PHÂN DẠNG BÀI TẬP CĂN BẬC HAI TOÁN 9

GV. Trịnh Ngọc Tuân- THCS Cẩm Bình
PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP CHƢƠNG CĂN BẬC HAI TOÁN 9
I.

Kiến thức cơ bản:
+ Điều kiện để A có nghĩa  A  0
 A nÕu A  0
A2  A  
 A nÕu A < 0
x  1
+ Với A, B  x 2  1  0  x 2  1  x  1  
 0 ta có
 x  1

+ Hằng đẳng thức:

A.B  A. B

+ Với A; B  0; B  0 ta có:
+ Với B  0 ta có:
+ Ta có
II.

A

B

A
B



 A B nÕu A  0
A2 B  A B  

-A B nÕu A < 0

M
M .( A
B)

với A, B , A  B
A B
A B

Nội dung các dạng bài tập.

A. Tìm ĐKXĐ của một biểu thức:
Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
1/.a. 2 x  6
b. 2 x  6
c. 3x  27
d. 2 x  16
2 x  6 có nghĩa  2x  6  0  2x  6  x  3
Hướng dẫn: a. Để
2/.a.

1
2x  4

b.

Hướng dẫn: a. Để


7
3x  27

c.

5
4 x  16

d.

3x  9
3

1
có nghĩa
2x  4

1
 0  2x  4  0  2x  4  x  2
2x  4

3/a. x 2  1

b.  x 2  4

c.

x2  x

d. x2  3x  2
x  1
 x  1

Hướng dẫn: a. Để x 2  1 có nghĩa x 2  1  0  x 2  1  x  1  
4/a. x  2 x  1

b.

x  2x 1

1
x  2x 1

PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP CĂN BẬC HAI TOÁN 9


GV. Trịnh Ngọc Tuân- THCS Cẩm Bình
Hướng dẫn: a. Để x  2 x  1 có nghĩa
x  1

x 1  0



 x 1
2
x 1 1  0


x  2 x 1  0





B. Vận dụng hằng đẳng thức:



 A nÕu A  0
A2  A  
 A nÕu A < 0

1. Rút gọn:
Dạng 1. Rút gọn biểu thức:
a. A 

2  3

2



2  5 3

b. B  2 3  1  1  3 
c. C 

2

3 5



2





2

d. D 

2

2  3 2 

e. E  3  2 5 



3 1

2

2 2 3

3  5 

f. F  2  1  2 

2

2

2

Dạng 2. Rút gọn biểu thức:
a. A  2 x  x 2 ( x  0)

d. D  3x  5  x 2  6 x  9  x  3

b. B  2a  3 a 2 (a  0)

e. E  5 x  8  x 2  4 x  4  x  2 
1
2

c. C  2 x  5  4 x 2  4 x  1( x  )

f. F  3x  5  2 x 2  4 x  4  x  2 

Dạng 3. Rút gọn biểu thức:
a. A  2 x  5  x2

d. D  3x  5  x 2  6 x  9

b. B  2a  5  3 a 2

e. E  3x  12  4 x 2  12 x  9

c. C  3x  5   2 x  1
Dạng 4. Rút gọn biểu thức:

f. F  2  7 x  9  6 x  x 2

a. A  x 2  4 x  4  x 2  6 x  9

f. 3  2 2  3  2 2

b. B  4 x2  4 x  1  9 x 2  6 x  1

g. 7  4 3  7  4 3

c. C  x2  10 x  25  x 2  12 x  36

h. 13  4 3  7  4 3

2

PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP CĂN BẬC HAI TOÁN 9


GV. Trịnh Ngọc Tuân- THCS Cẩm Bình
d. D  x  2 x  1  x  2 x  1( x  1)

5  3  29  12 5

k.

e. D  x  1  4 x  3  x  1  4 x  3

2 4  5  21  80

l.

10  2

m.
6  3  2 2 . 3  2 2.

n.

