Luận văn thác sĩ nghiên cứu một tình huống dạy học khái niệm giới hạn ứng dụng công nghệ thông tin

Trang 1

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................................................... 3
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 4
1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................................... 4
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 5
3. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................... 6
CHƯƠNG 1 .................................................................................................................... 7
1.1 Các ý nghĩa của khái niệm giới hạn trong lịch sử toán học .................................. 7
1.2 Quan niệm của học sinh sau khi học khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh
lý hợp nhất 2000 ........................................................................................................ 12
1.3 Phân tích các tiết dạy học khái niệm giới hạn của chương trình hiện hành trong
một lớp học ................................................................................................................ 15
1.3.1 Protocole giới hạn của hàm số (tiết 53) ........................................................ 15
1.3.2 Protocole giới hạn của hàm số (tiết 54) ........................................................ 19
1.3.3 Protocole giới hạn của hàm số (tiết 56) ........................................................ 21
1.4 Kết luận ............................................................................................................... 22
CHƯƠNG 2 .................................................................................................................. 24
2.1 Giả thuyết Rogalski và mục đích thực nghiệm ................................................... 24
2.1.1 Giả thuyết Rogalski ...................................................................................... 24
2.1.2 Mục đích thực nghiệm .................................................................................. 24
2.2 Những lựa chọn cho hoạt động ........................................................................... 24
2.2.1 Nghiên cứu toán học ..................................................................................... 25
2.2.2 Vẽ các đồ thị (bằng phần mềm Geogebra) ................................................... 27
2.2.3 Dự đoán giới hạn bằng thực nghiệm số với máy tính Casio FX570MS ...... 28
2.2.4 Lý do lựa chọn các hàm số ........................................................................... 29


Trang 2

2.2.5 Giới thiệu sơ lược về 2 phần mềm sử dụng trong kịch bản thực nghiệm ..... 30
2.2.5.1 Phần mềm giả lập máy tính cầm tay FX570MS ................................... 30
2.2.5.2 Phần mềm hình học động Geogebra ...................................................... 31
2.3 Chi tiết kịch bản thực nghiệm ............................................................................. 33
2.3.1 Hoạt động 1: (8 phút) Sử dụng phần mềm giả lập Casio FX 570 MS .......... 33
2.3.2 Hoạt động 2: (12 phút) Thực nghiệm số........................................................ 35
2.3.3 Hoạt động 3: (24 phút) Sử dụng phần mềm Geogebra và quan sát đồ thị .... 38
2.3.4 Hoạt động 4: (5 phút) Định nghĩa giới hạn tại 1 điểm .................................. 42
2.3.5 Hoạt động 5: (10 phút) Hình thành quan điểm « xấp xỉ f(x) » ...................... 42
2.3.6 Phân tích tiên nghiệm ................................................................................... 45
2.3.7 Phân tích hậu nghiệm .................................................................................... 49
2.4 Kết luận ............................................................................................................... 60
KẾT LUẬN ................................................................................................................... 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 64
PHỤ LỤC


Trang 3

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
HS : Học sinh
GV : Giáo viên
SGK : Sách giáo khoa
THPT : Trung học phổ thông
PPGD : Phương pháp giáo dục
UDCNTT : Ứng dụng công nghệ thông tin


Trang 4

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài :
Ngày nay, việc ứng dụng công nghệ thông tin đã trở nên khá quen thuộc với
những thầy cô đang công tác trong ngành giáo dục. Với công văn số 12966/BGDDTCNTT (2007) của Bộ Giáo Dục & Đào Tạo năm học 2008-2009 được chọn là Năm học
Công nghệ thông tin. Như vậy có thể thấy ứng dụng công nghệ thông tin đang được
yêu cầu và khuyến khích trong dạy học Phổ thông. Tuy nhiên, trong dạy học nói chung
và trong dạy học Toán nói riêng, không phải kiến thức nào cũng có thể áp dụng được
cách dạy này. Có thể nói CNTT là một trong các yếu tố giúp làm nảy sinh và thúc đẩy
những xu hướng dạy học mới thay thế dần những phương pháp dạy học truyền thống,
mà người ta thường gọi là "Phương pháp dạy học tích cực". Tức là người học giữ vai
trò trung tâm, chủ động thực hiện các tình huống để giải quyết vấn đề, còn giáo viên
chỉ là người tổ chức các hoạt động và tổng kết các kiến thức được học sinh phát hiện.
Khi đó kiến thức sẽ không được truyền thụ trực tiếp từ giáo viên đến học sinh mà có
thể sẽ được xuất hiện không hoàn chỉnh trong những sản phẩm của học sinh, và như đã
nói trên giáo viên sẽ là người thể chế hóa lại những kết quả đó thành tri thức. Dựa theo
những tiêu chuẩn đó, trong một bài báo của mình, tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung đã
đề nghị phân chia việc UDCNTT thành 3 cấp độ.
Cấp độ 1 : Giáo viên ứng dụng CNTT để trình chiếu và minh họa.
Cấp độ 2 : Giáo viên ứng dụng CNTT để minh họa các hoạt động.
Cấp độ 3 : Học sinh trực tiếp thao tác trên phần mềm trong một tình huống gợi
vấn đề1
Ở đây có thể thấy trong cấp độ 3, quan điểm lấy người học làm trung tâm được
thể hiện rõ nét. Việc vận dụng cấp độ này vào môn Toán còn rất nhiều hạn chế, còn có

1

Thuật ngữ tình huống gợi vấn đề được dùng theo nghĩa của Lê Văn Tiến (2005).

