Hướng dẫn học sinh khai thác và tìm cách giải một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng trong hình học phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC VÀ TÌM CÁCH GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA BA ĐIỂM
VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Người thực hiện: Phan Anh Thắng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019


MỤC LỤC

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.........Error: Reference source not found

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Nhân loại đang bước vào thế kỷ XXI, thế kỷ tri thức, kỹ năng của
con ngừời được xem là yếu tố quyết định sự phát triển của xã hội. Trong xã
hội tương lai, nền giáo dục phải đào tạo ra những con người có trí tuệ phát
triển thông minh và sáng tạo. Muốn có được điều này, ngay từ bây giờ các
trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho HS hệ thống kiến thức cơ bản, hiện
đại, phù hợp với thực tiễn Việt Nam và phát triển năng lực tư duy sáng tạo
Trong quá trình giảng dạy với việc ứng dụng nhiều phương pháp vào

dạy học tôi nhận thấy phương pháp “phát hiện và giải quyết vấn đề” có nhiều
2


ưu điểm và rất phù hợp với công tác giảng dạy môn Toán ở THPT.Tuy nhiên
để thành công trong phương pháp “phát hiện và giải quyết vấn đề”ngoài năng
lực chuyên môn,nghiệp vụ sư phạm còn đòi hỏi người Thầy phải đầu tư nhiều
thời gian và thực sự tâm huyết với nghề. Để có một bài giảng hay,thu hút học
sinh giúp học trò phát triển tư duy và niềm say mê Toán học, tôi cũng như
bao giáo viên yêu nghề và yêu Toán khác luôn trăn trở với những khó khăn
của học trò khi tiếp cận bài toán.
Trong chương trình Toán THPT, bài toán hình học giải tích phẳng luôn
gây ra nhiều khó khăn cho các đối tượng học sinh đặc biệt là học sinh có
năng lực trung bình. Trong số các bài toán hình học giải tích có một lớp các
bài toán thường có tính chất “hình học phẳng thuần túy” gây nhiều khó khăn
cho học sinh khi tiếp cận. Vì vậy tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh khai
thác và tìm cách giải một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và
đường thẳng trong hình học phẳng”
1.2 Mục đích nghiên cứu
Trong quá trình giảng dạy nếu phát huy hợp lý phương pháp “phát hiện
và giải quyết vấn đề” sẽ đem lại hiệu quả rất tích cực trong giải quyết một lớp
các bài giải tích phẳng.
Tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi tiếp cận bài toán
hình học phẳng.
Phát triển tư duy khái quát hóa,tương tự hóa,trừu tượng hóa… phát
triển kỹ năng giải toán và tư duy sáng tạo cho học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Do điều kiện và thời gian có hạn nên trong phạm vi đề tài này tôi chỉ đi
vào nghiên cứu một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường
thẳng trong hình học phẳng.

1.4 Phương pháp nghiên cứu
a. Nghiên cứu lý thuyết.
Để hoàn thành đề tài này tôi đã đọc và nghiên cứu các tài liệu có liên quan
sau:
- Các tài liệu về việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát
huy tính tích cực, lấy học sinh làm trung tâm .
-Tìm kiếm tài liệu tham khảo liên quan hình học giải tích
phẳng,phương pháp dạy học môn Toán.
b. Nghiên cứu thực tế.
- Tìm hiểu thực trạng về tổ chức hoạt động dạy học của giáo viên ở các
trường THPT bằng cách dự giờ thăm lớp, trao đổi với giáo viên cùng tổ
chuyên môn trong trường và các trường trong cụm.
- Tổ chức trò chuyện với học sinh để nắm được nhu cầu, sở thích của các
em.
c. Thực nghiệm sư phạm.
3


Tôi đã tiến hành dạy thực nghiệm một số lớp 11A1, 11A3 trong chương
trình Hình học 11.

