Các BT về cực trị HS

Các BT liên quan đến cực trị của hàm số
Bài 1. Cho hàm số
Chứng minh rằng với mọi , hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
Giải
Ta có
luôn có hai nghiệm phân biệt
hàm số luôn có cực đại,cực tiểu.
Tham khảo thêm nhé
TXD : } ,
Cho y' = 0 =>
=>
Do:
=>y' = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt
=> HS luôn có cực đại và cực tiểu với mọi
Bài 2. Cho hàm số
Tìm tất cả các giá trị của sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng khi đó đường
thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của luôn đi qua một điểm cố định.
Giải
Hàm số có cực đại,cực tiểu có 2 nghiệm phân biệt

Chia cho , ta được kết quả
1
là phương trình đường thẳng qua
các điểm cực trị.
Đường thẳng này luôn qua điểm cố định . (Tìm điểm cố định theo chuyên đề điểm cố
định )
Bài 3. Cho hàm số .
Tìm các giá trị của tham số để đồ thị có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) và
một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV) của mặt phẳng tọa độ.
Giải:
Ta có (1)

Hàm số có cực đại,cực tiểu khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác .
Với phương trình (1) tương đương với:
Vì nên phương trình luôn có hai nghiệm thỏa mãn .
Vậy hàm số luôn có cực đại,cực tiểu tại với .
Các điểm cực đại,cực tiểu thuộc góc phần tư thứ (II) và (IV) thương đương với hai điều kiện sau
được thỏa mãn:
* Hệ số góc của tiệm cận xiên nhỏ hơn 0 (2)
* Đồ thị không cắt trục hoành phương trình hay vô
nghiệm.
Với có .
. (3)
Kết hợp (2) và (3) ta được .
Bài 4. Cho hàm số .
Tìm để hàm số có hai cực trị. Gọi là các điểm cực trị, tìm để các điểm và
thẳng hàng.
Giải:
có hai cực trị có hai nghiệm phân biệt
Thực hiện phép chia cho ta có thể viết
Từ đó rút ra là phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị
thẳng hàng có tọa độ thỏa mãn:
2
(chia y cho y', phần dư:Ax+B, thương là g(x). Ta có: y=y'.g(x)+Ax+B (*). Bây giờ ta giả sử
(x1;y1), (x2;y2) là tọa độ cực trị=>y'(x1)=y'(x2)=0, nên từ(*)=>y1=Ax1+B và y2=Ax2+B
=>y=Ax+B là pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.)
Bài 5 Cho hàm số
Tìm m sao cho hàm số có 2 cực trị có hoành độ dương.
Giải
có hai nghiệm dương phân biệt
Bài 6 Cho hàm số (1) , m là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị

cực tiểu trái dấu.
Giải

* hàm số có cực đại , cực tiểu khi có đổi dấu có 2 nghiệm phân
biệt khác -1

* Khi đó hàm số có hai cực trị là hai nghiệm của (2)
3
( định lý viet )
Theo bài ra hai giá trị cực đại và cực tiểu trái dấu :




Vậy hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu khi -2 < m <2
4