Một số biện pháp tích cực giúp học sinh tiếp thu tốt tổ hợp xác suất trong nhà trường trung học phổ thông

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số ( do Thường trực Hội đồng ghi)………………………………………..…
1. Tên sáng kiến:
“Một số biện pháp tích cực giúp học sinh tiếp thu tốt tổ hợp xác suất trong nhà
trường Trung học phổ thông”.
(Đào Thị Thanh Xuân, @THPT Chê Guê-va-ra)

2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Toán học.
3. Mô tả bản chất của sáng kiến:
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết:
- Về thực trạng của vấn đề:
Các em học sinh chỉ giải được các kiểu bài tập quen thuộc, chưa vận dụng linh hoạt
các kiến thức đã học vào tình huống cụ thể.
Các em học sinh gặp nhiều lúng túng trong khâu đọc đề và giải quyết vấn đề. Do đó
dễ dẫn đến bài làm không chính xác.
Các em học sinh thường nhầm lẫn giữa kí hiệu và khái niệm được định nghĩa.
Các em học sinh chưa có cái nhìn bao quát về toán tổ hợp xác suất để giải được bài
tập sách giáo khoa đồng thời nâng cao một số bài tập mới đáp ứng chương trình thi tốt
nghiệp THPT Quốc gia sau này.
- Về nguyên nhân thực trạng:

1


Các kí hiệu, khái niệm và công thức trong chương này hoàn toàn mới so với học
sinh. Các khái niệm được trình bày dưới dạng mô tả làm cho các em khó hình dung, khó
phân biệt và khó nhớ.

Các em học sinh chưa nắm vững các kiến thức theo chuẩn kiến thức kĩ năng.
Đề bài tập phần lớn cho dưới dạng mô tả, cách thức suy luận khác với đại số từ
trước đến nay làm cho học sinh dễ nhầm lẫn trong khâu đọc đề và phân tích bài toán.
- Giới hạn nghiên cứu của đề tài: Đề tài tập trung nghiên cứu các kiến thức cơ bản
về tổ hợp và xác suất trong chương trình SGK lớp 11 cơ bản ở trường THPT.
3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
- Mục đích của giải pháp:
Giúp học sinh:
+Nắm vững các kí hiệu, khái niệm, công thức tổ hợp xác suất đồng thời hệ thống lại
nội dung chương trình nhằm giải quyết tốt các bài toán SGK cũng như hướng tới kì thi tốt
nghiệp THPT Quốc gia.
+Giải được các bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau giúp các em linh hoạt
hơn trong việc lựa chọn phương pháp tối ưu.
+Chỉ ra các sai lầm thường mắc phải giúp các em hiểu rõ vấn đề hơn, triển khai ý
bài toán không sai lệch.
- Nội dung giải pháp:

2


PHẦN 1: Trước hết cần tóm tắt nội dung chính của chương Tổ hợp – Xác suất:
* Quy tắc đếm:
+ Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động.
Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng
với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
+ Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu
hành động thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện
hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.
Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.

* Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp:
+ Hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1 ).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị
của n phần tử đó.
Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn , ta có công thức:
Pn = n( n − 1)( n − 2)...3.2.1 = n !
3


+ Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1 ).
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp
chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã
cho.
k
Kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là An , ta có công thức:

Ank = n( n − 1)( n − 2)...( n − k + 1) =

n!
(n − k )!

Chú ý: Quy ước 0! = 1
+ Tổ hợp: Giả sử tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1 ). Mỗi tập con gồm k phần tử
của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
k
Kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là Cn , ta có công thức:

Cnk =

n!

k !( n − k )!

Cn0 = Cnn = 1

Chú ý:

Cnk = Cnn − k
Cnk + Cnk +1 = Cnk++11

* Nhị thức Niu-tơn:
(a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + ... + Cnk a n −k b k + ... + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n

Chú ý:
Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n
Cn0 − Cn1 + Cn2 + ... + (−1) k Cnk + ... + (−1) n Cnn = 0

* Phép thử và biến cố:
+ Phép thử: Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết
quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
4


+ Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi
là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω .
+ Biến cố: là một tập con của không gian mẫu.
+ Biến cố đối: Tập

W\ A

được gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là A .

+ Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A ∩ B = ∅
* Xác suất của biến cố:
+ Xác suất của biến cố: Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với
không gian mẫu Ω chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.
Xác suất của biến cố A kí hiệu là P( A) và P( A) =

n( A)
.
n (Ω )

+ Tính chất của xác suất: Giả sử A và B là các biến cố. Ta có:
0 ≤ P ( A) ≤ 1
P (∅) = 0, P(Ω) = 1
P ( A) = 1 − P ( A)

Nếu A ∩ B = ∅ thì ta có công thức cộng xác suất:
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )

Nếu A, B là hai biến cố bất kì thì P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
+ Biến cố độc lập: A, B độc lập ⇔ P( A.B) = P( A).P( B) ( công thức nhân xác suất )
PHẦN 2:
Sau đây là một số biện pháp tôi thường dùng khi giảng dạy chương này.
* Hoạt động hình thành kiến thức dựa vào hình ảnh trực quan, bài toán thực
tế.
Ví dụ 1: Hoạt động hình thành khái niệm Tổ hợp:
Cho mỗi học sinh trả lời bằng phiếu học tập.

5

Mai có năm hoa hồng được đánh số từ 1 đến 5, ba hoa cúc được đánh số từ 6 đến 8, năm
hoa tulíp được đánh số từ 9 đến 13.

Nhân ngày 8 – 3, Mai định làm một bó hoa gồm 3 bông hoa bất kì để tặng mẹ.

- Các em hãy chỉ ra ba cách chọn giúp Mai làm thành một bó hoa.
- Trong mỗi cách chọn, nếu chúng ta thay đổi vị trí của các bông hoa thì có tạo thành
một bó hoa mới không?
Ví dụ 2: Hoạt động hình thành khái niệm Xác suất của biến cố:
Cho học sinh hoạt động nhóm 2 em.
Bài toán: Cha của An mua vé số tỉnh Hậu Giang có 6 chữ số.

6


Cơ cấu giải thưởng như sau:

Hỏi: - Khả năng cha An trúng giải đặc biệt là bao nhiêu?
- Khả năng cha An trúng giải tám là bao nhiêu?
* Hoạt động luyện tập phải phân biệt rõ các khái niệm cũng như phán đoán
tổng quát bằng các câu hỏi trắc nghiệm:
Ví dụ 1: Một số hoạt động luyện tập khi học khái niệm Hoán vị - Chỉnh hợp –
Tổ hợp:
Sau khi học khái niệm Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp phải giúp cho học sinh phân
biệt:

7

- Khi giải bài toán phải chọn trên tập hợp A có n phần tử, ta sẽ dùng hoán vị nếu có
các dấu hiệu sau:
+ Chọn hết các phần tử của A .
+ Sắp thứ tự các phần tử.
- Khi giải bài toán phải chọn trên tập hợp A có n phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu
có các dấu hiệu sau:
+ Chỉ chọn k phần tử của A (1 ≤ k < n) .
+ Sắp thứ tự các phần tử đã chọn.
- Khi giải bài toán phải chọn trên tập hợp A có n phần tử, ta sẽ dùng tổ hợp nếu có
các dấu hiệu sau:
+ Chỉ chọn k phần tử của A (1 ≤ k < n) .
+ Không sắp thứ tự các phần tử đã chọn.
- Trắc nghiệm khách quan:
Câu 1: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi
một khác nhau?
A. 106

B. 6!

C. A5

D. C5

Lời giải:
Mỗi cách lập số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau là một hoán vị của 6 phần
tử. Số cách chọn là 6! .
Câu 2: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số
đôi một khác nhau?
3
A. 3.A6

3
B. 3.A5

3
C. 3.C5

Lời giải:
Gọi số cần lập là : x = abcd
Vì x chẵn nên có 3 cách chọn d . Ứng với mỗi cách chọn d sẽ có
A53 cách chọn a, b, c . Vậy có 3.A53 số tự nhiên cần tìm.

8

D. 3.103


Câu 3: Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số
đó, chữ số hàng ngàn lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số
hàng chục lớn hơn hàng đơn vị.
4
B. A10

A. 104

4
C. C10

D. 215

Lời giải:
Gọi x = a1a2a3a4 với 9 ≥ a1 > a2 > a3 > a4 ≥ 0 là số cần lập.
X = { 0; 1; 2; ...; 8; 9} .

Từ 10 phần tử của X ta chọn ra 4 phần tử bất kỳ thì chỉ lập được 1 số A. Nghĩa là không
có hoán vị hay mỗi kết quả là một tổ hợp chập 4 của 10.
4
Vậy có C10 số tự nhiên cần tìm.
Câu 4: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên chủ
nhiệm có bao nhiêu cách chọn ba học sinh làm ban các sự lớp?
A.6545

B.6830

C.2475

D.6554

Lời giải:
Số cách chọn ban cán sự: C = 6545
3
35

Câu 5: Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên chủ
nhiệm có bao nhiêu cách chọn ba học sinh làm ba nhiệm vụ lớp trưởng, lớp phó và bí thư?
A.39270

B.47599

C.14684

D.38690

Lời giải:
3
= 39270
Số cách chọn 3 học sinh làm lớp trưởng, lớp phó và bí thư là A35

Câu 6: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách?
A.46

B.69

C.48
Lời giải:
3
8

Số cách chọn 3 người bất kì là: C

Số cách chọn 3 người đều là nam là: C53
Vậy số cách chọn 3 người thỏa yêu cầu bài toán là:
C83 − C53 = 46 cách.

