Dưới vi phân và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

DƯỚI VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

DƯỚI VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN QUỐC TUẤN

HÀ NỘI – 2018


Mục lục

Lời mở đầu

1

Lời cảm ơn

4

Lời cam đoan

5

Bảng ký hiệu

6

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

7

1.1

Hàm lồi và một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . .

7

1.2

Tính nửa liên tục dưới và liên tục lipschitz của hàm lồi

13

1.2.1

Tính nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2

Liên tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Xấp xỉ theo hàm affine . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3

2 DƯỚI VI PHÂN

19

2.1

Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Một số tính chất cơ bản của dưới vi phân . . . . . . . .

21

2.3

Phép toán dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3 ỨNG DỤNG

31

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

3.1

Ứng dụng trong sự biểu diễn của các hàm lồi epi-pointed 31

3.2

Ứng dụng: Tính lồi của hàm epi-pointed . . . . . . . .

36

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

LỜI MỞ ĐẦU
Trong giải tích, lớp hàm khả vi tương đối hạn hẹp. Kết quả nghiên
cứu trên lớp hàm này chưa đủ để giải quyết các bài toán theo yêu cầu
của thực tế. Do đó, chúng ta cần nghiên cứu những lớp hàm rộng hơn.
Từ đó, sinh ra khái niệm dưới vi phân và lớp hàm khả dưới vi phân.
Khái niệm dưới vi phân của hàm lồi được Jean Jacques Moreau và R.
Tyrrell Rockafellar đưa ra đầu tiên vào những năm sáu mươi của thế
kỷ 20 với nội dung: "Cho hàm lồi f : Rn → R. Một vector p ∈ Rn
được gọi dưới gradient của f tại x0 nếu
p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x0 ), ∀x ∈ Rn .
Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân

của f tại x0 ". Trong năm 1970, R.T.Rockafellar cũng đã cho xuất bản
cuốn sách "Convex analysis" trong đó chỉ rõ dưới vi phân là gì cũng
như các phép toán dưới vi phân như thế nào. Đến đầu những năm
1980, Ông cũng đưa ra khái niệm dưới vi phân tổng quát đối với hàm
không lồi với nội dung: "Cho hàm f : Rn → R (không nhất thiết phải
lồi) thì dưới vi phân của f tại x là tập các vector s thỏa mãn
f (y) ≥ f (x) + s, y − x , ∀y ∈ Rn ."
Sau đó, các tính chất của dưới vi phân và các phép tính dưới vi phân
cũng tiếp tục được các nhà khoa học khác nghiên cứu. Khái niệm dưới
vi phân ra đời mở ra một kỷ nguyên mới, kỷ nguyên phát triển rực
rỡ, kỷ nguyên của giải tích không trơn.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

Trong thực tiễn, ta bắt gặp rất nhiều các bài toán với đối tượng
là hàm không khả vi. Những bài toán này đã làm cho các nhà khoa
học lúng túng, đau đầu khi giải quyết chúng thì khi khái niệm dưới vi
phân ra đời, nó đã trở thành một công cụ đắc lực cho chúng ta nghiên
cứu các bài toán trên một cách dễ dàng hơn.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về dưới vi phân của hàm lồi và
ứng dụng của nó vào việc biểu diễn các hàm lồi đặc biệt, cũng là để
tích lũy kinh nghiệm cho bản thân, phục vụ công tác học tập, giảng
dạy sau này, đồng thời giới thiệu cho các bạn sinh viên có cái nhìn
tổng quát và sâu sắc hơn về dưới vi phân hàm lồi và ứng dụng của nó.
Tôi mạnh dạn chọn đề tài "Dưới vi phân và ứng dụng" để hoàn
thành Khóa luận tốt nghiệp.

Khóa luận này được hoàn thành dựa trên bài báo [2]. Trong đó,
hệ thống lại các khối kiến thức cơ bản về hàm lồi, dưới vi phân của
hàm lồi cũng như các phép toán cơ bản của dưới vi phân. Ngoài ra
còn trình bày lại các ứng dụng của dưới vi phân.
Ứng dụng 1: Biểu diễn các hàm ”epi − pointed” với hàm ”epi −
pointed” được hiểu là "Một hàm chính thường nửa liên tục dưới f :
X → R ∪ {+∞} được gọi là epi − pointed nếu int (dom f ∗ ) = ∅."
Ứng dụng 2: Sử dụng dưới vi phân để chứng minh tính lồi của hàm
”epi − pointed” thông qua mệnh đề: "Giả sử không gian Banach X có
tính chất Radom-Nikodym. Cho x0 ∈ dom ∂f thì với mỗi x ∈ X, ta
có
n−1

