Điều kiện cực trị và tính chính quy của các nhân tử lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Trịnh Duy Bình

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY
CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2019


HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Trịnh Duy Bình

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY
CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC

Chuyên ngành:
Mã số:

Toán ứng dụng
8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Bùi Trọng Kiên.

Hà Nội – 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn "Điều kiện cực trị và tính chính quy
của các nhân tử Lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu
semilinear elliptic" là công trình nghiên cứu của tôi. Mọi kết quả
nghiên cứu trước đó của các tác giả khác được trích dẫn cụ thể. Nội
dung luận văn chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nghiên
cứu nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.
Hà Nội, ngày 1 tháng 4 năm 2019
Người cam đoan

Trịnh Duy Bình


LỜI CẢM ƠN
Sau quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán học, Học viện Khoa học
và Công nghệ, đến nay luận văn đã được hoàn thành. Trước tiên, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Bùi Trọng Kiên. Thầy là người đã
tận hình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua nhiều khó khăn trong quá trình học
tập và nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong seminar Điều
khiển tối ưu - Viện Toán học đã nhiệt tình góp ý, giúp đỡ tôi trong thời gian thực
hiện đề tài. Tôi xin cảm ơn Trung tâm đào tạo sau đại học - Viện Toán học và
phòng Đào tạo - Học viện Khoa học và Công nghệ đã luôn tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học cao học tại học viện.

Hơn nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể bạn bè, gia đình tôi,
những người đã sát cánh bên tôi trong quãng thời gian qua.

Trịnh Duy Bình


1

Mục lục
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . .
MỞ ĐẦU
1 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG
1.1

MỘT SỐ CÔNG CỤ VÀ

PHÂN............................
1.2

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬ

TOÁNHỌC....................
1.3

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CH

ƯUTRỪUTƯỢNG........
1.4
2

Một số kết quả về nghiệ
ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC

NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU
SEMILINEAR ELLIPTIC
2.1

MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN

CỦA PHƯƠNG TRÌNH SEMILINEAR ELLIP
2.2

ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ BẬC MỘT, BẬC H

CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRAN
2.3
3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

ĐIỀUKIỆNĐỦCỰCTRỊBẬCHAI . . . . . . . . . .
27


2

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
h.k.n
R
cone(M)

int(M); M
BX (x; r)
j:j

k:kp; k:k2;2
hf; xi
f
X
xk * x
D(y;u)f(x; y; u),
D2
(y;u)

f(x; y; u)


3

MỞ ĐẦU
Lý thuyết điều khiển tối ưu có nhiều ứng dụng trong kinh tế, cơ học và
khoa học vũ trụ. Lý thuyết này đã phát triển rực rỡ vào những năm 1960
của thế kỉ trước khi mà hai nguyên lý cơ bản là nguyên lý cực đại
Pontryagin và nguyên lý Bellman được ra đời. Ngày nay điều khiển tối ưu
đã phát triển thành nhiều nhánh khác nhau như điều khiển tối ưu với
phương trình vi phân thường, điều khiển tối ưu với phương trình đạo
hàm riêng, điều khiển tối ưu đa mục tiêu. Gần đây bài toán điều khiển tối
ưu với phương trình đạo hàm riêng được nhiều nhà toán học quan tâm.
Trong luận văn này, chúng ta sẽ quan tâm nghiên cứu các bài toán điều
khiển tối ưu được cho bởi các phương trình semilinear elliptic sau đây.

Cho

N

là tập mở, bị chặn trong R với N = 2; 3 và biên @ thuộc lớp

2

C .

Ta xét bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic:

J(y; u) =

Z

Trong đó A được định nghĩa bởi:

Ay =

X

N

Di(aij(x)yxj (x)):
i;j=1

1

Các ánh xạ L; f; g : R R ! R là các hàm Carathéodory và a; b 2 L ( ). Việc
thiết lập các điều kiện cực trị bậc nhất và bậc hai cho bài toán điều khiển tối
ưu semilinear elliptic cho đến nay vẫn là một vấn đề thời sự, được quan tâm
bởi nhiều các nhà toán học (như trong các tài liệu tham khảo từ [2] đến [7]).