2 3
2 42 3



6  3 2 2

2 3
2 42 3

2. Giải các phƣơng trình :
Dạng 1. Giải các phƣơng trình sau:
a. x 2  4 x  4  12

d. 4 x 2  12 x  9  9

b. 9 x 2  6 x  1  5

e. 25x2  10 x  1  32

c. x 2  10 x  25  9
Dạng 2. Giải phƣơng trình:

f. 16(4 x2  4 x  1)  32

a. x  4 x 2  4 x  1  5

d. 3x  x 2  6 x  9  10

b. 3x  5  x 2  4 x  4  9

e. 5x  9  4 x2  12 x  9  10

c. 9 x 2  6 x  1  2 x  8
Dạng 3. Giải phƣơng trình:
a. x2  4 x  4  x 2  6 x  9  6

d. x2  6 x  9  4 x 2  4 x  1  9

b. x2  4 x  4  x2  6 x  9  12

e. x2  10 x  25  x2  12 x  36  11

c. 4 x2  4 x  1  9 x 2  6 x  1  12

Dạng 4. Giải phƣơng trình:

f. x2  10 x  25  x 2  12 x  36  12

a. x  2 x 1  5

d. x  x 11  x  x 11  4

b. x  3  4 x  1  x  8  6 x  1  1

e.
x  2  2x  5  x  2  3 2x  5  7 2

c. x  2 x 1  x  2 x 1  2
PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP CĂN BẬC HAI TOÁN 9


GV. Trịnh Ngọc Tuân- THCS Cẩm Bình
C. Vận dụng các phép biến đổi để rút gọn các biểu thức chứa căn.
1. Rút gọn các biểu thức
Dạng 1. Rút gọn
a. A 

2
2

2 3 2 3

c. C 

5
5

3 2 5 3 2 5

b. B 

5
5

3 2 2 3 2 2

d. D 

7
7

52 7 52 7

Dạng 2. Rút gọn
a. A 

2 1
2 1

2 1
2 1

d. D 

7 7 7 7

7 7 7 7

b. B 

3 1
3 1

3 1
3 1

e. E 

3 2 2 3 2 2

3 2 2 3 2 2

c. C 

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

f. F 

3 5 3 5

2 5 2 5

Dạng 3. Rút gọn


a. A  1 




7  7  7  7 
1 

7  1 
7  1 


c. C  1 

5  5 
5 5 
2



5  1 
5  1 


d. D   3 

b. B   2 






a  a  a  a 
1 

a  1 
a  1 





x  x 
x x 
3



x  1 
x  1 


Dạng 4. Rút gọn
a. A  8  18  50

e. E  4a  5 9a  7 16a  a  0 

b. B  12  75  27  50

f. F  12 x  3 27 x  48 x  4 75 x  x  0 

c. C  3 27  5 48  2 32  5 128
d. D  72  5 32  75  3 48
Dạng 5. Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
a.

5
5

e.

5
3 5 5 3

b.

7
2 3

f.

a
a 1 1

PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP CĂN BẬC HAI TOÁN 9

GV. Trịnh Ngọc Tuân- THCS Cẩm Bình
c.

5
3 2 2

g.

d.

3
2 3 3 2

h.

2
2 5 7
12
3 2  2 3  30

Dạng 6. Rút gọn các biểu thức sau đây.
1
3
 12 
 27
2
3

a. A 

e. E 

1
5
 2 20  45 
5
5

b. B 

f. F 

c. C  75 

2
3
4

3
3
3 2

d. D  3x 

3x
25

 27 x  x  0 
3x
3x

1
1
 3 20  7 45 
5
5
1
x
 8 x  4 18 x 
 x  0
2x
2

Dạng 7. Rút gọn (nâng cao)
a. B  12  27  48

b. C 

1
2
 5 12  7 48 
3
3

c.
D

d.

2 1 

e.

2 1  2 2  2



14  6



5  21





10  6



4  15

F  4  15



1

5

5
7
7

1

1
7
13
13
5
3
3
1
1
2
2

h. H 
3
3
1 1
1 1
2
2



1
6

3
1  2 1
7
5

k. I  4  10  2 5  4  10  2 5
l.