x∗i , xi+1 − xi + x∗n , x − xn

0

convf (x) = f (x ) + sup
i=0

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

trong đó giá trị lớn nhất được cho trên tất cả các số nguyên n, tất cả
x1 , x2 , . . . , xn thuộc dom ∂f và tất cả x0 ∗ ∈ ∂f (x0 ), xj ∗ ∈ ∂f (xj )."
Khóa luận của tôi gồm ba chương.

Chương 1 "Một số kiến thức chuẩn bị" trình bày những kiến thức
cơ bản về hàm lồi và một số kiến thức liên quan để sử dụng cho việc
tìm hiểu "dưới vi phân".
Chương 2 "Dưới vi phân" trình bày dưới vi phân của hàm lồi và
một số tính chất cũng như phép toán cơ bản của nó.
Chương 3 "Ứng dụng" trình bày một số ứng dụng của dưới vi phân
vào sự biểu diễn các hàm lồi đặc biệt.
Mặc dù khóa luận đươc hoàn thành với sự cố gắng của bản thân,
song do thời gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới đối với bản thân
tôi, nên trong quá trình làm khóa luận không tránh khỏi những thiếu
sót. Tôi mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn
để khóa luận được hoàn thiện hơn.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

LỜI CẢM ƠN
Tác giả luận văn chân thành cảm ơn ThS. Nguyễn Quốc Tuấn đã
tận tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận
này.

Hà Nội, ngày 13/04/2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Hoàng Anh

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp của tôi dược hoàn thành dựa trên bài báo [2]
cùng với sự tổng hợp, tham khảo và kế thừa thành quả thành quả của
các nhà khoa học khác. Tôi cam đoan đề tài "Dưới vi phân và ứng
dụng" không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.
Hà Nội, ngày 13/04/2018
Sinh viên
Nguyễn Thị Hoàng Anh

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

BẢNG KÝ HIỆU
R

Tập tất cả cá số thực.

Rn

Tập tất cả các vector có n chiểu.

·, ·

Tích vô hướng giữa các phần tử.

cl C

Bao đóng của C.

int C

Phần trong của C.

conv E

Bao lồi của E.

cone E

Nón sinh bởi tập E.

ri C

Phần trong tương đối của tập C.

convC

Bao lồi đóng của tập C.

exp C

Tập các điểm tiếp xúc mạnh của C.

dom f

Miền hữu hiệu của f .

epi f

Tập trên đồ thị của f .

∂f

Dưới vi phân của f .

6


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN
BỊ
1.1

Hàm lồi và một số tính chất cơ bản

Định nghĩa 1.1. Cho S ⊂ Rn và hàm f : S → [−∞, +∞]. Khi đó,
các tập

dom f = {x ∈ S| f (x) < +∞} ,
epi f = {(x, α) ∈ S × R| f (x) ≤ α}
tương ứng được gọi là miền hữu hiệu và tập trên đồ thị của hàm f .
Nếu dom f = ∅ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ S thì ta nói hàm f là
hàm chính thường.
Hàm f : S → [−∞; +∞] được gọi là hàm lồi nếu epi f là tập lồi
trong R × Rn .
Hàm f được gọi là lõm trên S nếu −f là lồi.
Hàm f được gọi là affine trên S nếu f là hữu hạn và vừa lồi vừa
lõm.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

Nhận xét 1.1. Cho S là tập lồi trong Rn , hàm f là hàm lồi khi và
chỉ khi với mọi x1 , x2 ∈ S và λ ∈ [0, 1] thì
f (1 − λ) x1 + λx2 ≤ (1 − λ) f x1 + λf x2 .
Tổng quát hơn, hàm f là lồi khi và chỉ khi với mọi tập hữu hạn
x1 , . . . , xk ∈ S và mọi số không âm λ1 , . . . , λk sao cho
Khi đó ta có

k

= 1.

k

i

λi f (xi ).

