TÌM HIỂU nội DUNG dạy học và cơ sở TOÁN học của các KIẾN THỨC về số THẬP PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN ở TIỂU học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

BÀI THU HOẠCH SỐ 3
MÔN CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA MÔN TOÁN
Ở TIỂU HỌC 2
TÌM HIỂU NỘI DUNG DẠY HỌC VÀ CƠ SỞ TOÁN HỌC
CỦA CÁC KIẾN THỨC VỀ SỐ THẬP PHÂN
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN Ở TIỂU HỌC
Giảng viên
Nhóm thực hiện
Thành viên nhóm

Lớp

Hà Nội, 2018

: Nguyễn Thị Thanh Hà
: Nhóm 2
: Nguyễn Phương Mai
Nguyễn Thị Thu Hường
Trần Thị Diễm Hằng
Lê Huyền Trang
Trần Thị Thúy Hiền
: K67A


CƠ SỞ TOÁN HỌC VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC SỐ THẬP PHÂN
TRONG CHƯƠNG TRÌNH SGK TOÁN Ở TIỂU HỌC
Sơ đồ hệ thống hóa nội dung dạy học về số thập phân theo đúng đặc điểm cấu
trúc sắp xếp nội dung dạy học trong chương trình SGK Toán ở Tiểu học.

Khái niệm

•
•

Khái niệm
Hàng

•
•

So sánh

Tỉ số, tỉ số phần trăm

Quy tắc

•
•
•

4 phép tính

•
•
•

Số thập phân bằng nhau

Quy tắc
Tính chất
Giải toán

Nhận biết tỉ số, tỉ số phần trăm
Giải toán
Dùng máy tính bỏ túi giải toán

PHẦN I: KHÁI NIỆM SỐ THẬP PHÂN
A. Vài nét về lịch sử hình thành và phát triển của số thập phân
Số thập phân được sử dụng ngày nay bắt nguồn từ hệ thập phân (còn gọi là
hệ ghi cơ số 10), một trong những hệ ghi số được loài người tìm ra sớm nhất. Hệ
thập phân ra đời do nhu cầu ghi lại các số đếm và dựa theo cấu trúc sinh học thuận
tiện của con người là có 10 ngón tay (hay 10 ngón chân).
Lịch sử ghi nhận nền toán học Ấn Độ cổ đại (khoảng 3.000 - 2.500 năm
2


trước Công nguyên (TCN) đã sử dụng hệ cơ số 10. Ban đầu, hệ thập phân được kí
hiệu bởi 9 chữ số từ 1 đến 9 và dấu chấm "." biểu thị cho số 0. Những bản khắc
sớm nhất được tìm thấy thì số 0 được người Hinđu sử dụng từ khoảng 400 năm
TCN. Lại có truyền thuyết cho rằng số 0 xuất hiện ở Ấn Độ bắt nguồn từ tôn giáo.
Ngày nay, phần lớn người ta gọi dãy ký tự ghi số từ 0 đến 9 là chữ số Ả Rập bởi nó
được người Ả Rập truyền bá vào Châu Âu. Tuy vậy, tên gọi đúng của nó phải là
chữ số Ấn Độ hay chữ số Hinđu. Khởi đầu, cuốn sách "Sự hình thành của Vũ trụ"
được nhà toán học Ấn Độ Brahmagupa viết năm 628 đã sử dụng các kí hiệu hệ
thập phân của người Hinđu. Năm 776, cuốn sách được giới thiệu và dịch sang tiếng
Ả Rập. Hệ thống chữ số này được hai nhà toán học Al-Khawarizmi và Al-Kindi
tiếp tục truyền bá sâu rộng sang Trung Đông và phía Tây. Người ta đã kết hợp hệ
thập phân với phân số Ai Cập ra đời trước đó (là những phân số có tử số bằng 1,

xuất hiện từ cách đây gần 4.000 năm) để hình thành số thập phân. Đến thế kỷ thứ
X, số thập phân xuất hiện. Đó là những số biểu thị các số bất kỳ sang phân số có
mẫu số là 10, 100, 1000... và ký hiệu dưới dạng dãy số như những số đếm. Chẳng
hạn, thay vì viết phân số 15/50 = 3/10, ta viết số thập phân 0,3. Đến đầu thế kỷ
XIII, hệ ghi số này được truyền bá, sử dụng rộng rãi ở Châu Âu bởi nhà toán học
người Italia Fibonacci.
Người ta gọi những dãy chữ số trước dấu phẩy là phần nguyên, dãy sau là phần
phân. Ví dụ phân số 213/100 = 2,13 thì phần nguyên là 2 và phần phân là 13.
Người ta gọi số đứng ngay sau dấu phẩy (ở đây là số 1) là hàng phần mười, nếu có
những chữ số tiếp theo thì là hàng phần trăm (số 3) rồi đến hàng phần nghìn.
Trong chương trình học ở Việt Nam hiện tại, chúng ta sử dụng dấu phẩy ","
để ngăn cách phần nguyên và phần phân. Tuy vậy, nhiều nơi sử dụng dấu chấm ".".

3


Phổ biến nhất có lẽ là trên các hệ thống máy tính. Khi đó 213/100 = 2.13 còn
40213001/10 = 4,021,300.1.
Có những số khi đổi sang số thập phân có hữu hạn chữ số như 3/10 = 0,3.
Có số thì vô hạn nhưng lặp lại như 4/3 = 1,33... Hai loại số này đều là những phân
số hay số hữu tỷ. Lại có những số khi đổi sang số thập phân được số vô hạn nhưng
không tuần hoàn, được gọi là số vô tỷ (chẳng hạn số pi).
B.