9

D.40

Câu 7: Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS
khối 11 và 5 HS khối10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có
ít nhất 1 HS được chọn?
A.41811

B.42802

C.41822

D.32023

Lời giải:
Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là:
8
8
8
C13
+ C11
+ C12
= 1947 .
8
− 1947 = 41811.
Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán: C18

Câu 8: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó ,10
câu trung bình và 15 câu dễ .Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi
đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ cả 3 câu ( khó, dễ,
trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2?
A.41811

B.42802

C.56875

D.32023

Lời giải:
Ta có các trường hợp sau
2
2
.C10
.C51
TH 1: Đề thi gồm 2 D, 2 TB, 1 K: C15
2
1
.C10
.C52
TH 2: Đề thi gồm 2 D, 1 TB, 2 K: C15
3
1
.C10
.C51
TH 3: Đề thi gồm 3 D, 1 TB, 1 K: C15
Vậy có: 56875 đề kiểm tra.

Câu 9: Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10
học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học
sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy?
7
A. C73C26

9
B. C42C19

8
8
C53C18
C. C72C26

7
9
8
8
8
9
C42C19
C53C18
C52C18
D. C73C26
+ C72C26
+ C72C26

Lời giải:
Số cách chia lớp thành 3 tổ thỏa yêu cầu có 3 trường hợp
7
* TH1: Tổ 1 có 3 nữ, 7 nam có C73C26
cách chọn
9
Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam có C42C19
cách chọn

10
= 1 cách chọn
Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam có C22C10
7
9
C42C19
Vậy có C73C26
cách chia thành 3 tổ trong TH này

10


8
8
C53C18
* TH2: Tổ 2 có 3 nữ và hai tổ còn lại có 2 nữ, tương tự tính được C72C26
cách chia.
8
9
C52C18
* TH3: Tổ 3 có 3 nữ và hai tổ còn lại có 2 nữ, tương tự tính được C72C26
cách chia.
7
9
8
8
8
9
C42C19
C53C18

C52C18
Vậy có tất cả C73C26
+ C72C26
+ C72C26
cách chia

Câu 10: Một Thầy giáo có 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Văn và 7 cuốn sách anh
văn và các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy giáo muốn tặng 6 cuốn sách cho 6 học
sinh. Hỏi Thầy giáo có bao nhiêu cách tặng nếu thầy giáo chỉ muốn tặng hai thể loại?
A.2233440

B.2573422

C.2536374

D.2631570

Lời giải:
Tặng hai thể loại Toán, Văn có : A cách
6
11

6
Tặng hai thể loại Toán, Anh Văn có : A12
cách
6
Tặng hai thể loại Văn, Anh Văn có : A13
cách
6
6

6
+ A12
+ A13
= 2233440
Số cách tặng: A11

Ví dụ 2: Một số hoạt động luyện tập khi học khái niệm Xác suất:
Sau khi học khái niệm Xác suất phải giúp cho học sinh phân biệt:
- Phép thử xác định được số phần tử của không gian mẫu ta tính xác suất theo công
thức P( A) =

n( A)
.
n (Ω )

- Phép thử không xác định được số phần tử của không gian mẫu ta có thể tính xác
suất theo các công thức:
P ( A) = 1 − P ( A)
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) ( A ∩ B = ∅)
P ( A.B ) = P ( A).P ( B ) ( A, B độc lập)

- Trắc nghiệm khách quan:
Câu 1: Gieo một con súc sắc hai lần. Số phần tử của không gian mẫu là:
A.36
B.40
C.38
D.35
Lời giải:
Ω = { (i , j )| i , j = 1,2,3,4,5,6} và n(Ω) = 36 .
Câu 2: Gieo một con súc sắc hai lần. Gọi biến cố A:“ số chấm xuất hiện ở cả hai lần

gieo giống nhau”. Số phần tử của biến cố A là:
11


A. n( A ) = 12

B. n( A ) = 8

C. n( A ) = 16

D. n( A ) = 6

Lời giải:

Ta có: A = { (1,1);(2,2);(3,3),(4;4),(5;5),(6;6)} , n( A ) = 6
Câu 3: Gieo một đồng tiền 5 lần. Số phần tử của A: “ Lần đầu tiên xuất hiện mặt
sấp” là:
A. n( A ) = 16
B. n( A ) = 18
C. n( A ) = 20
D. n( A ) = 22
Lời giải:
Kết quả của 5 lần gieo là dãy abcde với a,b,c,d, e nhận một trong hai giá trị N hoặc S.
Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp nên a chỉ nhận giá trị S; b,c,d, e nhận S hoặc N nên
n( A ) = 1.2.2.2.2 = 16 .