Trang 5

những vấn đề cần phải nghiên cứu áp dụng một cách cụ thể. Trong các vấn đề đó có
vấn đề dạy học giới hạn ở trường THPT.
Mặt khác, nhiều ý kiến cho rằng bản chất của khái niệm giới hạn rất khó giảng
dạy ở trường Phổ thông, và thế là các quy tắc đại số, những kỹ thuật tính giới hạn được
ưu tiên gần như tuyệt đối trong việc giảng dạy ở trường THPT. Đó âu cũng là lẽ tự
nhiên vì nó thỏa mãn yêu cầu của các kỳ thi mà Bộ Giáo Dục đề ra. Vậy thì việc hiểu
được bản chất của khái niệm giới hạn đối với học sinh có những lợi ích gì? Bản chất đó
có thể giảng dạy trong chương trình hiện hành được hay không? Và làm sao để có thể
giảng dạy khái niệm này ứng với các PPGD tích cực (lấy người học làm trung tâm) mà
nền giáo dục chúng ta đang theo đuổi?
Từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là :
"Nghiên cứu một tình huống dạy học khái niệm giới hạn ứng dụng công
nghệ thông tin"
2. Mục đích nghiên cứu :
Nghiên cứu này nhắm vào việc thiết kế, phân tích và thực nghiệm một tình huống
dạy học khái niệm giới hạn hữu hạn gắn với các nghĩa thực sự của khái niệm sau khi
khái niệm đã được giới thiệu ở trường phổ thông bằng các phương pháp giáo dục tích
cực có ứng dụng CNTT.
Ngoài ra các hàm số được chọn lựa trong tình huống sẽ không đơn giản như các
dạng hàm thường xét giới hạn trong chương trình THPT. Vì chúng tôi muốn thông qua
các thực nghiệm số và đồ thị để xem xét giả thuyết của Rogalski trong dạy học phổ
thông Việt Nam.
Giả thuyết của Rogalski (1994) về việc dạy học khái niệm hội tụ ở bậc đại học
Để dạy sinh viên hiểu khái niệm hội tụ và sử dụng khái niệm này giải toán, chúng ta không được
giới hạn cho họ giải các bài tập quá cơ bản. Điều này tránh hình thành cho sinh viên những mô
hình quá đơn giản hay sai tạo thành các chướng ngại dạy học.

Trang 6

3. Phương pháp nghiên cứu :
Với mục đích nghiên cứu một tình huống dạy học khái niệm giới hạn như trên,
chúng tôi tuân theo quy trình như sau :
Phân tích tri thưc luận → Phân tích chương trình, sách giáo khoa → Thiết kế tình
huống và phân tích tiên nghiệm tình huống → Thực nghiệm tình huống và phân tích
hậu nghiệm → Cải tiến tình huống, bổ sung phân tích tiên nghiệm → …
Để đạt được mục đích nghiên cứu của mình trong một khoảng thời gian ngắn
của khóa luận, chúng tôi sử dụng các kết quả đã có cho hai mắt xích đầu tiên : Phân
tích tri thức luận → Phân tích chương trình, sách giáo khoa.
Cụ thể, chúng tôi sẽ tìm hiểu một số kết quả nghiên cứu tri thức luận về khái
niệm giới hạn trong lịch sử từ các kết quả của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007). Sau
đó, chúng tôi dựa vào các biên bản dự giờ của Lê Thành Đạt (2010) cho chương trình
hiện hành và kết hợp với những phân tích thực nghiệm liên quan đến chương trình và
SGK chỉnh lí hợp nhất của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long
(2004).
Việc hiểu và tóm lại các điểm chính và cần thiết cho khóa luận này từ các
nghiên cứu đã có cho phép chúng tôi nhanh chóng tiến hành nghiên cứu và thực
nghiệm một tình huống dạy học khái niệm giới hạn
Với phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu đề ra, khóa luận của chúng tôi sẽ
tổ chức thành hai chương :
Chương 1 : Tổng hợp các nghiên cứu về dạy học khái niệm giới hạn
Chương 2 : Thực nghiệm


Trang 7

CHƯƠNG 1

TỔNG HỢP CÁC NGHIÊN CỨU VỀ DẠY HỌC
KHÁI NIỆM GIỚI HẠN
Mục tiêu của chương
Từ việc phân tích và tổng hợp bài báo "DẠY VÀ HỌC KHÁI NIỆM GIỚI
HẠN HÀM SỐ Ở TRƯỜNG THPT" của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2011)
chúng tôi rút ra được một số kết luận về những quan điểm khái niệm giới hạn hàm số
trong lịch sử cũng như sự thể hiện của những quan điểm này trong các trường phổ
thông hiện nay.

1.1 Các ý nghĩa của khái niệm giới hạn trong lịch sử toán học :
Trước tiên chúng tôi xin được điểm qua vài nét nổi bật hình thành nên những
khái niệm giới hạn trong lịch sử. Ngay từ thời toán học cổ Hy Lạp, nhà toán học
Eudoxus (khoảng 408 – 355 TCN) được xem là một trong những người có tư tưởng về
giới hạn đầu tiên, một khái niệm trung tâm của phép tính vi phân và tích phân, sớm
nhất. Tuy nhiên, trước Eudoxus, Antiphon đã có một ý tưởng về giới hạn như sau: Để
tìm một hình vuông có diện tích bằng một hình tròn cho trước, Antiphon cho rằng bằng
cách liên tiếp nhân đôi số cạnh của đa giác nội tiếp trong một đường tròn, thì cuối cùng
hiệu số của diện tích của hình tròn và đa giác sẽ bị vét cạn. Vì với bất kỳ đa giác nào
cũng đều có thể dựng được một hình vuông có diện tích bằng diện tích đa giác đó. Do
vậy, ta có thể dựng được một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn cho
trước. Lập luận này của Antiphon lập tức bị phê phán về mặt căn cứ, người ta cho rằng
nó vi phạm điều mà được cho là các đại lượng có thể chia ra được vô hạn, và quá trình
của Antiphon không thể bao giờ sử dụng được cho tới đa giác có diện tích đúng bằng
đường tròn. Tuy nhiên cách làm của Antiphon đã giúp cho Eudoxus phát triển của


