Tính liên tục của ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng

BË GI•O DÖC V€
TR×ÍNG

€O T„O

„I HÅC VINH

NGUY™N V‹N H×NG

T•NH LI–N TÖC CÕA •NH X„
NGHI›M CÕA B€I TO•N C…N BŒNG

LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

NGH› AN - 2018


BË GI•O DÖC V€
TR×ÍNG

€O T„O

„I HÅC VINH

NGUY™N V‹N H×NG

T•NH LI–N TÖC CÕA •NH X„
NGHI›M CÕA B€I TO•N C…N BŒNG
Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch
M¢ sè: 9 46 01 02

LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC
1. PGS. TS. L…M QUÈC ANH
2. PGS. TS. INH HUY HO€NG

NGH› AN - 2018


i

LI CAM

OAN

Luên Ăn ữủc ho n th nh tÔi trữớng Ôi hồc Vinh, dữợi sỹ hữợng dăn cừa
PGS. TS. LƠm Quốc Anh v PGS. TS. inh Huy Ho ng. Tổi xin cam oan
Ơy l cổng trẳnh cừa riảng tổi. CĂc kát quÊ ữủc viát chung vợi cĂc tĂc
giÊ khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ khi ữa v o luên Ăn. CĂc kát
quÊ ữủc trẳnh b y trong luên Ăn l mợi v chữa tứng ữủc ai cổng bố trữợc
õ.

TĂc giÊ

Nguyạn Vôn Hững


ii

LI CM èN

Luên Ăn ữủc ho n th nh tÔi trữớng Ôi hồc Vinh, dữợi sỹ hữợng dăn
khoa hồc cừa PGS. TS. LƠm Quốc Anh v PGS. TS. inh Huy Ho ng.
TĂc giÊ xin ữủc b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c ối vợi hai ThƯy  hữợng dăn tên
tẳnh v chu Ăo cho tĂc giÊ trong suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu.

TĂc giÊ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c án GS.TSKH. Phan Quốc KhĂnh,
cĂc quỵ thƯy cổ trong nhõm seminar tÔi Th nh Phố Hỗ Chẵ Minh

v CƯn Thỡ luổn tên tẳnh giúp ù, õng gõp nhiãu ỵ kián v tÔo mồi iãu kiằn
thuên lủi nhĐt tĂc giÊ ho n th nh cĂc kát quÊ nghiản cựu trẳnh b y
trong luên Ăn.
TĂc giÊ cụng xin chƠn th nh cÊm ỡn Viằn Sữ phÔm Tỹ nhiản, Tờ bở
mổn GiÊi tẵch, Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc v cĂc phỏng chực nông khĂc
cừa Trữớng Ôi hồc Vinh  tÔo iãu kiằn thuên lủi tĂc giÊ ho n th nh
nhiằm vử cừa nghiản cựu sinh.
TĂc giÊ xin ữủc b y tọ sỹ cÊm ỡn án cĂc ỗng nghiằp v lÂnh Ôo Hồc
viằn Cổng nghằ Bữu chẵnh Viạn thổng Th nh phố Hỗ Chẵ Minh Â
quan tƠm v tÔo iãu kiằn cho tĂc giÊ têp trung hồc têp v nghiản cựu.
Cuối cũng, tĂc giÊ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c tợi gia ẳnh v nhỳng
ngữới bÔn thƠn thiát  luổn s chia, giúp ù v ởng viản tĂc giÊ trong suốt
quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu.
Nguyạn Vôn Hững


1

MệC LệC

M Ưu

Chữỡng 1. Tẵnh liản tửc cừa Ănh xÔ nghiằm cho b i toĂn

5

tỹa cƠn bơng

15

1.1. Kián thực chuân b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2. B

i toĂn tỹa cƠn bơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3. H

m Ănh giĂ cho b i toĂn tỹa cƠn bơng . . . . . . . . . . . 21

1.4. Tẵnh liản tửc cừa Ănh xÔ nghiằm cho b i toĂn tỹa cƠn bơng .

26

1.5. p dửng cho bĐt ng thực tỹa bián phƠn . . . . . . . . . .

33

1.6. Kát luên Chữỡng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Chữỡng 2. Tẵnh hởi tử cừa têp nghiằm cho b i toĂn tỹa cƠn
bơng

36

2.1. DÂy cĂc b i toĂn tỹa cƠn bơng . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.2. Tẵnh hởi tử cừa têp nghiằm cho b i toĂn tỹa cƠn bơng . . . .

44

2.3. p dửng cho bĐt ng thực tỹa bián phƠn . . . . . . . . . .

53

2.4. Kát luên Chữỡng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55


2

Ch÷ìng 3. T½nh ên ành v °t ch¿nh cho b i to¡n c¥n b¬ng
hai mùc

56

3.1. T½nh ên ành cõa ¡nh x¤ nghi»m cho b i to¡n c¥n b¬ng hai mùc 57
3.2. T½nh °t ch¿nh cõa b i to¡n c¥n b¬ng hai mùc . . . . . . . .

71

3.3. K¸t luªn Ch÷ìng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

K¸t luªn chung v ki¸n nghà

85

Danh möc cæng tr¼nh cõa t¡c gi£ li¶n quan ¸n luªn ¡n

87

T i li»u tham kh£o

88


3

MậT Sẩ Kị HIU

R
R+

têp số thỹc
têp số thỹc khổng Ơm

R
N
;

têp số thỹc m rởng R [ f 1g

9x

tỗn tÔi x

8x

vợi mồi x

f:X!Y
F:X Y

Ănh xÔ ỡn tr tứ X v o Y

têp số nguyản khổng Ơm
têp rộng

1

F :Y X

Ănh xÔ a tr tứ X v o Y

Ănh xÔ ngữủc cừa Ănh xÔ F

graphF
domF

ỗ th cừa Ănh xÔ F : X Y

L(X; Y )

l khổng gian tĐt cÊ cĂc toĂn tỷ
tuyán tẵnh tứ X v o Y

hz; xi

giĂ tr cừa toĂn tỷ tuyán tẵnh z 2 L(X; Y )

miãn hỳu hiằu cừa Ănh xÔ F : X Y

tÔi x 2 X

intC
n
x2R

phƯn trong cừa têp C
n
x l phƯn tỷ cừa R ữủc viát dữợi dÔng
0

{xi}

hoc

x1
.