Câu 4: Bộ bài tú - lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tìm xác
suất của biến cố A: “Rút ra được tứ quý K”.
A. P( A ) =

1
2707

B. P( A ) =

1
20725

C. P( A ) =

1
70725

D. P(A ) =

1
270725

Lời giải:
4
= 270725
Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: C52
Suy ra n(Ω) = 270725
Vì bộ bài chỉ có 1 tứ quý K nên ta có n( A ) = 1
Vậy P( A ) =

1
.
270725

Câu 5: Trong một chiếc hộp có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi
màu vàng. Các viên bi đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất của
biến cố A: “ 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ”.
A. P( A ) =

14
285

B. P( A ) =

4
285

C. P( A ) =

14
25

Lời giải:
Gọi biến cố A :“ 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ”
3
3
Số các lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là: C20
nên ta có: n(Ω) = C20 = 1140
3
Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là n( A ) = C8 = 56
n(A )

56

14

Do đó: P( A ) = n(Ω) = 1140 = 285 .

12

D. P( A ) =

1
285


Câu 6: Trong một chiếc hộp có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi
màu vàng. Các viên bi đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất của
biến cố B: “3 viên bi lấy ra có không quá hai màu”.
A. P(B) =

3
7

B. P(B) =

43
57

C. P(B) =

4
57

D. P(B) =

3
57

Lời giải:
3
= 1140
Số các lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là: C nên ta có: n(Ω) = C20
Gọi B : “3 viên bi lấy ra có không quá hai màu”
Ta có:
• Số cách lấy 3 viên bi chỉ có một màu: C83 + C73 + C53 = 101
• Số các lấy 3 viên bi có đúng hai màu
3
20

3
3
3
Đỏ và xanh: C15 − ( C8 + C7 )
3
3
3
Đỏ và vàng: C13 − ( C8 + C5 )

Vàng và xanh: C12 − ( C5 + C7 )
Nên số cách lấy 3 viên bi có đúng hai màu:
3

(

3

3

)

3
3
3
C15
+ C13
+ C12
− 2 C83 + C73 + C53 = 759

n(B)

43

Do đó: n(B) = 860 . Vậy P(B) = n(Ω) = 57 .
Câu 7: Một bình đựng 7 viên bi trắng , 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Các viên bi đôi
một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên ba viên bi .Tính xác suất của các biến cố C: “ Lấy cả ba
viên bi không có bi đỏ”.
A. P(C) =

143
280

B. P(C) =

13
280

C. P(C) =

14
280

D. P(C) =

13
20

Lời giải:
3
= 560
Ta có: n(Ω) = C16

3
n(C) = C13
= 286 ⇒ P(C) =

143
280

Câu 8: Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi, mỗi đề thi có 5 câu. Một học sinh học
thuộc 80 câu. Tính xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên được một đề thi có 4 câu học
thuộc.
4
1

C80
+ C20
A.
5
C100

4
C80
B. 5
C100

1
C20
C. 5
C100

Lời giải:
Chọn 5 câu làm một đề n(Ω) = C

5
100

13

4
1
C80
C20
D.
5

C100


Gọi A: “Chọn được đề thi có 4 câu học thuộc”.
4
1
n( A ) = C80
C20
⇒ P( A) =

4
1
C80
C20
5
C100

Câu 9: Hai cầu thủ sút phạt đền .Mỗi người đá 1 lần với xác suất làm bàn tương
ứng là 0,8 và 0,7. Tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn.
A. 0,42

B. 0,94

C. 0,234

D. 0,9

Lời giải:
Gọi A là biến cố “cầu thủ thứ nhất làm bàn”
B là biến cố “cầu thủ thứ hai làm bàn”

X là biến cố “ít nhất 1 trong hai cầu thủ làm bàn”

(

)

Ta có: X = ( A ∩ B) ∪ A ∩ B ∪ ( A ∩ B)

⇒ P ( X ) = P(A ).P(B) + P(B).P(A ) + P(A ).P(B) = 0,94.