λi x ) ≤

f(

k
i=1 λi

i=1

i=1

Ví dụ 1.1.1. Cho C là một tập lồi. Các hàm sau là lồi:
i. Hàm chỉ của C

 0,
x∈C
;
δC (x) =
 +∞, x ∈
/C
ii. Hàm tựa của C
sC (x) = sup y, x ;
y∈C

iii. Hàm khoảng cách
dC (x) = inf x− y .

y∈C

Mệnh đề 1.1. Nếu f là hàm lồi phi chính thường thì f (x) = −∞ tại
mỗi điểm trong tương đối thuộc miền hữu hiệu của nó.
Chứng minh. Từ định nghĩa của hàm lồi phi chính thường, ta suy
ra f (x0 ) = −∞ tại ít nhất một điểm nào đó x0 ∈ dom f (trừ khi
dom f = ∅). Nếu x ∈ ri(dom f ) thì có x ∈ dom f sao cho x là điểm
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

trong tương đối của đoạn thẳng [x0 , x ], có nghĩa là tồn tại một số
λ ∈ (0, 1) để x = λx0 + (1 − λ) x . Khi đó f (x ) < +∞, suy ra
f (x) ≤ λf x0 + (1 − λ) f (x ) = −∞.
Suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 1.1. Một hàm giá trị thực f trên khoảng mở là lồi khi và
chỉ khi f liên tục và có đạo hàm bên trái và phải hữu hạn tại mỗi
x ∈ (a, b) tức là tồn tại:
f (x + t) − f (x)
,
t→0
t

f− (x) = lim

f (x + t) − f (x)
.

t→0
t

f+ (x) = lim

Sao cho f+ (x) là không giảm và f− (x) ≤ f+ (x), f− x1 ≤ f+ x2
với x1 < x2 .
Chứng minh. Ta đi chứng minh chiều thuận. Cho f là hàm lồi, nếu
0 < s < t và x + t < b thì điểm (x + s, f (x + s)) thuộc đoạn
[(x, f (x)) , (x + t, f (x + t))], vì vậy ta có
f (x + s) − f (x) f (x + t) − f (x)
≤
.
s
t
f (x + t) − f (x)
là không tăng khi t → 0. Do đó, nó
t
có giới hạn f+ (x) (hữu hạn hoặc −∞). Tương tự, ta cũng có f− (x)
Suy ra hàm t →

tồn tại (hữu hạn hoặc −∞). Ngoài ra, đặt y = x + s, t = s + r, ta có
f (x + s) − f (x) f (y + r) − f (y)
≤
.
s
r
9

(1.1)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

Suy ra f− (x) ≤ f+ (y) với x < y, có nghĩa là f+ (x) là không giảm. Từ
(1.1) ta có
f (y − s) − f (y) f (y + r) − f (y)
≤
,
−s
r
khi đó cho −s → 0, r → 0 ta được f− (y) ≤ f+ (y). Đặt x = x1 và
y + r = x2 , từ (1.1) ta có
f x1 + s − f x1
f x2 − r − f x2
≤
.
s
−r
Khi đó cho s, r → 0, ta được f− x1 ≤ f+ x2 với x1 < x2 .
Ta đi chứng minh chiều đảo. Giả sử rằng, hàm f có tất cả các tính
chất của mệnh đề trên và cho a < c < d < b. Ta đi xét hàm
g(x) = f (x) − f (c) − (x − c)

f (d) − f (c)
.
d−c

Từ đó, cho mọi x = (1 − λ) c + λd, ta có
g (x) = f (x)−f (c)−λ [f (d) − f (c)] = f (x)−[(1 − λ) f (c) + λf (d)] .
Khi đó để chứng minh tính lồi của f , ta cần chỉ ra rằng g(x) ≤ 0
với mọi x ∈ [c, d]. Giả sử ngược lại, max g (x) là dương. Lấy e ∈ [c, d]
[c,d]

mà tại đó g (·) đạt giá trị lớn nhất. Ta có g (c) = g (d) = 0, (do đó
c < e < d). Từ dạng biểu thức của g (·) thì g(·) có tính chất giống với
f (·), cụ thể là tồn tại g− (·) , g+ (·) tại mỗi x ∈ [c, d], g− (x) ≤ g+ (x),
g+ (·) là hàm không giảm và g− x1 ≤ g+ x2 với x1 ≤ x2 . Khi đó,
g(e) ≥ g (x) với mọi x ∈ [c, d], ta có
g− (e) ≥ 0 ≥ g+ (e) .