1

.

x = (x1; :::; xn)
x = @x. nA
dÂy vctỡ
kát thúc chựng minh


4

A := B

A ữủc nh nghắa bơng B

(QEP1)

b i toĂn tỹa cƠn bơng loÔi Minty

(QEP2)

b i toĂn tỹa cƠn bơng loÔi Stampacchia

(WQEP)

b i toĂn tỹa cƠn bơng yáu

(SQEP)

b i toĂn tỹa cƠn bơng mÔnh

(MSQEP)

b i toĂn tỹa cƠn bơng mÔnh vợi nõn di

(MQVI)

bĐt ng thực tỹa bián phƠn loÔi Minty

(SQVI)

bĐt ng thực tỹa bián phƠn loÔi Stampacchia

(BEP)

b i toĂn cƠn bơng hai mực

(MBEP)

b i toĂn cƠn bơng hai mực vợi nõn di

(VIEC)

bĐt ng thực bián phƠn vợi r ng buởc
cƠn bơng

(OPEC)

b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn bơng

(TNEC)

b i toĂn mÔng giao thổng vợi r ng buởc
cƠn bơng

ởng

ởng


5

Mé U

1. Lỵ do chồn

ãti

1.1. Tẵnh chĐt ờn nh nghiằm cừa b i toĂn liản quan án tối ữu bao
gỗm tẵnh nỷa liản tửc, liản tửc, liản tửc Holder v liản tửc Lipschitz l
mởt trong nhỳng chừ ã quan trồng trong lỵ thuyát tối ữu v ựng dửng.
Trong nhỳng thêp k gƯn Ơy, Â cõ nhiãu cổng trẳnh nghiản cựu vã iãu
kiằn ờn nh nghiằm cho nhỳng b i toĂn liản quan án tối ữu nhữ b i toĂn

tối ữu ([47], [74]), bĐt ng thực bián phƠn ([44]), b i toĂn cƠn bơng ([6],
[8], [9]), b i toĂn quan hằ bián phƠn ([45]). Chúng ta biát rơng tẵnh ờn
nh nghiằm theo nghắa n o thẳ dỳ liằu b i toĂn cụng thữớng phÊi giÊ
thiát theo nghắa õ. Trong thỹc tá, cõ nhiãu nhiãu b i toĂn m cĂc giÊ thiát
cht quĂ vã dỳ liằu khổng ữủc thọa mÂn. Vẳ vêy, tẵnh ờn nh nghiằm
theo nghắa nỷa liản tửc cừa têp nghiằm ữủc quan tƠm nghiản cựu.
1.2. Tẵnh chĐt hởi tử cừa têp nghiằm cừa b i toĂn liản quan án tối
ữu theo nghắa Painlev e-Kuratowski õng mởt vai trỏ quan trồng trong
lỵ thuyát ờn nh nghiằm khi b i toĂn b nhiạu bi dÂy cĂc têp r ng buởc
v

dÂy cĂc h m mửc tiảu. Chừ ã vã tẵnh hởi tử cừa têp nghiằm theo

nghắa Painlev e-Kuratowski liản quan cht ch án thuêt toĂn nghiằm v
lỵ thuyát xĐp x. Vẳ vêy  cõ nhiãu cổng trẳnh nghiản cựu vã hởi tử
Painlev e-Kuratowski cừa cĂc têp nghiằm cho cĂc b i toĂn liản quan án
tối ữu ([34], [50]). Vẳ tẵnh quan trồng cừa chừ ã vã hởi tử theo nghắa
Painlev e-Kuratowski cừa têp nghiằm cho b i toĂn cƠn bơng nõi riảng


6

v cĂc b i toĂn liản quan án tối ữu nõi chung, nản chừ ã n y ang ữủc nhiãu
nh toĂn hồc trong nữợc cụng nhữ trản thá giợi quan tƠm nghiản cựu.

1.3. Tẵnh t chnh cừa mởt b i toĂn liản quan án tối ữu l mởt chừ ã
quan trồng trong giÊi tẵch ờn nh cừa lỵ thuyát tối ữu. Trong nhỳng
nôm gƯn Ơy, Â cõ nhiãu cổng trẳnh nghiản cựu vã tẵnh t chnh cho
cĂc lợp b i toĂn khĂc nhau nhữ b i toĂn tối ữu ([55]), bĐt ng thực bián
phƠn ([31]), b i toĂn cƠn bơng ([10], [12], [32], [56]). GƯn Ơy, Anh,

Khanh v Van ([12]) Â thiát lêp cĂc iãu kiằn ừ cho tẵnh t chnh cừa
b i toĂn cƠn bơng hai mực v b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn bơng vợi
mởt số giÊ thiát cừa sỹ tỗn tÔi nghiằm bi sỷ dửng tẵnh mực õng v giÊ
thiát giÊ ỡn iằu. Tuy nhiản, tẵnh t chnh v t chnh tờng quĂt theo
nghắa Levitin-Polyak cho b i toĂn cƠn bơng mÔnh hai mực vctỡ v b i
toĂn mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng văn l chừ ã m v ang
ữủc nhiãu ngữới quan tƠm nghiản cựu. Vợi cĂc lỵ do nhữ trản, chúng
tổi chồn chừ ã cho luên Ăn l : Tẵnh liản tửc cừa Ănh xÔ nghiằm cừa b i
toĂn cƠn bơng .
2. Mửc

ẵch nghiản cựu

Mửc ẵch cừa luên Ăn n y l thiát lêp tẵnh liản tửc cừa Ănh xÔ nghiằm
cho b i toĂn tỹa cƠn bơng, khÊo sĂt tẵnh hởi tử theo nghắa Painlev eKuratowski cừa têp nghiằm b i toĂn tỹa cƠn bơng, nghiản cựu tẵnh
chĐt ờn nh nghiằm v tẵnh t chnh cho b i toĂn cƠn bơng hai mực.
Ngo i ra, chúng tổi cụng thiát lêp mởt số mổ hẳnh c biằt liản quan án
tối ữu nhữ bĐt ng thực bián phƠn loÔi Minty v Stampacchia, bĐt ng
thực bián phƠn vợi r ng buởc cƠn bơng, b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn
bơng v b i toĂn mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng.


