Hướng dẫn học sinh linh hoạt trong việc kết hợp phương pháp giải tự luận và trắc nghiệm đối với bài tập hình tọa độ trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LINH HOẠT TRONG VIỆC KẾT HỢP
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM ĐỐI VỚI
BÀI TẬP HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện:
Lê Diễm Hương
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HÓA NĂM 2018


MỤC LỤC
Mục
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.3.1

2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.3.6
2.3.7
2.3.8
2.4
3

Nội dung
Mở đầu
Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
Cơ sở lý luận
Thực trạng của đề tài
Giải pháp thực hiện
Hệ thống kiến thức liên quan
Một số điểm cần lưu ý khi giải câu hỏi trắc nghiệm
Các dạng bài tập hình tọa độ trong không gian thường gặp
Kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay bổ trợ
Hướng dẫn học sinh giải câu hỏi trắc nghiệm phần nhận biết
- thông hiểu
Hướng dẫn học sinh giải câu hỏi trắc nghiệm phần vận dụng
- vận dụng cao
Một số câu hỏi trắc nghiệm về toán hình không gian trong
đề thi THPT QG có thể giải bằng phương pháp tọa độ

Bài tập tự luyện
Kết quả nghiên cứu
Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo

Trang
3
3
3
3
3
4
4
5
5
5
10
11
15
15
15
19
20
21
22
22

2

1. MỞ ĐẦU
1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học là một nội dung thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia.
Đặc biệt trong những năm gần đây, bài toán hình tọa độ trong không gian có cả những
nội dung hay, khó . Với lượng kiến thức khá rộng và khái quát cần sự tư duy nhiều hơn
từ học sinh nên bài toán hình tọa độ trong không gian là một trong những phần kiến
thức quan trọng trong kỳ thi THPT Quốc gia .
Từ những kiến thức cơ bản học sinh được học trong chương trình lớp 12. Các em có
thể nhận biết và vận dụng giải được một số bài toán đơn giản. Tuy nhiên với những câu
hỏi hay với mức độ vận dụng hay vận dụng cao nếu học sinh chỉ đơn thuần giải theo
phương pháp tự luận truyền thống lâu nay thì đòi hỏi cần nhiều thời gian hoặc có thể
mắc sai sót trong quá trình tìm ra đáp án hoặc thậm chí gặp một số câu hình học không
gian lớp 11 các em bỏ qua chỉ chọn ngẫu nhiên .
Vì vậy, tôi chọn đề tài “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LINH HOẠT TRONG VIỆC
KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TẬP
HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” để phần nào giúp các em học sinh có cái
nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trí tuệ và cách học tích cực hơn đối với dạng toán này.
Và từ đó giúp các em có thêm sự tự tin và thời gian thật cần thiết để hoàn thành kỳ thi
THPT Quốc gia sắp tới.
1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đứng trước những vấn đề trên trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá,
giỏi, tôi đã luôn trăn trở và đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ thể để giải quyết
những vấn đề đó. Nhưng chúng ta đã biết không có một chìa khoá vạn năng nào có thể
“mở khoá” được mọi bài toán. Trong khi đó việc giảng dạy toán học nói chung và trong
bồi dưỡng học sinh giỏi toán nói riêng, việc làm cho học sinh giải quyết được vấn đề
đặt ra của bài toán một cách sáng tạo, hoàn chỉnh là rất cần thiết. Trong bài viết này, dựa
trên kinh nghiệm giảng dạy, luyện thi THPT Quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi toán,
tôi xin nêu lên một hướng giải quyết cho bài toán trắc nghiệm hình tọa độ trong không
gian với đề tài “ HƯỚNG DẪN HỌC SINH LINH HOẠT TRONG VIỆC KẾT HỢP
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TẬP HÌNH

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” nhằm làm cho học sinh nâng cao khả năng tư duy,
suy luận, linh hoạt trong quá trình giải toán bằng hình thức thi trắc nghiệm như hiện
nay.
1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Nội dung là các bài toán về hình tọa độ trong không gian và một số bài toán hình học
không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ nằm trong chương trình lớp 11, 12 môn
Toán của THPT.
- Một số bài tập hình tọa độ theo các mức độ trong đề thi THPT quốc gia năm 2017,
2018 của Bộ GD & ĐT.
1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
* Phương pháp:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận chung.
- Phương pháp khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
- Tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
* Cách thực hiện:
3


- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng
dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp các lớp khối 11,12 THPT ở những năm học qua.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,
bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ
môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Toán học là
một môn học quan trọng và khó, kiến thức rộng, không ít học sinh ngại học môn này .
- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán

một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó
thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến
đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách
có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập,
phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học
sinh THPT vận dụng lý thuyết và tìm ra cách giải cũng như phương pháp giải nhanh
nhất khi gặp phải những bài toán hình tọa độ trong không gian cũng như một số bài tập
hình không gian trong chương trình môn toán lớp 11, 12 THPT.
Khi gặp một số bài toán về hình không gian chúng ta có nhiều hướng tiếp cận để tư
duy ra lời giải. Tuy nhiên với những bài toán hay và khó ở mức độ vận dụng và vận
dụng cao thì lối tư duy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của chương hay
kiến thức của SGK sẽ khiến học sinh khó khăn tìm ra hướng giải quyết hoặc làm cho
các em “sa” vào lối trình bày tự luận sẽ mất rất nhiều thời gian thậm chi bỏ qua. Vì
tính chất phân loại của đề thi hiện nay, bài toán về hình tọa độ trong không gian hoặc
một số bài toán hình không gian nếu các em giải theo phương pháp truyền thống mà
không có thêm khả năng linh loạt sử dụng cách giải toán trắc nghiệm khi làm bài thì sẽ
khó và điều quan trọng là mất rất nhiều thời gian. Để giải quyết được những bài toán
này, học sinh không chỉ nắm được lý thuyết cơ bản, cách giải mà phải biết kết hợp
thành thạo linh hoạt trong suy luận có cả phương pháp loại trừ để tìm được đáp án
đúng trong khoảng thời gian nhanh nhất. Tạo nên một sự liên kết chặt chẽ giữa các mặt
kiến thức nhất là kiến thức giữa hình không gian và hình tọa độ, rồi giữa hình học và
đại số sẽ giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sự hứng thú
tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong việc tiếp thu và lĩnh hội tri
thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, khắc phục được tâm
lý lo sợ khi gặp bài toán khó hoặc bất lực về mặt thời gian là mục tiêu quan trọng nhất
trong hoạt động dạy học của mỗi giáo viên.
Trong giới hạn của SKKN tôi sẽ hướng dẫn học sinh giải thành thạo bài tập hình tọa
độ trong không gian bằng cách giải truyền thống đồng thời kết hợp sử dụng kỹ thuật
làm bài trắc nghiệm có sự trợ giúp của máy tính cầm tay để các em có sự lựa chọn

