Hàm lyapunov lồi phân tứ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

ĐOÀN THỊ HÀ

HÀM LYAPUNOV LỒI PHÂN THỨ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

ĐOÀN THỊ HÀ

HÀM LYAPUNOV LỒI PHÂN THỨ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. HOÀNG THẾ TUẤN

HÀ NỘI – 2018


ớ ỡ
r tỹ t ổ õ sỹ t ổ ổ ợ

ỳ sỹ ộ trủ ú ù ũ t ũ trỹ t t
ừ ữớ r sốt tớ tứ t ồ t
ữớ ồ ữủ rt sỹ q t ú
ù ừ qỵ ổ
ợ ỏ t ỡ s s t t ỡ



t t ữợ ổ
ỳ tự ổ ỏ ở số t
ữớ ồ ỳ t ỡ tr ỳ ữớ
trữợ
t ỡ t ổ tr tờ t
t ổ tr ừ t
ữủ ồ t tr sốt tớ ứ q
ỡ ồ ỏ st tố
t t õ
ố ũ ú qỵ ổ ỗ sự ọ t
ổ tr sỹ qỵ
ở t





▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❇➔✐ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✈➲ ✤➲ t➔✐

✧❍➔♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❧ç✐ ♣❤➙♥ t❤ù✧ ✤÷ñ❝

❤♦➔♥ t❤➔♥❤ s❛✉ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ ❤ä✐✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❡♠ ✈î✐
sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ♥❤✐➺t t➻♥❤ ❝õ❛

❚❙✳ ❍♦➔♥❣ ❚❤➳ ❚✉➜♥ ♣❤á♥❣ ①→❝ ①✉➜t

t❤è♥❣ ❦➯ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳
❚r♦♥❣ ❜➔✐ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ❡♠ ❝â t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♠ët sè ♥ë✐ ❞✉♥❣✱
❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ♠ët ❜➔✐ ❜→♦ ♥❣♦➔✐ ♥÷î❝ ✈➔ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❦❤→❝✳
❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❜➔✐ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✱ ❦❤æ♥❣ s❛♦ ❝❤➨♣ ❜➜t
❦➻ ❜➔✐ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔♦ ❦❤→❝✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤à✉ ❤♦➔♥ t♦➔♥ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈î✐ ❧í✐
❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳
❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✵✼ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

✣♦➔♥ ❚❤à ❍➔


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉

✶

✶ P❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳

✹

✶✳✶

❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✷

✣↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✸

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✷ ✣↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ❝õ❛ ❤➔♠ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❧ç✐
✷✳✶

✶✼

×î❝ ❧÷ñ♥❣ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ❧ç✐✿ ❚r÷í♥❣
❤ñ♣ trì♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✷✳✷

P❤➨♣ ①➜♣ ①➾ ♠ët ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ ✤♦ ✤÷ñ❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✷✳✸

×î❝ ❧÷ñ♥❣ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ❝õ❛ ❤➔♠ ❧ç✐✿ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣
tê♥❣ q✉→t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸ ❍➺ ✤ë♥❣ ❧ü❝ ♣❤➙♥ t❤ù ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝✳

✷✺

✷✾

✸✳✶

◆❤ú♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✾

✸✳✷

❚❤✐➳t ❦➳ ✤✐➲✉ ❦✐➸♥ ①➜♣ ①➾✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷

❑➳t ❧✉➟♥

✸✻

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✽
✐✐


✣♦➔♥ ❚❤à ❍➔

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❇❷◆● ❑➑ ❍■➏❯
❑➼ ❤✐➺✉

❚➯♥ ❣å✐

R

❚➟♣ sè t❤ü❝

Rn

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ t❤ü❝ n ❝❤✐➲✉

C

❚➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè ♣❤ù❝

|z|

●✐→ trà t✉②➺t ✤è✐✭♠♦❞✉❧❡✮❝õ❛ sè t❤ü❝ ✭♣❤ù❝✮ ③

·
L1 [a, b]

❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ♠ët ✈➨❝ tì ❤♦➦❝ ♠❛ tr➟♥
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a, b]

Lip0 (X, Rk ) ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③
C([a, b]; X)

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà tr♦♥❣ ❳ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [a, b]

α

❈➜♣ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù

α

❙è ♥❣✉②➯♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❧î♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ α

Iαα+

❚♦→♥ tû t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù ❘✐❡♠❛♥♥✕▲✐♦✉✈✐❧❧❡ ❝➜♣ α

Dαα+

❚♦→♥ tû ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ❘✐❡♠❛♥♥✕▲✐♦✉✈✐❧❧❡ ❝➜♣ α

C

❚♦→♥ tû ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ❈❛♣✉t♦ ❝➜♣ α

Dαα+

Γ(z)

❍➔♠ ●❛♠♠❛

∆V (·)