Trang 8

phương pháp vét cạn (method of exhaustion) nổi tiếng với mệnh đề sau đây làm cơ sở:
"Nếu từ bất kỳ một đại lượng nào và bỏ đi một phần không nhỏ hơn phân nửa của nó,

v.v...thì cuối cùng sẽ còn lại một đại lượng nhỏ hơn bất kỳ đại lượng nào được ấn định
trước cùng loại"
Nhờ phương pháp vét cạn mà ông và các nhà toán học về sau, đặc biệt là
Archimedes, tìm ra nhiều công thức tính diện tích, thể tích của nhiều hình hình học mà
đặc trưng là việc tính diện tích hình thang cong, chính cách làm này đã thể hiện những
quan điểm đầu tiên về khái niệm giới hạn.
<của nó thể hiện trong Phương pháp vét cạn ) đến tận Newton (1642-1727).
Chúng tôi gọi đây là quan điểm « xấp xỉ x ». Trong quan điểm này, biến số
« kéo » hàm số :
Nếu một đại lượng x tiến về một giá trị a của đại lượng này (theo nghĩa, nó
nhận các giá trị ngày càng gần a) thì đại lượng y – đại lượng phụ thuộc x (một
hàm số biến x)- tiến về một giá trị l. Nghĩa là x càng lúc càng gần a kéo theo y
càng lúc càng gần l.>> [4, tr.2]
Phương pháp vét cạn có thể hiểu một cách trực quan là phương pháp giúp tìm
diện tích của một hình bằng cách nội tiếp trong nó một chuỗi các đa giác mà diện tích
của nó dần tới diện tích của hình đó. Nếu chuỗi đa giác này được dựng đúng, hiệu số
giữa diện tích của đa giác thứ n và hình cần tìm diện tích sẽ nhỏ tùy ý nếu n đủ lớn.
Khi hiệu này có thể nhỏ một cách tùy ý, giá trị có thể có của diện tích hình cần tìm sẽ
bị vét kiệt bởi đa thức nội tiếp. Đến đây ta có thể thấy được tư tưởng "biến số kéo hàm
số" trong phương pháp vét cạn một cách rõ ràng, tức là "biến số đa giác" kéo "hàm
diện tích" đa giác đến hình cần tìm.
Như đã nói trên phương pháp vét cạn được xem là sự thể hiện tư tưởng quan
điểm « xấp xỉ x » và được Archimedes sử dụng rất thành thạo, nhờ đó mà ông đã tìm


Trang 9

được diện tích của nhiều hình khác nhau. Sau này khi khái niệm giới hạn được định
nghĩa một cách chặt chẽ, phương pháp vét cạn không còn được dùng để giải toán nữa .

Quan điểm được định nghĩa chặt chẽ mà chúng tôi muốn nói đến ở đây chính là
quan điểm « xấp xỉ f(x) », và mãi tới thời Cauchy, tức là giai đoạn toán học hiện đại,
nó mới được xuất hiện.
<định nghĩa chính xác cho khái niệm này. Chúng tôi gọi đây là quan điểm « xấp
xỉ f(x)».
Trong quan điểm « xấp xỉ f(x) » chúng ta hiểu khái niệm giới hạn (thể hiện
trong kí hiệu hiện đại ngày nay lim f ( x) = l ) có nghĩa là độ xấp xỉ của f(x) với l
x→ a

mà ta mong muốn sẽ quyết định độ xấp xỉ của x với a cần chọn >> [11, tr.12]
Chưa dừng lại ở đó, 55 năm sau, đến lượt Weierstrass (1815 – 1897) đã làm cho
định nghĩa này trở nên súc tích bằng ngôn ngữ ε, δ . Định nghĩa của Weierstrass có ý
nghĩa quan trọng vì với sự hình thức hóa quan điểm « xấp xỉ f(x) » này, các nhà toán

học có thể thao tác dễ dàng khi chứng minh và trình bày giải tích thực.
<<Định nghĩ súc tích này vẫn được sử dụng ở bậc đại học ngày nay. Với ngôn
ngữ hình thức, chúng ta có thể thể hiện khái niệm giới hạn như sau :

lim f ( x) = l ⇔ (∀ε > 0, ∃δ >0 : x - a < δ ⇒ f(x) - l < ε) >> [18, tr.2]
x→ a

Đối với học sinh các trường phổ thông, việc hiểu được bản chất của khái niệm
giới hạn (quan điểm « xấp xỉ f(x) ») là không dễ dàng, vì quan điểm « xấp xỉ x » quá
trực quan, dễ khắc sâu vào tâm trí của học sinh, thật sự là một chướng ngại khoa học
luận trong việc hiểu bản chất của khái niệm giới hạn. Vì vậy ở nhiều nước sách giáo
khoa chỉ cung cấp cho học sinh khái niệm giới hạn thông qua quan điểm « xấp xỉ x ».
Đơn cử như trường hợp của sách giáo khoa Mỹ: « Precalculus : Graphical, Numberical,

Trang 10

Algebraic_year 12 » mà tác giả Lê Thành Đạt (2011) đã phân tích, một định nghĩa sơ
sài giới hạn của hàm số tại a được sách giáo khoa Mỹ đưa ra :
<x→ a

khi x nhận giá trị dần đến a (nhưng không bằng a) >> [tr. 813]