chính xác nhất trong một khoảng thời gian ngắn nhất giúp các em có đủ thời gian để
hoàn thành bài thi của mình, một trong những thực trạng các em lo lắng thiếu thời gian
làm bài khi đi thi.
4


2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Qua việc khảo sát khảo sát rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn
cũng như các trường THPT trong địa bàn huyện Nga Sơn và trong quá trình kiểm tra
khảo sát định kỳ học tập, trong quá trình luyện đề ôn thi THPTQG hai năm gần đây tôi
nhận thấy học sinh khi làm bài tập các em chưa có kỹ thuật làm bài trắc nghiệm nên
thường phải trình bày cách giải tự luận hoặc nghĩ bài này để chọn ra kết quả thì phải
trình bày lời giải chi tiết thậm chí bỏ qua một số câu ở mức độ vận dụng, vận dụng cao
vì nghĩ khó có đủ thời gian để hoàn thành. Điều đó làm cho các em vừa mất thời gian
không cần thiết để trình bày ra lời giải chi tiết khi làm bài hoặc có những em không kịp
làm bài phải chọn ngẫu nhiên đáp án mà không có suy luận . Lúc này vai trò của người
giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải nhanh,
nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loại toán để được một đáp án đúng và suy
luận có logic giúp các em học sinh có thêm tự tin để giải quyết được những bài toán này
một cách nhanh nhất và đơn giản nhất. Đó là mục đích của đề tài “ HƯỚNG DẪN HỌC
SINH LINH HOẠT TRONG VIỆC KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỰ LUẬN VÀ
TRẮC NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TẬP HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” mà tôi
hướng đến.
2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp
tôi mạnh dạn đưa ra một số dạng bài tập về hình tọa độ trong không gian thường gặp
theo các mức độ và cách giải quyết vấn đề. Bên cạnh đó còn chú ý những lưu ý quan
trọng khi làm bài thi trắc nghiệm nói chung.
Đối với mỗi ví dụ, tôi hướng dẫn cho học sinh phương pháp làm cụ thể, đồng thời lấy
các ví dụ có tính đặc trưng để học sinh nắm vững cách giải, những dạng bài tập có

nhiều cách làm tôi đều giải mẫu một bài theo những cách làm đó để học sinh áp dụng
làm tương tự các bài khác.
Để minh họa cho những dạng này, tôi đều đưa ra những bài toán cơ bản nằm trong
các Đề thi minh họa, đề thi THPTQG 2017 và 2018. Với mỗi bài toán như vậy tôi
hướng dẫn cách giải quyết nhanh gọn và chính xác, có sự so sánh với cách trình bày
bằng hình thức tự luận lâu nay sẽ không phải là cách giải quyết tối ưu cho mọi bài toán
nữa và từ đó để học sinh có cách nhình nhận so sánh khái quát để định hướng tốt cho
cách giải quyết các bài tập tương tự .
2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan
2.3.1.1 Khái niệm về hệ tọa độ trong không gian
Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz.
uuur
1. AB = (x B − x A , y B − y A , z B − z A )
uuur
2
2
2
2. AB = AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A )
r r
3. a ± b = ( a1 ± b1 , a 2 ± b 2 , a 3 ± b3 )
r
4. k.a = ( ka1 , ka 2 , ka 3 )
r
5. a = a12 + a 22 + a 32

5


z

 a1 = b1
r r

6. a = b ⇔ a 2 = b 2
a = b
3
 3
rr
7. a.b = a1.b1 + a 2 .b 2 + a 3 .b3
r r r
r
r
8. Hai véc tơ a, b(≠ 0) cùng phương ⇔ ∃k ∈ R : a = k.b
r r r
hoặc
a∧b=0
r r
rr
9. a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1.b1 + a 2 .b 2 + a 3 .b3 = 0

r
k ( 0;0;1)
r
j ( 0;1;0 )

y

O

x

r
i ( 1;0;0 )

r r  a a 3 a 3 a1 a1 a 2 
10. a ∧ b =  2
;
;
÷
 b 2 b3 b3 b1 b1 b 2 
rr
r r
a1b1 + a 2 b 2 + a 3 b3
a.b
11. cos(a, b) = ar | br = 2 2 2 2 2 2
a1 + a 2 + a 3 b1 + b 2 + b3
r r r
r r r
12. a, b, c đồng phẳng ⇔ a ∧ b .c = 0