●r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ❤➔♠ V (·)

x(j) (α)

✣↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ j ❝õ❛ ❤➔♠ ① t↕✐ α✳

✶


▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
P❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐✕t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❧➔ ♠ët ❝æ♥❣ ❝ö ❧þ t÷ð♥❣ ✤➸ ♠æ t↔ ❝→❝ q✉→
tr➻♥❤ t✐➳♥ ❤â❛✳ ❚❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✱ ♠é✐ q✉→ tr➻♥❤ t✐➳♥ ❤â❛ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥
❜ð✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t❤÷í♥❣✳ ❇➡♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✭✤à♥❤ t➼♥❤
❤♦➦❝ ✤à♥❤ ❧÷ñ♥❣✮ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ♥❣÷í✐ t❛ ❝â t❤➸ ❜✐➳t tr↕♥❣
t❤→✐ ❤✐➺♥ t❤í✐ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❞ü ✤♦→♥ ✤÷ñ❝ ❞→♥❣ ✤✐➺✉ ð q✉→ ❦❤ù ❤❛② t÷ì♥❣
❧❛✐ ❝õ❛ q✉→ tr➻♥❤ ✤â✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝→❝ ❤✐➺♥ t÷ñ♥❣ ❤❛② ❣➦♣ tr♦♥❣ ❝✉ë❝
sè♥❣ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❧à❝❤ sû✳ ✣è✐ ✈î✐ ❝→❝ ❤✐➺♥ t÷ñ♥❣ ♥➔②✱
✈✐➺❝ ♥❣♦↕✐ s✉② ❞→♥❣ ✤✐➺✉ ❝õ❛ ♥â t↕✐ ♠ët t❤í✐ ✤✐➸♠ t÷ì♥❣ ❧❛✐ tø q✉→
❦❤ù ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝↔ ✈➔♦ q✉❛♥ s→t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❧➝♥ t♦➔♥ ❜ë q✉→ ❦❤ù✳ ❍ì♥
♥ú❛✱ sü ♣❤ö t❤✉ë❝ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❝ô♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉ ð t➜t ❝↔ ❝→❝ t❤í✐
✤✐➸♠✳ ◆❤ú♥❣ t❤ü❝ t➳ ✈ø❛ ♥➯✉ ❞➝♥ tî✐ ♥❤✉ ❝➛✉ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët ❧þ t❤✉②➳t

tê♥❣ q✉→t ❝❤♦ ❝→❝ t♦→♥ tû ✈✐ ♣❤➙♥ s✐♥❤ r❛ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t
✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ▼ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❧þ t❤✉②➳t ♥❤÷ ✈➟② ✤➣ ✤÷ñ❝ ①➙② ❞ü♥❣ ❧➔ ❣✐↔✐
t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤ù✳
▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐
♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù ❧➔ ❧➼ t❤✉②➳t ✤à♥❤ t➼♥❤✳ ❚r♦♥❣ ✤â ♥❣÷í✐ t❛ ♠✉è♥ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❞→♥❣ ✤✐➺✉ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳ ▼ët ✈➜♥
✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ ❦❤→❝ ❧➔ t❤✐➳t ❦➳ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
♥➔②✳

✷




õ tốt ồ

õ ữỡ tữớ ữủ sỷ ử tr ự tt
t ừ ữỡ tr tự
Pữỡ t t õ
Pữỡ
r tt ờ t t õ ữủ ự tữỡ
ố tt t ữỡ tt ỏ sỡ
tự ổ õ ỵ ồ ử
t tự ừ ổ t t s ừ
t tớ
ởt õ q t t ừ ủ ờ
ổ ỏ ú tự
ử ỳ õ tr t
ữ r ởt tự ừ
ỗ tổ q ữớ t õ t tt

ự qt ữợ ữủ tr
t ự t ờ tt ở ừ
t tt t q tr õ tr
ở õ ỗ
P t t tự
tự ừ ỗ
ở ỹ tự ữủ




❈❤÷ì♥❣ ✶
P❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❧➔ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ tê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
♣❤➙♥ t❤ù✱ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ♥❤ú♥❣ ♥➨t ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ✈✐ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳ ●ç♠
❝→❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➲
❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳
✣↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù✳
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳

✶✳✶ ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳
▼ö❝ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❞➔♥❤ ✤➸ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ sì ❧÷ñ❝ ✈➲ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥
t❤ù✳ ❍✐➸✉ t❤❡♦ ♠ët ♥❣❤➽❛ ♥➔♦ ✤â✱ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù ❧➔ ♠ët ♠ð rë♥❣ tü
♥❤✐➯♥ ❝õ❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❧➦♣ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✳ ❈ö t❤➸✱ ❝❤♦ α > 0 ✈➔

[a, b] ⊂ R✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù ❘✐❡♠❛♥♥✕▲✐♦✉✈✐❧❧❡
❝➜♣ α ❝õ❛ ❤➔♠ x : [a, b] → R ❧➔

Iaα+ x(t)

t

1
:=
Γ(α)

a

✹

x(τ )
dτ
(t − τ )1−α




õ tốt ồ

ợ t [a, b] : (0, ) R>0 õ


t1 exp(t)dt.