Sách giáo khoa Mỹ giải thích lý do không trình bày định nghĩa giới hạn của hàm
số tại x = a theo ngôn ngữ (ε, δ ) hoặc theo ngôn ngữ giới hạn của dãy số như sau :
<cận, sẽ không phải mất đến 150 năm...>> [tr. 813]
Theo tác giả Lê Thành Đạt thì sách giáo khoa Mỹ đã tự hạn chế ngay từ đầu là
không xem xét quan điểm « xấp xỉ f(x) » của khái niệm giới hạn, thể hiện khi giải thích
ký hiệu lim f ( x) = L , sách giáo khoa này nhấn mạnh trên quan điểm « xấp xỉ x » của
x→ a

khái niệm giới hạn.
Như đã phân tích, khi khái niệm giới hạn được định nghĩa chính xác thì chúng ta
dễ dàng tìm thấy những sự đối lập trong hai quan điểm kể trên.
<
δ và độ xấp xỉ giá trị hàm số ε : trong quan điểm « xấp xỉ x », độ xấp xỉ δ kéo
theo độ xấp xỉ ε ; còn trong quan điểm « xấp xỉ f(x) », độ xấp xỉ ε mong muốn sẽ
quyết định độ xấp xỉ δ.
Chẳng hạn, xét dãy số (un) : un = 0,98...98 ta thấy dãy số này tăng nghiêm
n

ngặt và càng gần 1 khi n càng lớn theo quan điểm « xấp xỉ x ». Nhưng dãy số

này không có giới hạn là 1 theo quan điểm « xấp xỉ f(x) ». Nói cách khác 1 là
một chặn trên nhưng không phải là chặn trên nhỏ nhất của dãy (un). >>
[21, tr. 2]


Trang 11

Thật vậy

un = 0,98...98 = 98.10-2 +98.10-4 +98.10-6 +...+98.10-n = 98(10-2 +10-4 +...+10-n )
n

10 .(1 −10−2 n ) 98
98
n →∞
= (1-10-2n ) 
→
-2
1-10
99
99
-2

= 98.

Và đến đây sự thiếu xót trong quan điểm « xấp xỉ x » được bộc lộ rõ ràng, thực
ra sự thiếu xót ấy có thể tìm thấy trong những ví dụ tưởng chừng như rất đơn giản,
chẳng hạn như "Khi x càng gần 0 thì

x càng gần 0,0001, vậy lim x = 0,0001 ".

x→ 0

Trong dạy học, giáo viên cũng có thể tận dụng những ví dụ như thế này để học sinh có
thể thấy được tính chưa chặt chẽ trong quan điểm « xấp xỉ x ».
Ngoài hai quan điểm kể trên còn một quan điểm cuối cùng là quan điểm đại số.
Theo quan điểm này khái niệm giới hạn chỉ là việc tính toán các giới hạn bằng các quy
tắc đại số. Nó cho phép thao tác trên các định lý mà không cần làm rõ bản chất của
khái niệm. Quan điểm này là thành quả của việc mô hình hóa các quy tắc đại số trên
các hàm số chuyển qua giới hạn khi nghiên cứu giải tích, điều này thể hiện khá rõ trong
giáo trình Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique của Cauchy ấn hành năm
1821, các quy tắc đại số khi thực hiện phép tính với các vô cùng bé (kí hiệu là 0) và vô
cùng lớn (kí hiệu là +∞ và -∞).
<mà không đề cập đến ý nghĩa của khái niệm giới hạn. Lang (1986) đã xem một
tập hợp các quy tắc đại số tối tiểu trên các giới hạn như một hệ tiên đề. Đến
đây, chúng ta thấy xuất hiện quan điểm mà chúng tôi gọi là « quan điểm đại
số » của khái niệm giới hạn.>> [10, tr.3]


Trang 12

1.2 Quan niệm của học sinh sau khi học khái niệm giới hạn trong chương
trình chỉnh lý hợp nhất 2000 :
Với phần trình bày trên chúng ra đã có cái nhìn khá tổng quan về tiến trình hình
thành nên các quan điểm về giới hạn trong lịch sử, để thấy được sự xuất hiện của
những quan điểm này ở cấp độ trường trung học phổ thông, chúng ta hãy trở lại thực
nghiệm trên 131 học sinh lớp 12 trong bài báo, nhằm tìm hiểu một phần quan niệm của
học sinh sau khi học khái niệm giới hạn hàm số.
<

Câu hỏi 1. Hãy tính lim
x →3

2 − x −1
.
x −3

x 2 −1
Câu hỏi 2. Hãy giải thích cho một học sinh lớp 10 biết kí hiệu lim
= 2 có
x→1 x − 1
nghĩa là gì ?
Kết quả thực nghiệm như sau :
- Đối với câu hỏi 1, 86 % học sinh được hỏi đã áp dụng quy tắc đại số để khử
dạng vô định (0/0) và cho kết quả hoặc là một số cụ thể hoặc là kí hiệu ∞ (mặc
dù giới hạn này không tồn tại).
- Đối với câu 2, 73 % học sinh được hỏi soạn một chỉ dẫn để tính giới hạn. Đặc
biệt, một cố học sinh còn lưu ý rằng « cứ làm như vậy mà chẳng cần hiểu gì về
lim ».>> [15, tr.1]
Điều này cho thấy nhận định "Thật là khó để tiếp cận định nghĩa thực chất của
giới hạn. Nếu nó dễ tiếp cận, sẽ không phải mất đến 150 năm.." của sách giáo khoa Mỹ
cũng khá hợp lý, hơn nữa theo các nghiện cứu về khái niệm giới hạn của 2 tác giả Lê
Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004) có nhận định :


Trang 13

<dựa gần như tuyệt đối trên quan điểm đại số hóa>> [7, tr.49]
<

số về khái niệm giới hạn ở học sinh. Chỉ có vài dấu vết nhỏ của các quan điểm
khoa học luận khác trong sách giáo khoa này>> [12, tr.19]
Cũng trong nhận xét này chúng tơi nhận định thêm rằng những kiểu nhiệm vụ
tính giới hạn thực sự khơng có nhiều ý nghĩa đối với học sinh, các em chỉ được làm
quen với những bài tốn tính giới hạn, rồi xem xem chúng thuộc dạng nào và giải, đại
loại như :
1-