(

)

x −kx B

y A −ky B
z −kz B 
, A
÷

1− k
1− k 
x +x y +y z +z 
14. M là trung điểm AB: M  A B , A B , A B ÷
2
2
2 

 x +x +x y +y +y z +z +z 
15. G là trọng tâm tam giác ABC: G  A B C , A B C , A B C , ÷
3
3
3


r
r
r
16. Véctơ đơn vị : i = (1, 0, 0); j = (0,1, 0); k = (0, 0,1)
17. M(x, 0, 0) ∈ Ox; N(0, y, 0) ∈ Oy; K(0, 0, z) ∈ Oz
18. M(x, y, 0) ∈ Oxy; N(0, y, z) ∈ Oyz; K(x, 0, z) ∈ Oxz
1 uuur uuur
19. Công thức tính diện tích tam giác : S∆ABC = AB ∧ AC
2
1 uuur uuur uuur
20. Công thức tính thể tích tứ diện ABCD: VABCD = (AB ∧ AC).AD
6
uuur uuur uuuur/
V
=

(AB
∧ AD).AA
21. Công thức tính thể tích hình hộp: ABCD.A/ B/ C/ D/

13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: M  A
 1− k

,

2.3.1.2 Phương trình của mặt phẳng, đường thẳng:
r r
- Véctơ pháp tuyến của mp(α) là n ≠ 0 và có giá vuông góc với mp( α )

- Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M(xo ; yo ; zo) có véc tơ pháp tuyến

n = (A;B;C) A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 là:
A(x – xo)+B(y – yo )+C(z – zo ) = 0
Nếu (α) có PTTQ là Ax+By+Cz+D = 0 thì ta có véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là

n = (A; B; C); A2 + B 2 + C 2 ≠ 0
- Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) (a, b,c khác 0) có phương
trình:

x y z
+ + =1
a b c

 x = x 0 + a1 t

- Phương trình ttham số của đường thẳng:  y = y 0 + a 2 t (t ∈ R)

z = z + a t
0
3

r
Trong đó: M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và a = (a1; a 2 ;a 3 ) là véc tơ chỉ

phương của đường thẳng (véc tơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng).
6


x − x0

y − y0

z − z0

- Phương trình chính tắc của đuờng thẳng : a = a = a
1
2
3
r
Trong đó: M0(x0; y0; z0) là điểm thuộc đường thẳng và a = (a1; a 2 ;a 3 ) là vtcp của đường
thẳng ( a1a 2 a 3 ≠ 0 )
2.3.1.3 Một số công thức về góc, khoảng cách:
a. Góc:
- Góc giữa hai mặt phẳng:
uur uur
Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có hai véc tơ pháp tuyến là: nP , nQ . Góc giữa hai
mặt phẳng được xác định bởi công thức: cos ( ( P ) , ( Q ) )

uur uur
nP .nQ
= uur uur
nP . nQ

- Góc giữa hai đường thẳng:
uu
r uur
Cho 2 đường thẳng d và d’ lần lượt có hai véc tơ chỉ phương là: ud , ud ' . Góc giữa hai
uu
r uur
ud .ud ′
đường thẳng được xác định bởi công thức: cos ( d , d ′ ) = uur uur
ud . ud ′

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường
thẳng d ; mặt phẳng (P) lần lượt có véc tơ chỉ phương và véc tơ pháp
uu
r uur
tuyến là: ud , nP . Góc giữa hai đường thẳng d và mặt phẳng (P) được xác định bởi
công thức: sin ( d , ( P ) )

uu
r uur
ud .nP
= uu
r uur
u d . nP

b. Khoảng cách:
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và đến một mặt phẳng:
Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 );( P) : Ax+By+Cz+D=0 ; Đường thẳng d đi qua điểm A, có véc tơ
uu
r
chỉ phương ud
Khi đó khoảng cách từ điểm M đến mp(P) và khoảng cách từ điểm M đến đường
thẳng d được tính theo công thức:
d ( M , ( P) ) =

Ax 0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

;

uuur uu
r
MA ∧ ud
d ( M,d ) =
uu
r
ud

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho hai đường
thẳng d và d’ chéo nhau lần lượt đi qua M, M’ và có véc tơ chỉ
uu
r uur
phương là ud , ud ′ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’ được tính theo công

thức:

uuuuur uu
r uur
MM ′. ud ∧ ud ′
d ( d , d ′) =
uu
r uur
u d ∧ ud ′

(

)

- Khoảng cách giữa hai yếu tố song song:
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc
đường thẳng này đến đường thẳng kia.
+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
7


+ Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một
điểm thuộc đường thẳng này đến mặt phẳng.
2.3.1.4 Vị trí tương đối trong không gian:
a. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Cho 2 đường thẳng:

và

 x = x0 + a1t

d :  y = y0 + a2t qua M, có VTCP
z = z + a t
0
3

 x = x0′ + a1′t ′

d ' :  y = y0 + a2′ t ′ qua N, có VTCP
 z = z + a′t ′
0
3


r
ad

r
ad '

• Cách 1: Ta thực hiện theo sơ đồ sau:
r r

[ ad , ad ' ]
r

r r

r r

r

[ ad , ad ' ] = 0

[ ad , ad ' ] ≠ 0

uuuur
 ard , MN 



r r uuuur
 a d , a d '  .MN



uuuur r
 ard , MN  = 0



r r uuuur
uuuur r r r uuuur
 ard , MN  ≠ 0  a d , a d '  .MN = 0  a d , a d '  .MN ≠ 0








d ≡ d'

d caétd'

d // d '

d cheùo d'

• Cách 2:
 x0 + a1t = x0′ + a1′t ′

Xé hệ phương trình:  y0 + a2t = y0 + a2′ t ′ (*)
 z + a t = z + a′t ′
0
3
 0 3

 Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ d và
 Hệ vô nghiệm ⇔ d và

d'

d'

cắt nhau

song song hoặc chéo nhau

 Hệ vô số nghiệm ⇔ d và d ' trùng nhau
Lưu ý: Chỉ sử dụng cách này khi cần xác định giao điểm của d và d ' .


