Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân cho học sinh lớp 11

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

ĐÀO THỊ MAI PHƯỢNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN
THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ
ĐỀ CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
CHO HỌC SINH LỚP 11
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

ĐÀO THỊ MAI PHƯỢNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN
THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ
ĐỀ CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
CHO HỌC SINH LỚP 11
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán
Người hướng dẫn khoa học

ThS. DƯƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI - 2018


LỜI CẢM ƠN
Với tất cả tấm lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, em xin gửi lời cảm ơn
chân thành tới các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2, những người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học
tập và nghiên cứu tại trường.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn ThS. Dương Thị Hà, người đã tận
tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận
này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo cùng học sinh trường
THPT Đa Phúc và THPT Thuận Thành số 1 đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho
em trong quá trình thực hiện khóa luận.
Và cuối cùng em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và những
người thân đã quan tâm, động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến, giới thiệu tài
liệu giúp em hoàn thành khóa luận.
Mặc dù bản thân đã hết sức cố gắng trong quá trình tiến hành làm khóa
luận, song do năng lực của bản thân còn hạn chế nên khóa luận vẫn còn nhiều
thiếu sót. Vì vậy, em rất mong được sự góp ý chân thành của quý thầy cô và
các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên thực hiện

Đào Thị Mai Phượng


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân với sự
hướng dẫn của ThS. Dương Thị Hà. Kết quả khóa luận không trùng khớp
với các công trình nghiên cứu khác, nếu sai sót, em xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên thực hiện

Đào Thị Mai Phượng


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG KHÓA LUẬN
BTTT

Bài toán thực tiễn

CSC

Cấp số cộng

CSN

Cấp số nhân

GV

Giáo viên

HD

Hướng dẫn

HS

Học sinh

L

Loại

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

TM

Thỏa mãn


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài............................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................... 3
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 3
4. Giả thuyết khoa học ...................................................................................... 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 3
6. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 3

7. Cấu trúc của đề tài......................................................................................... 4
NỘI DUNG ....................................................................................................... 5
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ......................................... 5
1.1. Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục ................................................ 5
1.2. Tính thực tiễn của Toán học phổ thông ..................................................... 8
1.3. Bài toán thực tiễn ..................................................................................... 14
1.4. Thực trạng sử dụng bài toán thực tiễn chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân
trong dạy học môn Toán ở phổ thông ............................................................. 25
Kết luận chương 1 ........................................................................................... 29
CHƯƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHỦ ĐỀ CẤP SỐ
CỘNG, CẤP SỐ NHÂN CHO HỌC SINH LỚP 11 ...................................... 30
2.1. Mục tiêu và nội dung chủ yếu của dạy học chủ đề cấp số cộng, cấp số
nhân trong dạy học Toán ở phổ thông ............................................................ 30
2.2. Đề xuất hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân..... 32
2.3. Định hướng sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề cấp số cộng, cấp
số nhân............................................................................................................. 60
2.4. Kiểm nghiệm hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề cấp số
cộng, cấp số nhân cho HS lớp 11 .................................................................... 62


Kết luận chương 2 ........................................................................................... 68
KẾT LUẬN CHUNG...................................................................................... 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 70
PHỤ LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Chúng ta đang sống trong thế kỉ XXI, trong thời đại đòi hỏi cao về tri
thức và năng lực của con người. Hiện nay, giáo dục và đào tạo được coi là

quốc sách hàng đầu của mỗi quốc gia. Xã hội càng phát triển, con người ta
càng đòi hỏi giáo dục phải làm thế nào giúp ích nhiều nhất cho sự phát triển
của mỗi cá nhân, khả năng thích ứng, đương đầu cũng như phát triển không
ngừng trước thực tế luôn thay đổi.
Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI chỉ đạo: “Giáo dục và
đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng và Nhà nước và của
toàn dân. Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước cho
các chương trình, kế hoạch phát triển kinh tế - xã hội; phát triển giáo dục và
đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển
mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn
diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với
thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã
hội”.
Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI đề ra mục tiêu: “Đối với
giáo dục phổ thông tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm
chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng
nghề nghiệp cho học sinh (HS). Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú
trọng giáo dục lý tưởng truyền thống đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học,
năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển
khả năng sáng tạo và tự học, khuyến khích học tập suốt đời, hoàn thành đào
tạo giáo dục phổ thông giai đoạn sau 2015”.
Trong nhà trường phổ thông, toán là môn học có liên hệ mật thiết với
thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như khoa

