Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học và vận dụng toán học trong dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề quan hệ song song trong không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
===============================
=

KHOA TOÁN

Trịnh Văn Nội

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ
TOÁN HỌC VÀ VẬN DỤNG TOÁN HỌC TRONG DẠY
HỌC CÁC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ
QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
2
===============================
=

KHOA TOÁN

Trịnh Văn Nội

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ
TOÁN HỌC VÀ VẬN DỤNG TOÁN HỌC TRONG DẠY

HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ
QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sinh viên thực hiện: Trịnh Văn Nội
Lớp: K40E SP Toán
Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Văn Hà

Hà Nội - 2018


LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ
nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học trường ĐHSP Hà
Nội 2 và các bạn sinh viên trong khoa Toán. Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc
tới các thầy, cô trong tổ phương pháp dạy học khoa Toán và đặc biệt là thầy
giáo Nguyễn Văn Hà - người đã định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ
bảo, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận tốt nghiệp của em không
tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em
được hoàn thiện hơn.
Em xin trân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên
Nội
Trịnh Văn Nội

LỜI CAM ĐOAN

Tên em là: Trịnh Văn Nội
Sinh viên lớp: K40E – Sư phạm Toán
Trường: ĐHSP Hà Nội 2
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của
riêng em dưới sự hướng dẫn, chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn. Và nó không
trùng với kết quả của bất kì tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên
Nội
Trịnh Văn Nội


Mục lục
Lời mở đầu ......................................................................................3
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn............................................6
1.1 Năng lực và năng lực Toán học ...............................................6
1.1.1 Năng lực.............................................................................................. 6
1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh........................................................ 8

1.2 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán
học.....................................................................................................9
1.2.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh......................... 9
1.2.2 Năng lực vận dụng Toán học........................................................... 10

1.3. Dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông...............11

1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm ................................................ 11
1.3.2 Vị trí khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm ............................. 13
1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm ở phổ thông ................... 13
1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm................................................... 14
1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm. ............................................ 15
1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm .......................................................... 18

1.4 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận
dụng Toán học trong dạy học khái niệm hình học....................19
1.4.1 Định hướng chung về phát triển năng lực Toán học của học sinh
trong dạy học môn toán............................................................................ 19
1.4.2 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học ........................... 19

Tiểu kết chương 1: ........................................................................21
Chương 2: ......................................................................................23
Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc
chủ đề “Quan hệ song song” trong không gian ở lớp 11 theo
định hướng phát triển năng lực ..................................................23
2.1 Phân tích nội dung chủ đề quan hệ song song trong không
gian ở trường phổ thông ..............................................................23


2.1.1. Nội dung chương trình của chủ đề quan hệ song song ở lớp 11
trường phổ thông ...................................................................................... 23
2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung chủ đề quan hệ song song ở lớp 11 ... 24

2.2 Thiết kế các hoạt động tổ chức dạy học theo hướng phát
triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận
dụng Toán học...............................................................................24
2.3 Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học các khái niệm hình

học không gian lớp 11 trường THPT..........................................26
2.3.1 Kế hoạch bài học “Điều kiện xác định mặt phẳng” ....................... 26
2.3.2 Kế hoạch bài học “ Hai đường thẳng song song”........................... 28
2.3.3 Kế hoạch bài học “ Đường thẳng song song với mặt phẳng ”..….31
2.3.4 Kế hoạch bài học “Hai mặt phẳng song song” .............................. 34
2.3.5. Kế hoạch bài học “ Phép chiếu song song”.................................... 38

Tiểu kết chương 2: ........................................................................40
Kết luận..........................................................................................41
Tài liệu tham khảo ........................................................................43


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
Tiếp tục đẩy mạnh toàn diện công cuộc đổi mới, thực hiện công
nghiệp hóa, hiện đại hóa gắn với phát triển tri thức, tích cực chủ động hội
nhập quốc tế sâu rộng hơn để đến năm 2020 nước ta trở thành một nước
công nghiệp theo hướng hiện đại đặt ra cho giáo dục, đào tạo nước ta
những yêu cầu, thách thức mới. Một trong những điểm nổi bật của việc đổi
mới chương trình giáo dục phổ thông sau năm 2015 là xây dựng và phát
triển chương trình theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh. Điều
này đòi hỏi phải có định hướng phát triển, có tầm nhìn chiến lược, ổn định
lâu dài cùng những phương pháp, hình thức, tổ chức, quản lí giáo dục và
đào tạo cho phù hợp.
Để thực hiên nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới.
Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư
duy giáo dục và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học môn
toán là một yếu tố quan trọng. Bởi vì Toán học có liên quan chặt chẽ với
thực tế và có ứng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học,
công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các