Đối với lớp các bài toán điều khiển tối ưu này, biến điều khiển thường thuộc
p

1

không gian L ( ) với 1 p < 1 hoặc L ( ) và việc thiết lập các điều kiện tối ưu
p

phụ thuộc vào không gian chứa biến điều khiển. Khi u 2 L ( ) với 1 p < 1,
chúng ta có thể nhận thấy sự tồn tại của các nhân tử Lagrange


4

chính quy cho các bài toán điều khiển tối ưu là dễ dàng có được. Trong
q

trường hợp này, các nhân tử Lagrange thuộc không gian L ( ) là không gian
p

p

đối ngẫu của L ( ). Tuy nhiên trong trường hợp u 2 L ( ) với 1 p < 1, hàm chi
phí J cũng như các hàm f; g khó có thể khả vi theo biến u trong không gian
p

1

L ( ). Để khắc phục khó khăn này, chúng ta có thể giả thiết rằng u 2 L ( ).
Nhưng trong trường hợp này, các nhân tử Lagrange là các độ đo mà không

còn là các hàm số. Điều đó dẫn tới vấn đề phải nghiên cứu tính chính quy của
các nhân tử Lagrange, đó là việc tìm các điều kiện làm cho nhân tử Lagrange
p

thuộc không gian L ( ). Vấn đề này đã được nghiên cứu gần đây bởi một số
các nhà toán học (như [6] và [7]). Đặc biệt, trong tài liệu [7], bằng việc sử dụng
Định lý Yosida-Hewitt, A.Rosch¨ và F. Troltzsch¨ chứng minh rằng, dưới một số
p

các điều kiện nhất định, các nhân tử Lagrange thuộc vào không gian L ( ).

Mục tiêu của luận văn này là xây dựng các điều kiện cực trị và nghiên
cứu tính chính quy của các nhân tử Lagrange. Cụ thể là chúng ta đưa ra
các điều kiện, tiêu chuẩn, mà dưới đó, các nhân tử Lagrange trong các
p

điều kiện tối ưu của bài toán (1)-(3) thuộc vào không gian L ( ) với 1 p 1.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm hai chương chính. Chương 1
trình bày một số kiến thức và các sự kiện liên quan đến giải tích biến phân, các
bài toán quy hoạch và phương trình elliptic. Chương 2 trình bày kết quả cơ bản
của luận văn về sự tồn tại và tính chính quy của các nhân tử Lagrange trong
các điều kiện tối ưu bậc hai của bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic.
Nội dung của luận văn được viết dựa trên công trình của tác giả và các cộng
sự về hướng nghiên cứu này. Bài báo hiện đã được gửi đăng.


5

CHƯƠNG 1
ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỀU

KHIỂN TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG

1.1 MỘT SỐ CÔNG CỤ VÀ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH
BIẾN PHÂN
Trong mục này, ta luôn giả thiết X là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.1. Cho M X, x 2 M. Một véc tơ v thuộc X được gọi là
một véc tơ tiếp tuyến của M tại x nếu tồn tại các dãy ftkgk2N ; fvkgk2N
+

sao cho tk ! 0 ; vk ! v; k ! 1 thỏa mãn x + tkvk 2 M.
Ta ký hiệu T (M; x) là tập các véc tơ tiếp tuyến v của M. T (M; x) được
gọi là nón tiếp tuyến hay nón Bouligand.
Mệnh đề 1.1.1. [8] T (M; x) là nón đóng và T (M; x) cone(M x).
Định nghĩa 1.1.2. Với M X, ta định nghĩa
b

k

T (M; x) := fv 2 Xj8t ! 0; 9vk ! v : x + tkvk 2 M; 8k 2 Ng:
b

Ta gọi T (M; x) là nón tiếp tuyến trung gian hay nón kề của tập M tại
điểm x. Mệnh đề 1.1.2. [8]
b

