Kinh nghiệm ứng dụng toán xác suất để giải một số dạng bài tập di truyền sinh học 9

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài.
Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện
giáo dục và đào tạo: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo
hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến
thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ
máy móc.”….“Đổi mới căn bản hình thức và phương pháp thi, kiểm tra đánh
giá kết quả giáo dục, đào tạo, bảo đảm trung thực khách quan”. Theo tinh thần
đó việc kiểm tra đánh giá được thực hiện theo định hướng đánh giá năng lực
người học. Vì vậy hiện nay trong các kì thi đặc biệt là kì thi học sinh giỏi lớp 9
và thi Đại học sau này thì các câu hỏi vận dụng kiến thức, kĩ năng của học sinh
tăng lên đòi hỏi các em không được học tủ, học vẹt. Trong đó các bài tập của
môn Sinh liên quan đến xác suất là những bài tập khó là những câu hỏi đánh giá
học sinh theo mức vận dụng cao. Bởi nó đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững
chắc về các quy luật di truyền, đồng thời phải vận dụng kiến thức liên môn là
môn toán xác suất linh hoạt để giải quyết một vấn đề thực tiễn như tính được xác
suất mắc một hoặc một số bệnh di truyền nào đó ở đời con trong các gia đình
qua phả hệ về bệnh này hoặc xác định tỉ lệ một kiểu hình
Qua thực tiễn giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn sinh học 9 của
huyện dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh, các em học sinh và giáo viên dạy ở các
trường chưa được tiếp cận nhiều với các dạng bài tập này, vì vậy còn gặp nhiều
khó khăn trong việc phân tích để giải. Với những lí do trên tôi đã chọn đề tài
“Kinh nghiệm ứng dụng toán xác suất để giải một số dạng bài tập di truyền
Sinh học 9” thuộc chương trình sinh học 9 cấp THCS, hi vọng sẽ giúp các em
học sinh tích cực chủ động vận dụng sáng tạo trong giải các bài tập di truyền có
ứng dụng toán xác suất ở các đề thi, tài liệu... Từ đó giúp các em tự tin hơn khi
giải bài tập xác suất trong di truyền, đồng thời tạo hứng thú học tập, hình thành
cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, chủ động chiếm lĩnh tri thức, góp phần
nâng cao chất lượng, hiệu quả bồi dưỡng học sinh giỏi môn Sinh học của huyện
nhà.
1.2 Mục đích nghiên cứu.

Sáng kiến kinh nghiệm “Kinh nghiệm ứng dụng toán xác suất để giải một
số dạng bài tập di truyền Sinh học 9” thuộc chương trình sinh học 9, giúp học
sinh có các phương pháp, kĩ năng giải đúng, giải nhanh các bài tập di truyền có
ứng dụng toán xác suất. Từ đó, học sinh giải thích được xác suất các sự kiện xảy
ra trong các hiện tượng di truyền ở sinh vật và các bệnh tật di truyền ở con
người để có ý thức bảo vệ môi trường sống, bảo vệ tương lai di truyền của loài
người.
Qua việc ứng dụng toán xác suất giải một số dạng bài tập di truyền Sinh học
sẽ tạo hứng thú học tập cho các em học sinh giỏi, là cơ sở cho sự phát huy tính
tích cực, chủ động, kích thích sự tìm tòi, chiếm lĩnh tri thức của học sinh, từ đó
năng cao chất lượng, hiệu quả giáo dục mũi nhọn trong công tác bồi dưỡng học
sinh giỏi môn sinh học lớp 9
1


1.3 Đối tượng nghiên cứu
- Trình bày cơ sở lí luận về toán xác suất ứng dụng trong giải các bài tập di
truyền thuộc chương trình sinh học 9 cấp THCS.
- Đề xuất phương pháp giải cơ bản để giải một số dạng bài tập di truyền có ứng
dụng toán xác suất
- Hệ thống được một số dạng bài tập di truyền có ứng dụng toán xác suất để tiến
hành soạn giảng và bồi dưỡng học sinh giỏi một cách khoa học và hệ thống.
- Đưa sáng kiến áp dụng vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao
chất lượng đào tạo mũi nhọn của trường, của huyện.
- Trong phạm vi sáng kiến tôi chỉ đưa ra 3 dạng bài tập có ứng dụng toán xác
suất thuộc chương trình thi học sinh giỏi môn Sinh học 9
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết : Dựa trên cơ sở toán tổ hợp
trong xác suất đưa vào trong áp dụng giải các dạng bài tập di truyền ở sinh học
9.

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Tiến hành khảo sát
đội tuyển trước và sau khi áp dụng triển khai ứng dụng chuyên đề toán xác suất
trong bài tập di truyền.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Xác suất – Công cụ toán học trong nghiên cứu di truyền
Toán tổ hợp xác suất được ứng dụng không chỉ trong bộ môn toán học mà còn
được ứng dụng trong nhiều bộ môn khoa học khác. Đặc biệt trong di truyền học,
toán xác suất đã được Men đen sử dụng để phát hiện ra hai quy luật di truyền cơ
bản, đặt nền móng cho sự ra đời của di truyền học: Quy luật phân li và quy luật
phân li độc lập.
* Phép lai một cặp tính trạng:
Ở đậu Hà Lan, Pt/c : Hạt vàng x Hạt xanh
F1 : 100% hạt vàng, cho F1 tự thụ phấn
F2 : Tỉ lệ : 3 hạt vàng : 1 Hạt xanh, Tiếp tục cho F2 tự thụ phấn
F3 : 1/3 cho toàn hạt vàng : 2/3 (cho tỉ lệ 3 hạt vàng : 1 hạt xanh) : 100% hạt
xanh.
Men đen cho rằng , tỉ lệ 3 :1 ở F2 là tỉ lệ : 1 hạt vàng thuần chủng : 2 hạt
vàng không thuần chủng : 1 hạt xanh thuần chủng ( 1: 2: 1 ).
Nguyên nhân của hiện tượng trên là do ở F 1 dị hợp ( Aa ) các alen A và a
tồn tại bên nhau nhưng không hòa lẫn vào nhau để tạo thành gen lai. Vì vậy khi
F1 giảm phân tạo giao tử, alen A và a phân li đồng đều về 2 giao tử, mỗi giao tử