Cơ sở toán học về khái niệm số thập phân
1.Số thập phân hữu hạn tuần hoàn
1.1. Phân số thập phân
Số hữu tỉ x được gọi là một phân số thập phân nếu nó được đại diện bởi một
phân số với mẫu số là một lũy thừa của 10.
VD: - x = là một phân số thập phân

- x = là một phân số thập phân, vì x cũng được đại diện bởi phân số .
- Mọi số nguyên n đều là phân số thập phân vì n đại diện bởi phân số với 1
= là một lũy thừa của 10.
Vì lũy thừa của 10 chỉ chứa hai ước nguyên tố là 2 và 5, ngược lại một số
tự nhiên không chứa ước nguyên tố nào khác 2 và 5 đều là ước của một lũy
thừa của 10, do đó một số hữu tỉ là phân số thập phân khi và chỉ khi hoặc nó
là một số nguyên, hoặc phân số tối giản đại diện cho nó có mẫu số không
chứa ước nguyên tố nào khác 2 và 5.
1.2. Số thập phân hữu hạn
Giả sử x = là một phân số thập phân, a là một số tự nhiên có m chữ số:
Ta xét hai trường hợp:
a) m n. Khi đó
Như vậy, x viết được thành một tổng theo các lũy thừa của 10, trong đó có
cả lũy thừa với số mũ âm. Theo nguyên tắc ghi số trong hệ thập phân ta viết
Ở đây dấu phẩy dùng để phân cách giữa lũy thừa với số mũ không âm và lũy
thừa với số mũ âm của 10.
b) m < n. Khi đó

4


Như vậy, x viết được thành tổng các lũy thừa với số mũ âm của 10. Ta bổ
sung vào tổng này các lũy thừa của 10 cho đến lũy thừa với số mũ 0.
x = 0.
Theo cách ghi số trên ta viết
Để thống nhất cách viết cho cả hai trường hợp, ta đặt N = trong trường hợp
a) và N = 0 trong trường hợp b) thì N là một số tự nhiên và ta có thể kết
luận: Mọi số thập phân dương đều được biểu diễn dưới dạng
N,
Mọi số thập phân âm đều được biểu diễn dưới dạng

- N,
Trong đó N là một số tự nhiên, là những chữ số (0
Ta nói N, (hoặc - N, ) là một số thập phân hữu hạn.Trong sốthập phân N,
gọi là phần nguyên, gọi là phần thập phân.
Như vậy, mọi số thập phân đều biểu diễn được dưới dạng một số thập phân
hữu hạn.
VD:
Chú ý. Trong thực hành, để viết sô thập phân , với a có m chữ số, dưới dạng
số thập phân ta làm như sau:
- Nếu m > n ta đặt dấu phẩy vào trước chữ số thứ n của a kể từ phải sang
trái.
- Nếu m ta bổ sung n – m + 1 chữ số 0 vào bên trái của a rồi đặt dấu phẩy
trước chữ số thứ n kể từ phải sang trái.
2. Số thập phân vô hạn tuần hoàn
Đối với các số hữa tỉ không phải phân số thập phân ta không thể biểu diễn
chúng dưới dạng tổng hữu hạn các lũy thừa của 10 (kể cả lũy thừa với số mũ âm)
như trường hợp phân số thập phân. Tuy nhiên ta có định lí sau:
* Định lí:
Với mỗi số hữu tỉ không âm x, có một và chỉ một dãy số (N, ) trong đó N N,
sao cho:
N xvà với mọi n 1:
5


Định nghĩa
Nếu (N, là dãy số tương ứng với số hữu tỉ không âm x nói ở định lí trên, thì
ta viết
x = N,
và nói đó là sự biểu diễn số hữu tỉ x dưới dạng số thập phân.

Kí hiệu N, trong đó N N, } gọi là một số thập phân vô hạn. Theo định lí
trên, khi số hữu tỉ x biểu diễn bởi số thập phân vô hạn N, có nghĩa x là tổng của
chuỗi hội tụ:
Cách biểu diễn và cách đọc số thập phân
Như ta đã biết, mỗi số thập phân có một cách biểu diễn là phân số thập phân.
Cách biểu diễn này có nhược điểm là cồng kềnh, không tiện lợi trong thực hành
tính toán. Vì vậy, ta thường biểu diễn các số thập phân dưới dạng thu gọn, chẳng
hạn:
- = 12,3 và đọc là: mười hai đơn vị nguyên và ba phần mười của đơn vị
hoặc: mười hai phẩy ba.
- = 0,71 và đọc là: không đơn vị nguyên và bảy mươi mốt phần một trăm
của đơn vị hoặc: không phẩy bảy mươi mốt.
- = 0,0043 và đọc là: không đơn vị nguyên và bốn mươi ba phần mười
nghìn của đơn vị hoặc: không phẩy không không bốn ba.
Vậy dạng thu gọn của số thập phân là dạng viết không có mẫu số của phân
số thập phân theo quy tắc dưới đây:
- Bỏ mẫu số, đồng thời dùng dấu phẩy phân chia các chữ số của tử số thành
hai nhóm: nhóm thứ nhất đứng bên phải dấu phẩy có số chữ số bằng số chữ
số 0 ở mẫu số; nhóm thứ hai đứng bên trái dấu phẩy gồm các chữ số còn lại
của tử số.
6


- Nếu số các chữ số của tử số ít hơn hay bằng số chữ số 0 ở mẫu số thì ta viết
thêm những chữ số 0 vào trước tử số trước khi dùng dấu phẩy phân chia.
Số đứng bên trái dấu phẩy gọi là phần nguyên, nhóm các chữ số đứng bên
phải dấu phẩy gọi là phần thập phân của số đó.
VD: 32,0412 có phần nguyên là 32 và phần thập phân là 0412.
C. Hình thành khái niệm số thập phân trong dạy học Tiểu học
Khái niệm số thập phân trong môn Toán lớp 5 bao gồm các nội dung sau:

