Giúp học sinh nâng cao kỹ năng giải một số bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số:……………………………..
1. Tên sáng kiến:
GIÚP HỌC SINH NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TỐT MỘT SỐ
BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
(Nguyễn Hữu Thi, Nguyễn Hữu Thái, Nguyễn Thị Hồng Châu, Trịnh Thị Bé
Hai,Nguyễn Văn Tâm, @THPT Ngô Văn Cấn)
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chương trình Toán THPT khối 12
3. Mô tả bản chất của sáng kiến
3.1.Tình trạng giải pháp đã biết
Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong
những bài toán không thể thiếu trong các kì thi quan trọng của học sinh khối
12: thi HKI, thi TN THPT Quốc gia. Trong đó thường gặp nhiều bài toán
“Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị trong khoảng K”. Khi
giải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “Tìm điều kiện để y < 0 (y > 0) trên K
hoặc phương trình y= 0 có nghiệm trên K”. Đây thực chất là vấn đề so sánh
nghiệm của một phương trình bậc hai với số thực  . Nếu theo chương trình
sách giáo khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụng định lí đảo về dấu của
tam thức bậc hai và các hệ quả của nó để giải bài toán. Tuy nhiên có nhiều bài
toán đưa đến việc phải xét nhiều trường hợp do đó lời giải khá dài dòng và
phức tạp. Hơn nữa, theo chương trình sách giáo khoa mới của Bộ giáo dục
đang phát hành thì phần kiến thức liên quan đến định lí đảo và các hệ quả của
nó đã được giảm tải. Do đó chúng ta gặp phải vấn đề “Làm thế nào để giải bài
toán trên một cách hiệu quả mà chỉ cần vận dụng các kiến thức được học
trong chương trình sách giáo khoa hiện hành”. Với suy nghĩ nhằm giúp các
em hiểu các dạng và vận dụng tốt việc giải các bài toán thuộc lĩnh vực này

cũng như tạo hứng thú hơn trong việc học tập môn toán của học sinh, đồng thời
nâng cao chất lượng giảng dạy nên tôi đã tìm hiểu, tổng hợp và thực hiện nhiều
năm qua thấy có hiệu quả cao. Hôm nay tôi viết đề tài này để trao đổi với đồng
nghiệp, rút thêm kinh nghiệm cho bản thân. Đề tài:“GIÚP HỌC SINH NÂNG
CAO KỸ NĂNG GIẢI TỐT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU,
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ”.
3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến
3.2.1. Mục đích của giải pháp
- Sáng kiến này nhằm mục đích chia sẽ đồng nghiệp một số kinh nghiệm giúp
học sinh khối 12 vận dụng kiến thức giải tốt một số bài toán về tính đơn điệu,
cực trị của hàm số.
- Sáng kiến này đưa ra một số dạng toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số ở
mức độ vận dụng của chương trình Toán lớp 12 để có giải pháp cũng như
phương hướng giải quyết bài toán hiệu quả hơn, góp phần nâng cao chất lượng
học tập của học sinh.
- Vấn đề ở đây là phần kiến thức này khá nặng cho đối tượng học sinh không
được khá giỏi. Thậm chí học sinh khá giỏi còn phải lúng túng khi gặp các bài
toán này. Vì vậy cần phải có một giải pháp để giúp các em học sinh khối 12
nắm vững phần kiến thức quan trọng này.
3.2.2. Điểm mới trong giải pháp
Qua quá trình nghiên cứu và tìm giải pháp giúp học sinh nâng cao kỹ năng
giải tốt một số bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số có những điểm mới
như sau:
+ Các bài toán được tổng hợp lại và được hệ thống thành các dạng được giải
theo các cách nhanh, gọn, đơn giản hóa vấn đề.
+ Các bài toán về nội dung này hoàn toàn không sử dụng định lý đảo về dấu
của tam thức bậc hai (nội dung này đã giảm tải).


+ Các dạng bài tập được thực hiện từ đơn giản đến nâng cao hơn. Phần lớn

thực hiện giải bằng phương pháp tự luận, có kết hợp máy tính bỏ túi. Lúc đầu
học sinh sẽ thấy khó khăn, tuy nhiên khi hiểu rõ các bước giải học sinh sẽ thấy
dễ thực hiện và thích rèn luyện kỹ năng về nội dung này. Khi áp dụng các
phương pháp giải trên vào bài tập tự luận cũng như trả lời các câu hỏi trắc
nghiệm khách quan thì học sinh rất phấn khởi, vui vẻ, hứng thú và làm bài
rất tự tin.
PHẦN NỘI DUNG
1. Kiến thức cần nhớ
1.1. Phương trình bậc hai
a) Định nghĩa.
Phương trình bậc hai đối với ẩn x ( x �R ) là phương trình có dạng:
ax 2  bx  c  0  a �0 

 1

b)Cách giải.
Tính   b 2  4ac
+ Nếu   0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x1  x2  
+ Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
x1 

b
.
2a

b  
b  
, x2 
2a

2a

c)Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.
2
+ Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x �R : ax  bx  c  0  1
có hai nghiệm x1 , x2 thì S  x1  x2 

b
c
, P  x1.x2  .
a
a

+ Dấu các nghiệm:
* Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu � P  0 .
 �0
�
.
�P  0

* Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu � �

 �0
�
�
* Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương � �P  0 .
�S  0
�
 �0
�

�
* Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm � �P  0 .
�S  0
�

 a �0 


1.2.Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
+ Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là f '( x) �0, x �K
đồng thời f '( x)  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
+ Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là f '( x ) �0, x �K
đồng thời f '( x)  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K.
1.3. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị
* Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , khi đó nếu f(x) có đạo
hàm tại x0 thì f '( x0 )  0
* Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0 và có đạo
hàm trên các khoảng (a;x0) và (x0;b) khi đó :
+ Nếu f '( x)  0, x �( a; x0 ) và f '( x)  0, x �( x0 ; b) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
+ Nếu f '( x)  0, x �(a; x0 ) và f '( x)  0, x �( x0 ; b) thì hàm số đạt cực đại tại x0.
2. Phương pháp giải và ví dụ áp dụng.
* Bài toán 1: Cho hàm số: y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a �0)
Tìm điều kiện để hàm số (1):
a) Đồng biến trên (�;  ) .
b) Đồng biến trên ( ; �) .
c) Đồng biến trên ( ;  ) .
Lời giải đã thực hiện
Lời giải đề nghị
Txđ: D = R

Txđ: D = R
y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c

a) Hàm số (1) đồng biến trong
khoảng (�;  )
۳�
f (x�
) 0, x ( ;  )
�
a0
�
�
�
 �0
�
�
�
a0
�
��
�
0
�
�
�
�
�f ( ) �0
�
�
�

�S  2  0
�

y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c
0
TH1: Nếu bpt: f ( x) �۳

h ( m)

g ( x) (*)

a)Hàm số(1) đồng biến trong khoảng
(�;  )
۳�
h( m
�
) g ( x), x ( ;  )
۳ h ( m)

Max g ( x)

( �; ]

b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
( ; �)
۳�
h( m
�
) g ( x), x ( ; )
۳ h( m )

Max g ( x )

[ ;�)

c) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
( ;  )
۳�
h(m) g ( x), x ( ;  )
۳ h ( m)

Max g ( x)
[ ;  ]


b) Hàm số (1) đồng biến trong TH2: Nếu bpt: f ( x) �0 không đưa được về
khoảng ( ; �)
dạng (*) thì ta đặt : t = x - 
۳�
f (x�
) 0, x ( ; )
Khi đó ta có:
y '  g (t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c .
�
a0
�
�
�
a) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
 �0

�
�
(�;  )
�
a0
�
��
�
0
�
�
�
�
�f ( ) �0
�
�
�
�S  2  0
�

c) Hàm số(1) đồng biến trong
khoảng ( ;  )
۳�
f ( x) 0, x ( ;  )
�
�
a0
�
�
�

�
 �0
�
�
a0
�
�
�
�
�f ( ) 0
��
�
�
�
�
�
S  2  0
��
�
��
��
�
�f (  ) �0
��
�
��
�S  2   0
�
��
�

0
�
�
�
a0
�
�
�
�
�f ( ) �0
�
�f (  ) �0
�
�
�

۳ g (t )

0, t  0.

�
a0
�
�
�
 �0
�
�
�
a0

�
��
�
0
�
�
�
�
�S  0
�
�
�
�P �0
�

b)Hàm số (1) đồng biến trong khoảng
( ; �)
۳ g (t )

0, t  0

�
a0
�
�
�
 �0
�
�
�

a0
�
��
�
0
�
�
�
�S  0
�
�
�
�
�P �0
�


* Ví dụ 1: Cho hàm số : y =

1
 m  1 x3   2m  1 x 2  3  2m  1 x  1 (1)
3
(m �1)

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
a) Đồng biến trên khoảng (�; 1) .
b) Đồng biến trên khoảng (1; �) .
c) Đồng biến trên khoảng (1;1) .
Lời giải đã thực hiện
Lời giải đề nghị

Txđ: D = R
Txđ: D = R
y '  f ( x) 

y '  f ( x)  (m  1) x 2  2(2m  1) x  3(2m  1) Ta
0
f ( x) 0.
(m  1) x 2  2(2m  1) x  3(2m  1)
có: y ' �۳
2
a) Hàm số (1) đồng biến trong � (m  1) x  2(2m  1) x  3(2m  1) �0.
khoảng (�; 1)
 x2  2x  3
۳
m
.
۳�
f (x�
) 0, x ( ; 1)
x2  4x  6
�
a0
�
 x2  2 x  3
g
(
x
)

.

Đặt
:
�
�
2

'
�
0
x

4
x

6
�
�
6 x 2  18
�
a0
�
�
g
'(
x
)

.
2
2

��
�
(
x

4
x

6)
'  0
�
�
�
a) Hàm số(1) đồng biến trong khoảng
�
�f (1) �0
�
(�; 1) ۳�
y ' �
0, x (1; )
�
S

2(

1)

0
�
�

�
۳�
m �
g (x ), x ( ; 1)
�
m 1  0
�
۳ m Max g ( x)
( �; 1]
�
� 2

2
m

7
m

4
�
0
�
�
Xét : y  g ( x ) , x �( �; 1]
�
m 1  0
�
Ta có bảng biến thiên:
�
�

2
� �2m  7 m  4  0
�
�
�
�
x
-1
�
11m  4 �0
�
g’(x
�
�
m
�
)
0
�
�m  1
�
4
g(x)
1
�
+
11
m�
�
4

-1
�� 2
۳ m
11
4
�4 �m  1
Từ bảng biến thiên ta được : m �
�
11
2
11
4
4
Kết luận : m � thì hàm số (1)
Kết luận : m � thì hàm số (1) đồng biến
11
11
(

�
;

1)
(

đồng biến trong khoảng
trong khoảng �; 1)


b) Hàm số đồng biến trong khoảng b) Hàm số đồng biến trong khoảng (1; �)

(1; �)
۳�
f (x�
) 0, x (1;

).