2


chỉ nhận được 1 alen A hoặc a và giữ nguyên bản chất như giao tử A và a phát
sinh từ bố mẹ thuần chủng AA và aa. Tỉ lệ hai loại giao tử A và a bằng nhau :
A = a = 0,5. Qua thụ tinh, ở F2 :

Xác suất xuất hiện hợp tử AA: 0,5A x 0,5A = 0,25 AA = 1/4
Xác suất xuất hiện hợp tử Aa : (0,5A x 0,5 a ) + (0,5 A x 0,5 a ) = 0,5 Aa = 1/2
Xác suất xuất hiện hợp tử aa: 0,5 a x 0,5 a = 0,25 aa = 1/4
Để kiểm tra giả thuyết về quy luật phân li, Men đen đã tiến hành phép lai
phân tích và sử dụng toán xác suất để minh chứng kết quả (1: 1) của phép lai
này, từ đó ông đã rút ra nội dung quy luật phân li nói về sự phân li đồng đều của
các alen trong quá trình tạo giao tử.
* Phép lai hai cặp tính trạng:
Ở đậu Hà Lan, Pt/c : Hạt vàng, vỏ trơn x Hạt xanh, vỏ nhăn
F1 : 100% hạt vàng, vỏ trơn
F1 tự thụ phấn
F2 : Kiểu hình phân li theo tỉ lệ : 9/16 Hạt vàng ,vỏ trơn
3/16 hạt vàng, vỏ nhăn
3/16 hạt xanh, vỏ trơn
1/16 hạt xanh, vỏ nhăn
Để chứng minh 2 tính trạng màu sắc hạt và hình dạng hạt di truyền độc lập, Men
đen đã tách riêng từng cặp tính trạng để xem xét :
Tính trạng màu sắc hạt : Hạt vàng = ¾ ; hạt xanh = ¼
Tính trạng hình dạng hạt : Hạt trơn = ¾ ; hạt nhăn = ¼
Từ kết quả trên cho thấy: Xác suất xuất hiện mỗi kiểu hình ở F 2 bằng tích xác
suất của các tính trạng hợp thành nó, cụ thể :
9/16 Hạt vàng, vỏ trơn = ¾ hạt vàng x ¾ hạt trơn
3/16 Hạt vàng, vỏ nhăn = ¾ hạt vàng x ¼ vỏ nhăn
3/16 Hạt xanh, vỏ trơn = ¼ hạt xanh x ¾ vỏ trơn
1/16 Hạt xanh, vỏ nhăn = ¼ hạt xanh x ¼ vỏ nhăn
Kết quả nêu trên cũng có nghĩa : Tỉ lệ phân li kiểu hình ở F 2 bằng tích tỉ lệ phân
li của các tính trạng hợp thanhg nó : 9/16 hạt vàng, vỏ trơn : 3/16 hạt vàng , vỏ
nhăn : 3/16 hạt xanh, vỏ trơn : 1/16 hạt xanh, vỏ nhăn = ( ¾ hạt vàng x ¼ hạt
xanh ) . ( ¾ hạt trơn : ¼ hạt nhăn ).
Kết quả trên chứng tỏ tính trạng màu sắc hạt di truyền độc lập với tính trạng

hình dạng hạt.
Từ kết quả phân tích Men đen đã rút ra quy luật phân li độc lập với nội dung :
“ Các cặp nhân tố di truyền ( cặp gen ) đã phân li độc lập trong quá trình phát
sinh giao tử “.
Điều khẳng định của Men đen về di truyền độc lập của các tính trạng hoàn toàn
phù hợp với quy luật xác suất của các sự kiện độc lập : Hai sự kiện A và B được
coi là độc lập vơi nhau nếu xác suất đồng thời của 2 sự kiện bằng tích xác suất
của mỗi sự kiện : P(AB) = P(A) . P (B) . Trong đó P là xác suất, A và B là 2 sự
kiện độc lập.
Chính việc sử dụng toán xác suất trong phân tích kết quả thu được từ thực
nghiệm mà toán xác suất coi là công cụ hữu hiệu, là nôi dung cơ bản, độc đáo
trong phương pháp nghiên cứu của Men đen mà trước ông chưa ai từng sử dụng.
3


2.1.2. Lí thuyết toán xác suất trong sinh học.
* Định nghĩa xác suất
Xác suất (P) để một sự kiện xảy ra là số lần xuất hiện sự kiện đó (a) trên
tổng số lần thử (n) : P = a/n ( Xác suất của một sự kiện là tỉ số giữa khả năng
thuận lợi để sự kiện đó xảy ra trên tổng số khả năng có thể có )
Xác suất xuất hiện 1 kiểu hình nào đó chính là tỉ lệ của loại kiểu hình đó
trong tổng số cá thể mà ta xét.
Ví dụ : Pt/c : Hạt vàng x Hạt xanh
F1 : 100% Hạt vàng
F1 : Tự thụ phấn
F2 : 416 Hạt vàng : 140 Hạt xanh.
Xác suất xuất hiện cây hạt vàng là :

