SKKN (2016) 3(lêhoainam)

1. Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài:
Toán học là môn học có vị trí quan trọng trong chương trình trung học cơ sở,
là nền tảng cho các môn học khoa học tự nhiên cũng như các môn khoa học xã hội.
Toán học không chỉ cung cấp cho con người những kĩ năng tính toán cần thiết, mà
còn rèn luyện cho con người một khả năng tư duy lôgíc, một phương pháp luận
khoa học.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để các
em có thể vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài toán thực tế trong cuộc sống.
Nội dung kiến thức toán học được trang bị cho học sinh trung học cơ sở ngoài việc
dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải các bài toán
này, nhưng để nắm vững cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết
vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, đồng thời kết hợp với sự
khéo léo và kinh nghiệm đã tích luỹ được của bản thân.
Sau nhiều năm giảng dạy môn toán, đặc biệt là trong đợt hướng dẩn học sinh
tham gia ôn thi đội tuyển HSG Toán cấp tỉnh và dạy ôn thi vào lớp 10 năm học
2014 – 2015, tôi nhận thấy vấn đề giải phương trình bậc hai qua việc các em vận
dụng hệ thức Viét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng
hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, do đó bản thân tôi đã đúc rút được một số

Kinh
nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi-et trong
giải các dạng toán liên quan để nâng cao chất lượng thi vào
10”.
kinh nghiệm giải loại toán này. Do vậy tôi mạnh dạn trình bày đề tài : “

1.2 Mục đích nghiên cứu.
Trong những năm gần đây, Ở cấu trúc đề thi vào lớp 10 – THPT thì phần
kiến thức về phương trình, phương trình bậc hai có liên quan đến hệ thức vi-et
thường chiếm khoảng từ 1,5 – 2 điểm. Với suy nghĩ làm thế nào để các em học sinh
có thể hiểu và làm tốt được, tôi đã suy nghĩ và viết ra đề tài này.

Khi trình bày đề tài này, tôi đã tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp cùng
dạy toán để phân chia các dạng toán về phương trình bậc hai. Sau đó tôi hướng dẩn
từng loại toán này cùng các phương pháp có thể được sử dụng giải các dạng toán
này và các bài tập để các em có thể vận dụng, đồng thời chỉ ra các sai lầm mà các
em có thể hay mắc phải trong quá trình làm bài tập. Cùng với đó tôi đã liệt kê các
bài tập về phương trình bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-et trong các đề thi vào

1


lớp 10 tỉnh Thanh hóa từ năm 2000 đến nay, hướng dẫn học sinh cách thức giải các
bài tập này trong từng dạng để các em vận dụng.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức Vi-et trong giải các dạng
toán liên quan
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Chủ yếu sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm của bản thân cùng tham
khảo ý kiến của một số giáo viên dạy toán cùng trường để đưa ra các dạng bài tập
liên quan đến hệ thức vi-et cùng phương pháp giải từng loại.
2. Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu.
Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán bản thân tôi nhận thấy rằng đa số học
sinh còn coi nhẹ việc giải toán, trong giờ học ít chịu suy nghĩ, tìm tòi lời giải, về
nhà chưa chịu khó làm bài tập. Đặc biệt là các bài toán về những ứng dụng hệ thức
Vi-et rất phong phú đa dạng, nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức một cách
linh hoạt, sáng tạo, độc đáo đối với từng dạng khác nhau.
Việc vận dụng hệ thức Vi – ét đối với học sinh THCS là khó và mới, các em
thường gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán này, có những bài toán
các em không biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chương trình đã học
để giải toán được hiệu quả?

Với những thực trạng như vậy, tôi đã đi sâu tìm hiểu và nhận thấy rằng có
thể là do những nguyên nhân sau:
+ Học toán thực chất là giải toán, nếu giáo viên không khéo léo khi giảng dạy sẽ
làm cho học sinh nhàm chán, thụ động và máy móc khi vận dụng.
+ Giáo viên thiếu những điều kiện thuận lợi, thiếu thời gian để phân tích, tìm tòi lời
giải, hệ thống bài toán giáo viên đưa ra còn dàn trãi không mang tính đặc trưng.
+ Trình độ nhận thức của các em còn chậm và không đồng đều cùng với điều kiện
học tập chưa tốt cũng ảnh hưởng nhiều đến hoạt động dạy học.
2.2. Các giải pháp
Trước khi giải bài tập cần yêu cầu học sinh học kỹ lí thuyết, nắm chắc định lí
Vi-ét và các hệ quả của định lí Vi-ét. Đồng thời người giáo viên cần phải hệ thống,
chia nhỏ thành các dạng bài tập ứng dụng riêng, mỗi dạng học sinh được học theo
chuyên đề nhằm khắc sâu kiến thức, phương pháp và kĩ năng làm bài.
Các dạng bài tập ứng dụng định lí Vi-ét đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản
đến phức tạp, phù hợp với trình độ học sinh. Qua mỗi dạng cần cho học sinh tự nêu

