Áp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán elliptic suy biến

BË GI•O DÖC V€
TR×ÍNG

€O T„O

„I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

BÒI KIM MY

•P DÖNG PH×ÌNG PH•P GIƒI T•CH
NGHI–N CÙU
MËT SÈ B€I TO•N ELLIPTIC SUY BI˜N

LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

H Nëi, 2019


BË GI•O DÖC V€
TR×ÍNG

€O T„O

„I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

BÒI KIM MY

•P DÖNG PH×ÌNG PH•P GIƒI T•CH
NGHI–N CÙU
MËT SÈ B€I TO•N ELLIPTIC SUY BI˜N

LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC
Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch
M¢ sè: 9 46 01 02

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc

PGS. TS Cung Th¸ Anh

H€ NËI, 2019


LI CAM

OAN

Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi. CĂc kát quÊ
viát chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc ãu  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa cĂc ỗng tĂc giÊ
khi ữa v o luên Ăn. CĂc kát quÊ trẳnh b y trong luên Ăn l mợi v chữa tứng
ữủc cổng bố trong bĐt trong bĐt kẳ cổng trẳnh cừa ai khĂc.
H Nởi, thĂng 02 nôm 2019
NCS Bũi Kim My

i


LI CM èN

Luên Ăn ữủc ho n th nh tÔi Bở mổn GiÊi tẵch, Khoa ToĂn, trữớng Ôi
hồc Sữ phÔm H Nởi 2, dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh chu Ăo cừa PGS.TS
Cung Thá Anh. TĂc giÊ xin b y tọ lỏng kẵnh trồng v vổ cũng biát ỡn tợi

ThƯy, ngữới  truyãn Ôt kián thực, kinh nghiằm hồc têp v nghiản cựu khoa
hồc, nh hữợng tĂc giÊ tiáp cên hữợng nghiản cựu thới sỹ, thú v v cõ ỵ
nghắa.
TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn PGS.TS KhuĐt Vôn Ninh, PGS.TS
Nguyạn Nông TƠm, TS TrƯn Vôn Bơng (trữớng HSP H Nởi 2), TS Phan
Quốc Hững (trữớng H Duy TƠn, Nđng) Â ởng viản v cho tĂc giÊ nhỳng
gõp ỵ, kinh nghiằm trong nghiản cựu khoa hồc giúp tĂc giÊ ho n th nh
luên Ăn n y.
TĂc giÊ cụng xin cÊm ỡn cĂc ThƯy, Cổ v cĂc Anh, Ch nghiản cựu sinh

Xảmina GiÊi tẵch, Khoa ToĂn, trữớng HSP H Nởi 2 v Xảmina cừa Bở
mổn GiÊi tẵch, Khoa ToĂn-Tin trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi  tÔo mởt
mổi trữớng hồc têp, nghiản cựu khoa hồc sổi nời v thƠn thiằn, giúp tĂc
giÊ ho n th nh luên Ăn n y.
TĂc giÊ xin b y tọ lỏng cÊm ỡn án Ban GiĂm hiằu trữớng Ôi hồc Duy
TƠn  hộ trủ mởt phƯn kinh phẵ tĂc giÊ ho n th nh luên Ăn n y.
Lới cÊm ỡn sau cũng, tĂc giÊ xin b y tọ lỏng biát ỡn tợi gia ẳnh, nhỳng
ngữới thƠn  luổn bản, tin tững v cho tĂc giÊ ởng lỹc tinh thƯn tĂc
giÊ ho n th nh luên Ăn n y. TĂc giÊ cụng xin cÊm ỡn cĂc anh ch em, bÔn
b  giúp ù, ởng viản tĂc giÊ ho n th nh luên Ăn n y.

ii


Mửc lửc

LI CAM

i

OAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LI CM èN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

MệC LệC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3

MậT Sẩ K HIU THìNG DềNG TRONG LUN N . . . . . . . . . .

Mé U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.

Lch sỷ vĐn ã v lẵ do chồn ã t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.
Mửc ẵch nghiản cựu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

4. Phữỡng phĂp nghiản cựu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
5. Kát quÊ cừa luên Ăn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

6. CĐu trúc cừa luên Ăn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chữỡng 1. KIN THC CHUN B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 1.1. ToĂn tỷ -Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 20
1.2. CĂc khổng gian h m v php nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

1.3. Mởt v i kát quÊ cừa lẵ thuyát im tợi hÔn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

1.4. Mởt số iãu kiằn tiảu chuân trản số hÔng phi tuyán . . . . . . . . . 34
Chữỡng 2. Sĩ TầN TI NGHIM CếA PHìèNG TRNH ELLIPTIC
SUY BIN NA TUYN TNH . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1. t b i toĂn . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


2.2. Sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu khổng tƯm thữớng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

2.3. Tẵnh a nghiằm cừa nghiằm yáu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

1


Chữỡng 3. Sĩ TầN TI V KHặNG TầN TI NGHIM
CếA H HAMILTON SUY BIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.1. t b i toĂn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

3.2. Sỹ khổng tỗn tÔi nghiằm cờin dữỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

3.3. Sỹ tỗn tÔi cừa mởt dÂy vổ hÔn nghiằm yáu . . . . . . . . . . . . . . . . .
64

Chữỡng 4.