Câu 10: Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51 .Tìm xác suất sao cho 3
lần sinh có ít nhất 1 con trai.
A. 0,88

B. 0,23

C. 0,78

D. 0,32

Lời giải:
Gọi A là biến cố “ba lần sinh có ít nhất 1 con trai”, suy ra A là biến cố “3 lần sinh toàn
con gái”.
Gọi Bi là biến cố “lần thứ i sinh con gái” ( i = 1,2,3 )
Suy ra P(B1) = P(B2 ) = P(B3) = 0,49
Ta có: A = B1 ∩ B2 ∩ B3

( )

⇒ P ( A ) = 1− P A = 1− P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) = 1− ( 0,49) ≈ 0,88 .

3

*Hệ thống một số dạng bài tập cơ bản của tổ hợp xác suất:
Trước tiên học sinh phải nhận được dạng của bài toán.
DẠNG 1: Sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân:
Phương pháp:
Nếu công việc được hoàn thành bởi một trong các hành động thì ta dùng quy tắc
cộng. Nếu công việc được hoàn thành bởi các hành động liên tiếp thì ta dùng quy tắc
nhân.
14


BÀI 1: Chợ Bến Tre có 5 cổng ra vào. Hỏi một người đi chợ:
a) Có mấy cách vào và ra chợ?
b) Có mấy cách vào và ra chợ bằng 2 cổng khác nhau?
Giải:
a) Việc vào và ra chợ được thực hiện bởi hai hành đông liên tiếp:
- Chọn một cổng để vào chợ: có 5 cách
- Chọn một cổng để ra chợ: có 5 cách
Vậy: Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn vào và ra chợ là 5.5 = 25 cách.
b) Tương tự: Số cách chọn vào và ra chợ bằng 2 cổng khác nhau là: 5.4 = 20 cách.
Nhận xét: Học sinh phải phân biệt được hai hành động hoàn thành công việc có
liên tiếp không để áp dụng đúng quy tắc đếm.
BÀI 2: Cho tập hợp A = { 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7} . Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
phân biệt thuộc tập hợp A:
a) Là số chẵn?
b) Là số có một trong 3 chữ số đầu bằng 1?
Giải:
Gọi abcde là số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt thuộc tập hợp A.
a) abcde là số chẵn.

TH1: e = 0
e có 1 cách chọn
a có 7 cách chọn (a ≠ 0)
b có 6 cách chọn (b ≠ a, e)

c có 5 cách chọn (c ≠ a, b, e)
d có 4 cách chọn (d ≠ a, b, c, e)

15


⇒ Áp dụng quy tắc nhân, có 1.7.6.5.4 = 840 số

TH2: e ≠ 0
e có 3 cách chọn (e = 2, 4, 6)
a có 6 cách chọn (a ≠ 0, a ≠ e)
b có 6 cách chọn (b ≠ a, e)

c có 5 cách chọn (c ≠ a, b, e)
d có 4 cách chọn (d ≠ a, b, c, e)

⇒ Áp dụng quy tắc nhân, có 3.6.6.5.4 = 2160 số

Vậy, áp dụng quy tắc cộng, số các số tự nhiên cần tìm là 840 + 2160 = 3000 số
b) Tương tự câu a, ta xét a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1 , số các số tự nhiên cần tìm là
1.7.6.5.4 + 6.1.6.5.4 + 6.6.1.5.4 = 2280 số

Nhận xét: Học sinh ngoài việc nhận biết đúng quy tắc đếm còn phải biết chia
trường hợp riêng chính xác.
DẠNG 2: Sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp:

Phương pháp:
- Khi giải bài toán phải chọn trên tập hợp A có n phần tử, ta sẽ dùng hoán vị nếu có
các dấu hiệu sau:
+ Chọn hết các phần tử của A .
+ Sắp thứ tự các phần tử.
- Khi giải bài toán phải chọn trên tập hợp A có n phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu
có các dấu hiệu sau:
+ Chỉ chọn k phần tử của A (1 ≤ k < n) .
+ Sắp thứ tự các phần tử đã chọn.
- Khi giải bài toán phải chọn trên tập hợp A có n phần tử, ta sẽ dùng tổ hợp nếu có
các dấu hiệu sau:
16