�
a0
�
�
�
 ' �0
�
�
�
a0
�
��
�
'  0
�
�
�
�
�f (1) �0
�
�
�
�S  2.1  0

�

[1;�)

Xét : y  g ( x) , x �[1; �)
Ta có bảng biến thiên:

�
m 1  0
�
�
� 2
2m  7 m  4 �0
�
�
�
m 1  0
�
�
� 2
��
2 m  7 m  4  0
�
�
�
�
3m �0
�
�
�m  2

�
0
�
�m  1
�
� 1
m�
�
2
��
1
�
0 �m 
�
2

۳�
y ' �
0, x (1; )
۳ �
m �
g ( x), x (1; )
۳ m Max g ( x )

x
g’(x
)
g(x)

1

-

�

3
0

+

0

-1
-4

Từ bảng biến thiên ta được : m �0
Kết luận : m �0 thì hàm số (1) đồng biến
trong khoảng (1; �)

۳ m 0

Kết luận : m �0 thì hàm số (1)
đồng biến trong khoảng (1; �)
c) Hàm số đồng biến trong khoảng c) Hàm số đồng biến trong khoảng (1;1)
(1;1)
۳�
f (x)

0, x ( 1;1)

۳�

y '  0, x ( 1;1)
۳�
m  g ( x), x ( 1;1)
۳ m Max g ( x )
[ 1;1]

Xét : y  g ( x) , x �[1;1].
Ta có bảng biến thiên:
x
g’(x
)
g(x)

-1
+

0
0
1
2

4
11

1
-


0

�
�
a0
�
�
�
�
 ' �0
�
�
a0
�
�
�
�
�f (1) �0
��
�
�
�
�
�
S  2( 1)  0
��
�
��
��
�
�f (1) �0
��

�
�
��
S  2.1  0
�
��
�
'  0
�
�
�
a0
�
�
�
�
�f (1) �0
�
�f (1) �0
�
�
�

1
2

Từ bảng biến thiên ta được : m �
1
2
trong khoảng (1;1)

Kết luận : m � thì hàm số (1) đồng biến

�
�m  1  0
�
�
� 2
�
2m  7 m  4 �0
�
�
� 2m 2  7 m  4  0
�
�
�
�
3m 0
�
�
�
�
�
�
�
�m  2
�
�
�
�m  1  0

�
��
�
� �
۳ m
��
11
m

4
�
0
�
�
��
�
�
�
�m
�
0
�
�
�
�
�m  1
�
�
�
�

m 1  0
�
�
�
m 1  0
�
�
�
�
3m �0
�
�
�
11m  4 �0
�
�

Kết luận :

1
m�
2

1
2

thì hàm số (1)

đồng biến trong khoảng (1;1)

*Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a �0)
a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên (�;  ) .
b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ; �) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến trên ( ;  ) .
Lời giải đã thực hiện
Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
Txđ: D = R
y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c

a)Hàm số (1) nghịch biến trong
khoảng (�;  )
ۣ
ۣ
�f(�
x) 0, x ( ;  )
�
a0
�
�
�
 �0
�
�
�
a0
�
��
�

0
�
�
�
� f ( ) �0
�
�
�
�
�S  2  0
�

b) Hàm số (1) nghịch biến trong
khoảng ( ; �)
ۣ
ۣ
�f(�
x) 0, x ( ; )
�
a0
�
�
�
 �0
�
�
�
a0
�
��

�
0
�
�
�
� f ( ) �0
�
�
�
�
�S  2  0
�

c) Hàm số(1) nghịch biến trong
khoảng ( ;  )

ۣۣ
�f ( x) 0, x ( ;  )

y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c
TH1: Nếu bpt: f ( x) �0

g ( x) h(m) (*)

a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng
(�;  )
۳�
h( m
�
) g ( x), x ( ;  )

۳ h ( m)

Max g ( x)

( �; ]

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ; �)
۳�
h( m
�
) g ( x), x ( ; )
۳ h ( m)

Max g ( x)

[ ;�)

c) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ;  )
۳�
h(m) g ( x), x ( ;  )
۳ h ( m)

Max g ( x)
[ ;  ]

TH2: Nếu bpt: f ( x) �0 không đưa được về
dạng (*) thì ta đặt : t = x - 
Khi đó ta có:

y '  g (t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c
.
a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng
(�;  )


 g (t )

�
�
a0
�
�
�
�
 �0
�
�
a0
�
�
�
�
�f ( ) 0
��
�
�
�
�
�

S  2  0
��
�
��
��
�
�f (  ) �0
��
�
�
��
S  2  0
�
��
�
0
�
�
�
a0
�
�
�
�
�f ( ) �0
�
�f (  ) �0
�
�
�

0, t  0

�
a0
�
�
�
 �0
�
�
�
a0
�
��
�
0
�
�
�
�
�S  0
�
�
�
�P �0
�

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ; �)

 g (t )

0, t  0

�
a0
�
�
�
 �0
�
�
�
a0
�
��
�
0
�
�
�
�
�S  0
�
�
�
�P �0
�

*Ví dụ 2: Cho hàm số : y =

1 2
m  1 x 3   m  1 x 2  2 x  1 (1)

3
(m ��1)

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1):
a) Nghịch biến trên khoảng (�; 2) .
b) Nghịch biến trên khoảng (2; �) .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ : D = R
Txđ : D = R
y’ = f(x) = (m 2  1) x 2  2( m  1) x  2
y’ = f(x) = (m 2  1) x 2  2( m  1) x  2
a)Hàm số (1) nghịch biến trong
Đặt t = x – 2 ta được :
y’ = g(t) =
khoảng (�; 2)

ۣۣ
�f(�
x) 0, x (
�
a0
�
�
�
 ' �0

�
�
�
a0
�
��
�
'  0
�
�
�
� f (2) �0
�
�
�
�
�S  2.2  0
�

; 2)

(m 2  1)t 2  (4m2  2m  6) t  4m2  4m  10

a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(�; 2)


�
�
m2  1  0

�
�
� 2
3m  2m  1 �0
�
�
� 2
�
m 1  0
�
� 2
��
3m  2m  1  0
�
�
� 2
�
�
4m  4m  10 �0
�
�
�4m  6  0
�
�
� m 1
�
1

m 1
3

1
�m  1 thì hàm số
Kết luận: Với
3

(1)

nghịch

(�; 2)

biến

trong

 g (t )

�
a0
�
�
�
 �0
�
�
�
a0
�
0, t  0 � �
�

0
�
�
�
�
�S  0
�
�
�
�P �0
�

�
�
m2  1  0
�
�
� 2
3m  2m  1 �0
�
�
� 2
�
m 1  0
�
� 2
��
3m  2m  1  0
�
�

� 2
�
�
4m  4m  10 �0
khoảng
�
�
�2m  3  0
�
�
� m 1
�
1

ۣ
m 1
3
1
�m  1 thì hàm số (1)
Kết luận: Với
3
nghịch biến trong khoảng (�; 2)

b)Hàm số (1) nghịch biến trong b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; �) (2; �)
khoảng

ۣۣ
�f(�
x) 0, x (2;

�
a0
�
�
�
 ' �0
�
�
�
a0
�
��
�
'  0
�
�
�
�
�f (2) �0
�
�
�
�S  2.2  0
�
�
�
m2  1  0
�
�

� 2
3m  2m  1 �0
�
�
� 2
�
m 1  0
�
�
� �3m 2  2m  1  0
�
�
� 2
�
�
4m  4m  10 �0
�
�
�4m  6  0
�
�
� m 1
�

)

�
a0
�
�

�
 �0
�
�
�
a0
�
 g (t ) 0, t  0 � �
�
0
�
�
�
�
�S  0
�
�
�
�P �0
�
�
�
m2  1  0
�
�
� 2
3m  2m  1 �0
�
�
� 2

�
m 1  0
�
�
� �3m 2  2m  1  0
�
�
� 2
�
�
4m  4m  10 �0
�
�
�2m  3  0
�
�
� m 1
�
� 1  m  1


� 1  m  1
Kết luận: Với 1  m  1 thì hàm số (1)
Kết luận: Với 1  m  1 thì hàm số nghịch biến trong khoảng (2; �)
(1) nghịch biến trong khoảng
(2; �)

ax 2  bx  c
*Bài toán 3: Cho hàm số : y 
(2), ( a, d �0) .

dx  e
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên (�;  ) .
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ; �) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên ( ;  ) .
Lời giải đã thực hiện
Lời giải đề nghị
�e �
�d
2
adx  2aex  be  dc

Txđ: D  R \ � �
y'

 dx  e 

2

�e �
�d
2
adx  2aex  be  dc

Txđ: D  R \ � �


f ( x)

 dx  e 

2

y'

 dx  e 

2



f ( x)

 dx  e 

2

0
g ( x) h(m) (*)
a) Hàm số (2) đồng biến trong TH1: Nếu: f ( x) �۳
khoảng (�;  )
a) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
۳�
y ' �
0, x ( ;  )
(�;  )
�e
� �
� �d
�
�f ( x) �0, x   ( I )

�
�ad  0
�
�
� �0
�
�
�ad  0
(I ) � �
�  0
�
�
�
�
�f ( ) �0
�
�
�
�S  2  0
�

�e
� �
� �d
�
�g ( x) �h( m), x  
�e
� �
� �d
h(m) �Min g ( x)

�
( �; ]
�

b)Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
( ; �)
�e
� �
� �d
�
�g ( x) �h( m), x  
�e
� �
� �d
h(m) �Min g ( x)
�
[ ;�)
�


c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
( ;  )
�e
� �  ;  
� �d
�
�g ( x) �h(m), x �( ;  )
�e
� �  ;  
� �d

h(m) �Min g ( x )
�
[ ;  ]
�
b) Hàm số (2) đồng biến trong TH2: Nếu bpt: f ( x) �0 không đưa được về
khoảng ( ; �)
dạng (*) thì ta đặt : t = x - 
۳�
y ' �
0, x ( ; )
Khi đó bpt: f ( x) �0 trở thành : g (t ) �0 ,
�e
� �
� �d
�
�f ( x) �0, x   ( I )
�
ad  0
�
�
�
 �0
�
�
�
ad  0
�
( II ) � �
�
0

�
�
�
�
�f ( ) �0
�
�
�
�S  2  0
�

với:
g (t )  adt 2  2a (d  e)t  ad 2  2ae  be  dc

a) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
(�;  )
�e
� �
� �d
�
�g (t ) �0, t  0 (**)
�
a0
�
�
�
 �0
�
�
�

a0
�
(**) � �
�
0
�
�
�
�
�S  0
�
�
�
�P �0
�

c) Hàm số (2) đồng biến trong b)Hàm số (2) đồng biến trong khoảng
( ; �)
khoảng ( ;  )
۳�
y ' 0, x ( ;  )
�e
� �
� �d
�e
� �( ;  )
�
� �d
�
�f ( x ) �0, x �( ;  ) ( III )

�g (t ) �0, t  0 (***)
�
a0
�
�
�
 �0
�
�
�
a0
�
(***) � �
�
0
�
�
�
�
�S  0
�
�
�
�P �0
�


�
�

ad  0
�
�
�
�
 �0
�
�
ad  0
�
�
�
�
�f ( ) 0
��
�
�
�
�
�
S  2  0
��
�
(III) � �
��
�
�f (  ) �0
��
�
�

��
S  2  0
�
��
�
0
�
�
�
ad  0
�
�
�
�
�f ( ) �0
�
�f (  ) �0
�
�
�

2 x 2  3x  m
*Ví dụ 3: Cho hàm số: y 
(2).
x 1

a)Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (2) đồng biến trên (�; 1) .
b)Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (2) đồng biến trên (2; �) .
c)Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (2) đồng biến trên (1; 2) .
Lời giải đã thực hiện

Lời giải đề nghị


Txđ : D = R
y'

2x  4x  3  m
f ( x)

.
2
( x  1)
( x  1) 2
2

a)Hàm số (2) đồng biến trên (�; 1)
۳�
y ' �
0, x ( ; 1)
۳ f ( x) 0, x  1

�
a0
�
�
�
 ' �0
�
�

�
a0
�
��
�
'  0
�
�
�
�
�f (1) �0
�
�
�
�S  2( 1)  0
�
m �1
�
�
��
m 1
ۣ m 9
�
�
�
9  m �0
�
�
Kết luận: Vậy m �9 thì hàm số (2)
đồng biến trên (�; 1)

Txđ : D = R


b)Hàm số (2) đồng biến trên (2; �)
۳�
y ' �
0, x (2;
۳ f ( x) 0, x  2

)

�
a0
�
�
�
 ' �0
�
�
m �1
�
�
a0
�
�
��
��
m 1
ۣ m 3

�
�
'  0
�
�
�
�
3  m �0
�
�
�
�
f
(2)
�
0
�
�
�
�
�S  2.2  0
�
Kết luận: Vậy m �3 thì hàm số (2)
đồng biến trên (2; �)

c)Hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)
۳�
y ' 0, x (1; 2)
۳�
f ( x) 0, x (1; 2)

2x2  4 x  3  m
f ( x)

.
2
( x  1)
( x  1) 2
�0
m 2 x2 4x 3
Ta có: f ( x) 
g ( x)  2 x 2  4 x  3
Đặt :
� g '( x)  4 x  4
a)Hàm số (2) đồng biến trên (�; 1)
۳�
y ' �
0, x ( ; 1)
 m Min g ( x)
y'

( �; 1]

Ta có bảng biến thiên của hàm số:
g ( x), x �( �; 1]
�
x

g’(x
)

-1

-

g(x) �
 ' �0
m �1
�
�
�
�
'  0
m 1
9
�
�
�
�
�
�
m
�
9
Kết luận: Vậy
thì hàm số (2) đồng
��
��
1  m �0
��f (1) 0 � �
��

��
(�; 1)
�
�
biến
trên
��
��
�
�
��
��
�S  2.1  0
�0  0
�
�
�� f (2) �0
��3  m �0
�
�
b)Hàm số (2) đồng biến trên (2; �)
�
�
��
��
�
�
�
�
�

�
S

2.2

0

2

0
۳�
y ' �
0, x (2; )
�
�
��
��
�
�
 m Min g ( x)
 m 1
[2; �)
Kết luận: Vậy m �1 thì hàm số (2) Ta có bảng biến thiên của hàm số:
đồng biến trên (1; 2)
g ( x), x �[2; �)
�
x
2
g’(x
)

g(x)
+

�

3
Kết luận: Vậy m �3 thì hàm số (2) đồng
biến trên (2; �)
c) Hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)
۳�
y ' 0, x (1; 2)
 m Min g ( x)
[1;2]

Ta có bảng biến thiên của hàm số:


*Bài toán 4: Cho hàm số : y 

ax 2  bx  c
(2), (a, d �0) .
dx  e

a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên (�;  ) .
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ; �) .
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên ( ;  ) .
Lời giải đã thực hiện
Lời giải đề nghị
�e �
�d

adx 2  2aex  be  dc

Txđ: D  R \ � �
y'

 dx  e 

2

�e �
�d
adx 2  2aex  be  dc

Txđ: D  R \ � �


f ( x)

 dx  e 

2

y'

 dx  e 

2



f ( x)

 dx  e 

2

a)Hàm số (2) nghịch biến trong
khoảng (�;  )
ۣ
ۣ
�y' �0, x ( ;  )

0
g ( x) h(m) (*)
TH1: Nếu: f ( x) �۳
a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng
(�;  )

�e
� �
� �d
�
�f ( x) �0, x   ( I )

�e
� �
� �d
�
�g ( x) �h( m), x  
�e

� �
� �d
h(m) �Min g ( x)
�
( �; ]
�

�
�ad  0
�
�
� �0
�
�
�ad  0
(I ) � �
�  0
�
�
�
�
�f ( ) �0
�
�
�
�S  2  0
�

b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng
( ; �)

�e
�e
� �
� �
� �d
� �d
h(m) �Min g ( x )
�
�
�g ( x) �h( m), x  
[ ;�)
�


c) Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng
( ;  )
�e
� �  ;  
� �d
�
�g ( x) �h(m), x �( ;  )

b)Hàm số (2) nghịch biến trong
khoảng ( ; �)
ۣ
ۣ
�y' �0, x ( ; )

�e
� �  ;  

� �d
h(m) �Min g ( x )
�
[ ;  ]
�
TH2: Nếu bpt: f ( x) �0 không đưa được về
dạng (i) thì ta đặt : t = x - 
Khi đó bpt: f ( x) �0 trở thành : g (t ) �0 ,

�e
� �
� �d
�
�f ( x) �0, x   ( I )
�
ad  0
�
�
�
 �0
�
�
�
ad  0
�
( II ) � �
�
0
�
�

�
�
�f ( ) �0
�
�
�
�S  2  0
�

với:

c) Hàm số (2) nghịch biến trong
khoảng ( ;  )
ۣ
ۣ�y ' 0, x ( ;  )

b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng
( ; �)

�e
� �( ;  )
� �d
�
�f ( x ) �0, x �( ;  ) ( III )

g (t )  adt 2  2a (d  e)t  ad 2  2ae  be  dc

a )Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng
(�;  )
�

a0
�
�
�
 �0
�
�
�e
�
a0
� �
�
� �d
(**) � �
�
0
�
�
�
�g (t ) �0, t  0 (**)
�
�
�S  0
�
�
�
�P �0
�

�e

� �
� �d
�
�g (t ) �0, t  0 (***)


�
a0
�
�
�
 �0
�
�
�
a0
�
(***) � �
�
0
�
�
�
�
�S  0
�
�
�
�P �0
�

�
�
ad  0
�
�
�
�
 �0
�
�
ad  0
�
�
�
�
�f ( ) 0
��
�
�
�
�
�
S  2  0
��
�
(III) � �
��
�
�f (  ) �0

��
�
�
��
S  2  0
�
��
�
0
�
�
�
ad  0
�
�
�
�
�f ( ) �0
�
�f (  ) �0
�
�
�

*Ví dụ 4: Cho hàm số: y 

x 2  2mx  3m2
(2).
2m  x

a)Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (2) nghịch biến trên (�;1) .
b)Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (2) nghịch biến trên (1; �) .
Lời giải đã thực hiện
Lời giải đề nghị
Txđ : D = R\{2m}
Txđ : D = R\{2m}
y'

 x 2  4mx  m 2
f ( x)

.
2
( x  2m )
( x  2m) 2

a) Hàm số (2) nghịch biến trên
(�;1)
ۣ
ۣ
�y' �0, x (

;1)

2m  1
�
��
�f ( x ) �0, x  1 ( I )
'  0
�

�
� '  0
(I ) � �
�
�
�f (1) �0
�
�S  2.1  0
�
�
m0
�
�
m �0
m0
�
�
��
�
�
�
2
�
 m  4m  1 �0
m �2  3
�
�
�
�
4m  2  0

�
�
�

y'

 x 2  4mx  m2
f ( x)

.
2
( x  2m)
( x  2m ) 2

Đặt : t = x-1
Khi đó bpt: f ( x) �0 trở thành :
g (t )  t 2  2(1  2m)t  m 2  4m  1 �0
a) Hàm số (2) nghịch biến trên (�;1)
ۣ
ۣ
�y' �0, x ( ;1)
2m  1
�
��
�g (t ) �0, t  0 (*)
m0
�
'  0
�
�

�
�
'  0
m �0
�
(*) � �
��
�
�
�
�
4m  2  0
�S  0
�
�
�
�P �0
�
m 2  4m  1 �0
�
�
�
�
�
m0
�
��
m �2  3
�

Kết luận: Với m �2  3 thì hàm số (2)
Kết luận: Với m �2  3 thì hàm số nghịch biến trên (�;1)
(2) nghịch biến trên (�;1)

b)Hàm số (2) nghịch biến trên (1; �)
ۣ
ۣ
�y' �0, x (1;

