BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC TÍC H PHÂN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (272.56 KB, 35 trang )
BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Bạn Tuấn giấu tên - Đại học FPT Hà Nội
Ngày 2 tháng 10 năm 2019
Tóm tắt nội dung
Giờ là 11h47p ngày 2/10/2019 tớ khó ngủ quá nên quyết định dậy ngồi tổng hợp lại
mấy bài bất đẳng thức tích phân cho mấy cậu ôn Olympic Sinh Viên lấy vũ khí ôn tập
hehe!!! Thôi đi gõ đã hihi ;P
CÁC BÀI TOÁN
Mấy bài ở đây chủ yếu tớ sưu tầm, với cả dịch lại vài cuốn ở nước ngoài, khỏi dài dòng, các
cậu theo dõi dưới đây nha ;P Lời giải sẽ được tớ post trong một ngày đẹp trời :| Còn khi sớm
hay muộn thì tớ không biết :(.
Câu 1. Cho 2 số thực a, b thỏa mãn a < b, a + b = ab + 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân
b
I=
a
x2 − ( a + b) + ab dx
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0 và
1
0
1
2
f ( x ) dx = −7
0
x3 f ( x ) dx −
7
4
1
Tính tích phân
0
f ( x ) dx.
Câu 3. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] đồng thời
thỏa mãn
1
f (1) = e. f (0) = e,
0
f (x)
f (x)
2
dx ≤ 1
1
?
2
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1] , thỏa mãn
Tính f
1
1
2
[ f ( x )] dx = 4,
0
1
f ( x ) dx =
0
x f ( x ) dx = 1
0
1
1
[ f ( x )]3 dx
Tính giá trị của tích phân
0
Câu 5. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] , thỏa mãn đồng thời
1
3
f ( x ) dx = − 2 ln 2,
2
1
2
f (1) = 0,
0
0
f (x)
3
dx
=
2
ln
2
−
.
2
( x + 1)2
1
Tích phân
f ( x ) dx?
0
Câu 6. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và có đạo hàm f ( x ) liên tục trên [0; 1] , thỏa
mãn f (1) = e f (0) và
1
0
dx
+
f 2 (x)
1
2
f ( x ) dx ≤ 2.
0
Tính giá trị của biểu thức f (1).
Câu 7. Cho hàm số f ( x ) > 0 và có đạo hàm f ( x ) > 0 liên tục trên [0; 1] , thỏa mãn
1
1
3
f (0) = 1,
f (x) + 4 f (x)
3
f ( x ) f 2 ( x ) dx.
dx ≤ 3
0
0
1
Tính I =
f ( x ) dx.
0
Câu 8. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương trên [0; 1] , có đạo hàm dương và tục trên [0; 1] ,
1
thỏa mãn f (0) = 1, f (1) =
e2 .
Chứng minh rằng
0
x f (x)
dx ≤ 1.
f (x)
Câu 9. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] , thỏa mãn f (0) = 1, f (1) =
√
3.
Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
2
f ( x ) f ( x ) dx ≥ 1
0
Câu 10. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và có đạo hàm f ( x ) liên tục trên [1; 2] , thỏa
mãn f (1) = 1, f (2) = 16. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
2
1
[ f ( x )]2
dx ≥ 24
x f (x)
Câu 11. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] , thỏa mãn f (1) = 0 đồng thời
2
1
1
2
[ f ( x )] dx = 7 và
0
1
x f ( x ) dx = . Tính giá trị của tích phân
3
1
2
0
f ( x ) dx ?
0
π
π
Câu 12. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [0; π ] , thỏa mãn
cos x f ( x ) dx = 1.
f ( x ) dx =
0
0
π
f 2 ( x ) dx?
Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân
0
Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] , thỏa mãn điều kiện
2
x3 f ( x ) dx = 31
1
2
f 4 ( x ) dx?
Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân
1
Câu 14. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [0; 2] , thỏa mãn
2
8
x f ( x ) dx = ,
15
2
4
2
f (2) = 1,
0
f ( x ) dx =
0
32
5
2
Tính giá trị của tích phân
f ( x ) dx?
0
Câu 15. Cho hàm số ϕ( x ) khả vi hai lần trên [0; +∞), biết rằng ϕ( x ) > 0, ϕ ( x ) > 0 và
ϕ( x ) ϕ ( x )
( ϕ ( x ))2
≤ 2, ∀ x ∈ [0; +∞)
ϕ (x)
Chứng minh rằng lim
= 0.
[ ϕ( x )]2
Câu 16. Giả sử A là lớp các hàm f ( x ) khả vi liên tục trên [0; 1], f (0) = 0, f (1) = 1. Chứng
x →+∞
minh rằng
1
inf
f ∈A
0
f ( x ) − f ( x ) dx
=
1
e
Câu 17. Giả sử f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng
1
0
| f ( x )|dx ≤ max
1
1
f ( x ) dx;
0
0
f ( x )dx
Câu 18. Cho f ( x ) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [1;2] và thoả mãn điều kiện
x2
x1
f 2 ( x )dx ≤
x23 − x13
, ∀ x1 , x2 ∈ [1; 2], x1 ≤ x2
3
3
2
3
f ( x )dx ≤ .
2
1
Câu 19. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
Chứng minh rằng
π
2
π
<
16
dx
π
<
3
10
5 + 3cos x
0
Câu 20. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
2
1
<
2
√
0
dx
1 − x2n
<
π
, (n = 2, 3, 4, . . .)