(i) T (M; x) là nón đóng.
b

b

(ii) Nếu M là tập lồi, thì T (M; x) là tập lồi và T (M; x) = cone(M x).
b

Nhận xét 1.1.1. (i) T (M; x)

T (M; x).

b

(ii) Khi M là tập lồi, ta có: T (M; x) = T (M; x) = cone(M
b

Ví dụ sau đây cho thấy T (M; x) 6= T (M; x).

x).


6

Ví dụ 1.1.1. Cho X = R; M = f2

1

i

: i = 1; 2; :::g, với x 2 M, ta có:

+

T (M; x) = R ;

b

T (M; x) = f0g:

Định nghĩa 1.1.3. Với M X; x 2 M; h 2 X, ta định nghĩa:
(i) T

2b

+

(M; x; h) := fv 2 Xj8tk ! 0 ; 9vk ! v : x + tkh +

1 2
2t kvk

2 M;

8k 2 Ng;
2

+

1 2

(ii) T (M; x; h) := fv 2 Xj9tk ! 0 ; 9vk ! v : x + tkh + 2t kvk 2 M; 8k 2 Ng;
2b

2

ta gọi T (M; x; h) và T (M; x; h) lần lượt là tập tiếp tuyến trung gian
bậc hai và tập tiếp tuyến bậc hai của M theo phương h.
Nhận xét 1.1.2. (i) T

2b

2

(M; x; h) và T (M; x; h) là các tập đóng, và:

T

2b

(M; x; h)

T

2b

2

T (M; x; h);
b

(M; x; 0) = T (M; x);

2

T (M; x; 0) = T (M; x):
2b

2

(ii) Nếu M là tập lồi thì T (M; x; h) là tập lồi, nhưng T (M; x; h) có
thể không lồi (ví dụ có thể xem trong tài liệu tham khảo [9]).
Định nghĩa 1.1.4. Cho M X, M lồi, ta định nghĩa nón pháp tuyến của M
tại x là tập

NM; x
(

) := f

hoặc tương đương với

N(M; x) = fx 2 X jhx ; hi

0; 8h 2 T (M; x)g:


7

1.2 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI CHO BÀI TOÁN QUY
HOẠCH TOÁN HỌC
Cho Z; E là các không gian Banach với các không gian đối ngẫu lần
lượt là Z ; E , ta xét bài toán
8

(P1)

với f : Z ! R; G : Z ! E; Q

:G(z) 2 Q;
E, Q là tập lồi, đóng. Ta đặt

= fz 2 ZjG(z) 2 Qg:
Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi z 2 là nghiệm địa phương của bài toán (P1)
nếu tồn tại > 0 sao cho với mọi z 2 BZ (z; ) \ , f(z) f(z) 0.
Định nghĩa 1.2.2. Mỗi véc tơ z 2 được gọi là thỏa mãn điều kiện chính
quy Robinson nếu

0 2 int(rG(z)BZ
với BZ ; BE lần lượt là hình cầu đơn vị trong Z và E.
Định lý 1.2.1. [10] Điều kiện (1.1) tương đương với điều kiện sau

E = rG(z)Z
Chú ý: (1.2) xảy ra khi rG(z) là toàn ánh.
Định lý 1.2.2. [10] Chúng ta sẽ ký hiệu 1(z) là tập các nhân tử
Lagrange của bài toán (P1), cụ thể là 1(z) = fe 2 E jrf(z) + rG(z) e = 0; e
2 N(Q; G(z))g. Giả sử z thỏa mãn điều kiện chính quy Robinson, khi đó
1(z) khác rỗng, bị chặn và compact theo topo

(E ; E), với (E ; E) là topo

yếu* trên E .