)

2m  1
�
��
�f ( x ) �0, x  1 ( II )
'  0
�
�
'  0
�
( II ) � �
�
�
�f (1) �0
�
�S  2.1  0
�
�
m0

�
�
m �0
�
��
�
 m 2 3
�
 m 2  4m  1 �0
�
�
�
4m  2  0
�
�
�

b)Hàm số (2) nghịch biến trên (1; �)
ۣ
ۣ
�y' �0, x (1;

)

2m  1
�
��
�g (t ) �0, t  0 (**)
'  0
�

�
� '  0
(**) � �
�
�
�S  0
�
�P �0
�
�
m0
�
�
�
m �0
��
 m 2 3
�
�
4m  2  0
�
�
�
m 2  4m  1 �0
�
�
�

Kết luận: Với m �2  3 thì hàm số Kết luận: Với m �2  3 thì hàm số (2)
(2) nghịch biến trên (1; �)

nghịch biến trên (1; �)
*Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a �0).
Tìm điều kiện để hàm số (1) :
a) Có cực trị trong (�;  ) .
b) Có cực trị trong ( ; �) .
c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1    x2 .
d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  x2   .
e) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn :   x1  x2 .
Lời giải đã thực hiện
Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
Txđ: D = R
y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c

a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(�;  )
� f ( x )  0 có nghiệm trong khoảng
(�;  ) .

y '  f ( x)  3ax 2  2bx  c

dạng (i) thì ta đặt : t = x -  khi đó :
y '  g (t )  3at 2  2(3a  b)t  3a 2  2b  c .
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(�;  )


af ( )  0
�
�

 ' �0
�
��
�
�
af ( ) �0
�
�
�S  2  0
�
�

� f ( x )  0 có nghiệm trong khoảng
(�;  ) .
� g (t )  0 có nghiệm: t < 0

b) Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
( ; �)
� f ( x )  0 có nghiệm trong khoảng
( ; �) .
af ( )  0
�

b) Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
( ; �)
� f ( x )  0 có nghiệm trong khoảng
( ; �) .
� g (t )  0 có nghiệm: t > 0

�

 ' �0
�
��
�
�
af ( ) �0
�
�
�S  2  0
�
�

P0
�
�
 ' �0
�
��
�
�
�S  0
�
�P �0
�
�

P0
�
�
 ' �0

�
��
�
�
�S  0
�
�P �0
�
�

c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
x1    x2 .
mãn: x1    x2 .
� f ( x )  0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa � g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
mãn: x1    x2 � af ( )  0
thỏa mãn : t1  0  t2
� P0

d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2
thỏa mãn: x1  x2  
� f ( x )  0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa
mãn: x1  x2  
'  0
�
�
��
af ( )  0
�S  2  0
�

d) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
x1  x2   .
� g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
thỏa mãn : t1  t2  0
'  0
�
�
� �S  0
�P  0
�


e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2
thỏa mãn:   x1  x2
� f ( x )  0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa
mãn:   x1  x2
'  0
�
�
��
af ( )  0
�S  2  0
�

e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
  x1  x2
� g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
thỏa mãn : 0  t1  t2
'  0
�

�
� �S  0
�P  0
�

1 3
x  mx 2  (m2  m  1) x  1 (1).
3
Tìm điều kiện để hàm số (1):
a) Có cực trị trong (�;1) .
b) Có cực trị trong (1; �) .
c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  1  x2 .
d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  x2  1 .
e) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : 1  x1  x2 .
Lời giải đã thực hiện
Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
Txđ: D = R
2
2
y’ = f(x) = x  2mx  m  m  1
y’ = f(x) = x 2  2mx  m2  m  1
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng  Đặt t  x  1 � x  t  1 ta được :

*Ví dụ 5: Cho hàm số : y =

(�;1)
y '  g (t )  t 2  2  1  m  t  m 2  3m  2
� f ( x)  0 có nghiệm trong khoảng
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng

(�;1)
(�;1)
2
�
m

3
m

2

0
� f ( x )  0 có nghiệm trong khoảng
af (1)  0
�
�
�
(�;1) .
m  1 �0
 ' �0
�
�
�
��
��
�
�
� g (t )  0 có nghiệm: t < 0
�
af (1) �0

m 2  3m  2 �0
�
�
�
�
�
m 2  3m  2  0
�S  2.1  0
P0
�
�
2
m

2

0
�
�
�
�
�
�
�
 ' �0
�
m  1 �0
�
�
� 1 m  2

� �
��
�
�2m  2  0
�
�S  0
�
�
�
�P �0
�
�
m 2  3m  2 �0
�
�
�
�
Kết luận: Với 1  m  2 thì hàm số
�1 m  2
(1) có cực trị trong khoảng (�;1)

Kết luận: Với 1  m  2 thì hàm số (1) có
cực trị trong khoảng (�;1)


b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng
(1; �)
� f ( x)  0 có nghiệm trong khoảng
(1; �)