2


ra được kiến thức cơ bản, kỹ năng cần rèn luyện của dạng đó. Với mỗi dạng bài tập
có các bài tập minh họa và các bài tập trong các đề thi những năm trước và các bài
tập cho học sinh vận dụng.
Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm vững:
1. Hệ thức Vi – ét:
2
- Nếu x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai : ax + bx + c = 0  a �0 
thì

b
�

x1  x2  
�
�
a
�
�x .x  c
�1 2 a

2
Hệ quả 1: Nếu phương trình ax + bx + c = 0  a �0  có a + b + c = 0 thì phương trình

c
a
2
Hệ quả 2: Nếu phương trình ax + bx + c = 0  a �0  có a - b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm x1  1 còn nghiệm kia là x2  .

c
a

có một nghiệm x1  1 còn nghiệm kia là x2   .
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai
nghiệm của phương trình bậc hai:
x 2  Sx  P  0
Thật vậy: Các số u; v nếu tồn tại là các nghiệm của phương trình:

 x - u  . x - v  = 0

� x 2 -  u+v  x + u.v = 0

� x 2 - Sx + P = 0

Như vậy khi biết tổng và tích hai số thì ta sẽ tìm được hai số đó thông qua việc
giải phương trình bậc hai. Điều kiện để có hai số là: S2 - 4P �0

Các dạng toán liên quan đến hệ thức viet.
Dạng I: Vận dụng hệ thức Vi-ét vào việc nhẫm nghiệm của phương trình bậc
2
hai ax + bx + c = 0  a �0  khi biết các hệ số a; b; c.
2
Hệ quả 1: Nếu phương trình ax + bx + c = 0  a �0  có a + b + c = 0 thì phương trình

c
.
a
2
Hệ quả 2: Nếu phương trình ax + bx + c = 0  a �0  có a - b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm x1  1 còn nghiệm kia là x2 =

có một nghiệm x1 = - 1 còn nghiệm kia là x2 = -

c
.
a

3

2
Chú ý: Nếu phương trình ax + bx + c = 0  a �0  có x1  x2  

b
c
và x1 x2  thì x1 , x2 là
a
a

hai nghiệm của phương trình
Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình:
a) -7x2 + 4x + 3 = 0
b) 2015x2 + 2016x + 1 = 0
2
c) 3x -  1 - 3  x - 1 = 0

2
d)  m - 1 x -  2m + 3 x + m + 4 = 0

Hướng dẫn cách giải:
Đây là dạng toán cơ bản mà ta hay gặp ở trong các đề thi học kỳ và các đề
thi vào lớp 10 những năm gần đây, đối với dạng toán này các em học sinh có học
lực yếu cần phải nắm vững và thực hiện thành thạo các bước làm các dạng này.
Muốn vậy, giáo viên cần hướng dẫn.
- Muốn giải phương trình trên ta làm như thế nào ?
- Học sinh nêu cách làm là dùng công thức nghiệm để giải các phương trình này.
- Có em đã phát hiện cách làm là vận dụng hệ thức Vi – ét vào tính nhẩm các
2
nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0  a �0  có a + b + c = 0 thì

phương trình có một nghiệm x1  1 còn nghiệm kia là x2 

c
hoặc a - b + c = 0 thì
a
c
a

phương trình có một nghiệm x1  1 còn nghiệm kia là x2   .
Giải: Gv hướng dẫn học sinh thực hiện.
a) - 7x2 + 4x + 3 = 0 (a = - 7; b = 4; c = 3)
Vì a + b + c = (-7) + 4 + 3 = 0 � phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = 
b) 2015x2 + 2016x + 1 = 0
(a = 2015; b = 2016; c = 1)
Vì a – b + c = 2015 – 2016 + 1 = 0
� phương trình có hai nghiệm là: x1  1 ; x2 = 2
c) 3x -  1 - 3  x - 1 = 0

a 





1
.
2015



3; b = - 1 - 3 ; c = - 1

- 1 - 3  �+  - 1  0
Vì a  b  c  3- �
�
�

� 1 � 1
� phương trình có hai nghiệm là: x1  1 ; x2   �

�
� 3� 3
2
d)  m - 1 x -  2m + 3 x + m + 4 = 0

 a   m - 1 ;b = -  2m + 3

; c = m + 4

-  2m + 3 �
Với m �1 ta có a + b + c =  m - 1  �
�
�+  m + 4  = 0

4

3
.
7

� phương trình có hai nghiệm là: x1  1 ; x2 =

m4
.
m 1

Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm các phương trình sau:
a, x2 + 7x + 12 = 0
b, x2 - 7x + 12 = 0
c, x2 -11x + 28 = 0
d, x2 – 12x + 35 = 0
e, x2 + 10x + 21 = 0
Giáo viên hướng dẫn học sinh đối với dạng toán này ở mức độ khó hơn dạng
trước, do đó đòi hỏi các em phải biết phân tích một cách hợp lí thì việc nhẫm
nghiệm sẽ dễ dàng thực hiện được.
Đối với các bài tập trên thì dạng tổng quát như sau
Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm phân biệt x1;
x2. Nếu ta có m + n = 