416
= 0.75 = 75%

416 + 140

* Các quy tắc tính xác suất ứng dụng trong giải bài tập di truyền
a) Quy tắc cộng xác suất
Khi hai sự kiện không thể xảy ra đồng thời (hai sự kiện xung khắc), nghĩa là
sự xuất hiện của sự kiện này loại trừ xuất hiện của sự kiện kia thì quy tắc cộng
sẽ được dùng để tính xác suất của hai sự kiện :
P ( A U B ) = P (A) + P (B)
Hệ quả : 1 = P (A) + P (A) → P (A) = 1 – P (A)
Ví dụ : Khi cho đậu Hà Lan hạt vàng (có kiểu gen Aa) tự thụ phấn thu được F 1
gồm hai kiểu hình hạt vàng và hạt xanh, hạt vàng chỉ có thể có một trong hai
kiểu gen AA ( tỉ lệ 1/4 ) hoặc Aa ( tỉ lệ 2/4 ).
Do đó xác suất (tỉ lệ) của kiểu hình hạt vàng ( kiểu gen AA hoặc Aa ) sẽ là : 1/4
+ 2/4 = 3/4 ;
Xác suất kiểu hình không phải là hạt vàng : 1 – 3/4 = 1/4
b) Quy tắc nhân xác suất
Khi hai sự kiện độc lập nhau, nghĩa là sự xuất hiện của sự kiện này không
phụ thuộc vào sự xuất hiện của sự kiện kia thì quy tắc nhân sẽ được dùng để tính
xác suất của cả hai sự kiện : P ( A và B ) = P (A) . P(B)
Ví dụ:
Ở người, bệnh câm điếc bẩm sinh do gen lặn (a) nằm trên nhiễm sắc thể
thường quy định. Bố, mẹ cùng có kiểu gen Aa (bình thường), xác suất họ sinh
con gái đầu lòng không bị bệnh là bao nhiêu?
- Xác suất để cặp vợ chồng sinh con gái là 1/2
- Xác suất để cặp vợ chồng sinh con bị bệnh câm điếc bẩm sinh là 1/4
- Xác suất để cặp vợ chồng sinh con không bị bệnh câm điếc bẩm sinh là 1-1/4
=3/4
- Như vậy xác suất để cặp vợ chồng sinh con đầu lòng là con gái không bị bệnh
là:1/2 x 3/4 = 3/8
c) Công thức tổ hợp :

Giả sử tập A có n phần tử ( n ≥ 1 ) . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
4


C

k

n!
k .!(n − k )!

với ( 0 ≤ k ≤ n )
Ví dụ : Xét phép lai : Aa x aa thu được F 1 . Ở đời F1 , lấy ngẫu nhiên 3 cá thể,
xác suất để thu được 2 cá thể không thuần chủng là bao nhiêu ?
Ta có :
P : Aa x aa → 1/2 Aa : 1/2 aa
Ở đời F1 :
- Xác suất để thu được cá thể không thuần chủng là : 1/2
- Số trường hợp thu được 2 cá thể không thuần chủng từ 3 cá thể lấy ngẫu nhiên
2
từ F1 : C 3
- Xác suất khi lấy ngẫu nhiên 3 cá thể, thu được 2 cá thể không thuần chủng là :

C

2
3

n

=

1
2

. ( )2 .

X

1
3
=
2
8

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua nhiều năm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tại trường THCS Thọ Tân
và 5 năm liên tiếp bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của huyện tôi nhận thấy
học sinh đội tuyển kiến thức toán học một số em chưa tốt, hơn nữa trong toán
học cấp THCS học sinh chúng ta lại chưa được trang bị kiến thức về toán xác
suất. Vì vậy đây thực sự là một vấn đề khó, đòi hỏi giáo viên bồi dưỡng cần đưa
ra các phương pháp giải cụ thể, đơn giản để học sinh có thể hiểu và vận dụng
thành thạo được trong toán di truyền thuộc chương trình sinh học 9.
Trong những năm gần đây bài tập sinh học, đặc biệt là các bài tập di truyền
có ứng dụng toán xác suất ngày càng được đưa nhiều trong các đề thi học sinh
giỏi các cấp, đặc biệt là đề thi tỉnh Thanh hóa và các trường THPT chuyên. Phải
nói rằng đây là một dạng bài tập rất hay và tổng hợp rất nhiều yếu tố, để làm
được không đơn giản chỉ hiểu được bản chất sự di truyền tính trạng mà còn phải
biết vận dụng toán xác suất thống kê một cách thuần thục mới giải được.

Trước khi triển khai chuyên đề ứng dụng toán xác suất, tôi đã khảo sát học sinh
dự tuyển thông qua 1 bài kiểm tra năng lực chung, trong đó có bài ứng dụng đến
tính xác suất (Bài khảo sát lần 1 – Phụ lục) để có cơ sở đánh giá từ đó có kế
hoạch cho chương trình bồi dưỡng tiếp theo, thu được kết quả như sau:
Mốc điểm Tổng Trên 16 14 - 16 12 - 14 10 - 12 Dưới 10
Số lượng

20
0
5
5
7
3
(Tổng số học sinh tại thời điểm khảo sát là 20 em )
Qua kết quả bài thi và qua việc chấm bài đã cho thấy (phần có ứng dụng đến
xác suất)
- Đa phần học sinh không giải được, đang còn thấy lúng túng, mới lạ đối với
dạng bài toán có ứng dụng toán xác suất.
- Các em chưa có phương pháp giải nhanh, đơn giản, chưa hiểu được bản chất
của sự di truyền độc lập các tính trạng trong toán lai
Trước thực trạng trên tôi đã mạnh dạn đưa ứng dụng toán xác suất vào quá trình
giải một số dạng bài tập di truyền sinh học 9 với mong muốn tháo gỡ các khó
5


khăn trên, đồng thời tạo hứng thú, giúp các em yêu thích bộ môn sinh học, tích
cực chủ động, vận dụng giải các dạng bài tập di truyền trong các đề thi, tài liệu
tham khảo trong quá trình học, đồng thời góp một phần nhỏ tháo gỡ các vướng
mắc cho đồng nghiệp, nâng cao chất lượng đội tuyển mũi nhọn của huyện nhà.
2.3 Các giải pháp ứng dụng toán xác suất trong giải một số dạng bài tập di