- Hình thành khái niệm số thập phân;
- Giới thiệu cách đọc, viết và nhận biết cấu tạo của một số thập phân;
- Giới thiệu các hàng của một số thập phân;
- Dùng số thập phân để biểu diễn số đo đại lượng.
Thông qua các thao tác cụ thể, khái niệm “số thập phân” được hình thành cho
học sinh theo hai con đường:

• Hình thành khái niệm số thập phân trên cơ sở các phân số thập phân:
Theo cách này thì các phân số có mẫu là lũy thừa của 10 với số mũ không
âm đều được viết dưới dạng số thập phân hay ta có thể nói: Số thập phân là
cách viết không có mẫu số của phân số thập phân.
Ví dụ:

• Hình thành khái niệm số thập phân trên cơ sở của phép đo đại lượng :
Theo cách này thì số thập phân được hiểu là cách biểu diễn các số đo đại
lượng (từ nhiều đơn vị đo về một đơn vị đo hoặc từ đơn vị đo nhỏ hơn
về đơn vị đo lớn hơn).
Ví dụ :
3m 7dm = 3,7m.
7dm = 0,7m
7

2 tấn 35kg = 2,035 tấn.
458 cm2 = 0,0458 m2.


Căn cứ vào thứ tự các đơn vị đo trong bảng đơn vị đo đại lượng (Nếu đơn vị
nào còn thiếu cần được bổ sung bằng một chữ số 0, do đó có thể phải thêm các chữ
số 0 vào phần nguyên hoặc phần thập phân của số thập phân). Đây cũng chính là
cơ sở cho việc so sánh và đổi các đơn vị đo đại lượng.

Từ các cách hình thành khái niệm trên, rút ra kết luận cho học sinh.
Trước hết là theo cấu tạo mỗi số thập phân:
Mỗi số thập phân gồm hai phần: phần nguyên và phần thập phân,
chúng được phân cách bởi dấu phẩy.
Những chữ số ở bên trái dấu phẩy thuộc về phần nguyên, những chữ
số ở bên phải dấu phẩy thuộc về phần thập phân.
Ví dụ:

,
phần nguyên

phần thập phân

12,56 đọc là : mười hai phẩy năm mươi sáu.
•

8

Từ cấu tạo của số thập phân, ta hình thành khái niệm các hàng của số
thập phân và cách đọc, viết số thập phân cho học sinh.


 Cách đọc, viết số thập phân:
Muốn đọc một số thập phân, ta đọc lần lượt từ hàng cao đến hàng
thấp: trước hết đọc phần nguyên, đọc dấu “phẩy”, sau đó đọc phần thập
phân.
Muốn viết một số thập phân, ta viết lần lượt từ hàng cao đến hàng
thấp trước hết viết phần nguyên, viết dấu “phầy”, sau đó viết phần thập
phân.
Ví dụ:

2,35 đọc là hai phẩy ba mươi lăm.
0,032 đọc là không phẩy không ba hai.

Hay viết số thập phân có năm đơn vị, chín phần mười là 5,9.
viết số thập phân có hai nghìn không trăm linh hai đơn vị, tám phần
trăm là 2002,08.
• Yêu cầu cần đạt đối với học sinh về khái niệm số thập phân:

• Đọc, viết được số thập phân.

9


• Nhận biết được số thập phân bao gồm phần nguyên, phần thập phân và
hàng của số thập phân.

• Thể hiện được các số đo đại lượng bằng cách sử dụng số thập phân.
• Làm được những bài toán dễ và vừa của dạng bài cấu tạo số thập phân.
•

Ý nghĩa, ứng dụng thực tiễn của số thập phân
a, Ý nghĩa
- Cách biểu diễn thuận tiện và dễ hình dung hơn của phân số.
- Dùng để biểu thị số lượng, độ dài,… một cách chính xác của những sự vật
mà số tự nhiên không thể hiện được chuẩn xác.
b, Ứng dụng thực tiễn
Số thập phân được sử dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực trong đời
sống như chuyển số đo đại lượng dưới dạng số thập phân: độ dài, khối
lượng, thời gian, diện tích, thể tích; trong các bài toán tỉ số phần trăm,…

Ví dụ:
+ Trong hoạt động học tập: Học sinh cần chia tỉ lệ để vẽ bức tranh tĩnh
vật thì khi em đo độ dài vật thật rồi giảm độ dài của vật thật đi bằng cách
nhân với tỉ lệ ví dụ giảm đi 0,5 lần và dùng số liệu là số thập phân để
chính xác và dễ dàng hơn khi vẽ.
+ Trong lao động: Gửi tiết kiệm 5 000 000 đồng vào ngân hàng với lãi
suất tiết kiệm là 0,5% một tháng. (Họ sẽ tính được cả số tiền gửi và số
tiền lãi trong khoảng thời gian bất kỳ nếu họ muốn).
Chẳng hạn: Sau một tháng họ được số tiền lãi là:
5 000 000 : 100 x 0,5 = 25 000 (đồng)
D. Tính khoa học và tính sư phạm của phương pháp xây dựng và trình bày
khái niệm phân số trong chương trình Tiểu học
a. Tính sư phạm
10


- Lồng ghép kiến thức đã học về phân số và số đo đại lượng với các thao
tác cụ thể về để các em dần dần có những biểu tượng đơn giản nhất về số
thập phân
- Dạy học số thập phân theo các cách tiếp cận khác nhau:
+ Tiếp cận dựa vào phân số
+ Mã hóa lại số đo phức tạp
 Học sinh hình thành và tiếp cận khái niệm dễ dàng hơn, vận dụng
nhiều hơn trong cuộc sống.
b. Tính khoa học

• Tính chính xác: nội dung dạy học về số thập phân trong SGK luôn đảm bảo tính
chính xác về từng câu từ, chữ số.