Định nghĩa 1.2.3. Ta định nghĩa một số nón tới hạn như sau:

C1(z) := fd 2 Zjrf(z)d
C01(z) := fd 2 Zjrf(z)d
C1 (z) := C01(z):

0; rG(z)d 2 T (Q; G(z))g;
0; rG(z)d 2 cone(Q

G(z))g;


8

Bài toán (P1) có hàm Lagrange: L1(z; e ) = f(z) + e G(z). Ta có điều
kiện cần cực trị bậc hai cho bài toán (P1) như sau:
Định lý 1.2.3. [10] Giả sử z là nghiệm địa phương của bài toán (P1). Khi đó,
với mỗi d 2 C1 (z), tồn tại e 2 E sao cho điều kiện sau được thỏa mãn:

r

2

zzL1(z;

e)

0:

Chứng minh. Kết luận của định lý được suy ra từ Định lý 3.5 trong [10]
cho trường hợp một mục tiêu m = 1.

1.3 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG
Cho E0; E; Y và U là các không gian Banach và Q là tập con lồi,
đóng, khác rỗng của E. Ta đặt Z := Y U và giả sử rằng

I:YU!R;
F :Y U!E0; G:Y
U!E
là các ánh xạ cho trước. Ta xét bài toán điều khiển tối ưu với biến điều khiển

u 2 U và biến trạng thái y 2 Y :
8

>I(y; u) ! min;
>
>

(P2)

<
>

F (y; u) = 0;

>
>

:G(y; u) 2 Q:
Ta ký hiệu là tập chấp nhận được của bài toán (P2) và ta đặt:

D := f(y; u) 2 ZjF (y; u) = 0g:
Với z0 = (y0; u0) 2 cố định, ta ký hiệu 2(z0) là tập hợp các nhân tử (v ;
e ) 2 E0 E thỏa mãn các điều kiện sau:

rzL2(z0; v ; e ) = 0;

e 2 N(Q; G(z0));


9

ở đó L2(z; v ; e ) là hàm Lagrange của bài toán (P2) được cho bởi:

L2(z; v ; e ) = I(z) + hv ; F (z)i + he ; G(z)i:
Ta ký hiệu:

C02(z0) := fd 2 ZjrI(z0)d 0; rF (z0)d = 0;
rG(z0)d 2 cone(Q G(z0))g;
C2(z0) := C02(z0):
Định lý sau cho ta điều kiện cần cực trị bậc hai của bài toán (P 2):
Định lý 1.3.1. Giả sử z0 2 và các giả thiết sau được thỏa mãn:
0

(ii) Tồn tại các số dương r1; r1 sao cho các ánh xạ I(:; :); F (:; :) và
0

G(:; :) khả vi liên tục Fréchet cấp hai trên BY (y0; r1) BU (u0; r1 ).
(ii) Ánh xạ Fy(z0) là song ánh.
(iii) E = rG(z0)(T (D; z0))

cone(Q G(z0)):

Nếu z0 là nghiệm địa phương của bài toán (P2), thì với mỗi d 2 C2(z0),
tồn tại (v ; e ) 2 2(z0) sao cho

r

2

zzL(z0;

v ; e )(d; d) = hIzz(z0)d; di + hv Fzz(z0)d; di
+

he Gzz(z0)d; di 0:

Chứng minh. Kết luận của định lý được suy ra từ Định lý 4.1 trong [10]
cho trường hợp một mục tiêu m = 1.