E  5  21

1

f. G 

J  1

1 1
1 1
1
1
 2  1  2  2  ...  1 

2
2
1 2
2 3
2018 20192

Dạng 8. Rút gọn biểu thức chứa chữ:


1
1 
2 

 . 1 
 ( x  0; x  4)
x 2 
x
 x 2

1. A  

PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP CĂN BẬC HAI TOÁN 9


GV. Trịnh Ngọc Tuân- THCS Cẩm Bình


1

1



2 



2. B  
 . 1 
 ( x  0; x  4)
x 2 
x
 x 2



x
x 
6 

 .  2 
 ( x  0; x  9)
x 3 
x
 x 3

3. C  



x 

x

5 

4. D= D  


 . 1 
 ( x  0; x  25)
x  5  
x
 x 5
 x 1

x 1  

1 

5. E  

 . 1 
 ( x  0; x  1)
x  1  
x
 x 1
3 x 6
x  x-9

:
x  2  x  3
 x-4

6: Rút gọn biểu thức: A = 

với x  0, x  4, x  9 .

2
x 2 - 2x + 1
.
7. Rút gọn B =
, với 0 < x < 1
x-1
4x 2

8. Rút gọn biểu thức:
2

1 - a a
 1 - a 
với a ≥ 0 và a ≠ 1.
A  
 a 
 1 - a 
1
a



 a a - 1 a a + 1  a +2
9.rút gọn biểu thức: P = 
với a > 0, a  1, a  2.
 :
a
2
a
a

a
+
a


1   x -1
1- x 
10.Rút gọn B =  x +
 với x  0, x  1.
 : 


x



x

x+

x

 x  x  x  x 
M

1 

11.
1  x  1  ( x  0; x  1)
x


1




x  3 x 
x3 x 
N

2

2



 ( x  0; x  9)
12.


x

3
x

3





b  b 
b b 
A

a

a



 (b  o, a  0, b  1
13.

b  1 
b  1 



Dạng 9. Bài toán tổng hợp
 2x  x 1 2x x  x  x  x  x

 .
1 x x
 1 x
 2 x 1

1. Cho biểu thức A  1  

PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP CĂN BẬC HAI TOÁN 9

GV. Trịnh Ngọc Tuân- THCS Cẩm Bình
a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b. Tìm giá trị của x để A 
c. Chứng minh rằng: A 
2. Cho biểu thức: A 

6 6
5

2
với mọi x thoả mãn ĐKXĐ
3

x x 3
2( x  3)
x 3


x 2 x 3
x 1
3 x

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b. Tìm GTNN của A.
1  1  x 2 .  1  x  

3

3.Cho biểu thức: A 

1  x 

3




2  1  x2

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b. Tìm x biết A 

1
2

2 x2 1
1 a
b
rút
gọn
biểu
thức:
A=

;
a
,
b


0

2 b
a 
x  x2 1

4. Cho x  

5. Cho biểu thức: P 

3m  9m  3
m 2
1


1
m m 2
m 1
m 2

a. Rút gọn A
b. Tìm m để P  2
c. Tìm số tự nhiên m sao cho P là số tự nhiên.


b
 a - ab

6. .Rút gọn: B = 

a 
. a b - b a
ab - b 





a
a  a 1

 :
 a 1 a - a  a - 1

7: Cho biểu thức A = 



( với a > 0, b > 0, a  b)

với a > 0, a  1

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của a để A < 0.

PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP CĂN BẬC HAI TOÁN 9


GV. Trịnh Ngọc Tuân- THCS Cẩm Bình

8. Cho biểu thức
P=

x +1
+
x -2

2 x
2+5 x
+
với x ≥ 0, x ≠ 4.
4-x
x +2

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P = 2


x
1   1
2 
+
 : 

 x - 1 x - x   x 1 x - 1 

9. : Cho M = 

với x  0, x  1 .

a) Rút gọn M.
b) Tìm x sao cho M > 0
x
2x - x
x -1
x- x

10. Cho biểu thức: K =

với x >0 và x  1

a.Rút gọn biểu thức K
b. Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2 3
 a
1  a  a a  a 

 với a > 0, a  1
11. Cho biểu thức: P = 




 2

2 a  a  1

a 1 

1)Rút gọn biểu thức P
1) Tìm a để P > - 2

12.Cho biểu thức P = 

1
1 
x

:
x 1  x + 2 x 1
x+ x

với x > 0.