6
Câu 21. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
π
<
6
0
√
π 2
√
<
8
4 − x2 − x3
dx
Câu 22. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
π
4
0<
0
√
π2
x tan xdx <
32
Câu 23. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
√
π
3
3
<
4
sin x
1
dx <
x
2
π
6
Câu 24. Chứng minh bất đẳng thức tích phân sau
√
π
3
3
<
12
cot x
1
dx <
x
3
π
4
Câu 25. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
π
2
0
6 sin x cos x
(1 + cos4 x ) 1 + sin4 x
t
Câu 26. Tính giá trị của tích phân I (t) =
0
dx >
π
2
tan4 x
π
dx với 0 < t < .
cos 2x
4
Từ đó chứng minh rằng
tan t +
π
4
2
3 t +3 tan t
> e 3 (tan
) , ∀0 < t < π
4
Câu 27. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
5π
<
6
π
3
π
6
√
3 − 2 sin x
5+
√
4
sin x
1+
√
sin x dx <
9π
2
π
4
Câu 28. Cho tích phân In =
0
x.tann xdx, n ∈ N. Chứng minh rằng
In >
n +2
1
π
n+2 4
Câu 29. Cho 2 hàm số f , g : [0; 1] → [0; 1]. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
2
1
1
f ( x ) .g ( x ) dx
0
0
1
f ( x ) dx.
g ( x ) dx
0
Câu 30. Giả sử f ( x ) là hàm liên tục trên [0; 1], a là một số nguyên dương sao cho
1
f ( x ) dx = a, 0
0
2
a 3 , x ∈ [0, 1]
f (x)
Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
2
f ( x )dx
0
a3
Câu 31. Giả sử f ( x ) là hàm nghịch biến và liên tục trên [0; a], a ∈ [0; b].
Chứng minh rằng
b
a
b
0
f ( x )dx
a
0
f ( x )dx
Câu 32. Chứng minh bất đẳng thức
1
n
0
n
∑ coskm x + n sin x
k =1
5
dx < , ∀m, n ∈ N∗ , m
4
2
Câu 33. Chứng minh rằng
x
x
e2t + e−t <
e −1 <
( e x − 1) e x −
0
Câu 34. Chứng minh rằng
√
0
2π
1
2
, ∀x > 0
sin x2 dx > 0
Câu 35. Chứng minh rằng
e
1
1
(ln x )2009
dx >
2
2010.2011.2012
x
Câu 36. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức tích phân
3π
8
f (n) =
π
4
sinn+2 x cosn+2
+
cosn x
sinn x
5
dx, n ∈ Z+
Câu 37. Cho hàm số f ( x ) xác định bởi
sin x
, x ∈ (0; 1]
x
f (x) =
sin x
lim
,x = 0
+
x
x →0
Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
17
<
18
1703
1800
f ( x ) dx <
0
Câu 38. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
I=
−1
4
1 + x4 +
3
1 + x3 +
1 + x2 +
4
3
1 − x4 +
1 − x3 +
1 − x2 dx < 12
Câu 39. Chứng minh 2 bất đẳng thức tích phân sau
π
I=
0
3π
;J =
2
2
esin x dx >
1
0
2
e− x dx <
π
4
Câu 40. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
π
2
e
0
π
Câu 41. Cho In =
0
sin x
π
2
dx +
0
π
etan x dx > 2 e 2 − 1
2
xe x cos nxdx. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1 π2
e −1
2
| In |
Câu 42. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
2
π
0
x m e2x dx >
π m +2
π m +3
+
( m ∈ N)
m+2 m+3
Câu 43. Cho n là số tự nhiên, khi đó chứng minh bất đẳng thức tích phân
π
0
2eπ
n
x2
e sin nxdx
2
Câu 44. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
π
2
0
4
2
3sin x
+ 5cos2 xdx
4
Câu 45. Cho tích phân In =
0
π
2
+
0
4
√
3cos2 x + 5sin2 xdx < π 2
√
x n 4 − xdx, n ∈ N∗ .
1
Tính In và chứng minh rằng In < 22n+3 (2ne)− 2 .
Câu 46. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
2π
π
2
|sin nx |
dx >
x
π
1
1
1
+
+...+
1+n 2+n
2n
6
Câu 47. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
6n2 + 2n + 1
<
6n2
1
√
n
0
2n + 1
, ∀n ∈ N, n
2n
1 + xdx <
2
Câu 48. Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì ta luôn có bất đẳng thức
xn + 1
dx
x n + x n −1 + . . . + x + 1
1
0
2
n+1
Câu 49. Với n là số nguyên lẻ. Tìm tất cả các hàm liên tục f : [0, 1] → R thỏa mãn
1
n−k
1
f xk
0
k
, k = 1, n − 1
n
dx =
x2
Câu 50. Cho hàm số f ( x ) xác định và liên [1; 2] thỏa mãn
x1
x23 − x13
với mọi
[ f ( x )] dx ≤
3
2
x1 , x2 ∈ [1; 2] sao cho x1 ≤ x2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức tích phân
2
1
Câu 51. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
In =
Câu 52. Cho tích phân In =
0
π
2
0
√
x n 1 − xdx <
1
√
( n + 1) n + 1
sinn xdx. Chứng minh rằng
π
< In <
2( n + 1)
π
2n
Câu 53. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
π
√ <
4 2
0
1 − x2
1+x
3
2
π
6
dx <
Câu 54. Chứng minh rằng với mọi số α > 0 ta có bất đẳng thức
1=
π
2
1+
0
Câu 55. Cho ai , bi ≥ 0; 1p +
k
1
q
1
sin2 x
π
2
α
dx +
1+
0
α
1
cos2 x
dx > π.3α−1
= 1; p > 1 . Chứng minh rằng
k
k
a n bm
π
∑ ∑ m + n ≤ sin π
p
m =1 n =1
∑
n =1
p
an
1
p
k
∑
q
bm
1
q
m =1
Câu 56. Cho f liên tục trên [0; 1] , 0 ≤ f ( x ) ≤ 1∀ x ∈ [0; 1] . Chứng minh rằng
1
1
f x2 dx
f ( x ) dx ≥
0
0
7
2
f ( x ) dx.