1.4 Một số kết quả về nghiệm của phương trình elliptic
Xét bài toán
8Lu = f

:


10

n

ở đó là tập con mở, bị chặn của R và u :

f : ! R cho trước và L là toán tử có dạng như sau
Lu =
với aij; bi; c (i; j = 1; :::; n) là các hàm cho trước.
Ta đưa ra một số các giả thiết như sau:
H1) aij = aji (i; j = 1; :::; n).
1

2

H2) aij; bi; c 2 L ( ) (i; j = 1; :::; n), f 2 L ( ).
Định nghĩa 1.4.1. Ta nói toán tử L là elliptic nếu tồn tại một số

>0

sao cho
X

n

i;j=1

aij(x) i j

2

jj ;

n

với h.k.n x 2 và mọi 2 R :
Định nghĩa 1.4.2. i, Ta gọi dạng bậc hai B[:; :] sinh bởi toán tử L định
nghĩa bởi (1.4) được cho bởi công thức sau
B[u; v] =

Z

1

với u; v 2 H0 ( ):
1

ii, Ta nói u 2 H0 ( ) là nghiệm (hoặc nghiệm yếu) của bài toán (1.3) nếu

B[u; v] = hf; vi;
1

với mọi v 2 H0 ( ):
Định lý sau nói về tính duy nhất nghiệm của phương trình (1.3)
2

Định lý 1.4.1. [11] Giả sử có một số 0, với mỗi và hàm f 2 L ( ),
1

phương trình sau có nghiệm duy nhất u 2 H0 ( ):
8Lu + u = f

:


11

CHƯƠNG 2
ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC
NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI
ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC

2.1 MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH SEMILINEAR ELLIPTIC
Cho

N

là tập mở, bị chặn trong R với N = 2; 3 và biên @ thuộc lớp C2.

Trong cả chương này, ta xét bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic với
1

biến điều khiển u 2 L ( ) và biến trạng thái tương ứng y 2 W

2;2

( ) \ W0

1;2

( ):

Z

J(y; u) =
Ay = f(x; y; u) trong
a(x) g(x; y; u) b(x)
1

với a(x); b(x) 2 L ( ) và toán tử A định nghĩa bởi

Ay =

X

N

Di(aij(x)yxj (x)):
i;j=1

Từ Định nghĩa 1.4.2, ta định nghĩa nghiệm của phương trình (2.2) như sau:
1

Định nghĩa 2.1.1. Ta nói y 2 H0 ( ) là nghiệm (hoặc nghiệm yếu) của
phương trình (2.2) nếu
Z

B[y; v] :=
1

với mọi v 2 H0 ( ).

aij(x)yxj (x)vxi (x)dx = hf; vi;


12

Ta đặt:

Y

W
:=

và
1

Q1 = fv 2 L ( )ja(x)

v(x)

b(x)g:

Ta ký hiệu là tập chấp nhận được của bài toán (2.1)-(2.3):

:= f(y; u) 2 Y

Uj(y; u) thỏa mãn (2.2)

(2.3)g:

Ta ký hiệu ’ : R R ! R thay thế cho L; f và g. Với mỗi (y; u) cố định trong
, ta ký hiệu ’[x]; ’y[x]; ’u[x]; ’yu[x] và ’uu[x] lần lượt thay thế cho ’(x;
y(x),u(x)), ’y(x; y(x); u(x)), ’u(x; y(x); u(x)); ’yu(x; y(x); u(x)); ’uu(x; y(x);
u(x)).
Ta đưa ra một số các giả thiết như sau:
(A1)

Các hàm aij
N
X

aij(x) i j
i;j=1

(A2)

fy(x; y; u) 0 8(x; y; u) 2R R:

(A3)

’(x; :; :) thuộc lớp C thỏa mãn j’(x; 0; 0)j và jD(y
và với mỗi M > 0, tồn tại k’M > 0 sao cho

2

j’(x; y1; u1)
+ jD(

2

y;u)’(x;

2

y1; u1) D(

y;u)’(x;

với mọi x 2
(A4)