quá trình tự động hóa sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành
khoa học và được coi là chìa khóa của sự phát triển và thực tiễn đòi hỏi
con người có năng lực giải quyết vấn đề hơn là lý thuyết sáo rỗng.
Bên cạnh đó, thực tiễn Toán học cho thấy hình học không gian nói
chung và khái niệm quan hệ song song trong hình học không gian nói
riêng là một khái niệm mới đối với học sinh phổ thông. Nó đòi hỏi sự
tưởng tượng ra hình thật , nhận biết đúng quan hệ thật từ hình vẽ biểu diễn
của hình không gian. Đây là một điều khó khăn với học sinh, rất nhiều học
sinh còn bộc lộ yếu kém, hạn chế năng lực. Do vậy việc rèn luyện và phát

3


triển năng lực cho học sinh nói chung và học sinh phổ thông nói riêng là
vấn đề cấp bách.
Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Phát triển năng lực
sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học trong dạy học khái niệm
hình học thuộc chủ đề quan hệ song song trong không gian.”
2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm định hướng phát triển năng lực của học sinh đối với việc học
tập khái niệm thuộc chủ đề quan hệ song song trong không gian.
Xây dựng hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề quan
hệ song song ở lớp 11 trường THPT theo hướng tiếp cận năng lực học sinh
góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở
phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về lí luận:
+ Năng lực và năng lực toán học của học sinh.
+ Phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lưc cho
học sinh.

+ Dạy học khái niệm Toán học và nội dung dạy học khái niệm
trong chủ đề quan hệ song song ở lớp 11 trường THPT.
- Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học thuộc chủ đề
quan hệ song song ở lớp 11 trường THPT theo hướng tiếp cận năng lực.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các khái niệm toán học thuộc chủ đề quan hệ song song ở lớp 11
trường THPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận các tài liệu về năng lực của học sinh, về
phương pháp dạy học khái niệm môn toán.
Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo
phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh.
4


Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán
thuộc chủ đề quan hệ song song ở lớp 11 trường THPT.
6. Nội dung
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn:
1.1 Năng lực và năng lực toán học
1.2 Định hướng tiếp cận năng lực học sinh trong dạy học môn
toán ở trường phổ thông
1.3 Dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông
1.4 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực
vận dụng Toán học của học sinh.
Chương II: Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học
thuộc chủ đề quan hệ song song theo hướng phát triển năng lực học sinh:
2.1 Quan hệ song song ở lớp 11 trong trường phổ thông
2.2 Thiết kế các hoạt động dạy học khái niệm trong chủ đề quan
hệ song song ở lớp 11 trường THPT theo định hướng phát triển năng

lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học.

5


Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1 Năng lực và năng lực Toán học
1.1.1 Năng lực
Theo quan điểm của những nhà tâm lý học năng lực là tổng hợp các
đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trưng của
một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.
Năng lực của con người có đặc điểm sau:
+ Năng lực luôn gắn với một hoạt động cụ thể
+ Năng lực được hình thành và bộc lộ trong hoạt động
+ Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm sinh di truyền, môi
trường và hoạt động của bản thân.
Như vậy, năng lực của con người hình thành trên cơ sở chi phối nhiều
bởi các yếu tố tư chất của cá nhân, nhưng năng lực của con người không phải
hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà hình
thành phát triển năng lực.
Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực
chung và năng lực chuyên môn.
+ Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác
nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực
luyện tập, năng lực tưởng tưởng.
+ Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định
của xã hội như năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội
hoạ, năng lực toán học...
Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với
nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát

triển thì càng dễ thành đạt được năng lực chuyên môn. Ngược lại sự phát triển
của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng
đối với sự phát triển của năng lực chung. Trong thực tế mọi hoạt động có kết
quả và hiệu quả cao thì mỗi người đều phải có năng lực chung phát triển ở