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến
Trong quá trình dạy học bản thân tôi nhận thấy, khi chưa áp dụng các
nghiên cứu trong đề tài vào giảng dạy thì đa phần các em học sinh rất lúng
túng, không có hứng thú trong quá trình tiếp cận và giải quyết bài toán hình
học mang tính chất “hình học thuần túy” phần lớn các em đều chờ các gợi ý,
kiến thức mà giáo viên cung cấp.
Khảo sát cho thấy ở các lớp giảng dạy, đa phần học sinh không làm
được,không có hứng thú với bài toán.Thậm chí với học sinh trong đội tuyển

học sinh giỏi của nhà trường cũng lúng túng khi tiếp cận những bài toán được
4


xây dựng dựa trên các bài toán có tính chất “hình phẳng thuần túy” vì kiến
thức hình học phẳng nắm không vững ở THCS.
Việc “Hướng dẫn học sinh khai thác và tìm cách giải một số bài
toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng trong hình học
phẳng” giúp học sinh tiếp cận bài toán quan hệ vuông góc một cách tự nhiên,
chủ động để giải quyết vấn đề và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện
kỹ năng giúp nâng cao chất lượng học tập.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
a.Thuận lợi
* Về phía giáo viên :
- Có sức khỏe, có kiến thức và tâm huyết với nghề.
- Được giảng dạy đúng chuyên môn đã học nên phát huy được hết
những kiến thức, phương pháp được đào tạo.
- Trực tiếp giảng dạy môn Toán một số lớp khối 11 trường THPT Đông
Sơn 2 nên thực hiện được việc khảo sát và thống kê được ưu điểm của việc áp
dụng đề tài trong kết quả học tập của các em.
- Được tham gia dạy học và dự giờ tại trường nên có thể học hỏi và trao
đổi kinh nghiệm dạy học với đồng nghiệp cùng môn từ đó phát huy được ưu
điểm và khắc phục được nhược điểm của bản thân.
- Nhà trường chỉ học một buổi nên có thể ôn tập, phụ đạo thêm cho học
sinh vào các buổi chiều nhằm phát huy vai trò trung tâm của học sinh trong
quá trình dạy học.
*Về phía học sinh:
- Được trang bị đủ sách giáo khoa.
- Đa số các em đều ngoan, có ý thức thực hiện tốt nội quy trường lớp.
- Một số gia đình thực sự quan tâm đến việc học tập của các em nên tạo

mọi điều kiện để các em được học tập và nâng cao kiến thức.
b. Khó khăn
* Về phía giáo viên:
-Thư viện nhà trường chưa có nhiều tài liệu tham khảo đầy đủ dẫn đến
việc sưu tầm tài liệu để phục vụ cho việc giảng dạy còn hạn chế.
*Về phía học sinh:
- Đa số học sinh còn ham chơi, chưa tự giác trong học tập, một số ít
còn nghỉ học vô lí do, không làm bài tập ở nhà và không đọc bài mới trước
khi đến lớp.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Bài toán cơ bản được sử dụng trong đề tài: Trong mặt phẳng với hệ tọa
độ Oxy cho đường thẳng ( d ): ax+by+c=0 và hai điểm A( xA;yA);B(xB;yB)
d
không nằm trên (d).Tìm điểm M trên (d) để AM vuông góc với AB.
Cách giải:
M
-Lập đường thẳng (d’) qua A vuông góc với (d)
-Khi đó M là giao điểm của (d) và (d’)
5
A

B


Giải pháp thực hiện:
Hiện nay các bài toán hình giải tích phẳng thường chia thành hai mảng
là mảng “đại số “ được xây dựng trên cơ sở tham số hóa và mảng” hình học”
được xây dựng trên cơ sở dựa vào các bài toán hình học thuần túy.Trong đề
tài này,tôi sẽ trình bày ý tưởng giải quyết một dạng toán hình học giải tích
phẳng trong mảng “ hình học ” thông qua một số bài toán.