(1; �)
� f ( x )  0 có nghiệm trong khoảng
(1; �) .
� g (t )  0 có nghiệm: t > 0

�
m 2  3m  2  0
af (1)  0
�
�
�
�
m 2  3m  2  0
P0
�
m

1
�
0

'
�
0
�
�
�
�
�
��

��
�
�2
 ' �0
�
m  1 �0
�
�
af (1) �0
m  3m  2 �0
�
�
�
� �
��
� 1 m
�
�
�
�
�
�S  2.1  0
S

0
�
2
m

2


0
�
�
2
m

2

0
�
�
�
�
�
�
�
�P �0
�
�
�
m 2  3m  2 �0
�
�
�
� 1 m
Kết luận: Với m  1 thì hàm số(1) Kết luận: Với m  1 thì hàm số(1) có cực
trị trong khoảng (1; �)
có cực trị trong khoảng (1; �)

c)Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
x1  1  x2 .
mãn: x1  1  x2 .
� f ( x)  0 có hai nghiệm x1, x2
� g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
thỏa mãn: x1  1  x2
thỏa mãn : t1  0  t2
� af (1)  0 � m 2  3m  2  0
�1 m  2
Kết luận: Với 1  m  2 thì hàm

số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn :
x1  1  x2 .
d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2
thỏa mãn: x1  x2  1
� f ( x)  0 có hai nghiệm x1, x2
thỏa mãn: x1  x2  1
'  0
�
�
��
af (1)  0
�S  2.1  0
�
m 1  0
�
�2
��
m  3m  2  0 � m ��
�

2m  2  0
�

Kết luận: Không có giá trị nào của
m thỏa mãn yêu cầu của bài toán
e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2
thỏa mãn: 1  x1  x2
� f ( x)  0 có hai nghiệm x1, x2
thỏa mãn: 1  x1  x2

� P  0 � m 2  3m  2  0
� 1 m  2
Kết luận: Với 1  m  2 thì hàm số(1) có
hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  1  x2 .

d) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn
: x1  x2  1 .
� g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
thỏa mãn : t1  t2  0
'  0
�
�
� �S  0
�P  0
�
m 1  0
�
�2
��
m  3m  2  0 � m ��

�
2m  2  0
�

Kết luận: Không có giá trị nào của m thỏa
mãn yêu cầu của bài toán
e) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
1  x1  x2 .
� g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn:
0  t1  t 2


m 1  0
�
�2
��
m  3m  2  0 � m  2
�
2m  2  0
�

'  0
�
�
��
af (1)  0
�S  2.1  0
�

'  0

�
�
� �S  0
�P  0
�

m 1  0
�
�2
��
m  3m  2  0 � m  2
�
2m  2  0
�

Kết luận: Với m  2 thì hàm số (1) có hai
cực trị x1, x2 thỏa mãn : 1  x1  x2 .

Kết luận: Với m  2 thì hàm số (1)
có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn :
1  x1  x2 .

ax 2  bx  c
*Bài toán 6: Cho hàm số : y 
(2), (a, d �0) .
dx  e
Tìm điều kiện để hàm số (2):
a) Có cực trị trong (�;  ) .
b) Có cực trị trong ( ; �) .
c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1    x2 .

d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1  x2   .

Lời giải đã thực hiện

Lời giải đề nghị


�e �
�d
2
adx  2aex  be  dc

Txđ: D  R \ � �
y'

 dx  e 

2

�e �
�d
2
adx  2aex  be  dc

Txđ: D  R \ � �


f ( x)

 dx  e 

2

y'

 dx  e 

2



f ( x)

 dx  e 

2

a)Hàm số (2) có cực trị trong ta đặt : t = x - 
g (t )
khoảng (�;  ) khi và chỉ khi:
y'
2
Khi
đó
:
Phương trình f ( x)  0 có nghiệm
 dt  d  e  , với :
trong
khoảng (�;  ) (I)
và g (t )  adt 2  2a(d  e)t  ad 2  2ae  be  dc

e
f ( ) �0 .
a) Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
d
(�;  ) khi và chỉ khi :
af ( )  0
�
Phương trình g (t )  0 có nghiệm t < 0 (*)
�
 ' �0
�
af ( ) �0
�
�
�S  2  0
�
�

(I) � �
�
�

e
  ) �0 .
d
P0
�
�
� ' �0
(*) � �

�
�
�S  0
�
�P �0
�
�

và g (

b)Hàm số(2) có cực trị trong khoảng b)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng
( ; �) khi và chỉ khi:
( ; �) khi và chỉ khi :
phương trình f ( x)  0 có nghiệm
phương trình g (t )  0 có nghiệm t > 0 (**)
e
trong khoảng ( ; �) (II) và
và g (   ) �0 .
e
d
f ( ) �0 .
d

af ( )  0
�
�
 ' �0
�
( II ) � �
�

�
af ( ) �0
�
�
�S  2  0
�
�

P0
�
�
 ' �0
�
(**) � �
�
�
�S  0
�
�P �0
�
�

c)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa c) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn:
x1    x2 khi và chỉ khi:
mãn: x1    x2
khi và chỉ khi:
phương trình g (t )  0 có hai nghiệm t1,t2
f
(
x

)

0
phương trình
có hai nghiệm thỏa mãn : t1  0  t2 (***)
x1, x2 thỏa mãn : x1    x2
e
g (   ) �0 .
và
e
d
(III) và f ( ) �0 .
(***) � P  0
d
(III) � af ( )  0