Đề thi HSG To9 (08-09)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TOÀN HUYỆN
HUYỆN ĐẠI LỘC NĂM HỌC 2008-2009
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
Đề chính thức
Bài 1(2.0đ): a/ Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn :
a
2
+ b
2
+ c
2
= (a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (c - a)
2
và ab + bc + ca = 9
Tính (a + b + c)
2
rồi suy ra a + b + c .
b/ Cho x, y là các số thực sao cho
1
x
y
+
và
1
y
x

+
là các số nguyên.
Chứng minh rằng :
2 2
2 2
1
x y
x y
+
là số nguyên.
Bài 2(2.0đ): a/ Cho biểu thức : A =
2 3 2 3
− − +
. Tính A
2
và A
2−
b/ Tìm x, biết :
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x
+ + + + + = − −

Bài 3(2.5đ): Cho hàm số
2
1y x= +
có đồ thị (d).
a/ Đơn giản hàm số (bỏ dấu và dấu )
b/ Vẽ đồ thị (d) của hàm số tìm được ở câu (a)
Bài 4(1.0đ): Cho tam giác ABC có
µ

µ
0
90C B
− =
và AH là đường cao của tam giác.
Chứng minh rằng : AH
2
= BH.CH.
Bài 5(2.5đ): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm
trên nửa đường tròn đó (M khác A và B). Tiếp tuyến với đường tròn O
tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn lần lượt tại C và D.
Gọi N là giao điểm của AD và BC .
a/ Chứng minh MN // AC
b/ Tính giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM.
Khi dó ứng với vị trí nào của M.
Họ và tên thí sinh : ………………………………………………………………..
Số báo danh : …………. Phòng ………………………………………………….
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TOÀN HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
Bài Câu Các bước giải Điểm đạt
B1
2.0
a
1đ
a
2
+ b
2
+ c
2

= (a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2
 a
2
+ b
2
+ c
2
= a
2
– 2ab + b
2
+ b
2
– 2bc + c
2
+ c
2
– 2ca + a
2
 a
2
+ b
2
+ c
2

= 2ab + 2bc + 2ca (*)
Mà (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca
= 4ab + 4bc + 4ca (từ *)
= 4(a + b + c) = 4.9 =36
Suy ra a + b + c = 6 vì a, b, c dương
0.25
0.25
0.25
0.25
b
1đ
1 1
à y +
x
x v
y
+
là các số nguyên nên tích cũng là số nguyên :
1 1 1
2x y xy
y x xy
 

 
+ + = + +
 ÷
 ÷
 
 
=>
1
xy
xy
+
là số nguyên
=>
2
1
xy
xy
 
+
 ÷
 
là số nguyên
Mà x
2
y
2
+
2 2
1
x y

=
2
1
2xy
xy
 
+ −
 ÷
 
là số nguyên
Vậy x
2
y
2
+
2 2
1
x y
là số nguyên
0.25
0.25
0.25
0.25
B2
2.0
a
1đ
A
2
=

(
)
2
2 3 2 3
− − +
= 2 3−
( ) ( )
2 2 3 2 3− − +
+ 2 + 3
= 4 – 2 4 3− = 2
Vậy A
2
= 2
Suy ra : A =
2−
Vì A =
2 3 2 3
− − +
< 0
Do đó A
2−
=
2− 2−
=
2 2−
0.25
0.25
0.25
0.25
b

1.0
Ta có
2 2
3 6 7 5 10 14x x x x+ + + + +
=
( ) ( )
2 2
3 1 4 5 1 9x x+ + + + +

4 9≥ +
= 2 + 3 = 5
0.25
và
2
4 2x x− −
=
( )
2
5 1x− +

5
≤
do đó
2 2
3 6 7 5 10 14x x x x+ + + + +
=
2
4 2x x− −

( ) ( )

2 2
3 1 4 5 1 9x x+ + + + +
=
( )
2
5 1x− +
= 5

( )
2
1 0x + =

1x
= −
0.25
0.25
0.25
B3
2.5
a
1đ
Ta có
2
1y x
= +
=
1x
+

1

1
x
y
x
+

=

− +


0
0
khi x
khi x
≥
<
0.25
0.5
0.25
b
1.5
Ta có y
≥
1 với mọi x
∈
R y
+ Với x < 0 đồ thị là 1 phần đường (1) (2)
thẳng y = -x +1 (1)
+ Với x

≥
0 đồ thị là 1 phần đường 1
thẳng y = x + 1 (2) o x
0.25
0.25
0.25
Vẽ: 0.75
B4
1.0
Ta có
·
µ
·
BCA H CAH= +

A =>
·
·
0
90CAH BCA= −
=>
·
µ
CAH B=
Do đó
AHC BHA
∆ ∆
:
(g-g)

AH CH
BH AH
=
B C H Suy ra AH
2
= BH.CH
0.25
0.25
0.25
0.25
B5
2.5
a
1.0
0.25
0.25
0.25
0.25
Ax//By (cùng Vg góc AB)
Nên
ANC DNB
∆ ∆
:
Ta có :
AN AC
DN BD
=
(1)
Mà AC = CM; BD=DM (2 )
(1)&(2)

AN CM
DN DM
=
(3)
(3) chứng tỏ AC//MN
(đ/lý đảo của đ/lý Thales)
H
b
1.5
AC//MN => MN
AB⊥
tại H
Ta có ABDC là hình thang vuông nên CD
≥
AB
S
ABDC
=
( )
1
.
2
AC BD AB+
=
( )
1
.2
2
CM MD R+

2
. 2 . 2CD R R R R= ≥ = (*)
S
AMB
=
1
. .
2
AB MH R MH=

≤
R.R = R
2
(**) (do MH
≤
MO)
(*) và (**) Suy ra : S
ABDC
– S
AMB

≥
R
2
Hay S
ACM
+ S
BDM

≥

R
2
. GTNN là R
2
Dấu “=” xảy ra  CD=AB (ABDC là HCN) & H
≡
O
 M là điểm chính giữa của nửa đ.tròn O
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
Điểm toàn bài không làm tròn số.