1


học, công nghệ, sản suất, đời sống,… Toán học vẫn luôn là thiết yếu đối với
mọi ngành khoa học, làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại, văn minh
hơn. Tuy nhiên, những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chương

trình sách giáo khoa (SGK) cũng như trong thực tế dạy học môn Toán chưa
được quan tâm một cách thường xuyên. Số lượng ví dụ bài toán có nội dung
liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và sản suất còn được trình bày rất ít và
hạn chế trong chương trình toán phổ thông.
Mặt khác, môn Toán trong kì thi Trung học phổ thông (THPT) Quốc
gia bắt đầu sử dụng hình thức thi trắc nghiệm từ năm học 2016-2017. Với
toàn bộ kiến thức nằm trong chương trình lớp 12. Đến nay, năm học 20172018 nội dung thi bao gồm cả chương trình khối lớp 11 và 12. Với khối lượng
kiến thức lớn, cùng với sự thay đổi hình thức thi sang trắc nghiệm đã gây
không ít khó khăn đối với cả giáo viên (GV) và học sinh (HS). Để giúp GV và
HS giải quyết khó khăn này thì Bộ Giáo dục và Đào tạo đã giới thiệu đề thi
minh họa, trong cấu trúc đề thi có nhiều câu về bài toán thực tiễn (BTTT). Vì
vậy, việc tăng cường các BTTT cho các em HS trong quá trình giảng dạy
ngay từ lớp 11 là rất cần thiết. Giúp cho các em có kiến thức sâu rộng và tạo
hứng thú trong học tập.
Hơn nữa, trong chương trình Toán học 11 chương dãy số, cấp số cộng
(CSC) và cấp số nhân (CSN) số lượng, cũng nhưng nội dung các BTTT còn ít
và hạn chế, chưa đa dạng, phong phú. Đặc biệt HS có thể giải thành thạo các
bài toán liên quan đến CSC, CSN với những yêu cầu cụ thể như tính tổng của
CSC, CSN hay tính số hạng tổng quát,... nhưng những bài có nội dung liên
quan đến thực tiễn hoặc các môn học khác thì HS còn loay hoay và lúng túng.
Qua nghiên cứu chương trình SGK và các tài liệu liên quan đến toán
học và đời sống, bản thân em nhận thấy có một số bài toán liên quan đến thực
tiễn trong chủ đề CSC, CSN và em muốn cung cấp thêm cũng như hệ thống


lại các bài toán thực tiễn chủ đề này nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy
và học môn Toán lớp 11 của GV và HS.
Trên quan điểm đó cùng với sự mong muốn xây dựng được hệ thống
BTTT có chất lượng tốt, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán phổ
thông, phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy và học, em đã chọn đề tài:

“Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề cấp số cộng, cấp
số nhân cho học sinh lớp 11”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng hệ thống BTTT trong dạy học chủ đề CSC, CSN và định
hướng sử dụng hệ thống bài toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng
hiệu quả dạy học chủ đề này nói riêng và nâng cao chất lượng hiệu quả của
việc học tập môn Toán ở phổ thông nói chung.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
CSC, CSN trong chương trình toán Giải tích 11 nâng cao.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu GV xây dựng và sử dụng được hệ thống BTTT chủ đề CSC, CSN
thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng hiệu quả dạy học chủ đề này ở Nhà
trường phổ thông nói riêng và dạy học môn Toán nói chung.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về BTTT
5.2. Tìm hiểu thực trạng về việc xây dựng và sử dụng hệ thống BTTT chủ
đề CSC, CSN ở trường phổ thông
5.3. Xây dựng hệ thống BTTT trong dạy học chủ đề CSC, CSN cho HS lớp
11 và hướng dẫn giải
5.4. Kiểm nghiệm chất lượng hệ thống bài toán đã được xây dựng
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận


-

Nghiên cứu các văn bản, nghị quyết của Đảng, Nhà nước về lĩnh vực

giáo dục, đào tạo.
- Nghiên cứu các sách, báo, khoá luận, tạp chí,… có liên quan đến bài

tập trắc nghiệm khách quan, kiểm tra đánh giá, phương pháp dạy học môn
Toán, chủ đề phương trình mũ và phương trình lôgarit.
6.2. Phương pháp điều tra, khảo sát
-

Tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng hệ thống BTTT chủ đề CSC,

CSN cho HS lớp ở trường phổ thông.
-

Tìm hiểu thái độ học tập của HS, tìm hiểu đánh giá của GV, HS về tác

dụng của hệ thống BTTT chủ đề CSC, CSN trong việc dạy học môn Toán
cũng như tính khả thi của việc sử dụng hệ thống BTTT chủ đề này vào dạy
học Giải tích 11.
6.3. Phương pháp kiểm nghiệm giáo dục
Xác định chất lượng của hệ thống BTTT và tính khả thi của những gợi
ý cơ bản được trình bày trong khoá luận.
6.4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
Tổng kết kinh nghiệm của các GV toán THPT về việc xây dựng và sử
dụng BTTT.
7. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2
chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục
1.1.1. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn
đề lớn, cốt lõi, cấp thiết, từ quan điểm, tư tưởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội
dung, phương pháp, cơ chế, chính sách, điều kiện bảo đảm thực hiện
Đây là một trong những quan điểm chỉ đạo hàng đầu được trích trong
nghị quyết số 29 Hội nghị lần thứ 8 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và
đào tạo. Quan điểm chỉ rõ việc đổi mới về mục tiêu, nội dung và phương pháp
dạy học. Nếu như trước đây, việc dạy học môn Toán chỉ tập trung vào các
khái niệm, định lí, tính chất,… mang đậm tính hàn lâm, lý thuyết và các bài
tập toán có độ khó cao, yêu cầu vận dụng các kiến thức được học để giải
quyết các vấn đề phức tạp, trừu tượng trong nội bộ môn Toán thì ngày nay,
cần phải được chuyển hướng dần sang việc vận dụng các kiến thức toán được
học vào giải quyết các vấn đề liên môn và các vấn đề nảy sinh ngay trong đời
sống kinh tế, xã hội. Muốn đạt được điều đó, cần thay đổi trước hết từ mục
tiêu, sau đó điều chỉnh nội dung và phương pháp dạy học để từng bước gắn
liền nội dung môn Toán THPT vào thực tiễn đời sống.
1.1.2. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang
phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học
Trước đây mục tiêu giáo dục toàn diện thường được hiểu đơn giản là:
HS phải học đầy đủ tất cả các môn học thuộc các lĩnh vực khoa học tự nhiên,
khoa học xã hội và nhân văn, nghệ thuật, thể dục thể thao,… Không những
thế, việc thực hiện mục tiêu giáo dục cũng nghiêng về truyền thụ kiến thức
càng nhiều càng tốt; chú trọng truyền bá kiến thức hơn đào tạo, bồi dưỡng
năng lực của người học; ít yêu cầu người học vận dụng kiến thức vào thực tế,
…


Tình hình này đã dẫn đến hiện tượng "quá tải", vừa thừa, vừa thiếu đối
với người học và đối với mục tiêu giáo dục.
Mục tiêu giáo dục theo tinh thần đổi mới là: phát triển toàn diện năng