Câu 57. Cho số tự nhiên p > 1 và f , g là các hàm số liên tục trên [ a; b]. Chứng minh rằng
b
a
1
p
p
b
| f ( x ) + g( x )| dx
a
p
p
| f ( x )| dx
b
+
a
p
p
| g( x )| dx
Câu 58. Cho 2 hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] thỏa mãn điều kiện
g( x )
f (x)
f ( x ) = 0, m
M, ∀ x ∈ [ a, b]
Chứng minh bất đẳng thức tích phân
b
a
b
g2 ( x )dx + M.m
a
b
f 2 ( x )dx
( M + m)
a
f ( x ) g( x )dx
Câu 59. Cho f ( x ) , g ( x ) là các hàm liên tục trên [ a; b] và thỏa mãn đồng thời các điều kiện
0 < a ≤ f (x)
A; 0 < b
B, ∀ x ∈ [ a; b]
g (x)
Chứng minh rằng
b
( ab + AB)
4abAB
2
a
b
g2 ( x ) dx
a
f 2 ( x ) dx
b
a
4abAB
2
( ab + AB)2
f (x) g (x)
Câu 60. Cho 2 hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b]. Chứng minh rằng
• Nếu f ( x ) , g ( x ) là 2 hàm cùng đồng biến hoặc cùng nghịch biến thì ta có bất đẳng thức
1
b−a
b
f ( x ) g( x )dx
a
1
b−a
b
1
b−a
f ( x )dx
a
b
g( x )dx
a
• Nếu f ( x ) , g ( x ) là 2 hàm có tính đơn điệu ngược chiều nhau thì ta có bất đẳng thức
1
b−a
b
f ( x ) g( x )dx
a
1
b−a
b
a
1
b−a
f ( x )dx
b
a
g( x )dx
Câu 61. Cho hàm số f ( x ), là hàm số xác định và liên tục trên [0, 1] và thỏa mãn điều kiện
| f ( x )| ≤ 1, ∀ x ∈ [0, 1]. Chứng minh rằng
1
1 − f 2 ( x )dx ≤
1−
0
2
1
f ( x ) dx
0
Câu 62. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
2
1
x x dx ·
2
1
(1 + ln x ) dx
8
3
Câu 63. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
f ∈ C [0; 1]
x f (y) + y f ( x ) ≤ 1∀ x; y ∈ (0; 1)
Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
π
4
f ( x ) dx ≤
0
Câu 64. Cho hàm số f : [0; 2] → R, có f ( x ) liên tục trên [0; 2] đồng thời thỏa mãn
2
2
x f ( x ) dx = k
f ( x ) dx =
f (2) = 0 ,
0
0
Chứng minh bất đẳng thức tích phân
2
2
f ( x ) dx ≥
0
15 2
k
16
Câu 65. Cho hàm số f ( x ) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ a; b] và f ( a) = 0. Đặt
M = max | f ( x )| . Chứng minh rằng
a≤ x ≤b
M2 ≤ ( b − a )
b
a
2
f ( x ) dx
Câu 66. Cho hàm số f : [0; 1] → R là hàm khả vi sao cho f (0) = f (1) = 0 và thỏa mãn điều
kiện | f ( x )| ≤ 1, ∀ x ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng
1
0
1
f (t) dt < .
4
Câu 67. Cho [ a; b] ⊂ R và hàm f : [ a; b] → R có đạo hàm cấp 2 liên tục trên [ a; b] sao cho
f ( a) + f (b) = 0. Đặt m = min f ( x ) Chứng minh bất đẳng thức tích phân
x ∈[ a;b]
b
a
m ( a − b )3
f ( x ) dx ≤
12
Câu 68. Cho hàm số f : [0; 1] → R khả vi liên tục trên miền xác định.
Đặt M = max | f ( x )| , m = min f ( x ). Chứng minh rằng
x ∈[0;1]
x ∈[0;1]
m2
12
1
1
f 2 ( x ) dx −
0
f ( x ) dx
0
9
2
M2
12
Câu 69. Cho hàm số f ( x ) ≥ 0 là hàm giảm và f ( x ) + x f ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ [ a, b]. Chứng
minh rằng
b
x f 2 ( x ) dx ≤
a
b+a
2 (b − a)
2
b
f ( x ) dx
a
Câu 70. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn thỏa mãn với mọi x, y, α, β và ta có
αx + βy
α+β
α. f ( x ) + β. f (y) ≥ (α + β) f
1
2
1
f ( x ) dx = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân
Biết f (0) = 0,
0
0
f ( x ) dx
Câu 71. Cho hàm f : [0; 1] → [0, +∞) khả vi liên tục trên miền xác định.
Đặt M = max | f ( x )|. Chứng minh rằng
x ∈[0;1]
1
1
f 3 ( x ) dx − f 2 (0)
0
f ( x ) dx ≤ M
0
2
1
f ( x ) dx
0
Câu 72. Xét đa thức P ( x ) là đa thức bậc n thỏa mãn P ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ R. Chứng minh rằng
x
1
x − 1 P ( x ) dx + P ( x ) + P ( x ) + ... + P(n−1) ( x ) dx ≥ 0
2
0
0
Hãy tổng quát bài toán khi thay đoạn [0, 1] bởi đoạn [ a, b].
Câu 73. Cho hàm số f ( x ) liên tục, f ( x ) liên tục trên [0, 1] và f (0) = 0. Chứng minh rằng
1
0
1
f ( x ) f ( x ) dx ≤
2
1
2
f ( x ) dx
0
Câu 74. Cho hàm số f : [0, 1] → R là hàm khả vi liên tục.
Đặt M = max | f ( x )|. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
x ∈[0,1]
1
f 2 ( x ) dx −
0≤
0
2
1
1
f ( x ) dx ≤ M max f ( x ) −
x ∈[0,1]
0
f ( x ) dx
0
Câu 75. Cho f ( x ) là hàm liên tục cùng đạo hàm của nó trên đoạn [0; 1] và f (1) − f (0) = 1.
Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
0
2
f ( x ) dx
10
1
Câu 76. Cho đa thức f ( x ) = Ax3 + Bx2 + Cx + D thỏa mãn A < 0, B2 − 3AC ≤ 0. Chứng
minh rằng
1
0
1
1
x f ( x ) dx ≤
2
f ( x ) dx
0
Hãy tổng quát bài toán khi thay đoạn [0, 1] bởi đoạn [ a, b]
Câu 77. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn a. f (b) + b. f ( a) ≤
2018
với mọi a, b
π
thuộc đoạn [0; 1]. Tìm giá trị lớn nhất của tích phân
1
I=
f ( x ) dx
0
Câu 78. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn f ( x ) + f
1−
√
x
2
≤ 1 với mọi x
thuộc đoạn [0; 1]. Tìm giá trị lớn nhất của tích phân
1
I=
0
1−
√
x f ( x ) dx
Câu 79. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R, có đạo hàm cấp hai thỏa mãn x. f ( x ) ≥ e x + x và
f (2) = 2e, f (0) = e2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f (2)?
Câu 80. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) > 0, ∀ x ∈ [0; 8] và
giá trị lớn nhất của hàm số g ( x ) =
1
x
x
0
8
0
f ( x ) dx = 10. Tìm
f (t) dt trên (0; 8]?
Câu 81. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( x ) > 0,∀ x ∈ [1; 2] , biết f (1) = 1, f (2) =
22
. Chứng
15
minh bất đẳng thức tích phân
2
1
[ f ( x )]3
dx
x4
7
375
Câu 82. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn điều kiện
1
0
x f ( x ) x2 + f 2 ( x ) dx ≥
2
5
Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân
1
I=
0
1 2
f ( x ) dx
2
x2 +
Câu 83. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] , thỏa f ( x ) ≥ f ( x ) > 0, ∀ x ∈ [0; 1] .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
I = f (0) .
0
11
1
dx
f (x)
Câu 84. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn [0; 1] .
x2
f (t) dt. Biết rằng g ( x ) ≥ 2x f x2 với mọi x ∈ [0; 1]. Tìm giá trị
Đặt hàm số g ( x ) = 1 +
0
lớn nhất của tích phân
1
g ( x ) dx
0
Câu 84. Cho hàm số f ( x ) dương và liên tục trên [1; 3] , thỏa mãn điều kiện
max f ( x ) = 2, min f ( x ) =
[1;3]
[1;3]
1
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức tích phân
3
3
f ( x ) dx.
S=
1
1
1
dx
f (x)
Câu 85. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn đồng thời các điều
kiện
1
1
f (0) = ;
16
0
1
( x + 1) f ( x ) dx = − ;
8
1
3
0
1
[ f ( x )]3
dx =
2
64
[ f ( x )]
1
Tính giá trị của tích phân
0
f ( x ) dx?
Câu 86. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0;
π
thỏa mãn
2
f (0) = 0, | f ( x ) − f (y)| = |sin x − sin y| , x, y ∈ R
Tìm giá trị lớn nhất của tích phân
π
2
0
( f ( x ))2 − f ( x ) dx
Câu 87. Tìm giá trị lớn nhất của tích phân
√
I=
1
3 e− x
x2
sin x
dx
+1
Câu 88. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm [0; 1] thỏa mãn f (0) = f (1) = 0 và đồng thời
1
điều kiện
0
f ( x ) dx = 1. Tìm giá trị lớn nhất của | f ( x )| trên [0; 1]?
Câu 89. Cho f ( x ) là một hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn đồng thời
1
f (x)
2∀ x ∈ [0, 1],
12
1
0
f ( x )dx =
3
2
Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
2
3
3
dx
<
f (x)
4
0
Câu 90. Cho f ( x ) là hàm liên tục cùng đạo hàm của nó trên đoạn [ a; b]. Giả sử f ( a) = 0 và
cho M = max | f ( x )|. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
x ∈[ a,b]
b
2
( b − a )2
a
| f ( x )|dx
M
Câu 91. Cho f ( x ) là hàm liên tục cùng đạo hàm của nó trên đoạn [ a; b]. Giả sử f ( a) = f (b) =
0 và cho M = max | f ( x )|. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
x ∈[ a,b]
b
4
( b − a )2
a
| f ( x )|dx
M
Câu 92. Cho hàm số f ( x ) liên tục đến đạo hàm cấp 2 trên đoạn [ a; b] thỏa mãn f ( a) = f (b) =
0, cho M = max | f ( x )|. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
x ∈[ a,b]
M ( b − a )3
12
b
a
f ( x )dx
Câu 93. Cho f ( x ) là hàm liên tục cùng đạo hàm của nó trên đoạn [0; 2] thỏa mãn f (0) =
f (2) = 1 và | f ( x )|
1, ∀ x ∈ [0.2]. Chứng minh rằng
2
0
f ( x )dx > 1.
Câu 94. Cho f ( x ) là hàm liên tục và nghịch biến trên đoạn [0; 1]. Chứng minh rằng
1
α
0
α
f ( x )dx <
0
f ( x )dx, ∀α ∈ (0; 1)
Câu 95. Cho n hàm f 1 ( x ), f 2 ( x ), . . . , f n ( x ) là hàm số dương và liên tục trên đoạn [0; 1]. Ta đặt
1
ak =
0
f k ( x )dx, k = 1, n
Chứng minh rằng tồn tại số thực x0 ∈ [0, 1] sao cho
f 1 ( x0 ) f 2 ( x0 ) . . . f n ( x0 ) ≤ a1 a2 . . . a n
Câu 96. Cho f ( x ) là hàm liên tục cùng đạo hàm của nó trên đoạn [0; 1] và f ( x ) lấy cả giá trị
dương và âm trên [0; 1]. Chứng minh rằng
1
0
| f ( x )| dx <
1
0
f ( x ) dx
Câu 97. Cho hai hàm số f ( x ) và g( x ) cùng tăng và cùng giảm trên [0; 1].
