THIẾT kế TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG TRONG dạy học LỊCH sử 10 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG lực NGƯỜI học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CÁCH DỌC CÁC YẾU TỐ CỦA ĐỒ THỊ
HÀM SỐ F’(X) CHO HỌC SINH ÔN THI THPT QUỐC GIA

Họ và tên : Nguyễn Thị Mai
Chức vụ chuyên môn: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ, NĂM 2019

1


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Từ năm học 2016-2017 cho đến nay Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi
mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn
toán được đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc
thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học
sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số
cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Nó đòi hỏi học sinh
không những phải có vốn kiến thức chắc chắn mà còn phải có một lượng kiến
thức rộng và đặc biệt phải linh hoạt trong cách tiếp cận các dạng toán. Chẳng
hạn như khi học về hàm số và đồ thị nếu như hình thức thi tự luận thì cách đặt
câu hỏi và cách tiếp cận bài toán hoàn toàn khác so với cách tiếp cận của bài
toán trắc nghiệm vì thế ta cần phải biết phân tích bài toán , loại bỏ các phương
án gây nhiễu để có được kết quả chính xác nhất. Có những bài học sinh dễ

dàng đưa ra đáp án nhưng có những bài việc lựa chọn lại vô cùng khó khăn và
phức tạp như bài toán sau: Nếu cho đồ thị của hàm số y = f '( x ) thì có thể
kết luận về tính đơn điệu của hàm số y = f ( x) không? Ta xét ví dụ sau:
Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Đặt
2
g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
y

A. g ( 3) > g ( −3) > g ( 1) .

B. g ( −3) > g ( 3) > g ( 1) .

C. g ( 1) > g ( −3) > g ( 3) .

D. g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) .

4
−3

Khi gặp bài toán này học sinh sẽ gặp phải một số khó khăn :
- Hiểu nhầm đây là đồ thị hàm số y = f ( x ) .

2
O 1
−2

3 x

- Thiếu kỹ năng đọc đồ thị, mà đây lại là đồ thị hàm số y = f ' ( x ) .
Đứng trước các vấn đề trên tôi thấy trong quá trình giảng dạy cần phải tổng

quát hóa để phân dạng và đưa ra phương pháp giải cho học sinh dễ dàng nhận
biết và từ đó biết cách đọc các yếu tố trên đò thị f’(x). Vì thế mà tôi chọ đề tài
“ Một số dạng toán về cách đọc các yếu tố của đồ thị hàm số f’(x) cho học
sinh ôn thi THPTQuốc gia”
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :
Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số y = f '( x ) với các
vấn đề của hàm số y = f ( x) . Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang
lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi TN THPT QG 2018 – 2019
và các năm tiếp theo
III. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU :
2


Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng một số lý thuyết trong
chương trình SGK 12 để giải quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của
hàm số y = f '( x) .
IV. CÁCH TIẾP CẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lý luận và phương pháp
giảng dạy môn toán đã học tôi tập trung vào các phương pháp sau:
- Nghiên cứu lý luận
- Điều tra quan sát thực tiễn
- Thực nghiệm sư phạm

3


PHẦN II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = f ( x) và trục hoành.
Giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) với trục hoành là nghiệm củay phương trình

hoành độ giao điểm f ( x ) = 0.
Ví dụ minh hoạ:

a

b

O

c

x

Hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình bên.
Suy ra phương trình f ( x ) = 0 có 3 nghiệm ( x = a; x = b; x = c )
2. Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên.
Bảng 1:

Hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại điểm x = x0 .
Bảng 2:

Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x = x0 .
3. Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến
thiên.
Bảng 3:

y = f ( x0 ) .
Ta có: min
[ a ;b ]

4


Bảng 4:

y = f ( x0 ) .
Ta có: max
[ a ;b]

Bảng 5:

Bảng 6:

y = f ( a ) ; max y = f ( b ) .
Ta có: min
[ a ;b]
[ a ;b]

y = f ( b) ;max y = f ( a ) .
Ta có: min
[ a ;b]
[ a ;b]

4. Xét dấu của tích phân xác định khi biết giới hạn miền phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số dưới dấu tích phân, trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b ( a < b) .

b

b

ò f ( x)dx < 0.