7

3.

ối tữủng nghiản cựu

ối tữủng nghiản cựu cừa luên Ăn l mởt số mổ hẳnh liản quan án
tối ữu nhữ b i toĂn tỹa cƠn bơng, bĐt ng thực bián phƠn loÔi Minty

v Stampacchia, b i toĂn cƠn bơng hai mực, bĐt ng thực bián phƠn vợi
r ng buởc cƠn bơng, b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn bơng v b i toĂn
mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng.
4. PhÔm vi nghiản cựu
Luên Ăn têp trung nghiản cựu tẵnh ờn nh nghiằm, tẵnh hởi tử
theo nghắa Painlev e-Kuratowski v tẵnh t chnh Levitin-Polyak cho
mởt số b i cƠn bơng.
5. Phữỡng phĂp nghiản cựu
Trong luên Ăn n y, chúng tổi sỷ dửng phữỡng phĂp tiáp cên giÊi tẵch
h m, giÊi tẵch bián phƠn v lỵ thuyát tối ữu trong quĂ trẳnh nghiản cựu.
6. ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn
Kát quÊ cừa luên Ăn gõp phƯn l m phong phú hỡn vã tẵnh chĐt ờn
nh nghiằm, tẵnh hởi tử Painlev e-Kuratowski v tẵnh t chnh trong
lỵ thuyát tối ữu.
Luên Ăn l mởt t i liằu tham khÊo hỳu ẵch cho sinh viản, hồc viản
cao hồc v nghiản cựu sinh trong lắnh vỹc lỵ thuyát tối ữu v ựng dửng.
7. Tờng quan v cĐu trúc cừa luên Ăn
7.1. Tờng quan mởt số vĐn

ã liản quan

án luên Ăn

Mởt trong nhỳng lợp b i toĂn quan trồng thu hút

ữủc nhiãu nh


8

toĂn hồc trong nữợc cụng nhữ trản thá giợi trong lỵ thuyát tối ữu

õl

b i toĂn cƠn bơng. Lợp b i toĂn n y chựa nhiãu b i toĂn quan trồng liản
quan án tối ữu nhữ b i toĂn bũ, b i toĂn cƠn bơng Nash, b i toĂn im bĐt
ởng v im trũng, b i toĂn mÔng giao thổng, b i toĂn tối ữu v bĐt
ng thực bián phƠn. Trong suốt hai thêp k qua, Â cõ nhiãu nh toĂn hồc
nghiản cựu b i toĂn cƠn bơng v b i toĂn liản quan vợi nhỳng chừ ã khĂc
nhau nhữ tỗn tÔi nghiằm, ờn nh nghiằm, hởi tử, t chnh.
Nôm 2004, Mordukhovich ([59]) Â giợi thiằu v thiát lêp mởt lợp b i
toĂn mợi liản quan án tối ữu ữủc gồi l b i toĂn cƠn bơng vợi r ng buởc cƠn
bơng. Chúng ta cõ th coi chúng nhữ l b i toĂn phƠn bêc hai cĐp hoc l
b i toĂn cƠn bơng hai mực, b i toĂn n y liản quan án cƠn bơng cÊ mực
dữợi v mực trản. B i toĂn n y cụng chựa rĐt nhiãu b i toĂn nhữ l nhỳng
trữớng hủp c biằt bao gỗm b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc bĐt ng thực
bián phƠn ([73]), b i toĂn quy hoÔch toĂn hồc vợi r ng buởc cƠn bơng
[62], b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn bơng ([17], [60]). Nôm 2010,
Maudafi ([61]) Â giợi thiằu mởt lợp b i toĂn cƠn bơng vổ hữợng hai mực
trong khổng gian Hilbert v nghiản cựu cĂc thuêt toĂn
v sỹ hởi tử cho b i toĂn n y. GƯn Ơy, Chen, Wan v Cho ([24]), Ding
([28]) Â m rởng b i toĂn cƠn bơng vổ hữợng hai mực án b i toĂn cƠn
bơng vổ hữợng hai mực hộn hủp trong khổng gian Banach. Hồ cụng
thiát lêp iãu kiằn tỗn tÔi cừa cĂc nghiằm v hởi tử cừa dÂy lp vợi mởt số
giÊ thiát phũ hủp ([20], [25], [29]).
Chúng ta biát rơng, h m Ănh giĂ lƯn Ưu tiản ữủc giợi thiằu bi
Auslender ([13]) cho bĐt ng thực bián phƠn vổ hữợng. Tứ õ vã sau, h
m Ănh giĂ Â ữủc nhiãu tĂc giÊ phĂt trin v m rởng cho cĂc b i toĂn khĂc
nhau nhữ Fukushima ([35]), Mastroeni ([58]) v Yamashita v
Fukushima ([72]). Mởt trong nhỳng ựng dửng hỳu hiằu cừa h m Ănh giĂ