• Tính hệ thống: nội dung được trình bày theo hệ thống rõ ràng, mạch lạc.

-

Dạy nội dung kiến thức mang tính vừa sức với học sinh: Những phân số không
chuyển thành phân số thập phân dược vẫn có thẻ viết dưới dạng phân số thập phân.
Nhưng đó là những số thập phân vô hạn tuần hoàn hoặc vô hạn không tuần hoàn
chỉ có thể biểu diễn gần đúng và chưa được dạy trong chương trình Tiểu học.
- Mang tính hệ thống:
+ Số thập phân được giới thiệu trong chương trình toán ở Tiểu học là dạng
số thập phân hữu hạn, dạng đơn giản nhất của số thập phân (phần thập phân là hữu
hạn chữ số, ví dụ: 5,23 ; 378,567 ; 1269,099 ). Lên trung học cơ sở,các em sẽ học
thêm hai dạng khác của số thập phân là số thập phân vô hạn tuần hoàn (ví dụ:
0,555555… hay 0,(5)) ; 5,275275…hay 5,(275)) và số thập phân vô hạn không
tuần hoàn ( ví dụ: 2,56387…; 3,46656878…) .
+ Sự hình thành số thập phân trong chương trình Tiểu học được tiến hành
từ dễ đến khó theo 3 dạng như sau:
+ Đầu tiên, SGK giới thiệu cho học sinh những số thập phân đơn giản nhất.
Các số này có phần nguyên là 0, phần thập phân chỉ gồm hai chữ số 0 và 1. Sự
đồng dạng này dựa vào mối quan hệ giữa 1dm, 1cm, 1mm với m. Mỗi đơnvị sau
kém đơn vị liền trước 10 lần. Đơn vị càng về sau, phần thập phân của số thập phân
càng được biểu diễn bởi càng nhiều số.

11


+ Tiếp theo, dạng số thập phân vẫn có phần nguyên là 0 nhưng phần thập
phân được biểu diễn bởi nhiều số hơn. Ví như: 0,5 ; 0,07 ; 0,009. So với lúc đầu,
quan niệm số thập phân của các em đã được mở rộng hơn. Nhưng tại đây vẫn chưa
đưa ra khái niệm số thập phân mà chỉ giới thiệu một số dạng số thập phân cụ thể.
Vì vậy bài tập sau tiết học này cũng chỉ nhằm củng cố mối liên hệ mật thiết giữa
phân số thập phân và số thập phân. Chủ yếu là các bài tập đọc các phân số thập

phân và chuyển từ phân số thập phân sang số thập phân.
+ Nhưng nếu chỉ dừng lại ở tiết học thứ nhất,các em rất dễ nhầm lẫn số
thập phân chỉ là những số bé hơn 1(có phần nguyên là 0). Ở tiết học thứ hai, SGK
đã giải quyết vấn đề này, đưa ra những số thập phân có dạng: phần nguyên là
những số khác 0 hoặc là 0 như: 2,7 ; 8,56 ; 0,195. Chúng được hình thành từ số
tự nhiên với nhiều đơn vị đo khác nhau (2m 7dm, 8m 56cm, 0m 195mm) chứ
không đơn thuần từ một đơn vị (1dm, 5dm, 9mm, 1cm). Từ các đơn vị đo độ dài
chuyển sang hỗn số có chứa phân số thập phân rồi viết dưới dạng số thập phân. Tới
đây, học sinh đã có hiểu biết khái quát về hình dạng và cấu tạo số thập phân. Vì vậy
hình thành khái niêm số thập phân là hợp lí. Qua quá trình hình thành khái niệm
này, ta có thể nói rằng, số thập phân chính là cách viết không có mẫu số của phân
số thập phân.
-

Tính hiện đại: Số thập phân là một nội dung khó nên khi hình thành kiến thức này
cho học sinh, giáo viên nên vận dụng nhiều hình thức khác nhau như powerpoint,
tiếp cận khơi gợi cho học sinh để học sinh tự suy ra vấn đề mình đang học, đảm
bảo tính lấy học sinh làm trung tâm trong giảng dạy hiện nay.

PHẦN II: SO SÁNH SỐ THẬP PHÂN
A.

12

Cơ sở toán học của so sánh số thập phân ở Tiểu học


(Quan hệ thứ tự trong tập số thập phân không âm)
Vì Q+10

⊂

Q+ nên để so sánh hai số thập phân ta đưa về so sánh hai số hữu tỉ

tương ứng. Cụ thể là:
Định nghĩa: Cho r và s là hai số thập phân. Ta nói rằng số thập phân r nhỏ hơn
hoặc bằng số thập phân s, kí hiệu là r

≤

s, nếu số hữu tỉ r nhỏ hơn hoặc bằng số

hữu tỉ s.
Ví dụ: Hãy so sánh hai số thập phân r = 9,63 và s = 12,1.
Ta có 9,63 = < = 12,1.
Xây dựng quan hệ thứ tự trong tập số thập phân như trên có ưu điểm về
phương diện lý thuyết, nhưng có nhược điểm là cồng kềnh trong thực hành so sánh
(phải đưa về so sánh phân số). Vì vậy khi so sánh các số thập phân, ta thường sử
dụng một trong hai quy tắc sau đây:
Quy tắc 1: Muốn so sánh một số thập phân với một số thập phân ta làm như
sau:
1.
2.
3.