lực và phẩm chất người học. Toàn diện ở đây được hiểu là chú trọng phát
triển cả phẩm chất và năng lực con người, cả dạy chữ, dạy người, dạy nghề.
Giáo dục và đào tạo phải tạo ra những con người có phẩm chất, năng
lực cần thiết như trung thực, nhân văn, tự do sáng tạo, có hoài bão và lí
tưởng phục vụ Tổ quốc, cộng đồng.
Đồng thời phải phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi
cá nhân, làm chủ bản thân, làm chủ đất nước và làm chủ xã hội; có hiểu biết
và kĩ năng cơ bản để sống tốt và làm việc hiệu quả,… như Bác Hồ từng mong
muốn: “Một nền giáo dục nó sẽ đào tạo các em nên những người công dân
hữu ích cho nước Việt Nam, một nền giáo dục làm phát triển hoàn toàn
những năng lực sẵn có của các em”[7].
1.1.3. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn
Quan điểm đổi mới này cũng đồng thời là nội dung của nguyên lí giáo
dục: “Học đi đôi với hành, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục kết hợp với
lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với gia đình và xã hội”.
Chủ nghĩa Mác cho rằng, lí luận và thực tiễn là hai phạm trù có quan hệ
biện chứng với nhau. Lý luận không có thực tiễn là lý luận suông, thực tiễn
không có lý luận là thực tiễn mù quáng. Thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lí.
Mục đích cuối cùng của việc học là làm việc. Như trong bài nói chuyện của
Bác Hồ tại Đại học Sư phạm Hà Nội ngày 21.10.1964: “Các cháu HS không
nên học gạo, không nên học vẹt,… Học phải suy nghĩ, học phải liên hệ với
thực tế, phải có thí nghiệm và thực hành. Học với hành phải kết hợp với
nhau”. Hay Bác cũng đã từng nói: “Học với hành phải đi đôi. Học mà không
hành thì học vô ích. Hành mà không học thì hành không trôi chảy”.


Như vậy theo quan điểm đổi mới trên, việc dạy học phải làm thế nào
đó, để HS có thể vận dụng được các kiến thức được học vào giải quyết những
vấn đề, nhiệm vụ trong thực tiễn đời sống xã hội.
1.1.4. Chủ động, tích cực hội nhập quốc tế để phát triển giáo dục và đào

tạo, đồng thời giáo dục và đào tạo phải đáp ứng yêu cầu hội nhập quốc tế
để phát triển đất nước
“Hội nhập quốc tế” là cụm từ không còn xa lạ với sự nghiệp phát triển
giáo dục và đào tạo nước ta. Để đáp ứng đủ các yêu cầu hội nhập quốc tế, thì
việc đánh giá HS cũng cần phải được thực hiện theo những tiêu chuẩn đánh
giá chung của quốc tế. Hiện nay, chương trình “Đánh giá HS quốc tế” PISA
đang được ngành giáo dục và đào tạo nước ta quan tâm rất nhiều. Đây là bộ
phận chính của một hệ thống định hướng quy mô lớn được thực hiện bởi Tổ
chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (OECD). Hệ thống này phục vụ cho mục
đích cung cấp thông tin cho các nước thành viên của tổ chức này về những ưu
điểm và nhược điểm của nền giáo dục nước họ. Được tổ chức định kì 3 năm
một lần, PISA kiểm tra, đánh giá sự chuẩn bị của nhà trường dành cho HS để
bước vào xã hội tri thức, nói cách khác là khả năng thích nghi của HS đối với
những thách thức của một xã hội tri thức, tập trung vào 3 mảng kĩ năng: khoa
học, đọc hiểu và toán học. Năng lực toán học được PISA định nghĩa: “Khả
năng của một cá nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của Toán học trong đời
sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành
niềm đam mê tìm tòi khám phá toán học để đáp ứng những nhu cầu trong đời
sống của cá nhân đó với vai trò là một công dân có ý thức, có tính xây dựng
và có hiểu biết” [3]. Kỳ thi đánh giá năng lực của PISA được áp dụng cho HS
ở độ tuổi từ 15 tuổi 3 tháng đến 16 tuổi 2 tháng, tức là độ tuổi của HS lớp 9 ở
Việt Nam. Đề thi đánh giá năng lực toán học bao gồm 100% các BTTT xuất
phát trong đời sống thực tiễn. Vậy câu hỏi đặt ra cho việc đánh giá HS ở lứa


tuổi tiếp theo của PISA, tức là HS lớp 10 trung học phổ thông thì được xem
xét như thế nào? Đồng nghĩa với việc cần tăng cường hơn nữa việc vận dụng
toán học trong nhà trường phổ thông vào giải quyết các tình huống thực tiễn,
các BTTT.
1.1.5. Môn Toán trong chương trình giáo dục phổ thông mới