13
Chứng minh rằng
1
0
1
f ( x ) g( x )dx ≥
1
f ( x )dx
0
Câu 98. Cho hàm f xác định trên (0, +∞) với f (α) =
g( x )dx
0
1√
0
1 − x α dx. Chứng minh rằng
α + 21
α
< f (α) <
1+α
α+1
Câu 99. Cho a > 0 và hàm f ( x ) liên tục trên [ a, +∞) thỏa mãn điều kiện
t
a
f 2 ( x )dx <
t
a
x2 dx (t > a)
Chứng minh bất đẳng thức tích phân
b
b
f ( x )dx <
a
a
xdx
Câu 100. Cho hàm f ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn điều kiện
0 ≤ f ( x ) ≤ 1∀ x ∈ [0, 1], f (0) = f (1) =
1
2
1
a) Chứng minh rằng 0 <
1
b) Biết c =
0
0
f ( x )dx < 1.
x
f ( x )dx, đặt F ( x ) =
f (t)dt. Chứng minh rằng
0
F ( x ) ≤ x khi 0 ≤ x ≤ c
F ( x ) ≤ c khi c ≤ x ≤ 1
c) Chứng minh rằng
1
0
F ( x )dx < c −
c2
2
d) Chứng minh rằng
c2
<
2
1
0
x f ( x )dx < c −
c2
2
Câu 101. Giả sử f ( x ) là hàm liên tục trên đoạn [ a; b] thỏa mãn điều kiện
i) Với mọi x1 , x2 ∈ [ a; b] ta có f (α1 x1 + α2 x2 ) ≤ α1 f ( x1 ) + α2 f ( x2 )
ii) α1 > 0, α2 > 0, α1 + α2 = 1. Chứng minh rằng
(b − a) f
a+b
2
b
≤
a
f ( x )dx ≤
1
(b − a)( f ( a) + f (b))
2
Câu 102. Cho a, b ∈ R2 , a < b, f : [ a, b] → R liên tục và m = inf f ( x ), M = sup f ( x ) giả
x ∈[ a;b]
x ∈[ a;b]
sử m > 0. Chứng minh bất đẳng thức tích phân
2
m
(b − a)
M
1
M
b
a
b
f ( x )dx + m
14
a
1
dx
f (x)
1+
m
(b − a)
M
Câu 103. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn điều kiện
1
f (t) dt ≥
x
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân
0
1 − x2
, ∀ x ∈ [0; 1]
2
f 2 ( x ) dx?
Câu 104. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ( a; b) thỏa mãn lim f ( x ) = +∞ và
đồng thời lim f ( x ) = −∞. Biết rằng f ( x ) +
f 2 (x)
x →b−
x → a+
≥ −1, ∀ x ∈ ( a; b), tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = b − a?
Câu 105. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn
√
6−4 2
, f (1) = 2, f ( x ) > 0, ∀ x ∈ [0; 1]
f (0) =
3
Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân
1
2x − x2 + [ f ( x )]2 dx
2+2
0
Câu 106. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên [1; 3] và max | f ( x )| =
√
[1;3]
10. Tìm giá trị nhỏ nhất
3
2
và lớn nhất của tích phân
f ( x ) dx ?
1
Câu 107. Cho [ a; b] ⊂ R, f , g liên tục trên [ a; b], f đơn điệu giảm và g([ a; b]) ⊂ [0; 1]. Đặt
b
c=
a
g( x )dx. Chứng minh rằng
b
b−c
a+c
b
f ( x )dx
a
f ( x ) g( x )dx
a
f ( x )dx
Câu 108. Cho a ∈ R+ và hàm f : [0; a] → R khả vi liên tục trên [ a; b] sao cho f (0) = 0.
Chứng minh rằng
a
0
a
a
2
| f ( x ) f ( x )|dx
2
f ( x )dx
0
Thay giả thiết bằng f (0) = f ( a) khi đó ta hãy chứng minh
a
0
a
a
4
| f ( x ) f ( x )|dx
0
2
f ( x )dx
Câu 109. Cho f : [0; 1] → R khả vi và liên tục trên [0; 1] chứng minh bất đẳng thức
1
f (x)
0
f (t)dt +
1
2
1
0
2
f (t)dt +
(1 − x )3
6
Câu 110. Cho f là một hàm số thực nhận giá trị dương và tuần hoàn với chu kỳ bằng 1 trên
R chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 0 ta có bất đẳng thức
1
0
f (x)
f x+
1
n
15
dx
1
Câu 111. Cho a ∈ R∗+ hàm f : [0, a] → R là ánh xạ thuộc lớp C1 sao cho f ( x ) > 0, ∀ x ∈ [0, a]
và f (0) = 0.
a) Chứng minh rằng ∀ x ∈ [0, a] thì
x
0
f (x)
f (t) +
0
f −1 (t) dt = x f ( x )
Trong đó f −1 : [0, f ( a)] → R là hàm ngược của f .
b) Chứng minh rằng ∀( x, y) ∈ [0, a] × [0, f ( a)] thì
x
0
y
f (t)dt +
f −1 (t)dt
0
xy
Câu 112. Cho hàm f khả vi liên tục trên [ a; b]. Chứng minh rằng
b
1
max | f ( x )| ≤ | f ( a) + f (b) | + | f ( x ) |dx
2
x ∈[ a,b]
a
Câu 113. a) Cho [ a; b] ⊂ R, f : [ a; b] → R có đạo hàm cấp 2 liên tục sao cho
f ( a) = f (b) = f ( a) = f (b) = 0 , f ( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ [ a; b]
Chứng minh rằng tồn tại c ∈ [ a; b] sao cho
( b − a )3
f (c) ≥
6
b
a
( b − a )3
f ( x )dx ≥
f (c)
24
1
đơn điệu tăng và có đạo hàm cấp 2 liên tục trên [0; 2] đồng thời
2
thỏa mãn f (0). f (1) = 1. Chứng minh rằng tồn tại c ∈ [0; 2] sao cho
b) Cho f : [0; 2] → 0;
f (c) ≥ 3
2
0
f ( x )dx
Câu 114. Cho hàm f : [ a, b] → R khả vi 3 lần trên f ( a) = f (b). Đặt M = supx∈[a,b] | f ( x )|.