NH L KIU LIOUVILLE CHO H BT

THC ELLIPTIC SUY BIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NG
75

4.1. t b i toĂn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

4.2. nh lẵ kiu Liouville cho trữớng hủp p; q > 1 . . . . . . . . . . . . . . .
76

4.3. nh lẵ kiu Liouville cho trữớng hủp p; q > 0 . . . . . . . . . . . . . . .
82
KT LUN V KIN NGH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

DANH MệC CặNG TRNH KHOA HC CếA TC GI . . . . . . . . .

88

TI LIU THAM KHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89


2


MậT Sẩ K HIU THìNG DềNG TRONG LUN N

N

khổng gian vectỡ thỹc N chiãu;

;

chuân Euclide trong khổng gian R ;
ối ngău giỳa X v X ;

R
jj
h i

N

(;)

tẵch vổ hữợng trong khổng gian Hilbert X;

Q
2 = 2Q

số chiãu thuƯn nhĐt cừa khổng gian RN ;
số mụ tợi hÔn trong php nhúng kiu Sobolev;

Q 2

C0 ( )

khổng gian cĂc h m khÊ vi vổ hÔn cõ giĂ compact trong ;

L ( )

khổng gian cĂc h m lụy thứa bêc p khÊ tẵch Lebesgue trong
;

( ; ) Lp

tẵch vổ hữợng trong khổng gian L ( );

k k Lp
!

chuân trong khổng gian L ( );
hởi tử mÔnh;

*

hởi tử yáu;

,!

php nhúng liản tửc;

,!,!

php nhúng compact;

1

p

p

p

N

1;p

toĂn tỷ suy bián mÔnh

W ( )

P

2

i

:= @xi ( i @xi );
=1

khổng gian h m dũng nghiản cựu b i toĂn trong Chữỡng
2, 3;

k k1;p
W

2;p

( )

1;p

chuân trong khổng gian W ( );
khổng gian h m dũng nghiản cựu b i toĂn trong Chữỡng
3;
2;p

k k2;p

chuân trong khổng gian W

1

giĂ tr riảng Ưu tiản cừa toĂn tỷvợi iãu kiằn biản

A

s

( );

Dirichlet thuƯn nhĐt;
s
lụy thứa bêc s cừa toĂn tỷ A vợi miãn xĂc nh D(A ):
3


Mé U

1. Lch sỷ vĐn

ã v lẵ do chồn

ãti

Nhiãu phữỡng trẳnh Ôo h m riảng loÔi elliptic g-n vợi viằc nghiản cựu
trÔng thĂi dứng cừa cĂc quĂ trẳnh tián hõa trong vêt lẵ, hõa hồc, cỡ hồc v
sinh hồc. Mt khĂc, nhiãu lợp phữỡng trẳnh elliptic phi tuyán quan trồng cụng
xuĐt phĂt tứ cĂc b i toĂn cừa hẳnh hồc vi phƠn (xin xem cĂc cuốn chuyản
khÊo [5, tr.75-138], [25, tr.309-367], [33, tr.13-216], [58, tr.7-68, 251-266],
[74, tr.1-68]). Vẳ vêy, viằc nghiản cựu nhỳng lợp phữỡng trẳnh n y cõ

ỵ nghắa quan trồng trong khoa hồc v cổng nghằ. Mởt mt viằc nghiản
cựu cĂc phữỡng trẳnh elliptic thúc ây v cung cĐp ỵ tững cho sỹ phĂt
trin cĂc cổng cử v kát quÊ cừa nhiãu chuyản ng nh giÊi tẵch nhữ Lẵ

thuyát cĂc khổng gian h m, GiÊi tẵch h m phi tuyán, Php tẵnh bián
phƠn, . . . . Mt khĂc, sỹ phĂt trin cừa cĂc chuyản ng nh n y dăn án
nhỳng tián bở lợn trong lẵ thuyát phữỡng trẳnh elliptic. Chẵnh vẳ vêy
lẵ thuyát phữỡng trẳnh elliptic  v ang thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa
nhiãu nh khoa hồc trản thá giợi.
Trong nhỳng nôm tr lÔi Ơy, sỹ tỗn tÔi nghiằm, sỹ khổng tỗn tÔi
nghiằm, v cĂc tẵnh chĐt nh tẵnh cừa nghiằm  ữủc nghiản cựu cho
nhiãu lợp phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh elliptic nỷa tuyán tẵnh trong
trữớng hủp khổng suy bián hoc suy bián yáu. Tuy nhiản, cĂc kát quÊ tữỡng
ựng ối vợi cĂc lợp phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh elliptic trong trữớng hủp
suy bián mÔnh văn cỏn ẵt. Nguyản do l tẵnh suy bián mÔnh cừa hằ gƠy
ra nhỳng khõ khôn lợn vã mt toĂn hồc, ỏi họi phÊi cõ nhỳng ỵ tững mợi
tiáp cên. Chng hÔn, nhỳng khõ khôn gƠy ra do thiáu cĂc nh lẵ nhúng cƯn
thiát, do thiáu cĂc kát quÊ cƯn thiát vã tẵnh chẵnh quy nghiằm cừa b i toĂn
tuyán tẵnh tữỡng ựng, do thiáu cĂc kát quÊ vã nguyản lẵ cỹc tr,
4