Chú ý:

r
r
 ad = kad ′
 d song song d ′ ⇔ 
M ∉ d ′
r
r
 ad = kad ′
 d trùng d ′ ⇔ 
M ∈ d ′
r
 ard ∧ ard ′ ≠ 0
 d cắt d ′
⇔  r r uuuur
[ a , a′] .MN = 0

8


r r

uuuu
r

⇔ [ ad , ad ′ ] .MN ≠ 0

 d chéo d ′

b. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian
Cho 2 mp (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0


(α )//(β)

A

B

C

D

⇔ A1 = B1 = C1 ≠ D1
2
2
2
2

 (α ) ≡ ( β ) ⇔
 (α ) cắt ( β )

A1 B1 C1 D1
=
=

=
A2 B2 C2 D2

⇔

A1 B1 B1 C1 A1 C1
≠
∨
≠
∨
≠
A2 B2 B2 C2 A2 C2

Đặc biệt: (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 = 0 ( Hai véc tơ pháp tuyến vuông góc)
c. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
 x = x0 + a1t

Cho đường thẳng: d :  y = y0 + a2t và mp (α ) : Ax + By + Cz + D = 0
z = z + a t
0
3

x
=
x
(1)

0 + a1t
y = y + a t
(2)


0
2
(*)
Xé hệ phương trình:  z = z + a t
(3)
0
3

 Ax + By + Cz + D = 0 (4)

 (*) có nghiệm duy nhất

⇔ d cắt

(α )

 (*) có vô nghiệm ⇔ d // (α )
 (*) vô số nghiệm ⇔ d ⊂ (α )
d. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu ( S ) có tâm I , bán kính R và đường thẳng ∆ .
Để xét vị trí tương đối giữa ∆ và ( S ) ta tính d ( I , ∆ ) rồi so sánh với bán kính R .
å d ( I , ∆ ) > R : ∆ không cắt ( S )
å d ( I , ∆ ) = R : ∆ tiếp xúc với ( S ) .

Tiếp điểm J là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng ∆ .
2
å d ( I , ∆ ) < R : ∆ cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B và R = d 2 + AB
4

e. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
2
2
2
Cho mặt cầu ( S ) : ( x – a ) + ( y – b ) + ( z – c ) = R 2 tâm I ( a; b; c ) bán kính R và mặt phẳng
( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 .

• Nếu d ( I , ( P ) ) > R thì mp ( P ) và mặt cầu ( S ) không có điểm chung.
• Nếu d ( I , ( P ) ) = R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) tiếp xúc nhau.Khi đó (P) gọi là
tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm
9


• Nếu d ( I , ( P ) ) < R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) cắt nhau theo giao tuyến là đường
tròn có r = R 2 − d ( I , ( P))2 và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu ( S )
lên mặt phẳng ( P ) .
2.3.2 Một số điểm cần lưu ý khi giải câu hỏi trắc nghiệm
Để giải tốt các câu hỏi trắc nghiệm trong quá trình giảng dạy cho học sinh tôi thường
lưu ý các em thực hiện các điểm sau đây:
1. Cần đọc kỹ lý thuyết, nắm vững toàn bộ chương trình, thuộc kĩ các định nghĩa, các
công thức, các tính chất,… vì bài tập trắc nghiệm gồm nhiều câu hỏi( có 50 câu trong
đề thi THPT QG), kiểm tra được nhiều kiến thức, bao quát cả chương trình dưới ba
dạng:
- BIẾT: Nắm được, thuộc kĩ các định nghĩa, các tính chất, phân biệt được đúng hay sai
của các câu nêu trong bài.
- HIỂU: Nắm vững kiến thức và áp dụng giải được các dạng bài tập đơn giản như các
bài tập nhỏ ở lớp sau khi học xong lý thuyết
-VẬN DỤNG: Giải các bài tập có lí luận, tính toán phức tạp hơn, khó hơn cần đòi hỏi
tư duy cao.
2. Một câu hỏi trắc nghiệm thường có 4 lựa chọn A, B, C, D, trong đó chỉ có một câu

đúng, các câu khác đều sai thì ta chọn câu đúng. Nếu cả ba câu A, B, C dều đúng và
câu D ghi “ Cả ba câu trên đều đúng” thì phải chọn câu D.
Học sinh cần đọc kĩ câu hỏi, vận dụng kiến thức đã học hoặc tính toán cụ thể, chính
xác để chọn câu đúng. Nếu không thì dễ chọn phải câu sai, vì khi đặt câu hỏi trắc
nghiệm, người viết thường đoán trước được các trường hợp sai sót của học sinh để viết
vào 4 lựa chọn.
3. Đừng bỏ quá nhiều thời gian với một câu hỏi vì như thế sẽ không làm kịp các câu
khác. Các câu hỏi trong bài đều có số điểm như nhau, nên học sinh cần giải được càng
nhiều câu càng tốt. Phải phân phối thời gian hợp lý để giải đủ tất cả các câu.
4. Nên giải từ trên xuống, vì các câu hỏi thường xếp từ dễ đến khó dần. Gặp câu khó,
phức tạp quá thì bỏ qua, ghi dấu (?) ở ngoài lề sau này nếu còn thời gian sẽ giải lại.
Đừng tập trung giải câu khó vì mất nhiều thì giờ, hoặc giải không ra, sẽ mất bình tĩnh,
mất tự tin, không giải tốt được các câu sau.
5. Khi đọc vào phần đề mỗi câu, không vội nhìn vào các đáp án trả lời ở dưới, mà tự
mình tìm câu trả lời, nếu câu trả lời của mình có xuất hiện trong các đáp án thì chắc đó
là câu trả lời đúng.
6. Biết chọn phương pháp giải một cách thong minh để có kết quả nhanh.
Ví dụ: Khi tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tâm giác ABC ta nên kiểm tra xem tam giác
ABC có gì đặc biệt, nếu là tam giác vuông tại A thì tâm là trung điểm của BC…
Khi không có gì đặc biệt thì mới giả theo phương pháp thuần túy.
7. Biết suy nghĩ để loại dần các câu chắc chắn sai và suy ra được câu đúng nhanh.
Ví dụ (Câu 20. MĐ 103.2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(3; -1;
-2) và mặt phẳng ( α ) : 3x − y + 2 z + 4 = 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt
phẳng đi qua M và song song với ( α ) ?
A. ( α ) : 3x + y − 2 z − 14 = 0 B. ( α ) : 3x − y + 2 z + 6 = 0
C. ( α ) : 3x − y + 2 z − 6 = 0 D. ( α ) : 3x − y − 2 z + 6 = 0

