VECC TO VA CAC PHEP TOAN VEC TO

Các dạng bài tập cơ bản về biến đổi vectơ
Dạng I:Chứng minh hai vectơ cùng phơng, hai vectơ bằng nhau.
a)- Hai vectơ đợc gọi là cùng phơng nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
- Vectơ
b
cùng phơng với vectơ
a
(
a

O
) khi và chỉ khi co số k sao cho
b
=k
a
b)Hai vectơ bằng nhau:
a
=
b

a
,
b
cùng hớng và
a
=
b
-Chứng tỏ hai vectơ cùng hớng
-Độ dài hai vectơ bằng nhau
VD1:
Cho tam giác ABC Gọi M,N lần lợt là trung điểm hai cạnh AB và AC.

a) Tìm các vectơ lần lợt cùng phơng với
MN
và
MB
b) Tìm các vectơ lần lợt cùng hớng với
MN
và
AB
c) Tìm các vectơ ngợc hớng với
CN
VD2:
Cho hình thoi ABCD .Các đẳng thức sau đây đúng hay sai?vì sao?
a)
AB
=
AD
b)
AB
=
CD
c)
AD
=
BC
d)
AD
=
BC
VD3:
Cho tam giác ABC .Từ trung điểm M,N của các cạnh AB,AC vẽ ME

BC,
NF

BC.CMR:
ME
=
NF
VD4:
Cho tam giác ABC cân tại A,trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho D không trùng với
A và B ,trên tia đối của tia CA lấy một điểm E sao cho BD= CE ,DE cắt BC tại F. CMR:
DF
=
FE
Dạng II:Chứng minh hai điểm trùng nhau.
C1: A

B

AB
=
O
C2: A

B


IA
=
IB

(Với I tuỳ ý)
Note:
-G là trọng tâm của tam giác ABC

GA
+
GB
+
GC
=
O
-G là trọng tâm của tam giác ABC

OA
+
OB
+
OC
=
OG
(Với O tuỳ ý)
VD1:
Cho tam giác ABC và tam giác ABC.CMR: Điều kiện để hai tam giác có cùng trọng
tâm là :
'AA
+
'BB
+
'CC
=

O
.
HD:
- Gọi G và G lần lợt là trọng tâm của tam giac ABC và ABC ta có:

'AA
+
'BB
+
'CC
=
AG
+
'GG
+
'' AG
+
BG
+
'GG
+
'' BG
+
CG
+
'GG
+
''CG
=3
'GG

(vì
GA
+
GB
+
GC
=
O
,
'' AG
+
'' BG
+
''CG
=
O
).
-G

G

'GG
=
O
Vậy: Điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm là :
'AA
+
'BB
+
'CC

=
O
.
VD2:
Cho tam giác ABC .Gọi A là điểm đối xứng với A qua B,B là điểm đối xứng với B
qua C,C là điểm đối xứng với C qua A.CMR: Hai tam giác ABC và ABC có cùng trọng
tâm G.
HD:
- Gọi G và G lần lợt là trọng tâm của tam giac ABC và ABC ta có:

'AA
+
'BB
+
'CC
=
AG
+
'GG
+
'' AG
+
BG
+
'GG
+
'' BG
+
CG
+

'GG
+
''CG
=3
'GG
-Mà:
'AA
+
'BB
+
'CC
=2(
AB
+
BC
+
CA
)=
O

'GG
=
O

G

G

Hai tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm G.
Dạng III:Chứng minh một đẳng thức về véctơ

- Các cách thờng sử dụng: Biến đổi tơng đơng,biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản
,biến đổi bắc cầu...
- Kiến thức liên quan:
+Sử dụng quy tắc ba điểm:
Với ba điểm M,N,P bất kì ta có
MN
+
NP
=
MP
+Sử dụng quy tắc hình bình hành:
Nếu OABC là Hình bình hành thì ta có
OA
+
OC
=
OB
+ Sử dụng quy tắc về hiệu vectơ:Nếu
AB
là một vectơ đã cho thì ta có
AB
=
OB
-
OA
+Sử dụng tính chất trung điểm:
. M là trung điểm đoạn thẳng AB

MA
+

MB
=
O
. M là trung điểm đoạn thẳng AB

OA
+
OB
=2
OM
(Với O là điểm tuỳ ý)
+Sử dụng tính chất trọng tâm:
.G là trọng tâm của tam giác ABC

GA
+
GB
+
GC
=
O
.G là trọng tâm của tam giác ABC

OA
+
OB
+
OC
=
OG

(Với O là điểm tuỳ ý)
VD1:
Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì ;I,J lần lợt là trung điểm của AB và CD .
a)CMR:
AC
+
BD
= 2
IJ
b)Gọi O là trung điểm của IJ .CMR:
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=
O
c)M là điểm bất kì.CMR:
MA
+
MB
+
MC
+
MD
=4
MO
HD:

a)
AC
=
AI
+
IJ
+
JC
,
BD
=
BI
+
IJ
+
JD

AC
+
BD
= 2
IJ
(Vì I,J là trung điểm của
AB ,CD)
b)
OA
+
OB
=2
OI

,
OC
+
OD
=2
OJ


OA
+
OB
+
OC
+
OD
=
O
(Vì O là trung điểm IJ)
c)
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=
O