Xuất phát từ mối quan hệ vuông góc của “ ba điểm” để gỡ “nút thắt
đầu tiên ” và “ mấu chốt ” để tìm ra các yếu tố còn lại của bài toán.Từ đó
giúp học sinh hình thành kỹ năng giải toán ,phát triển tư duy,tạo hứng thú cho
học sinh khi giải các bài toán hình học giải tích phẳng.Đồng thời,tôi cũng đề
xuất các giải pháp xử lý các mối quan hệ đó cũng như xây dựng bài toán tổng
quát ,nêu ra các cách nhìn nhận khác nhau xung quanh mối quan hệ vuông
góc đó.
Sau đây là một số bài toán được phân tích, suy luận, giải quyết từ mối
quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng được trình bày thông qua các
bài toán sau:
Bài toán 1( Trích từ đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2014-2015)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm
9
2

H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm M ( ;3) là trung điểm
của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của ∆ ADH là :
4 x + y − 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC.
Bước 1:Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
-Gọi K là trung điểm của DH.Khi đó bài toán xoay quanh ba điểm
A,H,K.Bằng trực quan ta giả sử AH ⊥ DK
-Để kiểm tra giả thuyết trên ta có thể kiểm tra với hình chữ nhật có A(0;0)
,B(2;0),C(2;1) và D(0;1)
-Khi ta sẽ tìm được K và các yếu tố còn lại
Bước 2.Tìm giải pháp
Cách 1:Chứng minh theo hình học thuần túy
Gọi P là trung điểm của AH.
Tứ giác BMKP là hình bình hành vì PK // BM và
PK=BM . Vì PK ⊥ AB và AH ⊥ KB nên P là trực
tâm của tam giác ABK nên BP ⊥ AK suy ra

MK ⊥ AK.
Cách 2.Chứng minh theo phương pháp tọa độ
Chọn hệ tọa độ Oxy với D ≡ O
6


Khi đó D(0;0),A(0;a),C(c;0),B(c;a)
Phương trình đường thẳng BD là
ax-cy=0;đường thẳng AH có phương trình là
cx+ay-a2=0.Tọa độ H là nghiệm của hệ phương

ca 2
x= 2

ax − cy = 0

a + c2
⇔
trình 

2
3
cx + ay − a = 0
y = a

a2 + c2

ca 2
a3
Suy ra H(

;
)
a2 + c2 a2 + c2
ca 2
a3
ca 2
− a 3 − 2ac 2
;
;
Ta có K(
) nên AK =(
)
2(a 2 + c 2 ) 2(a 2 + c 2 )
2( a 2 + c 2 ) 2( a 2 + c 2 )

− ca 2 − 2c 3
− ac 2
a
;
M (c; ) nên MK =(
).Suy ra AK . MK =0 hay MK ⊥
2(a 2 + c 2 ) 2(a 2 + c 2 )
2

AK.
Bước 3:Trình bày giải pháp
-Ta chứng minh MK ⊥ AK (sử dụng một trong hai cách trên)
9
2

-Đường thẳng KM đi qua M ( ; 3) và vuông góc với AK: 4 x + y − 4 = 0
nên MK có phương trình: x − 4 y +

15
=0 .
2

Do K = AK ∩ MK ⇒ Toạ độ K là nghiệm của hệ
1
4 x + y = 4


 x = nên
1
K ( ; 2) .
2

15 ⇔ 
2
 x − 4 y = − 2
 y = 2

Do K là trung điểm của HD mà H(1; 2) nên D(0; 2) ⇒ phương trình của BD:
y – 2 = 0.AH đi qua H(1; 2) và vuông góc với BD nên AH có PT:
x - 1 = 0 và A = AK ∩ AH ⇒ A(1; 0).
9
2

Đường thẳng BC qua M ( ; 3) và song song với AD nên BC có PT là:
2x + y – 12 = 0.