10

Phân tích: Do hai mặt phẳng song song với nhau nên mặt phẳng cần tìm có dạng
phương trình: 3x − y + 2 z + D = 0( D ≠ 4) nên ta sẽ chắc chắn loại phương án A và D.Sau
đó ta kiểm tra tọa độ của điểm M thỏa mãn phương trình nào sẽ có đấp án đúng là C.
8. Biết cách thử để chọn kết quả nhanh hơn là cách tính toán trực tiếp.
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm
O ( 0;0;0 ) ; A(1;0;0); B ( 0; 2;0 ) ; D(0;0;3) . Mặt cầu (S) đi qua 4 điểm có phương trình là:
A. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 4 y + 6 z = 0 B. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z = 0
2
2
2
C. x 2 + y 2 + z 2 − x − 2 y − 3z = 0 D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 2 ) = 1
Bằng cách thử trực tiếp ta dễ dàng chọn được đáp án đúng là đáp án C.
Bài toán này nếu trình bày theo cách giải thong thường thì sẽ tốn nhiều thời gian hơn.
9. Câu nào đã tính toán lựa chọn xong rồi thì thôi. Đừng thay đổi quyết định nhiều lần
vì điều này làm giảm sự tự tin và tạo nên sự do dự không cần thiết.
10. Cuối cùng nên trả lời tất cả các câu, không bỏ sót câu nào. Nếu có vài câu không
giải được không kịp giờ thì có thể chọn ngẫu nhiên một trong bốn câu A, B, C, D cho
các câu đó.
2.3.3 Các dạng bài tập hình tọa độ trong không gian thường gặp
2.3.3.1 Các dạng toán về mặt cầu
a. Bài toán xác định tâm và bán kính mặt cầu
- Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và bán kính R là:
2
( x − a ) + ( y − b)2 + ( z − c) 2 = R 2 (1)
- Phương trình mặt cầu có dạng: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (2)
có tâm I (a; b; c) và bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d ( a 2 + b2 + c 2 − d > 0 )
b. Bài toán về viết phương trình mặt cầu
- Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua M, suy ra bán kính R = IM
- Phương trình mặt cầu có đường kính AB:
+ Xác định tâm I là trung điểm của đoạn AB

+ Bán kính R = IA =

AB
2

- Phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
Suy ra bán kính R = d ( I , ( α ) )
- Phương trình của mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc (P). Khi đó ta gọi
phương trình của mặt cầu có dạng (1) hoặc (2) sau đó lập hệ phương trình tìm ẩn.
- Phương trình mặt của mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Cách giải tương tự dạng
trên.
c. Bài toán xác định vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng (P)
Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến (P) : d = d ( I , ( P) )
Bước 3: So sánh và kết luận
+ Nếu d > R. Kết luận (S) và (P) không có điểm chung
+ Nếu d = R. Kết luận (P) tiếp xúc với (S) tại M(M là hình chiếu của I lên (P))
+ Nếu d < R. Kết luận (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính
r = R 2 − d 2 và có tâm O là hình chiếu của I lên mp(P).
2.3.3.2 Các dạng toán về mặt phẳng và đường thẳng
a. Bài toán về phương trình mặt phẳng
11


r

Dạng 1: Biết mặt phẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ pháp tuyến n( A, B, C )
Ta có phương trình: A ( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
* Ở dạng này lưu ý : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; Hai mặt phẳng song
song. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng. Mặt phẳng tiếp diện với mặt cầu tâm I tại

M
Dạng 2: Biết mặt phẳng đi qua một điểm
(hoặc tìm được) và có véc tơ pháp tuyến
urr
r
(VTPT) n vuông góc với cặp véc tơ a,b không cùng phương.
r r r
Khi đó : n = a ∧ b
* Ở dạng này lưu ý:
uuur uuur
- Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C khi đó chọn VTPT AB ∧ AC
- Mặt phẳng chứa hai đường
thẳng cho trước d và d’:
r uu
r uuuuur
+ Nếu d//d’ thì chọn n = ud ∧ MM '; M ∈ d ; M ' ∈ d '
r uu
r uur
+ Nếu d cắt d’ thì chọn n = ud ∧ ud ′
r uu
r uuuu
r
- Mặt phẳng đi qua điểm A ( A ∉ d ) và chứa đường thẳng d. Ta chọn n = ud ∧ AM ; M ∈ d
r uur uur
- Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với cả (P) và (Q). Ta chọn: n = nP ∧ nQ
- Mặt phẳng song
song với đường d (hoặc chứa d) và vuông góc với mặt phẳng (Q).
r uu
r uur
Ta chọn: n = ud ∧ nP

-r Mặt
phẳng chứa d và song song với d’. ta chọn điểm đi qua M thuộc d và có VTPT là
uu
r uur
n = u d ∧ ud ′

Dạng 3: Mặt phẳng đặc biệt
- Mặt phẳng theo đoạn chắn: Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ;
C(0,0,c) (a, b,c khác 0) có phương trình:

x y z
+ + =1
a b c

- Mặt phẳng (P) song song với (Q): Ax + By +Cz + D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) có
tâm I, bán kính R. Khi đó: (P) có dạng: Ax + By +Cz + D’ = 0 và ta dùng điều kiện tiếp
xúc với (S) để xác định D’.
b. Bài toán về phương trình đường thẳng
r
Dạng 1: Biết đường thẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ chỉ phương u (a; b; c)
 x = x0 + at

