Top20 đề thi toán vào 10 có đáp án final

CLB TOÁN MATHSPACE

TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10
NĂM HỌC 2019-2020

MÔN TOÁN

THÁNG 8-2019


Mục lục
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

Đề thi tuyển sinh vào 10 Thành phố Hà Nội năm học 2019-2020 . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Thái Nguyên năm học 2019-2020 . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Bắc Giang năm học 2019-2020 . . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Quảng Nam năm học 2019-2020 . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Lào Cai năm học 2019-2020 . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Hà Tĩnh năm học 2019-2020 . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Nam Định năm học 2019-2020 . . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Thành Phố Hải Phòng năm học 2019-2020
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Nghệ An năm học 2019-2020 . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Phú Thọ năm học 2019-2020 . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Thái Bình năm học 2019-2020 . . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Thanh Hóa năm học 2019-2020 . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm học 2019-2020
Đề thi tuyển sinh vào 10 Thành phố Đà Nẵng năm học 2019-2020 .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Hải Dương năm học 2019-2020 . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Hà Nam năm học 2019-2020 . . . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Hưng Yên năm học 2019-2020 . . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Khánh Hòa năm học 2019-2020 . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Ninh Bình năm học 2019-2020 . . . .
Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Quảng Ninh năm học 2019-2020 . . .

1

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

3
8
13
22
26
31
35
41
46
50
57
62
66
72
77
82
87
97
101
106

MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

LỜI GIỚI THIỆU
Trên tay các em là tuyển tập 20 đề thi toán tuyển sinh vào 10 năm học 2019-2020. Nhóm biên tập mong
muốn các em có đủ thời gian, không bị dàn trải khi phải đối diện với số lượng đề quá lớn mà vẫn bao quát
được tất cả các dạng đề trên khắp các tỉnh trong cả nước. Vì vậy, con số 20 đã được đề xuất lựa chọn, từ
đó tuyển ra các đề tiêu biểu hơn cả. Tiêu chí lựa chọn có phần cảm tính, dựa vào xếp loại 10 tỉnh có phổ
điểm thi toán kỳ thi tốt nghiệp THPT cao nhất năm học vừa qua cũng như truyền thống học toán của nhiều
tỉnh có tiếng từ trước tới nay. Việc lựa chọn này không có nghĩa là các đề khác không hay mà chỉ dựa trên
quan điểm cá nhân của nhóm biên tập, các em có thể làm thêm các đề khác nếu có đủ thời gian. Nhưng
theo quan điểm của nhóm biên tập, chỉ cần tập trung tham khảo khoảng 20 đề là đủ.
Với mỗi tỉnh, phần đề thi được tách riêng để các em có thể thử sức trước. Phần lời giải chi tiết của đề
thi đó được cung cấp ngay sau đó. Các em chỉ nên tham khảo để rà soát lại cách trình bày hoặc tìm hướng
gợi ý sau khi dành đủ thời gian suy nghĩ tự giải quyết.
Nhóm biên tập cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thành viên nhóm Math and Latex tham
gia dự án 2020V10DT đã trao đổi, chia sẻ việc biên soạn file Latex. Mặc dù đã hết sức cố gắng rà soát kỹ,
xong chắc chắn tài liệu không tránh khỏi những sai sót. Xin được nhận sự góp ý của thầy cô và các em
học sinh. Mọi ý kiến phản hồi xin gửi về TS Đàm Thanh Phương, GV Toán Mathspace Education. Email

Hi vọng với tài liệu này, các em có thể làm quen và ôn tập tốt trước khi bước vào kì thi chính thức.
Chúc các em học tập hiệu quả.
Hà Nội, tháng 8 năm 2019
Thay mặt nhóm biên tập
TS Đàm Thanh Phương.

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 2


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

1. Đề thi tuyển sinh vào 10 Thành phố Hà Nội năm học 2019-2020
I Đề bài
√
√
Ç
å √
4( x + 1)
15 − x
2
x+1
Câu 1. Cho hai biểu thức A =
và B =
+√
:√
25 − x
x − 25
x+5
x−5
với x ≥ 0, x = 25.
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A · B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Câu 2.

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng
trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành
được 25% công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?
2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1, 75 m và diện tích đáy là 0, 32 m2 . Hỏi bồn
nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).
Câu 3.
1) Giải phương trình x4 − 7x2 − 18 = 0.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y = 2mx − m2 + 1 và parabol (P ) : y = x2 .
a) Chứng minh (d) luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn
1
−2
1
+
=
+ 1.
x1 x2
x1 x 2
Câu 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE
và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.
1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF .
3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường
thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P . Chứng minh tam giác AP E đồng dạng với tam giác AIB
và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP .
Câu 5. Cho biểu thức P = a4 + b4 − ab, với a, b là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + ab = 3. Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 3


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

II Lời giải
√
√
Ç
å √
4( x + 1)
15 − x
2
x+1
Câu 1. Cho hai biểu thức A =
và B =
+√
:√
25 − x
x − 25
x+5
x−5
với x ≥ 0, x = 25.
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A · B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Lời giải.

1) Với x = 9 ta có

√
4( 9 + 1)
4(3 + 1)
A=
=
= 1.
25 − 9
16

2) Với x ≥ 0 và x = 25 ta có
√
√
√
√
ô √
15 − x
2
x+1
15 − x + 2( x − 5)
x−5
√
√
√
+√
= √
·√
B =
:√

( x − 5)( x + 5)
x+5
x−5
( x − 5)( x + 5)
x+1
√
√
1
x+5
x−5
√
·√
=√
.
= √
( x − 5)( x + 5)
x+1
x+1
ñ

3) Với x ≥ 0 và x = 25 ta có
√
1
4
4( x + 1)
·√
=
.
P =A·B =
25 − x

x+1
25 − x
Để P đạt giá trị nguyên lớn nhất thì chỉ cần xét trường hợp P > 0 nghĩa là x < 25, x ∈ Z. Suy ra
x ≤ 24 ⇒ 25 − x ≥ 25 − 24 = 1 ⇒ P ≤ 4. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 24 (thỏa mãn điều
kiện xác định).
Vậy P đạt giá trị nguyên lớn nhất là 4 khi x = 24.