ò f ( x)dx > 0.

a

a

b

ò f ( x)dx = S1 - S 2 + S3 .
a

b

ò éëg ( x ) - f ( x ) ùûdx < 0
a

b

ò éëf ( x) a

g ( x) ù
dx > 0
û

5


b

5.

ò f '( x)dx = f ( b) -

f ( a) .

a

6. Phép biến đổi đồ thị.
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0 ta có:
1) Hàm số y = f ( x ) + a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên
a đơn vị.
2) Hàm số y = f ( x ) - a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống
dưới a đơn vị.
3) Hàm số y = f ( x + a) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái
a đơn vị.
4) Hàm số y = f ( x - a ) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải
a đơn vị.
ïìï f ( x ) khi x > 0
y
=
f
x
=
(
)
í
5) Hàm số
có đồ thị (C’) bằng cách:

ïï f ( - x ) khi x £ 0
î
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy , bỏ phần (C) nằm bên trái Oy .

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy .
ìï f ( x ) khi f ( x ) > 0
ï
6) Hàm số y = f ( x ) = íï
có đồ thị (C’) bằng cách:
ïî - f ( x) khi f ( x ) £ 0

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm
dưới trục Ox
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
- Trong chương trình toán học phổ thông ở SGK; SBT thậm chí một số sách
đọc thêm cũng chỉ nói rất sơ sài về phần này nếu có chỉ một vài ví dụ và nó
không mang tính tổng quát.
- Nhiều học sinh tuy rằng nắm rất vững kiến thức toán học về mặt lý thuyết
nhưng khi gặp những dạng toán này cũng rất lúng túng không biết vận dụng
như thế nào.
- Thực tế trong cách đổi mới thi cử hiện nay thì việc đưa các bài toán đồ thị
đạo hàm là những bài toán vận dụng cao là nhiều gặp những bài toán đó thì
đòi hỏi học sinh ngoài việc thành thạo các công thức toán học mà phải hiểu
biết và làm nhiều để có kinh nghiệm có thể suy luận giải quyết các bài đã ra
một cách đầy đủ và chính xác.

6

Trước thực trạng nói trên tôi rất băn khoăn và tự đặt câu hỏi làm thế nào
để giúp học sinh khi đứng trước những bài toán có đồ thị đạo hàm như thế.
III. GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số
y = f ( x) ; y = f ( x ± a ) ; y = f ( x ± ax )

Bài 1: Hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số
y = f '( x ) trên K như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) trên
K.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn:
Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị y = f '( x) cắt trục
Ox tại mấy điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị
y = f '( x ) tiếp xúc với trục Ox . Ta chọn đáp án B.
Nhận xét: xét một thực a dương. Ta có thể đổi yêu cầu lại
là: Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x + a ) hoặc y = f ( x - a )
trên K , thì đáp án vẫn không thay đổi. Chú ý số cực trị của các hàm số
y = f ( x ) , y = f ( x + a ) và y = f ( x - a ) là bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt
cực trị tại các giá trị x0 khác nhau!
Giả thiết ở bài 1 và các bài sau có thể thay đổi theo
hướng như sau:
Hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K và có đồ thị
như hình vẽ. Biết y = g ( x ) là một nguyên hàm của
hàm số y = f ( x ) . Tìm số cực trị của hàm số y = g ( x )
trên K .
Bài 2: Cho hàm số f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) của nó trên
khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên K , hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm

cực trị?
A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

7


Bài 3: Cho hàm số f ( x ) xác định trên R và có đồ thị của y
hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Hàm số f ( x + 2018) có mấy
điểm cực trị?
A. 1 .
B. 2 . C. 3 . D. 4 .
O
Hướng dẫn:

f ′( x)

x

đồ thị hàm số f '( x + 2018) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm
số f ′ ( x ) theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f '( x + 2018) vẫn cắt trục
hoành tại 3 điểm.Ta chọn đáp án C.
Bài 4: Cho hàm số f ( x ) xác định trên R và có đồ thị
của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ . Hàm số
y = g ( x) = f ( x) + 4 x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B.2.