l nghiản cựu tẵnh ờn nh nghiằm. Nôm 1997, Zhao ([74]) Â giợi thiằu


9

mởt giÊ thiát côn bÊn (H1) cho b i toĂn tối ữu v chựng tọ rơng (H1)
l mởt iãu kiằn cƯn v ừ cho tẵnh nỷa liản tửc dữợi Hausdorff cừa Ănh
xÔ nghiằm cho b i toĂn n y. Nôm 2005, Kien ([47]) cụng nghiản cựu b i
toĂn tối ữu tữỡng tỹ nhữ Zhao ([74]) v cụng chựng tọ (H 1) l mởt iãu kiằn
cƯn v ừ cho tẵnh nỷa liản tửc dữợi Hausdorff cừa Ănh xÔ nghiằm cho b i
toĂn n y những vợi giÊ thiát yáu hỡn. XuĐt phĂt tứ cĂc ỵ tững
trong cổng trẳnh ([47], [74]), Li v Chen ([52]), Chen v Li ([22]), Chen,
Li v Fang ([23]) Â giợi thiằu h m Ănh giĂ v giÊ thiát côn bÊn (H g)
cho bĐt ng thực bián phƠn vctỡ v nhên ữủc iãu kiằn ừ cho tẵnh nỷa
liản tửc dữợi Hausdorff cừa Ănh xÔ nghiằm cho b i toĂn n y. Nôm 2011,
Zhong v Huang ([76]) Â chựng tọ rơng giÊ thiát côn bÊn (H g) l mởt iãu
kiằn cƯn v ừ cho tẵnh nỷa liản tửc dữợi Hausdorff cừa Ănh xÔ nghiằm
cho bĐt ng thực bián phƠn yáu trong khổng gian Banach. GƯn Ơy,
phữỡng phĂp h m Ănh giĂ v giÊ thiát côn bÊn (Hg) Â ữủc nghiản cựu bi
Zhong v Huang ([77]) cho b i toĂn tỹa cƠn bơng yáu. Hiằn tÔi, chừ ã
nghiản cựu tẵnh ờn nh nghiằm bơng phữỡng phĂp h m Ănh giĂ ang
thu hút nhiãu ngữới nghiản cựu. Vẳ vêy, trong Chữỡng 1 cừa luên Ăn,
chúng tổi nghiản cựu vã tẵnh liản tửc cừa b i toĂn tỹa cƠn bơng bơng
viằc sỷ dửng h m Ănh giĂ v giÊ thiát côn bÊn. Ưu tiản, chúng tổi giợi
thiằu h m Ănh giĂ phử thuởc tham số cho b i toĂn tỹa cƠn bơng mÔnh
v thiát lêp tẵnh liản tửc cừa cĂc h m Ănh giĂ n y. Sau õ, trẳnh b y hai
giÊ thiát côn bÊn liản quan án h m Ănh giĂ v chựng tọ rơng cĂc giÊ thiát n
y khổng ch l iãu kiằn cƯn m cỏn l iãu kiằn ừ cho tẵnh nỷa liản tửc dữợi
Hausdorff v liản tửc Hausdorff cừa Ănh xÔ nghiằm cho cĂc b i toĂn n y
( nh lỵ 1.4.6 v nh lỵ 1.4.7). Cuối cũng, chúng tổi ựng dửng cĂc kát

quÊ trản cho bĐt ng thực tỹa bián phƠn vctỡ loÔi Minty
v Stampacchia (Hằ quÊ 1.5.1 v Hằ quÊ 1.5.3).
Nôm 2007, Durea ([30]) Â giợi thiằu khĂi niằm xĐp x cỹc tiu têp


10

trong khổng gian nh chuân v thiát lêp khĂi niằm cừa nghiằm xĐp x cho

i toĂn cƠn bơng v nghiản cựu iãu kiằn ờn nh theo nghắa Painlev eKuratowski án têp nghiằm xĐp x. Nôm 2012, Fang v Li ([33]) Â xt
b

b i toĂn cƠn bơng tờng quĂt ữủc nhiạu bi mởt dÂy cĂc Ănh xÔ trong
khổng gian vctỡ tổpổ Hausdorff lỗi a phữỡng. Sỷ dửng giÊ thiát ỡn
iằu cht, cĂc tĂc giÊ Â nghiản cựu tẵnh hởi tử theo nghắa Painlev eKuratowski cho têp nghiằm hỳu hiằu cho b i toĂn n y. Sau õ, Peng v
Yang ([64]), Zhao, Peng v Yang ([75]) Â cÊi thiằn mởt số iãu kiằn vã
tẵnh ỡn iằu cht  ữủc Ăp t trong [33] v sỷ dửng chúng nghiản cựu
tẵnh hởi tử Painlev-Kuratowski cừa têp nghiằm hỳu hiằu v hỳu hiằu
yáu cho b i toĂn cƠn bơng. GƯn Ơy, Li, Lin v Wang ([53]) Â sỷ dửng hởi
tử liản tửc cừa dÂy h m hai bián v dÂy têp thiát lêp tẵnh hởi tử PainlevKuratowski cừa têp nghiằm xĐp x khi chúng ữủc nhiạu bi dÂy têp v d
Ây h m hai bián. Chừ ã vã tẵnh hởi tử Painlev-Kuratowski cho têp
nghiằm cừa b i toĂn cƠn bơng vctỡ bơng phữỡng phĂp h m Ănh giĂ ang
rĐt ữủc quan tƠm nghiản cựu. Do õ, trong Chữỡng 2, chúng tổi s
nghiản cựu vã sỹ hởi tử Painlev-Kuratowski cừa têp nghiằm bơng
phữỡng phĂp h m Ănh giĂ cho b i toĂn tỹa cƠn bơng vctỡ. Ưu tiản, chúng
tổi giợi thiằu dÂy h m Ănh giĂ cho b i toĂn n y v thiát lêp tẵnh liản tửc
cừa chúng. Sau õ, chúng tổi khÊo sĂt vã tẵnh tử trản, hởi tử dữợi v hởi
tử theo nghắa Painlev-Kuratowski cừa têp nghiằm b i toĂn cƠn bơng
bi sỷ dửng phữỡng phĂp h m Ănh giĂ ( nh lỵ 2.2.1, nh lỵ 2.2.12 v
nh lỵ 2.2.13). Trong phƯn mởt Ăp dửng, chúng tổi nghiản cựu mởt

trữớng hủp c biằt cho bĐt ng thực tỹa bián phƠn v nhên ữủc mởt số kát
quÊ (Hằ quÊ 2.3.1, Hằ quÊ 2.3.2 v Hằ quÊ 2.3.4).
Nôm 1966, khĂi niằm t chnh lƯn Ưu tiản ữủc giợi thiằu bi Tikhonov
([69]) cho b i toĂn tối ữu vổ hữợng khổng r ng buởc v ữủc biát án nhữ l
t chnh Tikhonov. KhĂi niằm n y trản cỡ s sỹ tỗn