Tồn tại hằng số > 0 sao cho:

và

y2; u2)j k’M (jy1


13

Trước khi trình bày các nội dung tiếp theo, ta có các nhận xét sau về các giả thiết
trên. Giả thiết (A1) và (A2) đảm bảo cho phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất
1;2

y 2 W0

()\W

2;2

1

( ) với mỗi u 2 L ( ). Giả thiết (A3) đảm bảo cho hàm

^

1;2

mục tiêu J, các hàm f và g^ khả vi trên (W0
và g^ định nghĩa bởi:

()\W

2;2

1

( )) L ( ), với f

^

^

f (y; u)(x) = f(x; y(x); u(x)); g^(y; u)(x) = g(x; y(x); u(x)):
Giả thiết (A4) là giả thiết quan trọng trong chứng minh tính chính
quy của các nhân tử Lagrange. Bên cạnh đó, điều kiện (2.5) đảm bảo
cho điều kiện chính quy Robinson được thỏa mãn. Sau đây là một số
các ví dụ về các hàm f và g thỏa mãn giả thiết (A4):

Ví dụ 2.1.1. Các hàm f và g có các công thức như sau thỏa mãn giả thiết (A4):
3

3

f(x; y; u) =

y +u ;

f(x; y; u) =

yu ;

2

g(x; y; u) = u

g(x; y; u) = u

3

2 2

2

u + 2u
2 3

f(x; y; u) = x u ; g(x; y; u) = (x) + y u + u với
là làm liên tục trên

Bổ đề sau đây nói về tính duy nhất nghiệm của phương trình (2.2),
ta có thể tìm thấy chứng minh của bổ đề trong [5] và [3].
Bổ đề 2.1.1. Giả sử rằng các hàm aij và f thỏa mãn các điều kiện (A1)
1
và (A2). Với mỗi u 2 L ( ), phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất y 2
1;2
W ()\0

kyk1 + kyk2;2

1

C2; 8u 2 L ( ):

2.2 ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ BẬC MỘT, BẬC HAI VÀ
TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE
Định nghĩa 2.2.1. (i) Một cặp (y; u) 2 được gọi là nghiệm địa phương của
bài toán (2.1)-(2.3) nếu tồn tại một số > 0 sao cho nếu (y; u) 2 thỏa
mãn ky yk2;2 + ku uk1 < thì J(y; u) J(y; u).


14

(ii) Một cặp (y; u) 2 được gọi là nghiệm mạnh địa phương của bài
toán (2.1)-(2.3) nếu tồn tại một số > 0 và > 0 sao cho nếu (y; u) 2
thỏa
mãn ky yk2;2 + ku

uk1 <

thì J(y; u)

J(y; u) + ku

2

uk 2.

Ta ký hiệu C0[(y; u)] là tập hợp của các cặp (y; u) 2 Y U thỏa mãn
các điều kiện sau:
R
(c1) hrJ(y; u); (y; u)i =

0,

(Ly[x]y(x) + Lu[x]u(x))dx

(c2) Ay = fy[:]y + fu[:]u,
(c3) gy[:]y + gu[:]u 2 cone(Q1

g[:]).

Ta gọi bao đóng của C0[(y; u)] trong Y U là tập hợp các phương tới
hạn của bài toán (2.1)-(2.3) và ký hiệu là C[(y; u)].
1

Định nghĩa 2.2.2. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục e 2 L ( ) được gọi là
1

biểu diễn được bằng một hàm trong không gian L ( ) nếu tồn tại một hàm
1

2 L ( ) sao cho:

he ; vi =

Z

Với B, ta ký hiệu B là hàm đặc trưng của B:

Bổ đề sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh tính
chính quy của các nhân tử Lagrange.
Bổ đề 2.2.1 ([12], Mệnh đề 5, Chương 8). Một phiếm hàm tuyến tính
1

1

liên tục e 2 L ( ) biểu diễn được bằng một hàm trong không gian L ( )
khi và chỉ khi với mọi dãy f kg các tập con đo được của , j kj ! 0, ta có ke k

k ! 0 khi k ! 1. Ở đây e k định nghĩa bởi:

he k ; vi = he ;

k

vi

1

8v 2 L ( ):