+ Chỉ chọn k phần tử của A (1 ≤ k < n) .
+ Không sắp thứ tự các phần tử đã chọn.
BÀI 1: Trong không gian cho tập hợp X gồm 10 điểm phân biệt được kí hiệu A, B,
C, D, E, F, G, H, I, J trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các điểm này lên môt đường thẳng?
b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các điểm này lên môt đường tròn?
c) Hỏi có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành?
d) Hỏi có bao nhiêu véctơ được tạo thành?
e) Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
Giải:
a) Mỗi cách sắp xếp các điểm này lên môt đường thẳng là một hoán vị của 10 phần
tử. Số cách sắp xếp là: P10 = 10! = 3628800 cách
b) Cố định một điểm bất kì trên đường tròn. Mỗi cách sắp xếp các điểm còn lại lên
một đường tròn là một hoán vị của 9 phần tử. Số cách sắp xếp là: 1.P9 = 9! = 362880 cách
c) Mỗi đường thẳng được tạo thành là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử. Số cách
2

sắp xếp là: C10 = 45 cách

d) Mỗi một véctơ được tạo thành là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử. Số cách
2
sắp xếp là: A10 = 90 cách

e) Mỗi một tam giác được tạo thành là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử. Số cách
3
sắp xếp là: C10 = 120 cách

Nhận xét: Học sinh phải phân biệt được khi nào dùng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
BÀI 2: Một nhóm học sinh có 10 nam và 3 nữ. Cần chọn một tổ học tập gồm 5
người. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách chọn?
17


b) Có bao nhiêu cách chọn sao cho 1 nam làm tổ trưởng, 1 nữ làm tổ phó và 3 tổ
viên nam?
Giải:
a) Mỗi cách chọn một tổ học tập gồm 5 người là một tổ hợp chập 5 của 13 phần tử.
Số cách chọn là: C135 = 1287 cách
b) Mỗi cách chọn theo yêu cầu đề bài gồm 3 bước liên tiếp:
1
Chọn tổ trưởng: có C10 cách

Chọn tổ phó: có C31 cách
3
Chọn tổ viên: có C9 cách

Vậy: số cách chọn theo yêu cầu đề bài là C101 .C31.C93 = 2520 cách.
Nhận xét: Học sinh ngoài việc phân biệt đúng yếu tố được dùng là tổ hợp còn phải
xác định đúng các bước chọn trong bài.
DẠNG 3: Tìm hệ số của một lũy thừa trong khai triển nhị thức (a + b) n
Phương pháp:
n

n
k n−k k
- Đưa khai triển nhị thức về dạng (a + b) = ∑ Cn a b
k =0

- Xác định k bằng cách giải phương trình
- Tính hệ số theo yêu cầu đề bài.
6

2

BÀI 1: Cho biểu thức  3 x − 2 ÷ ( x ≠ 0) .
x 


a) Tìm hệ số của x 3 trong khai triển trên.
b) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển trên.
Giải:

18


6

a)

6
6
2
2 k

k
6−k
3
x
−
=
C
(3
x
)
(
−
)
=
36− k .(−2) k C6k x 6−3k
∑
∑
6

2 ÷
2
x  k =0

x

k =0

Theo yêu cầu đề bài ⇒ 6 − 3k = 3 ⇔ k = 1
Vậy: hệ số chứa x 3 là 35.( −2).C61 = −2916
b) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển trên.
6

6
6
2
2 k

k
6−k
3
x
−
=
C
(3
x
)
(
−
)
=
36− k .(−2) k C6k x 6−3k
∑

∑
6

2 ÷
2
x  k =0
x

k =0

Theo yêu cầu đề bài ⇒ 6 − 3k = 0 ⇔ k = 2
Vậy: số hạng không chứa x là 34.(−2) 2 C62 = 4860
k n−k k
Nhận xét: Học sinh phải nắm bắt được công thức số hạng tổng quát Cn a b ,

nhận diện được a, b . Đồng thời giúp học sinh nhớ lại một số công thức về lũy thừa.
n

DẠNG 4: Tính tổng

∑C α
k =0

k
n

k

bằng khai triển Niu-tơn và cho x một giá trị thích hợp.

Phương pháp:
- Khai triển (1 + x) n .
- Dựa vào yêu cầu của đề bài cho x nhận một hay hai giá trị thích hợp.
BÀI 1: Cho n là số nguyên dương chẵn. Hãy tính:
A = Cn0 + 3Cn1 + 32 Cn2 + ... + 3n Cnn
B = Cn0 + 32 Cn2 + 34 Cn4 + ... + 3n Cnn
B = 3.Cn1 + 33 Cn3 + 35 Cn5 + ... + 3n −1 Cnn−1

Giải:
n

n
k k
Đặt f ( x) = (1 + x) = ∑ Cn x
k =0

19


n

n
k k
Ta có: f (3) = (1 + 3) = ∑ Cn 3 (1)
k =0

n

f ( −3) = (1 − 3) n = ∑ Cnk ( −1) k 3k

(2)

k =0

Từ (1) và (2) ta suy ra:
A = 4n
B=

4 n + 2n
2

C=

4n − 2n
2

Nhận xét: Học sinh phải chú ý dấu của hạng tử cũng như các hệ số phía trước
công thức tính tổ hợp nhằm chọn giá trị x thích hợp.
DẠNG 5: Tính xác suất của biến cố A theo định nghĩa P( A) =

n( A)
.
n (Ω )