11

tÔi v duy nhĐt cừa nghiằm v hởi tử cừa mội dÂy xĐp x cỹc tiu án
nghiằm duy nhĐt. Tuy nhiản, trong nhiãu tẳnh huống thỹc tá cĂc dÂy
xĐp x ữủc thiát lêp cõ th b hÔn chá. Vẳ vêy, Levitin v Polyak ([51]) Â
m rởng khĂi niằm t chnh Tikhonov cho b i toĂn tối ữu r ng buởc v
ữủc biát án nhữ l khĂi niằm t chnh Levitin-Polyak. Tứ õ vã sau, Â cõ
nhiãu ngữới quan tƠm nghiản cựu tẵnh t chnh Levitin-Polyak cho cĂc
mổ hẳnh b i toĂn khĂc nhau liản quan án tối ữu nhữ b i toĂn tối ữu
([41]), bĐt ng thực bián phƠn ([42]), b i toĂn cƠn bơng ([63]). GƯn Ơy,
Khanh, Plubtieng v Sombut ([46]) Â giợi thiằu t chnh Levitin-Polyak
cho b i toĂn cƠn bơng hai mực yáu v b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn
bơng. Sỷ dửng cĂc tẵnh mực õng tờng quĂt, cĂc tĂc giÊ Â nghiản cựu
tẵnh t chnh cho cĂc b i toĂn n y. Tuy nhiản, theo sỹ hiu biát cừa
chúng tổi, tẵnh chĐt ờn nh nghiằm v tẵnh t chnh cho b i toĂn cƠn
bơng hai mực mÔnh, b i toĂn mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng,
bĐt ng thực bián phƠn vợi r ng buởc cƠn bơng v b i toĂn tối ữu vợi
r ng buởc cƠn bơng ang l vĐn ã m v ang thu hút nhiãu ngữới quan tƠm
nghiản cựu. Vẳ vêy, trong Chữỡng 3, chúng tổi s nghiản cựu tẵnh ờn
nh nghiằm v tẵnh t chnh Levitin-Polyak cho cĂc b i toĂn cƠn bơng
hai mực mÔnh, b i toĂn mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng, bĐt
ng thực bián phƠn vợi r ng buởc cƠn bơng v b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc
cƠn bơng. Ưu tiản, chúng tổi giợi thiằu b i toĂn cƠn bơng hai mực vctỡ

mÔnh v thiát lêp cĂc tẵnh chĐt nỷa liản tửc v liản tửc cho b i toĂn n y
( nh lỵ 3.1.1, nh lỵ 3.1.5, nh lỵ 3.1.8, nh lỵ 3.1.12 v nh lỵ
3.1.14). Sau õ, chúng tổi ựng dửng cĂc kát quÊ n y cho bĐt ng thực
bián phƠn vợi r ng buởc cƠn bơng v b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn
bơng v nhên ữủc cĂc kát quÊ (Hằ quÊ 3.1.15 v Hằ quÊ 3.1.17). Tiáp
theo, chúng tổi giợi thiằu b i toĂn cƠn bơng hai mực vctỡ mÔnh vợi nõn
di ởng. Sau õ, chúng tổi giợi thiằu v nghiản cựu cĂc khĂi niằm


12

t chnh Levitin-Polyak v t chnh Levitin-Polyak tờng quĂt cho b i
toĂn n y. Chúng tổi nghiản cựu mối quan hằ cừa tẵnh t chnh vợi
tẵnh nỷa liản tửc trản cừa nghiằm xĐp x v sỹ tỗn tÔi nghiằm ( nh lỵ
3.2.8, nh lỵ 3.2.9 v nh lỵ 3.2.10) v mổ tÊ c trững mảtric cĂc t
chnh Levitin-Polyak v t chnh Levitin-Polyak tờng quĂt cho b i toĂn n
y ( nh lỵ 3.2.11). Tứ cĂc kát quÊ chẵnh n y, chúng tổi Ăp dửng cho b i
toĂn mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng. CĂc kát quÊ thu ữủc l Hằ
quÊ 3.2.17 v Hằ quÊ 3.2.18.
7.2. CĐu trúc luên Ăn
Ngo i nhỳng kỵ hiằu thữớng dũng trong luên Ăn, M Ưu, Kát luên chung
v kián ngh, Danh sĂch cĂc b i bĂo cừa tĂc giÊ liản quan án luên Ăn v T i liằu
tham khÊo, nởi dung cừa luên Ăn bao gỗm ba chữỡng. Chữỡng 1 trẳnh b y
tẵnh liản tửc cừa Ănh xÔ nghiằm cho mởt số b i toĂn tỹa cƠn bơng vctỡ
phử thuởc tham số. Mửc 1.1 trẳnh b y lÔi mởt số khĂi niằm cỡ bÊn trong
giÊi tẵch a tr ữủc sỷ dửng trong luên Ăn. Mửc 1.2 giợi thiằu hai b i toĂn
tỹa cƠn bơng vctỡ phử tham số dÔng Minty v Stampacchia. Mửc 1.3 d nh
cho viằc thiát lêp mởt số h m Ănh giĂ cho b i toĂn tỹa cƠn bơng v nghiản
cựu tẵnh liản tửc cừa chúng. Mửc 1.4 nghiản cựu tẵnh nỷa liản tửc trản,
nỷa liản tửc dữợi Hausdorff v liản tửc Hausdorff cho Ănh xÔ nghiằm cho

hai b i toĂn tỹa cƠn bơng. Mửc 1.5 thÊo luên mởt số trữớng hủp c biằt nhữ
bĐt ng thực bián phƠn loÔi Minty v Stampacchia. Chữỡng 2 trẳnh b y
tẵnh hởi tử theo nghắa Painlev e-Kuratowski cừa têp nghiằm cho b i
toĂn cƠn bơng yáu. Mửc 2.1 trẳnh b y dÂy cĂc b i toĂn tỹa cƠn bơng v thiát
lêp cĂc dÂy h m Ănh giĂ v tẵnh liản tửc cừa chúng cho b i toĂn tỹa cƠn
bơng. Mửc 2.2 thiát lêp cĂc hởi tử trản, hởi tử dữợi v hởi tử theo nghắa
Painlev e-Kuratowski cừa têp nghiằm b i toĂn tỹa cƠn bơng bi viằc sỷ
dửng phữỡng phĂp h m Ănh. Mửc 2.3 trẳnh b y cĂc kát quÊ ựng dửng tứ
Mửc 2.2 cho bĐt