15

Sau đây là kết quả quan trọng của luận văn về điều kiện cần cực trị:
Định lý 2.2.1. Giả sử (y; u) 2 là nghiệm địa phương của bài toán (2.1)(2.3) và các giả thiết (A1)-(A4) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại các hàm # 2
1;2

W0

()\W

2;2

2

( ) và e 2 L ( ) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

A # fy[:]# = Ly[:]

Lu[:]
(iii) (Điều kiện bù)

g[x] = max (a(x); min(e(x) + g[x]; b(x))) h:k:n
(iv) (Điều kiện không âm bậc hai)
Z
2
2

(Lyy[x]y(x) + 2Lyu[x]y(x)u(x) + Luu[x]u(x) )dx
Z
2
2
#(x)(fyy(x)y(x) + 2fyu[x]y(x)u(x) + fuu[x]u(x) )dx
Z
2
2
+
e(x)(gyy[x]y(x) + 2gyu[x]y(x)u(x) + guu[x]u(x) )dx
0
1

với mọi (y; u) 2 C[(y; u)]. Hơn nữa ta có e 2 L ( ).
Chứng minh. Ta chia chứng minh ra thành các bước:
Bước 1. Đưa bài toán về bài toán điều khiển tối ưu trừu tượng.
2

1

Ta ký hiệu E0 = L ( ); E = L ( ) và ta định nghĩa một số ánh xạ:

F:Y
G:Y

U ! E0;
U ! E;

F (y; u) = Ay

^

f (y; u);
G(y; u) = g^(y; u);

^

với f ; g^ định nghĩa bởi (2.6). Ta đặt:

D = f(y; u) 2 Y UjF (y; u) = 0g:


16

Khi đó (y; u) là nghiệm địa phương của bài toán:

J(y; u) ! min
thỏa mãn
F (y; u) = 0;
G(y; u) 2 Q1:
Bên cạnh đó, C[(y; u)] là bao đóng của C 0[(y; u)] trong Y U và C0 là tập hợp
của các cặp (y; u) 2 Y U sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
0

(c 1) hrJ(y; u); (y; u)i

0;

0

(c 2) hrF (y; u); (y; u)i = 0;
0

(c 3) hrG(y; u); (y; u)i 2 cone(Q1

G(y; u));

Bài toán (2.11)-(2.13) có hàm Lagrange được cho bởi:

L(y; u; v ; e ) := J(y; u) + hv ; F (y; u)i + he ; G(y; u)i;
2

1

ở đó v 2 E0 và e 2 E với E0 = L ( ) và E = L ( ) lần lượt là không gian đối
ngẫu của E0 và E. Bổ đề sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.3.1.

Bổ đề 2.2.2. Giả sử (y; u) là nghiệm địa phương của bài toán (2.11)(2.13) và các giả thiết sau được thỏa mãn:
2

(H1) J; F và G thuộc lớp C trong lân cận của (y; u).
(H2) Ánh xạ Fy(y; u) là song ánh.
(H3) Điều kiện chính quy Robinson được thỏa mãn:

E = rG(y; u)(T (D; (y; u)))

cone(Q1

G(y; u)):

Thì với mỗi phương tới hạn d = (y; u) 2 C[(y; u)], tồn tại các véc tơ # 2
E0 và e 2 E sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:


(i) (Phương trình liên hợp)

Jy(y; u) + Fy(y; u) # + Gy(y; u) e = 0;
(ii) (Điều kiện dừng theo u)

Ju(y; u) + Fu(y; u) # + Gu(y; u) e = 0;
(iii) (Điều kiện bù )

(iv) (Điều kiện không âm bậc hai)