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

Vì vậy
g− (e) = g+ (e) = 0.
Do đó g+ (·) là hàm không giảm, với mọi x ∈ [e, d]. Nếu g− (y) ≤ 0 tại
một số y ∈ [e, d] thì g (x) = 0 tại mọi x ∈ [e, y], từ đó g (y) = g (e) > 0.
Từ g(d) = 0, tồn tại y ∈ (e, d) với g− (y) > 0, lấy x1 ∈ [y, d) là điểm
tại đó g (·) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [y, d]. Nên g+ x1 ≤ 0, mâu
thuẫn với g+ (y) ≥ g− (y) > 0. Do đó g (x) ≤ 0 với mọi x ∈ [c, d].
Hệ quả 1.1. Một hàm thực f khả vi trên một khoảng mở là lồi khi
và chỉ khi đạo hàm f hàm không giảm. Một hàm thực f khả vi hai
lần trên một khoảng mở là lồi khi và chỉ khi đạo hàm cấp hai f luôn

không âm trên khoảng đó.
Mệnh đề 1.2. Một hàm thực f khả vi hai lần trên tập lồi, mở C trong
Rn là lồi khi và chỉ khi vơi mọi x ∈ C ta có ma trận Hessian
∂ 2f
Q(x) = (qij (x)), qij (x) =
(x1 , x2 , . . . , xn )
∂xi .∂xj
là nửa xác định dương, có nghĩa là u, Qx u ≥ 0, ∀u ∈ Rn .
Chứng minh. Một hàm f là lồi trên C khi và chỉ khi với mỗi a ∈ C
và u ∈ Rn thì hàm ϕa,u (t) = f (a + tu) là tập lồi trên khoảng thực mở
{t |a + tu ∈ C }. Mệnh đề ϕ (t) = u, Qx u với x = a + tu. Đặc biệt,
hàm bậc hai
f (x) =

1
x, Q(x) + x, a + a,
2

trong đó Q là ma trận đối xứng cấp n × n, là lồi trên Rn khi và chỉ
khi Q là nửa xác định dương, là lõm trên Rn khi và chỉ khi ma trận
Q là nửa xác định âm.
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

Mệnh đề 1.3. Một hàm lồi chính thường f trên Rn là liên tục tại
mọi điểm trong của miền hữu hiệu.

Chứng minh. Cho x0 ∈ int(dom f ). Từ định lí 1.1, với i = 1, 2, . . . , n
sự hạn chế của f đến khoảng mở

t x◦ + tei ∈ int(dom f )

là liên

tục tương đối trên khoảng này. Do đó, cho bất kì ε > 0 và cho mỗi
i = 1, · · · , n, ta chọn δi > 0 đủ nhỏ để f (x) − f (x0 ) ≤ ε, với mọi
x ∈ −δi ei , δi ei . Cho δ = min {δi |i = 1, ..., n} và B = {x | x

1

≤ δ }.

Kí hiệu ui = δei , ui+n = −δei , i = 1, .., n. Khi đó, với mọi x ∈ B có
2n

dạng x =

2n

i

λi = 1, 0 ≤ λi ≤ 1. Do đó

λi u , với x =
i=1

i=1

2n

λi f (ui ).

f (x) ≤
i=1
2n

λi f (xi ) − f (x0 ) . Cho nên

Tương tự |f (x) − f (x0 )| ≤
i=1
2n

λi f (xi ) − f (x0 ) ≤ ε, ∀x ∈ B

|f (x) − f (x0 )| ≤
i=1

ta chứng minh được f liên tục tại x0 .
Mệnh đề 1.4. Cho f là một hàm giá trị thực trên tập lồi C ⊂ Rn
nếu với mọi x ∈ C, tồn tại một lân cận lồi mở Ux của x, sao cho f là
lồi trên Ux ∩ C thì f là lồi trên C.
Chứng minh. Ta đi chứng minh hàm ϕ(t) = f (a + tu) là lồi với mọi
a ∈ C, u ∈ R2 trên khoảng ∆ := {t |a + tu ∈ C }. Theo giả thiết, hàm
số này lồi trong lân cận của mọi t ∈ ∆, do đó nó liên tục và có đạo
hàm bên trái, đạo hàm bên phải ϕ− (t) ≤ ϕ+ (t) trong lân cận của mọi
12

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

t ∈ ∆. Như vậy, tồn tại đạo hàm và thỏa mãn điều kiện mô tả trong
đinh lí 1.1 trên mọi khoảng ∆. Do đó, ϕ(t) là lồi.

