Tài liệu Phân tích ứng suất_chương 2 docx

Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
35
Chương 2. PHÂN TÍCH ỨNG SUẤT
2.1.KHÁI NIỆM VỀ MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC:
Vật chất được cấu tạo bởi các phần tử tự nhiên được gọi là môi trường liên tục, nếu
trong đó ta chỉ xét vật chất ở trạng thái vĩ mô, bỏ qua các cấu trúc vi mô, bằng cách giả
định vật chất là liên tục và chiếm hoàn toàn thể tích của nó.
2.1.1.Sự đồng chất, đẳng hướng - Khối lượng riêng:
Sự đồng chất của môi trường nghĩa là trong môi trường đó mọi điểm đều có tính chất
giống nhau.
Môi trường là đẳng hướng nếu tại một điểm bất kỳ của môi trường nó đều có tính chất
giống nhau theo mọi hướng. Ngược lại ta sẽ có môi trường bất đẳng hướng.
Khối lượng riêng: là tỉ số giữa khối lượng
∆
M và thể tích
∆
V của vùng bao quanh 1 điểm
P trong môi trường liên tục.
Khối lượng riêng bình quân là:
()
V
M
bq
∆
∆
ρ
= [2.1]
Khối lượng riêng tại 1 điểm P của
thể tích phân tố
∆
V cho bởi:

dV
dM
V
M
lim
0V
==
→
∆
∆
ρ
∆
[2.2]
ρ
là đại lượng vô hướng.
2.1.2. Lực Khối - Lực mặt:
Lực là đại lượng véc tơ biểu diển
cho sự đẩy và kéo.
Lực khối: Là lực tác dụng lên mỗi
phần tử trong 1 thể tích của môi
trường liên tục, thí dụ như lực trọng
trường (trọng lượng bản thân(, lực quán tính, v.v.. Ký hiệu b
i
là lực trên đơn vị khối
lượng (như gia tốc) và p
i
là lực trên đơn vị thể tích (như trọng lượng riêng). Ta có quan
hệ:
ii
pb =

ρ
[2.3]
Lực mặt: là lực tác dụng lên bề mặt của phần tử hay mặt bao của 1 thể tích bất kỳ
trong MTLT, thí dụ lực tiếp xúc giữa 2 vật là lực mặt (như lực ma sát, lực gió). Ký hiệu
f
i
, là lực trên đơn vị diện tích.
Nói chung lực mặt và lực khối là các ngoại lực tác dụng lên MTLT, các ngoại lực này sẽ
tạo ra sự tương tác giữa các phần tử với nhau bằng những nội lực. Để xác định nội
lực, người ta dùng phương pháp mặt cắt, tức là tưởng tượng cắt môi trường bằng một
mặt nào đấy thành những bộ phận ở hai bên mặt cắt. Khi đó nội lực tác dụng giữa các
bộ phận với nhau thông qua mặt cắt được coi là lực mặt.
X
1
X
3
X
2
k
ˆ
i
ˆ
j
ˆ
∆
V
V
P
Hình 1. Thể tích phân tố
∆

V trong MTLT V.
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
36
2.2. NGUYÊN LÝ ỨNG SUẤT CÔ SI (CAUCHY)_ VÉC TƠ ỨNG SUẤT:
Xét MTLT chịu tác dụng của các ngoại lực là lực mặt
f
i
và lực khối
b
i
. Kết quả là tại 1 thể
tích nhỏ V bao bởi mặt S sẽ tương tác với môi trường xung quanh bằng các nội lực được
phân phối do các ngoại lực. Chọn một mặt phân tố
S
∆
của S có
n
i
là pháp tuyến đơn vị
đi qua điểm P. Gọi
f
i
∆
và
M
i
∆
là lực tổng và mô men tổng của nội lực tác dụng lên
S
∆

tại điểm P. Nội lực trung bình trên đơn vị diện tích
S
∆
là:
S
f
i
∆
∆
Hình 2. a/ Các lực tác dụng lên MTLT. b/. Véc tơ ứng suất.
Nguyên lý ứng suất Cô si: Tỉ sôú
S
f
i
∆
∆
sẽ tiến tới giới hạn
dS
df
i
khi
S
∆
tiến về zero (tại
điểm P). Trong khi đó mô men của
f
i
∆
đối với P sẽ triệt tiêu trong quá trình giới hạn.
Nếu mô men

M
i
∆
tại điểm P không triệt tiêu trong khi lấy giới hạn thì sẽ tạo nên véc tơ
ứng suất kép (gọi là mô men nội lực).
Ta gọi
dS
df
i
là véc tơ ứng suất (nội lực trên đơn vị diện tích).
dS
df
=
S
f
=
t
ii
0S
)n
ˆ
(
i
lim
∆
∆
∆
→
[2.4]
Ký hiệu trên đây để nhấn mạnh rằng tại một điểm P giá trị ứng suất tùy thuộc vào mặt

phân tố
S
∆
có hướng là pháp tuyến đơn vị
n
i
, khi
n
i
thay đổi (do
S
∆
thay đổi) thì
t
)
e
ˆ
(
i
i
cũng thay đổi. Theo định luật Newton ta có:
t
=
t
-
)n
ˆ
(-
i
)n

