ĐÁP án và đề CÔNG PHÁ 01 hàm số HHKG và lớp 11 lần 01
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (804.24 KB, 24 trang )
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
ĐỀ CÔNG PHÁ 01. THEO LỊCH TRÌNH KÌ THI THPT 2020
(Đề gồm 6 trang – 50 Câu – Thời gian làm bài 90 phút)
(Nội dung: Hàm số - HHKG - Đạo hàm - Giới hạn - Dãy số - THXS)
Câu 1: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó ?
x 1
A. y
.
B. y x3 3x 1 .
C. y x4 x2 1 .
x2
Câu 2: Hình lập phương thuộc loại đa diện đều:
A. (3;4) .
B. (3;5) .
C. (4;3) .
Câu 3: Hình tứ diện đều có mấy mặt phẳng đối xứng ?
A. 4 .
B. 5 .
C. 3 .
3
D. y sin 2019 x .
D. (3;3) .
D. 6 .
2
Câu 4: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) x 3x 1 trên đoạn [ 1;1] bằng:
A. 1 .
C. 3 .
B. 1 .
D. 2 .
4
x 3x 3
tại x0 0 là:
x 1
A. 2 .
B. 0 .
C. 1.
D. không xác định.
Câu 6: Cho cấp số nhân có số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng đầu và công bội dương. Giá trị của công
bội của cấp số nhân tương ứng là:
Câu 5: Giá trị đạo hàm của hàm số f ( x)
1 5
5 1
.
C.
.
2
2
2n 2 n3 2019
u
Câu 7: Giới hạn của dãy số n
tương ứng bằng:
n2 1
A.
1 5
.
2
A. 2 .
B.
B. 0 .
C.
D.
1
.
2
3
.
2
D. .
Câu 8: Cho hàm số f ( x) x cos x . Giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số tại x0
là:
2
A. 1 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 0 .
Câu 9: Cho hàm số trùng phương y f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f ( x) tương ứng với hàm
nào dưới đây ?
1
1
f ( x)
O
2
x
A. f ( x) x4 2 x2 1 .
B. f ( x) x 4 2 x2 8 .
1
1
C. f ( x) x 4 x 2 1 .
8
4
D. f ( x) x4 2 x2 1.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 1
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Câu 10: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AC = 2AB = 2a; SA vuông góc với
đáy (ABC). Biết góc tạo bởi SC và đáy là 600. Thể tích hình chóp SABC bằng:
a3 2
A.
.
3
a3 3
C.
.
2
3
B. a .
2a3 2
D.
.
9
x 1 2
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (nếu chỉ tính tiệm cận
( x 2)( x 2) 2
Câu 11: Đồ thị hàm số f ( x)
đứng và tiệm cận ngang) ?
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 0 .
Câu 12: Có 8 bạn Nam và 4 bạn Nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 bạn mà có cả Nam và Nữ ?
A. 424 .
B. 495 .
C. 425 .
D. 486 .
Câu 13: Cho mặt cầu (S) có diện tích bằng 36 thì thể tích hình cầu giới hạn bởi (S) bằng:
100
64
A. 72 .
B.
.
C. 36 .
D.
.
3
3
Câu 14: Cho hàm số y f ( x) xác định trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ. Số điểm cực trị
của hàm số là:
x
2
f '( x)
0
+
0
+
B. 1.
A. 3 .
1
20
2
20
19
20
Câu 15: Tổng C C ... C
A. 220 2 .
2
0
+
C. 0 .
D. 2 .
C. 220 .
D. 219 1 .
có giá trị bằng:
B. 220 1 .
Câu 16: Hàm số f ( x ) x 4 2 5 x có giá trị lớn nhất nhỏ nhất lần lượt là M và m . Khi đó giá trị
của biểu thức (M m) bằng:
A. 9 .
B. 3 3 5 .
C. 6 3 5 .
D. 6 2 3 .
Câu 17: Cho một hình trụ (T) có bán kính đáy r và chiều cao h thỏa mãn h 3r 12 . Diện tích toàn phần
của hình trụ là:
A. 128 .
B. 144 .
C. 100 .
D. 96 .
Câu 18: Cho hàm số f ( x) x3 3x2 4 có đồ thị (C). Gọi là tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ
x0 1 . Khoảng cách từ A(3;1) đến nằm trong khoảng nào dưới đây ?
A. (1; 2) .
B. (2;4) .
C. (4;5) .
D. (5;8) .
Câu 19: Điểm A nằm trên bờ hồ và điểm C nằm ở giữa hồ sao cho
khoảng cách từ C đến bờ hồ là 200m và khoảng cách từ C đến A là
300m. Người ta mắc một đường dây điện từ A đến C, với tri phí mắc dây
trên đất liền là 2000VNĐ trên 1m dây và chi phí mắc dây trên hồ nước là
5000VNĐ trên 1m dây. Hãy tính chính xác tới hàng trăm VNĐ, chi phí
mắc dây nhỏ nhất ?
A. 1363000 VNĐ.
B. 1360000 VNĐ.
C. 1371000 VNĐ.
D. 1364000 VNĐ.
u 1
u
Câu 20: Cho cấp số cộng có 1
. Hãy tính giá trị của giới hạn: lim n2 ?
n n
d 2
A. 1.
B. 0.
C. 4.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
D. 2.
Trang 2
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Câu 21: Cho phương trình x3 ax 2 bx c 0 có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 1 x2 x3 . Phát
biểu nào dưới đây luôn đúng ?
A. b 2 3ac 0 .
B. a b c 1 0 .
C. a 0; b 0; c 0 .
D. a 2 3b 0 .
Câu 22: Cho một tam giác vuông ABC quay quanh một cạnh góc vuông AB thì thu được một mặt nón có
diện tích xung quanh và diện tích đáy lần lượt là 12π và 9π. Diện tích tam giác ABC bằng:
3 2
4 3
3 7
.
C.
.
D.
.
2
5
2
Câu 23: Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn: un 2n 2u4 14 với n Z . Hỏi số hạng đầu của dãy số
A. 4 2 .
B.
bằng bao nhiêu ?
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 2 .
0
Câu 24: Dùng một miếng bìa hình quạt có bán kính là 6 và góc ở tâm là 90 để cuốn thành mặt nón (N).
Thể tích của hình nón thu được tương ứng là:
125 2
9 15
2 6
2 6
B.
C.
D.
6
8
3
6
Câu 25: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với ABC , tam giác ABC vuông cân tại A ,
A.
AB 2a , góc giữa SBC và mặt đáy bằng 600 . Thể tích khối chóp S . ABC là:
16 2a3
3
Un
U 1
Câu 26: Cho dãy số 1
.
n 2 . Tính nlim
2
2 n 2018
U n U n 1 n
A.
125 2a3
6
B.
2 6a3
6
C.
D.
2 6a3
3
1
1
A. .
B. .
C. 0.
D. 2018.
2
4
Câu 27: Công thức tính thể tích của khối lăng trụ n – giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:
1
1
1
1
2
A. V na 3 cot .
B. V na 3 cot .
C. V na 3 tan .
D. V na 3 cot
.
3
n
4
n
3
n
4
n
Câu 28: Cho khai triển (1 x) 2020 a0 a1 x ... a2020 x 2020 . Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị của các hệ
số a0 , a1, … ,an của khai triển. Số phần tử của tập S là:
A. 2021 .
B. 2020 .
C. 1011.
D. 1010 .
2
x mx 2m 1
khi x 0
x
1
Câu 29: Tìm m để hàm số f ( x )
liên tục tại x 0.
2
x
8
m
1
khi x 0
1 x 2
1
A. 1
B.
C. 3
D. 1
2
a( x 4 2 x 2 ) b( x 2 2) cx 4 x 2 1
Câu 30: Biết rằng lim
2 . Giá trị của biểu thức (a b c) tương
3
2
3
x
a(2 x x) b( x x ) cx 2019
ứng bằng:
5
A. 3
B.
C. 2
D. 1
3
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 3
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Câu 31: Cho hàm số y f ( x) x 4 2(m 1) x 2 m 2 2m (C). Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị của
tham số m để đồ thị (C) có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
1. Số phần tử của tập S bằng:
A. 2
B. 3
C. 0
D. 1
Câu 32: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có ba đường chéo AC 8; AB ' 8; AD ' 6 . Diện tích
xung quanh của hình hộp chữ nhật ABB ' A '.DCC ' D ' tương ứng bằng:
A. 24 23
B. 24 23 36
C. 36 23
D. 12 23 36
m3 1 m 4 3 x 2 1
Câu 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y
đồng
x
3 x3
2x4
biến trên khoảng 0; .
A. 2 .
B. 4 .
C. 1.
D. 6 .
Câu 34: Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BD = 4, AB = CD = 6, BC = x. Biết rằng tâm I của mặt cầu (S)
ngoại tiếp tứ diện ABCD nằm trong khối tứ diện ABCD. Khi bán kính của mặt cầu (S) bằng 3 thì giá trị
thực x nằm trong khoảng nào dưới đây ?
9
A. ( ;5) .
2
9
B. (4; ) .
2
7
C. ( ; 4) .
2
D. (5;
11
).
2
Câu 35: Cho hàm số bậc ba y f ( x) x 3 3(m 1) x 2 9(2m 1) x n có đồ thị (Cm); với m và n là
những tham số thực. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực
trị A và B tạo với gốc tọa độ O thành 3 điểm cách đều. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng:
19
11
15
A.
.
B. .
C. 1 .
D. .
4
4
2
1
Câu 36: Cho hàm số f ( x)
. Giá trị của đạo hàm cấp 10 của hàm số f ( x) tại điểm x0 1 có giá
x( x 2)
trị tương ứng bằng:
A. 10! .
B. 2.(10!) .
C. (10!) .
D. 2.(10!) .
Câu 37: Cho dãy số un có các số hạng u1 2; un 1 2un 3n 1 với n 2 và n Z . Số hạng thứ 20
của dãy số tương ứng là:
A. 7339970 .
B. 3669954 .
C. 3670016 .
D. 2019202 .
Câu 38: Cho khối đa diện lồi (H) gồm có 8 đỉnh là A, B, C, D, M, N, P, Q ; trong đó có hai mặt (ABCD)
và (MNPQ) là hai hình vuông song song với nhau; hình chiếu vuông góc của M ,N , P, Q lên mặt (ABCD)
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Biết rằng AM AB 2a . Hãy tính theo a thể tích
khối đa diện (H) ?
10a3 3
5a3 3
a3 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
6
12
6
Câu 39: Có 8 đồ vật khác nhau ta đem chia cho 6 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật. Xác
suất để sao cho không có ai được nhiều hơn 2 đồ vật tương ứng bằng:
11
1
15
13
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
20
15
4
19
A.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 4
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Câu 40: Biết hai đồ thị hàm số f x x 3 3x và g x f x m ( với m là tham số ) cắt nhau tại hai
điểm phân biệt A, B . Gọi M là trung điểm của AB . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để 2OM 1 ?
A. 5 .
B. 6 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 41: Cho hàm số f ( x) (1 x x2 )10 . Giá trị của đạo hàm cấp 5 tại x0 = 0 của hàm số là:
A. 174240 .
B. 34848 .
C. 1045440 .
D. 24360 .
Câu 42: Cho hình tứ diện ABCD có thể tích bằng V, trên cạnh AB lấy hai điểm M và N, trên cạnh CD lấy
MN
PQ
hai điểm P và Q sao cho:
2
1 . Thể tích của khối tứ diện MNPQ đạt giá trị lớn nhất tương ứng
CD
AB
bằng:
V
V
V
V
A.
.
B. .
C. .
D.
.
6
8
4
12
Câu 43: Gọi S là tập hợp chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
f x x3 3 m x mx m 2 3m có giá trị nhỏ nhất trên 0;2 bằng 4 . Số phần tử của tập S là
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 1.
Câu 44: Cho hàm số y f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để phương trình f 1 15 2 x x 2 m có đúng 4 nghiệm thực ?
y
9
f ( x)
8
3
O
2
1
1
x
1
3
5
A. 6
B. 5
C. 8
D. 7
Câu 45: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AC = AD = CA’ = a, AA’ = DA’ = a 2 . Thể tích lớn nhất của
hình hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng:
A.
a3 14
.
4
B.
a 3 15
.
4
C. 2a3 .
3
D. a 2 .
Câu 46: Cho tập S gồm tất cả các ước số nguyên dương của 990000. Chọn ngẫu nhiên từ tập S hai phần
tử . Xác suất để chọn được cả hai phần tử đều lớn hơn 1000 là:
A.
1
.
2
B.
2701
.
11175
C.
876
.
3725
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
D.
852
.
3725
Trang 5
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Câu 47: Cho hàm số y f ( x) x 5 2021x . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương
trình f m sin x 2 cos x f sin x 2m 3 0 có nghiệm
A. 1.
B. 2 .
C. 4 .
D. 3 .
Câu 48: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và có bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ là a. Gọi M là trung điểm của BB’; một mặt cầu thay đổi (T) đi qua A và M
đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (A’B’C’) tại D. Quỹ tích điểm D là đường cong có chu vi bằng:
2 a 30
4 a 11
a 15
3 a
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
2
2
Câu 49: Cho hàm số f ( x) x4 2 x2 2 có đồ thị (C). Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị tuyệt đối của
hoành độ các điểm nằm trên đường thẳng y 3 để từ đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (C). Tổng tất
cả các phần tử của S nằm trong khoảng nào dưới đây ?
A. (0;1) .
B. (2;4) .
C. (4;6) .
D. (1;2) .
A.
Câu 50: Cho hàm số y f ( x3 3x 2 1) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số y f | x | ( x 2 3) 3
có tất cả bao nhiêu điểm cực trị ?
y
f x 3 3 x 2 1
2
O
A. 1
B. 3
x
C. 5
D. 7
---------- Hết ----------
KHÓA CÔNG PHÁ ĐỀ DÀNH CHO KÌ THI THPT 2020
(Gồm 10 đề lịch trình - 30 đề thi thử toàn quốc - 20 đề chuẩn cấu trúc đẳng cấp full Video)
(Hãy tham gia khóa học IM1B của TDM_TL để có mọi khóa học nhỏ chất lượng)
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 6
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
ĐÁP ÁN.
1B 2C
11C 12A
21B 22D
31A 32D
41A 42A
3D
13C
23B
33C
43D
4A
14D
24C
34A
44C
5B
15A
25D
35D
45A
6A
16B
26B
36C
46B
7D
17A
27B
37B
47C
TDM_TL
8B
18A
28C
38A
48A
9C
19D
29A
39C
49D
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
10B
20B
30D
40B
50C
Trang 7
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT NHỮNG CÂU VD VDC:
Câu 19: (3 – D) Điểm A nằm trên bờ hồ và điểm C nằm ở giữa hồ sao cho khoảng cách từ C đến bờ hồ là
200m và khoảng cách từ C đến A là 300m. Người ta mắc một đường dây điện từ A đến C, với tri phí mắc
dây trên đất liền là 2000VNĐ trên 1m dây và chi phí mắc dây trên hồ nước là 5000VNĐ trên 1m dây. Hãy
tính chính xác tới hàng trăm VNĐ, chi phí mắc dây nhỏ nhất ?
A
N
300m
M
200m
C
A. 1363000 VNĐ.
Giải:
B. 1360000 VNĐ.
C. 1371000 VNĐ.
D. 1364000 VNĐ.
Gọi M là chân đường cao hạ từ C đến bờ hồ. Suy ra: CM 200m ; CA 300m ; AM 100 5m
Gọi MN x AN 100 5 x; NC x 2 40000 ; với điều kiện : x [0;100 5]
Chi phí f ( x) 2000. AN 5000.NC 2000(100 5 x) 5000 x2 40000 ; với: x [0;100 5]
Sử dụng CASIO suy nhanh được ra: f ( x)min 1364000 (nhớ là chính xác đến hàng trăm)
Chọn đáp án D.
u 1
u
Câu 20: (3 – B) Cho cấp số cộng có 1
. Hãy tính giá trị của giới hạn: lim n2 ?
n
n
d 2
A. 1.
B. 0.
C. 4.
D. 2.
Giải:
u 1
u
2n 1
1
un u1 ( n 1) d 1 ( n 1).2 2 n 1 lim n2 lim 2 0 . Chọn đáp án B.
n n
n
n
d 2
Câu 21: (3 – B) Cho phương trình x3 ax 2 bx c 0 có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 1 x2 x3 .
Phát biểu nào dưới đây luôn đúng ?
A. b 2 3ac 0 .
B. a b c 1 0 .
C. a 0; b 0; c 0 .
D. a 2 3b 0 .
Giải:
f ( x)
x1
1
x2
x3
x
Suy ra : f (1) a b c 1 0 ; ' y ' a 2 3b 0 . Chọn đáp án B.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 8
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Câu 22: (3 – D) Cho một tam giác vuông ABC quay quanh một cạnh góc vuông AB thì thu được một mặt
nón có diện tích xung quanh và diện tích đáy lần lượt là 12π và 9π. Diện tích tam giác ABC bằng:
A. 4 2 .
B.
3 2
.
2
4 3
.
5
C.
D.
3 7
.
2
Giải:
A
h
1
B
r
C
S 12 rl .BC. AB 2 BC 2
BC 3
1
1
3 7
Ta có : xq
S ABC AB. AC . 7.3
2
2
2
2
2
S day 9 r .BC
AB 7
Chọn đáp án D.
Câu 23: (3 – B) Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn: un 2n 2u4 14 với n Z . Hỏi số hạng đầu của
dãy số bằng bao nhiêu ?
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 2 .
Giải:
Ta có : un 2n 2u4 14 công sai: d 2 . Suy ra : u4 u1 3d u1 6
Từ đó suy ra : un 2n 2(u1 6) 14 2u1 2n 2
Lại có: un u1 d (n 1) u1 2(n 1) u1 2n 2
Từ (1) và (2) suy ra: u1 2u1 u1 0 .
Chọn đáp án B.
Câu 24: (3 – C) Dùng một miếng bìa hình quạt có bán kính là 6 và góc ở tâm là 900 để cuốn thành mặt
nón (N). Thể tích của hình nón thu được tương ứng là:
125 2
6
Giải:
A.
B.
2 6
6
C.
9 15
8
D.
2 6
3
R l
Hình vẽ minh họa: Khi cuốn lại thành mặt nón ta được
L 2 .R 2 r
( với r , l là bán kính đáy và đường sinh của mặt nón )
3
l 6
l 6
2
1 9 3 15 9 15
Vnon . .
3r
3 4 2
8
2 .6 2 r
r 2
h l 2 r 2 3 15
2
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 9
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Chọn đáp án C.
Câu 25: (3 – D) Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với ABC , tam giác ABC vuông cân tại A ,
AB 2a , góc giữa SBC và mặt đáy bằng 600 . Thể tích khối chóp S . ABC là:
125 2a3
A.
6
Giải:
2 6a3
B.
6
16 2a3
C.
3
1
Ta có ABC vuông cân tại A , AB 2a SABC . AB 2 2a 2 .
2
1
1
AM .BC
AB 2 AC 2 2a
2
2
BC SA
BC SM .
Gọi M là trung điểm của BC ta có:
BC AM
600 . SAM vuông tại M
góc giữa SBC và mặt đáy là SMA
2a.tan 600 6a
SA AM .tan SMA
Thể tích VS . ABC
2 6a3
D.
3
1
1
2 6a 3
SA.SABC . 6a.2a 2
. Chọn đáp án D.
3
3
3
Un
U 1
Câu 26: (3 – B) Cho dãy số 1
?
n 2 . Hãy tính nlim
2
U
U
n
2
n
2018
n 1
n
1
1
A. .
B. .
C. 0.
D. 2018.
2
4
Giải:
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 10
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
U1 1
U U 2 1 2
n2 n
2
1
Un
n(n 1)
1
I lim
lim 2 2
.
Ta có: U 3 U 2 3 1 2 3 U n
2
n 2n 2018
n 2 n 2018
2
4
...
U n 1 2 3 ... n
Chọn đáp án B.
Câu 27: (3 – B) Công thức tính thể tích của khối lăng trụ n – giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:
1
1
1
1
2
A. V na 3 cot .
B. V na 3 cot .
C. V na 3 tan .
D. V na 3 cot
.
3
n
4
n
3
n
4
n
Giải:
Gọi A1 A2 ... An là đáy của khối lăng trụ đều và O là tâm của đa giác đều A1 A2 ... An . Hạ ON A1 A2 .
a
Ta có: ON A1 N cot
NOA1 cot
2
n
1
1
Do đó diện tích đáy của khối lăng trụ đều là: S n.SOA1 A2 n. . A1 A2 .ON na 2 cot
2
4
n
Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ đều nên chiều cao của nó bằng cạnh bên: h a
1
Vậy thể tích của khối lăng trụ là V S .h .na 3 cot . Chọn đáp án B.
4
n
Có thể cho n = 4 = hình lập phương.
Câu 28: (3 – C) Cho khai triển (1 x) 2020 a0 a1 x ... a2020 x 2020 . Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị của
các hệ số a0 , a1, … ,an của khai triển. Số phần tử của tập S là:
A. 2021 .
B. 2020 .
C. 1011.
D. 1010 .
Giải:
Nhận thấy có 2021 hệ số đều dương: a0 ; a1 ; a2020 0
0
2020
1
2019
1009
1011
a0 C2020
a2020 C2020
; a1 C2020
a2019 C2020
;... a1009 C2020
a1011 C2020
Như vậy có 1010 cặp hai số hạng bằng nhau và một số hạng nằm giữa a2010
Suy ra tập S có tất cả 1011 phần tử. Chọn đáp án C.
x 2 mx 2m 1
khi x 0
x
1
Câu 29: (3 – A) Tìm m để hàm số f ( x )
liên tục tại x 0.
2
x
8
m
1
khi x 0
1 x 2
A. 1
B.
1
2
C. 3
D. 1
Giải:
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 11
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
x 2 mx 2m 1
2m 1
x0
x 0
x 1
2 x 8m 1 8m 1
lim f ( x) lim
x 0
x 0
3
1 x 2
Ta có: lim f ( x) lim
Hàm số liên tục tại x 0 khi và chỉ khi lim f ( x) lim f ( x) f (0)
x 0
2m 1
x 0
8m 1
m 1 . Chọn đáp án A.
3
a( x 4 2 x 2 ) b( x 2 2) cx 4 x 2 1
Câu 30: (4 – D) Biết rằng lim
2 . Giá trị của biểu thức
3
2
3
x
a(2 x x) b( x x ) cx 2019
(a b c) tương ứng bằng:
B.
A. 3
5
3
C. 2
D. 1
Giải:
a( x 4 2 x 2 ) b( x 2 2) cx 4 x 2 1
(a c) x 4 (2a b 1) x 2 2b 1
lim
Ta có: lim
2
3
2
3
3
2
x
a (2 x x) b( x x ) cx 2019 x (2a b) x bx (c a) x 2019
1
a4
ac 0
1
Suy ra: 2a b 0 b (a b c) 1 Chọn đáp án D.
2
2a b 1
1
2
b
c 4
Câu 31: (4 – A) Cho hàm số y f ( x) x 4 2(m 1) x 2 m 2 2m (C). Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị
của tham số m để đồ thị (C) có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp
bằng 1. Số phần tử của tập S bằng:
A. 2
B. 3
C. 0
D. 1
Giải:
Điều kiện để tồn tại ba điểm cực trị là: ab 0 m 1
(*)
Tọa độ của ba điểm cực trị là: A 0; m 2 2m ; B m 1; 1 ; C
m 1; 1
A 0; m 2 2m
R 1
I
R 1
B m 1; 1
M 0; 1
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
C
m 1; 1
Trang 12
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Ta có tam giác cực trị cân tại đỉnh A, suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên trục tung. Dễ dàng
suy ra được tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I là: I 0; m 2 2m 1
2
Suy ra: IC R 1 ( m 1 0) 2 m 2 2m m 4 4m3 4m 2 m 1 1
m 0 (TM )
m 1 (ko TM )
m 4 4m3 4m 2 m 0 m(m 1) m 2 3m 1 0 m 3 5 (TM )
2
3 5
(ko TM )
m
2
3 5
Suy ra các giá trị tham số m thỏa mãn là: S 0;
.
2
Suy ra có hai giá trị tham số m thỏa mãn.
Chọn đáp án A.
Câu 32: (4 – D) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có ba đường chéo AC 8; AB ' 8; AD ' 6 .
Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật ABB ' A '.DCC ' D ' tương ứng bằng:
A. 24 23
B. 24 23 36
C. 36 23
D. 12 23 36
Giải:
Gọi các cạnh của hình hộp chữ nhật là: AB a; AD b ; AA ' c
a 46
a 2 b 2 82
Suy ra hệ phương trình: b 2 c 2 62 b 3 2
c 2 a 2 82
c 3 2
B
a
A
8
b
c
C
D
6
B'
A'
8
C'
D'
Suy ra diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật ABB ' A '.DCC ' D ' là:
S xq _ ABB ' A '.DCC ' D ' 2 ab bc 2.
Chọn đáp án D.
46.3 2 3 2.3 2 12 23 36 .
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 13
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Câu 33: (4 – C) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
m3 1 m 4 3 x 2 1
y
đồng biến trên khoảng 0; .
x
3 x3
2x4
A. 2 .
B. 4 .
C. 1.
Giải:
D. 6 .
1 m3 m 4 3 x 2 2
4
0 x 0;
x2
x
x5
Ta có y
1 m3 x3 m 4 x 3 x 2 2 0 x 0;
x 1 x 1 mx mx x 0; ,
Xét hàm số f t t 3 t , t R, f t 3t 2 1 0t
Suy ra f x 1 f mx x 1 mx m 1
Chọn đáp án C.
3
3
1
với x 0; suy ra m 1 suy ra m 1
x
Câu 34: (4 – A) Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BD = 4, AB = CD = 6, BC = x. Biết rằng tâm I của mặt
cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD nằm trong khối tứ diện ABCD. Khi bán kính của mặt cầu (S) bằng 3 thì
giá trị thực x nằm trong khoảng nào dưới đây ?
9
B. (4; ) .
2
9
A. ( ;5) .
2
7
C. ( ; 4) .
2
D. (5;
11
).
2
Giải:
A
2
M
3
R=3
I
C
D
x/2
N
B
ABCD là tứ diện gần đều. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC , suy ra dễ dàng chứng
minh được MN là trung trực của AD và BC.
Độ dài đường trung bình MN là:
1
1 2
1
MN
AB 2 CD 2 AC 2 BD 2 AD 2 BC 2
6 6 2 4 2 4 2 42 x 2
88 x 2
2
2
2
Tam giác IMA vuông tại M suy ra:
1
IM IA2 MA2 32 22 5 IN MN IM
88 x 2 5
2
Xét tam giác vuông INC, suy ra:
1
x2
2 145
2
2
IC IN NC 3 ( 88 x 5) x
4,81 . Chọn đáp án A.
2
4
5
2
2
2
2
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 14
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Câu 35: (4 – D) Cho hàm số bậc ba y f ( x) x 3 3(m 1) x 2 9(2m 1) x n có đồ thị (Cm); với m và n
là những tham số thực. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm
cực trị A và B tạo với gốc tọa độ O thành 3 điểm cách đều. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng:
19
11
15
A.
.
B. .
C. 1 .
D. .
4
4
2
Giải:
Đạo hàm: f ' x 3. x 2 2(m 1) x 6m 3 3. x 3 x 2m 1
Điều kiện để tồn tại hai điểm cực trị là: 2m 1 3 m 2
Để hai điểm cực trị A 3; y A ; B 2m 1; yB ; O 0;0 cách đều nhau thì ta có các trường hợp sau:
x A xB
3 2m 1
0
2 xO
m 1
2
xA xO x 3 0 2m 1 m 5
B
2
2
4
x x
0 2m 1
7
B
O
3 m
xA
2
2
2
(*)
(**)
5 7
Kết hợp (*) và (**), suy ra các giá trị m thỏa mãn là: S 1; ;
4 2
15
Suy ra tổng tất cả các phần tử của tập S là:
. Chọn đáp án D.
4
Chúng ta lưu ý rằng không cần phải điều kiện về tung độ vì luôn có tham số n tự điều chỉnh được
điều kiện về tung độ. Bài toán này bẫy lôi kéo thời gian những em học sinh cầu toàn và chi tiết.
Câu 36: (4 – C) Cho hàm số f ( x)
1
. Giá trị của đạo hàm cấp 10 của hàm số f ( x) tại điểm
x( x 2)
x0 1 có giá trị tương ứng bằng:
B. 2.(10!) .
A. 10! .
C. (10!) .
D. 2.(10!) .
Giải:
Ta có: f ( x)
1
xb
(n)
1
1 1
1
và áp dụng công thức đạo hàm cấp cao:
x( x 2) 2 x 2 x
(1)n .n !
. Ta suy ra:
( x b) n1
1 (1)10 .10! (1)10 .10!
1 (1)10 .10! (1)10 .10!
(10)
f
(
x
)
|
(10!)
x 1
2 ( x 2)11
x11
2 (1 2)11
111
Chọn đáp án C.
f ( x)
(10)
Câu 37: (4 – B) Cho dãy số un có các số hạng u1 2; un 1 2un 3n 1 với n 2 và n Z . Số hạng
thứ 20 của dãy số tương ứng là:
A. 7339970 .
B. 3669954 .
C. 3670016 .
D. 2019202 .
Giải:
Cách 1: Dành cho người đã quá biết về dãy số nâng cao rồi và ai chưa biết cứ cố mà biết.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 15
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Dạng dãy số thỏa mãn un 1 un an b số hạng tổng quát có dạng: un x. n yn z
Áp dụng vào bài toán này, ta có: un x.2n yn z
Số hạng đầu tiên: u1 x.21 y.1 z 2 x y z 2
Thay vào hệ thức liên hệ: un 1 x.2n 1 y (n 1) z 2un 3n 1 2 x.2n yn z 3n 1
x.2n 1 yn z y x.2n 1 (2 y 3)n 2 z 1 với n
2y 3 y
y 3
7
Suy ra:
. Thay vào (*), suy ra: x
2
2 z 1 y z
z 2
Suy ra số hạng tổng quát là: un x.2n y.n z 7.2n1 3n 2 .
Suy ra số hạng thứ 20 của dãy số là: u20 7.2201 3.20 2 3669954 . Chọn đáp án B.
Cách 2: Dành cho các em hsg tìm hiểu lại cách làm về dãy số nâng cao:
Tách: un 1 2un 3n 1 2 un f (n) f (n 1) un 1 f (n 1) 2 un f (n) vn1 2 vn
CSN vn có công bội q 2
Rồi tiến hành đặt vn un f (n)
Gợi ý bài này chọn hàm: f ( n) x.n y ...
(*)
Câu 38: (4 – A) Cho khối đa diện lồi (H) gồm có 8 đỉnh là A, B, C, D, M, N, P, Q ; trong đó có hai mặt
(ABCD) và (MNPQ) là hai hình vuông song song với nhau; hình chiếu vuông góc của M ,N , P, Q lên mặt
(ABCD) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Biết rằng AM AB 2a . Hãy tính theo a
thể tích khối đa diện (H) ?
10a3 3
5a3 3
a3 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
6
12
6
Giải:
Hình vẽ minh họa: {Ta có thể giải theo cách như VIDEO chữa đề sẽ nhanh hơn một ít}
A.
P
Q
N
M
2a
D
C
Q'
A
a
2a
M'
2
B
a2 a 3
Ta dễ dàng tính được: MM '
Chia khối đa diện đã cho thành (hình lăng trụ đều có đáy là MNPQ và chiều cao là MM') và (4
khối chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật dạng như A.MQQ'M ')
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 16
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
AC
AC a 2
a 2 ; d A;( MQQ ' M ')
2
4
2
Dễ dàng tính được: MN
Suy ra thể tích lăng trụ: VMNPQ.M ' N ' P 'Q ' a 2 .a 3 2a 3 3
Thể tích một khối chóp tứ giác:
2
1
1
a 2 a3 3
VA.MQQ ' M ' .S MQQ ' M ' .d A;( MQQ ' M ') . a 2.a 3 .
3
3
2
3
Suy ra thể tích khối đa diện (H) được tính là:
a 3 3 10a 3 3
. Chọn đáp án A.
3
3
Câu 39: (4 – C) Có 8 đồ vật khác nhau ta đem chia cho 6 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ
vật. Xác suất để sao cho không có ai được nhiều hơn 2 đồ vật tương ứng bằng:
11
1
15
13
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
20
15
4
19
Giải:
Trường hợp 1: 5 người mỗi người được một đồ vật và 1 người còn lại được 3 đồ vật: "111113"
C61.8!
Số cách chia của trường hợp này là:
{ C61 là chọn ra 1 trong 6 người để chia cho 3 đồ vật;
3!
8!
là hoán vị lặp 8 đồ vật khác nhau trong đó có 3 đồ vật bị lặp}
3!
Trường hợp 2: 4 người mỗi người được một đồ vật và 2 người còn lại mỗi người sẽ được 2 đồ
vật: "111122"
C62 .8!
Số cách chia của trường hợp này là:
{ C62 là chọn ra 2 trong 6 người để chia cho 2 đồ vật;
2!2!
8!
là hoán vị lặp 8 đồ vật khác nhau trong đó có 2 lần 2 đồ vật bị lặp}
2!2!
C62 .8!
15
Suy ra xác suất cần tính là: P 1 2!2! 2 . Chọn đáp án C.
C6 .8! C6 .8! 19
3!
2!2!
Câu 40: (4 – B) Biết hai đồ thị hàm số f x x 3 3x và g x f x m ( với m là tham số ) cắt nhau
V( H ) VMNPQ.M ' N ' P 'Q ' 4VA.MQQ ' M ' 2a 3 3 4.
tại hai điểm phân biệt A, B . Gọi M là trung điểm của AB . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
2OM 1 ?
A. 5 .
B. 6 .
C. 3 .
D. 4 .
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm f x f x m 3x 2 3mx m2 3 0
Để hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi 12 m2 0 m2 12 2 3 m 2 3 (1)
Ta có: xA xB m ; x A .xB
2 3 m 1
m 1
Ta có: 4OM 2 1 m2 1
. Kết hợp với (1) suy ra
mà m nguyên.
m 1
1 m 2 3
m2 3
m
, tìm được tọa độ điểm M ; 0 là trung điểm của AB.
3
2
Suy ra m 3; 2; 1;1; 2;3 . Chọn đáp án B.
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 17
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Câu 41: (4 – A) Cho hàm số f ( x) (1 x x2 )10 . Giá trị của đạo hàm cấp 5 tại x0 = 0 của hàm số là:
A. 174240 .
B. 34848 .
C. 1045440 .
D. 24360 .
Giải :
Gọi f ( x) (2 x x 2 )10 a0 a1 x a2 x 2 ... a20 x 20 . Suy ra: f (5) (0) 5!a5
Ta chỉ việc đi tìm hệ số a5 trong khai triển hàm số trên.
(2 x x 2 )10 C10k x 202 k (2 x)k C10k x 202 k Cki .2k i xi C10k Cki .2k i x 202 k i
10
0
Ta có : x
10
i
0
0
k
i
5
x 20 2k i 5 2k i 15 2k 15 k 8
0 k 10
8 k 10
Lại có điều kiện :
0ik
8 k 10
Xét số hạng tổng quát C10k Cki .2k i x 202k i với
. Ta có bảng sau :
0ik
k
8
9
10
i
1
3
5
C108 C81
C109 C93
Hệ số
20 2 k i
k
10
Tổng hệ số của x5
C1010C105
1452
Suy ra : f (5) (0) 5!a5 5!.1452 174240 . Chọn đáp án A.
Câu 42: (4 – A) Cho hình tứ diện ABCD có thể tích bằng V, trên cạnh AB lấy hai điểm M và N, trên cạnh
MN
PQ
2
1 . Thể tích của tứ diện MNPQ đạt giá trị lớn nhất tương
CD lấy hai điểm P và Q sao cho:
CD
AB
ứng bằng:
V
V
V
V
A.
.
B. .
C. .
D.
.
6
8
4
12
Giải:
1
Ta có: VABCD AB.CD.d AB; CD .sin AB; CD V
(1)
6
1
1
VMNPQ MN .PQ.d MN ; PQ .sin MN ; PQ MN .PQ.d AB; CD .sin AB; CD
(2)
6
6
V
V
MN .PQ MN PQ
Lấy (2) chia (1), vế theo vế, ta được: MNPQ MNPQ
.
VABCD
V
AB.CD CD AB
V
MN
PQ
MN PQ
V
2
2.
.2
2 2. MNPQ VMNPQ
CD
AB
CD AB
V
8
MN
PQ 1
2
.
Dấu "=" xảy ra khi:
CD
AB 2
V
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện MNPQ là: VMNPQ _ max .
8
Chọn đáp án A.
Áp dụng BĐT CÔ SI, ta được: 1
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 18
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Câu 43: (5 – D) Gọi S là tập hợp chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
f x x3 3 m x mx m 2 3m có giá trị nhỏ nhất trên 0;2 bằng 4 . Số phần tử của tập S là
B. 3 .
A. 2 .
Giải:
C. 4 .
D. 1.
Ta có x3 3 m x x3 3 m x dấu bằng xảy ra khi x3 3 m x 0 1
Suy ra f x x3 3 m x mx m2 3m x3 3x m2 3m
Xét hàm số g x x3 3x m2 3m trên 0;2 có g x 3x 2 3 0 x 1 0; 2
m 1
Lập bảng biến thiêu suy ra min g x g 1 m2 3m 2 4
0;2
m 2
Với m 1, x 1 thay vào (1) không thỏa mãn
Với m 2, x 1 thay vào (1) thỏa mãn
Vậy S 2 . Suy ra có một phần tử. Chọn đáp án D.
Câu 44: (5 - C) Cho hàm số y f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình f 1 15 2 x x 2 m có đúng 4 nghiệm thực ?
y
9
f ( x)
8
O
2
1
3
x
1
1
3
5
A. 6
B. 5
C. 8
D. 7
Giải:
Đặt t 1 12 4 x x 2 1 16 ( x 2) 2 ; điều kiện x 2;6
x
3
1
5
3
t
1
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
1
Trang 19
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Phương trình đã cho trở thành: f (t ) m . Ta có bảng biến thiên kép như sau:
x
3
t
1
5
1
3
1
0
1
8
8
ym
0
f (t )
0
1
3
3
5
1
0
5
Ta có thể vẽ phác lại đồ thị hàm số y f 1 12 4 x x 2 f (t ) như hình vẽ:
8
f 1 15 2 x x 2
ym
3
5
1
x
1
3
5
Từ đồ thị ta nhận thấy điều kiện để phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm là:
0m8
5 m 3 m 4;1; 2;...;7 có 8 giá trị nguyên của tham số m. Chọn đáp án C.
Câu 45: (5 – A) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AC = AD = CA’ = a, AA’ = DA’ = a 2 . Thể tích lớn
nhất của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng:
a3 14
A.
.
4
Giải:
a 3 15
B.
.
4
C. 2a3 .
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
3
D. a 2 .
Trang 20
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Ta có: VABCD. A' B 'C ' D ' 6VCADA' . Xét hình chóp CADA’ với đỉnh là C và đáy là tam giác ADA’ có:
S ADA '
Xét mặt bên CAA’ có đường cao CK hạ từ C lên AA’ là: CK
a2 7
4
a 2
2
Nếu gọi H là đường cao hạ từ C xuống mặt phẳng (ADA’), suy ra: CH CK
Suy ra: VCADA '
1
1
1 a 2 7 a 2 a 3 14
S ADA ' .CH S ADA ' .CK
.
3
3
3 4
2
24
a 3 14
a 3 14
Suy ra: VCADA '_ max
. Chọn đáp án A.
VABCD. A ' B 'C ' D '_ max 6VCADA '_ max
24
4
Câu 46: (5 – B) Cho tập S gồm tất cả các ước số nguyên dương của 990000. Chọn ngẫu nhiên từ tập S hai
phần tử . Xác suất để chọn được cả hai phần tử đều lớn hơn 1000 là:
1
2701
876
852
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
2
11175
3725
3725
Giải :
2 4 4
Ta có : n 990000 11.3 .2 .5 .
Suy ra ước nguyên dương của n có dạng : 11a3b 2c5d với 0 a 1;0 b 2;0 c 4;0 d 4
Suy ra tổng số ước nguyên dương của n là : 2.3.5.5 150
Nhận thấy tương ứng với một ước số p > 1000 sẽ có một ước số q < 990 để : p.q = n = 990000.
Suy ra số ước lớn hơn 1000 bằng số ước nhỏ hơn 990
Lại nhận thấy số ước nằm trong đoạn [990 ;1000] chỉ có duy nhất hai ước là : 990 và 1000
150 2
74
Như vậy số ước lớn hơn 1000 là :
2
Vậy tập S gồm 150 ước và trong đó chỉ có 74 ước lớn hơn 1000.
Suy ra xác suất cần tính là :
C742
2701
Chọn đáp án B.
2
C150 11175
Câu 47: (4 – C) Cho hàm số y f ( x) x 5 2021x . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
phương trình f m sin x 2 cos x f sin x 2m 3 0 có nghiệm
A. 1.
B. 2 .
C. 4 .
D. 3 .
Giải:
Dễ thấy hàm số đã cho là hàm lẻ vì f ( x) ( x)5 2021( x) x5 2021x f ( x)
Hàm số đơn điệu trên toàn R vì: f '( x) 5 x 4 2021 0 với x R
Ta có:
f m sin x 2 cos x f sin x 2m 3 0 f m sin x 2 cos x f sin x 2m 3
f m sin x 2 cos x f sin x 2m 3 m sin x 2 cos x sin x 2m 3
( m 1) sin x 2 cos x 2m 3 .
Điều kiện có nghiệm: m 1 2 2 2m 3 3m 2 14m 4 0
Suy ra các giá trị m nguyên thỏa mãn là: m S 1; 2;3; 4 . Suy ra có 4 giá trị m nguyên.
Chọn đáp án C.
2
2
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
7 37
7 37
m
3
3
Trang 21
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Câu 48: (5 – A) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và có bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ là a. Gọi M là trung điểm của BB’; một mặt cầu thay đổi (T) đi
qua A và M đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (A’B’C’) tại D. Quỹ tích điểm D là đường cong có chu vi
bằng:
2 a 30
.
3
Giải:
A.
B.
4 a 11
.
3
C.
3 a
.
2
D.
a 15
2
.
a
.
3
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ cũng là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’. Suy ra bán
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy ABC là: RABC
h2
a 2 h2
2a 6
ah
AA '
kính mặt cầu là: R R
4
3 4
3
2
d
A
C
B
M
A’
C’
B’
H
Kéo dài AM cắt đáy (A’B’C’) tại H như hình vẽ. Ta dễ dàng tính ra được:
2a 6 2
2a 15
a 15
) (2a ) 2
HM
3
3
3
Gọi mặt cầu (T) tiếp xúc với (A’B’C’) tại D. Khi đó áp dụng phương tích từ điểm H đến (T) với
HA 2 HM ( AA ')2 ( A ' H )2 (
HMA là cát tuyến và HD là tiếp tu yến, ta có: HM .HA HD2
Suy ra quỹ tích điểm D là đường tròn tâm H bán kính HD
tích chính là chu vi đường tròn, được tính bằng: 2 .HD
a 15 2a 15
a 30
.
HD
3
3
3
a 30
. Suy ra độ dài đường cong quỹ
3
2 a 30
. Chọn đáp án A.
3
Câu 49: (5 – D) Cho hàm số f ( x) x4 2 x2 2 có đồ thị (C). Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị tuyệt
đối của hoành độ các điểm nằm trên đường thẳng y 3 để từ đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (C).
Tổng tất cả các phần tử của S nằm trong khoảng nào dưới đây ?
A. (0;1) .
B. (2;4) .
C. (4;6) .
D. (1;2) .
Giải:
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 22
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
Gọi điểm nằm trên đường thẳng y 3 là A(m; 3) . Phương trình hoành độ tiếp điểm:
f ( x) f '( x)( x m) 3 x4 2 x2 2 (4 x3 4 x)( x m) 3
x 1
( x2 1)(3x 2 4mx 1) 0
2
g ( x) 3x 4mx 1 0
Chúng ta để ý rằng: khi hai tiếp điểm là x 1 thì chỉ có duy nhất một tiếp tuyến là: y 3 .
Còn lại với mỗi tiếp điểm x 1 luôn cho ta một tiếp tuyến.
Như vậy để tồn tại hai tiếp tuyến thì xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình g ( x) 3x 2 4mx 1 0 có nghiệm kép khác x 1
3
m
' 4m 3 0
2
3
3
g (1) 0
m 1 m
| m |
2
2
g (1) 0
m 1
Trường hợp 2: Phương trình g ( x) 3x 2 4mx 1 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một
2
nghiệm x 1
' 4m 2 3 0
' 4m 2 3 0
g (1) 0
m 1 | m | 1
m 1
m 1
g (1) 0
Suy ra: S {1;
3
3
} tổng các phần tử của S là: 1
(1; 2) Chọn đáp án D.
2
2
Câu 50: (5 - C) Cho hàm số y f ( x3 3x 2 1) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số
y f | x | ( x 2 3) 3 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị ?
y
f x 3 3 x 2 1
2
O
A. 1
B. 3
x
C. 5
D. 7
Giải:
Ta đặt g ( x) f ( x3 3x 2 1) và biến đổi:
y f | x | .( x 2 3) 3 f (| x | 1)3 3.(| x | 1) 2 1 g | x | 1
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 23
Bộ đề công phá kì thi THPT 2020 – Môn Toán
TDM_TL
tt ngang ( 1)
loaitru doi xung qua Oy
g ( x 1)
g | x | 1
Ta có chuỗi biến đổi đồ thị như sau: g ( x)
Các điểm cực trị ban đầu của hàm số g ( x) là 0; 2; a 2
Suy ra các điểm cực trị của hàm số g ( x 1) là:
Suy ra hàm số g (| x | 1) f | x | .( x 2 3) 3 có đúng 5 điểm cực trị.
Chọn đáp án C.
1;1; a 1 1 ; có 2 điểm cực trị dương.
---------- Hết ----------
Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.
Trang 24