Chứng minh rằng
a+b
2
b
f ( x )dx −
a
a+b
2
( b − a )4 M
f ( x )dx ≤
192
Câu 115. Cho [ a; b] ⊂ R, f : [ a; b] → R, f ∈ C2 ([ a; b]) sao cho f ( a) = f (b).
Đặt M = max f ( x ) , m = min f ( x ).
[ a;b]
[ a;b]
Giả sử tồn tại 0 < h < b − a sao cho f ( a + h) = f (b − h), chứng minh rằng
f ( a) + f (b) ≤
16
M−m
h
2
Câu 116. Cho hàm f : [0, 1] → R liên tục thỏa mãn
1
x f ( x )dx = 0
0
Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
√
2− 2
max | f ( x )|
6
x ∈[0,1]
x2 f ( x )dx
0
Câu 117. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [0; 1] biết rằng g( x ) > 0, ∀ x ∈ [0; 1] và
1
g( x )dx = m
0
Chứng minh rằng tồn tại c ∈ [0; 1] sao cho
1
0
f ( x ) g( x )dx = m f (c)
Câu 118. Cho hàm lõm, liên tục f : [0, 1] → R và f (0) = 1. Chứng minh rằng
1
0
2
1
2
3
x f ( x )dx
f ( x )dx
0
Câu 119. Cho f ( x ) là hàm khả vi liên tục trên đoạn [0, 2] và f (1) = 0. Chứng minh rằng
2
f ( x ) dx
0
2
2
3
2
2
f ( x )dx
0
Câu 120. Cho hàm số f khả vi liên tục trên đoạn [ a; b] và f ( a) = 0. Chứng minh rằng
b
( b − a )2
2
2
f ( x )dx
a
b
a
2
f ( x ) dx
Câu 121. Cho hàm f liên tục, khả vi trên [0; 1] sao cho
2
3
1
3
f ( x )dx = 0
Chứng minh bất đẳng thức tích phân
1
0
2
1
2
f ( x ) dx
27
0
f ( x )dx
Câu 122. Cho hàm số f : [0; 1] → [0; 1] là hàm đơn điệu tăng và liên tục. Chứng minh rằng
1
0
f x2014 dx ≤
17
1
0
f ( x )dx +
1
2015
1
2
Câu 123. Cho hàm f ∈ C1 ([0; 1]) và
f ( x )dx = 0. Chứng minh rằng
0
2
1
0
1
1
12
≤
f ( x )dx
2
f ( x ) dx
0
Câu 124. Cho f là hàm lồi trên đoạn [ a; b], tức là
f (tx + (1 − t)y) ≤ t f ( x ) + (1 − t) f (y), ∀ x, y ∈ [ a, b], t ∈ [0, 1]
Chứng minh rằng, với mọi x, y ∈ [ a, b] mà x + y = a + b ta có
f ( x ) + f (y) ≤ f ( a) + f (b)
Từ đó suy ra
b
a
f ( x )dx ≤
[ f ( a) + f (b)](b − a)
2
Câu 125. Cho hàm f ∈ C1 [0, 1] khả vi liên tục trên [0; 1] thỏa mãn f (0) = 0, f ( x ) > 0∀ x ∈
(0, 1). Chứng minh rằng
1
0
[ f ( x )]3
[ f ( x )]
dx ≥
2
1
1
9
0
(1 − x )2 f ( x )dx
Câu 126. Cho hàm số f liên tục trên [ a; b] và có f ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ ( a, b). Chứng minh rằng
b
a
f ( x )dx ≥ (b − a)
a+b
−c
2
f (c) +
f (c) , ∀c ∈ ( a, b)
Câu 127. Cho hàm f xác định, khả vi liên tục trên đoạn [0; b] và f nghịch biến trên [0; b].
Chứng minh rằng, với mọi a ∈ (0, b) ta đều có
1
b2
b
0
f ( x )dx −
1
a2
a
0
f ( x )dx ≥
f (b)
f ( a)
−
b
a
Câu 128. Cho hàm f : [0, 1] → R liên tục thỏa mãn điều kiện
1
0
f ( x )dx = 0
Chứng minh rằng
1
0
f 2 ( x )dx ≥ 12
2
1
0
x f ( x )dx
Câu 129. Cho hàm f ∈ C2 [−1, 1] tức là f khả vi liên tục đến cấp 2 trên [−1; 1] thỏa mãn
f (0) = 0.