Chương trình môn Toán được xây dựng trên cơ sở quán triệt quan điểm
nội dung phải tinh giản, chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời
sống thực tế hay các môn học khác, đặc biệt với các môn học thuộc lĩnh vực
giáo dục STEM, gắn với xu hướng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học,
đời sống xã hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu (như biến đổi khí
hậu, phát triển bền vững, giáo dục tài chính,...).
Bảo đảm tính chỉnh thể, thống nhất và phát triển liên tục từ lớp 1 đến
lớp 12. Có thể hình dung chương trình được thiết kế theo mô hình gồm hai
nhánh song song liên kết chặt chẽ với nhau, một nhánh mô tả sự phát triển của
các mạch nội dung kiến thức cốt lõi và một nhánh mô tả sự phát triển của
năng lực, phẩm chất của HS.
Chương trình môn Toán sẽ được tích hợp xoay quanh ba mạch kiến
thức: Số và Đại số; Hình học và Đo lường; Thống kê và Xác suất.
1.2. Tính thực tiễn của Toán học phổ thông
1.2.1. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn
Số học ra đời trước hết do nhu cầu của số đếm. Hình học phát sinh do
nhu cầu đo lại ruộng đất sau những trận lụt ở ven bờ sông Nin hàng năm,…
Ăng-ghen đã chỉ ra rằng:
Trong quá trình tồn tại và phát triển loài người, do nhu cầu hoạt động
thực tiễn của con người, những khái niệm Toán học ban đầu (Khái niệm về
số tự nhiên, về đại số và hình học) được con người trừu tượng hóa từ trong
thế giới hiện thực, chứ không phải là do phát sinh từ trí não của con người,


do tư duy thần túy, những ngón tay, ngón chân, những hòn đá nhỏ, nhờ đó
người ta học đếm. Từ chỗ biết đếm, con người có khái niệm đầu tiên về số tự
nhiên, khái niệm về 4 phép tính số học. Và người ta học cả những đối tượng
có hình dạng khác nhau mà người ta so sánh, những mảnh đất trên đó họ đo
diện tích,… Nhu cầu về đo đạc diện tích và thể tích,… đưa đến kiến thức ban
đầu về hình học. Đó chính là một bộ phận của nhiều sự vật cụ thể đã giúp con

người hoàn thiện được khái niệm về số tự nhiên, về đại lượng về hình học.
Con người đã nghiên cứu tất cả những sự vật đó, số lượng, hình dạng, thể
tích, diện tích của chúng trong khi giải quyết những bài toán mà họ gặp phải
trong hoạt động thực tiễn của họ. Những khái niệm Toán học đầu tiên được
phát sinh do nhu cầu về đếm và đo đạc đơn giản nhất. Kiến thức toán học
thời xưa được xây dựng nhờ kinh nghiệm săn bắt, trồng trọt, chăn nuôi, xây
dựng,… Có thể nói đây là giai đoạn phát sinh của Toán học. Những kiến thức
rời rạc và chỉ dựa vào kinh nghiệm dần dần được hệ thống hóa và người ta
xây dựng Toán học thành một khoa học suy diễn.
Sự phát triển của Toán học có thể chia làm 3 giai đoạn khác nhau
tương ứng với trình độ sản xuất và kỹ thuật như sau:
- Giai đoạn 1: Giai đoạn Toán sơ cấp:
Tương ứng với trình độ sản xuất theo kiểu thủ công với kỹ thuật thô sơ
không đòi hỏi những công cụ tinh vi hơn.
- Giai đoạn 2: Giai đoạn Toán học cao cấp cổ điển.
Tương ứng với trình độ sản xuất kiểu cơ khí đòi hỏi phải có những
công cụ Toán học để phục vụ cho cơ học, thúc đẩy sự ra đời của các môn
hình học giải tích, phép tính vi phân và tích phân,…
- Giai đoạn 3: Giai đoạn Toán học hiện đại:
Tương ứng với trình độ sản xuất tự động hóa với sự ra đời của lý
thuyết tập hợp, các lý thuyết thuật toán,… Góp phần phát minh ra máy tính


