàm điều hòa

2.1

Toán tử Laplace

Cho Ω là miền trong Rn và u là hàm thuộc C 2 (Ω). Toán tử Laplace
của u , kí hiệu là ∆u, được định nghĩa bởi
n

Dii u = div Du.

∆u =
i=1

2.1.1

Định nghĩa hàm điều hòa

Định nghĩa 3. Hàm u (x) được gọi là hàm điều hòa tại điểm x0 nếu
u có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục tại x0 và thỏa mãn
∆u = 0
2.1.2

Ví dụ

(i) Mọi phiếm hàm tuyến tính đều là hàm điều hòa.
(ii) Nếu u(x1 , x2 , x3 ) = 3x21 − x22 − 2x23 là hàm điều hòa trên R3 .

8

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang

(iii) Nếu f (z) = u(x, y) + iv(x, y) là hàm chỉnh hình trên tập mở
D ⊂ C thì các hàm u, v là hàm điều hòa trên D.
(iv) Hàm u(x) = |x|2−n

2.2

(n > 2) là hàm điều hòa trên Rn \ {0}.

Định lý giá trị trung bình

Định lý 4 (Định lý giá trị trung bình). Giả sử Ω là một miền trong
Rn và u ∈ C 2 (Ω) thỏa mãn ∆u ≥ 0. Khi đó với mọi hình cầu B =
BR (y) ⊂⊂ Ω , ta có :

u(y) ≤

u(x)dsx ,

(2.1)

u(x)dx,

(2.2)

∂B

và
u(y) ≤
B

trong đó ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn . Dấu “=” xảy ra khi
và chỉ khi u là hàm điều hòa trên B.
Chứng minh. Đặt Φ(r) :=

u(x)dsx =
∂Br (y)

u(y + rz)dsz .
∂B(0,1)

Ta có:
Φ (r) =

Du(y + rz).zdsz
∂B(0,1)

=

Du(x).
∂Br (y)

=
∂Br (y)

=

x−y
dsx
r

∂u
dsx
∂ν

r
∆u(x)dx.
n Br (y)

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang

Do đó Φ là không giảm và ta có:
Φ(r) ≥ lim Φ(t) = u(y).
t→0

Vậy (2.1) được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Φ ≡ 0, tức là ∆u = 0 trên B.
Để chứng minh (2.2), ta đi từ:

nωn ρn−1 u(y) ≤

uds

∂Bρ

Với ρ ≤ R, ta lấy tích phân theo ρ từ 0 đến R
R

R

nωn ρn−1 u(y)dρ ≤
0

(
0

uds)dρ

∂Bρ

ta được
ωn .u(y).Rn ≤

udx
Bρ

1
udx. Vậy (2.2) được chứng minh. Dấu đẳng
ωn R n B
thức xảy ra khi và chỉ khi ∆u = 0 trên B.
suy ra u(y) ≤

Từ chứng minh của định lý giá trị trung bình, ta có định lý sau

Định lý 5. Nếu Ω là miền trong R2 và u ∈ C 2 (Ω) thỏa mãn ∆u ≥ 0
thì với mọi y ∈ Ω, hàm số M (t) := M (u, y)(t) :=

u(x)dsx là lồi
∂Bet (y)

và tăng trên (−∞, T ), ở đó T = log(d(y, ∂Ω)).

Chứng minh. Theo chứng minh của định lý giá trị trung bình, ta có
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

M (t) =

Nguyễn Thị Thùy Trang

1
e2t
∆u(x)dx =
∆u(x)dx,
2 B t (y)
2π B t (y)
e

e

là hàm tăng và không âm. Do đó M (t) là hàm lồi và tăng.
Ta có định lý đảo của định lý 4 như sau

Định lý 6. a) Nếu u ∈ C 2 (Ω) thỏa mãn
u(y) =

1
nωn Rn−1

uds
∂BR (y)

với mỗi hình cầu BR (y) thì u là hàm điều hòa.
b) Nếu u ∈ C 2 (Ω) thỏa mãn
u(y) =

1
ωn R n

u(w)dw
BR (y)

với mỗi hình cầu BR (y) thì u là hàm điều hòa.