b
c
và m.n = thì m, n là hai nghiệm của phương trình.
a
a

Giải: Gv hướng dẫn học sinh thực hiện.
a, Phương trình có a = 1, b = 7, c = 12
Ta có (-3) + (-4) = 

b
c
= -7 và (-3)(-4) = = 12 nên phương trình có hai nghiệm
a
a

là x1 = -3; x2 = -4.
b,Tương tự ta có 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12;phương trình có hai nghiệm là x1=3; x2 = 4
Các câu c, d, e được làm hoàn toàn tương tự.
GV Lưu ý: - Khi giải một phương trình bậc hai ta cần chú ý vận dụng hệ thức Vi-ét
để tính nhẩm nghiệm của phương trình nếu có thể. Nếu không tính nhẩm được
nghiệm của phương trình thì ta mới dùng công thức nghiệm để giải.
- Việc vận dụng hệ quả của hệ thức Vi-ét vào tính toán cho phép tính nhanh tìm ra
nghiệm của phương trình.
GV :Với các bài tập trong các đề thi như trên, tôi đã thay các giá trị mà bài toán
cho vào phương trình rồi thực hiện giải phương trình. Kết quả 90% học sinh có thể
thực hiện áp dụng định lí vi-et vào tìm nghiệm, số con lại các em có thể tìm nghiệm
qua công thức nghiệm. Sau khi kỳ thi vào lớp 10 năm học 2015 – 2016 diễn ra,
100% học sinh đều thực hiện được câu 1a trong đề thi vào lớp 10 môn Toán.
Bài tập trích trong các đề thi vào lớp 10 – tỉnh Thanh hóa.
1. Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x +2m + 5 = 0. Giải phương trình với m =

5
.
2

( Trích đề thi năm 2000 – 2001)
2. Cho phương trình : x2 – 2(m-1)x – (m+1) = 0. Giải phương trình với m = 2.
( Trích đề thi năm 2001 – 2002)

5


3. Cho phương trình : x2 – 4x + q = 0. Giải phương trình với q = 3.
( Trích đề thi năm 2009 – 2010)
4. Cho phương trình : x2 + px – 4 = 0. Giải phương trình với p = 4.
( Trích đề thi năm 2010 – 2011)
5. Cho phương trình : x2 – (2p-1)x + p(p-1) = 0. Giải phương trình với p = 2.
( Trích đề thi năm 2011 – 2012)
6. Giải phương trình: x2 – 6x + 5 = 0. ( Trích đề thi năm 2014 – 2015)
Bài tập vận dụng thêm : Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 5x2 – 32x + 27 = 0
b) 2x2 + ( 1 + 2 ) x – ( 3 + 2 ) = 0
c) 6x2 – 75 x – 81 = 0
d) 3x2 + (3- 2 )x - 2 =0
Dạng II: Vận dụng hệ thức Viet vào dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các
nghiệm của phương trình bậc hai.
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm phân biệt
x1; x2. Tìm điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn các biểu
thức.
 Cách biến đổi một số biểu thức thường gặp:
+ x12  x22  x12  2 x1 x 2  x 22   2 x1 x 2  x1  x 2  2  2 x1 x 2

+ x13  x23  x1  x2  x12  x1 x2  x22   x1  x2   x1  x2  2  3x1 x2 
+ x14  x24  x12    x22   x12  x22   2 x12 x22   x1  x2  2  2 x1 x2   2 x12 x22
2

1

1

2

2

2

x x

1
2
+ x x  xx
1
2
1 2

………….
Và tương tự học sinh có thể biến đổi được nhiều biểu thức theo S  x1  x2 ; P  x1 x2
Ví dụ 1: Cho phương trình 2 x 2  7 x  4  0 x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình
Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x1  x2 ; x1.x2
b) x13  x23
GV : Đối với dạng toán này, các em cũng đã gặp trong SGK và SBT, nhưng để
làm được các dạng bài tập này thì các em cần nắm vững được các hằng đẳng thức
và các phép biến đổi biểu thức ở lớp 8 để vận dụng vào biến đổi các biểu thức theo
yêu cầu của từng bài. ( GV lưu ý trước khi thực hiện biến đổi thì các em cần xác
định xem phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt hay không, nếu có 2 nghiệm rồi
mới thực hiện biến đổi). Đối với câu b thì đây là dạng toán khó đối với học sinh TB
và Yếu nên việc làm các dạng toán này với các em là khó khăn.

Giải:

6


1) Xét phương trình 2 x 2  7 x  4  0
a) Áp dụng định lí Vi – ét ta có:
b)

x

1

Ta

x13  x23

có:

7
�
�x1  x2 
2
�
�
�x1.x2  2

=

x

3
1

 3x12 .x1  3x1 x22  x23    3x12 .x1  3 x1 x22 

=

 x2   3x1 .x2  x1  x2 
3

3

343

42

�7 �
�7 �


= � � 3.2. � � =
8
2
�2 �
�2 �

Vậy x13  x23 =

343  168 175


8
8

175
8

GV: Qua ví dụ này chúng ta đã vận dụng điều kiện để phương trình bậc hai có 2
nghiệm phân biệt rồi áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình rồi thay thế vào biểu
thức cần tìm.
Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình (m  1) x 2  2mx  m  4  0
Chứng minh biểu thức A  3( x1  x2 )  2 x1 x2  8 không phụ thuộc giá trị của m
Khi làm bài cần lưu ý:
+ Ta vẫn tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
+ Biểu thức A có giá trị là một số xác định với mọi m thỏa mãn điều kiện
m �1
�
a �0
m  1 �0
�
�
�
��
�� 4
Cụ thể: Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì �
 �0
5m  4 �0
m�
�
�

�
� 5
2m
�
x

x

1
2
�
�
m 1
Theo định lí Vi-et ta có: �
�x x  m  4
�1 2 m  1
2m
m4
0
 2.
8 
0
m 1
m 1
m 1
4
Vậy A  3( x1  x2 )  2 x1 x2  8 = 0 với m �1 và m � hay biểu thức A không phụ
5

Thay vào A ta được: A  3( x1  x2 )  2 x1 x2  8 = 3.

thuộc vào m
Ta lần lượt làm theo các bước sau:
+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x1 ; x2 ( a �0;  �0 )
+ Viết hệ thức S  x1  x2 ; P  x1 x2

7


Nếu S và P chứa tham số thì khử tham số từ S và P sau đó đồng nhất các vế ta
được hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số.
Bài tập trích trong các đề thi vào lớp 10 – tỉnh Thanh hóa.
1. Cho phương trình : x 2 + (m+1)x + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai
nghiệm x1; x2 của phương trình sao cho hệ thức đó không phụ thuộc vào m. ( 2005
– 2006)
Bài tập vận dụng:
1 : Cho phương trình : - x2 + 5x + 16 = 0. Không giải phương trình tính:
a) x1 + x2 ; x1.x2

1

1

c) x12  x22

b) x  x
1
2

d)  x1  x 2  2

2: Cho phương trình: x2 – x – 1 = 0 có 2 nghiệm x1; x2
a) Tính x12  x22
b, Chứng minh : Q =  x12  x 22  x14  x 24   5.
Muốn làm được các bài tập trên thì các em phải nắm vững phương pháp làm và
cách biến đổi một số biểu thức thường gặp. Sau đó tôi hướng dẩn học sinh các
thực hiện giải từng bài và chú ý từng bước biến đổi. Kết quả: Với dạng toán này
thì đa số các em thực hiện tốt được 80 – 90%, số còn lại vẫn sai xót do chưa nắm
vững được các kiến thức ở lớp 8.
Dạng III: Vận dụng định lí Viet trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài
toán thỏa mãn các yêu cầu đặt ra.
GV: Đối với dạng toán này, giáo viên hướng dẩn phương pháp thực hiện như sau:
+ Tìm điều kiện phương trình có nghiệm.
+ Sử dụng hệ thức Vi-et và điều kiện đã cho tìm x1; x2
+ Thay x1; x2 vừa tìm được vào phương trình tìm được tham số
+ Đối chiếu với điều kiện và rút ra kết luận
Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d) có phương trình : y = mx – 3 và parapol (P): y = x 2.
Tìm m để đường thẳng (d) và parapol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành
độ x1; x2 thỏa mãn : x1  x2 2 . ( Trích đề thi năm 2014 – 2015)
Bài giải
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: x 2  mx  3 0 (*)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt x1; x2.
 m  2 3
Ta có :  m 2  12 > 0  m2 > 12  m > 2 3  