C. 3.

D.4.

Hướng dẫn: y ' = g '( x ) = f '( x ) + 4 có đồ thị là phép
tịnh tiến đồ thị hàm số f '( x) theo phương Oy lên trên
4 đơn vị.
Khi đó đồ thị hàm số g '( x) cắt trục hoành tại 1 điểm,
ta chọn đáp án A.
Bài 5: Cho hàm số f ( x ) xác định trên R và có đồ thị
của hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ . Hàm số
y = g ( x) = f ( x) - 3 x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.

B.2.

C. 3.

D.4.

Hướng dẫn:
y ' = g '( x ) = f '( x ) - 3 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ

thị của hàm số f ′ ( x ) theo phương Oy xuống dưới 3
đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số g '( x) cắt trục hoành tại
3 điểm, ta chọn đáp án C.

Bài 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ . Hàm số
y = f '( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
y = g ( x) = f ( x) +

2017 - 2018 x
có bao nhiêu
2017

cực trị?
8


A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn:

2018
. Suy ra đồ thị của hàm số g '( x) là phép tịnh
2017
2018
tiến đồ thị hàm số y = f '( x) theo phương Oy xuống dưới
đơn vị.
2017

Ta có y ' = g '( x ) = f '( x ) -

Ta có 1 <

2018
< 2 và dựa vào đồ thị của hàm số y = f '( x ) , ta suy ra
2017

đồ thị của hàm số g '( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm. Ta chọn phương án D.
Bài 7: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ¡ , có đồ thị của hàm
số y = f '( x) như hình vẽ sau. Đặt g ( x) = f ( x ) + x . Tìm
số cực trị của hàm số g ( x ) ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn:
Ta có g '( x) = f '( x) +1 . Đồ thị của hàm số g '( x) là
phép tịnh tiến đồ thị của hàm số y = f '( x) theo
phương Oy lên trên 1 đơn vị, khi đó đồ thị hàm số
g '( x ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, ta chọn
đáp án B.
Bài 8: Cho hàm số y = f ( x ) . Biết f ( x ) có đạo hàm
f '( x) và hàm số y = f '( x ) có đồ thị như hình vẽ.
Đặt g ( x ) = f ( x +1) . Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số g ( x ) có hai điểm cực trị.
B. Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 1;3) .
C. Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 2; 4) .
D. Hàm số g ( x ) có hai điểm cực đại và một điểm cực
tiểu.

9


Hướng dẫn:
éx +1 = 1
ê
x +1 = 3 Û
Cách 1 : g '( x ) = f '( x +1) = 0 Û ê
ê
êx +1 = 5
ë
é
1 < x +1 < 3
g '( x ) = f '( x - 1) > 0 Û ê
Û
ê
ëx +1 > 5
x

y,

−∞

0

-

0

2

+

0

éx = 0
ê
êx = 2
ê
êx = 4
ë

é0 < x < 2
ê
ê
ëx > 4
+∞

4
-

0

+

y

Ta chọn đáp án C.

Cách 2: Đồ thị hàm số g '( x ) = f '( x +1) là phép
tịnh tiến đồ thị hàm số y = f '( x) theo phương

trục hoành sang trái 1 đơn vị.

Ta thấy trên khoảng ( 2; 4) đồ thị hàm số g '( x ) = f '( x +1) nằm bên dưới trục
hoành nên hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng ( 2;4) , ta chọn đáp án C.
Bài 9: Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị của hàm số y = f , ( x) như hình bên. Đặt
g ( x ) = 2 f ( x) + ( x + 1) 2 .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g (1) < g (3) < g (−3) . B. g (1) < g (−3) < g (3) .
C. g (3) = g (−3) < g (1) . D. g (3) = g (−3) > g (1) .
10


Hướng dẫn:
Ta có:
g ' ( x ) = 2 f ' ( x ) + 2 ( x + 1) = 2  f ' ( x ) + ( x + 1)  ⇒ − g ' ( x ) = 2  − ( x + 1) − f ' ( x )  Ta vẽ đường thẳng

y =- ( x +1) .