D

2

Bước 2. Suy ra các điều kiện cần cực trị.
Ta kiểm tra các giả thiết (H1)-(H3) của Bổ đề 2.2.2. Từ giả thiết (A3), ta có
2

thể chỉ ra rằng J; F và G thuộc lớp C trong lân cận của (y; u). Ta có:

rJ(y; u) = (Ly[:]; Lu[:]);
Fy(y; u) = A
Gy(y; u) = gy[:]; Gu(y; u) = gu[:];
và
D(

2
y;u)L(y;

u; #; e ) =

2

do đó (H1) thỏa mãn. Ta kiểm tra (H2). Ta lấy bất kỳ u 2 E0 = L ( ) và xét
phương trình:

Ay fy(x; y(x); u(x))y = u
Bởi (A2), ta có fy(x; y(x); u(x)) 0 h.k.n x 2
phương trình (2.23) có duy nhất nghiệm y 2 W0

1;2

( ). Áp dụng [Định lý 4, mục


18

6.3, [11]] về tính chính quy của nghiệm của phương trình elliptic trên
2

miền có biên thuộc lớp C , ta có y 2 W
duy nhất của phương trình:

2;2

( ). Do đó, y 2 Y là nghiệm

Fy(y; u)y = u:
Vậy (H2) thỏa mãn. Cuối cùng, ta kiểm tra giả thiết (H3). Vì F y(y; u) là
song ánh, nên rF (y; u) là toàn ánh. Bởi [[13], Bổ đề 2.2], ta có:

T (D; (y; u)) = f(y; u) 2 Y UjFy(y; u)y + Fu(y; u)u = 0g =
f(y; u) 2 Y UjAy fy[:]y = fu[:]ug:
Vì vậy, để kiểm tra giả thiết (H3), ta sẽ chỉ ra rằng, với mọi e 2 E, tồn
tại (y; u) 2 T (D; (y; u)) sao cho:

e = gy[:]y + gu[:]u:
Xét phương trình:

Ay + ( fy[x] +
Từ giả thiết (A4), áp dụng Định lý Lax-Milgram và [Định lý 4, mục 6.3,
[11]], phương trình (2.24) có nghiệm duy nhất y 2 Y . Ta viết lại
phương trình (2.24) về dạng:

Bằng cách đặt u =

Ay

fy[x]y = fu[x]u;

e = gy[x]y + gu[x]u:

Do đó (H3) thỏa mãn. Chúng ta đã chứng minh tất cả các giả thiết của Bổ đề
2.2.2 được thỏa mãn. Vì vậy, với mỗi d = (y; u) 2 C[(y; u)], tồn tại các véc tơ
#

2 L 2 ( ) và e 2 L1 ( ) thỏa mãn cá c điề u kiệ n (i)-(iv) của Bổ đề 2.2.2.

Chú ý rằng e là độ đo có dấu, hữu hạn cộng tính trên . Các điều kiện
(2.15)

A#


fy[:]# =

Ly[:]
gy[:] e

(2.25)


19

và

gu[:] e = Lu[:] + fu[:]#;
ở đó A là toán tử liên hợp của A.
Bước 3. Chứng minh tính chính quy của các nhân tử Lagrange.
1

1

Lấy v 2 L ( ) bất kỳ, bởi (2.4), tồn tại u 2 L ( ) sao cho v = g u[:]u, kết
hợp với (2.26) ta có:

jhe ; vij = jhe ; gu[:]uij = jhgu[:] e ; uij
jhLu[:]; uij + jhfu[:]#; uij
=

=

Z
Với k là một dãy tập con đo được của
trên và định nghĩa của e k , ta có:

Ta suy ra:

ke k k
2

1

R

Vì jLu[x]j+jfu[x]#(x)j 2 L ( ) nên
k (jLu[x]j+jfu[x]#(x)j)dx ! 0 khi
k ! 1 và vì vậy, ke k k ! 0 khi k ! 1. Theo Bổ đề 2.2.2, e có thể biểu diễn
1

bằng một hàm e 2 L ( ). Từ (2.26), ta có: