Xét bài toán đảo.doc

Xét bài toán đảo
Trong quá trình học toán, nếu chúng ta có thói quen xem xét bài toán đảo thì cũng sẽ
phát hiện nhiều bài toán mới khá thú vị, thậm chí là rất hay. Hãy xét qua ví dụ sau
đây :
Bài toán thuận : Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh bên AD, BC. Nối MN (đường trung bình) cắt hai đường chéo BD và AC
tại P và Q tương ứng. Ta đã có các kết quả sau :
1) MN song song với hai đáy AB, CD và MN = 1/2. (AB + CD)
2) P, Q lần lượt là các trung điểm của hai đường chéo BD, AC và PQ = 1/2.|AB - CD|
3) MP = NQ.
Từ đó ta có các bài toán đảo :
Bài toán đảo 1 : Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M và N là các trung điểm của các cạnh
AD, BC tương ứng. Chứng minh rằng nếu MN = 1/2.(AB + CD) thì ABCD là hình
thang.
Chứng minh :
- Gọi K là trung điểm của đường chéo BD, ta có :
MK // AB và MK = 1/2.AB
NK // CD và NK = 1/2.CD
=> : MK + NK = 1/2.(AB + CD) = MN (gt)
=> : M, K, N thẳng hàng => AB // MN và CD // MN => AB // CD (đpcm).
Bài toán đảo 2 : Cho tứ giác lồi ABCD (AB < CD). Gọi P, Q là trung điểm của các
đường chéo BD và AC tương ứng. Chứng minh rằng nếu PQ = 1/2.(CD - AB) thì
ABCD là hình thang.
Chứng minh : Gọi M là trung điểm của AD, ta có : PM // AB và PM = 1/2.AB ; QM //
CD và QM = 1/2.CD
=> : QM - PM = 1/2.(CD - AB) = PQ
=> : M, P, Q thẳng hàng => AB // PQ và CD // PQ => AB // CD (đpcm).
Bài toán đảo 3 : Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M và N là trung điểm của các cạnh AD và
BC tương ứng. Giả sử MN lần lượt cắt các đường chéo BD và AC tại P và Q. Chứng
minh rằng nếu MP = NQ thì ABCD là hình thang.
Chứng minh :

- Tất nhiên AC không song song với BD (1)
- Gọi E, F là trung điểm của các đường chéo BD và AC tương ứng. Giả sử P không
trùng với E và Q không trùng với F. Ta có ME song song và bằng NF (vì cùng song
song và bằng 1/2.AB) => MENF là hình bình hành => MN cắt EF tại trung điểm O của
mỗi đoạn hay OM = ON, mà MP = NQ => PO = OQ => PEQF là hình bình hành => PE
// QF hay BD // AC, trái với (1).
Vậy E trùng với P, F trùng với Q hay AB // MP, CD // NQ => AB // MN // CD (đpcm).
Bằng cách suy nghĩ tương tự như vậy ta cũng có bài toán đảo sau đây mà lời giải dành
cho các bạn :
Bài toán đảo 4 : Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của hai
đường chéo BD và AC. Giả sử đường thẳng PQ cắt các cạnh AD và BC tại M và N
tương ứng. Cho biết MP = NQ. Hỏi ABCD có là hình thang hay không ?
Chúc các bạn có thói quen xem xét các bài toán đảo trong quá trình học tâp để phát hiện
ra các bài toán mới thú vị.
Nguyễn Khánh Nguyên
(Trường THCS Hồng Bàng, Hải Phòng)