() :=
0

ó r tr tr x t tr [a, b] tự
b

|x(t)|dt < t t tự ừ
a

x tỗ t ỡ tr [a, b] ỡ ỳ t t tỷ
t ụ ởt t t ở
ừ ờ s

ờ sỷ x : [a, b] R ởt t tr [a, b]
õ t Ia+ x(t) tỗ t t t [a, b] ỡ ỳ Ia+ x(t) ụ
ởt tở ợ L1 [a, b]
ự t t ữợ
t

+
1

(t )


1 (u) =

1 (t )2 ( )d

x( )d =

+

un1 ,

0,



2 (u) =



x(u),

0,

0u (, 0] (b a, +)

aub
u (, a) (b, +).

ỹ L1 (R) ợ j {1, 2} t s
ú t t r t Ia+ x(t) tỗ t ỡ
t ứ õ t ữ ự

õ tốt ồ

tỷ t tự õ ỳ t t ỡ s

(0, 1) p (1/, ) õ
t (ã ) Lp([a, b]), Rk ) tr (Ia )(t) ữủ ợ
+

ồ t [a, b] (Ia+ )(0) = 0

ỗ t Hp > 0 s t (ã ) Lp([a, b], Rk ) t,
[a, b] ú t õ t tự ữợ
(Ia+ )(t) (Ia+ )( ) Hp (ã ) p |t |


1
p

1
p

= 0 p = t (Ia+ )(ã) C([a, b], Rk ) ợ

ồ (ã ) Lp ([a, b], R)

tỷ Ia

+

: Lp ([a, b], Rk ) C([a, b], Rk ) t t

t Ia+ t tr Lp ([a, b], Rk )
t t t tữỡ ố tr C([a, b], Rk ) õ r

Ia+ t tỷ tử

(ã) Lip0([a, b], Rk ) t (Ia )(ã ) Lip0([a, b], Rk )
ự t q ữủ ự tr
r r t ữủ s r tứ
+

ỵ rs tr Đ r ự

õ t t tr r

t tú ử ú t ợ t ởt tự
ừ t r t tự ừ ởt
ỡ




✣♦➔♥ ❚❤à ❍➔

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳ ❈❤♦

≥ 0✱ ✈➔ ❤➔♠ sè x(· ) ∈ C([0, T ], Rk ) t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t

✤➥♥❣ t❤ù❝✿

λ
|x(t)| ≤ +
Γ(α)

t
0

|x(τ )|
dτ
(t − τ )1−α

✈î✐ t ∈ [0, T ]✳ ❑❤✐ ✤â✱ ∀t ∈ [0, T ]

|x(t)| ≤ Eα (λtα ) ≤ Eα (λT α )
ð ✤➙② Eα (· ) ❧➔ ❤➔♠ ▼✐tt❛❣✕▲❡❢❢❧❡r ♠ët t❤❛♠ sè ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐
∞

Eα (z) :=
k=0

zk
,
Γ(k + 1)

∀z ∈ R.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ ω > 0 ✈➔ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❤➔♠ Φ ✈î✐ Φ(t) := ( +ω)Eα (λtα )✳
❍➔♠ Φ ♥➔② ✤÷ñ❝ ①❡♠ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ Daα+ Φ(t) = λΦ(t) ✈î✐

Φ(0) = + ω ✳ ◆❣❛② ❧➟♣ tù❝ t❛ t❤➜② r➡♥❣ Φ t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
λ
Φ(x) = + ω +
Γ(α)

t

(t − τ )α−1 Φ(τ )dτ.
0

❱î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ❤➔♠ x✱ t❛ ❝â✿

|x(t)| ≤ < + ω = Φ(0).
❚❛ ❝â |x(t)| < Φ(t) ✈î✐ ♠å✐ t ∈ [0, ρ] ✈î✐ ρ > 0✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤✐➲✉
♥➔② ✤ó♥❣ tr➯♥ [0, T ]✱ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔ sû ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ t0
❧➔ sè ♥❤ä ♥❤➜t ✈î✐ t➼♥❤ ❝❤➜t |x(t0 )| = Φ(t0 )✳ ❑❤✐ ✤â ❝❤♦ 0 ≤ t ≤ t0

✼


✣♦➔♥ ❚❤à ❍➔

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
❝❤ó♥❣ t❛ ❝â |x(t)| ≤ Φ(t) ✈➔ ❞♦ ✤â

λ
|x(t0 )| ≤ +
Γ(α)
λ

≤ +
Γ(α)

t0

(t0 − τ )α−1 |x(τ )|dτ

0
t0

(t0 − τ )α−1 |Φ(τ )|dτ

0

λ
< +λ+
Γ(α)

t0

(t0 − τ )α−1 |Φ(τ )|dτ = Φ(t0 ).