Chứng minh. a) Nếu ∆u = 0, tồn tại hình cầu B(y, r) ⊂ U sao cho
∆u > 0 trong hình cầu B(y, r). Nhưng như vậy, với Φ được định nghĩa
như trong chứng minh của định lý 4, ta có
0 = Φ (r) =

r
n

∆u(x)dx > 0

B(y,r)

(mâu thuẫn). Do đó u là hàm điều hòa.
b) Tương tự.

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.3

Nguyễn Thị Thùy Trang

Nguyên lý cực đại

Định lý 7 (Nguyên lý cực trị mạnh). Giả sử hàm u ∈ C 2 (Ω) thỏa
mãn hệ thức ∆u ≥ 0( t.ư. ≤ 0) trong Ω và tồn tại y ∈ Ω sao cho
u(y) = sup u (t.ư. inf u). Khi đó u là hằng số.
Ω

Ω

Nói cách khác, mọi hàm điều hòa khác hằng số trên Ω không thể
đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại các điểm trong Ω.
Chứng minh. Giả sử ∆u ≥ 0 trong Ω, M = sup u và kí hiệu
Ω

ΩM = {x ∈ Ω| u(x) = M }.
Hiển nhiên ΩM là khác rỗng. Hơn nữa từ u là hàm liên tục, ΩM là

đóng trên Ω. Giả sử z là điểm bất kì trong ΩM và áp dụng công thức
giá trị trung bình (2.2) với hàm điều hòa (u − M ) trong hình cầu
B = BR (z) ⊂⊂ Ω. Ta được
0 = u(z) − M ≤

1
ω n Rn

(u − M )dx ≤ 0.
B

Do đó u = M trong BR (z). Từ đó suy ra ΩM là mở trên Ω. Do đó
ΩM = Ω tức u là hằng số.
Thay u bằng −u ta được chứng minh tương tự khi ∆u ≤ 0.
Từ nguyên lý cực trị mạnh, ta nhận được nguyên lý cực trị trên
miền bị chặn sau đây:
Định lý 8 (Nguyên lý cực trị trên miền bị chặn). Giả sử u ∈ C 2 (Ω) ∩
C 0 (Ω) thỏa mãn ∆u = 0 trong Ω. Khi đó, nếu Ω là bị chặn thì mọi

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang

x∈Ω
inf u ≤ u(x) ≤ sup u.
∂Ω

∂Ω

Hệ quả 1. Cho u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) thỏa mãn ∆u = ∆v trong Ω,
u = v trên ∂Ω. Khi đó u = v trong Ω.
Chứng minh. Giả sử w = u − v. Khi đó ∆w = ∆u − ∆v = 0 trong Ω
và w = 0 trên ∂Ω. Do đó w là hàm điều hòa. Áp dụng định lý trên,
ta có
inf u ≤ w(x) ≤ sup u, x ∈ Ω,
∂Ω

∂Ω

suy ra w = 0 trong Ω, tức là u = v trong Ω.

13


Chương 3
Bài toán Dirichlet trên hình cầu
Mục tiêu của chương này là trình bày về bài toán Dirichlet của phương
trình Laplace trên hình cầu


∆u = 0 trên BR (0),

(3.1)


u = ϕ trên ∂BR (0).

3.1

Công thức Poisson

Gọi ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn . Với mỗi y ∈ Rn , hàm Γ
xác định bởi





1
|x|2−n nếu n > 2,
Γ(x) = Γ(|x|) = n(2 − n)ωn

1

 log |x| nếu n = 2,
2π
được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace. Hàm này thỏa
mãn tính chất ∆Γ = 0 trên Rn \ {0} và
∆(Γ ∗ f ) = Γ ∗ ∆f = f,

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang

với mọi f ∈ C 2 (Rn ).
Với mỗi R > 0, hàm Green trên BR = BR (0) được định nghĩa bởi
GR (x, y) = Γ(x − y) − Γ((x − y)|x|/R),
với mọi x, y ∈ BR , x = y. Ở đây x = R2 x/|x|2 . Chú ý rằng |x −
y|/|x − y | = |y|/|x|. Do đó, ta cũng có
GR (x, y) = Γ(x − y) − Γ((x − y )|y|/R),
với mọi x, y ∈ BR , x = y. Nói riêng, GR là điều hòa theo x trên BR \{y}
với mỗi y cố định.
Nhân Poisson được định nghĩa bởi
∂G(x, y)
R2 − |x|2
P (x, y) =
=
,
∂ny
nωn R|x − y|n
trong đó y = 0 và ny = y/|y|.
Nếu u ∈ C 2 (BR ) thì ta có công thức sau, được gọi là công thức Poisson,
u(x) =