truyền sinh học 9
Căn cứ vào cấu trúc đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi vào các trường THPT,
tôi xin đưa ra phương pháp giải một số dạng bài tập di truyền phổ biến thường
gặp trong các năm gần đây có ứng dụng toán xác suất:
Dạng 1 : Bài tập tính xác suất về kiểu gen khi biết kiểu gen của P
* Phương pháp giải :
Bước 1: Viết sơ đồ lai riêng từng cặp gen
Bước 2 : Tìm tỉ lệ kiểu gen cần tính xác suất
Bước 3 : Sử dụng toán tổ hợp để tính xác suất
Ví dụ 1 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học 2013 – 2014)
Ở một loài thực vật, mỗi gen quy định một tính trạng, tính trạng trội là trội hoàn
toàn. Cho phép lai P: AaBbDd x AaBbDd thì tỉ lệ các kiểu gen AabbDd;
AaBbDd; aabbdd ở F1 là bao nhiêu ?
* Hướng dẫn giải
Bước 1: Viết sơ đồ lai riêng từng cặp gen
P : AaBbDd x AaBbDd = (Aa x Aa)(Bb x Bb)(Dd x Dd)
1
2
1
AA ; Aa; aa.
4
4
4
1
2
1
Bb x Bb = BB ; Bb; bb.
4
4
4

1
2
1
Dd x Dd = DD ; Dd; dd
4
4
4

Aa x Aa =

Bước 2 : Tìm tỉ lệ kiểu gen cần tính xác suất
1

1 1

1
- Tỉ lệ xuất hiện ở F1 kiểu gen: AabbDd = 2 x 4 x 2 =
16
1

1 1

1
- Tỉ lệ xuất hiện ở F1 kiểu gen: AaBbDd = 2 x 2 x 2 = .
8
1 1 1 1
- Tỉ lệ xuất hiện ở F1 kiểu gen: aabbdd = × × =
.
4 4 4 64
Ví dụ 2

Ở phép lai : AaBb x Aabb thu được đời F1, lấy ngẫu nhiên 3 cá thể F1.
- Xác suất để thu được 3 cá thể đều có kiểu gen AaBb là bao nhiêu ?
- Xác suất để thu được 2 cá thể đều có kiểu gen AaBb là bao nhiêu ?
Phương pháp giải:
Bước 1 : Viết sơ đồ lai riêng từng cặp gen :
Sơ đồ lai: P AaBb x Aabb = ( Aa x Aa ) ( Bb x bb )
Aa x Aa → ¼ AA : ½ Aa : ¼ aa
Bb x bb → ½ Bb : ½ bb

6


Bước 2: Tìm tỉ lệ kiểu gen cần tính xác suất:
Tỉ lệ cá thể có kiểu gen AaBb : ½ . ½ = ¼
Bước 3 : Sử dụng toán tổ hợp để tính xác suất.
+ Lấy ngẫu nhiên 3 cá thể F 1, xác suất thu được 3 cá thể đều có kiểu gen AaBb
là : ( ¼ ) . ( ¼ ) . ( ¼ ) = ( ¼ )3 = 1/64
+ Lấy ngẫu nhiên 3 cá thể F 1, xác suất thu được 2 cá thể có kiểu gen AaBb là :
C 32 .(¼) .(¼)(1-¼) = 9/64
Dạng 2 : Bài tập tính xác suất về kiểu hình
a) Xác định tỉ lệ các kiểu hình ở đời con khi biết kiểu gen của P
* Phương pháp giải :
Bước 1: Viết sơ đồ lai xét riêng sự di truyền từng cặp tính trạng
Bước 2 : Tìm tỉ lệ cá thể có kiểu hình theo yêu cầu đề bài
Bước 3 : Tính xác suất
Ví dụ 1 :
Cho biết mỗi cặp gen quy định một cặp tính trạng, alen trội là trội hoàn toàn.
Tiến hành phép lai : AaBbDd x AaBbDD thu được F1. Lấy ngẫu nhiên 2 cá thể,
xác suất để thu được 2 cá thể có kiểu hình mang 2 tính trạng trội và 1 tính trạng
lặn là bao nhiêu ?

Phương pháp giải:
Bước 1 : Viết sơ đồ lai xét riêng sự di truyền từng cặp tính trạng
Phép lai : AaBbDd x AaBbDD = (Aa x Aa ).(Bb x Bb ).(Dd x DD )
Aa x Aa → Cho kiểu hình : ¾ A - ; ¼ aa
Bb x Bb → Cho kiểu hình : ¾ B - ; ¼ bb
Dd x DD → cho kiểu hình trội 100% D –
Bước 2 : Tìm tỉ lệ cá thể có kiểu hình mang 2 tính trạng trội và 1 tính trạng lặn :
Loại cá thể có kiểu hình mang 2 tính trạng trội và 1 tính trạng lặn có kiểu hình
được kí hiệu là : A-bbD- và aaB-D- Kiểu hình A-bbD- chiếm tỉ lệ : ¾ . ¼ . 1 = 3/16
- Kiểu hình aaB-D- chiếm tỉ lệ : ¼ . ¾ . 1 = 3/16
→ Cá thể có kiểu hình mang 2 tính trạng trội và 1 tính trạng lặn chiếm tỉ lệ:
3/16 + 3/16 = 6/16 = 3/8
Bước 3 : Tính xác suất
Xác suất để thu được 2 cá thể có kiểu hình mang 2 tính trạng trội và 1 tính trạng
lặn là :
(3/8).(3/8) = (3/8)2 = 9/64
Ví dụ 2:
Ở một loài động vật, xét phép lai P: ♀AaBbDD x ♂AaBbDd. (trong đó mỗi gen
quy định một tính trạng, gen trội là trội hoàn toàn) thu được F 1. Không lập sơ đồ
lai, hãy xác định:
- Tỉ lệ kiểu hình A-B-D- ở F1
- Lấy ngẫu nhiên 4 cá thể có kiểu hình (A-B-D-) ở F 1, xác suất để thu
được 2 cá thể thuần chủng là bao nhiêu?
* Phương pháp giải:
Bước 1 : Viết sơ đồ lai xét riêng sự di truyền từng cặp tính trạng
♀AaBbDD x ♂AaBbDd = (Aa x Aa).(Bb x Bb).(DD x Dd)
7


1

2
1
AA ; Aa; aa. Tỉ lệ kiểu hình
4
4
4
1
2
1
Bb x Bb = BB ; Bb; bb. Tỉ lệ kiểu hình
4
4
4
1
1
DD x Dd = DD; Dd. Tỉ lệ kiểu hình 1B2
2
3 3
9
Tỉ lệ kiểu hình A-B-D-.ở F1: . .1 =
4 4
16

Aa x Aa =

3
A-;
4
3
B-;

4

1
aa.
4
1
bb.
4

- Trong số những kiểu hình (A-B-D-) ở F 1, tỉ lệ cây thuần chủng (AABBDD) là:
1 1 1 1
. . =
3 3 2 18

- Lấy ngẫu nhiên 4 cá thể có kiểu hình (A-B-D-) ở F 1, xác suất để thu được 2 cá

thể thuần chủng là: C 42 . 