Bước 4:Nghiên cứu sâu giải pháp
- Ta nhận thấy bài toán trên thực chất là xoay quanh bài toán hình phẳng
sau “Cho hình chữ nhật ABCD .H là hình chiếu vuông góc của A trên
BD.Các điểm M,K lần lượt là trung điểm của BC,DH.Chứng minh MK ⊥ AK”
-Nếu cho ABCD là hình vuông thì ta sẽ được bài toán hình phẳng sau ”Cho
hình vuông ABCD.Gọi M là trung điểm BC,trên đoạn BD lấy điểm N sao
1
4

cho DN = DB .Chứng minh AN ⊥ MN”
-Đây là một trường hợp riêng của bài toán trên : Trong mặt phẳng với hệ tọa
độ Oxy , cho hình vuông ABCD .Gọi M là trung điểm BC, trên đoạn BD lấy
7


1
4

điểm N sao cho DN = DB . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết
3 3
2 2

M(3;1),N( ; ) và điểm D nằm trên đường thẳng ∆ :x-y+1=0.
Bài toán 2 (Trích từ đề thi HSG tỉnh thanh hóa năm 2013-2014)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M,
N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ
B xuống CM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết
5
N ( −1; − ), H (−1;0) và điểm D nằm trên đường thẳng (d ) : x − y − 4 = 0 .
2

Bước 1:Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
-Bài toán xoay quanh 3 điểm D,H,N. Dựa vào
hình vẽ ta đưa ra nhận định HD ⊥ HN
-Ta có thể kiểm tra nhận định trên với hình vuông
ABCD có A(0;2),D(0;0) ,C(2;0) và B(2;2)
Bước 2.Tìm giải pháp
Cách 1.Theo phương pháp hình học thuần túy
Trong tam giác vuông BCH ta có : HN=NC (1)
Mặt khác: BH ⊥ MC (*) mà
∠ NDC+ ∠ MCD = ∠ MCD + ∠ MCD = 900
nên ∠ DIC =900 ⇒ DN ⊥ MC (**)
Từ (*) và (**) suy ra BH // DN ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra H và C đối xứng qua DN
⇒ ∠ DHN= ∠ DCN=900 ⇒ DH ⊥ HN
Cách 2:Theo phương pháp tọa độ
Gắn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ với O ≡ D
Khi đó D(0;0),C(a;0),B(a;a),A(0;a),
a
2

a
2

M( ;a),N(a; ).Đường thẳng CM có phương
trình 2x+y-2a=0.Đường thẳng BH ⊥ CM và BH
qua B nên có phương trình x-2y +a=0 .
Tọa độ H là nghiệm của hệ phương
3a


x=

2 x + y − 2 a = 0
3a 4a

5
⇔
⇒ H( ; )
trình 
5 5
x − 2 y + a = 0
 y = 4a
5

8


3a 4a
2a − 3a
HD =( 5 ; 5 ) ; HN =( 5 ; 10 )

⇒ HD . HN =0 hay DH ⊥ HN

Bước 3:Trình bày giải pháp
-Ta chứng minh DH ⊥ HN (Bằng một trong hai cách trên)
Đường thẳng DH có phương trình là y=0 .Mà D=DH ∩ d nên D(4;0)
Vì H và C đối xứng qua DN tìm được C (1; −4) .Từ đó tìm được :
A(0;3), B(−3; −1) .
Bước 4 :Nghiên cứu sâu giải pháp
Thực chất bài toán trên xuất phát từ bài toán hình phẳng sau “ Trong

mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N lần lượt là
trung điểm của đoạn AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM
. Chứng minh HD ⊥ HN”
Từ bài toán 2 ,ta cắt bỏ đi tam giác MBC thì được hình thang AMCD
vuông tại A và D , CD = 2AB. Kết hợp với bài toán 1 ta được bài toán sau:
Bài toán 3: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D ,CD = 2AB .Gọi H là
hình chiếu vuông góc của D trên AC , M là trung điểm của HC. Cho B( 3;8) ,
M(