1.2

Tính nửa liên tục dưới và liên tục lipschitz
của hàm lồi

1.2.1

Tính nửa liên tục dưới

Định nghĩa 1.2. Cho hàm số f : Rn → [−∞; +∞]. Các tập hợp
{x|f (x) ≤ α} ,
{x|f (x) ≥ α}
với α ∈ [−∞, +∞] được gọi là tập mức dưới và tập mức trên, tương
ứng, của f .
Định nghĩa 1.3. Một hàm số f từ một tập tới [−∞, +∞] được gọi
là nửa liên tục dưới tại một điểm x ∈ S nếu
lim inf f (y) ≥ f (x).
y→x

Nó được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ S nếu
lim sup f (y) ≤ f (x).
y→x

Một hàm nếu tồn tại cả liên tục trên và liên tục dưới tại x thì được
gọi là liên tục tại x theo nghĩa thông thường.
Mệnh đề 1.5. Tập mức dưới (trên) của một hàm f lồi (lõm) là lồi.
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

Chú ý 1.1. Kết quả ngược lại là không đúng. Ví dụ một hàm giá trị
thực trên trục số thực không giảm có tất cả các tập mức dưới, nhưng
có thể không lồi. Một hàm số f mà mọi tập mức dưới là lồi (hoặc,
tương đương nó thỏa mãn f ((1 − λ)x1 + λx2 ) ≤ max{f (x1 ), f (x2 )} với
mọi λ ∈ (0, 1) và với mọi x1 , x2 ∈ Rn , được nói là gần lồi. Nếu mọi
tập mức dưới là lồi thì f được gọi là hàm gần lồi.
Mệnh đề 1.6. Với bất kỳ hàm chính thường lồi f :
i. Giá trị lớn nhất của f trên đoạn thẳng bất kỳ đạt được tại điểm
cuối của đoạn thẳng;
ii. Nếu f là hữu hạn và bị chặn trên một nửa đường thẳng thì giá
trị lớn nhất của nó trên nửa đường thẳng đó đạt được tại gốc của nửa
đường thẳng;
iii. Nếu f là hữu hạn và bị chặn trên một tập afin thì nó là bất biến
trên tập đó.
Chứng minh. i. Có ngay từ mệnh đề 1.5
ii. Nếu f (b) > f (a) thì với bất kì x = b + λ(b − a) với λ ≥ 0, ta có
b=

1
1+λ x

+

λ
1+λ a,

do đó
(1 + λ)f (b) ≤ f (x) + λf (a),

(với bất kỳ f (x) < +∞), tức là
f (x) ≥ λ[f (b) − f (a)] + f (b),
nghĩa là f (x) → +∞ khi λ → +∞. Vì thế, nếu f là hữu hạn và bị
chặn trên bởi một nửa đường thẳng tại gốc a, thì phải có f (b) ≤ f (a)
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

với mọi b thuộc nửa đường thẳng này.
iii. Cho M là một tập affine mà trên đó f hữu hạn. Nếu f (b) > f (a)
với a, b ∈ M , thì bởi ii. f không bị chặn trên nửa đường thẳng trong
M từ a đến b. Vì thế, nếu f bị chặn trên M , thì f phải là bất biến
trên M .
Định nghĩa 1.4. Cho C là một tập lồi trên Rn , một vector y được
gọi là phương lùi xa của tập lồi C nếu x + αy ∈ C với mọi x ∈ C và
α > 0.
Mệnh đề 1.7. Cho f là một hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới.
Khi đó tất cả các tập mức dưới khác rỗng {x|f (x) ≤ α}, có chung một

nón lùi xa và có chung không gian tuyến tính. Nón lùi xa được tạo
thành bởi 0 và các phương lùi xa của nửa đường thẳng mà trên đó f
bị chặn, trong khi đó không gian tuyến tính là không gian song song
với tập affine mà trên đó f bất biến.
Hệ quả 1.2. Nếu tập mức dưới {x|f (x) ≤ α} của một hàm lồi chính
thường nửa liên tục dưới f là khác rỗng và bị chặn bởi một số α0 thì
nó bị chặn với mọi α.
Chứng minh. Mọi tập mức dưới của f là một tập lồi đóng. Vì thế, nó
bị chặn nếu và chỉ nếu nón lùi xa của nó là tập có duy nhất một phần
tử {0}.
Hệ quả 1.3. Nếu một hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới f bị
chặn trên một nửa đường thẳng thì nó bị chặn trên bởi mọi nửa đường
thẳng song song xuất phát một điểm của dom f . Nếu nó là bất biến
trên một đường thẳng thì nó bất biến trên mọi đường thẳng song song
đi qua một điểm của dom f .
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