13

ng thực bián phƠn. Chữỡng 3 trẳnh b y tẵnh ờn nh nghiằm v tẵnh
t chnh cho b i toĂn cƠn bơng hai mực vctỡ. Mửc 3.1 thiát lêp tẵnh ờn
nh nghiằm bao gỗm tẵnh nỷa liản tửc trản, tẵnh nỷa liản tửc dữợi,
tẵnh nỷa liản tửc dữợi Hausdorff, liản tửc v liản tửc Hausdorff cho b i
toĂn cƠn bơng hai mực v ựng dửng cho bĐt ng thực bián phƠn vợi r ng
buởc cƠn bơng, b i toĂn tối ữu vợi r ng buởc cƠn bơng. Mửc 3.2 nghiản
cựu tẵnh t chnh Levitin-Polyak v t chnh Levitin-Polyak tờng quĂt
cho b i toĂn cƠn bơng hai mực vợi nõn di ởng v ựng dửng cho b i toĂn
mÔng giao thổng vợi r ng buởc cƠn bơng.
CĂc kát quÊ cừa luên Ăn  ữủc trẳnh b y tÔi Hởi thÊo Tối ữu v Tẵnh
toĂn khoa hồc (Ba vẳ, H Nởi, 21-23/4/2016, 20-22/4/2017), Hởi ngh
Quốc tá lƯn thự 9 vã im bĐt ởng v tối ữu (KMUTT, Bangkok, Thailand,
19-22/5/2016), Hởi thÊo Quốc tá vã cĂc xu hữợng mợi trong GiÊi tẵch
bián phƠn, Tối ữu v ng dửng (Quy Nhỡn, 7-10/12/2016), Ôi hởi ToĂn
hồc lƯn thự 9 (Nha Trang, 14-18/2018), Seminar tờ GiÊi tẵch, Khoa Sữ
phÔm, Ôi hồc CƯn Thỡ tứ nôm 2015 án nôm 2018, Seminar tờ ToĂn ựng
dửng, Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản TPHCM, Seminar tờ GiÊi tẵch, Viằn

Sữ phÔm Tỹ nhiản, Trữớng Ôi hồc Vinh. HƯu hát cĂc kát quÊ chẵnh cừa
luên Ăn  ữủc ông v nhên ông cĂc tÔp chẵ Journal of Industrial and
Management Optimization, Computational and Applied Mathematics v
Positivity.
Nghằ An, ng y ... thĂng ... nôm 2018
TĂc giÊ
Nguyạn Vôn Hững


14

CHìèNG 1
TNH LIN TệC CếA NH X NGHIM CHO BI TON TĩA CN
BNG

Trong chữỡng n y, chúng tổi nghiản cựu vã tẵnh liản tửc cừa Ănh xÔ
nghiằm cho b i toĂn tỹa cƠn bơng. Ưu tiản, chúng tổi nh-c lÔi mởt số
nh nghắa v tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa giÊi tẵch a tr cõ liản quan án luên
Ăn. Tiáp theo, chúng tổi giợi thiằu h m Ănh giĂ phử thuởc tham số cho
b i toĂn tỹa cƠn bơng mÔnh v thiát lêp tẵnh liản tửc cừa cĂc h m Ănh giĂ
n y. Sau õ, chúng tổi trẳnh b y hai giÊ thiát côn bÊn liản quan án h m
Ănh giĂ v chựng tọ rơng cĂc giÊ thiát n y l cĂc iãu kiằn cƯn v
ừ cho tẵnh nỷa liản tửc dữợi Hausdorff v liản tửc Hausdorff cừa Ănh
xÔ nghiằm cho cĂc b i toĂn n y. Cuối cũng, trong phƯn ựng dửng, chúng
tổi nghiản cựu bĐt ng thực tỹa bián phƠn loÔi Minty v Stampacchia.

1.1

Kián thực chuân b

1.1.1 nh nghắa. ([15, p. 1]) Cho X v Y l hai têp, mởt quy luêt cho
tữỡng ựng mội im x 2 X vợi mởt têp F (x) Y ữủc gồi l Ănh xÔ a tr F tứ X
v o Y; kỵ hiằu F : X Y .
nh xÔ a tr cỏn cõ tản gồi khĂc nỳa l : h m a tr hay Ănh xÔ im
v

o têp. Náu vợi mội x 2 X têp F (x) ch gỗm mởt phƯn tỷ cừa Y thẳ ta

nõi F l Ănh xÔ ỡn tr tứ X v o Y .


15

Trữợc khi nghiản cựu sƠu hỡn, chúng ta l m quen vợi cĂc nh nghắa
cỡ bÊn liản quan án Ănh xÔ a tr.
1.1.2 nh nghắa. ([16, Definition 1.3.1]) Cho Ănh xÔ a tr F : X Y tứ
têp X v o têp Y .
(i)

Têp domF ữủc gồi l miãn hiằu quÊ cừa F xĂc nh bi
domF := fx 2 X j F (x) 6= ;g:

(ii)

Têp graphF ữủc gồi l ỗ th cừa Ănh xÔ a tr F xĂc nh bi

graphF :=
(iii) nh xÔ F

1

x

nh xÔ
l

X

:Y

(x; y) 2 X

Y j y 2 F (x) :

ữủc gồi l Ănh xÔ ngữủc cừa F xĂc

nh bi

1

2 F (y) , y 2 F (x) , (x; y) 2 graphF:

a tr F ữủc gồi l tƯm thữớng náu domF = ; v

ữủc gồi

cht náu domF = X.

BƠy giớ, chúng ta s nghiản cựu cĂc khĂi niằm nỷa liản tửc trản v
nỷa liản tửc dữợi theo nghắa Berge.

1.1.3 nh nghắa. ([15, Definitions 1-3]) GiÊ sỷ X; Y l hai khổng gian
tổpổ Hausdorff v F : X Y l Ănh xÔ a tr.
(i)

F ữủc gồi l nỷa liản tửc trản (viát t-t l usc) tÔi x0 2 domF náu vợi mội
lƠn cên m V cừa F (x0), tỗn tÔi lƠn cên U cừa x0 sao cho F (x) V vợi
mồi x 2 U.

(ii)

F ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi (viát t-t l lsc) tÔi x0 2 domF náu vợi mội
têp m V Y thọa mÂn F (x0) \ V 6= ;, tỗn tÔi lƠn cên U cừa x0 sao
cho F (x) \ V 6= ; vợi mồi x 2 U.