Làm cho chữ số ở phần thập phân của chúng bằng nhau (bằng cách viết
thêm chữ số 0 vào những hàng còn thiếu).
Bỏ dấu phẩy, ta nhận được hai số tự nhiên.
So sánh hai số tự nhiên vừa nhận được, số nào lớn hơn thì số thập phân
tương ứng với nó sẽ lớn hơn. Nếu hai số tự nhiên bằng nhau thì hia số

thập phân tương ứng cũng bằng nhau.

Quy tắc 2: Muốn so sánh một số thập phân với một số thập phân ta làm như
sau:
1.
2.
3.

13

So sánh phần nguyên với phần nguyên, số nào có phần nguyên lớn hơn
sẽ lớn hơn.
Nếu phần nguyên của chúng bằng nhau thì ta so sánh chữ số phần mười,
số nào có chữ số phần mười lớn hơn sẽ lớn hơn.
Nếu chữ số phần mười của chúng cũng bằng nhau thì ta so sánh chữ số
phần trăm và cứ tiếp tục như thế cho đến khi gặp hàng lớn hơn.


Nếu phần nguyên và các chữ số ở phần thập phân cua chúng đều bằng
nhau thì hai số đó bằng nhau.
Ví dụ: Hãy so sánh hai số thập phân r = 9,63 và s = 12,1/
Cách 1: Ta có 12,1 = 12,10. Vì 963 < 1210 nên 9,63 < 12,1.
Cách 2: Vì 9 < 12 nên 9,63 < 12,1.
• Tính trù mật của tập số thập phân
4.

⊂

Vì Q+10 Q+ nên tập số thập phân không âm cũng có tính trù mật giống
như tập số hữu tỉ không âm.

Xen giữa hai số thập phân khác nhau tồn tại vô số các số thập phân khác
chúng.
B. Hình thành quan hệ so sánh các số thập phân ở Tiểu học
Tương tự như đối với phân số, khi so sánh hai số thập phân ta hướng tới hai
tình huống:
• Số này lớn hơn hoặc bé hơn số kia.
• Hai số bằng nhau.
Đây cũng chính là cách sắp xếp trong chính chương trình SGK Toán Tiểu
học: giới thiệu cho học sinh “ Số thập phân bằng nhau” sau dạy quy tắc so sánh hai
số thập phân.
Thông qua phép đo đại lượng (độ dài) ta đưa việc so sánh các số thập phân
về so sánh các số tự nhiên (mà học sinh thành thạo trước đó). Cụ thể:
Số thập phân bằng nhau
Đầu tiên, ta đưa ra ví dụ để đưa ra nhận xét cho học sinh:
9dm = 90cm
Mà
9dm = 0,9m
;
90cm = 0,90m
Nên 0,9m = 0,90m
Vậy 0,9 = 0,90
hoặc 0,90 = 0,9
Qua ví dụ này, ta thấy rằng chữ số 0 ở tận cùng phần thập phân trong số
thập phân 0,90 không có giá trị thực. Khi bỏ đi cũng không làm thay đổi giá
trị của các chữ số khác cũng như giá trị chung của số đó. Trong khi đó, nếu
xáy ra ở số tự nhiên sẽ hoàn toàn ngược lại.
Ví dụ: Số 520 nếu bỏ đi chữ số 0 thì thành 52, giá trị giảm đi 10 lần so với
ban đầu.
Có sự khác biệt này là do chiều, thứ tự xác định hàng của số tự nhiên và số
thập phân khác nhau.

a.

14


Hàng của số tự nhiên được xác định từ phải sang trái, từ hàng đơn vị, hàng
chục, hàng trăm,…. Nếu mất đi một chữ số 0 ở hàng đơn vị, chữ số ở hàng
chục sẽ thụt xuống thành hàng đơn vị, hàng trăm thành hàng chục,…cứ vậy
sẽ mất đi 10 lần giá trị ban đầu.
Ví dụ: 760 và 76
Hàng
Số tự nhiên

Trăm
7

Chục
6
7

Đơn vị
0
6

Đối với số thập phân, phần nguyên có cách xác định hàng giống số tự nhiên.
Còn phần thập phân thì ngược lại, các hàng được xác định từ trái sang phải,
bỏ đi chữ số 0 ở cuối cùng sẽ không ảnh hưởng tới các chữ số khác cũng như
giá trị chung của số đó.
Ví dụ: 0,90 và 0,9

Hàng

Đơn vị
Phần mười
Phần trăm
0
,
9
Số thập phân
0
,
9
0
 Kết luận: Nếu viết thêm chữ số 0 vào bên phải phần thập phân của
một số thập phân thì được một số thập phân bằng nó.
Ví dụ: 0,9 = 0,90 = 0,900 = 0,9000
12 = 12,0 = 12,00 = 12,000.
Nếu một số thập phân có chữ số 0 ở tận cùng bên phải
phần thập phân thì khi bỏ chữ số 0 đó đi, ta được một số thập phân
bằng nó.
Ví dụ: 0,9000 = 0,9.
b, So sánh hai số thập phân
Từ việc thông qua phép đo độ dài, ta đưa việc so sánh số thập phân về
bài toán quen thuộc hơn với học sinh đó là so sánh số tự nhiên trong hai
trường hợp:
• So sánh số thập phân có phần nguyên khác nhau:
Thông qua ví dụ: So sánh 8,1m và 7,9m.
Ta có thể viết: 8,1m = 81dm
7,9m = 79dm
Ta có: 81dm > 79dm ( 81 > 79 vì ở hàng chục có 8 > 7)