Ta có phương trình: tham số  y = y0 + bt
 z = z + ct
0

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
Hoặc phương trình chính tắc:

a
b
c

( a.b.c ≠ 0 )

Ví dụ:
r uuur
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B, ta chọn u = AB r uur
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song với d’, ta chọn u = ud ′
r
uur
-Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P), ta chọn u d = nP
Dạng 2: Biết đường thẳng đi qua một điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) (hoặc tìm được) và có véc tơ chỉ
urr
r
phương (VTCP) u vuông góc với cặp véc tơ a,b không cùng phương.
d

12


r

r

r

Khi đó : u = a ∧ b
Một số bài toán thường gặp về đường thẳng:

1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với hai
đường thẳng d1 , d 2 (hai đường thẳng không cùng phương).
uur
ur uu
r
ur uu
r
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ =  a1 , a2  , với a1 , a2 lần
lượt là vectơ chỉ phương của d1 , d 2 .
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M vuông góc với đường
thẳng d và song song với mặt phẳng ( α ) .
uur

uu
r uu
r

uu
r

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ =  ad , nα  , với ad là
uur

vectơ chỉ phương của d , nα là vectơ pháp tuyến của ( α ) .
3. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với hai mặt
phẳng ( α ) , ( β ) ; ( ( α ) , ( β ) là hai mặt phẳng cắt nhau)
uur

uur uur

uu
r uur

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ =  nα , nβ  , với nα , nβ lần

lượt là vectơ pháp tuyến của ( α ) , ( β ) .
4. Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và
(β) .
Cách giải:
• Lấy một điểm bất kì trên ∆ , bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy
ý.
uur
uur uur
uu
r uur
• Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ =  nα , nβ  , với nα , nβ lần lượt
là vectơ pháp tuyến của ( α ) , ( β ) .
5. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng
d1 , d 2 ( A ∉ d1 , A ∉ d 2 ) .
uur

ur uu
r

ur uu
r

Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ =  n1 , n2  , với n1 , n2 lần

lượt là vectơ pháp tuyến của mp ( A, d1 ) , mp ( A, d 2 ) .

6. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( α ) và cắt hai
đường thẳng d1 , d 2 .
uur uuu
r
Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của ∆ là a∆ = AB , với
A = d1 ∩ ( α ) , B = d 2 ∩ ( α )

7. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc và cắt d .
Cách giải: Xác định B = ∆ ∩ d .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, B .
8. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc với d1 và cắt
d 2 , với A ∉ d 2 .
Cách giải:
• Xác định B = ∆ ∩ d 2 .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, B .
9. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , cắt đường thẳng d và
song song với mặt phẳng ( α ) .
Cách giải:
13


• Xác định B = ∆ ∩ d .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, B .
10.Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( α ) cắt và vuông
góc đường thẳng d .
Cách giải:
• Xác định A = d ∩ ( α ) .
• Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là
uur
uu

r uu
r
uu
r
uur
a∆ =  ad , nα  , với ad là vectơ chỉ phương của d , nα là vectơ pháp

tuyến của ( α ) .
11.Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua giao điểm A của đường thẳng d
và mặt phẳng ( α ) , nằm trong ( α ) và vuông góc đường thẳng d (ở đây d
không vuông góc với ( α ) ) .
Cách giải:
• Xác định A = d ∩ ( α ) .
• Đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ chỉ phương của ∆ là
uur
uu
r uu
r
uu
r
uur
a∆ =  ad , nα  , với ad là vectơ chỉ phương của d , nα là vectơ pháp

tuyến của ( α ) .
12.Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 .
Cách giải:
 AB ⊥ d

1

• Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d 2 sao cho 
 AB ⊥ d 2
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B .
13.Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d và cắt cả
hai đường thẳng d1 , d 2 .
Cách giải:
uuu
r uu
r
uu
r
• Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d 2 sao cho AB, ad cùng phương, với ad là
vectơ chỉ phương của d .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ
uu
r uur
phương ad = a∆ .
14.Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( α ) và cắt cả
hai đường thẳng d1 , d 2 .
Cách giải:
uuu
r uu
r
uur
• Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d 2 sao cho AB, nα cùng phương, với nα là
vectơ pháp tuyến của ( α ) .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ
uu
r uu
r

phương ad = nα .
15.Viết phương trình ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng ( α ) .
uuur uu
r
uu
r
Cách giải : Xác định H ∈ ∆ sao cho AH ⊥ ad ,với ad là vectơ chỉ phương
của d .

14


• Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d và vuông góc với mặt
phẳng ( α ) .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
( α ) và ( β )
16. Viết phương trình ∆ là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng ( α )
theo phương d ' .
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d và có thêm một véc tơ chỉ
uur

phương ud' .
• Viết phương trình đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
( α ) và ( β ) .
2.3.4 Kỹ năng sử dụng máy cầm tay bổ trợ
Máy tính fx 570 ES PLUS hoặc tương đương
Đầu tiên là nhập và ghi nhớ các véc
tơ r
r

r
+ Cách nhập và ghi véc tơ: Đặt a ( A ) ; b ( B ) ; c ( C ) ;
Nhập véc tơ A: Mode 8, chọn 1, chọn 1:3 , nhập tọa độ véc tơ A , nhấn AC ghi lại
Nhập véc tơ B: Nhấn Shift 5 1 chọn 2, chọn 1:3 nhập tọa độ véc tơ B nhấn AC.
Nhập véc tơ C: Nhấn Shift 5 1 chọn 3, chọn 1:3 nhập tọa độ véc tơ C nhấn AC.
+ Cách gọi véc tơ:
Shift 5 3 (Gọi véc tơ A);
Shift 5 4 (Gọi véc tơ B);
Shift 5 5 (Gọi véc tơ C);
rr
+ Cách tính tích vô hướng của 2 véc tơ: a.b
Gọi véc tơ A Shift 5 7 (Dot) gọi véc tơ B có
kết quả
r r
+ Cách tính tích có hướng của hai véc tơ: a ∧ b
Gọi liên tiếp véc tơ A và véc tơ B có kết quả
r
+Tính độ dài véc tơ: a
Shift Abs (gọi véc tơ A)
rr
r r