 m   2 3

8

 x1  x 2 m
 x1 .x 2 3

Áp dụng đinh lí Viet ta có 

Ta có : x1  x2 2   x1  x 2  2 4   x1  x 2  2  4 x1 x2 4  m 2  4.3 4
 m 2 16 => m = 4 hoặc m = -4.
Vậy với m =4 hoặc m = -4 thì đường thẳng (d) và parapol (P) cắt nhau tại hai
điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn : x1  x2 2 .
GV: Đối với dạng toán này, trong những năm gần đây đều có trong cấu trúc đề
thi vào lớp 10. Muốn làm tốt được dạng này, tôi đã hướng dẩn các em nắm vững
được các cách biến đổi ở dạng II, sau đó tôi làm mẫu và hướng dẩn học sinh thực
hiện.
Kết quả: Vận dụng vào làm bài tập trong các đề thi các năm trước thì 80 – 85%
học sinh đều thực hiện tốt, số còn lại vẫn còn sai xót trong khi làm. Sau khi kỳ thi
năm 2015 – 2016 diễn ra thì 80% số học sinh đều làm đuộc câu 3b.
Bài tập trích trong các đề thi vào lớp 10 – tỉnh Thanh hóa.
1. Cho phương trình : mx2 – (2m+1)x + m -2 = 0. Tìm m để
a, Phương trình có tổng bình phương các nghiệm bằng 22.
b, Phương trình có bình phương của hiệu hai nghiệm bằng 13.
( Trích đề thi năm 2002 – 2003)
2. Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 - m - m = 0. Gọi x1; x2 là hai nghiệm. Tìm
m để x12  x22 16 .
( Trích đề thi năm 2003 – 2004)
3. Tìm a để phương trình: x2 – (a-2)x – 2a = 0 có hai nghiệm thỏa mãn:
2x1+3x2=0
( Trích đề thi năm 2005 – 2006)
4. Cho phương trình: x2 + px – 4 = 0 có hai nghiệm x1; x2.
Tìm p để x1  x 22  1  x 2  x12  1 >6. ( Trích đề thi năm 2010 – 2011)
5. Cho phương trình: x2 – (2p-1)x + p(p-1) = 0. Gọi x1; x2 là nghiệm ( x1 < x2).

Chứng minh rằng : x12  2 x2  3 0 . ( Trích đề thi năm 2011 – 2012)
6. Cho phương trình : ax2 + 3(a+1)x + 2a + 4 = 0.Tìm a để phương trình có hai
nghiệm thỏa mãn : x12  x22 4 . ( Trích đề thi năm 2012 – 2013)

9


7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y = 2bx + 1 và parapol
(P) y = -2x2. Tìm b để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa
mãn : x12  x22  4 x1  x2  0 ( Trích đề thi năm 2013 – 2014)
8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = x + n – 1 và parapol
(p): y = x2. Tìm n để đường thẳng (d) cắt parapol (P) tại hai điểm phân biệt
1
1 
   x1 x 2  3 0
 x1 x 2 

óc hoành độ lần lượt là x1; x2 thỏa mãn : 4

( Trích đề thi năm 2015 – 2016)
Bài tập vận dụng thêm :
Bài 1 : Xác định số k để các phương trình sau có 2 nghiệm x1; x2 mà x1 = 2 x2.
a) x2 + 6x + k = 0
b) x2 + kx + 8 = 0
c) kx2 – 3x + 2 = 0.
Bài 2 : Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + m2 + 3m + 2 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x12  x22 = 12
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Cho phương trình: x2 – 3x + (k-1) = 0. Xác định k để phương trình có 2
nghiệm x1; x2 thỏa mãn: a) 2x 1 – 5x2 = -8

b) x12  x 23 = 15
c)
2
2
x1  x 2 = 3
Dạng IV: Vận dụng của hệ thức Vi-ét vào việc tìm 2 số khi biết tổng và tích của
chúng:
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai
nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 - Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số là:
S2 - 4P �0

Ví dụ 1:

a) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
b) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5.
GV hướng dẫn cách giải:
Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
�x  x2  27
. Nếu áp dụng hệ thức Vi-ét đảo thì
�x1.x2  180

1
Tức là ta cần tìm 2 số x1 và x2 biết �

x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai x 2 - 27x + 180 = 0 ta có lời giải như

sau:
Giải: a) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 27 và tích bằng 180
Nên 2 số là nghiệm của phương trình: x 2 - 27x + 180 = 0
Ta có:  = 27 2 - 4.1.180 = 729 - 720 = 9 > 0 �   9  3

10


� phương trình có 2 nghiệm

x1 

27  3
 15 ;
2

x2 

27  3
 12
2

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.
b) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 1 và tích bằng 5, Nên 2 số là nghiệm của phương
trình:
x2 - x + 5 = 0
2
Ta có:  =  -1 - 4.1.5 = 1- 20 = - 19 < 0 � phương trình trên vô nghiệm

Vậy không có hai số nào thoả mãn điều kiện đề bài.
* Khai thác ví dụ 1, GV nêu ra ví dụ sau:
Ví dụ 2:
a) Tìm các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi là 100 m và diện tích bằng 621 m2
b) Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm2

Gv hướng dẫn cách giải:
- Bài toán đã cho biết gì ? Cần phải tìm gì?
��
2.  a  b   100 �
�
�.
�

- Nếu gọi các cạnh của hình chữ nhật là a và b ta có điều gì? . �
��
a.b  621
��
�a  b  50
thì a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai
�a.b  621

- Vậy �

nào?