ˆ
(
i
[2.5]
Véc tơ ứng suất còn gọi là véc tơ kéo.
x
1
x
3
x
2
∆S
P
V
S
∆f
i
∆M
i
n
i
b
i
P
()
n
ˆ
i
t
S

dS
n
i
∆M
i
a/
b/
f
i
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
37
2.3. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT _ TEN XƠ ỨNG SUẤT:
Hình 3. a/. Véc tơ ứng suất trên 3 mặt tọa độ. b/. Ten xơ ứng suất
2.3.1.Trạng thái ứng suất tại 1 điểm: Trong hệ tọa độ vuông góc Descartes, trạng thái
ứng suất tại 1 điểm P được xác định bởi các cặp véc tơ
t
)
e
ˆ
(
i
i
và
e
ˆ
i
trên 3 mặt phẳng tọa
độ đi qua điểm P đó. Để đơn giản 3 hình vẽ trên được thu lại trên cùng 1 hình vẽ (h.3b)
Trên mọi mặt phẳng của 3 mặt tọa độ, véc tơ ứng suất được viết theo các thành phần
Descartes là:

e
ˆ
t
=
e
ˆ
t
+
e
ˆ
t
+
e
ˆ
t
=
t
e
ˆ
t
=
e
ˆ
t
+
e
ˆ
t
+
e

ˆ
t
=
t
e
ˆ
t
=
e
ˆ
t
+
e
ˆ
t
+
e
ˆ
t
=
t
j
)
e
ˆ
(
j
3
)
e

ˆ
(
3
2
)
e
ˆ
(
2
1
)
e
ˆ
(
1
)
e
ˆ
(
j
)
e
ˆ
(
j
3
)
e
ˆ
(

3
2
)
e
ˆ
(
2
1
)
e
ˆ
(
1
)
e
ˆ
(
j
)
e
ˆ
(
j
3
)
e
ˆ
(
3
2

)
e
ˆ
(
2
1
)
e
ˆ
(
1
)
e
ˆ
(
3333
3
2222
2
1111
1
r
r
r
[2.6]
Hay:
(
e
)
j

(
e
)
j
i
i
t
=
te
$
$
$
r
[2.7]
Chín thành phần trên đây của ten xơ ứng suất là các thành phần của ten xơ Descartes
hạng 2. Còn gọi là ten xơ ứng suất:
σ
ij
)
e
ˆ
(
j

t
i
≡ [2.8]
Biểu diễn dưới ký hiệu ma trận :
x
1

x
3
x
2
1
e
)
P
()
1
e
ˆ
j
t
x
1
x
3
x
2
2
e
)
P
()
2
e
ˆ
j
t

x
1
x
3
x
2
3
e
)
P
()
3
e
ˆ
j
t
x
1
x
3
x
2
3
e
ˆ
1
e
ˆ
2
e

ˆ
()
1
e
ˆ
j
t
()
2
e
ˆ
j
t
()
3
e
ˆ
j
t
x
1
x
3
x
2
σ
22
σ
21
σ

23
σ
33
σ
32
σ
31
σ
12
σ
11
σ
13
a
b
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
38

333231
232221
131211
σσσ
σσσ
σσσ
=∑
hay
σσσ
σσσ
σσσ
σ

333231
232221
131211
ij
= ][
Các thành phần
),,(
332211
σσσ
vuông góc với 3 mặt tọa độ, được gọi là ứng suất pháp
tuyến, và các thành phần còn lại ),,,,,(
322331132112
σσσσσσ
là tiếp tuyến của các mặt tọa
độ nên còn gọi là ứng suất tiếp. Các ứng suất vẽ trên hình 3 đều có giá trị dương.
2.3.2. Quan hệ giữa véc tơ ứng suất và ten xơ ứng suất:
Quan hệ giữa ten xơ ứng
suất
σ
ij
tại điểm P và véc tơ
ứng suất
t
)
e
ˆ
(
i
i
trên 1 mặt

phẳng có hướng bất kỳ qua
điểm P đó, được thiết lập bởi
cân bằng lực hoặc cân bằng
động lượng cho khối tứ diện
nhỏ trong môi trường liên tục
có đỉnh vuông góc là P.
Đặt diện tích ABC = dS có
n
ˆ
là véc tơ pháp tuyến đơn vị,
và diện tích các mặt bên là
hình chiếu của diện tích
ABC, tức là:
()
()
()
3333
2222
1111
ndSe
ˆ
.n
ˆ
dSe
ˆ
,n
ˆ
cosdSdSdtABP
ndSe
ˆ