6


trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tương ứng với lĩnh vực
công việc của mình.
Năng lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm
sinh lý của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo
tối thiểu là cái mà người đó có thể dùng khi hoạt động.
Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực
ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:
- Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người kia,
nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về
năng lực.
- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực
hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt
chung chung nào.
- Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc
vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát
triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con người. Trong xã hội có bao
nhiêu hình thức hoạt động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực,
có người có năng lực về quản lý kinh tế, có người có năng lực về Toán học,
có người có năng lực về kỹ thuật, có người có năng lực về thể thao ...
- Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là
những hiểu biết thu nhân được từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc
sống của mình. Kỹ năng là sự vận dụng bước đầu những kiến thức thu lượm

vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó. Kỹ xảo là những kỹ năng
được lắp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con người không
phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm. Còn năng lực là một tổ
hợp phầm chất tương đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện
có kết quả một hoạt động. Như vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các
kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn.

7


1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh
Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học được hiểu dưới hai
bình diện sau:
Năng lực nghiên cứu Toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt
động Toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và có ý
nghĩa với nhân loại.
Năng lực Toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình Toán
học ở trường phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến
thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
- Năng lực Toán học của học sinh:
Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực Toán
học của học sinh: “Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được
yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng
trong lĩnh vực Toán học tương đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những
điều kiện như nhau”.
- Trong quá trình tiếp thu tri thức, học sinh tham gia nhiều hình thức
hoạt động Toán học. Mỗi hoạt động Toán học phức hợp đặc trưng cho một
dạng năng lực thành phần. Các năng lực thành phần này có quan hệ chặt chẽ
với nhau tạo thành một cấu trúc năng lực Toán học. Cấu trúc năng lực Toán
học bao gồm các dạng năng lực thành phần sau:

+ Năng lực tính toán, giải toán
+ Năng lực tư duy Toán học
+ Năng lực giao tiếp Toán học (Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học)
+ Năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn
+ Năng lực giải quyết vấn đề
+ Năng lực sáng tạo Toán học.

8


1.2 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học
1.2.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh
-Tư duy là một qúa trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng
trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.
-Ngôn ngữ là một hệ thống phức tạp con người sử dụng để liên
lạc hay giao tiếp với nhau.
- Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ:
Ngôn ngữ cố định lại kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt kết
quả tư duy, do đó có thể khách quan hóa kết quả tư duy cho người khác và
cho bản thân chủ thể tư duy.
Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (quy
tắc, khái niệm, công thức, quy luật…) và kinh nghiệm của bản thân vào quá
trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát…) để nhận thức được cái
bên trong, bản chất của sự vật hiện tượng.
Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm
thanh vô nghĩa. Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là tư duy mà chỉ là phương
tiện của tư duy.
Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh thể hiện qua hai
hoạt động chỉ báo tương ứng:

+ Diễn đạt nội dung các kiến thức Toán học, các tình huống Toán học
bằng ngôn ngữ kí hiệu Toán học. Ngôn ngữ kí hiệu Toán học là ngôn ngữ
được sử dụng tối đa các kí hiệu Toán học cho các đối tượng tương ứng, đồng
thời giảm thiểu ngôn ngữ thông thường- Ngôn ngữ kí hiệu Toán học là ngôn
ngữ sử dụng khi viết về nội dung các kiến thức Toán học.
+ Diễn đạt nội dung các kiến thức Toán học, các tình huống Toán học
bằng ngôn ngữ thông thường. Trong ngôn ngữ này không sử dụng kí hiệu
Toán học cho các đối tượng trong đó- Ngôn ngữ thông thường được sử dụng
khi nói về nội dung các kiến thức Toán học.
9


Như vậy, trong quá trình dạy học toán việc phát triển năng lực sử dụng
ngôn ngữ Toán học gắn liền với phát triển tư duy Toán học.
1.2.2 Năng lực vận dụng Toán học
Hiện nay, các nhà giáo dục và các nhà sư phạm đều thống nhất về việc
đánh giá theo cấp độ nhận thức tri thức từ thấp tới cao của học sinh trong học
tập như sau:
- Nhận biết:
Nhớ lại, tái hiện được nội dung tri thức, liệt kệ, thuật lại, nhận dạng tri