0

✣✐➲✉ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣ ✈î✐ sü ❧ü❛ ❝❤å♥ t0 ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ t❛✳ ❉♦ ✤â ❣✐↔ t❤✐➳t
s❛✐ ✈➔ t❛ ❝â ✤÷ñ❝

|x(t)| < Φ(t) = ( + ω)Eα (λtα )
✈î✐ ♠å✐ t ∈ [0.T ]✳ ❈❤♦ ω −→ 0 ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤✳

❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠ ❝ì ❜↔♥✿

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ x(t) = (t − a)β ✱ ð ✤➙② β > −1 ✈➔ t > a✳ ❱î✐ ❜➜t ❦➻
α > 0✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
Iaα+ x(t) =

Γ(β + 1)
(t − a)(α+β)
Γ(α + β + 1)

✈î✐ ♠å✐ t > α✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ❧➼ t❤✉②➳t ❋✉❜✐♥✐✳ ❇➡♥❣ ♣❤➨♣ t❤❛② ✤ê✐ t❤ù tü ❝õ❛

✽


✣♦➔♥ ❚❤à ❍➔

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
♣❤➨♣ ❧➜② t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❦➨♣✳ ❚❛ ❝â✿

Iaα+ x(t)

t
1
=
(τ − a)β (t − τ )α−1 dτ
Γ(α) a
1
1

α+β
(t − a)
=
sβ (1 − s)α−1 ds
Γ(α)
0
Γ(β + 1)
=
(t − a)(α+β)
Γ(α + β + 1)

❚❛ ❝â ✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✳✷ ✣↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù✳
❈ò♥❣ ✈î✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ❧➔ ♠ët
tr♦♥❣ ❤❛✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐✕t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳
❈â ♥❤✐➲✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ✤➣ ✤÷ñ❝ ①➙② ❞ü♥❣✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱
✤↕♦ ❤➔♠ ❘✐❡♠❛♥♥✕▲✐♦✉✈✐❧❧❡ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❈❛♣✉t♦ ✤÷ñ❝ ❞ò♥❣ rë♥❣ r➣✐
❤ì♥ ❝↔✳ ❙❛✉ ✤➙② ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ❤❛✐ ❧♦↕✐ ✤↕♦ ❤➔♠
♥➔②✳
❈❤♦ tr÷î❝ ♠ët sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ α ✈➔ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ [a, b] ⊂ R✳ ◆❣÷í✐
t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ❘✐❡♠❛♥♥✲▲✐♦✉✈✐❧❧❡ ❝➜♣ α ❝õ❛ ❤➔♠

x : [a, b] → R ❧➔
Daα+ x(t) := Dm Iam−α
x(t),
+

t ∈ (a, b],

ð ✤➙② m := α ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❧î♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ α ✈➔

Dm =

dm
dtm

❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣ ❝➜♣ ♠✳

❚r♦♥❣ ❦❤✐ ✤â✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ❈❛♣✉t♦ ❝➜♣ α ❝õ❛ ❤➔♠ x(t) ✤÷ñ❝

✾




õ tốt ồ

C

Da+ x(t) := Iam
Dm x(t),
+

t (a, b].

ố ợ ởt tỡ x(t) = (x1 (t), ..., xd (t))T tự
t ừ x(t) ữủ t tứ ữ s
C

Da+ x(t) := (C Da+ x1 (t), ...,C Da+ xd (t))T .

ú ỵ
ởt số tự t
t tổ tữớ

r trữớ ủ = 0 ú t q ữợ Da0+ C Da0+ t
tỷ ỗ t
x ởt tử tt ố tr [a, b] t
tự t ừ tỗ t
ỡ tr [a, b] ố ợ t t ờ
tự tr ừ t tỷ t tự
ợ tổ tữớ tự ổ õ
t t ỳ õ ử t 1 , 2 số ữỡ t

x ởt tử tt ố tr [a, b] õ õ
ú t õ

Da+1 Da2+ = Da+2 Da1+ = Da1+2
,
+

t [a, b],

r
ú t s õ ố q ỳ t tự

✣♦➔♥ ❚❤à ❍➔

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù✿

❇ê ✤➲ ✶✳✸✳ ❈❤♦ α ≥ 0✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ L1[a, b]✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
Daα+ Iaα+ x(t) = x(t)
✈î✐ ❤➛✉ ❤➳t t ∈ [a, b].
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ α = 0 t❤➻ Daα+ ✈➔ Iaα+ ✤➲✉ ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû
✤ç♥❣ ♥❤➜t✳
❈❤♦ α > 0✳
❈❤å♥ m = α ✳ ❇➡♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ Daα+ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥ú❛ ♥❤â♠ ❝õ❛
t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù t❛ ❝â✿