(

x 2 - 50x + 621 = 0 )

Với gợi ý trên tôi cho các em thảo luận 5 phút và đại diện 1 em trình bày lời giải.
Giải:
a) Gọi các cạnh của hình chữ nhật là a và b
�
2.  a  b   100
�a  b  50

��
a.b  621
�
�a.b  621

ta có hệ phương trình: �

Nên a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 - 50x + 621 = 0
� phương trình có 2 nghiệm x1  27 ; x2  23
Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật là 27 (m ) và 23 (m).
b) Gọi các cạnh của hình chữ nhật là a và b
�2.  a  b   20
�a  b  10
� �
�a.b  32
�a.b  32

ta có hệ phương trình �

Nên a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 - 10x + 32 = 0
2
Ta có:  '   5   1.32  7  0 � phương trình vô nghiệm

Vậy không tồn tại hình chữ nhật nào có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32
cm .
2

11

GV lưu ý: Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, ta áp dụng hệ
thức Vi – et để đưa về dạng phương trình bậc hai một ẩn rồi giải. Gv yêu cầu học
sinh áp dụng thực hiện các bài tập sau:.
Bài tập vận dụng thêm:
Bài 1 : Tìm hai số m và n biết tổng S và tích P của chúng.
a) S =

7
1
;P=
6
3

b) S = 1; P = 2

Bài 2 : Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 7 và tổng các bình phương của chúng
bằng 289.
Bài 3 :Tìm các kích thước của hình chữ nhật biết chu vi bằng 120, diện tích bằng
875.
Dạng V: Vận dụng hệ thức Viet tìm dấu nghiệm của phương trình bậc hai.
GV: Đối với các phương trình mà bài tập cho ở dạng này thì thường là
phương trình đã có nghiệm, bài toán yêu cầu người học phải xác định dấu các
nghiệm của phương trình mà không yêu cầu giải? Muốn vậy người học phải biết
được vận dụng hệ thức về tổng các nghiệm và tích các nghiệm rồi từ đó xác định
dấu các nghiệm của phương trình.
GV: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0). Có hai nghiệm x1,
x2 thỏa mãn S= x1 + x2 ; P = x1.x2
  0

 Phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi  P  0

S  0

  0

 Phương trình có hai nghiện âm khi và chỉ khi   P  0
S  0


 Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c <0.
Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 + 2 (m-2)x – 2m + 1 = 0 (1)
a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương?
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu?
Giải :a, Phương trình (1) có nghiệm dương khi:
  0

P  0
S  0


 (m  2) 2  ( 2m  1) 0

  2m  1  0

  2( m  2)  0


 m 2  2m  3 0

1


m 

2

 m  2

 (m  1) 2  2 0

1

m 
2

 m  2

12


thỏa mãn với mọi m<
Vậy m<

1
2

1
thì phương trình có hai nghiệm dương.
2

b, Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi a.c  0 hay -2m+1 <0  m>
1

.
2

Ví dụ 2: Không giải phương trình, xác định dấu các nghiệm ( nếu có)
a) 4x2 + 2 x – 1 = 0
b) 7x2 -13x + 2 = 0
c) 2x2 + 5x + 2 = 0
d) 9x2 – 6x + 1 = 0
c
1
=
. Vậy phương trình có hai nghiệm trái dấu.
a
4
c
2
c
13
b)Ta có  = 169 –56 =113>0 ; P = x1.x2 = = > 0; S = x1+x2 = = >0.
a
7
a
7

Giải : a) Ta có P = x1.x2 =

Vậy phương trình có hai nghiệm cùng dương.
c) Tương tự: Ta có  > 0 ; P > 0; S < 0.
Vậy phương trình có hai nghiệm cùng âm.
d) Tương tự: Ta có  = 0 ; S > 0. Phương trình có một nghiệm dương.

