de va dap an hsg Lop8

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008 2009
Môn: Toán lớp 8.
Thời gian làm bài 120 phút
.
Câu 1: (2,5 điểm)
Cho A =
96
6113
2
2
+
+
xx
xx
a. Tìm giá trị của x để A = 0
b. Tìm x

Z để A nhận giá trị nguyên.
Câu 2: (3,5 điểm)
a. Chứng minh rằng

a, b, x, y thì (ax + by)
2


(a
2
+ b
2
)(x
2

+ y
2
). Dấu bằng xảy
ra khi nào?
b. Cho 2x
2
+ 3y
2
= 1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2x+3y
c. Cho 0 < a, b, c < 2. Tìm a, b, c biết: a(2 - b) = 1; b(2 - c) = 1; c(2 - a) = 1
Câu 3: (3,0 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (â=90
0
). Trên cạnh AB lấy điểm M (M

A; M

B).
Kẻ BD vuông góc với CM, BD cắt CA tại E. Chứng minh:
a. EB.ED = EA.EC
b. Góc ADE = 45
0
.
c. BD.BE + CA.CE = BC
2
Câu 4: (1,0 điểm)
Cho điểm M ở trong góc x0y. Một đờng thẳng d đi qua điểm M cắt 0x và 0y tại A
và B (A

0; B

0). Chứng minh:
MBMA
SS
00
11
+
không phụ thuộc vào vị trí đờng thẳng d (trong đó S là diện tích của
tam giác).
.Hết.
Đáp án và biểu điểm
Câu Nội dung Điểm
câu 1
a
A=
2
)3(
)23)(3(


x
xx
Điều kiện để A xác định là x

3
Để A = 0 thì (x - 3)(3x - 2) = 0 hay x 3 = 0 hoặc 3x 2 = 0
Vậy x = 3 hoặc x =
3
2
đối chiếu với điều kiện A xác định thì x = 3 (loại).

x =
3
2
(thỏa mạn) Vậy x =
3
2
thì A = 0
1,0
0.5
b
A =
3
23


x
x
= 3 +
3
7

x
Vì x
Z

nên x 3

Z
Vậy để A

Z thì x 3 = (7)






=
=
=
=
73
73
13
13
x
x
x
x

Vậy x = 4; x = 2; x = 10; x = -4
0.5
0.5
Câu 2
a
(ax + by)
2


(a

2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)

a
2
x
2
+ b
2
y
2
+ 2axby

a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x

2
+ b
2
y
2

a
2
y
2
2 axby + b
2
x
2


0

(ay bx)
2

0

a, x, b, y
Dấu = xảy ra khi: ay = bx hay
a
x
=
b
y

1,0
0,5
b (2x + 3y)
2
= (
2
.
2
x +
3
.
3
y)
2


(
2
2
+
3
2
)
[
(
2
x)
2
+ (
3

y)
2
]
(áp dụng kết quả câu a)
Hay (2x + 3 y)
2


5(2x
2
+ 3y
2
) = 5
Hay -
5


2x + 3y


5

Vậy giá trị lớn nhất của 2x + 3y là
5
khi x = y =
5
1
Giá trị nhỏ nhất của 2x + 3y là -
5
khi x = y = -

5
1

0.75
0.25
c Từ giả thiết ta có a(2 b)b(2 c)c(2 a) = 1
Hay a(2 a)b(2 b)c(2 c) = 1 (vì 0 < a, b, c < 2 nên các thừa số trên
đều dơng)
Theo BĐT Cosi ta có:
a +(2 a)

2
)2( aa

hay a(2- a)

1
Tơng tự b(2 - b)

1
c(2 - c)

1

a(2 b)b(2 c)c(2 a)

1 để dấu bằng xảy ra thì:
a = 2 a; b = 2 b; c = 2 c
Hay a = b = c =1
1,0

Câu 3
a
AEB ~ DEC (Vì là 2 tam
giác vuông có chung góc E)
Nên
ED
EA
=
EC
EB
vậy EB. ED= EA. EC C
H
M
A B
D
E
1,0
b
Từ EB. ED= EA. EC ta có
EC
ED
=
EB
EA
và Góc E chung nên tam giác EDA
đồng dạng với tam giác ECB. Nên Góc ADE = góc C ( mà góc C = 45
0
)
Vậy góc ADE = 45
0

1,0
c
Ta có M là trực tâm của tam giác ECB.
Gọi H là giao điểm của EM và CB nên EH

CB
Tơng tự câu a ta có: BD. BE = BH. BC
CA. CE = CH. CB
Vậy BD. BE + CA. CE = BC(CH + BH) = BC
2
1,0
Câu 4
d x
A
I
M
O
B
y
Kẻ MI// OB (I

OA). Vậy điểm I xác định hay S
OMI
là không đổi.
Ta có
OAB
OMB
S
S
=

BA
BM
mà
BA
BM
=
OA
OI
(do IM//OB) mà
OA
OI
=
MOA
MOI
S
S

1,0
nªn ta cã
OAB
OMB
S
S
=
MOA
MOI
S
S
hay
OMAOMB

OMAOMB
SS
SS
+
.
= S
OMI
OMAOMB
OMAOMB
SS
SS
.
+
=
OMI
S
1

⇒

OMA
S
1
+
OMB
S
1
=
OMI
S

1
(kh«ng ®æi)
Mäi c¸ch gi¶i ®óng ®Òu cho ®iÓm tèi ®a.
Gi¸o viªn ra ®Ò: Lª V¨n TuÊn. Trêng THCS B¹ch Liªu