57 38
; ) và điểm D nằm trên đường thẳng (d) : 3x-y-1 = 0.
13 13

Bước 1:Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
-Bài toán xoay quanh 3 điểm B,M,D. Bằng trực
quan ta đưa ra nhận định MD ⊥ MB.
-Nếu nhận định trên là đúng thì từ đó ta sẽ tìm
được điểm D và tìm được hai điểm còn lại của
hình thang.
Bước 2.Tìm giải pháp
Cách 1.Theo phương pháp hình học thuần túy
Gọi N là trung điểm DH ,khi đó ABMN là hình
bình hành.Trong ∆ ADM có DH ⊥ AC , MN ⊥ AD
nên N là trực tâm của ∆ ADM suy ra AN ⊥ DM mà AN// BM nên BM ⊥ DM.
Cách 2:Theo phương pháp tọa độ
Gắn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ với D ≡ O
Khi đó D(0;0) , C(2c;0) , A(0;a) , B(c;a)
Đường thẳng AC có phương trình: ax +2cy -2ac=0.
Đường thẳng DH ⊥ AC và DH qua D nên có
phương trình: 2cx-ay=0.

Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:

9



2a 2 c
x= 2

ax + 2cy − 2ac = 0

a + 4c 2
⇔

2
2cx − ay = 0
 y = 4ac

a 2 + 4c 2


2a 2 c
4ac 2
)
; 2
2
2
2
a + 4c a + 4c
2a 2 c + 4c 3

2ac 2
M là trung điểm HC nên M ( 2
)
;
a + 4c 2 a 2 + 4c 2
2a 2 c + 4c 3
2ac 2
a 2c
− a 3 − 2ac 2
DM = ( a 2 + 4c 2 ; a 2 + 4c 2 ) , BM = ( a 2 + 4c 2 ; a 2 + 4c 2 )
Khi đó DM . BM = 0 hay BM ⊥ DM.
Suy ra H (

Bước 3:Trình bày giải pháp
-Ta chứng minh BM ⊥ DM (Bằng một trong hai cách trên)
Khi đó đường thẳng MD có phương trình 3x-11y + 19 =0.Tọa độ D là
3 x − 11 y + 19 = 0
x = 1
⇔
3 x − y − 1 = 0
y = 2

nghiệm của hệ: 

nên D (1;2).Gọi I là giao điểm của BD và AC,
∆ IDC
ta có ∆ IAB
nên ta có

IA IB AB 1

=
=
=
IA ID CD 2
7

Gọi I (m;n) thì BD = 3BI suy ra I ( ;6 ).
3
Đường thẳng AC qua I , M nên có
phương trình 3x + 2y - 19 = 0.
Mà A nằm trên đường tròn đường
kính BD có phương trình (x-2)2 + (y-5)2 =10.Tọa độ
x = 1

 y = 8
3 x + 2 y − 19 = 0

57
⇒ A(1;8)
⇔
A là nghiệm của hệ 
x =
2
2
(
x
−
2
)
+

(
y
−
5
)
=
10
13


(loai )


38
 y =
13


Vì CD = 2 BA nên C ( 5;2).
Vậy A(1;8),C(5;2),D(1;2).
Bước 4 :Nghiên cứu sâu giải pháp
Bài toán trên được xây dựng dựa trên bài toán hình phẳng sau :” Cho hình
thang ABCD vuông tại A và D ,CD = 2AB .Gọi H là hình chiếu vuông góc
của D trên AC , M là trung điểm của HC.Chứng minh BM ⊥ DM”
Dựa vào công cụ vectơ và bài toán hình phẳng trên khi thay đổi các dữ kiện
một cách hợp lý , ta có thể đưa ra nhiều bài toán khác cho hình thanh vuông.
Từ lời giải ở bài toán 3 , ta thấy có một điểm rất đặc biệt là “ID = 2IB ”
10