u

xixi

. . . . Viằc nghiản cựu cĂc phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh elliptic suy
bián mÔnh ang l vĐn ã thới sỹ, cõ nhiãu ỵ nghắa v thu hút ữủc sỹ quan
tƠm cừa nhiãu nh toĂn hồc trản thá giợi.
Nhữ Â nõi trản, vĐn ã nghiản cựu cĂc b i toĂn elliptic bơng cĂc
phữỡng phĂp giÊi tẵch  v ang ữủc nhiãu nh toĂn hồc trong v ngo i nữợc
quan tƠm nghiản cựu phĂt trin. Trong v i thêp k gƯn Ơy, nhiãu nh toĂn
hồc  nghiản cựu v thu ữủc nhiãu kát quÊ vã lẵ thuyát nh tẵnh nghiằm
ối vợi nhiãu lợp b i toĂn chựa toĂn tỷ elliptic v toĂn tỷ elliptic suy bián

(xem, chng hÔn cĂc cuốn chuyản khÊo [5, tr.75-138], [58, tr.7-68, 251266], [74, tr.1-68] v cĂc b i bĂo tờng quan gƯn Ơy [26, 38]).
Trong lợp cĂc toĂn tỷ suy bián, cõ mởt lợp c biằt quan trồng l lợp toĂn tỷ
-Laplace cõ dÔng
X

N


2

u=

@xi ( i(x)@xi u);
i=1

trong õ
ny

il

cĂc h m thọa mÂn mởt số iãu kiằn phũ hủp. Lợp toĂn tỷ

ữủc ữa ra bi Kogoj v Lanconelli nôm 2012 [39] (xem thảm [29]),

v chựa nhiãu lợp toĂn tỷ quan trồng nhữ toĂn tỷ Laplace
N

vợi x 2 R ; toĂn tỷ Grushin G u = xu + jxj

2

yu

vợi (x; y) 2 R

[34]), toĂn tỷ suy bián mÔnh kiu P ; u = xu + jxj
2R

N

1

N

R

2

R

N

3

u=

2

yu

+ jyj

2

3

:z =

N3

@z

@2

bián y trong R

2

N

:
2

N

N2

y

2

:

1

j

:

R

N

i=1

N

2

(xem

vợi (x; y; z)

(xem [67, 68]), : : :. é õ jxj; jyj tữỡng

Laplace theo bián x trong R
N

1

zu

ựng l chuân Euclide cừa x; y trong khổng
gian RN1 ; RN2 v
P
R

N

P

P

=

=

1

=1

xl

2

@

2

@x

;

y

toĂn tỷ

l toĂn tỷ Laplace theo

i

@
@y 2

=1

x

i
N

j

v

z

toĂn tỷ Laplace theo bián z trong

l

P
k=1

k

Sỹ tỗn tÔi nghiằm ối vợi phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh elliptic nỷa
tuyán tẵnh khổng suy bián  ữủc nghiản cựu bi nhiãu tĂc giÊ, trong cÊ
5


trữớng hủp số hÔng phi tuyán cõ tông trững tợi hÔn v dữợi tợi hÔn, trong
cÊ miãn b chn v khổng b chn (xem [1, 2, 13]). Sỹ khổng tỗn tÔi
nghiằm cờ in ối vợi phữỡng trẳnh elliptic trong trữớng hủp miãn hẳnh
sao v số hÔng phi tuyán cõ tông trững tợi hÔn v trản tợi hÔn ữủc chựng
tọ trong cổng trẳnh nời tiáng cừa Pohozaev [55] v kát quÊ õ ữủc m
rởng trong cĂc cổng trẳnh [47, 57].
Tuy nhiản, cĂc kát quÊ vã b i toĂn elliptic ối vợi lợp toĂn tỷ suy bián văn
cỏn ẵt, chừ yáu l ối vợi phữỡng trẳnh vổ hữợng v vợi số hÔng phi tuyán
dÔng tiảu chuân, xem [39, 51, 67] v cĂc b i bĂo [1, 2, 3, 4, 10, 47, 50, 65]
v cĂc cuốn chuyản khÊo [5, tr.75-138], [24, tr.1-26, 137-158], [58, tr.7-68,

251-266], [74, tr.1-68] vã cĂc kát quÊ tiảu biu trong trữớng hủp toĂn tỷ
Laplace.
Dữợi Ơy, chúng tổi im qua mởt số kát quÊ quan trồng vã sỹ tỗn tÔi
v tẵnh chĐt nh tẵnh nghiằm ối vợi phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh

elliptic, liản quan án nởi dung cừa luên Ăn.
Phữỡng trẳnh elliptic nỷa tuyán tẵnh.
Trong nhỳng thêp k qua, b i toĂn biản ối vợi phữỡng trẳnh elliptic

nỷa tuyán tẵnh cõ dÔng
8u = f(x; u);
>

>
:

<

u = 0;

x 2;
x

2

(1)

@ :

 ữủc nhiãu tĂc giÊ quan tƠm nghiản cựu. Nhiãu vĐn ã quan trồng t
ra khi nghiản cựu lợp phữỡng trẳnh trản, chng hÔn sỹ tỗn tÔi
nghiằm, tẵnh chẵnh quy cừa nghiằm, cĂc Ănh giĂ nh tẵnh ối vợi
nghiằm, nghiản cựu sỹ Ênh hững tổpổ cừa miãn ang xt lản số
nghiằm cừa phữỡng trẳnh, . . . . Cõ nhiãu phữỡng phĂp  ữủc sỷ dửng
nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn (1) chng hÔn nhữ:
phữỡng phĂp nghiằm trản-nghiằm dữợi (xem [25, tr.537-541]), phữỡng
6

phĂp bêc tổpổ (xem [42]), . . . . Tuy nhiản, mởt trong nhỳng
phữỡng phĂp hỳu hiằu nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa
phữỡng trẳnh trản õ l sỷ dửng phữỡng phĂp bián phƠn (xem [5,
tr.75-138], [37, 59, tr.1-158], [74, tr.1-68]). ị tững cừa phữỡng
phĂp n y l chuyn b i toĂn (1) vã viằc tẳm cĂc im tợi hÔn cừa mởt
phiám h m Euler-Lagrange khÊ vi J liản kát vợi b i toĂn cõ dÔng
J(u) = 2

1

Z

jruj2dx

Z

F (x; u)dx;

1

u 2 H0 ( );

t

R f(x; s)ds l nguyản h m cừa h m f: Theo õ, iãu
õ F (x; t) = 0
kiằn (AR) ữủc ữa ra lƯn Ưu tiản trong [4]
(AR)

9R0 > 0; > 2 sao cho

0 < F (x; s)

sf(x; s);

8jsj

R0; 8x 2 ;

õng vai trỏ quan trồng trong viằc nghiản cựu b i toĂn dÔng (1). iãu
kiằn n y khổng nhỳng Êm bÊo cho phiám h m Euler-Lagrange J
liản kát vợi b i toĂn (1) cõ cĐu trúc hẳnh hồc qua núi m nõ cỏn Êm
bÊo cho cĂc dÂy Palais-Smale cừa phiám h m Euler-Lagrange l b
chn. Vợi iãu kiằn (AR) n y, ta cõ th sỷ dửng nh lẵ qua núi dÔng
cờ in cừa Ambrosetti v Rabinowitz (xem [4], [5, tr.117-129], [59,
tr.7-22]) nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn trản. Mc dũ
iãu kiằn (AR) ữủc ữa ra mởt cĂch khĂ tỹ nhiản, những cõ nhiãu b i
toĂn trong õ số hÔng phi tuyán f(x; s) khổng thọa mÂn iãu kiằn
(AR), chng hÔn h m
f(x; s) = s log(1 + jsj):
Do õ, trong nhỳng nôm gƯn Ơy, mởt số tĂc giÊ Â nghiản cựu b i toĂn
(1) v loÔi bọ i iãu kiằn (AR), chng hÔn, Schechter v Zou [62], Liu v
Wang [44], Miyagaki v Souto [50], Liu [43], Lam v Lu
7


[40, 41], Binlin v cởng sỹ [12] (xem thảm cĂc t i liằu tham khÊo
trong õ). loÔi bọ iãu kiằn (AR) nhiãu tĂc giÊ ữa ra mởt số iãu kiằn
thay thá, chng hÔn, iãu kiằn vã tẵnh lỗi cừa nguyản h m F (x; s)
(xem Schechter v Zou [62]), iãu kiằn vã tẵnh ỡn iằu cừa
2

f(x; s)=s (xem Miyagaki v Souto [50]) iãu kiằn dÔng F (x; s)=s ! 0
khi jsj ! +1 (xem Lam v Lu [40, 41]).
Sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu khổng tƯm thữớng cừa b i toĂn (1) khi toĂn
tỷ Laplace ữủc thay thá bi toĂn tỷ elliptic suy bián cụng ữủc mởt số
tĂc giÊ quan tƠm nghiản cựu. Chng hÔn, toĂn tỷ Grushin ữủc giợi
thiằu lƯn Ưu tiản trong [34], v õ tĂc giÊ Â chựng minh tẵnh
hypoelliptic cừa lợp toĂn tỷ n y. Tứ cổng trẳnh tiản phong n y,
nhiãu khẵa cÔnh nghiản cựu khĂc ối vợi lợp toĂn tỷ n y  ữủc cổng
bố. Chng hÔn, sỹ tỗn tÔi nghiằm khi số hÔng phi tuyán tông
trững dữợi tợi hÔn v thọa mÂn iãu kiằn (AR) Â ữủc chựng minh
trong [68]; kát quÊ n y sau õ ữủc m rởng sang cho trữớng hủp toĂn
tỷ suy bián mÔnh P ; trong [67] (xem thảm [70]).
Nôm 2017 nhiãu tĂc giÊ nghiản cựu b i toĂn biản Dirichlet cho
phữỡng trẳnh elliptic nỷa tuyán tẵnh cõ phƯn chẵnh l
bián mÔnh , cử th l
b i toĂn
8u + V (x)u = f(x; u);

x2 ;