GV : Bằng cách làm tương tự ta có thể vận dụng một cách linh hoạt về xét
dấu của phương trình bậc hai. Các em cần nắm vững cách làm của dạng toán này
để mai này lên THPT thì các các em sẽ không bỡ ngỡ cách xét dấu nghiệm của tam
thức bậc hai.
Bài tập vận dụng :
Bài 1: Xác định số k để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu.
a) 2x2 – 6x + k – 2 = 0
b) 3x2 – ( 2k+1)x + k2 – 4 = 0 c) k2x2 – kx – 2 = 0
Bài 2 : Cho phương trình : x2 – mx+ m2 – 3 = 0.
a, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt?
b, Tìm m để phương trình chỉ có 1 nghiệm dương.
Bài 3 : Cho phương trình : kx2 – 4x + 1 = 0. Xác định giá trị k để phương trình :
a, Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
b, Có hai nghiệm trái dấu.
Dạng VI: Vận dụng hệ thức Vi – ét vào việc lập phương trình bậc hai có chứa
hai biểu thức là 2 nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là:

a, 1 và

1
2

b, 1  5 và

1 5

13

GV hướng dẫn cách giải:
- Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng ta làm như thế nào?
(Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm
của phương trình bậc hai: x 2 - Sx + P = 0 ; Đ/K S 2 �4 P )
1
2

3
1 1
và P = 1�  .
2
2 2
3
1
Do đó phương trình cần lập là x 2  x   0 hay 2 x 2  3 x  1  0
2
2

Giải: a, Ta có S = 1  

Vậy phương trình cần tìm là 2 x 2  3x  1  0

b, Ta có S =  1  5    1  5   2 và P =  1  5   1  5   1  5  4
Do đó ta có phương trình là x 2  2 x  4  0
Vậy phương trình cần tìm là x 2  2 x  4  0
Gv nhận xét: Để lập được phương trình bậc hai có 2 nghiệm nhận 2 số cho trước
là nghiệm thì ta vận dụng hệ thức Vi-ét đảo (tìm hai số khi biết tổng và tích của
chúng) ta làm như sau:
- Bước 1: Tính tổng và tích của hai số đó.
- Bước 2: áp dụng hệ thức Vi-ét đảo để tìm phương trình cần lập.

Bài tập trích trong các đề thi vào lớp 10 – tỉnh Thanh hóa.
Cho hai số x1 = 2 - 3 ; x2 = 2 + 3 .
a, Tính x1 + x2 và x1.x2.
b, Lập phương trình bậc hai ẩn x nhận x1,x2 là hai nghiệm.
Bài tập vận dụng thêm: Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là:
a) 3 và 7

b) 5 và -2

c)

1
1
và
3
2

d) 5 + 2 và 5 - 2

e) 3 và 5 .

GV: Hệ thức vi-et còn được vận dụng trong việc giải một số phương trình, hệ
phương trình đối xứng, Vì giới hạn của đề tài nên bản thân xin phép được trình
bày một số dạng ở trên.
* Kết quả đạt được
Trước khi chưa áp dụng cách dạy học như trình bày ở trên, tôi nhận thấy
nhiều học sinh nhìn nhận, định hướng giải chưa đúng, vận dụng định lí Vi-ét và các
hệ quả của định lí Vi-ét chưa thành thạo. Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm “

Kinh nghiệm hướng dẩn học sinh vận dụng hệ thức Vi-et

trong giải các dạng toán liên quan để nâng cao chất lượng thi
vào 10” vào giảng dạy trong quá trình ôn thi vào lớp 10, các nhược điểm của học

14


sinh nêu trên đã giảm rất nhiều. Nhìn chung các em đều có kĩ năng vận dụng tương
đối thành thạo các kiến thức đã học vào giải quyết một số bài tập tương tự và nâng
cao cũng như các ứng dụng thực tế đã tạo nên hứng thú học tập cho học sinh.
Qua đợt ôn thi lớp 10 vừa rồi với mỗi dạng toán, tôi thực hiện một chuyên đề như
chuyên đề mà tôi vừa trình bày như ở trên và thu được kết quả như sau:
Lớp

Sĩ số

Điểm 9

Điểm >8

Điểm >7

Điểm >6

Điểm >5

Điểm <5

9A
31 hs
3 hs

9 hs
12 hs
5 hs
2hs
0
Kết quả học sinh khá, giỏi được tăng lên rất nhiều còn số học sinh yếu kém
được giảm xuống so với các năm học trước.
3. Kết Luận – Kiến nghị
3.1:Kết luận- bài học kinh nghiệm.
Sau một thời gian nghiên cứu kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy của bản
thân cũng như trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, hỗ trợ các em tham gia ôn
thi đội tuyển HSG tỉnh môn toán và dạy ôn thi vào lớp 10 năm học 2014 – 2015
vừa qua, cùng với sự giúp đỡ của bạn bè đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành sáng kiến

Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng hệ
thức Vi-et trong giải các dạng toán liên quan để nâng cao
chất lượng thi vào 10”. Tôi thấy rằng đa số các em đều tự giác, tích cực
kinh nghiệm :“

trong học tập, vận dụng tương đối linh hoạt hệ thức Vi-ét vào giải các bài tập có
liên quan; các bài tập tương tự và nâng cao cũng như các ứng dụng thực tế của toán
học trong cuộc sống.
Qua đây bản thân tôi nhận thức được rằng: Đổi mới phương pháp dạy hoc,
nâng cao chất lượng dạy và học là đòi hỏi tất yếu trong giai đoạn hiện nay. Vì vậy
đối với môn toán, đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng học tập của
học sinh là yêu cầu bắt buộc đối với mỗi giáo viên. Để phát huy tính tích cực, chủ
động sáng tạo học tập của học sinh. Trước hết:
Đối với giáo viên:
+ Không ngừng học hỏi nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của mình.
+ Tích lũy kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy sao cho phù hợp với đối tượng

học sinh. Khi xây dựng các chuyên đề dạy học, cần phải chọn lọc, sắp xếp, phân
loại các bài tập theo trình tự lôgíc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.

15


+ Giáo viên cần khái quát cách giải từng dạng bài tập, vận dụng linh hoạt các
phương pháp dạy học cũng như các hình thức tổ chức dạy học phù hợp sao cho
hiệu quả nhất với chuyên đề mà mình đã đưa ra.
Muốn vậy mỗi giáo viên cần :
- Giúp học sinh năm chắc lý thuyết (định nghĩa, định lý, hệ quả….)
- Vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập ( từ dễ đến khó, từ đơn giản
đến phức tạp..)
- Đối với học sinh trung bình và yếu ( giáo viên chỉ yêu cầu các em thực hiện
ở mức độ các dạng cơ bản đồng thời rèn luyện kỹ năng trình bày)
- Đối với học sinh có năng lực khá trở lên thì yêu cầu đối với các em không
chỉ là thành thạo mà còn linh hoạt khi sử dụng đồng thời yêu cầu thực hiện
các dạng bài tập nâng cao phức tạp hơn.
- Khi học sinh thực hành vận dụng giải bài tập, giáo viên phải thường xuyên
kiểm tra, đánh giá, nắm bắt (thông tin phản hồi) kịp thời để điều chỉnh (
nhấn mạnh, khắc sâu những lỗi mà học sinh còn hay mắc phải)
- Phải thường xuyên động viên, khuyến khích kịp thời, từ đó gây hứng thứ học
tập cho học sinh.
Đối vơi học sinh:
+ Với sự hướng dẫn tận tình của giáo viên, các em cần phải tập trung nắm
được kiến thức cơ bản, các dạng bài tập mẫu và phương pháp giải, vận dụng thành
thạo, linh hoạt trong giải từng loại toán.
+ Học toán là rèn luyện của tư duy, khi các em đã nắm chắc các kiến thức cơ
bản rồi, các em có thể phát triển xa hơn dưới sự hướng dẩn của giáo viên.
Thành quả các em mang lại chính là sự cố gắng, tâm huyết của người thầy

cùng với nỗ lực phấn đấu học tập của các em.
Với kinh nghiệm nhỏ của bản thân đã đúc rút trong quá trình giảng dạy toán
9 và ôn thi vào lớp 10, bản thân tôi đã thu được kết quả khả quan như đã trình bày
ở trên.
Tôi mong rằng bạn bè, đồng nghiệp, hãy đọc, hãy vận dụng, hãy kiểm
nghiệm trong quá trình giảng dạy của mình, các bạn sẽ thấy được kết quả khả quan,
mong muốn như những gì tôi đã đạt được.
Tôi tin chắc rằng, có nhiều bạn có những sáng kiến, những kinh nghiệm hay
hơn, hữu ích hơn. Nhưng đây là kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi đã thành công và
xin chia sẽ cùng đồng nghiệp.

16


Tuy nhiên trong quá trình thực hiện đề tài, mặc dù đã cố gắng song chắc hẳn
không tránh khỏi thiếu sót, kính mong được sự góp ý xây dựng của các đồng
nghiệp để đề tài ngày càng phong phú và đầy đủ hơn, tạo hứng thú học tập cho học
sinh phát huy được tính tích cực chủ động của các em trong quá trình học tập. Từ
đó giúp các em thêm yêu thích môn Toán.
3.2. Kiến nghị:
Để công tác dạy và học ngày càng phát triển, mang lại hiệu quả, là một giáo
viên trực tiếp đứng lớp tôi rất mong các ban, nghành, các cấp lãnh đạo không
ngừng quan tâm tạo điều kiện hơn nữa cả về vật chất lẫn tinh thần cho đội ngũ giáo
viên, cho ngành giáo dục. Tổ chức thêm các buổi tập huấn để chia sẻ kinh nghiệm
giảng dạy cũng như việc ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy môn Toán
cũng như các môn học khác.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 24 tháng 5 năm
2016.

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

17