10


thức.
Yêu cầu của nhận biết là nhớ lại, tái hiện lại được khái niệm và nhận
dạng được khái niệm. Đây là cấp độ thấp nhất của kết quả học tập trong lĩnh
vực nhận thức.
- Thông hiểu:
Nắm được ý nghĩa của thông tin, chuyển đổi được từ dạng này sang

dạng khác, so sánh, sắp xếp, dự đoán, mở rộng,,,
Yêu cầu của thông hiểu là biểu thị, minh họa, giải thích được ý nghĩa
khái niệm và có thể vận dụng chúng khi chúng được thể hiện theo các cách
tương tự như đã biết trên lớp học.
- Vận dụng:
Khả năng sử dụng kiến thức đã học vào hoàn cảnh cụ thể mới; vận
dụng nhận biết, hiểu biết thông tin vấn đề đặt ra.
Yêu cầu vận dụng là sử dụng được các quy tắc, phương pháp, khái
niệm, … để giải quyết vấn đề trong học tập hoặc trong cuộc sống.
+ Vận dụng cấp độ thấp:
Tạo ra được sự liên kết logic giữa các khái niệm cơ bản và có thể sử
dụng thông tin, vận dụng các phương pháp, khái niệm, lý thuyết đã học trong
các tình huống khác.
+ Vận dụng cấp độ cao (sáng tạo):

11


Phân tích nhận ra các xu hướng, cấu trúc, những ẩn ý, những bộ phận
cấu thành.
Yêu cầu là sử dụng khái niệm đã học để giải quyết các vấn đề mới,
không giống với những điều đó được học hoặc trình bày trong sách giáo khoa
nhưng phù hợp khi được giải quyết với kỹ năng và kiến thức được giảng dạy
ở mức độ nhận thức này.
Như vậy, năng lực vận dụng là cấp độ tư duy cao nhất trong lĩnh vực
nhận thức các tri thức của học sinh trong học tập.
Năng lực vận dụng Toán học của học sinh thể hiện qua các hoạt động
chỉ báo tương ứng sau:
+ Toán học hóa các tình huống của thực tiễn
+ Sử dụng các kiến thức, quy tắc, khái niệm vào giải quyết vấn đề khác

tương tự với những điều đã biết trong cuộc sống, trong học tập
+ Sử dụng các kiến thức, quy tắc, khái niệm vào giải quyết vấn đề mới
không giống với những điều được học hoặc đã được biết trước.
1.3. Dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông.
1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm:
a) Khái niệm
Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh những tư tưởng chung, đặc
trưng, bản chất của lớp đối tượng hoặc quan hệ giữa các đối tượng vào trong
bộ não con người.
Như vậy có hai loại khái niệm:
- Khái niệm về lớp đối tượng:
+ Hình chữ nhật: “Hình chữ nhật là hình bình hành và có một góc
vuông”
+ Số nguyên tố: “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước
số là 1 và chính nó”
- Khái niệm về quan hệ giữa các đối tượng:


+ Hai tam giác bằng nhau: “Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có
các góc và các cạnh tương ứng bằng nhau”
+ Hai tam giác đồng dạng: “Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có
các góc bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ”.
• Nội hàm và ngoại diên của khái niệm.
Ngoại diên của khái niệm: Tập hợp các đối tượng hoặc lớp đối tượng
phản ánh trong định nghĩa khái niệm.
Nội hàm của khái niệm: Tập hợp các thuộc tính chung của lớp đối
tượng tương đương hoặc quan hệ đối tượng.
Ví dụ 1: Xét khái niệm “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có
hai ước số là 1 và chính nó” .
Ta thấy rằng ngoại diên của khái niệm trên là tập hợp tất cả các số

nguyên tố, nội hàm của khái niệm trên là “số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai
ước số là 1 và chính nó”.
Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính quy luật, nội
hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.
• Định nghĩa khái niệm.
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối
tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác.
Ví dụ: “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau”.
• Khái niệm không định nghĩa
Định nghĩa khái niệm mới thường dựa vào khái niệm đã biết. Tuy
nhiên, quá trình này không thể kéo dài vô hạn, tức là phải có khái niệm được
thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những hái niệm nguyên thủy trong Toán
học.
Ở trường phổ thông, chúng ta thấy có một số khái niệm cũng không
được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong
Toán học. Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông,


cần mô tả giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được
những khái niệm này và hiểu được chúng một cách trực giác.
1.3.2 Vị trí khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm
a) Vị trí khái niệm.
Trong vệc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học
nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách
vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm. Việc hình thành một hệ
thống khái niệm Toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức Toán, là tiền đề
hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, có tác dụng lớn
đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần giáo dục thế giới quan cho học
sinh qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các
khái niệm Toán học.