Mệnh đề 1.8. Cho f là một hàm lồi chính thường bất kỳ trên Rn .
Với mọi y ∈ Rn , tồn tại t ∈ R sao cho (y, t) thuộc về không gian tuyến
tính của epi f nếu và chỉ nếu
f (x + λy) = f (x) + λt, ∀x ∈ dom f, ∀λ ∈ R.
Khi f là nửa liên tục dưới, điều kiện này được chứng minh thỏa mãn
với x bất kỳ thuộc dom f hàm số λ → f (x + λy) là affine.
1.2.2

Liên tục Lipschitz

Định nghĩa 1.5. Một hàm f sao cho
|f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|
với mọi x và y, trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào x và y,
được gọi là hàm Lipschitz.
Mệnh đề 1.9. Cho f là một hàm lồi trên Rn và D là một đa diện
chứa trong dom f . Thì f là nửa liên tục trên tương đối với D. Vì vậy,
nếu f là nửa liên tục dưới thì f là liên tục tương đối với D.
Định lý 1.2. Cho một hàm lồi chính thường f trên Rn . Các khẳng
định sau là tương đương:
i. Hàm f là liên tục tại một điểm nào đó;
ii. Hàm f bị chặn trên bởi một tập mở nào đó;
iii. Tập int(epi f ) = ∅;
iv. Tập int (dom f ) = ∅ và f là lipschitz trên mỗi tập giới hạn chứa
trong int (dom f );
v. Tập int (dom f ) = ∅ và f liên tục tại đó.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

Chứng minh. i. ⇒ ii. Nếu f liên tục tại một điểm x0 thì tồn tại lân
cận mở U của x0 sao cho f (x) < f (x0 ) + 1 với mọi x ∈ U .
ii. ⇒ iii. Nếu f (x) ≤ c với mọi x thuộc vào tập mở U thì U ×
[c, +∞) ⊂ epi f . Vì vậy, int(epi f ) = ∅.
iii. ⇒ iv. Nếu int(epi f ) = ∅ thì tồn tại một tập mở U và khoảng mở
I ⊂ R sao cho U × I ⊂ epi f , do đó U ⊂ dom f , tức là int (dom f ) = ∅.

Xét tập compact bất kì C ⊂ int(dom f ) và B là hình cầu đơn vị
Euclidean. Với mỗi r > 0, tập C + rB là tập compact và họ của tập
đóng {(C + rB) | int(dom f ), r > 0} giao nhau bằng rỗng. Theo tính
chất compact chặt chẽ của tập C + rB, một số hữu hạn các họ con
của họ trên phải có giao là rỗng. Do đó, với một vài r > 0, ta có
(C + rB) int(dom f ) = ∅, tức là C + rB ⊂ int(dom f ). Theo mệnh đề
1.3 hàm f là liên tục trên int (dom f ). Ký hiệu µ1 và µ2 là giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của f trên C + rB. Cho x, x là hai điểm phân biệt
trên C và cho z = x +

λ(x−x )
x−x .

Có z ∈ C + εB ⊂ int(dom f ). Nhưng

x = (1 − α)x + αz, α =

x−x
.
λ+ x−x

và z, x ∈ dom f , vì thế
f (x) ≤ (1 − α)f (x ) + αf (z) = f (x ) + α(f (z) − f (x ))
và tương đương
f (x) − f (x ) ≤ α(f (z) − f (x )) ≤ α(µ1 − µ2 )
≤ τ x − x ,τ =
17

µ1 − µ2
.

λ


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

Tương tự, ta cũng có f (x ) − f (x) ≤ τ x − x . Vì thế, với mọi x, x
mà x ∈ C, x ∈ C
|f (x) − f (x )| ≤ τ x − x ,
Chứng minh được tính Lipschitz của f trên C.
iv. ⇒ v. và v. ⇒ i. hiển nhiên.