2

2

1 
1
 . 1 −  ≈ 1,65%
 18   18 

Bước 1 : Xác định tỉ lệ kiểu gen của bố mẹ và viết sơ đồ lai để tìm tỉ lệ của loại
kiểu hình cần tính xác suất ở đời con
Bước 2 : Sử dụng toán tổ hợp xác suất để tính tỉ lệ kiểu hình đời con

b) Xác định tỉ lệ các kiểu hình ở đời con khi biết kiểu gen của P
* Phương pháp giải :
Bước 1: Căn cứ vào tỉ lệ kiểu hình của F1 từ đó xác định tỉ lệ kiểu gen của P
Viết sơ đồ lai xét riêng sự di truyền từng cặp tính trạng
Bước 2 : Tìm tỉ lệ cá thể có kiểu hình theo yêu cầu đề bài
Bước 3 : Tính xác suất
Ví dụ 2
Cho biết gen A quy định thân cao trội hoàn toàn so với alen a quy định thân
thấp. Cho cây thân cao tự thụ phấn, thu được đời F 1 có tỉ lệ 75% cây cao : 25%
cây thấp.
a) Lấy ngẫu nhiên 1 cây thân cao F1. Xác suất để được cây thuần chủng là bao
nhiêu ?
b) Lấy ngẫu nhiên 3 cây thân cao F1. Xác suất để thu được 1 cây thuần chủng là
bao nhiêu ?
* Phương pháp giải:
Bước 1 : Tìm tỉ lệ cây thuần chủng trong số các cây thân cao ở F1 :
Theo bài ra ở F1 có : 75% cây cao : 25% cây thấp → Kiểu gen ở P là Aa
→ Kiểu gen ở F1 là 1AA : 2Aa : 1aa. Cây thân cao ở F1 có 2 loại kiểu gen với tỉ
lệ : 1AA : 2Aa → Cây thuần chủng (AA) chiếm tỉ lệ : 1/3
Bước 2 : Tính xác suất
a) Lấy ngẫu nhiên 1 cây thân cao F1, xác suất để thu được cây thuần chủng là :
1/3
b) - Cây thân cao thuần chủng có tỉ lệ : 1/3
- Cây thân cao không thuần chủng có tỉ lệ : 2/3
1
- Số trường hợp chọn 3 cây thân cao, thu được 1 cây thuần chủng là C 3
- Chọn 3 cây thân cao F1 . Xác suất để thu được 1 cây thuần chủng là :
8

C

1
3

.

1
2
3.1.4
4
. ( )2 =
=
3
3
3.9
9

Ví dụ 2 (Đề thi HSG môn Sinh học 9 năm học 2017-2018 huyện Nông Cống)
Ở đậu Hà Lan, alen A quy định tính trạng hạt vàng trội hoàn toàn so với alen a
quy định tính trạng hạt xanh. Gieo các hạt đậu Hà Lan có kiểu gen Aa và aa thu
được các cây P, cho các cây P giao phấn với nhau thu được F 1 có 2 kiểu hình
phân li theo tỉ lệ 5 cây hạt vàng : 4 hạt xanh
a) Xác định tỉ lệ các loại kiểu gen ở P
b) Lấy ngẫu nhiên 3 hạt vàng ở F 1 đem gieo, xác suất có 1 cây thuần chủng
là bao nhiêu?
* Phương pháp giải
Vì P có nhiều hơn 1 kiểu gen, do vậy dựa vào kết quả phép lai để xác định tỉ lệ
kiểu gen của P
Gọi x là tỉ lệ kiểu gen Aa ở P, 1-x là tỉ lệ kiểu gen aa (0 ≤ x ≤ 1) (nên đặt ẩn là tỉ

lệ của kiểu gen dị hợp Aa)
Cho P tạp giao, ta có:
(1-x)2 (aa x aa) = (1-x)2 aa
x2 (Aa x Aa) =

x2
x2
x2
AA +
Aa + aa
4
2
4

2.x(1-x)(Aa x aa) = x(1-x)Aa + x(1-x)aa
Hạt xanh ở F1 chiếm tỉ lệ

4
nên ta có phương trình
9

4
x2
+ x(1-x) = ⇔ 9x2 - 36x + 36 = 16
9
4
2
10
Giải ra ta được x= (nhận); x = (loại)
3

3
2
1
- Tỉ lệ mỗi loại kiểu gen ở P: Aa = ; aa =
3
3
2
1
4
4
b) Thay x = ta xác định được tỉ lệ kiểu gen F1: AA ; Aa; aa
3
9
9
9

(1-x)2 +

1/ 9
1
=
4 / 9 + 1/ 9 5
1
4
- Trong các kiểu hình hạt vàng F1 thì tỉ lệ cây không thuần chủng là: 1 - =
5
5

- Trong số các kiểu hình hạt vàng F1 thì tỉ lệ cây thuần chủng là:

1
- Lấy ngẫu nhiên 3 hạt vàng ở F1 đem gieo, xác suất có 1 cây thuần chủng là: C3

1
5

4
5

. .( )2 = 0,384
Dạng 3 : Ứng dụng toán xác suất trong các bài tập di truyền người
a) Đối với bài tập di truyền người không có sơ đồ phả hệ, nên giải theo 3 bước
sau đây :
Bước 1 : Dựa vào quan hệ huyết thống để xác định tỉ lệ kiểu gen của vợ chồng.
Bước 2 : Viết sơ đồ lai, xác định tỉ lệ kiểu gen đời con
Bước 3 : Sử dụng toán tổ hợp để tính xác suất
Ví dụ 1 : Ở người, bệnh bạch tạng do gen lặn a nằm trên nhiễm sắc thể thường
quy định, gen A quy định da bình thường. Một cặp vợ chồng đều không bị bệnh
9


này có em của chồng và mẹ của vợ bị bệnh, những người còn lại đều không bị
bệnh này. Xác suất để đứa con đầu lòng của họ bị bệnh là bao nhiêu ?
* Phương pháp giải :
Đối với những dạng bài tập di truyền người phức tạp không có sơ đồ phả hệ, có
từ 3 thế hệ trở lên, học sinh nên lập sơ đồ phả hệ, căn cứ vào sơ đồ phả hệ để xác
định kiểu gen của bố, mẹ.
Sơ đồ phả hệ

Bước 1 : Dựa vào quan hệ huyết thống để xác định kiểu gen của vợ chồng.

- Vợ không bị bệnh nhưng có mẹ của vợ bị bệnh nên kiểu gen của vợ : Aa
- Em của chồng bị bệnh ( kiểu gen aa ) nên bố và mẹ của chồng đều có kiểu
gen : Aa
- Khi bố và mẹ của chồng đều có kiểu gen Aa thì đời con sẽ có :
Aa x Aa Sinh ra đời con có : 1AA : 2Aa : 1aa
- Chồng không bị bệnh nên sẽ có kiểu gen: AA hoặc Aa với tỉ lệ: 1/3AA : 2/3Aa
Bước 2 : Tìm xác suất kiểu gen của vợ chồng
- Để sinh con bị bệnh thì chồng có kiểu gen Aa (xs 2/3)
- Vợ có kiểu gen Aa (xs 1)
→ Kiểu gen của vợ chồng : 2/3 Aa x 1 Aa = (2/3.1)(1/4AA : 1/2Aa : 1/4 aa)
Bước 4 : Sử dụng toán tổ hợp để tính xác suất
Xác suất để đứa con đầu lòng bị bệnh (aa): (2/3.1) . 1/4 = 1/6
Ví dụ 2 : Bệnh bạch tạng ở người do đột biến gen lặn trên NST thường, alen
trội tương ứng quy định người bình thường. Một cặp vợ chồng bình thường
nhưng sinh đứa con trai đầu lòng bị bạch tạng. Về mặt lý thuyết, hãy tính xác
suất để họ:
a) Sinh người con thứ 2 khác giới tính với người con đầu và không bị bạch tạng.
b) Sinh 3 người con trong đó có cả trai lẫn gái và ít nhất có được một người
không bị bệnh bạch tạng
Phương pháp giải :
Bước 1+2
- Quy ước : Gen A quy định tính trạng bình thường
Gen a quy định tính trạng bị bệnh
Con trai bị bệnh (aa) à Kiểu bố, mẹ đều dị hợp 1 cặp gen (Aa)
P: Aa x Aa à 1/4 AA : 1/2 Aa : 1/4 aa
Tỉ lệ kiểu hình: 3/4 A- (bình thường) : 1/4 aa(bị bệnh)
Bước 3 : Sử dụng toán tổ hợp để tính xác suất:
a) - XS sinh người con thứ 2 không bệnh: 3/4
- XS sinh người con thứ 2 khác giới với người con đầu : 1/2
10

àXS sinh con thứ 2 khác giới tính với người con đầu và không bị bạch tạng.
: 3/4.1/2 = 3/8
b) XS sinh 3 có cả trai và gái (trừ trường hợp cùng giới)
1 – 2(1/2.1/2.1/2) = 3/4
- XS trong 3 người ít nhất có 1 người bình thường(trừ trường hợp cả 3 bệnh) :
1 – (1/4)3 = 63/64
àXS chung theo yêu cầu : 3/4.63/64 = 189/256
b) Đối với bài tập có sơ đồ phả hệ, nên tiến hành theo 4 bước sau đây :
Bước 1 : Quan sát toàn bộ phả hệ, lựa chọn cặp vợ chồng để suy ra bệnh do gen
trội hay gen lặn quy định, có liên kết giới tính hay không
Bước 2 : Dựa vào quan hệ huyết thống để xác định kiểu gen của vợ chồng sinh
ra đứa con cần tính xác suất.
Bước 3 : Tìm tỉ lệ của loại kiểu hình (hoặc kiểu gen) cần tính xác suất
Bước 4 : Sử dụng toán tổ hợp để tính xác xuất.
Lưu ý :
- Trong phả hệ, nếu một cặp bố mẹ có kiểu hình giống nhau nhưng con sinh ra
có kiểu hình khác thì tính trạng mới xuất hiện là tính trạng lặn.
- Khi xác định kiểu gen của những người trong phả hệ thì trước hết phải xác
định kiểu gen của những kiểu hình mang tính trạng lặn trước, sau đó suy ra kiểu
gen của những người còn lại.
- Trong quá trình xác định kiểu gen của các thế hệ cần chú ý tỉ lệ ( hay hệ số
xuất hiện ) của các kiểu gen cần xác định.
Ví dụ : Cho sơ đồ phả hệ mô tả sự di truyền một bệnh ở người do một trong hai
alen của một gen quy định, alen trội là trội hoàn toàn :
I
II
III

1
1

2
2

3

4
1

5
2

6
3

4

Quy ước :

: Nữ bình thường
: Nam bình thường
: Nữ bị bệnh
: Nam bị bệnh
Biết rằng không xảy ra đột biến và người số II 4 không mang alen gây
bệnh. Xác suất để cặp vợ chồng số III2 và III3 sinh con đầu lòng bị bênh là bao
nhiêu ?
* Phương pháp giải :
Bước 1 : Xác định quy luật di truyền của bệnh