3

3

g ( 1) − g ( 3) = −∫ g ' ( x ) dx = 2∫ − ( x + 1) − f ' ( x ) dx < 0 ⇒ g ( 3 ) > g ( 1) .
1

1

3

1

3

−3

−3

1

g ( −3) − g ( 3) = − ∫ g ' ( x ) dx = 2 ∫  − ( x + 1) − f ' ( x ) dx + 2∫  − ( x + 1) − f ' ( x ) dx = 2S1 − 2S 2 > 0
⇒ g ( −3) > g ( 3 )

Như vậy ta có: g (1) < g (3) < g (−3) Ta chọn đáp án A.
Dạng 2 ; Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất hoặc so sánh các giá trị
của hàm số y = f ( x )
Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên
y
′
−
2;
2
y
=
f
x
[
] , có đồ thị của hàm số
( ) như hình bên.
Tìm giá trị x0 để hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất
−2 −1 O

trên [ −2; 2] .
A. x0 = 2 .

B. x0 = −1 . C. x0 = −2 .

x
1

2

D. x0 = 1 .

Hướng dẫn: Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:
x

y,

- 2

- 1

+

y

1

0

+ 0

2

-

f ( 1)

Ta chọn đáp án D.
11


Bài 2: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x )
được cho như hình vẽ bên. Biết rằng
f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5 ) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của
f ( x ) trên đoạn [ 0;5] ?
A. m = f ( 0 ) , M = f ( 5 ) . B. m = f ( 2 ) , M = f ( 0 ) .
C. m = f ( 1) , M = f ( 5 ) . D. m = f ( 2 ) , M = f ( 5 ) .
Hướng dẫn:
x

y

0
,

2
0

-

0

5

3
+

+
f ( 3)

f ( 0)

f ( 5)

y

f ( 2)
min
f ( x) = f ( 2) và f ( 0 ) + f ( 3) = f ( 2 ) + f ( 5 ) ⇒ f ( 0 ) − f ( 5 ) = f ( 2 ) − f ( 3) < 0 ⇒
é0;5ù
ê ú
ë û

f( 0) <

( 5)

Bài 3 : Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x )
được cho như hình vẽ bên. Biết rằng
f ( 0 ) + f ( 1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3) . Tìm giá trị

nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f ( x )
trên đoạn [ 0; 4] ?
A. m = f ( 4 ) , M = f ( 2 ) . B. m = f ( 4 ) , M = f ( 1) .
C. m = f ( 0 ) , M = f ( 2 ) . D. m = f ( 1) , M = f ( 2 ) .
Hướng dẫn:
x

y

,

0
0

1
+

2
0

3
-

4

f ( 2)
y

f ( 0)

f ( 4)

Dựa vào BBT ta có M = f ( 2) , GTNN chỉ có thể là f ( 0) hoặc f ( 4)

12


Ta lại có: f ( 1) ; f ( 3) < f ( 2) Þ f ( 1) + f ( 3) < 2 f ( 2) Û 2 f ( 2) - f ( 1) - f ( 3) > 0
f ( 0 ) + f ( 1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3) ⇔ f ( 0 ) − f ( 4 ) = 2 f ( 2 ) − f ( 3 ) − f ( 1) > 0 ⇒ f ( 0 ) > f ( 4 ) .

Ta chọn đáp án A.
Bài 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên
tục trên R và đồ thị của hàm số f ′ ( x ) trên đoạn
[ −2;6] như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong
các khẳng định sau.

A.

max f ( x ) = f ( −2 )
x∈[ −2;6]

B.

max f ( x ) = f ( 2 )
x∈[ −2;6]

.C.

max f ( x ) = f ( 6 )
x∈[ −2;6]

.D.

max f ( x ) = f ( −1)
x∈[ − 2;6]

.