>

x

>
:

<

u = 0;

2

toĂn tỷ suy
(2)

@ ;

N

trong õ l mởt miãn b chn trong R ; N 2: Trong [39], nhớ thiát lêp
cĂc ỗng nhĐt thực tẵch phƠn kiu Pohozaev, Kogoj v Lanconelli Â
chựng tọ ữủc sỹ khổng tỗn tÔi nghiằm cờ in cừa b i toĂn (2) khi V
(x) 0; v sỷ dửng phữỡng phĂp bián phƠn, cĂc tĂc giÊ Â chựng minh
ữủc sỹ tỗn tÔi v tẵnh a nghiằm cừa b i toĂn (2) khi V (x) l hơng số.
é Ơy số hÔng phi tuyán f(x; s) ữủc xt cõ tông trững dữợi
8


tợi hÔn v thọa mÂn iãu kiằn (AR). Mởt v i kát quÊ ban Ưu vã tẵnh
chẵnh quy cừa nghiằm yáu cụng ữủc ch ra trong õ. Trong trữớng
hủp V (x) vợi l mởt hơng số, mởt số kát quÊ khĂc vã sỹ tỗn tÔi
nghiằm yáu khổng tƯm thữớng cụng ữủc chựng tọ trong [45] (xem
thảm [46]). Trong [18] Chen v cởng sỹ Â chựng minh ữủc tẵnh a
nghiằm cừa b i toĂn (2) trong miãn b chn, õ h m thá v V (x) l
h m liản tửc, b chn dữợi v cho php cõ dĐu thay ời dữợi cĂc giÊ
thiát phũ hủp. Trong [61] tĂc giÊ nghiản cựu b i toĂn (2) vợi số hÔng
phi tuyán kiu lỗi-lóm, miãn ữủc xt l miãn b chn, õ số hÔng phi
tuyán văn yảu cƯu phÊi thọa mÂn iãu kiằn (AR). Trong trữớng hủp

N

miãn = R ; nôm 2018 cĂc tĂc giÊ N.M. Tri v D.T Luyen [71]
 chựng tọ ữủc tẵnh a nghiằm cừa b i toĂn (2), õ h m thá v v
số hÔng phi tuyán cõ th khổng liản tửc những văn phÊi thọa mÂn
iãu kiằn (AR) (xem thảm b i bĂo tờng quan rĐt gƯn Ơy [38]).
Nhữ vêy cõ th thĐy rơng, ối vợi phữỡng trẳnh elliptic suy bián,
cĂc kát quÊ chừ yáu mợi Ôt ữủc trong trữớng hủp số hÔng phi tuyán
thọa mÂn cĂc iãu kiằn tiảu chuân (tực l tông trững dữợi tợi hÔn v
thọa mÂn iãu kiằn (AR)). Theo hiu biát cừa chúng tổi, văn cỏn
khĂ nhiãu vĐn ã m liản quan tợi chừ ã n y, chng hÔn nghiản cựu sỹ
tỗn tÔi nghiằm yáu cừa b i toĂn (2) khi số hÔng phi tuyán f(x; u)
khổng thọa mÂn iãu kiằn (AR), hoc số hÔng phi tuyán cõ tông
trững tợi hÔn, . . . .
Hằ phữỡng trẳnh elliptic nỷa tuyán tẵnh dÔng Hamilton.
Bản cÔnh cĂc nghiản cựu cho phữỡng trẳnh elliptic vổ hữợng, cĂc
hằ phữỡng trẳnh elliptic cụng ữủc nhiãu tĂc giÊ quan tƠm nghiản cựu.
Mởt trong nhỳng lợp hằ elliptic in hẳnh l lợp hằ Hamilton cõ dÔng

9


sau:

8u = jvjp 1v;
>

v=u

jj

>

>

q 1

x2 ;
x

u;

;

(3)

2

>

<
>
>

>

u = v = 0;

x2@ ;
RN

mởt miãn b chn trong
(N
3) vợi
biản @ trỡn. Vợi hằ (3), nhữ Â ch ra trong [9, 22, 26, 28, 48, 54],
[58, tr.251-263], ta cõ ữớng hyperbol tợi hÔn
trong õ p; q > 1 v

>

:

l

1 + 1 =N 2 :
p+1 q+1
N
Khi cp số mụ (p; q) nơm trản hoc nơm phẵa trản ữớng cong n y,
tực l

1
p+1

+

1
q+1

N 2
;