b) Yêu cầu dạy học khái niệm.
Thông hiểu các dấu hiệu đặc trưng, bản chất của khái niệm.
Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho
trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể
hiện khái niệm.
Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một khái niệm.
Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động
giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.
Biết phân loại khái niệm và nhận biết được mối quan hệ của một khái
niệm với những khái niệm khác trong hệ thống khái niệm.
1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm ở phổ thông
a) Định nghĩa theo phương pháp loại- chủng.
- Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loại - chủng là định nghĩa
khái niệm mới bằng cách nêu lên khái niệm loại và chỉ rõ đặc tính của chủng.
- Cấu trúc: Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loại + Dấu hiệu đặc
trưng của chủng.


- Ví dụ: Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
Trong đó: Hình vuông: Khái niệm được định nghĩa.
Hình chữ nhật: Khái niệm loại.
Hai cạnh kề bằng nhau: Dấu hiệu đặc trưng của chủng.
b) Định nghĩa bằng quy ước.
- Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho
đối tượng cần định nghĩa một tên gọi hay một đối tượng đã biết nào đó.
- Ví dụ: a0 = 1 (a ≠ 0). Định nghĩa a0 bằng cách gán cho a0 giá trị là số
1.
c) Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề.
- Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề là hình thức định
nghĩa gián tiếp các khái niệm cơ bản thông qua các tiên đề.

- Ví dụ: ∆ABC = ∆A’B’C’ nếu:

,

,

, AB=

A’B’, AC= A’C’, BC= B’C’.
d) Định nghĩa bằng mô tả:
- Nội dung: Định nghĩa bằng mô tả là phương pháp định nghĩa bằng
cách chỉ ra cách tạo đối tượng hoặc mô tả những đối tượng gần giống nó.
- Ví dụ: Định nghĩa “điểm” là một dấu chấm nhỏ trên trang mặt phẳng
cho ta hình ảnh về điểm.
1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm
a) Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng.
Định nghĩa phải tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm
định nghĩa và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau.
Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm
quá hẹp hay qúa rộng so với khái niệm được định nghĩa.
Ví dụ: Số vô tỉ là số thập phân vô hạn.


Ta thấy phạm vi của khái niệm được định nghĩa (Số vô tỉ) nhỏ hơn
phạm vi của khái niệm định nghĩa (Số thập phân vô hạn). Vậy định nghĩa khái
niệm trên không tương xứng.
b) Quy tắc 2: Định nghĩa phải xác định
Định nghĩa xác định là khi định nghĩa một khái niệm mới phải dựa vào
khái niệm đã biết trước đó.
Ví dụ: Số vô tỉ là số thực không hữu tỷ.

Ta thấy định nghĩa số vô tỷ dựa vào khái niệm số thực chưa biết. Như
yậy định nghĩa khái niệm trên đã vi phạm quy tắc định nghĩa phải xác định.
c) Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu.
Định nghĩa phải tối thiểu là trong nội dung của khái niệm định nghĩa
không chứa những thuộc tính có thể suy ra được những thuộc tính còn lại.
Ví dụ: Hình bình hành là tứ giác phẳng có các cạnh đối diện song song
và bằng nhau.
Ta thấy, tính chất “các cạnh đối diện song song” đã bao gồm tính chất
“tứ giác phẳng” và có các cạnh đối diện “bằng nhau”. Vậy định nghĩa trên vi
phạm quy tắc định nghĩa phải tối thiểu.
d)

Quuy tắc 4: Định nghĩa không dùng lối phủ định

Định nghĩa khái niệm không dùng lối phủ định khái niệm đã biết nào
đó khi khái niệm đã biết và khái niệm cần định nghĩa không phải là hai khái
niệm loại trừ nhau. (Hai khái niệm là loại trừ nhau nhau nếu chúng có chung
khái niệm loài và phạm vi của chúng giao với nhau bằng rỗng, hợp với nhau
bằng phạm vi của khái niệm loài).
1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm.
Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư
duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh nhờ
mô tả, nhờ trực giác.Trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường tiếp cận
khái niệm: Con đường quy nạp, con đường suy diễn và con đường kiến thiết.
a) Tiếp cận khái niệm theo con đường quy nạp.