MA

-
MO
+
MB
-
MO
+
MC
-
MO
+
MD
-
MO
=
O


MA
+
MB
+
MC
+
MD
=4
MO
VD2:
Cho tam giác ABC .Gọi G,H,O lần lợt là trọng tâm,trực tâm,tâm đờng tròn ngoại
tiếp tam giac;AD là đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác.CMR:

a)Tứ giác HBDC là hình bình hành. b)
HA
+
HB
+
HC
= 2
HO

c)
OA
+
OB
+
OC
=
OH
d) O,G.H thẳng hàng.

HD:
a)DC

AC,BH

AC

DC//BH;DB

AB,CH

AB

DB// CH

HBDC là HBH
b)+Gọi A là trung điểm của BC

HA
= 2
OA'
(Vì AO là đờng trung bình của AHD)
mà
HB
+
HC
= 2
'HA

HA
+
HB
+
HC
= 2
HO
+
HA
+
HB
+

HC
= 2
HO

OA
-
OH
+
OB
-
OH
+
OC
-
OH
=-2
OH


OA
+
OB
+
OC
=
OH
VD3: Cho tam giác ABC .Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G .
a)CMR:
AH
=

3
2
AC
-
3
1
AB

CH
=-
3
1
AB
-
3
1
AC
b)Gọi M là trung điểm của BC .CMR:
MH
=
6
1

AC
-
6
5
AB
HD:
a)G là trung điểm của HB

AH
+
AB
=2
AG

AH
=2
AG
-
AB
=
3
2
AC
-
3
1
AB
(1)
Vì
AG
=
3
1
AB
+
3
1

AC
(1)

CH
=
AH
-
AC
=-
3
1
AB
-
3
1
AC
b) M là trung điểm của BC

MH
=
2
1
(
BH
+
CH
)=
2
1
(

AH
-
AB
+
CH
)=
6
1

AC
-
6
5
AB
Dạng IV:Biểu thị một véctơ qua hai vectơ không cùng phơng.Chứng minh ba điểm thẳng
hàng.
- Cho
a
và
b
là hai véc tơ không cùng phơng. Với mọi vectơ
x
ta có
x
=m
a
+n
b
(m,n

R)
- Ba điểm A,B,C thẳng hàng

AB
=k
AC
(k

0)
- Ba điểm A,B,C thẳng hàng

OC
= m
OA
+n
OB
với m+n =1
VD1: Cho tam giác ABC .Lấy các điểm M,N,P sao cho
MB
= 3
MC
,
NA
+3
NC
=
O
,

PA

+
PB
=
O
.
a)Biểu diễn các vectơ
AP
,
NA
,
AM
theo các vectơ
AB
và
AC
b) Biểu diễn các vectơ
MP
,
MN
theo các vectơ
AB
và
AC
c)CMR:M,N,P thẳng hàng.
HD:
a)
PA
+
PB
=

O

AP
=
2
1
AB
;
NA
+3
NC
=
O

NA
=
4
3
AC
;
MB
= 3
MC

AM
=
2
3
AC
-

2
1
AB
b)
MP
=
AP
-
AM
=
AB
-
2
3
AC
(1) ;
MN
=
NA
-
AM
=
2
1
AB
-
4
3
AC
(2)

c)Từ (1), (2)

MP
=2
MN

M,N,P thẳng hàng.
VD2:
Cho tam giác ABC .Gọi I là điểm trên BC kéo dài và IB = 3IC .
a) Tính vectơ
AI
theo các vectơ
AB
và
AC
b)Gọi J,K lần lợt là những điểm trên cạnh AC,AB sao cho JA= 2JC,KB=3KA.
Tính
JK
theo
AB
và
AC
c)Tính
BC
theo
AI
và
JK
HD:
a)gt

IB
=3
IC

AB
-
AI
=3(
AC
-
AI
)

AI
=-
2
1
AB
+
2
3
AC
(1)
b) gt

AJ
=
3
2

AC
,
AK
=
4
1
AB

JK
=
AK
-
AJ
=
4
1
AB
-
3
2
AC
(2)
c) (1), (2)