Như vậy nếu ta tiếp tục cắt bớt tam giác ABD trong hình thanh ABCD ,ta
được bài toán sau: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC cân
tại A (4;4),trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IB = 2IA.Gọi H là hình chiếu
vuông góc của B trên IC ,M là trung điểm của HC.Tìm tọa độ B,C của tam
giác ABC biết B thuộc đường thăng (d) :2x-y-2=0 và B có hoành độ không
nhỏ hơn 2 .Bài toán này học sinh hoàn toàn tự giải được khi đã được tiếp thu
tri thức từ bài toán 3.
Bài toán 4 (Trích đề thi đại học khối A năm 2013)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD với điểm C
thuộc đường thẳng d:2x+y+5=0 và điểm A(-4;8).Gọi M là điểm đối xứng của
B qua C , N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD.Tìm tọa độ
các điểm B và C biết N(5,-4).
Bước 1:Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
Ta thấy giả thuyết của bài toán xoay quanh
ba điểm A,C,N.Bằng trực quan ta đưa ra
nhận định AN ⊥ NC.Từ đó ta sẽ tìm được C,B.
Bước 2.Tìm giải pháp
Cách 1:Chứng minh theo hình học thuần túy
Vì ∠ BCD= ∠ BND=900 nên tứ giác BDNC nội
tiếp.Suy ra ∠ BDC= ∠ BNC mà ∠ BDC= ∠ BAC
cho nên ∠ BNC= ∠ BAC hay tứ giác ABCN nội
tiếp ⇒ ∠ ANC=900 hay AN ⊥ NC
Cách 2.Chứng minh theo phương pháp tọa độ
Chọn hệ tọa độ Oxy với O ≡ D như hình vẽ
Khi đó D(0;0) A(0;a),C(c;0),B(c;a),M(c;-a).
Đường thẳng DM có phương trình
ax +cy=0
Đường thẳng BN ⊥ BM và qua B nên BN có
phương trình cx-ay-c2+a2=0 nên tọa độ N là
ax + cy = 0

nghiệm của hệ 

2
2
cx − ay − c + a = 0

c (c 2 − a 2 )
x
=

a2 + c2
⇔
2
2
 y = a (a − c )
a2 + c2

c (c 2 − a 2 ) a ( a 2 − c 2 )
⇒N ( 2
; 2 2 ) .Khi đó
a + c2
a +c
2
2
− c(c − a ) 2ac 2
; 2 2 );
NA = (
a2 + c2
a +c

2
2ca
− a (a 2 − c 2 )
(
;
)
NC = 2
a + c2
a2 + c2
⇒ NA . NC =0 hay AN ⊥ NC

11


Bước 3:Trình bày giải pháp
-Chứng minh AN ⊥ NC (sử dụng một trong
hai cách trên)
-Đường thẳng NC qua N và vuông góc với
AN nên NC có phương trình :3x-4y-31=0
Khi đó tọa độ N là nghiệm của hệ phương
trình
x = 1
3x − 4 y − 31 = 0
⇒ C(1;-7)
⇔


2
x
+

y
+
5
=
0
y
=
−
7


Vì ACMD là hình bình hành
⇒ AC // DM mà NB ⊥ MD nên NB ⊥ AC.
Phương trình đường thẳng NB là x-3y-17=0.
Đồng thời B nằm trên đường tròn đường kính AC
3
2

1
2

có phương trình là (x+ ) 2 + (y- )2 =

125
2

 x = 5 (Loại)

 x − 3 y − 17 = 0


  y = −4
Nên tọa độ B là nghiệm của hệ: 
3 2
1 2 125 ⇔ 
 x = −4
( x + 2 ) + ( y − 2 ) = 2

 y = −7

Vậy B (-4;-7) , C(1;-7).
Bước 4 :Nghiên cứu sâu giải pháp
-Bài toán trên được xây dựng trên bài toán hình học trên “Trong mặt phẳng
với hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD .Gọi M là điểm đối xứng của B
qua C , N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Chứng minh
NA ⊥ NC”
Một số lưu ý cho học sinh
Thông qua các bài toán trên, ta có thể đưa ra một số nhận định sau:
Khi vẽ hình, học sinh phải vẽ hình thật chính xác, từ hình ảnh đó sẽ có
thể đưa ra những nhận định mấu chốt để giải toán.
Khi tiếp cận các bài toán hình học giải tích phẳng,đặc biệt các bài toán
liên quan chặt chẽ với hình học phẳng,ta cần xem xét mối quan hệ giữa các
điểm, kiểm tra xem chúng có mối quan hệ đặc biệt nào hay không như quan
hệ vuông góc mà tôi đã đưa ra thông qua các ví dụ trên.
Trong “ bước 2: Tìm giải pháp ” tôi đưa ra hai phương pháp chứng
minh cơ bản:
Phương pháp hình học thuần túy: Đây là phương pháp khó, đòi hỏi học
sinh phải học tốt chương trình hình học phẳng ở THCS nhưng lời giải ngắn
ngọn, rõ ràng. Phương pháp phù hợp cho các học sinh có năng lực tốt, kiến
thức vững vàng về hình học phẳng.