Ở cặp vợ chồng II5 và II6 không bị bệnh nhưng sinh con gái ( III 4 ở thế hệ
thứ III ) bị bệnh, chứng tỏ bệnh do gen lặn quy định và không liên kết với giới
tính, gen nằm trên nhiễm sắc thể thường.
11


-

Quy ước : A Quy định tính trạng bình thường không bị bệnh
a Quy định bị bệnh
Bước 2 : Xác định kiểu gen của vợ chồng sinh ra đước con cần tính xác

suất.
Người bố II3 không bị bệnh nhưng có anh trai (II1) bị bệnh nên người II3
có kiểu gen : Aa (xs 2/3)
II4 không mang alen gây bệnh nên có kiểu gen : AA (xs 1)
II3 x II4: 2/3 Aa x 1 AA = (2/3.1)(1/2AA : 1/2Aa) = 1/3 AA : 1/3 Aa
à Người chồng (III2) có kiểu gen Aa (1/3) hoặc Aa (1/3)
III4 bị bệnh nên kiểu gen của người II5 x II6 là Aa x Aa
III3 có kiểu gen 1/3AA: 2/3 Aa
Để cặp vợ, chồng III2 và III3 sinh con bị bệnh thì kiểu gen của III 2 là Aa (xs 1/3)
III2 cũng là Aa (2/3)
Bước 3 : Tìm tỉ lệ của loại kiểu hình ( hoặc kiểu gen ) cần tính xác suất
III2 x III2: 1/3 Aa x ♀ 2/3 Aa = (1/3.2/3)(1/4AA:1/2Aa:1/4aa)
Bước 4 : Sử dụng toán xác suất để tính xác xuất
Xác suất để cặp vợ chồng số III2 và III3 sinh con đầu lòng bị bệnh(aa) là :
(1/3 . 2/3) . 1/4 = 1/18
Ví dụ 2 (Đề thi chọn HSG tỉnh Thanh hóa năm 2016 – 2017 ) :
Sơ đồ phả hệ dưới đây là sự di truyền tính trạng hình dạng tóc ở một gia đình
do một gen gồm 2 alen quy định.

Nữ tóc thẳng
I

2

1

4

3

Nam tóc thẳng

II
5

III

6

8

7
?

Nữ tóc xoăn

9

Nam tóc xoăn

a) Tóc thẳng do alen trội hay alen lặn quy định?
b) Có thể có tối đa bao nhiêu kiểu gen giống nhau trong phả hệ trên?
c) Xác suất sinh con đầu lòng có kiểu gen dị hợp từ cặp vợ chồng II 7 và II8 là
bao nhiêu?
* Phương pháp giải.
a) Đặc điểm di truyền của tính trạng hình dạng tóc:
- Nhận thấy cặp bố mẹ I1-I2 đều có tóc xoăn, có con gái II6 tóc thẳng
→ tóc thẳng do alen lặn quy định.
- Quy ước: Alen A quy định tóc xoăn; alen a quy định tóc thẳng.
b) Số cá thể có kiểu gen giống nhau tối đa có thể có:
- Kiểu gen của các thành viên trong gia đình:
+ Kiểu gen của II6 và II9 là: aa
+ Kiểu gen của I1, I2, I3, I4 là: Aa
+ Kiểu gen của II5, II7, II8 là AA hoặc Aa
Vậy có thể có tối đa 7 người trong phả hệ có kiểu gen giống nhau (Aa).
c) Xác suất sinh con đầu lòng có kiểu gen dị hợp từ cặp vợ chồng II7-II8:

12


- Cặp vợ chồng II7-II8 có kiểu gen AA hoặc Aa với tỉ lệ:

1
2
AA : Aa
3
3

- Để sinh con đầu lòng có kiểu gen dị hợp Aa thì phải có các phép lai sau :

P (II7-II8)
F1
1
1
AA × AA
3
3
2
Aa × 1 AA x 2
3
3

1
AA
9
2
2
AA : Aa
9
9
1
2
1
AA : Aa : aa
9
9
9

2
Aa × 2 Aa

3
3

4
4
1
AA : Aa : aa
9
9
9

Tổng

Vậy xác suất để cặp vợ chồng II7-II8 sinh con đầu lòng mang cặp gen dị hợp là :
4
9

Ví dụ 3 (Đề thi vào THPT chuyên Lam Sơn, năm học 2012 – 2013 ) :
Nghiên cứu sự di truyền của 1 bệnh A do 1 gen quy định, người ta ghi được phả
hệ sau:
Nữ bình thường

1

2

3

Nam bình thường

4

Nữ bệnh

5

6

7

8

9

Nam bệnh

?

10
a) Xác định tính chất di truyền của bệnh A, kiểu gen của (1), (2), (3) và (4).
b) Cặp vợ chồng (7) × (8) có thể sinh con mắc bệnh với tỉ lệ bao nhiêu phần
trăm?
* Phương pháp giải :
a. Xác định tính chất di truyền của bệnh A, kiểu gen của (1), (2), (3) và (4):
- Quan sát sơ đồ phả hệ: bố (2) x mẹ (1) bình thường sinh con trai (5), con gái
(6) bị bệnh bệnh do gen lặn nằm trên NST thường gây nên
- Quy ước: A – bình thường, a – bệnh.
+ (2) x (1) bình thường, con (5),(6) bị bệnh (aa)  (1) và (2) đều có KG Aa.
SĐL: ♀Aa x ♂Aa  1/4aa : 1/2 Aa : 1/4aa
+ (3) bị bệnh có KG aa, (4) bình thường có KG AA hoặc Aa

b. Xác định tỉ lệ con mắc bệnh của cặp vợ chồng (7) x (8):
- (8) bình thường nhưng có mẹ bị bệnh nên có KG Aa.
Từ SĐL của cặp bố mẹ (1) và (2)  (7) có KG AA hoặc Aa.
Để sinh con (10) bị bệnh thì (7) phải có KG Aa  Xác suất để (7) có KG Aa = 2/3
Ta có SĐL (7) và (8): 2/3Aa × Aa
13