1) Rút gọn biểu thức P.
1
.
2
1
1 
3 

1 
 với a > 0 và a  9.
a 3
a  3 
a

2) Tìm các giá trị của x để P >


13. Cho biểu thức P = 



a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của a để P >

1
.
2

14. Tính giá trị của P= 15x2  8x 15  16 tại x =

3
5

5
3

15. Cho a>0 và 4a2  a 2  2  0 Tính giá trị của phân thức: A=

a 1
a4  a  1  a2

PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP CĂN BẬC HAI TOÁN 9


GV. Trịnh Ngọc Tuân- THCS Cẩm Bình







16.Biết x  x 2  2019 y  y 2  2019  2019 Tính giá trị của biểu thức: A=
x 2019  y 2019
x y
x y
x
y
với xy  0
 xy 
 xy  
2
2
3 3

17.Cho biểu thức : A=

a. Rút gọn A
b. Tìm x và y biết A=

x
y

2010 2010

18. Cho x; y; z dương thoả mãn: x 1  y 2  y 1  z 2  z 1  x 2 

3
Tính giá trị của

2

biểu thức: A = x 2  y 2  z 2
19. Cho P 

x
xy  x  3

y



yz  y  1

3 z
và xyz=9 tính giá trị của
xz  3 z  3



10 P  1


a 1

ab  a

 

ab  a

a 1 

20. Cho biểu thức: P  

 1 : 1 


1  ab
ab  1 
 ab  1 1  ab
 
a. Rút gọn P
b. Cho

1
1

 6 Tìm GTNN của P
a
b
 3 x
x
1 
x 3


 :
x 1  x  x 1
 x x 1 x  x 1

21. Cho biểu thức: P  
a. Rút gọn P

b. Tìm giá rị của x để P 

1
5

Dạng 10. Chứng minh đẳng thức:
1.Cho a, b, c là ba số thực không âm thoả mãn:
a

b

c

abc  a  b  c  2

2

Chứng minh rằng: 1  a  1  b  1  c  (1  a)(1  b)(1  c)

PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP CĂN BẬC HAI TOÁN 9


GV. Trịnh Ngọc Tuân- THCS Cẩm Bình
1

1

1

2.Cho x,y,z là các số khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn: x  y  z  0 Chứng


1

1



1

minh rằng:  x 2  2 yz  y 2  2 zx  z 2  2 xy  ( x


3.Cho a, b >0 Chứng minh rằng: 2



2016

 y 2017  z 2018 )  xy  yz  zx

a 2  b2  a





a 2  b2  b  a 2  b2  a  b

Cho a  Z ; Q  a(a  1)(a  2)(a  3)  1 Chứng minh rằng Q là một số tự
x  y 2011

4. Tìm các số nguyên dương x; y;z thoả mãn đồng thời hai điều kiện: y  z 2011
2
2
2
là số hữu tỷ và x  y  z là số nguyên tố

5.
D. Giải phƣơng trình
Dạng 1. Dùng phƣơng pháp bình phƣơng hai vế
Bài 1 :
a. 2 x  3  4
b. 4 x  8  9 x  18  15

e. 9 x  9  10  4 x  4
f. 9 x  18  16  25 x  50

c. 25 x  50  16 x  32  18

g. 4 x  12  25 x  75  30  9 x  27

d. 18 x  9 

8 x  4 20


9
3

Bài 2:
a. x  1  14  x  5
b. 2 x  1  x  1  5
c. x  5  x  12  1
d. x  1  x  4  3
Dạng 2. Dùng phƣơng pháp đƣa về tích. A.B.C= 0
Bài 1.
PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP CĂN BẬC HAI TOÁN 9


GV. Trịnh Ngọc Tuân- THCS Cẩm Bình
a. x 2  3x  1  ( x  3) x 2  1

m. 2  x 2  2 x  3  5 x3  3 x 2  3 x  2

b. 2 x  1  3x  x  1
c. x 2  x  2 1  16 x  2

n. 2 x 2  3x  2  (2 x  1) 2 x 2  x  3
p. x 2 ( x 2  2)  4  x 2 x 2  4

d.

q. x 3  2 x  3x 2  6 x  4

x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2 x  3

e.  x  1  2 2 x  1  1  x 2  5 x  2

f. x 2  8x  15  3 x  3  2 x  5  6
g. 2 x 2  2 x  1  (2 x  1)( x 2  x  2  1)
h.







x  5  x  2 1  x 2  3x  10  7

.

PHÂN DẠNG CÁC BÀI TẬP CĂN BẬC HAI TOÁN 9