Iaα+ x(t) = Dm Iam+ x(t) = x(t).
Daα+ Iaα+ x(t) = Dm Iam−α
+
▲ó❝ ♥➔② t❛ ❝â ✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤æ♥❣ ❧➔ t♦→♥ tû ♥❣❤à❝❤
✤↔♦ ♣❤↔✐ ❝õ❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❝❤➾ rã tr♦♥❣ ❜ê ✤➲
❞÷î✐ ✤➙②✳ ◆❤÷♥❣ tr÷î❝ ❤➳t✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✉✿ ✈î✐
♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ m ❝❤♦ tr÷î❝✱ ❦➼ ❤✐➺✉ AC m [a, b] ❧➔ ❧î♣ ❝→❝ ❤➔♠
t❤ü❝ ❤♦➦❝ ♣❤ù❝✱ ❧✐➯♥ tö❝ t✉②➺t ✤è✐ ❝➜♣ m tr➯♥ ✤♦↕♥ [a, b]✱ tù❝ ❧➔ ❝→❝
❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ tî✐ ❝➜♣ m − 1 ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ m − 1 ❧✐➯♥ tö❝
t✉②➺t ✤è✐ tr➯♥ [a, b]✳ ●✐ú❛ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ❘✐❡♠❛♥♥✕▲✐♦✉✈✐❧❧❡
✈➔ ❈❛♣✉t♦ ❝â q✉❛♥ ❤➺ s❛✉✳

❇ê ✤➲ ✶✳✹✳ ❈❤♦ α > 0 ✈➔ ✤➦t m =
✶✶

α ✳ ❱î✐ ❜➜t ❦➻ x ∈ AC m [a, b]✱


✣♦➔♥ ❚❤à ❍➔

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
m−1
C

Daα+ x(t)

=

Dαα+

x(t) −
j=0

(t − α)j (j)
x (α)
j!

✈î✐ ❤➛✉ ❤➳t t ∈ [a, b].
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳❡♠ ❬✼✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✱ ♣✳ ✺✵❪✳
❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ✈➟② ✤è✐ ✈î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ❘✐❡♠❛♥♥✕▲✐♦✉✈✐❧❧❡✱
❝❤ó♥❣ t❛ ❝ô♥❣ ❝â ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ✤è✐ ✈î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù
❈❛♣✉t♦✳

❇ê ✤➲ ✶✳✺✳ ✭✐✮ ❈❤♦ α ≥ 0 ✈➔ x ∈ C([a, b]; X) ð ✤➙② X

= R ❤♦➦❝

X = C✳ ❑❤✐ ✤â✱
C

Daα+ Iaα+ x(t) = x(t)

✈î✐ ♠å✐ t ∈ [a, b]✳
✭✐✐✮❈❤♦ α > 0✱ m = α ✈➔ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ x ∈ AC m [a, b]✳❑❤✐ ✤â✱
m−1

Iaα+ C Daα+ x(t)

= x(t) −
j=0

(t − α)j (j)
x (α)
j!

✈î✐ ♠å✐ t ∈ [a, b]✱ ð ✤➙② x(j) (α) ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ j ❝õ❛ ❤➔♠ x t↕✐ α✳
✣➸ ❦➳t t❤ó❝ ♠ö❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❣✐î✐ t❤✐➯✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ✤↕♦
❤➔♠ ❘✐❡♠❛♥♥✕▲✐♦✉✈✐❧❧❡✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ α ∈ (0, 1)✳ ◆➳✉ x(·) ∈ I0α (L∞([0, T ], Rk ))✱ t❤➻✿
✭❇✳✶✮ ●✐→ trà (D0α )x(t) ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ✈î✐ ♠å✐ t ∈ [0, T ] ✈➔
+

+

(D0α+ x)(·) ∈ L∞ ([0, T ], Rk )✳

✶✷


✣♦➔♥ ❚❤à ❍➔

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

✭❇✳✷✮ ✣➥♥❣ t❤ù❝ (I0α (D0α x))(t) = x(t) ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ✈î✐ ♠å✐ t ∈
+

+

[0, T ]✳

✭❇✳✸✮ ❈❤♦ ϕ(·) ∈ L∞([0, T ], Rk ) ✈➔ x(t) = (I0α ϕ)(t)✱ t ∈ [0, T ] t❤➻
+

ϕ(t) = (D0α+ x)(t) ✈î✐ ♠å✐ t ∈ [0, T ]✳

✭❇✳✹✮ ●✐→ trà (D0α x)(t) ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ✈î✐ ♠å✐ t ∈ [0, T ] ✈➔
+

(D0α+ x)(t)
ð ✤➙② x(t)
˙
=

1
=
Γ(1 − α)

dx(t)
dt , t

t
0

x(τ
˙ )
dτ,
(t − τ )α

t ∈ [0, T ],

✭✶✳✶✮

∈ [0, T ].