+ Tính góc giữa hai véc tơ: cos ( a, b ) = ar . br
a.b

Nhập như sau: (Gọi véc tơ A Shift 5 7 Gọi véc tơ B): ((Shift Abs(Gọi véc tơ A)x(Shift
Abs Gọi véc tơ B)), sau đó ghi lại kết quả (Shift STO A)
Để tính góc giữa hai véc tơ ta thực hiện Shift cos −1 ( ALPHAA)
+ Đối với công thức tính diện tích tam giác, tính thể tích tứ diện ta chỉ cần viết công
thức và áp dụng cách tính trên

+ Chú ý muốn kiểm tra một điểm có thuộc mộtmặt phẳng hay một mặt cầu :
Nhập vế trái phương trình vào máy tính (thay ẩn z bằng A)
Dùng phím CALC
Sau đó nhập tọa độ của M vào kiểm tra nếu kết quả bằng vế phải thì thỏa mãn.
2.3.5 Hướng dẫn học sinh giải câu hỏi trắc nghiệm phần nhận biết - thông hiểu
Ví dụ 1: (Câu 24 - Đề thi tham kảo năm 2018)
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(−1; 2;1) và B(2;1;0) . Mặt phẳng qua A và
vuông góc với AB có phương trình là
15


A. 3x − y − z − 6 = 0 .
B. 3x − y − z + 6 = 0 .
C. x + 3 y + z − 5 = 0 .
D. x + 3 y + z − 6 = 0 .
Phân tích:
uuur
Bước 1: Mặt phẳng cần tìm nhận véc tơ AB = (3; −1; −1) làm véc tơ pháp tuyến nên chắc
chắn loại phương án C và D.
Bước 2: Kiểm tra mặt phẳng đi qua điểm A thì ta loại đáp án A
Kết luận: đáp án B.
Bình luận: Nếu ta thực hiện cách ugiải
thông thường thì ta viết phương trình tổng quát
uur
của mp đi qua A hoặc B có VTPT AB = (3; −1; −1) , rút gọn mới có đáp án thì sẽ cần thêm
một hai thao tác nữa.
Ví dụ 2: (Câu 19 – Mã đề 101/2017)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương
trình mặt phẳng đi qua điểm M (3; −1;1) và vuông góc với đường thẳng
∆:

x −1 y + 2 z − 3
=
=
?
3
−2
1

A. 3x − 2 y + z + 12 = 0
B. 3x + 2 y + z − 8 = 0
C. 3x − 2 y + z − 12 = 0
D. x − 2 y + 3z + 3 = 0
Phân tích:
Bước 1: Mặt phẳng cần tìm nhận véc tơ chỉ phương của đường thẳng V làm véc tơ pháp
tuyến nên từ đó chắc chắn loại phương án B,D
Bước 2: Kiểm tra mặt phẳng đi qua điểm M (tọa độ M thỏa mãn PT của mặt phẳng)
Kết luận: đáp án C.
Ví dụ 3: (Câu 20- MĐ 101/2017)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương
trình của đường thẳng đi qua điểm A(2;3; 0) và vuông góc với mặt phẳng
( P) : x + 3 y − z + 5 = 0 ?
 x = 1 + 3t

A.  y = 3t .
z = 1 − t


x = 1 + t


B.  y = 3t .
z = 1 − t


x = 1 + t

C.  y = 1 + 3t
z = 1 − t


 x = 1 + 3t

D.  y = 3t
z = 1+ t


Phân tích:
Bước 1: Đường thẳng có véc tơ chỉ phương là véc tơ pháp tuyến của mp (P) nên từ đó ta
chắc chắn loại phương án A và D.
2 = 1 + t

Bước 2: Ta kiểm tra đường thẳng đi qua điểm A (2; 3; 0), ta có: 3 = 3t ⇒ t = 1(tm)
0 = 1 − t


Kết luận: đáp án B.
Bình luận: Trong bài toán này để viết và đưa ra phương trình của đường thẳng học
sinh sẽ gặp khó khăn với điểm đi qua và “khó” nhận ra được đáp án đúng.
Ví dụ 4:: (Câu 47- Minh họa lần 1 năm 2017)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 0; 1; 1) và B ( 1; 2; 3 ) .

Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.
A. x + y + 2z – 3 = 0.

B. x + y + 2z – 6 = 0.

C. x + 3y + 4z – 7 = 0.

D. x + 3y + 4z – 26 = 0.

Phân tích:
16


uuur

Bước 1: Mặt phẳng nhận AB = (1;1; 2) làm véc tơ pháp tuyến
Từ đó ta chắc chắn loại phương án C và D.
Bước 2: Kiểm tra mặt phẳng đi qua A (0;1;1) chọn đáp án A
2.3.6 Hướng dẫn học sinh giải câu hỏi trắc nghiệm phần vận dụng - vận dụng cao
Ví dụ 1: (Câu 33 – MĐ 103 /2017)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I (1; 2;3) và mặt phẳng
( P) : 2 x − 2 y − z − 4 = 0 . Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) tại điểm H. Tìm tọa độ H ?
A. H (−1; 4; 4)
B. H (−3;0; −2)
C. H (3;0; 2)
D. H (1; −1;0)
Phân tích:
Bước 1: Tính d ( I ;(P) ) = 3
Bước 2: Ta kiểm tra điều kiện H phải thuộc (P).
Khi đó chắn chắn loại phương án A và B.