16

(iii) F

ữủc gồi l

liản tửc tÔi x0 2 domF , náu F l

usc v lsc tÔi

x0 2 domF .
(iv)

F ữủc gồi l õng tÔi x0 2 domF náu vợi mội lữợi f(x ; z )g graphF sao
cho (x ; z ) ! (x0; z0), thẳ z0 2 F (x0).

Tiáp theo, chúng ta nghiản cựu cĂc khĂi niằm nỷa liản tửc theo
nghắa Hausdorff.
1.1.4 nh nghắa. ([74, Definition 1]) GiÊ sỷ X l khổng gian tổpổ
Hausdorff, Y l khổng gian vctỡ tổpổ Hausdorff v F : X Y l Ănh xÔ a
tr.
(i)

F ữủc gồi l nỷa liản tửc trản theo Hausdorff (viát t-t l H-usc)
tÔi x0 2 domF náu vợi mội lƠn cên B cừa gốc trong Y , tỗn tÔi mởt
lƠn cên U cừa x0 sao cho F (x) F (x0) + B vợi mồi x 2 U.

(ii)

F ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi theo Hausdorff (viát t-t l H-lsc) tÔi
x0 2 domF náu vợi mội lƠn cên B cừa gốc trong Y , tỗn tÔi mởt lƠn
cên U cừa x0 sao cho F (x0) F (x) + B vợi mồi x 2 U.

(iii)

F ữủc gồi l liản tửc Hausdorff tÔi x0 2 domF , náu F l H-usc v H-lsc
tÔi x0 2 domF .

Náu mởt Ănh xÔ thọa mÂn mởt tẵnh chĐt n o õ tÔi mồi im cừa têp A
X, thẳ ta nõi nõ thọa mÂn tẵnh chĐt n y trong A. Náu A = X, ta bọ qua
trong X trong phĂt biu.

Sau Ơy l mởt số tẵnh chĐt quan trồng.
1.1.5 Bờ ã. ([6, Proposition 3.1]) GiÊ sỷ X; Y l hai khổng gian vctỡ
tổpổ Hausdorff v F : X Y l Ănh xÔ a tr.

(i) Náu F l usc tÔi x0 v F (x0) l õng thẳ F l õng tÔi x0;


17
(ii)

Náu F l usc tÔi x0 thẳ F l H-usc tÔi x0. Ngữủc lÔi, náu F l H-usc tÔi
x0 v náu F (x0) comp-c, thẳ F l usc tÔi x0;
Náu F l H-lsc tÔi x0 thẳ F l lsc. Ngữủc lÔi l úng náu F (x0) l compc;

(iii)

(iv) F l lsc tÔi x0 khi v ch khi vợi mồi lữợi fx g X hởi tử án x0 v vợi mồi y0
2 F (x0), tỗn tÔi y 2 F (x ) sao cho y ! y0.
1.1.6 Bờ ã. ([44, Lemma 2.1]) GiÊ sỷ X; Y l hai khổng gian tổpổ
Hausdorff v F : X Y l Ănh xÔ a tr. Náu F cõ giĂ tr comp-c, thẳ
nỷa liản tửc trản tÔi x0 khi v ch khi vợi mồi lữợi fx g X hởi tử vã

F

x v vợi mồi lữợi fy g vợi y 2 F (x ), tỗn tÔi y 2 F (x) v mởt lữợi con fy g cừa
fy g sao cho y ! y:
1.1.7 nh nghắa. ([57, Definition 1.1]) Mởt têp con khĂc rộng C cừa
khổng gian vctỡ tổpổ X ữủc gồi l mởt nõn lỗi náu C +C C v C C vợi
mồi > 0. Mởt nõn C ữủc gồi l cõ nh náu C \ ( C) = f0g.

1.1.8 Bờ ã. ([21, Proposition 1.43]) Vợi mồi e 2 intC vợi intC l phƯn trong
cừa C, y 2 Y v h m vổ hữợng hõa phi tuyán e : Y ! R ữủc xĂc nh bi
e(y)
(i)

:= minfr 2 R j y 2 re Cg, ta cõ
e

l h m lỗi v liản tửc trong Y ;

(ii)

e(y)

r , y 2 re C;

(iii)

e(y)

> r , y 62re C.

1.1.9 nh nghắa. ([65, p. 9-13]) Cho X l mởt khổng gian tổpổ, mởt
Ănh xÔ ỡn tr f : X ! R ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi (tữỡng ựng, nỷa liản tửc
trản) náu vợi mội r 2 R têp mực fx 2 X j f(x) rg (tữỡng ựng fx 2 X j f(x) rg)
l õng. f ữủc gồi l liản tửc náu f l nỷa liản tửc dữợi v nỷa liản tửc trản.


18

1.1.10 Bờ ã. ([15, Proposition 23]) Cho X v Y l hai khổng gian tổpổ,
náu F : X
Y l mởt Ănh xÔ a tr cõ giĂ tr comp-c v liản tửc trong

Xv W:X

Y ! R l mởt h m giĂ tr thỹc v liản tửc trong X

Y

thẳ

V (x) := max W (x; y)
y2F (x)

liản tửc trong X.

1.2

B i toĂn tỹa cƠn bơng

Cho X; Y; Z; P l

B

Yv

cĂc khổng gian vctỡ tổpổ Hausdorff, A

Pl

cĂc têp con khĂc rộng, C l

mởt nõn lỗi

X,
õng

cõ nh trong Z vợi intC 6= ;. LĐy K : A A, T : A B l cĂc h m a tr v f : A B
A ! Z l h m cƠn bơng, nghắa l f(x; t; x; ) = 0 vợi mồi x 2 A; t 2 B; 2 . XuĐt
phĂt tứ cĂc mổ hẳnh bĐt ng thực bián phƠn loÔi Minty v Stampacchia,
chúng ta xt hai b i toĂn tỹa cƠn bơng vctỡ mÔnh sau.