GR (x, y)∆u(y)dy +
BR

P (x, y)u(y)dsy .
∂BR (0)

Nói riêng, nếu u = 1 thì ta có công thức
P (x, y)dsy = 1.

(3.2)

∂BR

3.2

Công thức nghiệm đối với hình cầu

Định lý 9. Cho B = BR (0) và ϕ là hàm liên tục trên ∂B. Khi đó
hàm u xác định bởi

ϕ(y)dsy
R2 − |x|2



nωn R ∂B |x − y|n
u(x) =


ϕ(x)
15

x∈B
(3.3)
x ∈ ∂B,


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang

thuộc C ∞ (B) ∩ C 0 (B) và thỏa mãn ∆u = 0 trong B.
Chứng minh. Công thức của hàm u trên B có thể viết lại thành
u(x) =

P (x, y)ϕ(y)dsy .
∂B

Do P (x, y) khả vi vô hạn theo biến x trên B với mọi y ∈ ∂B, ta suy
ra u khả vi vô hạn trên B với các đạo hàm được xác đinh bởi công
thức
Dα u(x) =

Dα P (x, y)ϕ(y)dsy ,
∂B

với mọi α ∈ Nn . Ở đây, mọi đạo hàm đều lấy theo x. Từ định nghĩa
của P và do hàm Green là điều hòa theo biến x, ta suy ra P là hàm
điều hòa theo biến x. Cho nên ta có ∆u = 0 và suy ra u là hàm điều
hòa.
¯ Giả sử x0 ∈ ∂B
Cuối cùng, ta cần chứng minh u liên tục trên B.
và ε là số dương tùy ý. Chọn δ > 0 sao cho |ϕ(x) − ϕ(x0 )| < ε nếu
δ
|x − x0 | < δ và giả sử |ϕ| ≤ M trên ∂B. Khi đó nếu |x − x0 | < , từ
2
(3.3) và (3.2) ta có:
|u(x) − u(x0 )| = |

P (x, y)(ϕ(y) − ϕ(y0 ))ds|

∂B

≤

P (x, y)|ϕ(y) − ϕ(y0 )|ds +
|y−x0 |≤δ

P (x, y)|ϕ(y) − ϕ(y0 )|ds
|y−x0 |>δ

2

2

n−2

2M (R − |x| )R
.
( 2δ )n
Nếu |x − x0 | đủ nhỏ sao cho |u(x) − u(x0 )| < 2ε và từ đó u là liên tục
≤ε+

tại x0 .
Ta có điều phải chứng minh.

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang

Chú ý 1. (i) Từ định lý trên và nguyên lý cực đại, bài toán Dirichlet
trên hình cầu có duy nhất nghiệm.
(ii) Nếu điều kiện biên thỏa mãn tính chất bất biến đối với phép hoán
vị, nghĩa là
ϕ(x1 , ..., xn ) = ϕ(xσ(1) , ..., xσ(n) )
thì nghiệm cũng thỏa mãn tính chất bất biến đối với phép hoán vị.
(iii) Định lý trên còn chỉ ra được rằng, nếu u là hàm điều hòa trên
một tập mở Ω ⊂ Rn thì u là khả vi vô hạn. Hơn nữa, với mọi α ∈ Nn ,
do Dα (∆u) = ∆(Dα u) = 0, ta có Dα u) cũng là hàm điều hòa.