- Nội dung: Xuất phát từ các trường hợp riêng lẻ, mô hình vẽ, vật thật,
… Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, khái quát hóa, … Tìm ra dấu
hiệu đặc trưng của khái niệm và thể hiện ra các trường hợp cụ thể đó, từ đó đi

đến định nghĩa tường minh hay hiểu biết trực giác của khái niệm.
- Quy trình:
+ Bước 1: Giáo viên đưa ra các ví dụ cụ thể để học sinh thấy được sự
tồn tại hay tác dụng của một loại đối tượng.
+ Bước 2: Dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh để nêu bật các đặc điểm
chung của các đối tượng đang được xem xét.
+ Bước 3: Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu các đặc điểm cá
nhân bằng cách nêu tên và các đặc điểm đặc trưng của đối tượng.
- Ưu- Nhược điểm:
Ưu điểm: Rèn luyện được thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp và phát
huy được tính tích cực, chủ động, của học sinh.
Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian.
- Điều kiện sử dụng:
Khi định hình được một số đối tượng thuộc phạm vi của khái niệm cần
hình thành.
Chưa phát hiện ra được khái niệm loại là điểm xuất phát cho con đường
suy diễn.
b) Tiếp cận khái niệm theo con đường suy diễn.
- Nội dung: Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm khái
niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm để được khái niệm mới.
- Quy trình:
+ Bước 1: Chọn một khái niệm đã biết và them vào nội hàm của một số
thuộc tính nào đó.
+ Bước 2: Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới
và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hóa hơn cùng với những đặc
điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.


+ Bước 3: Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa
được định nghĩa.

- Ưu- Nhược điểm.
Ưu điểm: Tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc tập dượt cho học
sinh tự học những khái niệm Toán học thông qua sách và tài liệu, hoặc nghe
những báo cáo trên lĩnh vực Toán học.
Nhược điểm: Hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những
năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trìu tượng hóa và khái
quát hóa.
- Điều kiện sử dụng:
Khi có thể gọi cho học sinh quan tâm tới một khái niệm làm điểm xuất
phát và một đặc điểm có thể bổ sung vào nội hàm của khái niệm đó để định
nghĩa một khái niệm khác hẹp hơn.
c) Tiếp cận khái niệm theo con đường kiến thiết.
- Nội dung: Tiếp cận khái niệm bằng con đường kiến thiết là chỉ rõ quy
trình xây dựng những đối tượng đại diện cho lớp đối tượng riêng lẻ.
- Quy trình:
+ Bước 1: Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện hướng vào
những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Toán học hay từ thực
tiễn.
+ Bước 2: Khái quát hóa quy trình xây dựng những đối tượng đại diện,
đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.
+ Bước 3: Phát biểu định nghĩa.
- Ưu- Nhược điểm:
Ưu điểm: Thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của
học sinh và rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề.
Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian.
- Điều kiện sử dụng:


Học sinh chưa được định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên
khái niệm, do đó con đường quy nạp không thích hợp.

Học sinh chưa phát hiện được một khái niệm loại nào thích hợp với
khái niệm cần định nghĩa làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm
a) Nhận dạng và thể hiện khái niệm.
Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước có
thỏa mãn định nghĩa đó hay không. Thể hiện một khái niệm là tạo một đối
tượng thỏa mãn định nghĩa đó. Nhận dạng và thể hiện khái niệm là hai dạng
hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm.
Thực hiện hoạt động nhận dạng và thể hiện một khái niệm cần lưu ý:
Thứ nhất, cần sử dụng cả những đối tượng thuộc ngoại diên lẫn những
đối tượng không thuộc ngoại diên khái niệm đó.
Thứ hai, đối với những đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm đang
xét thì cần đưa ra cả những trường hợp đặc biệt.
b) Hoạt động ngôn ngữ.
Phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định nghĩa một
cách tường minh hay ẩn tàng.
Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết cách thay đổi cách
phát biểu, diễn đạt định nghĩa dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau.
c) Hoạt động luyện tập, vận dung:.
Luyện tập khái niệm là học sinh được tập sử dụng trực tiếp các kiến
thức định nghĩa khái niệm giải quyết các vấn đề cơ bản, điển hình trong thực
tế, trong Toán học.
Vận dụng khái niệm là học sinh sử dụng đồng thời các kiến thức về
khái niệm giải quyết các vấn đề nảy sinh trong Toán học và trong đời sống.
Hệ thống hóa là sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm đã học,
nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm với nhau.