(QEP1) Tẳm x 2 K(x; ) sao cho

f(x; t; y; ) 2 C; 8y 2 K(x; ); 8t 2 T (y; ):
(QEP2) Tẳm x 2 K(x; ) sao cho tỗn tÔi t 2 T (x; ) thọa mÂn
f(x; t; y; ) 2 C; 8y 2 K(x; ):
nh hữợng cho viằc nghiản cựu cĂc b i toĂn n y, chúng ta xt mởt
số lợp b i toĂn c biằt  ữủc nghiản cựu bi nhiãu tĂc giÊ ([14], [26], [31],
[37], [43], [48]).
n

m

(a) Náu X = R ; Y = R ; C = R+ v f(x; z; y; ) = hz; y xi, thẳ b i toĂn
(QEP1) tr th nh bĐt ng thực tỹa bián phƠn vổ hữợng


19

phử thuởc tham số loÔi Minty  ữủc nghiản cựu bi Lalitha v
Bhatia ([49]).
n

m

(b) Náu X = R ; Y = R ; C = R+; K(x; ) = A; T (x; ) = T (x), f(x; z; y; ) =
hz; y xi, thẳ b i toĂn (QEP2) tr th nh bĐt ng thực bián phƠn loÔi
Stampacchia  ữủc nghiản cựu bi Aussel v Dutta ([14]).

(c) Náu X; Y l cĂc khổng gian Banach, K(x; ) = A; f(x; z; y; ) = h( ; y;
y x) v f(x; z; y; ) = h( ; x; y x), thẳ cĂc b i toĂn (QEP1)
v (QEP2) tr vã bĐt ng thực bián phƠn phử thuởc tham số loÔi
Minty v Stampacchia (MVI) v (SVI), tữỡng ựng, Â ữủc nghiản cựu
bi Chen v Wan ([26]), Fang v Hu ([31]).
(d)

Náu C = R+; K(x; ) = A; f(x; z; y; ) = hz; y xi, thẳ b i toĂn (QEP1) v
(QEP2) tr th nh bĐt ng thực bián phƠn loÔi Minty v Stampacchia
 ữủc nghiản cựu bi Giannessi ([37]), Kassay ([43]), KolumbĂn,
PĂles v Komlõsi ([48]).

Cho S1; S2 : A l cĂc Ănh xÔ a tr sao cho vợi mội 2 , S1( ) v S2( ) tữỡng
ựng l cĂc têp nghiằm cừa (QEP1) v (QEP2), nghắa l

S1( ) = fx 2 K(x; ) j f(x; t; y; ) 2 C; 8y 2 K(x; ); 8t 2 T (y; )g;
S2( ) = fx 2 K(x; ) j 9t 2 T (x; ) j f(x; t; y; ) 2 C; 8y 2 K(x; )g:
Nõi chung, S1( ) v

S 2( ) l

khĂc nhau ( ữủc chựng tọ trong trữớng

hủp c biằt (c) v (d)). Náu T (z; )

T ( ) thẳ S1( )

S2( ) vợi mồi

2 ; z 2 B. Vẵ dử sau chựng tọ chiãu ngữủc lÔi khổng úng.
1.2.1 Vẵ dử. LĐy X = Y = Z = P = R, A = B = [0; 2]; = [0; 1], C = R+,
K(x; ) = [ ; 2], T (x; ) = [0; 1] v f(x; t; y; ) = t(x y)2 . Tẵnh toĂn trỹc tiáp ta
ữủc S1( ) = f2g v S2( ) = [ ; 2] vợi mồi 2 .


20

Vẳ sỹ tỗn tÔi nghiằm cho b i toĂn tỹa cƠn bơng  ữủc nghiản cựu
bi nhiãu tĂc giÊ ([18], [38], [39]), do õ trong chữỡng n y, chúng ta luổn
giÊ sỷ S1( ) 6= ; v S2( ) 6= ; vợi mội trong mởt lƠn cên cừa 0 2 .

1.3

Hm

Ănh giĂ cho b i toĂn tỹa cƠn bơng

Trong mửc n y, chúng ta giợi thiằu cĂc h m Ănh giĂ cho hai b i toĂn
(QEP1) v (QEP2) v nghiản cựu mởt số tẵnh liản tửc cừa chúng. Trong
phƯn cỏn lÔi cừa mửc n y, chúng ta văn sỷ dửng cĂc kỵ hiằu trong Mửc
1.2 v luổn giÊ thiát f l liản tửc trong A B A .
1.3.1 nh nghắa. H m g : A ! R ữủc gồi l h m Ănh giĂ phử thuởc tham
số cho b i toĂn (QEP1) ((QEP2), tữỡng ựng), náu:

(a)

g(x; ) 0 vợi mồi x 2 K(x; );

(b)

g(x; ) = 0 khi v ch khi x 2 S1( ) (x 2 S2( ), tữỡng ựng).
BƠy giớ, chúng ta giÊ thiát rơng K v T cõ giĂ tr comp-c trong mởt

lƠn cên cừa im ang xt. Chúng ta nh nghắa hai h m p : A ! R v h : A !
R nhữ sau

p(x; ) = max max e( f(x; t; y; ));

(1.1)

h(x; ) = min max e( f(x; t; y; ));

(1.2)

t2T (y; ) y2K(x; )

v
t2T (x; ) y2K(x; )

trong õ e ữủc nh nghắa nhữ trong Bờ ã 1.1.8.
Vẳ K(x; ) v T (x; ) l cĂc têp comp-c vợi mồi (x; ) 2 A , e v f l liản tửc,
nản p v h xĂc nh.

21

y2K(x0; 0)

1.3.2 nh lỵ. (i) H m p(x; ) ữủc nh nghắa bi (1.1) l Ănh giĂ

mởt h m

phử thuởc tham số cho b i toĂn (QEP1).
(ii) H m h(x; )

ữủc nh nghắa bi (1.2) l

mởt h m

Ănh giĂ phử

thuởc tham số cho b i toĂn (QEP2).
Chựng minh. (i) Chúng ta nh nghắa h m ' : E( ) B ! R, trong õ E( ) = [
2

E( ) = [ 2 fx 2 A j x 2 K(x; )g, nhữ sau

'(x; t; ) =

max

e(

f(x; t; y; )); x 2 E( ); t 2 B; 2 :

y2K(x; )
(a)

Ta dạ d ng thĐy rơng '(x; t; ) 0. Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng tỗn

tÔi (x0; t0; 0) 2 E( 0) B sao cho '(x0; t0; 0) < 0, khi õ

0 > '(x0; t0; 0) =

max
e(

Khi y = x0, ta cõ

e( f(x0; t0; y; 0))

f(x0; t0; y; 0)); 8y 2 K(x0; 0):