N

thẳ sỹ khổng tỗn tÔi cừa nghiằm cờ in dữỡng cừa hằ (3) trong
miãn hẳnh sao b chn  ữủc chựng minh (xem [47, 57]). Phữỡng
phĂp ữủc sỷ dửng l thiát lêp ỗng nhĐt thực kiu Pohozaev phũ hủp
vợi hằ (3) v khai thĂc cĐu trúc hẳnh hồc cừa miãn ang xt. Trong
trữớng hủp hằ elliptic suy bián chựa toĂn tỷ Grushin, cụng bơng
cĂch thiát lêp cĂc ỗng nhĐt thực tẵch phƠn kiu Pohozaev m rởng,
mởt số tĂc giÊ cụng Ôt ữủc mởt v i kát quÊ vã sỹ khổng tỗn tÔi
nghiằm cừa b i toĂn biản cho hằ Hamilton/gradient suy bián (xem
[19, 20, 21] v cĂc t i liằu ữủc trẵch dăn trong õ).
Trong khi õ, náu cp số mụ (p; q) nơm phẵa dữợi ữớng hyperbol tợi
hÔn, nhớ sỷ dửng phữỡng phĂp bián phƠn v nh lẵ Fountain ữủc thiát
lêp bi Bartsch v Figueiredo [9], sỹ tỗn tÔi cừa mởt dÂy vổ hÔn
nghiằm yáu cừa hằ (3) ữủc chựng minh (xem [28, 72] v b i bĂo tờng
quan [26]). Tữỡng tỹ nhữ ối vợi phữỡng trẳnh vổ hữợng, ta cụng tẳm
nghiằm yáu cừa hằ (3) l cĂc im tợi hÔn cừa phiám h m liản kát vợi
10


hằ (3) cõ dÔng
(u; v) =

Z

ru rv dx p + 1
1

Z

p+1

jvj

dx q + 1
1

Z jujq+1dx:

Khổng gian nông lữủng tỹ nhiản xt b i toĂn (3) l khổng gian
1

1

Hilbert H0 ( ) H0 ( ): Tuy nhiản, vợi cĂch lỹa chồn khổng gian n y
s phÊi Ăp t iãu kiằn lản p; q l p; q
2N

1

N +2
N 2

; iãu n y l do php

nhúng Sobolev H0 ( ) ,! LN 2 ( ): loÔi bọ hÔn chá n y, ta cõ th
sỷ dửng cĂc khổng gian bêc phƠn ữủc nh nghắa thổng qua khai
trin Fourier cừa cĂc h m riảng cừa toĂn tỷ Laplace (xem [28, 36]).
Ngo i ra, ta cụng cõ th loÔi bọ hÔn chá n y bơng cĂch tiáp cên sỷ
dửng khổng gian Orlicz (xem [27]).

Tuy nhiản, ối vợi hằ phữỡng trẳnh elliptic chựa toĂn tỷ suy bián,
cĂc kát quÊ tữỡng ựng văn cỏn ẵt; chng hÔn, sỹ tỗn tÔi nghiằm,
tẵnh a nghiằm v sỹ khổng tỗn tÔi nghiằm cừa hằ cõ dÔng (3) khi
toĂn tỷ Laplace ữủc thay bơng toĂn tỷ elliptic suy bián mÔnh văn
chữa ữủc nghiản cựu.
CĂc nh lẵ kiu Liouville cho phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh elliptic.
Trong nhỳng nôm gƯn Ơy, mởt trong nhỳng chừ ã rĐt thới sỹ l nghiản
cựu cĂc nh lẵ kiu Liouville cho phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh
elliptic. Nởi dung cừa nh lẵ kiu Liouville l khng nh khổng tỗn tÔi
nghiằm trong to n khổng gian hoc nỷa khổng gian. nh lẵ Liouville
cờ in ữủc phĂt biu nhữ sau: Mởt h m iãu hỏa (hoc chnh hẳnh) b
chn trong to n khổng gian thẳ h m õ phÊi l hơng số . PhĂt biu n y
ữủc Liouville ữa ra nôm 1844 v sau õ Cauchy

[14] Â ữa ra chựng minh Ưu tiản cừa nh lẵ n y (xem thảm [8,
tr.31-32, 45-47]). Kát quÊ cờ in n y sau õ Â ữủc m rởng cho cĂc

11


N+2
N2

nghiằm khổng Ơm cừa phữỡng trẳnh elliptic nỷa tuyán tẵnh
u=u

p

N

trong to n khổng gian R bi Gidas v Spruck [31, 32] (xem thảm
b i bĂo cừa Chen v Li [17]). Trong õ hồ chựng minh ữủc rơng, náu
1
thẳ phữỡng trẳnh trản ch cõ nghiằm tƯm thữớng u 0
N +2

v kát quÊ n y l tối ữu theo nghắa, náu p N 2 thẳ phữỡng trẳnh
trản tỗn tÔi nghiằm. Tữỡng tỹ kát quÊ nhữ ối vợi phữỡng trẳnh, vợi
bĐt ng thực dÔng
p

N

u u ;x 2 R ;
N

cụng khổng cõ nghiằm khổng tƯm thữớng náu 1 < p N 2 v kát quÊ n
y cụng l tối ữu (xem [30]). nh lẵ Liouville cho phữỡng trẳnh elliptic
N

nỷa tuyán tẵnh hoc bĐt ng thực trản mởt nõn trong R cụng  ữủc
Dolcetta, Berestycki v Nirenberg nghiản cựu trong [11].