 Xác suất để (10) bị bệnh (aa) là 2/3 × 1/2 × 1/2 = 1/6 ≈ 16,67%
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Sau khi dạy chuyên đề ứng dụng toán xác suất để giải một số bài tập di truyền
tôi đã tiến hành khảo sát học sinh bằng 1 bài kiểm tra (Bài khảo sát lần 2 – Phụ
lục ), thu được kết quả như sau
Mốc điểm Tổng Trên 16 14 - 16 12 - 14 10 - 12 Dưới 10
Số lượng

20

4

7

8

1

0

Qua kết quả khảo sát và thực tế giảng dạy cho thấy (Phần kiến thức có ứng dụng
xác suất)

- Đa số học sinh hiểu bài và đã biết vận dụng toán xác suất trong giải bài tập
di truyền và các em đã giải rất nhanh và tự tin với kết quả của mình
- Qua quá trình dạy và học nội dung ứng dụng toán xác suất trong di truyền đã
tạo được hứng thú học tập cho học sinh, từ đó đã phát huy được tính tích cực,
chủ động, lòng say mê môn học.
- Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 năm học 2017 – 2018 các em trong
đội tuyển đã làm được hết các bài liên quan đến xác suất và đúng kết quả tuyệt
đối.
- Đội tuyển học sinh giỏi môn Sinh học của huyện đạt được 4 giải nhì, 1 giải ba
và 2 giải khuyến khích xếp thứ 4 toàn tỉnh, đóng góp vào thành tích chung của
huyện nhà .
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
Qua sáng kiến “Kinh nghiệm ứng dụng toán xác suất để giải một số dạng
bài tập di truyền Sinh học 9” tôi thấy vấn đề này là rất cần thiết không những
đối với học sinh mà cả đối với giáo viên chúng ta, đặc biệt là các giáo viên đang
trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi môn Sinh học lớp 9.
Đối với giáo viên qua nghiên cứu chuyên đề này sẽ giúp chúng ta có thể
vững vàng, tự tin hơn khi giảng dạy bài tập di truyền, là cơ sở cho công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt, chất lượng giảng dạy ngày càng được nâng
lên.
Đối với học sinh sau khi được học qua ứng dụng toán xác suất trong giải bài
tập di truyền, các em đã biết cách giải các bài tập liên quan đến tính toán xác
suất, say mê môn học hơn, tích cực chủ động, sáng tạo tìm ra được các lời giải
hay cho mỗi bài tập di truyền, đặc biệt là các bài tập di truyền người.
3.2 Kiến nghị
Sở giáo dục, Phòng GD & ĐT tiếp tục mở các lớp tập huấn, hội thảo các
chuyên đề về bồi dưỡng học sinh giỏi môn sinh học để giáo viên cơ sở có điều
kiện giao lưu, học hỏi và trao đổi kinh nghiệm, tháo gỡ các khó khăn, vướng

14


mắc trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Đặc biệt là chuyên đề ứng dụng
toán xác suất trong di truyền sinh học.
Trong sinh hoạt cụm, nên đưa chuyên đề này vào nội dung thảo luận, để góp
ý kiến, xây dựng các giải pháp ứng dụng toán xác suất trong giải bài tập sinh
học 9 hiệu quả hơn, góp phần nâng cao hiệu quả bồi dưỡng học sinh giỏi, từ đó
nâng cao chất lượng giáo dục và góp phần đào tạo nguồn nhân lực chất lượng
cao, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập quốc tế của đất
nước trong thời kỳ đổi mới.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân đã rút ra được trong quá
trình bồi dưỡng học sinh giỏi của mình. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của
các đồng chí, đồng nghiệp để chuyên đề được hoàn thiện hơn, góp phần nâng
cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi của huyện nhà.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Triệu Sơn, ngày 10 tháng 4 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác
Người viết

Đàm Duy Thắng

15


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.
Sách giáo khoa sinh học 9
Tác giả : Nguyễn Quang Vinh – Vũ đức Lưu – Nguyễn Minh Công – Mai Sỹ
Tuấn – NXB giáo dục
2.
Sách giáo viên sinh học 9.
Tác giả : Nguyễn Quang Vinh – Vũ đức Lưu – Nguyễn Minh Công – Mai Sỹ
Tuấn – NXB giáo dục
3.
Bồi dưỡng sinh học 9
Tác giả : Huỳnh Quốc Thành – NXB Đại học quốc gia Hà Nội
4.
Phương pháp giải toán xác suất sinh học
Tác giả : Phan Khắc Nghệ ( Giáo viên trường THPT chuyên Hà Tĩnh ) – NXB
Đại học quốc gia Hà Nội
5.
Tài liệu tập huấn giáo viên THCS bồi dưỡng học sinh giỏi môn Sinh
học. Đồng tác giả - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa, tháng 11 năm 2015.
6.
Tài liệu hội thảo bồi dưỡng học sinh giỏi THCS – THPT. Sở GD & ĐT
Thanh hóa, năm 2014.
7.
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh – Tỉnh Thanh Hóa các năm
8.
Đề thi vào trường THPT chuyên Lam Sơn – Tỉnh Thanh Hóa
9.
Đề thi học sinh giỏi các huyện trong tỉnh Thanh Hóa
10.
Khai thác tài liệu trên Internet

16


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Đàm Duy Thắng
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường THCS Thọ Tân

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Sử dụng một số phương pháp
và kỹ thuật dạy học tích cực
vào bài 35 - những điều kiện
cần cho hạt nảy mầm nhằm
làm tăng kết quả học tập môn
sinh học 6
Nâng cao hiệu quả sử dụng
kênh hình trong giảng dạy
môn sinh học 8
trường
THCS Thọ Tân
Ứng dụng toán xác suất trong

2.

3.

giải một số dạng bài tập di
truyền Sinh học 9

Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Ngành GD cấp
huyện

A

2014

B

2016

A

2018

Ngành GD cấp
huyện
Ngành GD cấp
huyện

17