12


Phương pháp tọa độ: Phương pháp này dễ làm hơn nhưng biến đổi
cồng kềnh,chủ yếu là biến đổi “đại số”. Phương pháp phù hợp cho các học
sinh có năng lực trung bình, khá.
Các bài toán mà tôi đưa ra trong đề tài được xây dựng dựa trên các bài
toán “hình học phẳng thuần túy”. Vì vậy mà từ các bài toán gốc,giáo viên có
thể hướng dẫn để học sinh tự đưa ra các bài toán khác nhau cho từng trường
hợp.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Việc nghiên cứu và áp dụng đề tài “Hướng dẫn học sinh khai thác và tìm
cách giải một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng
trong hình học phẳng” có ý nghĩa quan trọng đối với giáo viên và học sinh
vì :
a. Đối với giáo viên:
- Có thể chủ động, sáng tạo trong thiết kế các hoạt động dạy học nhằm
đáp ứng yêu cầu đổi mới về phương pháp giáo dục hiện nay.
- Thông qua áp dụng đề tài học sinh dễ dàng tiếp cận bài toán quan hệ
vuông góc một cách tự nhiên, chủ động để giải quyết vấn đề và thông qua đó
chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng từ đó nâng cao hiệu quả dạy học.
b. Đối với học sinh:
- Tạo được tâm lí thoải mái, nhẹ nhàng khi tiếp thu khiến thức và từng
bước hình thành thói quen tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo trong quá trình
lĩnh hội tri thức giúp các em ghi nhớ lâu hơn, vận dụng tốt hơn và đem lại kết
quả dạy học cao nhất.
- Tạo được hứng thú, tính tích cực, tự giác học tập của học sinh. Các
em đam mê, hứng thú hơn với các tiết học Toán và điều quan trọng nhất là kết
quả học tập của học sinh ngày càng tiến bộ rõ rệt.
- Hình thành phát triển các năng lực cơ bản của người học: phân tích,

tổng hợp, so sánh và năng lực hợp tác để cùng giải quyết các vấn đề trong học
tập cũng như trong cuộc sống.
c. Đối với nhà trường:
- Nâng cao được chất lượng giáo dục.
- Thông qua việc áp dụng đề tài trên một số bài toán cụ thể, tôi khảo sát
và thấy chất lượng học môn Toán nói chung và môn Toán 11 nói riêng của
học sinh THPT Đông Sơn 2 được nâng lên rõ rệt. Cụ thể số liệu khảo sát ở
học sinh lớp 11A1, 11A3 THPT Đông Sơn 2 sau khi áp dụng đề tài như sau:
+ Lớp thực nghiệm : 11A1
+ Lớp đối chứng : 11A3
Đây là hai lớp có năng lực học tập tương đương nhau.
Lớp

Sĩ số Điểm <5
Điểm 5-6
Điểm 7-8
Điểm 9-10
SL
%
SL %
SL %
SL %
11
11A1
39
9
23.1
16
44.4
28.2