Phương pháp:
- Đếm số phần tử của không gian mẫu.
- Đếm số phần tử của biến cố A .
- Tính xác suất của biến cố A theo công thức P( A) =

n( A)

n (Ω )

BÀI 1: Cha của An mua vé số tỉnh Hậu Giang có 6 chữ số. Biết điều lệ giải thưởng như
sau:
- Giải đặc biệt có 6 chữ số.
- Giải phụ đặc biệt cho các vé chỉ sai một chữ số ở hàng trăm ngàn so với giải đặc
biệt.
- Giải khuyến khích cho các vé chỉ sai một chữ số ở bất cứ hàng nào so với giải
đặc biệt (Ngoại trừ sai một chữ số ở hàng trăm ngàn)
Tính xác suất để cha An trúng:
20


a) Giải đặc biệt.
b) Giải phụ đặc biệt.
c) Giải khuyến khích.
Giải:
Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = 106
a) Gọi A: “Cha An trúng giải đặc biệt”
n( A) = 1 ⇒ P ( A) =

n( A)
1
= 6 = 0, 000001
n(Ω) 10

b) Gọi B: “Cha An trúng giải phụ đặc biệt”
n( B ) = 9 ⇒ P ( B ) =

n( B )

9
= 6 = 0, 000009
n(Ω) 10

c) Gọi A: “Cha An trúng giải khuyến khích”
n(C ) = 9.5 = 45 ⇒ P(C ) =

n(C ) 45
=
= 0, 000045
n(Ω) 106

Nhận xét: Ngoài việc nhớ công thức tính xác suất của biến cố học sinh phải nắm
vững quy tắc đếm; việc sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp hợp lí để xác định chính xác
số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của biến cố. Đặc biệt phải nhấn mạnh các
kết quả đồng khả năng xuất hiện.
DẠNG 6: Tính xác suất của biến cố theo tính chất
P ( A) = 1 − P ( A)
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )

A và B xung khắc ⇔ P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )
A và B độc lập ⇔ P( A.B) = P( A).P( B)
Phương pháp:
- Xác định đúng tính chất của biến cố:
21


A = Ω \ A ⇒ A, A đối nhau.
A ∩ B = ∅ ⇒ A, B xung khắc.

Việc xảy ra hoặc không xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất
của biến cố B thì ta nói hai biến cố A, B độc lập.
- Tính xác suất của biến cố A theo tính chất trên.
BÀI 1: Xác suất để một học sinh thi đỗ đại học lần đầu là 0,4. Nếu thi trượt thì học sinh
đó thi lại và xác suất thi đỗ của lần thi thứ hai là 0,75. Chọn ngẫu nhiên một học sinh.
Tính xác suất để học sinh đó:
a) Không thi đỗ lần đầu.
b) Thi đỗ.
Giải:
a) Gọi A: “Học sinh đó thi đỗ lần đầu” ⇒ P( A) = 0, 4
⇒ A : “Học sinh đó không thi đỗ lần đầu” ⇒ P ( A) = 1 − 0, 4 = 0, 6

b) Gọi B: “Học sinh đó thi đỗ lần thứ hai” ⇒ P( B) = 0, 75
C: “Học sinh đó thi đỗ”
⇒ C = A ∪ AB ⇒ P(C ) = P( A) + P ( A).P ( B ) = 0, 4 + 0, 6.0, 75 = 0,85

Nhận xét: Nắm kĩ và xác định đúng tính chất của biến cố: khi nào thì hai biến cố
xung khắc, đối nhau hay là độc lập. Phân tích cho học sinh thấy được sự giống nhau và
khác nhau giữa hai biến cố đối nhau và hai biến cố xung khắc.
*Phân tích sai lầm thường gặp trong giải toán tổ hợp - xác suất.
Bài 1: Một nhóm học sinh học tiếng Anh gồm 18 nam và 4 nữ. Cần chọn ra 5 em
để khảo sát chất lượng. Tính xác suất sao cho có ít nhất 1 nữ?
Giải:
5
Cách 1: Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = C22 = 26334

22


Gọi A: “Chọn ra 5 em có it nhất 1 nữ”