Tử → số


 → giới hạn ra số
Mẫu → số 

2-

Tử → số 
 → giới hạn ra ± ∞
Mẫu → 0 

3-

Tử → số 
 → giới hạn ra 0
Mẫu → ∞ 

4-

tử → 0


 → dạng vô đònh
mẫu → 0 

Và như thế giới hạn chẳng qua chỉ là những thao tác đại số, đã hình thành khn
mẫu, ngồi ra khơng có ý nghĩa gì nổi bật. Tất nhiên khơng thể phủ nhận rằng, đối với
những bài tốn giới hạn khó thì học sinh cũng phải tìm tòi, suy nghĩ từ đó năng lực tư
duy tốn học được nâng lên. Nhưng rộng hơn, việc hiểu bản chất của khái niệm giới
hạn sẽ giúp ích rất nhiều cho học sinh khi học các mơn khoa học khác được học trong
trường phổ thơng như Lý, Hóa hay những kiến thức khác liên quan trong tốn học như
đạo hàm, tích phân... Ví dụ như về khái niệm đạo hàm, như chúng ta đã biết sau khi
Descartes phát minh ra phương pháp xác định tọa độ 1 điểm trong hệ trục tọa độ vng


Trang 14

góc và cách biểu diễn hàm số bằng đồ thị thì ông và nhà toán học Fermat đã đặt ra bài
toán : Tìm tiếp tuyến của đường cong, tìm cực đại và cực tiểu của hàm số. Để giải
quyết bài toán này, các ông đã tiếp cận được điều "cốt lõi" của khái niệm đạo hàm,
phương pháp mà các ông sử dụng chính là việc đánh giá xấp xỉ tiếp tuyến bằng cát
tuyến rồi chuyển qua giới hạn. Còn về tích phân, khái niệm này được định nghĩa thông
qua bài toán tính diện tích hình thang cong, mà ở đó các nhà toán học đã xấp xỉ diện
tích của nó bằng tổng diện tích các hình chữ nhật rồi lại chuyển qua giới hạn.... cũng
như thông qua việc dạy khái niệm giới hạn, học sinh có nhu cầu tìm hiểu các chức
năng đặc biệt của máy tính ( nhập biểu thức đại số, tính toán hàng loạt...), sử dụng phần
mềm vẽ đồ thị để quan sát, thao tác trực tiếp lên hình ảnh trực quan của khái niệm giới
hạn.
Rất tiếc trong các sách giáo khoa hiện hành, kiểu nhiệm vụ tính giới hạn đã lấn
át những quan điểm mang lại ý nghĩa thực thụ cho khái niệm giới hạn, theo thống kê
của tác giả Nguyễn Thành Long đối với chương trình chỉnh lý hợp nhất : "kiểu nhiệm

vụ này chiếm 80,6% trong các ví dụ và 87% trong phần bài tập" và trong phần lời kết
của bài báo cũng có đề cập đến :
<cứu thực nghiệm về việc dạy học khái niệm giới hạn cho thấy kiểu nhiệm vụ tính
giới hạn đã lấn át những vấn đề khác mang lại ý nghĩa thực thụ cho khái niệm
giới hạn.>> [21, tr.6]
Một cách tự nhiên, chúng ta có thể nghĩ ngay đến việc : Liệu có thể nghiên cứu
được những tình huống dạy học khái niệm giới hạn của hàm số thỏa mãn được những
yêu cầu rất cần thiết đã nêu, hơn là việc chỉ giảng dạy khái niệm giới hạn trong bài học
có tên Giới hạn và theo một trình tự xuất hiện trong các sách giáo khoa nước ta. Và đó
cũng chính là tiền đề để chúng tôi thực hiện luận văn "Nghiên cứu một tình huống dạy
học khái niệm giới hạn".


Trang 15

1.3 Phân tích các tiết dạy học khái niệm giới hạn của chương trình hiện
hành trong một lớp học :
Các biên bản dự giờ do Lê Thành Đạt thực hiện (2004).

1.3.1 Protocole giới hạn của hàm số (tiết 53) :
Dựa vào biên bản dự giờ ta có thể tóm tắt các hoạt động chính của giáo viên và
học sinh như sau:

Hoạt động 1: (từ 1->9 trong biên bản) Dạy khái niệm giới hạn

Giáo viên

Học sinh

n +1
2x2 − 2x
Cho h/s f ( x) =
. Cho xn =
,
n
x −1
tìm f ( xn ) ”. GV đặt câu hỏi: “Để tìm f ( xn )
theo n ta làm như thế nào?”
GV

vừa

nói

vừa

viết

2n + 2 2(n + 1)
=
= 2 xn .
n
n

trên

Hãy

bảng:

Thay xn =

f ( xn ) =

n +1
vào x ,
n

2n + 2
n

lim xn = 1,lim f ( xn ) = 2

tính

lim xn ,lim f ( xn ) theo n?
Khi đó ta nói hàm số f ( x) =

2x2 − 2x
có
x −1

giới hạn là 2 khi x → 1 . Tất cả mở SGK trang
124 ghi nội dung định nghĩa 1.

Nhận xét :
Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm được đưa vào theo con đường quy
nạp thông qua hoạt động 1. Ở hoạt động này giáo viên cho học sinh nghiên cứu 1

Trang 16

n +1
2x2 − 2x
trường hợp đơn lẻ xn =
→ 2 rồi sau đó đi vào
→ 1 ta luôn có f ( x) =
x −1
n
định nghĩa : "Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K
hoặc trên K \ { x0 } . Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với
dãy số { xn } bất kỳ xn ∈ K \ { x0 } và xn → x0 , ta có f ( xn ) → L .
Kí hiệu : lim f ( x) = L hay f ( x) → L khi x → x0 "
x→ x0

Ta thấy học sinh không được thực nghiệm số với 1 dãy xn bất kỳ gần đến x0 mà
dường như chỉ bị áp đặt dẫn đến việc các quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn
không xuất hiện. Học sinh không thấy được đại lượng x tiến về giá trị 1 (theo nghĩa nó
nhận các giá trị ngày càng gần 1) trong từng trường hợp cụ thể thì đại lượng f(x) tiến
về giá trị 2 (quan điểm <<xấp xỉ x>>) cũng như là khoảng cách f ( x) − 2 nhỏ bao
nhiêu tùy ý khi x ngày càng gần 1 (quan điểm <xấp xỉ f(x)>>. Ở đây có thể lựa chọn
cách phát biểu cho học sinh: "Khi x = 1 thì ta không có giá trị của y, nhưng chuyện gì
xảy ra khi x càng gần 1 trong từng trường hợp" và cho học sinh thực nghiệm với máy
tính trong 15'. Khi đó sự xấp xỉ x có thể xuất hiện vì học sinh được lựa chọn một cách
tùy ý những giá trị x gần 1 mà không bị áp đặt. Và đến một lúc nào đó khi x đủ gần
1(chẳng hạn 0,999999) máy tính bỏ túi sẽ cho kết quả tính f(x) = 1 (tư tưởng <f(x)>> có thể xuất hiện).
Ngoài ra giáo viên cũng không cho học sinh quan sát đồ thị nên không hình
thành được biểu tượng trực quan về giới hạn của hàm số tại 1 điểm. Vì vậy khi chuyển

từ ví dụ qua định nghĩa có thể khiến học sinh hình dung rất mơ hồ về khái niệm giới
hạn.


Trang 17

Hoạt động 2: (từ 10->14 trong biên bản) Vận dụng định nghĩa để tính giới
hạn
Giáo viên

Học sinh

x2 − 9
Cho h/s f ( x) =
.
x+3
Cm: lim f ( x) = −6
x→−3

Tìm TXĐ của hàm số trên?

x ≠ −3

GV vừa nói vừa viết trên bảng:
“ ∀ ( xn ), xn ≠ −3 và xn → −3 khi n → +∞ .
Ta có lim f ( xn ) = ? ”.
Vận dụng tương tự bài toán lúc nãy, thay
x bằng xn rồi tính lim f ( xn )

Theo nội dung định nghĩa ta có

lim f ( x ) = ?

Không có câu trả lời
lim f ( xn ) = −6

Bằng -6

x→−3

Chúng ta có các nhận xét sau:

Ghi lại nhận xét

lim x = x0 ; lim c = c
x→ x0

x→ x0

Nhận xét :
Hoạt động này học sinh cũng chỉ làm theo hướng dẫn của giáo viên, bản chất
của khái niệm giới hạn cũng ít được củng cố. Ngoài ra giáo viên cũng không yêu cầu
học sinh phải thực hiện một thực nghiệm số bằng máy tính để làm ví dụ trên. Cuối
cùng giáo viên kết luận bằng một nhận xét liên quan đến kỹ thuật đại số, khiến học
sinh dễ dàng quên đi kỹ thuật định nghĩa này.


Trang 18

Hoạt động 3: (từ 15->hết) Dạy học các định lý về giới hạn hàm số

Giáo viên

Học sinh

Về giới hạn hữu hạn của hàm số, ta cũng có
các định lí về tổng, hiệu, tích, thương và khai
căn giống giới hạn của dãy số. Chúng ta về
xem trong SGK. Và bây giờ chúng ta sẽ áp
dụng nội dung định lí để tìm giới hạn của
hàm số.
Tính

các

giới

1) lim (3 x 2 + x + 1); 2) lim
x→1

3) lim
x→1

x→ 2

hạn

sau:

2x + 3
x+5

ghi đề bài vào tập và tính
toán giới hạn.

x2 + 4x − 5
x2 − 5x + 6
; 4) lim
x→ 2
x −1
x2 − 4

Hướng dẫn giải bằng việc áp dụng các định
lý trong sgk.
Đến bài tập 3 giáo viên giới thiệu đây là
dạng vô định và hướng dẫn phương pháp giải
:
B1: phân tích các đa thức của tử và mẫu thành
nhân tử; B2: đơn giản tử số và mẫu số; B3:
thay giá trị của x để tính giới hạn”.
Chia đa thức cho đa thức, sơ đồ hosner

HS ghi lại phương pháp.
Hỏi phương pháp để phân
tích đa thức thành nhân tử

Chúng ta thấy cách tìm giới hạn bằng định
nghĩa và bằng định lí, cách nào dễ thực hiện
hơn?

Dùng định lí

Trang 19

Nhận xét :
Phần giới thiệu các định lý về giới hạn hàm số giáo viên đã giải thích minh họa
bằng các ví dụ nên học sinh tiếp cân tích cực hơn.
Như đã nói trên, giáo viên đã bỏ qua phần thực nghiệm số và quan sát đồ thị nên
ý nghĩa thực sự của khái niệm giới hạn đã không xuất hiện, đến phần này dễ hướng học
sinh đến việc hiểu khái niệm giới hạn theo quan điểm đại số, tức là chỉ đơn thuần việc
tính giới hạn bằng các quy tắc đại số. Điều này sẽ khắc sâu trong tâm trí của học sinh
và vì thế những quan điểm mơ hồ trong định nghĩa giới hạn hàm số tại 1 điểm dường
như biến mất, nhất là khi giáo viên củng cố phần áp dụng định lý để tính giới hạn bằng
câu: "Chúng ta thấy cách tìm giới hạn bằng định nghĩa và bằng định lý, cách nào dễ
thực hiện hơn".

1.3.2 Protocole giới hạn của hàm số (tiết 54) :
Tóm tắt hoạt động chính của giáo viên và học sinh:

Giáo viên

Học sinh

 x 2 + x + 1 khi x ≥ 1

Tạo động cơ f ( x) =  x 2 + 2 x − 3
. Tính

khi x < 1
 x −1

lim f ( x )
x→1

Cho học sinh đọc định nghĩa 2, lưu ý định lý 2 :

lim f ( x) = L ⇔ lim f ( x) = lim f ( x) = L
x→ x
x → x+
x → x−
0
0
0
Quay lại hướng dẫn học sinh giải bài toán trên.
Sau đó cho quan sát đồ thị của hàm số
f ( x) =

1
trong sgk rồi đi vào định nghĩa giới hạn
x−2

Thắc mắc x0+ , x0−
Ghi định lý vào vở


Trang 20

hàm số tại vô cực.
Hướng dẫn cho học sinh phương pháp giải các ví dụ.
Giải các ví dụ.

Định nghĩa 2 : (Đại số và Giải tích 11, trang 126)
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng ( x0 , b) .
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số ( xn )
bất kỳ, x0 < xn < b và xn → x0 , ta có f ( xn ) → L ..
Kí hiệu : lim f ( x) = L .
x→ x0+

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0 ) .
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số ( xn )
bất kỳ, a < xn < x0 và xn → x0 , ta có f ( xn ) → L ..
Kí hiệu : lim f ( x) = L .
x→ x0−

Phân tích và nhận xét :
Ở đây giáo viên cho học sinh đọc định nghĩa 2 qua loa, sau đó chỉ lưu ý cho học
sinh phần định lý 2 và định nghĩa 2 được quên lãng một cách nhanh chóng. Điều này
cũng dễ hiểu vì giáo viên không cho học sinh quan sát đồ thị cũng như thực nghiệm số
trước đó nên rất khó cho học sinh hình thành được với dãy số ( xn ) bất kỳ càng gần về
phía bên phải của x0 trên trục số thì f ( xn ) càng gần L như ta mong muốn.
Sau khi giải thích cho học sinh định lý 2, giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh
 x 2 + x + 1 khi x ≥ 1

giải bài toán f ( x) =  x 2 + 2 x − 3
, tính lim f ( x ) . Có thể thấy đây chỉ đơn
x→1

khi x < 1
 x −1
thuần là một kiểu nhiệm vụ tính giới hạn của hàm số cho bởi nhiều biểu thức giải tích
và củng cố thêm cho học sinh về định lý 2 trong SGK.

Trang 21

Trong phần giới hạn của hàm số tại vô cực giáo viên cho học sinh quan sát đồ
thị trong SGK, có thể nói việc giáo viên không cho học sinh quan sát đồ thị trong khái
niệm giới hạn hàm số tại 1 điểm đã làm cho học sinh không hình thành được biểu
tượng trực quan ngay từ đầu bài học, khiến hoạt động này cũng như cưỡi ngựa xem
hoa. Và định nghĩa ấy cũng nhanh chóng bị mờ dần khi giáo viên hướng dẫn cho học
sinh cách tính giới hạn hàm số tại vô cực.

1.3.3 Protocole giới hạn của hàm số (tiết 56) :
Tóm tắt hoạt động chính của giáo viên và học sinh:

Giáo viên

Học sinh

Tổ chức cho học sinh giải các bài tập 1,2,3,4,5/Trang

Lên bảng

132,133 trong sách giáo khoa ĐS> 11 cơ bản.

giải các bài

Bài 1,3,4 dạng tính toán và bài 2,5 thiên về lý thuyết.

tập.

Phân tích và nhận xét :
Trong giờ sửa bài tập này, ta có thể thấy kiểu nhiệm vụ tính giới hạn đã lấn át
bản chất của khái niệm giới hạn rất rõ, bằng chứng là đối với những bài toán 1,3,4 thì
học sinh giải rất nhanh (các dạng bài theo kiểu phân tích thành nhân tử chung hoặc
nhân lượng liên hiệp).
Còn đối với những bài tập mang màu sắc lý thuyết thì học sinh dường như
không cảm nhận được và giải theo sự hướng dẫn của giáo viên một cách áp đặt. Chẳng
hạn trong biên bản dự giờ có thể thấy là các em không thật sự nắm vững định nghĩa,
khiến việc nhận thấy khi tồn tại 2 dãy số cùng có giới hạn là 0, nhưng lim f (un ) và
lim f (vn ) khác nhau, thì sẽ không tồn tại lim f ( x ) , là rất khó khăn.
x→ 0


Trang 22

Tiếp theo trong bài tập 5, sau khi cho học sinh quan sát đồ thị và nêu nhận xét
về giá trị của hàm số f ( x) =

x+2
khi x → −∞, x → 3− , x → −3+ , giáo viên tiến
2
x −9

hành cho học sinh kiểm tra lại kết quả bằng cách tính lim f ( x), lim f ( x), lim f ( x) ,
x→−∞

x→3−

x→3+

cho thấy việc quan sát đồ thị cũng chỉ "làm nền" cho cách tính giới hạn mà các quan
điểm <<xấp xỉ x>>, <<xấp xỉ f(x)>> hầu như không xuất hiện. Có thể nhận xét thêm,
quan điểm <<xấp xỉ x>> được thể hiện ở đây, nhưng lại ngầm ẩn qua quan điểm đại số
khi yêu cầu học sinh kiểm tra lại bằng kỹ thuật đại số.
<lim f ( x) với f ( x) được xét trên khoảng (−∞; −3) ,

x→−∞

lim f ( x) với f ( x) được xét trên khoảng (−3;3) ,

x→3−

lim f ( x) với f ( x) được xét trên khoảng (−3;3) .>> [4; tr.133; SGK]

x→−3+

Và một điều có thể nhận ra là vấn đề tổ chức thực nghiệm bằng đồ thị gặp nhiều
khó khăn đối với học sinh, mà hệ quả là việc đã không có một hoạt động thực nghiệm
số đi kèm trước đó.

1.4 Kết luận :
Như vậy khái niệm giới hạn được xuất hiện đầu tiên thông qua quan điểm
<<xấp xỉ x>>, theo quan điểm này, sự xấp xỉ x đến a kéo theo sự xấp xỉ f(x) đến l.
Nghĩa là "Nếu một đại lượng biến thiên x tiến về một giá trị a (theo nghĩa là nó lấy
những giá trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y phụ thuộc vào x (y là một
hàm số của đại lượng x) tiến về một giá trị l. Nếu x dần dần xích lại gần a kéo theo đại
lượng y xích lại gần l" (BKOUCHER 1996).
Sau này bản chất của khái niệm giới hạn mới thật sự xuất hiện trong quan điểm
<<xấp xỉ f(x)>>. Theo quan điểm này, độ xấp xỉ f(x) với l mong muốn sẽ quyết định

Trang 23

độ xấp xỉ x với a. Định nghĩa theo (ε, δ ) không gì khác hơn là sự hệ thống hóa quan
điểm xấp xỉ này (BKOUCHER 1996). Và cuối cùng là sự xuất hiện của quan điểm đại
số, quan điểm này cho phép thao tác trên các định lý và sử dụng các kết quả liên quan
đến các "giới hạn thông dụng" mà không cần làm rõ bản chất của khái niệm giới hạn.
Thực tế dạy học cho thấy, giáo viên ở các trường trung học phổ thông không
quan tâm tổ chức cho học sinh thực hiện 1 thực nghiệm số với các giá trị của hàm số
f(x) ứng với giá trị cụ thể của biến x và không đi sâu vào phần quan sát đồ thị, mà qua
đó có thể hình thành quan điểm <<xấp xỉ x>> của khái niệm giới hạn hay manh nha
các ý tưởng về quan điểm <<xấp xỉ f(x)>>, vì thế học sinh hiểu không đầy đủ về ý
nghĩa của khái niệm giới hạn. Ở đây, giáo viên chỉ quan tâm đến mục đích hình thành
các thao tác kỹ thuật để giải quyết các nhiệm vụ chứng minh lim f ( x) = L . Có thể
x→ a

nhận xét thêm sách giáo viên cũng đã không làm rõ tầm quan trong của các hoạt động
thực nghiệm số và quan sát đồ thị góp phần khiến giáo viên bỏ qua các hoạt động này.
Ngoài ra, dường như giáo viên cũng thiếu những bài giảng mẫu về các hoạt động này.
Vì vậy trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ thiết kế một hoạt động mẫu, mong
muốn có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, các tình huống dạy học với những ví
dụ không đơn giản, học sinh sẽ được trực tiếp thao tác trên phần mềm trong một tình
huống gợi vấn đề mà trong đó thực nghiệm số và quan sát đồ thị đóng vai trò chính
yếu, để xem những tình huống đó có áp dụng được trong dạy học phổ thông Việt Nam
được hay không.


Trang 24

CHƯƠNG 2

THỰC NGHIỆM
2.1 Giả thuyết Rogalski và mục đích thực nghiệm :
2.1.1 Giả thuyết Rogalski :
Giả thuyết của Rogalski (1994) khi dạy học khái niệm hội tụ ở bậc đại học
“Để dạy sinh viên hiểu khái niệm hội tụ và sử dụng khái niệm này giải toán, chúng ta
không được giới hạn cho họ giải các bài tập quá cơ bản. Điều này tránh hình thành cho
sinh viên những mô hình quá đơn giản hay sai tạo thành các chướng ngại dạy học.”

2.1.2 Mục đích thực nghiệm :
Giảng dạy khái niệm giới hạn hữu hạn gắn với các nghĩa thực sự của khái niệm
sau khi khái niệm đã được giới thiệu ở trường phổ thông.
Nghiên cứu khái niệm giới hạn với các ví dụ không đơn giản thông qua các thực
nghiệm số và quan sát đồ thị để xem xét giả thuyết của Rogalski trong dạy học phổ
thông Việt Nam.
Các mục đích này nhằm trả lời cho nghi vấn sau đây :

Phải chăng chúng ta không thể giảng dạy khái niệm giới hạn với quan điểm
« xấp xỉ f(x) » ở trường phổ thông ?

2.2 Những lựa chọn cho hoạt động :
Chọn hai hàm số
a) y = f ( x) = x sin

1
1
b) y = f ( x) = sin
x
x

Vấn đề : Khảo sát hành vi của hàm số khi x gần 0


Trang 25

2.2.1 Nghiên cứu toán học :
1
a) lim( x sin ) = 0
x→ 0
x
Chứng minh :
Ta có 0 ≤ xsin

1
1
≤ x (do 0 ≤ sin ≤ 1 ∀x ∈ ℝ \ {0})
x
x

Mà lim 0 = lim x = 0
x→ 0

x→ 0

1
Nên lim( x sin ) = 0 (định lý kẹp)
x→ 0
x
Hiện nay ở các sách giáo khoa phổ thông không đưa định lý kẹp vào dạy chính

1
thức mà chỉ đưa vào bài đọc thêm, vì vậy để tìm lim( x sin ) mà không dùng định lý
x→ 0
x
kẹp ta phải thông qua một định lý được giới thiệu trong Sgk Đại số và Giải tích 11
nâng cao, trang 129 : Định lý 1
"Cho hai dãy số (un ) và (vn )
Nếu un ≤ vn với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0 ."
1
Tìm lim( x sin ) với định lý vừa nêu :
x→ 0
x
Xét hàm số f ( x) = x sin

1
. Với mọi dãy số ( xn ) mà xn ≠ 0 với mọi n và lim xn = 0 ,
x

ta có f ( xn ) = xn sin

1
.
xn

Vì f ( xn ) = xn sin

1
≤ xn và lim xn =0
xn

1
Nên lim f ( xn ) =0. Do đó lim f ( x) = lim( x sin ) = 0 .
x→ 0
x→ 0
x
Kết luận : Hàm số có giới hạn tại x = 0.