18
Chứng minh rằng
1
f ( x ) dx ≥ 10
−1
2
1
2
−1
Câu 130. Cho hàm số f ∈ C1 ([ a, b]) thỏa mãn f ( a)
f ( x )dx
0 và
(t − 2)( x − a)t−3 , ∀ x ∈ [ a, b], t ≥ 3
f (x)
Chứng minh rằng
t −1
b
b
f ( x )dx
a
a
[ f ( x )]t dx
Câu 131. Giả sử f là hàm số khả vi liên tục trên đoạn [0; 1], thỏa mãn điều kiện f (0) = 0, và
với mọi x ∈ [0, 1] : 0
1. Chứng minh rằng
f (x)
2
1
f ( x )dx
0
1
≥
( f ( x ))3 dx
0
1
Câu 132. Giả sử f là hàm không âm trên [0; 1] và
1
0
2
1
x−
0
f ( x )dx = 1. Chứng minh rằng
0
f ( x )dx ≤
u f (u)du
1
4
Câu 133. Cho hàm f ( x ) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn
x
0
f 2 (t)dt
x2017
, ∀ x ∈ [0, 1]
2017
Chứng minh rằng
1
0
1
2016
x1007 f ( x )dx
Câu 134. Cho f : [0, 1] → R là hàm khả vi thỏa mãn f (0) = 0 và f (1) = 1. Giả sử f là hàm
liên tục và không âm trên [0; 1]. Chứng minh rằng
√
1
2
0
1 + ( f ( x ))2 dx < 2
Câu 135. Chứng minh bất đẳng thức
−π
<
4
2
0
√
cos x + 3 sin x
π
<
2
4
x +4
Câu 136. Chứng minh bất đẳng thức
π
2
0
sin x
dx >
x
19
π
π
2
sin x
dx
x
Câu 137. Chứng minh bất đẳng thức
√
2π
sin x2 dx > 0
0
Câu 138. Chứng minh bất đẳng thức
x
I (x) =
sin t
dt
1+t
0
∀x
0
0
Câu 139. Chứng minh bất đẳng thức
x
x n +3 − 2n +2
;
n+3
n
2
t arctan tdt
2
x
0
x n +2
n+2
n
ttan tdt
Câu 140. Chứng minh bất đẳng thức
4
9<
4
0
x4 + 1dx +
3
4
1
x4 − 1dx < 9.0001
Câu 141. Chứng minh bất đẳng thức
x4 + 1
2
x ( x2 +
1
2
a2 )
dx >
3
(1 +
a2 ) (4 + a2 )
Câu 142. Chứng minh bất đẳng thức
2a
a
√
x 2 − a2
1
dx
<
8a2
x4 + 4a4
Câu 143. Chứng minh bất đẳng thức
2n+1
2
a
−a
(2n + 1)
dx
√
> 2a2n+1 ·
2n
2
2
(2n)n
x · a −x
Câu 144. Chứng minh bất đẳng thức
2a
√
a 2
dx
π
√
< 2
4
a
x · x 4 − a4
1
ln
4
√
1+ 3
√
2
1
− ln
3
√
1+ 5
2
Câu 145. Chứng minh bất đẳng thức
a
√a
2
x
( a2
−
3
x2 ) dx
√
√
2+ 3
√
2+1
a5
<
ln
4
Câu 146. Chứng minh bất đẳng thức
2
1
2
n
x sin xdx
2
π
20
n
2n +3 − 1
n+3
√
−
2
2
Câu 147. Chứng minh bất đẳng thức
π
2
a2 ·
0
√
3
cos x tan x + b2 sin x dx > πab
Câu 148. Chứng minh bất đẳng thức
1
(1 + x )n + (1 − x )n dx
−1
2n +1
Câu 149. Chứng minh bất đẳng thức
1 ex
0
10
sin x
dx > 1.36;
x
1
1010
x dx >
1 + ln 10
x
Câu 150. Chứng minh bất đẳng thức
π
2
e ax (cos x − a sin x )dx >
0
π
2
Câu 151. Chứng minh bất đẳng thức
2
−2
x ln x2 − 3 +
√
1
Câu 152. Cho tích phân I (m) =
0
√
√
√
2+ 3
3
√ dx < 4 4 − 3 ln
√
3 ln
x− 3
2− 3
x+
x2 + m dx. Chứng minh rằng
I (m)
I
−1
, ∀m ∈ R
4
Câu 153. Chứng minh bất đẳng thức
n−
arctan 1 + arctan 2 + . . . + arctan n <
1
2
arctan n − ln
1 + n 2 ( n ∈ N∗ )
Câu 154. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x ) liên tục trên [ a; b] thỏa mãn f ( a) = 0. Cho
M = max | f ( x )|. Chứng minh rằng | f ( x )| ≤ M( x − a), ∀ x [ a, b].
x ∈[ a;b]
Câu 155. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x ) liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng
1
0
| f ( x )|dx
1
max
0
1
f ( x )dx ,
0
f ( x ) dx
Câu 156. Giả sử hàm số f ( x ) cùng đạo hàm f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] thỏa mãn f ( a) = 0
và tồn tại k > 0 sao cho | f ( x )| ≤ k| f ( x )|∀ x ∈ [ a, b].
Chứng minh rằng f ( x ) ≡ 0∀ x ∈ [ a, b].
Câu 157. Cho f ( x ) liên tục trên [ a; b] và f ( x ) > 0∀ x ∈ ( a, b).
21
Chứng minh rằng
b
a
b+a
−c
2
(b − a) f (c) +
f ( x )dx
f (c) , ∀c ∈ ( a, b)
Câu 158. Cho Tn ( x ) là đa thức Chebyshev bậc n(n ≥ 2). Chứng mỉnh rằng
√
π
2
dx <
Tn3 ( x ) √
8
−1
1 − x2
1
x
Câu 159. Cho hàm f ( x ) và f ( x ) liên tục trên [ a; b] thỏa mãn f ( a) = f (b) = 0 và f ( x ) >
0∀ x ∈ ( a, b). Cho M = max f ( x ).
x ∈[ a,b]
• Chứng minh rằng ∃c1 , c2 ∈ ( a, b) với c1 < c2 sao cho f (c1 ) − f (c2 ) ≥
4M
b−a
• Chứng minh rằng
b
a
| f ( x )|
dx
f (x)
4
b−a
Câu 160. Cho dãy các hàm f 1 , f 2 , ... f n , ... liên tục trên [ a; b] sao cho
b
a
f n2 ( x )dx = 1, ∀n = 1, 2...
k
Chứng minh rằng luôn tồn tại p1 , p2 , ...pk thỏa mãn
∑ p2i = 1 sao cho
i =1
k
max
∑ pi f i ( x )
x ∈[ a,b] i =1
> 100
Câu 161. Cho hàm f ( x ) liên tục và đồng biến trên R. Chứng mỉnh rằng
2a f b − c2
c+d
c− a
2a f a2 + b − c2 ; ∀ a > 0, ∀b, c ∈ R
f x2 − 2cx + b dx
Câu 162. Cho a > 0 và hàm số f ( x ) liên tục trên [ a, +∞) thỏa mãn
t
f 2 ( x )dx
a
t
a
x2 dx, ∀t
a
xdx, ∀b
a
Chứng mỉnh rằng
b
a
b
f ( x )dx
a
Câu 163. Cho f là hàm số liên tục trên R. Giả sử rằng
f ( x )dx = F ( x ) + c
22
Chứng minh rằng
√
F ( a + b) − f ( a)
√
2 a+b
√
a+b
a
F ( a + b) − F ( a)
√
; ∀ a, b > 0
2 a
f x2 dx
Câu 164. Cho
an = 1 +
1
1
1
+ 2 + . . . + 2 , n = 1, 2, . . .