3.3

Tính liên tục H¨
older

Một hàm u : W → R xác định trên tập con W của Rn được gọi là liên
tục H¨older cấp γ với 0 < γ ≤ 1 nếu và chỉ nếu tồn tại C > 0 sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ ,
với mọi x, y ∈ W . Nếu γ = 1, hàm thỏa mãn tính chất trên còn được
gọi là liên tục Lipschitz. Nếu một hàm thỏa mãn tính chất trên với
γ > 1 thì hàm đó phải là hàm hằng.
Mục tiêu của phần này là giới thiệu một chứng minh của định lý sau:
Định lý 10. Nếu ϕ là liên tục H¨older cấp γ trên ∂BR với 0 < γ ≤ 1
thì nghiệm u của bài toán Dirichlet là liên tục H¨older cấp a trên BR
với mọi 0 < a < γ.
Trước tiên, ta cần bổ đề sau, còn được gọi là bất đẳng thức Harnack
trên hình cầu

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang

Định lý 11. Giả sử u là hàm không âm xác định trên hình cầu BR (z).
Khi đó nếu u liên tục và điều hòa thì ta có bất đẳng thức sau:
(R − r)n 1
(R + r)n 1
.
u(z) ≤ u(0) ≤ 2
.
u(z) , ∀z ∈ BR (y).
R2 − r2 Rn−2
R − r2 Rn−2
Chứng minh. Áp dụng công thức nghiệm trong hình cầu (3.3), ta được
R
ϕ(y)dsy
u(0) =
nωn ∂B |x|n
R 1
=
.
ϕ(y)dsy
nωn Rn ∂B
1
ϕ(y)dsy ;
=

nωn Rn−1 ∂B
R2 − |z|2
u(z) =
nωn R

ϕ(y)dsy
.
|x − z|n
∂B

Đặt |z| = r, do bất đẳng thức |x| − |z| ≤ |x − z| ≤ |x| + |z| nên
R2 − r 2
nωn R

ϕ(y)dsy
R2 − r 2
≤ u(z) ≤
(R + r)n
nωn R
∂B

ϕ(y)dsy
.
(R − r)n
∂B

Kết hợp với u(0), ta được:
(R − r)n 1
(R + r)n 1
.

u(z) ≤ u(0) ≤ 2
.
u(z).
R2 − r2 Rn−2
R − r2 Rn−2

Từ bất đẳng thức Harnack, ta có hệ quả quan trọng sau đây
Hệ quả 2. Cho u là hàm điều hòa trong BR và liên tục trên BR . Khi
đó tồn tại C > 0 chỉ phụ thuộc vào n sao cho với mọi 0 < r < R/2
(max u − min u) ≤
∂Br

∂Br

C.r
(max u − min u).
∂BR
R ∂BR

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thùy Trang

Chứng minh định lý 10. Bằng cách thực hiện một phép vị tự, ta có
thể giả sử R = 1. Cố định 0 < a < γ. Ta chứng minh định lý theo các
bước như sau
Bước 1: Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại C1 chỉ phụ thuộc vào n, a, ϕ

sao cho, với mọi 1/2 < r < 1 và x0 ∈ ∂B1 ,
|ϕ(x0 ) − u(rx0 )| ≤ C1 (1 − r).

(3.4)

Thật vậy, với mọi x0 , y ∈ ∂B1 và 1/2 < r < 1, ta có
|rx0 − y|2 = (1 + r2 ) − 2rx0 .y = (1 − r)2 + r|x0 − y|2 .
Do đó
1 − r2
(ϕ(x0 ) − ϕ(y))dsy
|ϕ(x0 ) − u(rx0 )| = |
|
nωn ∂B1
|rx0 − y|n
1 − r2
|ϕ(x0 ) − ϕ(y)|dsy
≤
nωn ∂B1
|rx0 − y|n
1 − r2
Cγ |x0 − y|γ dsy
≤
nωn ∂B1 max (1 − r), |x0 − y|/2
2n+a (1 − r)a
Cγ dsy
≤
n−1−γ+a
nωn
∂B1 |x0 − y|
≤ C1 (1 − r)a ,

ở đó Cγ > 0 tồn tại do tính liên tục H¨older của ϕ, và bất đẳng thức
cuối cùng đạt được do tính khả tích của |x0 − y|−n+1+γ−a trên mặt cầu
∂B1 .
Bước 2: Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại C2 chỉ phụ thuộc vào n, a, ϕ
sao cho, với mọi x ∈ B1 và y ∈ ∂B1 ,
|u(x) − ϕ(y)| ≤ C2 |x − y|a .

19

(3.5)