Trong nhỳng nôm gƯn Ơy, cĂc nh lẵ kiu Liouville  chựng tọ
l mởt trong nhỳng cổng cử mÔnh nghiản cựu tẵnh chĐt nh tẵnh
nghiằm cho cĂc phữỡng trẳnh Ôo h m riảng phi tuyán. Tứ cĂc nh lẵ
kiu Liouville ta cõ th thu ữủc cĂc kát quÊ khĂc nhau vã tẵnh chĐt

nh tẵnh cừa nghiằm, chng hÔn nhữ tẵnh phờ quĂt, cĂc ữợc

lữủng tiản nghiằm theo tứng im cừa nghiằm a phữỡng, cĂc Ănh giĂ
phờ quĂt v kẳ d, Ănh giĂ ở suy giÊm, tốc ở bũng nờ (blow-up) cừa
nghiằm, . . . , (xem b i bĂo [56] v cĂc t i liằu trong õ).


GƯn Ơy, cĂc nh lẵ kiu Liouville cho phữỡng trẳnh elliptic suy
bián  thu hút ữủc sỹ quan tƠm nghiản cựu cừa nhiãu nh toĂn hồc.
nh lẵ Liouville  ữủc m rởng cho cĂc h m p- iãu hỏa trong to n
N

khổng gian R v trản cĂc miãn ngo i bi Serrin v Zou trong [64].
nh lẵ Liouville cho bĐt ng thực elliptic nỷa tuyán tẵnh chựa
12


toĂn tỷ Grushin  ữủc thiát lêp bi Dolcetta v Cutrẳ trong [23]. é õ,
hồ nghiản cựu b i toĂn sau
p

u 0;Gku

N

(x; y) 2 R 1 RN2 ;

u ;

2k

trong õ Gk u = xu + jxj yu; k > 1, l toĂn tỷ Grushin v hồ chựng tọ

ữủc rơng ch cõ nghiằm khổng Ơm cừa b i toĂn n y l
Q

u 0 náu 1 < p Q 2 vợi Q = N1 + (k + 1)N2 l số chiãu thuƯn nhĐt cừa
khổng gian. Trong [6], D'Ambrosio v Lucente nghiản cựu
iãu kiằn cƯn cho sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa bĐt ng thực vợi toĂn tỷ
vi phƠn tỹa thuƯn nhĐt cõ dÔng
p

L(x; y; D ; D )u
x

;

juj

y

jxj jyj
1

Rd R

(x; y)

k

;

2

2

vợi q > 1; 1; 2 2 R; k; d 1; v trong õ hồ cụng xt mởt v i trữớng hủp c
biằt v thu ữủc cĂc nh lẵ kiu Liouville cho toĂn tỷ Tricomi
v toĂn tỷ Grushin. Sau õ, Monti v Morbidelli trong [51] Â sỷ dửng
phữỡng phĂp mt phng di ởng nghiản cựu tẵnh chĐt ối xựng cừa
nghiằm cho phữỡng trẳnh tợi hÔn dÔng
Q+2

u 0; L u = uQ
2

2

õ L u = xu + ( + 1) jxj

yu

2

N

; (x; y) 2 R 1 RN2 ;

v > 0; Q = N 1 + ( + 1)N2. Vợi cĂc kát quÊ

Liouville trong trữớng hủp p 2 (Q

Q

2

;

Q +2
Q 2

) cho phữỡng trẳnh

chựa toĂn tỷ Grushin (xem b i bĂo gƯn Ơy cừa Monticelli [52]), trong
õ thu ữủc nh lẵ Liouville, hồ khai thĂc tẵnh bĐt bián cừa phữỡng
trẳnh theo bián ời Kelvin v thỹc hiằn kắ thuêt mt phng di ởng
theo cĂc hữợng song song vợi mt suy bián cừa toĂn tỷ. Trong [73],
Yu nghiản cựu phữỡng trẳnh
N

L u = f(u);

(x; y) 2 R

13

1

R

N

2

;


v dữợi mởt v i giÊ thiát trản số hÔng phi tuyán f; Â chựng tọ phữỡng
trẳnh trản khổng cõ nghiằm yáu dữỡng. é Ơy kắ thuêt chẵnh ữủc
sỷ dửng v phữỡng phĂp mt phng di ởng dÔng tẵch phƠn.
Bản cÔnh viằc thiát lêp cĂc

nh lẵ Liouville cho cĂc phữỡng trẳnh

v cĂc bĐt ng thực vổ hữợng, cĂc nh lẵ Liouville cho hằ phữỡng
trẳnh v hằ bĐt ng thực elliptic cụng thu hút ữủc sỹ quan tƠm
nghiản cựu cừa nhiãu tĂc giÊ. Nhữ Â ữủc chựng minh trong [63, 66]
v [49], hằ bĐt ng thực elliptic dÔng

8

khổ ng cõ nghiằm khổ ng Ơm u; v C (

>
<
>
:

v

p

N

u v ; x2R ;
q
u ; x RN;
2

2
2(p+1)
pq 1

v max(a; b) N 2, vợi a =

2N
R

) náu pq 1, hoc pq > 1
2(q+1)
pq 1

v b=

. Ta biát rơng, giÊ

thuyát Lane-Emden phĂt biu rơng hằ elliptic

8

u = vp; x 2 RN
q

>

>

v=u ;