tức là: 8,1m > 7,9m.
Vậy:
8,1 > 7,9 (phần nguyên có 8 > 7)
15


So sánh số thập phân có phần nguyên giống nhau:
Thông qua ví dụ: So sánh 35,7 m và 35,698m.
Ta thấy 35,7m và 35,698m có phần nguyên giống nhau (đều bằng 35). Vì
vậy ta phải đi so sánh phần thập phân.
Phần thập phân của 35,7m là m = 7dm = 700mm.
Phần thập phân của 35,698m là m = 698mm
Mà 700mm > 698mm nên m > m.
Do đó 35,7m > 35,698m.
Vậy 35,7 > 35,698 ( phần nguyên bằng nhau, hàng phần mười có 7 > 6).
 Quy tắc so sánh số thập phân cho học sinh:
Muốn so sánh hai số thập phân ta có thể làm như sau:
- So sánh các phần nguyên của hai số đó như so sánh hai số tự
nhiên, số thập phân nào có phần nguyên lớn hơn thì số đó lớn hơn.
- Nếu phần nguyên của hai số đó bằng nhau thì so sánh phần thập
phân lần lượt từ hàng phần mười, hàng phần trăm, hàng phần
nghìn,…đến cùng một hàng nào đó số thập phân nào có chữ số ở
phần tương ứng lớn hơn thì số đó lớn hơn.
- Nếu phần nguyên và phần thập phân của hai số đó bằng nhau thì
hai số đó bằng nhau.
Ví dụ: 175,51> 157,53 ( vì 175 > 157).
53,424 < 53,58 ( phần nguyên bằng nhau, hàng phần mười có 4 < 5)
32,518 < 32,54 ( phần nguyên bằng nhau, hàng phần trăm có 1 < 4)
51,73 = 51,73.
• Yêu cầu cần đạt đối với học sinh:

- Nắm vững cách so sánh hai số thập phân.
- Thực hiện được việc sắp xếp số thập phân theo thứ tự (từ bé đến lớn
hoặc ngược lại) trong một nhóm không quá 4 thập phân.
• Tính sư phạm và tính khoa học của phương pháp xây dựng kiến thức
về so sánh số thập phân:
- Phù hợp với nhận thức của học sinh cuối Tiểu học: tư duy trừu tượng
đã phát triển hơn, gây dựng theo hệ thống rất mạch lạc (xây dựng từ
cái học sinh đã biết – so sánh số tự nhiên)
- Đảm bảo tính khoa học:
•

+ Tính chính xác: nội dung dạy học về số thập phân trong SGK luôn
đảm bảo tính chính xác về từng câu từ, chữ số.

16


+ Tính hệ thống: xây dựng theo trình tự logic phù hợp với tư duy trẻ, vừa
gây dựng từ trên cơ sở những gì đã học vừa tạo tiền đề cho các kiến thức
tiếp theo liên quan. => đảm bảo tính vừa sức đối với học sinh.

PHẦN III: CÁC PHÉP TOÁN TRONG TẬP SỐ THẬP PHÂN
A.

PHÉP CỘNG SỐ THẬP PHÂN
I.
-

-

II.

17

Lịch sử hình thành kí hiệu cộng
Ban đầu khi chưa có kí hiệu (+), người Hy Lạp và Ấn Độ cổ đại phải
dùng đến lời và chữ số để miêu tả.
Ví dụ: 2 cộng 3 bằng 5
Còn nhà toán học người Trung Hoa Lý Thiện sử dụng kí hiệu T để chỉ
phép cộng.
Đến thế kỷ XV: dùng ký hiệu p (plus), ví dụ như 2 p 3
Đến năm 1630: sau một thời gian dài ra sức phổ cập của một nhà toán
học Pháp, ký hiệu (+) mới được mọi người công nhận sử dụng rộng rãi và
là ký hiệu chung của phép cộng hiện hành.
Khái niệm phép cộng số thập phân


Cơ sở toán học

1.

⊂

Vì Q+10 Q+ nên cơ sở toán học của phép cộng trong tập số thập phân
không âm cũng chính là cơ sở toán học của phép cộng trong tập số hữu tỉ
không âm.
Cho r và s là hai số hữu tỉ không âm, trong đó r= C( ), s= C( ). Ta gọi:
Phép cộng các số hữu tỉ là quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r, s
với một số hữu tỉ t mà:

t
Tổng

= r +

s =

C

Số hạng

Số hạng

Tuy nhiên khi cộng số thập phân ta thực hiện quy tắc gần như tương tự
phép cộng số tự nhiên chứ không đưa về dạng phân số hay tìm quy đồng mẫu
số vì nó khá phức tạp và không dễ dàng như phép cộng số tự nhiên.
Ví dụ:
+

1,84
2,45
4,29

Nhận xét: Phép cộng trong tập số thập phân luôn thực hiện được và phép
cộng giữa hai số bất kỳ trong tập số thập phân chỉ thu được một kết quả duy
nhất.
2.
•

18

Ý nghĩa
Thêm lượng vào cùng đối tượng
Ví dụ: Một người thợ dệt ngày thứ nhất dệt được 28,4m vải, ngày thứ
hai dệt thêm được 30,6m vải. Hỏi cả hai ngày người đó dệt được bao
nhiêu mét vải?
Bài giải
Cả hai ngày người đó dệt được số mét vài là:
(m)
Đáp số: .


•

Gộp lượng khác đối tượng nhưng cùng đại lượng
Ví dụ: Có ba thùng đựng dầu, thùng thứ nhất có 27,5l, thùng thứ hai
có 36,75l, thùng thứ ba có 14,5l. Hỏi cả ba thùng có bao nhiêu lít dầu?
Bài giải
Cả ba thùng có số lít dầu là:
(l)
Đáp số: .