điện tử, phát triển ngành Toán học tính toán.
Với 3 giai đoạn phát triển của Toán học chúng ta thấy rằng Toán học
có nguồn gốc từ nhu cầu thực tiễn của cuộc sống con người và do cả nhu cầu
của chính bản thân nó.
1.2.2. Toán học phản ánh thực tiễn
Toán học là khoa học về cấu trúc tổng quát, các quan hệ được trừu
tượng hóa các đối tượng của hiện thực khách quan. Do đó, Toán học không

chỉ bắt nguồn từ thực tiễn mà đồng thời nó cũng có khả năng phản ánh thực
tiễn một cách rất đa dạng, toàn diện.
Chúng ta đi tìm hiểu một số ví dụ sau:
- Ví dụ về định nghĩa hàm số: Các hàm số là chân dung của Toán học,
của tính qui luật, của tự nhiên. Ta hãy để ý đến các hiện tượng tự nhiên của
thế giới xung quanh mà con người gọi chung đó là: “quy luật tự nhiên”:
“chớp đông nhay nháy, gà gáy trời mưa”, “chuồn chuồn bay thấp thì mưa,
bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”. Các “quy luật” này diễn tả một sự tương
ứng của một hiện tượng thứ nhất và hiện tượng thứ hai.
Trong Toán học mọi quy tắc xác định tương ứng được gọi là một hàm số.
-

Ví dụ trong nghệ thuật nhiếp ảnh thì lượng ánh sáng tác động vào

phim ảnh cho tương ứng với độ đen của nó.
Trong ví dụ này, theo cách nói của Toán học thì độ đen của phim ảnh
là hàm số của lượng ánh sáng.
1.2.3. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn
Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi
trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong
sản xuất và đời sống. Ứng dụng lượng giác để đo những khoảng cách không
tới được, ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức thời, ứng dụng của tích
phân để tính diện tích, thể tích,…


Ví dụ 1: Ứng dụng lượng giác trong việc đo chiều cao
Đo chiều cao của một cái tháp mà không thể đến được chân tháp. Giả
sử CD 
h

là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm

A, B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB và các góc CAD, CBD.

Chẳng hạn ta đo được AB  24m, CAD   
o
63 ,

CBD   
o
48 .

Khi

đó chiều cao h của tháp được tính như sau:

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD ta có
Ta có   D 


AD
AB
.

sin  sin D

nên D      63o  48o 15o.
o

AB sin  24 sin 48

Do đó AD 

o  68,91.
sin  
sin15





Trong tam giác vuông ACD ta có h  CD  ADsin   61,4  m . [5]
Ví dụ 2: Ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức thời
Một người trượt ván trên đường có hình parabol với phương trình:
1 2
t ( t tính bằng giây, s tính bằng mét). Tính vận tốc trượt của người đó
4
T
nghĩ
tại thời điểm to  2  s 
oý
s


a cơ học của đạo hàm: “Vận tốc tức thời
v  t0  tại thời điểm


t0 (hay vận tốc tại t0 ) của một chuyển động có pương trình s  s  t bằng đạo



hàm của hàm số s  s  t tại điểm t0 , tức là v  t0   s '  t0  ”[1].


1
Ta có s '  t   t  Vận tốc trượt của người đó tại thời điểm to  2  s  là
2
v  2  s ' 2 
2

1

.2 1 (m / s).

Ví dụ 3: Ứng dụng của tích phân để tính thể tích
Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có 2 đáy là hình
tròn bằng nhau và chiều cao bình là 16cm. Đường cong của bình là một cung
tròn của đường tròn bán kính là 9.
Giải:
Không mất tính tổng quát, ta coi tâm của đường tròn là tâm O của gốc
tọa độ, khi đó ta có phương trình là x2  y 2 
do đó thể tích của thùng là
81,
hình tròn xoay bị giới hạn bởi đường tròn x 2  y 2  81 và y  0, x  8,

x  8.
Vậy thể tích của thùng
chứa rượu là
8
8



2

81  x dx  

V



2

8



 81  x  dx 

8

2

2864



3

Theo [4], “Do tính trừu tượng cao độ mà toán học có tính thực tiễn phổ
dụng, có thể ứng dụng vào rất nhiều ngành khoa học: Vật lí, Hóa học, Ngôn