✭❇✳✺✮ ❇❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ s❛✉ ✤ó♥❣✿ x(·) ∈ I0α (L∞([0, T ], Rk )) ✈➔ (D0α x) ∈
+

+

∞
k
I01−α
+ (L ([0, T ], R ))✳

◆â✐ r✐➯♥❣ (D0α+ x)(0) = 0✳

✭❇✳✶✮ ✈➔ ✭❇✳✷✮ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✼✱
❚❤❡♦r❡♠❪✳❚➼♥❤ ❝❤➜t ✭❇✳✸✮ ❝❤♦ ♣❤➨♣ tø ✭❇✳✹✮ t❤✉ ✤÷ñ❝ tø ❬✷✸✱ ▲❡♠♠❛
✷✳✶✱ ✷✳✷❪✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✭❇✳✺✮ ❧➔ ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ✭❇✳✹✮✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t

✶✳✸ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳
❈❤♦ α ∈ (0, 1) ✈➔ T > 0 ✱ t❛ ①❡♠ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❈❛✉❝❤② ♠ð ✤➛✉ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù ✈î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❈❛♣✉t♦ ❝➜♣ α

(C Dα x)(t) = f (t, (x(t)), t ∈ [0, T ], x ∈ Rn

✭✶✳✷✮

✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉✿

x(0) = x0 ,

✶✸

x0 ∈ Rn .

✭✶✳✸✮

õ tốt ồ
f : [0, T ] ì Rn Rn tọ
x Rn f (ã , x) ữủ tr [0, T ].
n 0 tỗ t f > 0 s

f (t, x) f (t, y) f x y ợ t [0, T ],

x, y B(r).

ỗ t Cf > 0 s

f (t, x) (1 + x )Cf
ợ t [0, T ], x Rn .

số x : [0, T ] Rn ữủ ồ ừ
x(ã ) {xo } + I0+ (L ([0, T ], Rn )) ữỡ tr
ú ợ t t [0, T ]
é x(ã ) {x0 }+I0+ (L ([0, T ], Rn )) y(ã ) I0+ (L ([0, T ], Rn ))
s x(t) = x0 + y(t) t [0, T ] ữ ỵ r tứ (A1 ) t õ y(0) = 0
õ x(0) = x0 x(ã ) {x0 } + I0+ (L ([0, T ], Rn ))
tọ

ỵ t tr xo Rn tỗ t
t ừ t
ự õ số x : [0, T ] Rn t
x(ã ) C([0, T ], Rn ) tọ
ữỡ tr

1
x(t) = xo +

()

t
0

f (, x( ))
d, ợ t [0, T ].
(t )1








õ tốt ồ

t q õ ừ ự tỗ t t ừ ởt
tử ừ ữỡ tr t
f : C([0, T ], Rn C([0, T ], Rn ) ữủ

1
(F x)(t) = xo +
()

t
0

f (, x( ))

d
(t )1

ợ t [0, T ], x(ã ) C([0, T ], Rn ) ú ỵ x(ã ) C([0, T ], Rn )
(t) = f (t, x(t)) tọ (ã ) L ([0, T ], Rn ).
t tứ tr (F x)(t) ữủ ợ ồ t [0, T ]
(F x)(ã ) C([0, T ], Rn ) ừ F ú
ứ x(ã ) C([0, T ], Rn ) tọ ữỡ tr t
õ ố
t t r F tử tự sỹ t ừ f
tứ ố ũ ờ tỗ t r > 0 s
x(ã ) C([0, T ], Rn ) tọ x(ã )



r ủ

õ ỵ tt rr F õ ởt ố
t õ t r t ố số ỹ (f2 ) ờ

ởt t t ừ ừ t (1.2), (1.3)

t t Ro > 0 R > 0 H > 0 s tứ
tr xo B(Ro ) x(t) ừ t tọ
t ữỡ tr s

x(t) R,

x(t) x( ) H|t | ,

ự R0 > 0 H số tứ



t, [0, T ].