3
4.3
3
11A3
42
18
42.9
20
47.6
7.1
1
2.4
13


Như vậy là dạy học theo phương pháp “phát hiện và giải quyết vấn
đề”, kết quả học tập của các em HS đã được nâng lên. Từ 57.1% đạt điểm
trung bình ở lớp đối chứng 11A3 nâng lên 76.9% đạt điểm trung bình trở lên
ở lớp thực nghiệm 11A1. Ngoài ra số điểm khá giỏi cũng tăng lên đáng kể,
nếu học sinh thường xuyên được rèn luyện thì kết quả còn tăng lên.
Mặt khác, tạo được hứng thú, lòng say mê học tập đối với môn Toán 11
nói riêng và môn Toán nói chung, điều này đã được khẳng định trong các kì
thi học sinh giỏi môn sinh cấp tỉnh học sinh trừơng THPT Đông Sơn 2 đều
tham gia và đã đạt được một số giải nhất định.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
3.1. Kết luận:
Trong đề tài,tôi đã đưa ra hệ thống bài tập về mối quan hệ vuông góc
của ba điểm có liên quan với nhau , từ các bài tập đó học sinh có thể tiếp thu
một cách chủ động,tích cực . Dưới sự hướng dẫn của giáo viên,học sinh có
thể khái quát hóa giúp cho việc học tập ,tiếp thu tri thức của các em dễ dàng

hơn.
Đề tài có thể ứng dụng để giảng dạy cho học sinh
Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để thấy được tính khả thi và hiệu quả
của phương pháp dạy học “ phát hiện và giải quyết vấn đề ” vào tiết dạy
Kết quả thu được thể hiện rõ được ưu điểm của phương pháp vì: đã
làm thay đổi thái độ của học sinh đối với môn học. Có thể khẳng định rằng
mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn
thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được, chất lượng, hiệu quả giờ dạy
được nâng cao rõ rệt.
3.2 Kiến nghị:
a.Đối với nhà trường:
- Bổ sung đầy đủ các phương tiện dạy học còn thiếu như: tranh ảnh, mô
hình và dụng cụ thí nghiệm để hỗ trợ cho việc lĩnh hội kiến thức của học sinh
- Có biện pháp cứng rắn hơn nữa trong việc xử lý các học sinh vi phạm
nội qui trường lớp để nêu gương trước toàn trường nhằm xây dựng một môi
trường học tập thân thiện, học sinh tích cực.
b.Đối với Sở giáo dục:
Tổ chức thường xuyên những chuyên đề về đổi mới phương pháp dạy
học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh để các giáo viên dạy học
Toán như chúng tôi có dịp giao lưu, trao đổi kinh nghiệm, học hỏi lẫn nhau để
tìm ra biện pháp tối ưu nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán.
Trên đây chỉ là một số ít kinh nghiệm mà tôi đúc rút từ từ thực tế công
tác giảng dạy của bản thân ở trường THPT Đông Sơn 2 mà hàng ngày, hàng
giờ tôi tận tâm, miệt mài với sự nghiệp “trồng người”. Để làm đề tài này,
ngoài kiến thức đã có của bản thân tôi đã sưu tầm, tham khảo thêm tài liệu từ
14


nhiều nguồn khác nhau để sáng kiến đạt hiệu quả cao. Tuy nhiên, trong quá
trình làm sáng kiến chắc chắn còn nhiều sai sót vì vậy, kính mong hội đồng

khoa học các cấp và các bạn đồng nghiệp gần xa góp ý cho tôi để đề tài của
tôi hoàn thiện hơn và từ đó tôi có thể học hỏi và rút kinh nghiệm cho các đề
tài sau.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 17 tháng 05 năm 20 19
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
NGƯỜI VIẾT

Phan Anh Thắng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Vũ
Khuê, Bùi Văn Nghị (2006), Hình học 10- Nâng cao, Nxb Giáo dục.
2.Nguyễn Minh Hà (chủ biên) Nguyễn Xuân Bình (2006),Bài tập nâng
cao và một số chuyên đề hình học 10,Nxb Giáo dục
3.Nguyễn Minh Hà (chủ biên) Nguyễn Xuân Bình (2002),Toán nâng cao
hình học 10,Nxb Giáo dục
4. Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa
lớp 10 Trung học phổ thông (2006), Nxb Giáo dục.
15


5. Nguyễn Bá Kim (1999), Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động,
Nxb Giáo dục.
6. Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học

Sư phạm, Hà Nội.

16