Bài toán nhiều hơn, ít hơn: Cho lượng ít, lượng chênh lệch. Tính
lượng nhiều.
Ví dụ: Nam cân nặng 32,6kg. Tiến cân nặng hơn Nam 4,8kg. Hỏi Tiến
cân nặng bao nhiêu ki-lô-gam?
Bài giải
Cân nặng của Tiến là:
(kg)
Đáp số: kg.

Quy tắc cộng trong tập số thập phân
Từ bài toán về cộng độ dài đoạn thẳng, SGK hình thành ý nghĩa và quy
tắc thực hành phép cộng hai số thập phân.
•

III.

Thông thường ta đặt tính rồi làm như sau:
•
•



19

Thực hiện phép cộng như cộng các số tự
nhiên.
Viết dấu phẩy ở tổng thẳng cột với các dấu
phẩy của các số hạng.

Rồi cho học sinh tự nêu quy tắc rồi áp dụng, khắc sâu thêm bằng ví dụ
2 với phép tính 15,9 + 8,75.
Quy tắc:


Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:
- Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một
hàng đặt thẳng cột với nhau
- Cộng như cộng các số tự nhiên
- Viết dấu phẩy ở tổng thằng cột với các dấu phẩy của các số hạng.

Ví dụ:

Với tổng nhiều số thập phân, đầu tiên ta đặt ra tình huống có vấn đề cho
học sinh bằng một bài toán:
Có ba thùng đựng dầu, thùng thứ nhất có 27,5l, thùng thứ hai có
36,75l, thùng thứ ba có 14,5l. Hỏi cả ba thùng có bao nhiêu lít dầu?
Từ đó học sinh biết phải tính 27,5 + 36,75 + 14,5 = ? (l)
Khi đưa ra phép tính mẫu:

Rồi ta suy ra kết luận:
Để tính tổng nhiều số thập phân ta làm tương tự như tính tổng hai số
thập phân.
Ví dụ:

Yêu cầu cần đạt đối với học sinh về quy tắc:
Học sinh nắm vững quy tắc cộng trong tập số thập phân.
Học sinh biết áp dụng vào giải các bài toán liên quan đến đặt tính rồi tính,
phép cộng số thập phân ở độ dễ và vừa.
Tính chất của phép cộng số thập phân
•

IV.

20


⊂

Vì Q+10 Q+ nên các tính chất của phép cộng số thập phân cũng chính là tính
chất của phép cộng số hữu tỉ không âm.

1. Tính chất giao hoán
a. Phát biểu
r , s Q+10 : r + s = s + r
Phép cộng các số thập phân có tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ hai số
hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.
b. Chứng minh: Ta suy trực tiếp tính chất này từ phép toán trong tập số tự
nhiên.
c. Ý nghĩa, ứng dụng:
- Tính nhanh.
Ví dụ:
6,97 + 7,54 + 3,03 + 12,46 = (6,97 + 3,03) + (7,54 + 12,46) = 10+20 = 30
- So sánh: Nhìn nhận xét luôn hạn chế tính toán
Ví dụ:
9,46 + 3,8 = 3,8 + 9,46
14,9 + 8 > 5 + 14,9
2. Tính chất kết hợp
a. Phát biểu
r, s, t Q+10 : (r + s) + t = (r + s) + t
Phép cộng các số thập phân có tính chất kết hợp: Khi cộng một tổng
hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của hai số còn
lại.
b. Chứng minh: Ta suy ra trực tiếp từ tính chất kết hợp của phép cộng trong
tập số tự nhiên.
c. Ý nghĩa, ứng dụng
Vận dụng tính chất kết hợp để tính toán một cách thuận tiện nhất.
Ví dụ:
12,7 + 5,89 + 1,3 = (12,7 + 1,3) + 5,89 = 14 + 5,89 = 19,89.
3. Tính chất của số 0
a. Phát biểu
r Q+10 : r + 0 = 0 + r ( 0 là phần tử trung lập của phép cộng).

Số thập phân nào cộng với 0 cũng bằng chính nó.
Ví dụ: 9,6 + 0 = 0 + 9,6 = 9,6.
b. Chứng minh: Ta suy ra từ tính chất phần tử trung lập trong phép cộng số
tự nhiên.
4. Nhân một số với một tổng
(sẽ được trình bày cụ thể ở phép nhân)
21


5.

Luật giản ước
: r + t = s + t r = s.
Chứng minh: Ta chứng minh dựa trên số hữu tỉ không âm do Q+10

⊂

Q+.

Giả sử lần lượt là các phân số đại diện cho các số hữu tỉ r, s, t.

Theo định nghĩa ta có: r + t = C

 an + bm 


 bn 

;s + t = C

 cn + dm 


 dn 

.

Vì r + s = s + t, nên : (an + bm)dn = (cn + dm)bn
hayandn + bmdn = cnbn + dmbn => ad = bc.
ĐPCM.
Tính đơn điệu của phép cộng các số thập phân
r, s , t Q+10 : r s => r + t s + t.


6.

Chứng minh:Ta chứng minh theo số hữu tỉ không âm do Q+10

•

⊂

Q+.

Giả sử lần lượt là các phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s, t.
Theo định nghĩa ta có:
r + t = C ( ; s + t= C ( ). Vì r s nên ad bc
Lần lượt biến đổi ta có:
andn + bmdn < cnbn + dmbn hay (an + bm)dn (cn + dm )bn.
 Đpcm.