Hướng dẫn: Từ đồ thị của hàm số y = f '( x) ta có bảng biến thiên như sau:
x
y

- 2
+

,

- 1
0

2
0

-

6
+

f ( - 1)

y

f ( 6)

Ta có:
6

2

6

f ( 6) - f ( - 1) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx > 0 Þ f ( 6) > f ( - 1) .Ta
- 1

-1

chọn

2

đáp án C.
Bài 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên R và đồ thị của
hàm số f ′ ( x ) như hình vẽ. Khẳng định nào
sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.

f ( b) > f ( c) và f ( c) > f ( a ) .

f ( b) > f ( c ) và f ( c) < f ( a ) .
f ( b) < f ( c ) và f ( c) > f ( a ) .
f ( b) < f ( c ) và f ( c) < f ( a ) .

Hướng

dẫn:
b

f ( b) - f ( c ) = ò f '( x)dx > 0 Û f ( b) > f ( c ) .
c

13


c

f ( c) - f ( a ) = ò f '( x )dx > 0 Û f ( c ) > f ( a ) .
a

Ta chọn đáp án A.
Bài 6: Cho các số thực a , b , c , d thỏa mãn 0 < a < b < c < d và hàm số
y = f ( x ) . Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt
là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên [ 0; d ] . Khẳng định nào
sau đây là khẳng định đúng?
y
a

x

c d

b

O

A. M + m = f ( 0 ) + f ( c ) B. M + m = f ( d ) + f ( c ) . C. M + m = f ( b ) + f ( a ) . D. M + m = f ( 0) + f ( a ) .
Hướng dẫn:
Ta có bảng biến thiên:
x
y,
y

a

0

-

0

+

f ( 0)

*

c

b

0

-

0

f ( b)
f ( a)

d

+
f ( d)

f ( c)

So sánh f ( a) ; f ( c)
c

b

c

f ( c ) - f ( a ) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx < 0 Þ f ( c ) < f ( a ) Þ m = f ( c ) .
a

a

b

a

b

So sánh f ( 0) ; f ( b) ; f ( d ) .
b

f ( b ) - f ( 0) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx < 0 Þ f ( b ) < f ( 0) .
0

0

a

14


d

c

d

f ( d ) - f ( b ) = ò f '( x ) dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx < 0 Þ f ( d ) < f ( b ) .
b

b

c

Þ f ( d ) < f ( b) < f ( 0) Þ M = f ( 0) . Ta chọn đáp

án A.
Bài 7 : Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên
tục trên đoạn [- 1; 2] , có đồ thị của hàm số
y = f '( x ) như hình vẽ sau. Mệnh đề nào sau đây
đúng ?
f ( x) = f ( 2) . C. max f ( x) = f ( 1) . D. max f ( x) = f æö
çç3 ÷
A. max f ( x) = f ( - 1) . B. max
[- 1;2]
[- 1;2]
÷.
ç ÷
[- 1;2]
[- 1;2]

è2 ø

Hướng dẫn :
x

a

- 1

y,

-

0

3
2

1

+

0

f ( - 1)

-

0

f ( 1)

y

+
f ( 2)

æö
3÷
fç
÷
ç

÷
ç
è2 ø

f ( a)

*

2

1

a

1

f ( 1) - f ( - 1) = ò f '( x)dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx > 0 Þ f ( 1) > f ( - 1) .
- 1

2

- 1

1,5

a

2

f ( 2) - f ( 1) = ò f '( x) dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx > 0 Þ f ( 2) > f ( 1) .

1

1

1,5

Ta chọn đáp án B.
Dạng 3 : Nhận biết mối liên hệ giữa đồ thị của các hàm số y = f ( x ) ,
y = f '( x ) , y = f '' ( x)
Phương pháp: sử dụng 1 trong 2 phương pháp hoặc kết hợp cả 2 phương
pháp.
PP1: Đồ thị hàm số f '( x) cắt trục hoành tại những điểm là các điểm cực trị
của đồ thị hàm số f ( x ) .
PP2: Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành (nếu có). Sau đó
dựa vào tính chất sau.
15


f '( x) > 0, " x Î K Þ f ( x ) tăng trên K ; f '( x ) < 0, " x Î K Þ f ( x ) giảm trên K .

Minh hoạ bằng hàm số y = sin x .