1.3

Xấp xỉ theo hàm affine

Định lý 1.3. Một hàm lồi chính thường đóng f trên Rn là bao hình
trên của họ tất cả các hàm affine h trên Rn tối thiểu f .
Hệ quả 1.4. Mọi hàm f : Rn → [−∞, +∞] đóng trên bao lồi của f
thì bằng bao hình trên của tất cả các hàm affine tối thiểu f .
Mệnh đề 1.10. Mọi hàm lồi, chính thường f có một hàm non affine.
Nếu x0 ∈ int(dom f ) thì hàm non affine h tồn tại chính xác tại x0 ,
nghĩa là h(x0 ) = f (x0 ).

18


Chương 2
DƯỚI VI PHÂN

2.1

Định nghĩa và ký hiệu

Định nghĩa 2.1. Cho một hàm chính thường f trên Rn , một vector
p ∈ Rn được gọi là được gọi là dưới gradient của f tại điểm x0 nếu
p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ Rn .

(2.1)

Định nghĩa 2.2. Tập gồm tất cả các dưới gradient của f tại x0 được
gọi là dưới vi phân của f tại x0 , tức là
∂f (x) = {g : f (x) ≥ f (x0 ) + p, x − x0 }
và được ký hiệu là ∂f (x0 ).

19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

Ví dụ 2.1.1. Cho f (x) = |x|, x ∈ R. Ta có f khả vi trên (−∞, 0) và
(0, +∞). Khi đó

 1, x > 0.
∂f (x) =
 −1, x < 0.
Xét tại x0 = 0, giả sử g ∈ ∂f (0) thì g được xác định bởi bất đẳng thức
f (x) − f (0) ≥ gx ⇔ |x| ≥ gx, ∀x ∈ R.

Xét trường hợp x > 0 thì bất đẳng thức trên tương đương
x ≥ gx ⇔ g ≤ 1.
Xét trường hợp x < 0 thì bất đẳng thức trên tương đương
−x ≥ gx ⇔ g ≥ −1.
Từ đó, ta suy ra g ∈ [−1, 1]. Vì vậy



1,
x > 0.


∂f (x) =
[−1, 1], x = 0.



 −1,
x < 0.
Ví dụ 2.1.2. Cho f (x) = ex − 1. Ta có f khả vi trên (−∞, 0) và
(0, +∞). Khi đó

 ex , x > 0.
∂f (x) =
 0, x < 0.
Xét tại x0 = 0, giả sử g ∈ ∂f (0) thì g được xác định bởi bất đẳng thức
f (x) − f (0) ≥ gx ⇔ ex − 1 ≥ gx, ∀x ∈ R.

20

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH

ex − 1
. Từ đó, ta suy ra g ∈ [0, 1].
Suy ra g ≤
x



ex ,
x > 0.


Vì vậy ∂f (x) =
[0, 1], x = 0.



 0,
x < 0.
Định nghĩa 2.3. Một hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu
∂f (x0 ) = ∅.

2.2

Một số tính chất cơ bản của dưới vi phân

Định lý 2.1. Cho f là hàm lồi chính thường trên Rn . Với bất kỳ tập
bị chặn C ⊂ int(dom f ) thì tập ∪x∈C ∂f (x) là khác rỗng và bị chặn.
Trong trường hợp đặc biệt, ∂f (x0 ) là khác rỗng và bị chặn tại mọi
điểm x0 ∈ int(dom f ).
Chứng minh. Từ mệnh đề 1.10 nếu x0 ∈ int(dom f ) thì f có một hàm
non affine h(x) sao cho h(x0 ) = f (x0 ), nghĩa là
h(x) = p, x − x0 + f (x0 )
với một vài p ∈ ∂f (x0 ). Do đó, ∂f (x0 ) = ∅ với mọi x0 ∈ int(dom f ).
Bây giờ, ta xét tập bị chặn bất kỳ C ⊂ int(dom f ). Từ định lý 1.2
có r > 0 sao cho C + rB ⊂ int(dom f ), trong đó B ký hiệu hình cầu
đơn vị Euclidean. Bằng định nghĩa, với bất kỳ x ∈ C và p ∈ ∂f (x) ta
có p, y − x + f (x) ≤ f (y), ∀y, nhưng theo định lý 1.2 tồn tại γ > 0
sao cho | f (x) − f (y) |≤ γ
| p, y − x | ≤ γ

y−x

y−x

với mọi y ∈ C + rB. Do đó

với mọi y ∈ C + rB, tức là | p, u | ≤ γ

21

u