Câu 2.
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng
trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành
được 25% công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?
2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1, 75 m và diện tích đáy là 0, 32 m2 . Hỏi bồn
nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).
Lời giải.
1) Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng, đội thứ hai làm riêng hoàn thành công việc tương ứng là x, y (đơn
vị: ngày, x > 0, y > 0).
1 1
Khi đó trong một ngày đội thứ nhất, đội thứ hai làm riêng làm được lần lượt là , (công việc).
x y

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 4


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

Trong một ngày hai đội cùng làm chung được

1 1
+ (công việc).
x y

Ta có phương trình
1 1
1
+ = .
x y
15

(1)

Đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội
hoàn thành được 25% công việc, ta có phương trình
1
3 5
+ = .
x y
4

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
1
1
=
x = 24

y
15
⇔

3 5
1
y = 40.


 + =
x y
4

1



x

+

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện. Vậy nếu đội thứ nhất làm riêng thì sau 24 ngày hoàn thành công việc,
đội thứ hai làm riêng thì sau 40 ngày hoàn thành công việc.
2) Vì bồn nước hình trụ nên ta có V = B · h = 0,32 · 1,75 = 0,56 (m3 ).
Do bỏ qua bề dày của bồn nước nên số mét khối nước bồn đựng bằng thể tích của bồn, bằng 0,56 (m3 ).

Câu 3.
1) Giải phương trình x4 − 7x2 − 18 = 0.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y = 2mx − m2 + 1 và parabol (P ) : y = x2 .
a) Chứng minh (d) luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn
1
1
−2
+
=
+ 1.
x1 x2
x1 x 2
Lời giải.
x2 = −2 (vô nghiệm)
x=3
1) Ta có x − 7x − 18 = 0 ⇔ (x + 2)(x − 9) = 0 ⇔ 2
⇔
x = −3.
x =9
4

2

2

2

2) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P ) là x2 − 2mx + m2 − 1 = 0.
a) Ta có ∆ = m2 − (m2 − 1) = 1 > 0 nên (d) luôn cắt (P ) tại hai điểm phân biệt.
b) Theo hệ thức Vi-ét ta có
x1 + x2 = 2m
x1 x2 = m2 − 1.
−2

có nghĩa thì x1 x2 = 0 ⇔ m = ±1.
x1 x2
m = −1
1
1
−2
2m
m2 − 3
Ta có
+
=
+1 ⇔ 2
= 2
⇔ m2 − 3 = 2m ⇔
, đối chiếu với
x1 x2
x1 x2
m −1
m −1
m=3
điều kiện ở trên suy ra m = 3.
Để

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 5


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

Câu 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE
và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H.
1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF .
3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I, đường
thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P . Chứng minh tam giác AP E đồng dạng với tam giác AIB
và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP .
Lời giải.
A
t

J E
P
F

O

H
I

B

C

K
D

1) Do BE ⊥ AC và CF ⊥ AB nên BEC = CF B = 90◦ . Do đó tứ giác CEF B nội tiếp hay bốn điểm

B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
2) Cách 1: Gọi J là giao điểm của AO và EF và gọi AD là đường kính (O).
Khi đó EAJ = CAD = CBD (do tứ giác ABDC nội tiếp), mà AEJ = F BC (cùng bù với CEF ),
do đó AEJ + EAJ = CBD + CBA = 90◦ (do AD là đường kính) ⇒ AJE = 90◦ ⇒ OA ⊥ EF .
Cách 2: Gọi At là tiếp tuyến của (O) tại A, khi đó ta có OA ⊥ At.
(1).
1 ¯
Lại có EAt = CBA = sđAC. Mà CBA = AEF (cùng bù với CEF ), do đó At ∥ EF .
(2).
2
Từ (1) và (2) suy ra OA ⊥ EF .
3) Ta có EAO = HAB (cùng phụ với ABC) ⇒ EAP = BAI mà AEP = ABI (chứng minh ở trên),
AE
AP
suy ra AEP
ABI (g.g) ⇒
=
.
(3)
AB
AI
AE
AH
Ta lại có AEH
ABD (g.g) ⇒
=
.
(4)
AB
AD

AP
AH
AP
AI
Từ (3) và (4) suy ra
=
⇒
=
⇒ IP ∥ HD. Ta có BHCD là hình bình hành nên
AI
AD
AH
AD
DH cắt CB tại trung điểm K của mỗi đường hay D, K, H thẳng hàng, do đó KH ∥ IP .

Câu 5. Cho biểu thức P = a4 + b4 − ab, với a, b là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + ab = 3. Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .
Lời giải.
Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 6


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

Ta có
P = a4 + b4 − ab = (a2 + b2 )2 − 2a2 b2 − ab = (3 − ab)2 − 2a2 b2 − ab
Ç

å
7 2 85
2 2
= −a b − 7ab + 9 = − ab +
+ .
2
4
Ta có a2 + b2 + ab = 3 ⇒ 3 + ab = (a + b)2 ≥ 0 ⇒ ab ≥ −3.
Ç
å
7
7
7
1
7 2 81
2
2
Hơn nữa, 3 − ab = a + b ≥ 2ab ⇒ ab ≤ 1. Do đó −3 + ≤ ab + ≤ 1 + ⇒ ≤ ab +
≤
2
2
2
4
2
4
Ç
å
−1
7 2
81

⇒
≥ − ab +
≥ − ⇒ 1 ≤ P ≤ 21.
4
2
4
Suy ra

√
√
a = 3, b = − 3
√
√
max P = 21 ⇔ 
a = − 3, b = 3.
min P = 1 ⇔ a = b = 1.

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 7


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

2. Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Thái Nguyên năm học 2019-2020
I Đề bài
» √
√

2 5 + 6 − ( 5 − 1)2 + 2018 là một số nguyên.
√
a−1 b−2 b+1
Câu 2. Rút gọn biểu thức P = √
với a < 1 và b > 1.
b − 1 a2 − 2a + 1
1
Câu 3. Tìm các giá trị của m = để hàm số y = (2m − 1)x2 đạt giá trị lớn nhất bằng 0 tại x = 0.
2
Câu 4. Cho hàm số y = ax + b với a = 0. Xác định các hệ số a, b biết đồ thị hàm số song song với
đường thẳng y = 2x + 2019 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2020.

Câu 1. Chứng minh rằng A =

»

Câu 5. Một địa phương cấy 10 ha giống lúa loại I và 8 ha giống lúa loại II. Sau một mùa vụ, địa phương
đó thu hoạch và tính toán sản lượng thấy:
• Tổng sản lượng của hai giống lúa thu về là 139 tấn;
• Sản lượng thu về từ 4 ha giống lúa loại I nhiều hơn sản lượng thu về từ 3 ha giống lúa loại II là 6
tấn. Hãy tính năng suất lúa trung bình (đơn vị: tấn/ha) của mỗi loại giống lúa.
Câu 6. Cho phương trình x2 − 4x + m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
x21 + x22 − 10x1 x2 = 2020.
Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 10 cm, AH = 6 cm, Tính độ dài
các cạnh AC, BC của tam giác ABC.
Câu 8. Cho đường tròn (O). Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Trên d lấy một điểm B
(B khác A), vẽ đường tròn (B, BA) cắt đường tròn (O) tại điểm C (C khác A). Chứng minh BC là tiếp
tuyến của (O).
Câu 9. Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Lấy các điểm P, Q lần
lượt thuộc các cung nhỏ AC, AB sao cho BP vuông góc với AC, CQ vuông góc với AB. Gọi I, J lần

lượt là giao điểm của P Q với AB và AC. Chứng minh IJ · AC = AI · CB.
Câu 10. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (B, C là tiếp
điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh OB 2 = OH · OA;
b) EF là một dây cung của (O) đi qua H sao cho A, E, F không thẳng hàng. Chứng minh bốn điểm
A, E, O, F nằm trên cùng một đường tròn.

II Lời giải
» √
» √
Câu 1. Chứng minh rằng A = 2 5 + 6 − ( 5 − 1)2 + 2018 là một số nguyên.
Lời giải. »
» √
√
√
√
Ta có A = 2 5 + 6 − ( 5 − 1)2 + 2018 = 5 + 1 − 5 + 1 + 2018 = 2020.
Vậy A là một số nguyên.
√
a−1 b−2 b+1
Câu 2. Rút gọn biểu thức P = √
với a < 1 và b > 1.
b − 1 a2 − 2a + 1
Lời giải.

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 8

MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

à √
√
√
a − 1 ( b − 1)2
b−1
a−1 b−2 b+1
a−1
√
√
=
·
.
(1)
Ta có P = √
=
a2 − 2a + 1
(a − 1)2
a−1
b
−
1
b
−
1
b
−

1

a < 1 ⇒ a − 1 < 0
√
√
Do 
b > 1 ⇒ b > 1 ⇔ b − 1 > 0.
√
√
√
√
b−1
b−1
b−1
b−1
a−1
<0⇔
⇒ A = −√
·
= −1.
Kết hợp với (1) ta suy ra ⇒
=−
a−1
a−1
a−1
b−1 a−1

1
Câu 3. Tìm các giá trị của m = để hàm số y = (2m − 1)x2 đạt giá trị lớn nhất bằng 0 tại x = 0.
2

Lời giải.
Ç
å
1
2
Hàm số y = (2m − 1)x m =
đạt giá trị lớn nhất bằng 0 tại x = 0 khi
2
1
⇔ 2m − 1 < 0 ⇔ m < .
2
1
Vậy m < .
2
Câu 4. Cho hàm số y = ax + b với a = 0. Xác định các hệ số a, b biết đồ thị hàm số song song với
đường thẳng y = 2x + 2019 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2020.
Lời giải.
• (d) : y = ax + b song song với (∆) : y = 2x + 2019 ⇔

a=2
.
b = 2019

• (d) cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 2020 nên b = 2020

(1)
(2)

Từ (1) và (2) suy ra (d) : y = 2x + 2020.
Câu 5. Một địa phương cấy 10 ha giống lúa loại I và 8 ha giống lúa loại II. Sau một mùa vụ, địa phương

đó thu hoạch và tính toán sản lượng thấy:
• Tổng sản lượng của hai giống lúa thu về là 139 tấn;
• Sản lượng thu về từ 4 ha giống lúa loại I nhiều hơn sản lượng thu về từ 3 ha giống lúa loại II là 6
tấn. Hãy tính năng suất lúa trung bình (đơn vị: tấn/ha) của mỗi loại giống lúa.
Lời giải.
Gọi năng suất lúa trung bình của loại I là x (điều kiện 0 < x < 139).
Gọi năng suất lúa trung bình của loại II là y (điều kiện 0 < y < 139).
Theo bài ra ta có hệ phương trình
10x + 8y = 139
⇔
4x − 3y = 6

x = 7,5
(thỏa mãn).
y=8

Vậy năng suất lúa trung bình của loại I là 7,5 (tấn/ha).
Vậy năng suất lúa trung bình của loại II là 8 (tấn/ha).
Câu 6. Cho phương trình x2 − 4x + m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
x21 + x22 − 10x1 x2 = 2020.
Lời giải.
Ta có ∆ = 4 − m − 1 = 3 − m.
Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 9


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

• Phương trình có 2 nghiệm khi ∆ ≥ 0 ⇔ 3 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 3.

(1)

• Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có
x1 + x2 = 4
x1 x2 = m + 1.
• Điều kiện
x21 + x22 − 10x1 x2 = 2020
⇔ (x1 + x2 )2 − 12x1 x2 − 2020 = 0
⇔16 − 12(m + 1) − 2020 = 0
⇔ − 12m = 2016
⇔ m = −168 (thỏa mãn (1)).
Vậy m = −168 là giá trị cần tìm.
Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 10 cm, AH = 6 cm, Tính độ dài
các cạnh AC, BC của tam giác ABC.
Lời giải.
C
Xét tam giác ABC vuông tại A, có AH ⊥ BC, ta có
1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

1
1
1
⇔ 2 = 2+
6
10
AC 2
1
1
1
=
+
⇔
36
100 AC 2
⇔ AC = 7,5 (cm).

H

A

B

Mặt khác, AH · BC = AB · AC ⇔ BC = 12,5 (cm).
Câu 8. Cho đường tròn (O). Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Trên d lấy một điểm B
(B khác A), vẽ đường tròn (B, BA) cắt đường tròn (O) tại điểm C (C khác A). Chứng minh BC là tiếp
tuyến của (O).
Lời giải.
Vì (d) là tiếp tuyến của (O) tại Anên OA ⊥ d ⇒ OAB = 90◦ .
BC = BA

Gọi C = (O) ∩ (B, BA) ⇒ 
(cùng là các bán
OC = OA
O
kính).
Xét
 tam giác OAB và OCB có
C
BC = BA



OC = OA ⇒ OAB = OCB (c.c.c)
OB chung
⇒ OCB = OAB = 90◦ .
Suy ra OC ⊥ BC hay BC là tiếp tuyến của (O).




d

B

A

Câu 9. Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Lấy các điểm P, Q lần
lượt thuộc các cung nhỏ AC, AB sao cho BP vuông góc với AC, CQ vuông góc với AB. Gọi I, J lần
lượt là giao điểm của P Q với AB và AC. Chứng minh IJ · AC = AI · CB.
Lời giải.

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 10


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020
C

Gọi BP ∩ AC = {D}; AB ∩ CQ = {E}.
Xét đường tròn (O) ta có
P

1
¯ + sđAP
¯)
= ( sđBC
2
.

1

¯ + sđAQ)
¯
BEC = ( sđBC
2




BDC

(1)

D
J

Ta có BDC = BEC = 90◦ .
(2)
¯
¯
Từ (1) và (2) suy ra sđAP = sđAQ.
(3)
A
1 ¯
¯ ).
(4)
Ta lại có AIJ = (sđBC + sđAP
2
1 ¯ 1 ¯
¯
Và ACB = (sđAB
= (sđBQ + sđAQ).
(5)
2
2
Từ (3), (4), (5) ta suy ra ACB = AIJ.
Xét AIJ và ACB có


“ (chung)
A
IJ
AI
=
⇔ AI · BC = IJ · AC.
⇒ AIJ
ACB (g.g) ⇒

AC
BC
AIJ = ACB

O

I E

B

Q

Câu 10. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (B, C là tiếp
điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh OB 2 = OH · OA;
b) EF là một dây cung của (O) đi qua H sao cho A, E, F không thẳng hàng. Chứng minh bốn điểm
A, E, O, F nằm trên cùng một đường tròn.
Lời giải.
B

E

O

A

H

F
C
a) Vì AB là tiếp tuyến của (O) nên AAB ⊥ OB ⇒ OBA vuông tại B.
Lại có OB = OC ⇒ O nằm trên đường trung trực của BC.
Ta có Ab = AC tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau nên A nằm trên đường trung trực của BC.
Do đó AO là đường trung trực của BC hay OA ⊥ BC tại H nên BH ⊥ OA.
Xét tam giác vuông OAB vuông tại A có BH ⊥ OA suy ra OB 2 = OH · OA.
b) Theo câu a) ta có OB 2 = OH · OA ⇒
Xét

OHF và


“

O chung

OF A có  OF


OH

=

OB
OA
OF
OA
=
. Mà OB = OF nên
=
.
OH
OB
OH
OF

OA ⇒
OF

OHF ∼

⇒ OAF = OF H = OF E.
Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

OF A (c.g.c)
(1)
Trang 11


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

Mà tam giác OEF cân tại O suy ra OEF = OF E.
(2)
Từ (1) và (2) suy ra OEF = OAF .
Xét tứ giác AEOF có OEF = OAF suy ra tứ giác AEOF nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng
nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau).
Vậy bốn điểm A, E, O, F nằm trên cùng một đường tròn.

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 12


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

3. Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Bắc Giang năm học 2019-2020
I Đề bài
Phần trắc nghiệm
Câu 1. Giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 1 song song với đường thẳng y = 2x − 3 là
A m = −3.
B m = −1.
C m = 1.
D m = 2.
Câu 2. Tổng hai nghiệm của phương trình x2 − 4x + 3 = 0 bằng
A −4.
B 4.
C 3.

D −3.

Câu 3. Giá trị nào của x dưới đây là nghiệm của phương trình x2 + x − 2 = 0?
A x = 4.
B x = 3.
C x = 2.
D x = 1.
Câu 4. Đường thẳng y = 4x − 5 có hệ số góc bằng
A −5.
B 4.

C −4.

D 5.

Câu 5. Cho biết x = 1 là một nghiệm của phương trình x2 + bx + c = 0. Khi đó ta có
A b + c = 1.
B b + c = 2.
C b + c = −1.
D b + c = 0.
√
Câu 6. Tất cả các giá trị của x để biểu thức x − 3 có nghĩa là
A x ≥ 3.
B x ≤ 3.
C x < 3.
D x > 3.
Câu 7. Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Phát biểu nào dưới đây đúng?
A Tam giác ABC vuông.
B Tam giác ABC đều.
C Tam giác ABC vuông cân.
D Tam giác ABC cân.

Câu 8. Giá trị của tham số m để đường thẳng y = (2m + 1)x + 3 đi qua điểm A(−1; 0) là
A m = −2.
B m = 1.
C m = −1.
D m = 2.
Câu 9. Căn bậc hai số học của 144 là
A 13.
B −12.

C 12 và −12.

D 12.

»

Câu 10. Với x < 2 thì biểu thức (2 − x)2 + x − 3 có giá trị bằng
A −1.
B 2x − 5.
C 5 − 2x.
√
3+ 3
Câu 11. Giá trị của biểu thức √
bằng
3+1
1
1
A 3.
B √ .
C .
3

3

x − y

Câu 12. Hệ phương trình 
A 1.

=1
x + 2y = 7

B −2.

D 1.

D

√

3.

có nghiệm là (x0 ; y0 ). Giá trị của biểu thức x0 + y0 bằng
C 5.

D 4.

Câu 13.
√ Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = 4 cm, AC = 2 cm. Tính sin ABC.
√
3
1

1
3
A
.
B .
C .
D
.
2
2
3
3
Câu 14. Tam giác ABC cân tại B có ABC = 120◦ , AB = 12 cm và nội tiếp đường tròn (O). Bán kính
của đường tròn (O) bằng
A 10 cm.
B 9 cm.
C 8 cm.
D 12 cm.
Câu 15. Biết rằng đường thẳng y = 2x + 3 cắt parabol y = x2 tại hai điểm. Tọa độ của các giao điểm
là
A (1; 1) và (−3; 9).
B (1; 1) và (3; 9).
C (−1; 1) và (3; 9).
D (−1; 1) và (−3; 9).
Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 13


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

Câu 16. Cho hàm số y = f (x) = (1 + m4 ) x + 1, với m là tham số. Khẳng định nào sau đây đúng?
A f (1) > f (2).
B f (4) < f (2).
C f (2) < f (3).
D f (−1) > f (0).

x + y

=3
Câu 17. Hệ phương trình 
mx − y = 3
là
A m = 3.
B m = 2.

có nghiệm (x0 ; y0 ) thỏa mãn x0 = 2y0 . Khi đó giá trị của m
C m = 5.

D m = 4.

Câu 18. Tìm tham số m để phương trình x2 +x+m+1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x21 +x22 = 5.
A m = −3.
B m = 1.
C m = 2.
D m = 0.
Câu 19. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC = 20 cm. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại M
(M không trùng với B), tiếp tuyến tại M của đường tròn đường kính AB cắt AC tại I. Độ dài đoạn AI

bằng
A 6 cm.
B 9 cm.
C 10 cm.
D 12 cm.
¯ bằng
Câu 20. Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB thỏa mãn AOB = 90◦ . Độ dài cung nhỏ AB
πR
πR
3πR
A
B πR.
C
D
.
.
.
2
4
2

Phần tự luận
Câu 21.
x−y =2
3x + 2y = 11.
√
√
√
ñ
ô

2(x − 2 x + 1) 2 x − 1
x
− √
với x > 0, x = 4.
b) Rút gọn biểu thức A =
:√
x−4
x+2
x−2
a) Giải hệ phương trình

Câu 22. Cho phương trình x2 − (m + 1)x + m − 4 = 0

(1), m là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi m = 1.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
Ä

äÄ

x21 − mx1 + m

ä

x22 − mx2 + m = 2.

Câu 23. Đầu năm học, Hội khuyến học của một tỉnh tặng cho trường A tổng số 245 quyển sách gồm sách
1
2

Toán và sách Ngữ văn. Nhà trường đã dùng số sách Toán và số sách Ngữ văn đó để phát cho các bạn
2
3
học sinh có hoàn cảnh khó khăn. Biết rằng mỗi bạn nhận được một quyển sách Toán và một quyển sách
Ngữ văn. Hỏi Hội khuyến học tỉnh đã tặng cho trường A mỗi loại sách bao nhiêu quyển?
Câu 24. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC (BA < BC). Trên đoạn thẳng
OC lấy điểm I bất kỳ (I = C). Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. Kẻ CH vuông
góc với BD (H ∈ BD), DK vuông góc với AC (K ∈ AC).
a) Chứng minh rằng tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp.
b) Cho độ dài đoạn thẳng AC là 4 m và ABD = 60◦ . Tính diện tích tam giác ACD.
c) Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt đường thẳng BD tại E. Chứng minh rằng khi I thay
đổi trên đoạn thẳng OC (I = C) thì điểm E luôn thuộc một đường tròn cố định.
Câu 25. Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x2 + y 2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (3 − x)(3 − y).
Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 14


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

II Lời giải
Phần trắc nghiệm
Câu 1. Giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 1 song song với đường thẳng y = 2x − 3 là
A m = −3.
B m = −1.
C m = 1.
D m = 2.

Lời giải.
Đường thẳng y = mx + 1 song song với đường thẳng y = 2x − 3 ⇔ m = 2.
Chọn đáp án D
Câu 2. Tổng hai nghiệm của phương trình x2 − 4x + 3 = 0 bằng
B 4.
C 3.
A −4.
Lời giải.
4
−b
= = 4.
Tổng hai nghiệm của phương trình x2 − 4x + 3 = 0 là
a
1
Chọn đáp án B

D −3.

Câu 3. Giá trị nào của x dưới đây là nghiệm của phương trình x2 + x − 2 = 0?
A x = 4.
B x = 3.
C x = 2.
D x = 1.
Lời giải.
Phương trình x2 + x − 2 = 0 có a + b + c = 1 + 1 + (−2) = 0 nên nó luôn có nghiệm x = 1.
Chọn đáp án D
Câu 4. Đường thẳng y = 4x − 5 có hệ số góc bằng
A −5.
B 4.
Lời giải.

Đường thẳng y = 4x − 5 có hệ số góc a = 4.
Chọn đáp án B

C −4.

D 5.

Câu 5. Cho biết x = 1 là một nghiệm của phương trình x2 + bx + c = 0. Khi đó ta có
A b + c = 1.
B b + c = 2.
C b + c = −1.
D b + c = 0.
Lời giải.
x = 1 là một nghiệm của phương trình x2 +bx+c = 0 nên 1+b·1+c = 0 ⇔ 1+b+c = 0 ⇔ b+c = −1.
Chọn đáp án C
√
Câu 6. Tất cả các giá trị của x để biểu thức x − 3 có nghĩa là
A x ≥ 3.
B x ≤ 3.
C x < 3.
D x > 3.
Lời giải.
Chọn đáp án B
Câu 7. Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Phát biểu nào dưới đây đúng?
A Tam giác ABC vuông.
B Tam giác ABC đều.
C Tam giác ABC vuông cân.
D Tam giác ABC cân.
Lời giải.
AB 2 + AC 2 = 32 + 42 = 25 = 52 = BC 2 nên tam giác ABC vuông.

Chọn đáp án A
Câu 8. Giá trị của tham số m để đường thẳng y = (2m + 1)x + 3 đi qua điểm A(−1; 0) là
A m = −2.
B m = 1.
C m = −1.
D m = 2.
Lời giải.
Để đường thẳng y = (2m + 1)x + 3 đi qua điểm A(−1; 0) thì tọa độ của A phải thỏa mãn phương trình
đường thẳng hay
0 = (2m + 1) · (−1) + 3 ⇔ 2m + 1 = 3 ⇔ m = 1.
Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 15


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

Chọn đáp án B
Câu 9. Căn bậc hai số học của 144 là
A 13.
B −12.
C 12 và −12.
D 12.
Lời giải.
Căn bậc hai số học của một số là một số không âm nên căn bậc hai số học của 144 là 12.
Chọn đáp án D
»

Câu 10. Với x < 2 thì biểu thức (2 − x)2 + x − 3 có giá trị bằng
B 2x − 5.
C 5 − 2x.
A −1.
Lời giải.
»
x < 2 thì 2 − x > 0 nên (2 − x)2 + x − 3 = 2 − x + x − 3 = −1.
Chọn đáp án A
√
3+ 3
bằng
Câu 11. Giá trị của biểu thức √
3+1
1
1
A 3.
B √ .
C .
3
3
Lời giải.

D 1.

D

√

3.

Chọn đáp án D

x − y

Câu 12. Hệ phương trình 

=1
x + 2y = 7

B −2.

A 1.
Lời giải.

x − y

Hệ phương trình 

=1
x + 2y = 7

có nghiệm là (x0 ; y0 ). Giá trị của biểu thức x0 + y0 bằng
C 5.

D 4.

có nghiệm là (x0 ; y0 ) = (3, 2) nên x0 + y0 = 3 + 2 = 5.

Chọn đáp án C
Câu 13.

√ Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = 4 cm, AC = 2 cm. Tính sin ABC.
√
3
1
1
3
.
.
A
B .
C .
D
2
2
3
3
Lời giải.
AC
1
Ta có sin ABC =
=
BC
2
Chọn đáp án B
Câu 14. Tam giác ABC cân tại B có ABC = 120◦ , AB = 12 cm và nội tiếp đường tròn (O). Bán kính
của đường tròn (O) bằng
A 10 cm.
B 9 cm.
C 8 cm.
D 12 cm.

Lời giải.
IB
6
1
Gọi I là trung điểm AB. Ta có cos IBO =
=
= . Vậy R = 12cm.
BO
R
2
Chọn đáp án D
Câu 15. Biết rằng đường thẳng y = 2x + 3 cắt parabol y = x2 tại hai điểm. Tọa độ của các giao điểm
là
A (1; 1) và (−3; 9).
B (1; 1) và (3; 9).
C (−1; 1) và (3; 9).
D (−1; 1) và (−3; 9).
Lời giải.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x + 3 và parabol y = x2 là nghiệm của phương trình
x2 = 2x + 3 ⇔ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔

x = −1
y=1
⇔
x=3
y = 9.

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 16

MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

Chọn đáp án C
Câu 16. Cho hàm số y = f (x) = (1 + m4 ) x + 1, với m là tham số. Khẳng định nào sau đây đúng?
A f (1) > f (2).
B f (4) < f (2).
C f (2) < f (3).
D f (−1) > f (0).
Lời giải.
Ta có 1 + m4 > 0 nên hàm số y = f (x) = (1 + m4 ) x + 1 đồng biến.
Chọn đáp án C

x + y

=3
Câu 17. Hệ phương trình 
có nghiệm (x0 ; y0 ) thỏa mãn x0 = 2y0 . Khi đó giá trị của m
mx − y = 3
là
A m = 3.
B m = 2.
C m = 5.
D m = 4.
Lời giải.
x+y =3
x0 + y 0 = 3

(x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ
nên
.
mx − y = 3
mx0 − y0 = 3
x0 = 2
⇒ 2m − 1 = 3 ⇔ m = 2
Mà x0 = 2y0 suy ra
y0 = 1
Chọn đáp án B
Câu 18. Tìm tham số m để phương trình x2 +x+m+1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x21 +x22 = 5.
A m = −3.
B m = 1.
C m = 2.
D m = 0.
Lời giải.
Giả sử phương trình x2 + x + m + 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 khi đó ta có
x1 + x2 = −1
x1 x2 = m + 1.
Mà x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = (−1)2 − 2(m + 1) = 1 − 2m − 2 = −2m − 1.
Khi đó x21 + x22 = 5 ⇔ −2m − 1 = 5 ⇔ m = −3.
Thử lại m = −3 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = −2 thỏa mãn x21 + x22 = 5.
Chọn đáp án A
Câu 19. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC = 20 cm. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại M
(M không trùng với B), tiếp tuyến tại M của đường tròn đường kính AB cắt AC tại I. Độ dài đoạn AI
bằng
A 6 cm.
B 9 cm.
C 10 cm.
D 12 cm.

Lời giải.
A
Ta có M thuộc đường tròn đường kính AB nên
◦
AM B = 90 , nên AM ⊥ BC.
Dễ dàng chứng minh IA là tiếp tuyến của (O),
đường kính AB.
I
O
Suy ra IA và IM là 2 tiếp tuyến cắt nhau của (O)
nên IO là trung trực của AM , suy ra IO ⊥ AM .
⇒ OI ∥ BC ⇒ I là trung điểm của AC, do đó
AC
20
AI =
=
= 10 cm.
M
B
C
2
2
Chọn đáp án C
¯ bằng
Câu 20. Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB thỏa mãn AOB = 90◦ . Độ dài cung nhỏ AB
πR
πR
3πR
A
B πR.

C
D
.
.
.
2
4
2
Lời giải.

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 17


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

¯ là
Độ dài cung nhỏ AB
=
ˆ
A
B
Chọn đáp án A

2πR · AOB
πR
=

.
360
2

Phần tự luận
Câu 21.
x−y =2
3x + 2y = 11.
√
√
√
ñ
ô
x
2(x − 2 x + 1) 2 x − 1
b) Rút gọn biểu thức A =
− √
:√
với x > 0, x = 4.
x−4
x+2
x−2
a) Giải hệ phương trình

Lời giải.
a) Ta có
x=3
5y = 5
x=2+y
x−y =2

.
⇔
⇔
⇔
y=1
x=2+y
3 (2 + y) + 2y = 11
3x + 2y = 11
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 1).
b) Với x > 0; x = 4, ta có
√
√
√
√
ô
2x − 4 x + 2
(2 x − 1) ( x − 2)
x
√
√
√
− √
:√
( x + 2) ( x − 2)
( x + 2) ( x − 2)
x−2
√
√
√
ñ

ô
2x − 5 x + 2
x
2x − 4 x + 2
√
√
√
− √
:√
( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2)
x−2
√
√
x
x
√
√
:√
( x + 2) ( x − 2)
x−2
1
√
.
x+2
ñ

A =
=
=
=

Kết luận A = √

1
.
x+2

Câu 22. Cho phương trình x2 − (m + 1)x + m − 4 = 0

(1), m là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi m = 1.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
Ä

äÄ

x21 − mx1 + m

ä

x22 − mx2 + m = 2.

Lời giải.
a) Với m = 1, phương trình (1) trở thành x2 − 2x − 3 = 0.
Phương trình này có a − b + c = 1 − (−2) + (−3) = 0 nên nó có hai nghiệm là x = −1,
−c
3
x=
= = 3.
a

1

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 18


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

b) Ta có ∆ = (m + 1)2 − 4 · (m − 4) = m2 + 2m + 1 − 4m + 16 = (m − 1)2 + 16 > 0 nên phương
trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m.
Khi đó ta có
x21 − (m + 1) x1 + m − 4 = 0 ⇔ x21 − mx1 + m = x1 + 4.
Tương tự x22 − mx2 + m = x2 + 4.
Khi đó
Ä

äÄ

x21 − mx1 + m

ä

x22 − mx2 + m = 2 ⇔ (x1 + 4) (x2 + 4) = 2
⇔ x1 x2 + 4 (x1 + x2 ) + 16 = 2.

(∗)

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có
(∗) ⇔ (m − 4) + 4 (m + 1) + 16 = 2 ⇔ 5m + 14 = 0 ⇔ m =
Vậy m =

−14
.
5

−14
thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
5
Ä

äÄ

x21 − mx1 + m

ä

x22 − mx2 + m = 2.

Câu 23. Đầu năm học, Hội khuyến học của một tỉnh tặng cho trường A tổng số 245 quyển sách gồm sách
1
2
Toán và sách Ngữ văn. Nhà trường đã dùng số sách Toán và số sách Ngữ văn đó để phát cho các bạn
2
3
học sinh có hoàn cảnh khó khăn. Biết rằng mỗi bạn nhận được một quyển sách Toán và một quyển sách
Ngữ văn. Hỏi Hội khuyến học tỉnh đã tặng cho trường A mỗi loại sách bao nhiêu quyển?
Lời giải.

Gọi số sách Toán và sách Ngữ văn Hội khuyến học trao cho trường A lần lượt là x, y (quyển), x, y ∈ N∗ .
Vì tổng số sách nhận được là 245 nên x + y = 245.
(1)
1
2
Số sách Toán và Ngữ văn đã dùng để phát cho học sinh lần lượt là x và y (quyển).
2
3
1
2
Ta có x = y.
(2)
2
3


x + y = 245
Từ (1) và (2) ta có hệ  1
2
 x = y.
2
3
x = 140
Giải hệ ta thu được nghiệm
y = 105.
So với điều kiện, thỏa mãn.
Vậy Hội khuyến học trao cho trường 140 quyển sách Toán và 105 quyển sách Ngữ văn.
Câu 24. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC (BA < BC). Trên đoạn thẳng
OC lấy điểm I bất kỳ (I = C). Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. Kẻ CH vuông
góc với BD (H ∈ BD), DK vuông góc với AC (K ∈ AC).

a) Chứng minh rằng tứ giác DHKC là tứ giác nội tiếp.
b) Cho độ dài đoạn thẳng AC là 4 m và ABD = 60◦ . Tính diện tích tam giác ACD.
c) Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt đường thẳng BD tại E. Chứng minh rằng khi I thay
đổi trên đoạn thẳng OC (I = C) thì điểm E luôn thuộc một đường tròn cố định.
Lời giải.
Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 19


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020
B

E

A

K
O

C

H

D
a) Vì CH vuông góc với BD (H ∈ BD) nên DHC = 90◦ , suy ra H thuộc đường tròn đường kính
CD.
Mà DK vuông góc với AC (K ∈ AC) nên AKC = 90◦ , suy ra K cùng thuộc đường tròn đường

kính CD.
Vậy H và K cùng thuộc đường tròn đường kính CD hay tứ giác DHKC nội tiếp được trong một
đường tròn.
b) Ta có ABD = ACD (góc nội tiếp cùng chắn cung AD) nên ACD = 60◦ .
Lại có D nằm trên đường tròn (O) đường kính AC (giả thiết) suy ra ADC = 90◦ .
√
⇒ CD = AC · cos ACD = 4 · cos 60◦ = 2 (cm) và AD = AC · sin ACD = 4 · sin 60◦ = 2 3
(cm).
√
1
Khi đó diện tích tam giác ACD là SACD = AD · CD = 2 3 (cm2 ).
2
c) Vì EK ∥ BC nên DEK = DBC.
Vì ABCD nội tiếp nên DBC = DAC.
Suy ra DEK = DAK.
Từ đó tứ giác AEKD nội tiếp và thu được AED = AKD = 90◦ ⇒ AEB = 90◦ , suy ra E thuộc
đường tròn đường kính AB.
Vậy khi I thay đổi trên đoạn OCthì điểm E luôn thuộc đường tròn đường kính AB cố định.

Câu 25. Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x2 + y 2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (3 − x)(3 − y).

Lời giải.
Ta có
18 − 6 (x + y) + 2xy
2
17 + (x2 + y 2 ) − 6 (x + y) + 2xy
8 + (x + y)2 − 6 (x + y) + 9
=
=

2
2
2
(x + y − 3)
=
+ 4.
2

P = (3 − x) (3 − y) = 9 − 3 (x + y) + xy =

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 20


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

√
√
√
2
2
2
Từ
x
+
y
=

1
chỉ
ra
được
(x
+
y)
≤
2
⇒
−
2
≤
x
+
y
≤
2.
Suy
ra
−
2−3 ≤ x+y−3 ≤
√
2 − 3 < 0.
Khi đó ta có
ä2
Ä√
√
2−3
(x + y − 3)2

19 − 6 2
P =
+4≥
+4=
.
2
2
2
√
2
.
Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y =
2
√
√
19 − 6 2
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
khi x = y =
.
2
2

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 21


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

4. Đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Quảng Nam năm học 2019-2020
I Đề thi
Câu 1.
» √
√
1
√ .
12 + ( 2 − 1)2 − √
3− 2
√
1
2 x
1
√ +
√ , với x > 0 và x = 1. Rút gọn biểu thức B và tìm
b) Cho biểu thức B =
−
x+ x x−1 x− x
x để B = 8.
1
Câu 2. Trong mặt phẳng (Oxy), cho parabol (P ) : y = x2 .
2

a) Rút gọn biểu thức sau A =

a) Vẽ parabol (P ).
b) Hai điểm A, B cùng thuộc (P ) có hoành độ lần lượt là 2; −1. Viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm A và B.

Câu 3.
a) Giải phương trình x4 + 2x2 − 8 = 0.
b) Cho phương trình x2 − (2m + 1)x + m2 + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m để
x1 x2
phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho biểu thức P =
có giá trị nguyên.
x1 + x2
Câu 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 6 cm. Điểm N nằm trên cạnh CD sao cho DN = 2 cm,
P là điểm nằm trên tia đối của tia BC sao cho BP = DN .
a) Chứng minh

ABP =

ADN và tứ giác AN CP nội tiếp đường tròn.

b) Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác AN CP .
c) Trên cạnh BC, lấy điểm M sao cho M AN = 45◦ . Chứng minh M P = M N và tính diện tích tam
giác AM N .
Câu
y là cácåsố thực thỏa mãn x ≥ 3; y ≥ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =
å x, Ç
Ç 5. Cho
1
1
21 x +
+3 y+
.
y
x

II Lời giải
Câu 1.
» √
√
1
√ .
12 + ( 2 − 1)2 − √
3− 2
√
1
2 x
1
√ +
√ , với x > 0 và x = 1. Rút gọn biểu thức B và tìm
−
b) Cho biểu thức B =
x+ x x−1 x− x
x để B = 8.

a) Rút gọn biểu thức sau A =

Lời giải.
√
√
a) Ta có A = 2 3 + ( 2 − 1) −

√

√
√

√
√
√
√
3+ 2
= 2 3 + 2 − 1 − 3 − 2 = 3 − 1.
3−2

Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 22


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

b) Ta có
√
√
√
1
2 x
1
( x − 1) + 2x − ( x + 1)
√
B = √ √
+
−√ √
= √ √

x( x + 1) x − 1
x( x − 1)
x( x − 1)( x + 1)
2
2x − 2
√
=√ .
= √ √
x( x − 1)( x + 1)
x
√
2
1
1
Với B = 8 ⇔ √ = 8 ⇔ x = ⇔ x =
(thỏa mãn).
x
4
16
1
Câu 2. Trong mặt phẳng (Oxy), cho parabol (P ) : y = x2 .
2
a) Vẽ parabol (P ).
b) Hai điểm A, B cùng thuộc (P ) có hoành độ lần lượt là 2; −1. Viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm A và B.
Lời giải.
a) Xét (P ) ta có bảng giá trị
x

−2

y

2
Ç

−1
1
2

0
0

1
1
2

2
2

y
2

å

1
b) Ta có A(2; 2) và B −1;
.
2
Giả sử phương trình AB có dạng y = ax + b. Vì y = ax + b

đi qua A, B nên
3

a = 1
=
2
2
⇔
1 ⇔

−a+b=


2a
+
b
=
2
b
=
1.
2


2a + b

=2




3a

Vậy phương trình đường thẳng AB là y =



1
−2

−1 O

1

2

x

x
+ 1.
2

Câu 3.
a) Giải phương trình x4 + 2x2 − 8 = 0.
b) Cho phương trình x2 − (2m + 1)x + m2 + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m để
x1 x2
phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho biểu thức P =
có giá trị nguyên.
x1 + x2
Lời giải.
a) Đặt t = x2 (t ≥ 0). Phương trình trở thành

t2 + 2t − 8 = 0 ⇔

t = 2 (thỏa mãn)
t = −4 (loại).

√
Với t = 2 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = ± 2.
Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 23


MathSpace Education

Tuyển tập 20 đề nổi bật môn toán thi tuyển sinh vào 10 năm 2019 - 2020

b) Điều kiện để phương trình có nghiệm là
3
∆ ≥ 0 ⇔ (2m + 1)2 − 4(m2 + 1) ≥ 0 ⇔ 4m − 3 ≥ 0 ⇔ m ≥ .
4
Theo Vi-ét ta có

x1 + x2 = 2m + 1
. Do đó
x1 x2 = m2 + 1
P =

m2 + 1
1
1

5
= m− +
.
2m + 1
2
4 4(2m + 1)

Để P nhận giá trị nguyên thì 2m + 1 là ước của 5, ta có bảng giá trị sau
2m + 1
m
P
KL

−5
−3
−2
TM

−1
−1
−2
TM

1
0
1
TM

5
2

1
TM

Vậy m ∈ {−3; −1; 0; 2}.

Câu 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 6 cm. Điểm N nằm trên cạnh CD sao cho DN = 2 cm,
P là điểm nằm trên tia đối của tia BC sao cho BP = DN .
a) Chứng minh

ABP =

ADN và tứ giác AN CP nội tiếp đường tròn.

b) Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác AN CP .
c) Trên cạnh BC, lấy điểm M sao cho M AN = 45◦ . Chứng minh M P = M N và tính diện tích tam
giác AM N .
Lời giải.
P
a) Xét ABP và ADN có AB = AD, ABP = ADN = 90◦ ,
BP = DN = 2 cm ⇒ ABP = ADN (c.g.c).
Vì ABP = ADN nên AP B = AN D, suy ra
AN C + AP B = 180◦ ⇒ AN CP là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AN CP .
Mà N CP = 90◦ nên N P là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ
giác AN CP .
Lại có CN
√ = 6 − 2 =√4 cm, CP = 6 + 2 = 8 cm.√Do đó
N P = 42 + 82 = 4 5 cm, suy ra R = √
P O = 2 5 cm.
Vậy chu vi đường tròn tâm O là 2πR = 4 5π cm.

A

B
O

D

N

M

C

c) Vì AN CP là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính N P nên
N AP = 90◦ ⇒ M AP = 90◦ − M AN = 45◦ ⇒ AM là đường phân giác góc N AP .
(1)
Do DAN = BAP nên AN = AP ⇒ N AP cân tại A.
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra AP ⊥ N P . Mà N P là đường kính đường tròn (O) nên AM đi qua O ⇒ AM
là đường trung trực của đoạn N P ⇒ M P = M N .
Đàm Thanh Phương, Nguyễn Thành Chương, Trần Hữu Hiếu

Trang 24