1.4 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán
học trong dạy học khái niệm hình học

1.4.1 Định hướng chung về phát triển năng lực Toán học của học sinh
trong dạy học môn toán
Phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực chủ trương
giúp người học không chỉ biết học thuộc, ghi nhớ mà còn phải biết làm thông
qua các hoạt động cụ thể, sử dụng những tri thức học được để giải quyết các
tình huống do cuộc sống đặt ra.
Do đó, định hướng phát triển năng lực học sinh trong dạy học kiến thức
mới về môn toán là “Tăng cường cho học sinh được trải nghiệm qua các hoạt
động tư duy trong quá trình hình thành, kiến tạo tri thức; đồng thời chú trọng
các hoạt động vận dụng tri thức để giải quyết được vấn đề đặt ra trong các
tình huống của thực tiễn” [3]
1.4.2 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học
Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh thể hiện qua hai
hoạt động chỉ báo: Diễn tả nội dung các kiến thức, tình huống Toán học bằng
cả ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ kí hiệu Toán học.
Do vậy, phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học trong dạy
học toán bao gồm phát triển đồng thời cả ngôn ngữ thông thường (Ngôn ngữ
nói) và ngôn ngữ kí hiệu Toán học (Ngôn ngữ viết):
- Ngôn ngữ kí hiệu Toán học: (Ngôn ngữ viết)
+ Diễn tả nội dung kiến thức Toán học, tình huống Toán học bằng việc
chủ yếu sử dụng các kí hiệu Toán học, trong đó kí hiệu Toán học là tên gọi
gán cho từng đối tượng cụ thể trong tình huống đó;
+ Kiến thức khi diễn tả bằng ngôn ngữ kí hiệu Toán học sẽ được trình
bày một cách ngắn gọn, súc tích. Điều đó thuận tiện cho việc ghi chép, lưu
giữ các tri thức dưới dạng thông tin vật chất tồn tại ở bên ngoài trí não của
con người. Các thông tin đó được ghi lại dưới dạng văn bản tồn tại một cách
lâu bền và có thể lưu truyền từ người này sang người khác. Tuy nhiên, việc


ghi nhớ, lưu giữ các tri thức trong trí não con người là khó khăn, dẫn đến

không thể nhanh chóng tái hiện các tri thức trong trí não và không thuận tiện
cho việc sử dụng các tri thức trong vận dụng.
+ Sử dụng ngôn ngữ kí hiệu Toán học diễn tả tình huống giúp học sinh
nhanh chóng nhận rõ nhiệm vụ Toán học của vấn đề cần phải giải quyết và
phân biệt rõ ràng cấu trúc trong chứng minh Toán học.
- Ngôn ngữ thông thường: (Ngôn ngữ nói)
+ Diễn tả nội dung kiến thức Toán học, tình huống Toán học bằng ngôn
ngữ thông thường, không chứa các kí hiệu Toán học là tên gọi gán cho từng
đối tượng cụ thể trong tình huống đó. Trong ngôn ngữ thông thường, người ta
sử dụng danh từ chung chỉ một loại đối tượng, còn việc phân biệt từng đối
tượng cụ thể trong loại đối tượng đó sẽ sử dụng các từ “này”, “khác”, “kia” đi
kèm danh từ chung chỉ loại đối tượng chung đó.
+ Nội dung kiến thức Toán học mang tính khái quát cao vì trong đó
không lệ thuộc vào các kí hiệu cụ thể là tên gọi gán cho các đối tượng trong
tình huống.
+ Kiến thức diễn tả bằng ngôn ngữ thông thường giúp học sinh dễ dàng
ghi nhớ trong trí não, nhanh chóng tái hiện và sử dụng kiến thức để giải quyết
các tình huống đặt ra trong thực tiễn.
Trong dạy học môn Toán, phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán
học là cho học sinh thường xuyên diễn tả nội dung các kiến thức Toán học,
các tình huống Toán học đồng thời bằng cả ngôn ngữ thông thường (Ngôn
ngữ nói) và ngôn ngữ kí hiệu Toán học (Ngôn ngữ viết).
Trong dạy học khái niệm Toán học, phát triển năng lực sử dụng ngôn
ngữ Toán học là cho học sinh thường xuyên được trải nghiệm các hoạt động
diễn tả nội dung các kiến thức về khái niệm đồng thời bằng cả ngôn ngữ nói
và ngôn ngữ viết trong quá trình hình thành, củng cố khái niệm Toán học.
- Nêu định nghĩa khái niệm:

20