Phưng pháp xây dựng tính chất:
Các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng và nhân một số với một
tổng đều được suy ra trực tiếp thông qua phép suy luận tương tự các tính
chất tương ứng của các phép toán trên tập số tự nhiên trong các tiết luyện
tập.
Chẳng hạn như trong tiết Luyện tập, từ bài 1 tr 50 – SGK lớp 5.
Cho học sinh tính rồi so sánh giá trị của a + b và b + a:
a
5,7
14,9
b
6,24
4,36
a+b
5,7 + 6,24 = 11,94
14,9 + 4,36 = 19,26
b+a
6,24 + 5,7 = 11,94
4,36 + 14,9 = 19,26
Cho học sinh nhận xét, sẽ thấy a + b = b + a.
 Nhận xét: Phép cộng các số thập phân có tính chất giao hoán:
Khi đổi chỗ hai số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.

22


•
-

a+b=b+a

Từ phần luyện tập bài 2 tr 52, bài 4 tr 62 SGK 5 để đưa ra tính chất kết hợp,
tính chất nhân một số với một tổng.
Yêu cầu cần đạt đối với học sinh khi học tính chất phép cộng:
Học sinh thuộc và nắm vững tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng
phân số và nhân một số với một tổng của phân số.
Học sinh biết áp dụng vào các bài toán cơ bản và ứng dụng vào giải quyết
nhanh các bài toán thông qua sử dụng tính chất.

PHÉP TRỪ SỐ THẬP PHÂN

B.

Lịch sử hình thành kí hiệu trừ
- Ban đầu khi chưa có kí hiệu (-),người ta đã phải dùng lời, dùng chữ đểdiễn
tả quan hệ số lượng và hình dạng. VD:Để diễn tảa – b thì họ sẽ nói/viết là
“a trừ b”. Người Ai Cập vào những năm 1700 TCN dùng cách đánh dấu
bằnghai cẳng chân nằm khác chiều để chỉ phép trừ. Người Hindu thì phép
trừ thể hiện bằng việc đặt một chấm lên số bị trừ.
- Đến thế kỷ XV: dùng ký hiệu m (plus), ví dụ như 5 m 2 để chỉ5 trừ 2.
- Đến năm 1630: sau một thời gian dài ra sức phổ cập của một nhà toán học
Pháp, ký hiệu (-) mới được mọi người công nhận sử dụng rộng rãi và là ký
hiệu chung của phép trừ hiện hành.
II. Khái niệm phép trừ số thập phân
1. Cơ sở toán học
I.

⊂

Vì Q+10 Q+ nên cơ sở toán học của phép cộng trong tập số thập phân không
âm cũng chính là cơ sở toán học của phép cộng trong tập số hữu tỉ không âm.

a
 
b

c
 
d 

Cho r và s là hai số hữu tỉ không âm, trong đó r = C
,s=C
với
ad – bc là số tự nhiên. Ta gọi:
Phép trừ các số hữu tỉ là quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r, s với
một số hữu tỉ u mà:

u = r – s = C
Hiệu Số bị trừ Số trừ
r – s cũng gọi là hiệu.
23

 ad − bc 


 bd 


Nhận xét: Phép trừ các số thập phân không phải bao giờ cũng thực hiện
được.
Tuy nhiên khi trừ số thập phân ta thực hiện quy tắc gần như tương tự phép
trừ số tự nhiên chứ không đưa về dạng phân số hay tìm quy đồng mẫu số vì

nó khá phức tạp và không dễ dàng như phép trừ số tự nhiên.
Ví dụ:

2.
-

-

-

Ý nghĩa
Bài toán bớt lượng đi:
Ví dụ: Một thùng đựng 28,75kg đường. Người ta lấy từ thùng đó ra 10,5kg
đường. Hỏi trong thùng còn bao nhiêu ki-lô-gam đường?
Bài giải
Trong thùng còn số ki-lô-gam đường là:
28,75 10,5 = 18,25 (kg)
Đáp số: 18,25kg.
Bài toán tách lượng
Ví dụ: Một thùng chứa 90,6kg gạo và ngô. Biết có 56,1kg gạo. Hỏi có bao
nhiêu số ki-lô-gam ngô mà thùng chứa?
Bài giải
Số ki-lô-gam ngô mà thùng chứa là:
90,6 – 56,1 = 34,5 (kg)
Đáp số: 34,5kg.
Bài toán nhiều hơn, ít hơn: Cho lượng nhiều, lượng chênh lệch, tính lượng
ít.
Ví dụ: Nam cân nặng 32,6kg. Tiến cân nhẹ hơn Nam 2,8kg. Hỏi Tiến cân
nặng bao nhiêu ki-lô-gam?
Bài giải

Cân nặng của Tiến là:
32,6 – 2,8 = 29,8 (kg)
Đáp số: 29,8kg.
III.

24

Quy tắc trừ trong tập số thập phân


Từ bài toàn trừ đồ dài hai đoạn thẳng, SGK hình thành ý nghĩa và quy tắc
thực hành phép trừ hai số thập phân.

=> Quy tắc: Muốn trừ một số thập phân cho một số thập phân ta làm như
sau:
- Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng
cột nhau.
-Thực hiện phép trừ như trừ các số tự nhiên.
-Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và số trừ.
Chú ý: Nếu số chữ số ở phần thập phân của số bị trừ ít hơn số chữ số ở
phần thập phân của số trừ, thì ta có thể viết thêm một số thích hợp chữ số
0 vào bên phải phần thập phân của số bị trừ, rồi trừ như số tự nhiên.
Ví dụ:

Yêu cầu cần đạt đối với học sinh về quy tắc:
Học sinh nắm vững quy tắc trừ trong tập số thập phân.
•

-

25