ú t


✣♦➔♥ ❚❤à ❍➔

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
R = (1 + R0 )Eα (cf T α ) − 1,
H = H∞ (1 + R)cf ✳

❈❤♦ x0 ∈ B(R0 ) ✈➔ x(·) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✶✳✷✮✱ ✭✶✳✸✮✳ ❇ð✐ ✭✶✳✷✮ ✈➔ ✭❢✳✸✮
❝❤♦ ❜➜t ❦➻ t ∈ [0, T ]✱ t❛ ❝â✿

1
||x(t) ≤ ||x0 || +
Γ(α)

t
0

1 + ||x(τ )||
dτ,
(t − τ )1−α

✈➔ ❞♦ ✤â✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✷ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝✳

||x(t)|| ≤ (1 + R0 )Eα (cf T α ) − 1 = R,

t ∈ [0, T ].

❍ì♥ ♥ú❛✱ tø ✭❢✳✸✮ t❛ ❝â ϕ(t) = f (t, x(t)), t ∈ [0, T ]✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿

||x(t)−x(τ )|| = ||(I0α+ ϕ)(t)−(I0α+ ϕ)(τ )|| ≤ H∞ (1+R)Cf |t−τ |α = H|t−τ |α .
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✻


ữỡ
tự ừ
ỗ
ởt tr ỳ ổ ử q trồ ự t t
t ừ ữỡ tr tự
tự ừ
ở ừ ữỡ t ự ũ ủ
r ừ õ ồ t t tớ
t ự ố t tr
tự õ ữợ ữủ ự
ừ tự tự ừ
ổ õ ỵ ồ ử t tự ừ
ổ t t s ừ
t ữủ ởt số ữợ ữủ tú ự
ỗ r ữỡ ú t s ợ t tt
ữợ ữủ õ

V : Rn R tọ ữợ
V (ã) ỗ tr Rn V (0) = 0.




✣♦➔♥ ❚❤à ❍➔

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
✭❱✳✷✮ ❍➔♠ V (·) ❝â t❤➸ ❦❤↔ ✈✐ ✭✈➔ ❞♦ ✤â ❧✐➯♥ tö❝✮ tr♦♥❣ Rn .
✭❱✳✸✮ ∀r > 0✱ tç♥ t↕✐ λV > 0 s❛♦ ❝❤♦

||∆V (x) − ∆V (y)|| ≤ λV ||x − y||,

x, y ∈ B(r)

ð ✤➙② ∆V (·) ❧➔ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ❤➔♠ V (·)✳
◆➳✉ ❤➔♠ x : [0, T ] −→ Rn ✤õ trì♥ x(0) = 0✱ ✤➦t y(t) = V (x(t)), t ∈

[0, T ].❚r♦♥❣ ❬✹✱❚❤❡♦r❡♠ ✶❪ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣✿
✭✷✳✶✮

(D0α+ y)(t) ≤ ∆V (x(t)), (D0α+ x)(t) .

▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ♣❤➛♥ ♥➔② ✤➸ t❤✐➳t ❧➟♣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✮ ❝❤♦ ❜➜t ❦➻
❤➔♠ sè x(·) ∈ I0α+ (L∞ .([0, T ], Rn ))✳

✷✳✶ ×î❝ ❧÷ñ♥❣ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ❧ç✐✿
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ trì♥✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ tr♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② ❧➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦➳t q✉↔ s❛✉✿

❈❤♦ ❜➜t ❦➻ x(·) ∈ I0α+ (L∞ ([0, T ], Rn )) ✈➔ p ∈ (1/α, ∞)✱ tç♥ t↕✐ ❝❤✉é✐
0
n
{xk (·)}∞
k=1 ⊂ Lip ([0, T ], R ) s❛♦ ❝❤♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
√
(D0α+ xk )(·) ∞ ≤ n (D0α+ x)(·) ∞ ①→❝ ✤à♥❤ ❝❤♦ ❜➜t ❦ý k ∈ N ✈➔

lim

k−→∞

xk (·)−x(·)

∞

= 0,

lim

k−→∞

(D0α+ x)(·)−(D0α+ x)(·)

✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦➳t q✉↔ ♥➔② t❛ ❝➛♥ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉✿

✶✽

p

= 0. ✭✷✳✷✮


✣♦➔♥ ❚❤à ❍➔

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳ ❈❤♦ x(·) ∈ Lip0([0, T ], Rn) ✈➔ y(t) = V (x(t)), t ∈ [0, T ]
t❤➻ y(·) ∈ Lip0 ([0, T ], R) ✈➔ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✮ ✤ó♥❣ ✈î✐ ∀t ∈ [0, T ]✳ ❍ì♥
t❤➳ ♥ú❛ ∀r ≥ 0✱ ω ≥ 0 ∃a ≥ 0✱ ✈î✐ ♠å✐ x(·) ∈ Lip0 ([0, T ], Rn ) ♥➳✉
✭✷✳✸✮

||x(·)||∞ ≤ r, ||(D0α+ x(·))||∞ ≤ ω,
❦❤✐ ✤â ❤➔♠ y(t) = V (x(t)), t ∈ [0, T ]✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