1
n( A) = C41 .C184 + C42 .C183 + C43 .C182 + C44 .C18
= 17766

⇒ P ( A) =

n( A) 17766
=
≈ 0, 67
n(Ω) 26334

5
Cách 2: Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = C22 = 26334

Gọi A: “Chọn ra 5 em có it nhất 1 nữ”
⇒ A : “Chọn ra 5 em không có em nữ nào”
n( A) = C185 = 8568
⇒ P ( A) =

n( A) 8568
=
≈ 0,33
n(Ω) 26334

⇒ P ( A) = 1 − P ( A) = 1 − 0,33 = 0, 67

Cách giải sai thường gặp:
Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) = C225 = 26334
Gọi A: “Chọn ra 5 em có it nhất 1 nữ”
n( A) = C41 .C214 = 23940

⇒ P ( A) =

n( A) 23940
=
≈ 0,91
n(Ω) 26334

Nhận xét: Việc chọn 1 nữ A từ 4 bạn nữ và 4 bạn B, C, d, e từ 21 bạn còn lại so với cách
chọn 1 nữ B từ 4 bạn nữ và 4 bạn A, C, d, e từ 21 bạn còn lại chỉ cho một kết quả gồm
{A, B, C, d, e}. Với cách làm trên dẫn đến lặp lại kết quả nên tính xác suất không chính
xác.
Bài 2: Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu
nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu. (Đề thi
HK1 tại Trường năm học 2017 - 2018)
23


Giải:
Cách 1: Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = C14 = 3003
Gọi A là biến cố '' 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu '' .
● Trường hợp 1: Chọn 6 viên bi chỉ có 1 màu
Do đó trường hợp này có C66 = 1 cách.
6
● Trường hợp 2: Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có C8 cách.
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có C116 − C66 cách.
6
6
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có C9 − C6 cách.
6

6
6
6
6
6
Do đó trường hợp này có C8 + ( C11 − C6 ) + ( C9 − C6 ) = 572 cách.

( )
810
Vậy xác suất cần tính P ( A ) = 1 − P ( A ) =
1001

( )

Suy ra số phần tử của biến cố A là n A = 1 + 572 = 573 ⇒ P A =

573
191
=
.
3003 1001

6
Cách 2: Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = C14 = 3003

Gọi A là biến cố '' 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu '' .
⇒ n ( A ) = C31.C54 .C61 + C31.C51.C64 + C33 .C52 .C61 + C32 .C53 .C61 + C31.C53 .C62
+ C31.C52 .C63 + C33 .C51.C62 + C32 .C51.C63 + C32 .C52 .C62 = 2430
⇒ P ( A) =

2430 810
=
3003 1001

Cách giải sai thường gặp:
Số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = C14 = 3003
Gọi A là biến cố '' 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu '' .
● Trường hợp 1: Chọn 6 viên bi chỉ có 1 màu
Do đó trường hợp này có C66 = 1 cách.
6
● Trường hợp 2: Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có C8 cách.
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có C116 cách.
6
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có C9 cách.
Do đó trường hợp này có C86 + C116 + C96 = 574 cách.
6

( )
2428
Vậy xác suất cần tính P ( A ) = 1 − P ( A ) =
3003

( )

Suy ra số phần tử của biến cố A là n A = 1 + 574 = 575 ⇒ P A =

575
.
3003

Nhận xét: Sai sót thường gặp của học sinh là phân chia trường hợp riêng chưa đúng dẫn
đến lặp lại kết quả. Việc chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng hay việc chọn 6 viên
24


bi có đúng hai màu xanh và vàng các em quên rằng trong đó có 6 viên bi màu vàng đã xét
ở trường hợp 1.
Trên đây là một số biện pháp đã giúp cho thầy trò chúng tôi dạy tốt – học tốt chương tổ
hợp xác suất, giúp các em trang bị được vốn kiến thức cơ bản làm tốt bài tập sách giáo
khoa, giải quyết được bài toán mới do giáo viên đưa ra cũng như xây dựng nền tảng cho
kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia sau này.
3.3. Khả năng áp dụng giải pháp:
Có thể áp dụng sáng kiến này vào việc giảng dạy chương tổ hợp xác suất ở các
trường trung học phổ thông chương trình Cơ bản và ôn tập trong kì thi tốt nghiệp THPT
Quốc gia.
3.4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải
pháp:
Tôi xin nêu thống kê điểm kiểm tra 45 phút chương tổ hợp xác suất trong những
năm tôi dạy vừa qua như sau:
- Năm học 2015-2016: Lớp 11C10 có 7/40 học sinh điểm dưới 5.
- Năm học 2016-2017: Lớp 11C2 có 6/40 học sinh điểm dưới 5.
- Năm học 2017-2018: Lớp 11C6 có 3/45 học sinh điểm dưới 5.
3.5. Tài liệu kèm theo gồm : không

Bến Tre, ngày 09 tháng 03 năm 2018

25