Bài

1:

Cho

đồ

thị

của

ba

hàm

số

y = f ( x); y = f ' ( x); y = f ' ' ( x) được vẽ mô tả ở hình dưới
đây. Hỏi đồ thị các hàm số y = f ( x); y = f ' ( x); y = f ' ' ( x)

theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
A. ( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 ) .

B. ( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 ) .

C. ( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 ) .

D. ( C1 ) ; ( C2 ) ; ( C3 ) .

Hướng dẫn:
Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị ( C2 ) cắt trục Ox tại 2
điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số
( C3 )
Đồ thị ( C1 ) cắt trục Ox tại 1 điểm là điểm cực
trị của của đồ thị hàm số ( C2 ) Ta chọn đáp án A.
Bài

2:

Cho

đồ

thị

của

ba

hàm

số

các

hàm

số

y = f ( x); y = f ' ( x); y = f ' ' ( x) được vẽ mô tả ở hình

dưới

đây.

Hỏi

đồ

thị

y = f ( x); y = f ' ( x); y = f ' ' ( x) theo thứ tự, lần lượt

tương ứng với đường cong nào ?
A. ( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 )

B. ( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 ) .

C. ( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 ) .

D. ( C1 ) ; ( C2 ) ; ( C3 ) .

Bài 3 Cho đồ thị của ba hàm số
y = f ( x); y = f ' ( x); y = f ' ' ( x) được vẽ mô tả ở
hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số
16


y = f ( x); y = f ' ( x); y = f ' ' ( x) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong

nào ?
A. ( C1 ) ; ( C2 ) ; ( C3 )

B. ( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 )

C. ( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 ) .

D. ( C3 ) ; ( C1 ) ; ( C2 ) .

Hướng dẫn:
Dựa vào phương pháp 1 có hai khả năng : ( C3 ) ; ( C1 ) ; ( C2 )

hoặc

( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 ) . Quan sát đồ thị ta thấy ứng với các khoảng mà đồ thị ( C1 )
nằm trên trục hoành thì đồ thị ( C3 ) “đi lên” và ngược lại; còn ứng với các
khoảng mà đồ thị ( C2 ) nằm trên trục hoành thì đồ thị ( C1 ) “đi lên” và
ngược lại. Ta chọn đáp án D .
Bài 4: Cho đồ thị của ba hàm số
y = f ( x); y = f ' ( x); y = f ' ' ( x) được vẽ mô
tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm
số y = f ( x); y = f ' ( x); y = f ' ' ( x) theo thứ
tự, lần lượt tương ứng với đường cong
nào ?
A. ( C1 ) ; ( C2 ) ; ( C3 ) . B. ( C1 ) ; ( C3 ) ; ( C2 ) .
C. ( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 ) . D. ( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 ) .
Hướng dẫn:
Dựa vào phương pháp 1 có hai khả năng : ( C1 ) ; ( C3 ) ; ( C2 )

hoặc

( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 ) . Quan sát đồ thị ta thấy ứng với các khoảng mà đồ thị ( C3 )
nằm trên trục hoành thì đồ thị ( C2 ) “đi lên” và ngược lại; còn ứng với các
khoảng mà đồ thị ( C1 ) nằm trên trục hoành thì đồ thị ( C3 ) “đi lên” và
ngược lại. Ta chọn đáp án D .
Bài 5: Cho đồ thị của ba hàm số y = f ( x); y = f ' ( x); y = f ' ' ( x) được vẽ mô tả ở
hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số

y = f ( x); y = f ' ( x); y = f ' ' ( x) theo thứ tự, lần
lượt tương ứng với đường cong nào ?
A. ( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 ) .

B. ( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 )

C. ( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 ) . D. ( C1 ) ; ( C3 ) ; ( C2 ) .

17


Dng 4: th hm s y = f(x) v bi toỏn thc t
Bi 1: Mt vt chuyn ng trong 3 gi vi vn tc v (km/h) ph thuc vo
thi gian t (h) cú th l mt phn ca ng parabol cú nh I (2;9) v trc
i xng song song vi trc tung nh hỡnh bờn. Tớnh quóng ng s m vt di
chuyn c trong 3 gi ú.
A. s = 24, 25 (km) B. s = 26, 75 (km) C. s = 24, 75 (km) D. s = 25, 25 (km)
Hng dn:
Gi s phng trỡnh chuyn ng ca vt theo ng
2
parabol v ( t ) = at + bt + c ( km / h) .
ỡù
ùù
ùù c = 6
Ta cú: ùớù 4a + 2b + c = 9
ùù - b
ùù
=2
ợù 2a

ỡù
ùù
ùù c = 6
ù b = 3 ị v ( t ) = - 3 t 2 + 3t + 6
ớ
.
ùù
4
- 3
ùù
ùù a =
4
ợ

Vy quóng ng m vt di chuyn c trong 3 gi l:
3

ổ
ử
- 3 2
99
s = ũỗ
t + 3t + 6ữ
dt = ằ 24,75. Ta chn ỏp ỏn C.
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố4
ứ

4
0

Bi 2: Mt ngi chy trong thi gian 1 gi, vn tc v (km/h) ph thuc thi


gian t (h) cú th l mt phn ca ng parabol vi nh I ;8 ữ v trc
2
i xng song song vi trc tung nh hỡnh bờn. Tớnh quóng ng s ngi ú
chy c trong khong thi gian 45 phỳt, k t khi bt u chy.
1

A. s = 4,0 (km) B. s = 2,3 (km)
Bi 3: Cho hm s

C. s = 4,5 (km)

D. s = 5,3 (km)

y = f ( x) = ax + bx + cx + d ( a, b, c , d ẻ Ă ; a ạ 0) cú th (C).
Bit rng th (C) tip xỳc vi ng thng y =- 9 ti im
cú honh dng v th hm s y = f '( x ) cho bi hỡnh v
3

2

9

v

bờn. Tỡm phn nguyờn ca giỏ tr din tớch hỡnh phng gii hn
bi th (C) v trc honh?
A. 29.
35.

B. 27.

C. 2.

D.

O 234 t

18


2
Hướng dẫn: Ta có f '( x) = 3ax + 2bx + c . Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x ) ta
thấy đồ thị hàm số y = f '( x ) đi qua 3 điểm ( - 1;0) , ( 3,0) ,( 1, - 4) ta tìm được:

1
1
a = ; b =- 1; c =- 3 .Suy ra: f '( x) = x 2 - 2 x - 3 Þ f ( x ) = x 3 - x 2 - 3x + C .
3
3

Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y =- 9 tại điểm có hoành độ dương nên ta
có: f '( x ) = 0 Û x =- 1; x = 3 Þ x = 3.
1
3

Như vậy (C) đi qua điểm ( 3; - 9) ta tìm được C = 0 Þ f ( x ) = x 3 - x 2 - 3 x .
Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành:
1 3
3 ±3 5
x - x 2 - 3x = 0 Û x = 0; x =
.
3
2
3+3 5
2

S=

ò

3- 3 5
2

1 3
x - x 2 - 3x dx = 29, 25. Ta chọn đáp số A.
3

Bài 4: Cho hàm số
y = f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c (a > 0) có đồ thị (C),
đồ thị hàm số y = f '( x) như hình vẽ. Biết đồ

thị hàm số y = f '( x ) đạt cực tiểu tại điểm
æ 3 - 8 3ö
÷

ç
÷
;
y = f ( x ) tiếp xúc
ç
÷
ç
÷. Đồ thị hàm số
ç
9 ø
è3
với trục hoành tại hai điểm. Tính diện tích S

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục
hoành?
A.

7
.
15

B.

8
.
15

C.

14

.
15

D.

16
.
15

Hướng dẫn:
Từ đồ thị của hàm số y = f '( x ) và a > 0 ta dễ dàng
có được đồ thị hàm số y = f '( x ) như sau: Ta có
f '( x ) = 4ax 3 + 2bx . Đồ thị hàm số y = f '( x ) đi qua
æ3 - 8 3ö
÷
÷
;
÷
÷ta tìm được
ç
3
9
è
ø

( 1;0) , ççç

a = 1; b =- 2 Þ f '( x ) = 4 x 3 - 4 x Þ f ( x ) = x 4 - 2 x 2 + C .