✭✷✳✹✮

||(D0α+ y)(·)||∞ ≤ a.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ x(·) ∈ Lip0 ([0, T ], Rn ) ✈➔ L > 0 ❧➔ ❤➡♥❣ ✤â ▲✐♣s✲
❝❤✐t③ ❝õ❛ x(·)✳ ❈❤♦ r ≥ 0 ✈➔ ω ≥ 0 t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭

❄❄✮✳ ❚ø

✭❱✳✸✮ ❝❤å♥ λV > 0 ✈➔ ✤➦t MV = maxx∈B(r) ||∆V (x)||✳ ❈❤♦ H∞ ❧➔ ❤➡♥❣
sè tø ✭❆✳✷✮✳ ❚❤➻ tø ✭❇✳✷✮t❛ t❤➜② ① ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ ❍♦❧❞❡r ❝➜♣ ✷ ✈î✐
❤➡♥❣ sè H = H∞ ω ✳
✣➦t y(t) = V (x(t)), t ∈ [0, T ]✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ y(.) ∈ Lip0 ([0, T ], Rn )✳
❚ø ✭❱✳✶✮ ❝❤♦ t❤➜② r➡♥❣ y(0) = 0✳ ❱î✐ t, τ ∈ [0, T ]✳ ❚ø ✭❱✳✷✮ t❤❡♦ ✤à♥❤
❧þ ❣✐→ trà tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ∃γ ∈ [0, 1] s❛♦ ❝❤♦✱ ❝❤♦ ✈❡❝tì z = γx(t) + (1 −

γ)x(τ )✱ t❛ ❝â
y(t) − y(τ ) = V (x(t)) − V (x(τ )) = ∆V (z), x(t) − x(τ ) .

✭✷✳✺✮

❱➻ t❤➳✱ tø z ∈ B(r)✱ ❜ð✐ sü ❧ü❛ ❝❤å♥ ❝õ❛ ▲ ✈➔ MV ✱ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

|y(t) − y(z)| ≤ || V (z)||||x(t) − x(τ )|| ≤ MV L|t − τ |.
❉♦ ✤â ❤➔♠ ❤➔♠ y(·) ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♥❤÷ ✤➣ ♣❤→t ❜✐➸✉✳
❚ø x(·)✱ y(·) ∈ Lip0 ([0, T ], Rn )✱ t❤➻ t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✮ ✈î✐ t = 0

✶✾


✣♦➔♥ ❚❤à ❍➔

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

tø ✭❇✳✺✮✳ ❈❤♦ t ∈ (0, T ] tø ✭❱✳✷✮ t❛ ❝â y(τ
˙ ) = ∆V (x(τ )), x(τ
˙ ) ✳ ❉♦ ✤â
tø ✭❇✳✹✮ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤÷❝ ✭✷✳✶✮ ❦❤✐ ♥❤➙♥ ✈î✐ ❤➔♠ Γ(1 − α) ❝â t❤➸ ✈✐➳t✿
t
0

∆V (x(τ )), x(τ
˙ )
dτ ≤
(t − τ )α

t
0

∆V (x(t)), x(t)
˙
dτ
(t − τ )α

✭✷✳✻✮

❳❡♠ ①➨t ❤➔♠ ✿

ϕ(τ ) = V (x(τ )) − V (x(t)) − ∆V (x(t), x(τ ) − x(t), τ ∈ [0, t].
❚❤➻ ϕ(·) ∈ Lip([0, T ], R) ✈➔

ϕ(τ
˙ ) = ∆V (x(τ )) − ∆V (x(t)), x(τ
˙ ) ❝❤♦ τ ∈ [0, t].
❉♦ ✤â
t
0

( ∆V (x(τ )) − ∆V (x(t), x(τ
˙ ))
dτ =
(t − τ )α

t
0

ϕ(τ
˙ )
dτ,
(t − τ )α

✈➔ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✻✮ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
t
0

ϕ(τ
˙ )
dτ ≤ 0.
(t − τ )α

✭✷✳✼✮

❈❤ó♥❣ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣

0 ≤ ϕ(τ ) ≤ λV H 2 (t − τ )2α , τ ∈ [0, t].

✭✷✳✽✮

❈❤♦ τ ∈ [0, t]✳ ●✐↔ sû γ ∈ [0, 1] ✈➔ z = γx(t) − (1 − γ)x(τ ) ∈ B(r) s❛♦
❝❤♦ ✭✷✳✺✮ ✤ó♥❣✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â✿

ϕ(τ ) = ∆V (z), x(τ ) − x(t) − ∆V (x(t)), x(τ ) − x(t) .

✷✵