ngữ học, Thiên văn học, Địa lí, Sinh học, Tâm lí học v.v… và trở thành một
công cụ có hiệu lực của các ngành đó”.
Trong Hóa học và Sinh học trước đây ít khi dùng đến toán và chỉ dùng
đến toán cổ điển. Hiện nay, Hóa học và Sinh học đã sử dụng những nội dung
của toán tôpô,… Người ta đã có thể dự đoán được ngày càng chính xác các


tính chất của nhiều hợp chất hóa học, có thể tính được công thức của nhiều
hợp chất và các tính chất của nó bằng những phương pháp toán học. Những


bí mật của sự sống, về di truyền, cơ cấu hoạt động của hệ thần kinh, sinh lý
người,… trong sinh học đã và đang được nghiên cứu bằng những phương
tiện toán học tinh vi, hiện đại.
Ngoài ra, trong cuộc sống cũng có những lĩnh vực với sự đóng góp to
lớn của Toán học đó là Y học, nhờ có những phương tiện kỹ thuật hiện đại và
những phương pháp tính toán, sử dụng phương pháp thống kê toán học và
máy tính điện tử đã giúp con người khai thác một cách có hiệu quả các kinh
nghiệm để khám và chữa bệnh một cách hiệu quả, chính xác.
Bên cạnh đó, trong kinh tế và quản lý, một loạt các thuật toán gia công
thống kê các dữ liệu được sử dụng rộng rãi và từ đó tạo ra các thư viện chương
trình bao gồm các bài toán như: Các tính toán cơ bản để quan sát tính đồng
nhất, phân tích phương sai một biến, phân tích phương sai nhiều biến, tính xác
suất đối với các phân bố khác nhau,…
Một số lượng rất lớn các bài toán kinh tế trong thực tiễn được mô tả
bằng phương trình đại số tuyến tính do đó phép tính ma trận được ứng dụng
rất rộng rãi để giải các bài toán kinh tế.
Trong giao thông vận tải, người ta dùng phương trình tuyến tính để lựa
chọn phương án vận chuyển tiết kiệm nhất, chọn phương án hợp lý để giảm
bớt chi phí và đạt hiệu quả tối ưu nhất.

Các phi công máy bay, các thủy thủ đi trên các chuyến tàu vượt đại
dương, các chuyên gia quân sự,… đều cần sử dụng khái niệm góc để di
chuyển tới đích một cách hiệu quả.
Trong quân sự và quốc phòng, Toán học đã làm nên cuộc cách mạng
trong công nghệ mật mã. Hiện nay nhiều tổ chức quân sự, kinh tế, tài chính
hay các cơ quan chính phủ khi truyền đi các tin tức tối mật của mình thường
dùng một loại mật mã gọi là mật mã công khai gọi tắt là RSA. Mật mã RSA
được xây dựng dựa trên một kết quả sơ cấp của số học và một sự kiện là rất


khó phân tích ra thừa số nguyên tố.
Trong hội họa, những cấu trúc hình học thường có mặt trong tác phẩm
của các nhà danh họa. Các biểu đồ với mức độ hiện diện khác nhau trong các
bố cục bức tranh cũng thường được xem xét đến khi xem tranh, tùy thuộc vào
hình dáng của hình học được lấy làm cơ sở cho bố cục bức tranh mà người ta
gọi tên các loại bố cục như: bố cục hình tròn, bố cục hình chóp, bố cục hình
xoắn ốc,…
Tóm lại, Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn cũng như trong
sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để
phát triển lực lượng sản xuất. Toán học là sợi dây liên hệ ràng buộc các
nghành khoa học với nhau, thúc đẩy chúng cùng phát triển.
1.3. Bài toán thực tiễn
1.3.1. Khái niệm bài toán và bài toán thực tiễn
Bài toán được hiểu là: “Tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết
quả chưa biết cần tìm bắt đầu từ một số dữ kiện, hoặc về một phương pháp
cần khám phá, mà theo phương pháp này sẽ đạt được những kết quả đã biết
”[8].
G. Polya lại viết: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách có
ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng
nhưng không thể đạt được ngay”[2].