.n
ˆ
dSe
ˆ
,n
ˆ
cosdSdSdtACP
ndSe
ˆ
.n
ˆ
dSe
ˆ
,n
ˆ
cosdSdSdtCPB
====
====
====
[2.10a]
()
iiii
ndSe
ˆ
.n
ˆ
dSe
ˆ
,n
ˆ

cosdSdS ===⇒ [2.10b]
trong đó
n
i
là thành phần Descartes của pháp tuyến đơn vị
n
ˆ
.
Ta có cân bằng lực tác dụng lên tứ diện theo phương trình:
0 = dV
b
+
dSt
-
dSt
-
dSt
- dS
t
*
i3
)
e
ˆ
(*
i
2
)
e
ˆ

(*
i
1
)
e
ˆ
(*
i
)n
ˆ
(*
i
321
ρ
[2.11]
trong đó
t
)n
ˆ
(*
i
là véc tơ kéo (căng) trung bình tác dụng lên mặt đáy ABC,
t
)
e
ˆ
(*
i
j
là các véc tơ

kéo trung bình lên các mặt bên,
b
*
i
là véc tơ lực khối trung bình tác dụng lên thể tích dV.
Nếu các cạnh của tứ diện giảm nhỏ dần theo cùng 1 tỉ lệ, thì số hạng lực khối sẽ tiến về
zero trước (vì thứ nguyên là bậc 3 của chiều dài) hơn so với các lực mặt.
Suy ra:
X
1
X
3
X
2
n
ˆ
()
n
ˆ
*
i
t
()
1
e
ˆ
*
i
t−
()

2
e
ˆ
*
i
t−
()
3
e
ˆ
*
i
t−
A
C
B
P
*
i
b
Hình 4. Quan hệ giữa véctơ ứng suất và tenxơ ứng suất.
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
39
dS
nt
=
dSt
+
dSt
+

dSt
=dS
t
j
)
e
ˆ
(
i
3
)
e
ˆ
(
i
2
)
e
ˆ
(
i
1
)
e
ˆ
(
i
)n
ˆ
(

i
j321
[2.13]
hay:
dS
n
t
=dS
t
j
)
e
ˆ
(
i
)n
ˆ
(
i
j
[2.14]
đơn giản dS :
n
=
nt
=
t
j
ji
j

)
e
ˆ
(
i
)n
ˆ
(
i
j
σ
[2.15]
ta có thể viết:
σσσ
σσσ
σσσ
333213
232212
312111
321
)n
ˆ
(
3
)n
ˆ
(
2
)n
ˆ

(
1
]
n
,
n
,
n
[ ]
t
,
t
,
t
[ = [2.16]
hoặc:
σσσ
σσσ
σσσ
33
3
23
2
13
1
)n
ˆ
(
3
32

3
22
2
12
1
)n
ˆ
(
2
31
3
21
2
11
1
)
n
ˆ
(
1
n
+
n
+
n
=
t
n
+
n

+
n
=
t
n
+
n
+
n
=
t
1
[2.17]
2.4. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG VÀ MÔ MEN_TEN XƠ ỨNG SUẤT ĐỐI XỨNG:
2.4.1.Phương trình cân bằng: Cho 1 thể tích bất kỳ V chịu tác dụng của hệ thống lực
mặt
t
)
e
ˆ
(
i
i
và lực khối
b
i
, cần có tổng hợp lực và mô men tác dụng lên thể tích phải bằng
không.
0 = dV
b

+dS
t

i
v
)n
ˆ
(
i
s
ρ
∫∫
[2.18]
thay thế
i
(n)
ji
j
t
=
n
$
σ
và ứng dụng định lý Divergent của Gauss ta được:
0 = dV ) b + . ( hay0 = dV )
b
+ j, (
v
i
ji

v
r
ρΣ∆ρ
σ
∫∫
[2.19]
Vì thể tích V được chọn tùy ý:
0 = b + . hay0 =
b
+ j,
i
ji
r
ρΣ∆ρ
σ
[2.20]
2.4.2. Ten xơ ứng suất đối xứng: Nếu không kể các mô men phân phối hay ứng suất
kép thì phương trình cân bằng mô men của lực quanh điểm gốc sẽ là:
0 dV
b
x+dS
t
x
V
k
S
)n
ˆ
(
=××

∫∫
ρ
r
r
r
[2.21a]
hay:
0 = dV
b
x
+dS
t
x

kjijk
v
)n
ˆ
(
k
jijk
s
ρ
εε
∫∫
[2.21b]
thay
n
=
t

p
pk
)n
ˆ
(
k
σ
vào [2.21b] ta được:
0 = dvb
x
+dS
nx
k
jijk
v
p
pk
j
ijk
s
ρ
ε
σ
ε
∫∫