Do (C) tiếp xúc với trục hoành nên f '( x) = 0 Û x = 0; x = ±1 . Do (C) đối

xứng qua trục tung nên (C) tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm ( 1;0) , ( - 1;0) .
19


Do đó: f ( 0) = 1 Þ C = 1 Þ f ( x ) = x - 2 x +1.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành:
4

2

1
4
2
x - 2 x +1 = 0 Û x = ±1. S = ò x - 2 x +1dx =

4

2

- 1

16 Ta chọn đáp án D.
.
15

IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT
ĐỘNG GIÁO DỤC.
1. Kết quả thực hiện
Đây là vấn đề mà đã được tôi áp dụng vào giảng dạy cho học sinh trường
THPT Triệu Sơn 2 cụ thể là học sinh các lớp 12A3, 12A4 (khoá học 2014-2017),

lớp 12B3 (khoá học 2015- 2018) và thu được kết quả tốt đa số các em thực hành
thành thạo và tự tin hơn trong các bài toán đọc đồ thị hàm số liên quan đến đạo
hàm, tích phân. Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng đối với tất cả học sinh
lớp 12, tuỳ theo từng chương mà ta chia nhỏ nội dung của SKKN ra để giảng dạy.
Sau khi áp dụng tôi cảm thấy hài lòng với kết quả trên, đa số các em hiểu và giải
quyết tốt được vấn đề.Kết quả thu được như sau

Lần 1

Lần 2

Lớp

Dưới
trung
bình

Trung
bình

Khá

Giỏi

12A3

13/43

21/43

7/43

2/43

12A4

15/40

19/40

5/40

1/40

12B3

10/42

23/42

8/42

1/42

12A3

2/43

6/43

22/43

13/43

12A4

6/40

8/40

22/40

4/40

11/42

22/42

9/42

12B3

Thời gian
Đang
chậm
Đang
chậm
Đang
chậm
Nhanh

hơn nhiều
Nhanh
hơn
Nhanh rõ
rệt

20


PHẦN 3. KẾT LUẬN
1. Kết luận
- SKKN đã tương đối thể hiện đầy đủ các dạng toán liên quan đến đồ thị của
hàm số y = f '( x) và phương pháp giải.
- SKKN cũng đã đưa ra mộ số bài tập liên quan đến vật lý.
- SKKN cũng đã góp phần thay đổi tư duy từ tự luận sang trắc nghiệm.
- Là một dạng toán tổng hợp nên giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa các
kiến thức đã học, từ đó giúp học sinh hình thành tư duy phân tích, tổng hợp.
- Tôi hy vọng SKKN này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải quyết các dạng bài
tập liên quan đến đồ thị của hàm số y = f '( x) từ đó đạt kết quả cao trong kỳ thi
sắp tới.
2.Kiến nghị
- Tạo điều kiện để tổ chuyên môn được thường xuyên trao đổi rút kinh nghiệm
để dần nâng cao trình độ
- Tổ chức nhiều các hoạt động ngoại khoá toán học cho học sinh.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Triệu Sơn, ngày 22 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN mình
viết, không sao chép nội dung của

người khác.
Người viết

NGUYỄN THỊ MAI

21


1.
2.
3.
4.
5.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Giải tích và bài tập Giải tíchb12; tác giả Trần Văn Hạo (Tổng Chủ
biên), nhà xuất bản Giáo dục.
Đề TN THPTQG năm học 2017-2018 của bộ GDĐT.
Đề minh hoạ 001 môn toán tháng 1 năm 2018 của bộ GDĐT.
Đề thi thử của một số trường chuyên và không chuyên trong nước.
Single variable CALCULUS early transcendentals, seventh edition-James
Stewart.

HS:
GV:
THPT:
SKKN:
TN:

MỘT SỐ TỪ VI ẾT TẮT

Học sinh
Giáo viên
Trung học phổ thông
Sáng kiến kinh nghiệm
Tốt nghiệp

22