Từ các cách hiểu trên, có thể nói bài toán là các câu hỏi, yêu cầu đặt ra
cho người học để đạt được mục đích dạy học nào đó thông qua các dữ liệu đã
cho.
Ví dụ 1: Cho CSC  un  có u  52
20
và
quát của CSC đó.

u51  145. Hãy tìm số hạng tổng


Bài toán ở ví dụ 1 đặt ra yêu cầu là tìm số hạng tổng quát của CSC
thông qua dữ liệu đã cho là CSC  un  có u  52
20
và

u51  145. Bài toán

này có thể dùng để củng cố hoặc luyện tập.
Ví dụ 2: Một ngân hàng quy định đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức
có kì hạn như sau: “Khi kết thúc kì hạn mà người gửi không đến rút tiền thì
toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn mà
người đã gửi”.
Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân
hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là 0, 4%.
a) Hỏi sau 6 tháng, kể từ ngày gửi, người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số
tiền được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?
b) Cũng câu hỏi như trên, với giả thiết thời điểm rút tiền là 1 năm sau, kể từ
ngày gửi?[1]
Đây là một bài toán dùng để gợi động cơ khi dạy học CSC. Bài toán

cho các dữ liệu là gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân hàng và lãi
suất của loại kì hạn này là 0,4%. Câu hỏi đặt ra là sau 6 tháng, sau 1 năm sẽ
được bao nhiêu tiền.
BTTT là bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có chứa những nội
dung liên quan đến thực tiễn. Thực tiễn ở đây không chỉ là các sự việc, tình
huống trong cuộc sống xã hội mà còn được hiểu là các tình huống nảy sinh
trong các ngành khoa học như vật lí, hóa học, sinh học,… Trong khóa luận
này chủ yếu đề cập đến các bài toán thực tiễn trong đời sống hàng ngày.
Ví dụ 3: Một người đi làm với mức lương khởi điểm là 3 triệu đồng 1 tháng,
cứ sau mỗi tháng lương của người đó được tăng thêm 5% một tháng. Tính
tổng số tiền lương người đó nhận được sau một năm làm việc?
Ví dụ 4: Một đội công nhân sửa một đoạn đường tại xã Đức Hòa trong 5
ngày. Một đội công nhân khác sửa đoạn đường đó hết 10 ngày. Hỏi nếu cả hai


đội cùng làm thì đoạn đường được sửa xong trong trong bao nhiêu ngày?
Ví dụ 3 và ví dụ 4 đưa ra hai BTTT, tức là trong giả thiết và kết luận
của bài toán đều chứa những yếu tố có liên quan đến thực tiễn. Các bài toán
này có thể xuất phát từ thực tiễn như ví dụ 3, hoặc có thể do tưởng tượng,
sáng tạo ra như ở ví dụ 4.
1.3.2. Vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học
Bài toán có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua giải bài
toán, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và
thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động
Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những
hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Cụ thể, bài toán có vai
trò:
1.3.2.1. Củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh
Khi giải một bài toán HS phải đi từ việc nghiên cứu đề bài đến tìm đáp
án. Để làm được điều này HS phải trải qua một quá trình quan sát, tổng hợp,

phán đoán,…
Quá trình giải bài toán không phải bắt đầu từ con số “0” mà phải dựa
vào kinh nghiệm thực tiễn, những kiến thức mà HS đã tích lũy từ trước. Các
em phải nhớ, hiểu và vận dụng được những kiến thức và kinh nghiệm đó thì
mới giải được bài toán.
Như vậy, khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có
trong bài toán, mà cả một hệ thống kiến thức liên quan tới bài toán cũng được
củng cố qua lại nhiều lần. Qua đó, người học hiểu sâu hơn kiến thức, đồng
thời giúp cho việc hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được
trình bày trong phần lý thuyết và biết vận dụng những kiến thức đã học vào
việc giải quyết những tình huống cụ thể.
Thông qua giải bài toán, HS cũng được rèn luyện các kĩ năng, kĩ xảo ở