<

x

2

RN;

vợi p; q > 0, khổng cõ nghiằm cờ in dữỡng náu cp (p; q) thọa mÂn
:
1

p+1

1

+

q+1

>1

2

:

N

GiÊ thuyát n y  ữủc chựng minh cho cĂc nghiằm ối xựng cƯu, tực
l u(x) = u(jxj); v(x) = v(jxj) trong cĂc khổng gian vợi số chiãu bĐt
kẳ trong [48]. Vợi cĂc nghiằm khổng ối xựng cƯu, giÊ thuyát LaneEmden mợi ch ữủc chựng minh l úng vợi số chiãu N 2 bi Mitidieri
v Pohozaev [49], vợi N = 3 bi Serrin v Zou [63], v vợi
N = 4 bi Souplet [65]. Khi N 5; theo hiu biát cừa chúng tổi giÊ
thiát n y văn ho n to n m. Bản cÔnh õ, mởt hữợng nghiản cựu rĐt
thới sỹ khĂc hiằn nay liản quan án chừ ã n y l thiát lêp cĂc nh
14


lẵ kiu Liouville cho nghiằm ờn nh hoc ờn nh bản ngo i mởt têp
compact. Vã hữợng nghiản cựu n y xin xem cuốn chuyản khÊo [24,
tr.137-158] v mởt số kát quÊ gƯn Ơy cho toĂn tỷ suy bián [7, 60, 69].
Nhữ vêy, ta cõ th thĐy rơng cĂc nh lẵ kiu Liouville mợi
ch ữủc chựng minh cho mởt v i lợp toĂn tỷ suy bián yáu v cĂc kát
quÊ Ôt ữủc văn cỏn ẵt; cĂc kát quÊ cho trữớng hủp toĂn tỷ suy bián
mÔnh, nõi riảng l lợp toĂn tỷ suy bián , trong nhiãu trữớng hủp văn
cỏn m.

Tõm lÔi, vợi nhỳng phƠn tẵch trản, ta thĐy rơng, bản cÔnh cĂc kát
quÊ Â Ôt ữủc, cĂc b i toĂn ối vợi phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh elliptic
chựa toĂn tỷ suy bián mÔnh văn cỏn nhiãu vĐn ã m, chng hÔn:
Sỹ tỗn tÔi v tẵnh a nghiằm cừa phữỡng trẳnh elliptic nỷa tuyán tẵnh

chựa toĂn tỷ suy bián mÔnh cõ dÔng
8 u = f(x; u);
>

x2 ;

u = 0;

<

x

@ ;

N

>

(4)

2

:
trong õ l miãn b chn trong R ; N

2 v số hÔng phi tuyán
f(x; u) khổng thọa mÂn iãu kiằn Ambrosetti-Rabinowitz.
Sỹ tỗn tÔi, khổng tỗn tÔi v tẵnh a nghiằm cừa hằ Hamilton elliptic
nỷa tuyán tẵnh chựa toĂn tỷ suy bián
8 u = jvjp 1v;
>

>

v=u

q 1

u;

jj

cõ dÔng

x2 ;
x

;

(5)

2

>
>

<
>
>
>

vợi

1v l

p; q >

u = v = 0;

x2@ ;
RN

>
:

;N
3:
miãn b chn trong
CĂc nh lẵ kiu Liouville cho phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh elliptic
nỷa tuyán tẵnh chựa toĂn tỷ suy bián mÔnh . Cử th, thiát lêp cĂc


15


nh lẵ kiu Liouville cho bĐt ng thực
u up;
v hằ bĐt ng thực
8

p

>

u

v ;

>
:

v

u ;

<

N

x 2 R ; (N 2; p > 1);

x 2 RN ;

q

(N 2; p; q > 0):

(6)

(7)

N

x2R ;

Vẳ vêy, trong luên Ăn n y chúng tổi têp trung v o nghiản cựu sỹ tỗn
tÔi v khổng tỗn tÔi nghiằm, tẵnh a nghiằm, v thiát lêp cĂc nh lẵ kiu
Liouville cho cĂc phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh, hằ
bĐt phữỡng trẳnh elliptic chựa toĂn tỷ suy bián mÔnh .
2. Mửc

ẵch nghiản cựu

Luên Ăn n y têp trung nghiản cựu mởt số lợp phữỡng trẳnh v hằ
phữỡng trẳnh elliptic suy bián mÔnh chựa toĂn tỷ bơng cĂc phữỡng phĂp
cừa GiÊi tẵch h m phi tuyán. Cử th l nhỳng vĐn ã sau:
Nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm
yáu; Nghiản cựu tẵnh a nghiằm;
Nghiản cựu sỹ khổng tỗn tÔi nghiằm cờ in khổng Ơm trong miãn
kiu hẳnh sao;
Nghiản cựu cĂc nh lẵ kiu Liouville vã sỹ khổng tỗn tÔi nghiằm
cờ in dữỡng trong to n khổng gian.
3. ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu
Vợi cĂc mửc ẵch t ra nhữ trản, trong luên Ăn n y chúng tổi nghiản
cựu cĂc nởi dung sau:
16