2
2
3
n
và
n
un ( x ) =
∑ coskx
k =1
Chứng minh rằng
π
x2
i. an =
− 2x un ( x )dx
2π
0
π2
ii. lim an =
n→∞
6
π2
1 π
(2n + 1) x
iii.
− an =
dx. Trong đó
f ( x ) sin
6
2 0
2
x2
x
−
2π i f x ∈ (0; π ]
x
f (x) =
sin
2
2
if
x=0
Câu 165. Cho g liên tục, không tăng trên [0; 1] thỏa mãn 0 ≤ g( x ) ≤ 1. Chứng minh rằng
1
0
1
1
g x a+b dx
0
1
1
g x a dx
0
1
g x b dx; ∀ a, b ∈ R; ab = 0, a + b = 0
Câu 166. Cho m, k ∈ N∗ và
P ( x ) = a 0 x m +1 + a 1 x m + . . . + a m x ( a 0 = 0 )
Lập dãy số {un }∞
n=1 với
nk
un =
1
n+i
∑P
i =0
∀n ∈ N
Tìm giới hạn lim un .
n→∞
Câu 167. Cho hàm số f ( x ) liên tục và tăng thực sự trên đoạn [0; 1], g( x ) là hàm ngược của
f ( x ). Cho f (0) = 0, f (1) = 1. Chứng minh rằng
9
∑
k =1
f
k
10
+g
k
10
< 9.9
Câu 168. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
b
f ( a) + f (b)
a
f 2 ( x )dx, ∀ a, b ∈ R
23
Chứng minh rằng f ( x ) ≡ 0, ∀ x ∈ R.
Câu 169. Cho hàm số f liên tục trên [0; ∞) thỏa mãn
x
f (x) ≥
0
[ f (t)]2 dt,
∀x ≥ 0
Chứng minh rằng f ( x ) = 0 với mọi x ∈ [0, ∞).
Câu 170. Cho hàm f : [1, 2017] → R khả vi cấp hai thỏa mãn g( x ) = x f ( x ) là hàm đơn điệu
tăng. Chứng minh rằng
f
√
2017
1
ln 2017
2017
f (t)
dt
t
1
Câu 171. Cho hàm f ( x ) khả vi liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng
f
1
2
1
≤
| f (t)| +
0
1
| f ( x )| ≤
0
1
f (t)
2
dt
| f (t)| + f (t) dt, ∀ x ∈ [0, 1]
Câu 172. Cho hàm f : [−1, 1] → R liên tục. Chứng minh rằng
1
−1
2
[ f ( x )] dx
2
1
5
2
2
−1
x f ( x )dx
3
+
2
2
1
−1
x f ( x )dx
Câu 173. Cho hàm số f : [0; 1] → R khả vi liên tục trên miền xác định.
Đặt M = max f ( x ) , m = min f ( x ). Chứng minh rằng
x ∈[0;1]
x ∈[0;1]
1
0
2
1
2
[ f ( x )] dx −
0
f ( x )dx
( M − m )2
4
Câu 173. Cho hàm f là hàm số khả vi trên [0; 1] thỏa mãn f (0) = f (π ) = 0. Chứng minh
rằng
π
0
π
f ( x )2 dx ≤
0
f ( x )2 dx
Câu 174. Cho hàm f : [0, 1] → R khả vi và liên tục, biết rằng max | f ( x )| = M < ∞. Chứng
t∈[0,1]
minh rằng với mọi x ∈ [0, 1] ta có
f (x) −
và hằng số
1
4
1
0
f (t)dt ≤
1
(2x − 1)2 + 1 M
4
là tốt nhất có thể (không thể thay bởi số nhỏ hơn).
Câu 175. Cho f ( x ) là hàm liên tục trên [0; 2], có đạo hàm trên (0; 2) và thỏa mãn f (0) =
f (2) = 1, | f ( x )|
1, ∀ x ∈ [0, 2]. Chứng minh rằng
2
0
f ( x )dx > 1
24
Câu 176. Cho f : [1, 13] → R là hàm lồi khả tích. Chứng minh rằng
3
1
13
f ( x )dx +
11
9
f ( x )dx ≥
5
f ( x )dx
Câu 177. Cho hàm f : [0, 1] → R liên tục thỏa mãn điều kiện
1
0
[ f ( x )]3 dx = 0
Chứng minh rằng
1
0
[ f ( x )] dx
4
1
27
4
4
f ( x )dx
0
Câu 178. Gọi M là tập hợp các hàm số liên tục f : [0; 1] → R thỏa mãn các điều kiện sau
b
•
a
f ( x )dx =
b−a
6
f ( a) + 4 f
a+b
2
+ f (b) với mọi số thực a; b thỏa mãn
0≤a
Chứng minh rằng
i) Mọi đa thức bậc ba luôn thỏa mãn điều kiện i)
1
5
ii)
| f ( x )|dx ≤ max | f ( x )| với mọi hàm số f ( x ) ∈ M.
6 [0,1]
0
5
iii) Với mỗi C ∈ 0,
tồn tại ít nhất một hàm số f ( x ) ∈ M sao cho
6
1
0
| f ( x )|dx > C max | f ( x )|
[0,1]
1
Câu 179. Cho hàm số f ( x ) khả vi liên tục cấp 2 trên R. Giả sử f (1) = 0 và
0
f ( x )dx = 0.
Chứng minh rằng với mọi α ∈ (0, 1) ta có
1
max f ( x )
40 x 1
α
10
0
f ( x )dx
Câu 180. Cho f : [0; 1] → R sao cho f ( x ) > 0 với mọi x ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng
1
2
0
1
f (t)dt > 3
0
f t2 dt − f (0)
Câu 181. Cho f ( x ) là hàm số liên tục và xác định trên đoạn [0, 1] thỏa mãn
0 ≤ f ( x ) ≤ 1, ∀ x ∈ [0; 1], f (0) = f (1) =
25
1
2