BC
=
AC
-
AB
=-10

AI
-24
JK
VD3: Cho tam giác ABC.Gọi I,J là hai điểm xác định bởi
IA
= 2
IB
, 3
JA
+2
JC
=
O
a)Tính
IJ
theo
AB
và
AC
.
b)CMR:
GB
=
3
2
AB
-
3
1
AC

c)Đờng thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
HD:
a)
IA
= 2
IB

AI
=2
AB
;3
JA
+2
JC
=
O

AJ
=
5
2
AC

IJ
=-2
AB
+
5
2
AC

(1)
b)Gọi M là trung điểm của AC

BM
=
2
1
(
BA
+
BC
)

GB
=-
3
1
(
BA
+
BC
)=
3
2
AB
-
3
1
AC
c)

IA
= 2
IB

IB
=
BA

IG
=-
AB
-
GB

IG
=-
3
5
AB
+
3
1
AC
(2).
Từ (1), (2)

5
IJ
=6
IG

I,J,G thẳng hàng

IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
Dạng V: Xác định một điểm thoả mãn một hệ thức về vectơ.
Cho:O,
a
khi đo tồn tại duy nhất một diểm M sao cho
OM
=k
a
(k không đổi)
VD1:Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì.CMR:
a
=
MA
+
MB
- 2
MC
không phụ
thuộc vào vị chí điểm M.Dựng điểm D sao cho
CD
=
a
.
HD:
+
a
=

MA
+
MB
- 2
MC
=
AB
-2
AC
=
CB
+
CA
=2
CI
(I là trung điểm của AB)
+
CD
=
a

CD
=2
CI

D là đỉnh thứ t của hbh ACBD.
VD2: Cho hai hình bình hành ABCD. Dựng các điểm M,N thoả mãn:
a)
MA
-

MB
-
MC
=
AD
; b)
NC
+
ND
-
NA
=
AB
+
AD
-
AC
;
HD:
a)
MA
-
MB
-
MC
=
AD

CM
=

AB
+
AD
=
AC

M đối xứng với A qua C.
b)
NC
+
ND
-
NA
=
AB
+
AD
-
AC

AD
+
NC
=
O

CN
=
AD

N là đỉnh thứ t của hbh DACN.
Dạng VI:Tìm quỹ tích.
+
OM
=
a
với O có định và
a
không đổi thì tập hợp điểm M là đờng tròn
tâm O bán kính
a
.
+
MA
=
MB
với A,B cố định thì tập hợp điểm M là đờng trung trực của AB.
+
OM
=k
a
với O cố định ,
a
không đổi ,k

R thì tập hợp điểm M là đờng thẳng đi
qua O và có phơng cùng phơng với vectơ
a
.
+

OM
=k
OA
với O,A cố định, k

R thì tập hợp điểm M là đờng thẳng OA.
VD1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn :
a)
MA
+
MB
=
MA
-
MB
b)
MA
+
MB
=
MA
+
MC
c)
MA
+
MB
= k(
MB
-

MC
);k

R
HD:
a)
MA
+
MB
=
MA
-
MB


2
MI
=
BA
(với I là trung điểm của AB)

MI=
2
1
AB.Vậy tập hợp điểm M là đờng tròn tâm I bkán kính
2
1
AB.
b)
MA

+
MB
=
MA
+
MC

2
MI
= 2
MJ
(với J là trung điểm của AC)

MI=MJ. Vậy tập hợp điểm M là đờng trung trực của IJ.
c)
MA
+
MB
= k(
MB
-
MC
)

MI
=
2
1
k
CB

. Vậy tập hợp điểm M là đờng thẳng đi qua
I và song song với BC
VD2:
Cho tứ giác ABCD.
a)Xác định điểm O sao cho :
OB
+4
OC
=2
OD
.
b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức
MB
+ 4
MC
-2
MD
= 3
MA
HD:
a)
OB
+4
OC
=2
OD

3
OB
=2

BD
-4
BC
=2
CD
-2
BC
=4
CI

OB
=
3
4
CI
(I là tđ của
BD)

O là đỉnh thứ t của hbh BIEO với E xác định bởi
IE
=
3
4
CI
.
b)
MB
+ 4
MC
-2

MD
= 3
MA

3
MO
+
OB
+4
OC
-2
OD
= 3
MA

3
MO
= 3
MA

MO=MA.
Vậy tập hợp điểm M là đờng trung trực của đoạn OA.
Bài tập làm thêm
A.Tự luận:
1. Cho bốn điểm M,N,P,Q bất kì .CM các đẳng thức sau:
a)
PQ
+
NP
+

MN
=
MQ
b)
NP
+
MN
=
QP
+
MQ
c)
MN
+
PQ
=
MQ
+
PN
2. Cho sáu điểm A,B,C,D,E,F . CMR: a)
AD
+
BE
+
CF
=
AE
+
BF
+

CD

b)
AB
+
CD
=
AD
+
CB
3. Cho tứ giác ABCD .Gọi I,J lần lợt là trung điểm của AB,CD;O là trung điểm của IJ.
CMR:
OA
+
OB
+
OC
+
OD
=
O
4.Cho tứ giác ABCD .Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,CD.