Bước 3: Kiểm tra độ dai đoạn IH = d ( I , ( P) ) = 3
Kết luận: Đáp án C
Bình luận: Nếu cho các em HS giải theo cách giải thông thường thì phải qua các
bước:
+ Lập PT tham số của đường thẳng d đi qua tâm I và vuông góc với (P)
+ Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) bằng cách giải hệ phươn trình tìm ra tham số
thay lại tìm ra tọa độ giao điểm.
Ví dụ 2: (Câu 33. Mã đề 104. 2017)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; −1; 2), B(−1; 2;3) và đường
thẳng d :
c<0.

x −1 y − 2 z −1
=
=
. Tìm
1
1
2

A. M (−1;0; −3)

điểm M (a; b; c) thuộc d sao cho MA2 + MB 2 = 28 biết

B. M (2;3;3)



C. M  6 ; 6 ; − 3 ÷



1 7

2



D. M  − 6 ; − 6 ; − 3 ÷
1



7

2



Phân tích:
Bước 1: Ta đi kiểm tra điều kiện M thuộc d và c < 0. Từ đó ta chắc chắn loại đi hai
phương án B và D.
Bước 2: Ta kiểm tra điều kiện MA2 + MB 2 = 28 .
Khi đó chắn chắn loại phương án A
Kết luận: Đáp án C
Bình luận: Nếu cho các em HS giải theo cách giải thông thường thì phải qua các bước
sau:
+ Lập PT tham số của đường thẳng d
+ Gọi M bất kì thuộc d
+ Tính AM 2 + BM 2 và giải phương trình AM 2 + BM 2 = 28 (theo ẩn là tham số của đường
thẳng d)

+ Thay ẩn tìm ra tọa độ M. Kết luận
Vì vậy nếu thực hiện theo cách này các em phải có kỹ năng tính toán và mất nhiều thời
gian hơn mới cho ra được kết quả, đó còn chưa kể đến trong quá trình tính toán đại số
có thể nhầm lẫn không ra được đáp án nào sẽ làm cho các em mất bình tĩnh hơn trong
lúc làm bài thi
17


Ví dụ 3: (Câu 38. Mã đề 104. 2017)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương
trình mặt cầu đi qua ba điểm M (2;3;3), N (2; −1; −1), P(−2; −1;3) và có tâm thuộc mặt phẳng
(α ) : 2 x + 3 y − z + 2 = 0 .
A. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 2 z − 10 = 0
B. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 6 z − 2 = 0
C. x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y + 6 z + 2 = 0
D. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 2 z − 2 = 0
Phân tích:
Bước 1: Ta đi kiểm tra điều kiện M thuộc mặt cầu. (Có thể sử dụng chức năng CALC
của máy tính)
Từ đó ta chắc chắn loại đi cả ba phương án A,C và D mà chưa cần kiểm tra điều kiện
thứ 2 là tâm thuộc mp đã cho.
Kết luận: Đáp án B
Bình luận: Ta thấy với dạng bài tập này nếu các em làm theo cách giải thông thường
sẽ đưa ra một hệ gồm 4 phương trình 4 ẩn và phải có kỹ năng tính toán đại số thì các
em mới giải quyết một cách chính xác được mà còn dễ bị nhầm lẫn.Trong khi đó làm
theo cách giải quyết trên các em chỉ mất thời gian trong vòng 1 phút là chọn đúng kết
quả.
Ví dụ 4: (Câu 48. Đề thi thử nghiệm lần 2. 2017)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−2;3;1) và B(5; −6; −2) .
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (0 xz ) tại điểm M . Tính tỉ số

A.

AM 1
= .
BM 2

B.

AM
= 2.
BM

C.

AM
.
BM

AM 1
= .
BM 3

D.

AM
=3
BM

Phân tích:
Bước 1: Xét (Oxz): y = 0; Viết phương trình đường thẳng AB

1
3

Bước 2: Tìm ra giao điểm M ( ;0;0)
Bước 3: Sử dụng máy tính hỗ trợ tính

AM 1
=
BM 2

Kết luận: Đáp án A
Bình luận: Ta thấy với dạng bài tập này nếu các em làm theo cách trình bày tự luận
thông thường thì con số “không đẹp” sẽ mất nhiều thời gian hơn.
Ví dụ 5: (Câu 49. Đề thi thử nghiệm lần 2. 2017)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( P ) song song
và cách đều hai đường thẳng d1 :

x−2 y z
x y −1 z − 2
= = , d2 : =
=
.
−1
1 1
2
−1
−1
B. ( P ) :2 y − 2 z + 1 = 0 .
D. ( P ) :2 y − 2 z − 1 = 0 .

A. ( P) :2 x − 2 z + 1 = 0 .
C. ( P ) :2 x − 2 y + 1 = 0 .
Phân tích:
Bước 1: Lấy hai điểm M 1 (2;0;0) ∈ d1; M 2 (0;1; 2) ∈ d 2 .
Bước 2: Ta đi kiểm tra d ( M 1 , ( P) ) = d ( M 2 , ( P)) .
Kết luận: Đáp án B
Bình luận: Ta thấy với dạng bài tập này nếu để các em tìm ra lời giải tự luận là một
vấn đề không phải dễ dàng và mất nhiều thời gian.
2.3.7 Một số câu hỏi trắc nghiệm về toán hình không gian trong đề thi THPT QG
có thể giải bằng phương pháp tọa độ
18


* Chú ý:
+ Ghi nhớ tọa độ các điểm trên trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ
+ Khi tính góc ta thường chọn độ dài a = 1 đơn vị rồi gắn hệ tọa độ Oxy
+ Khi tính thể tích hoặc khoảng cách thì ta thường chọn a = 1 rồi sau đó thêm vào kết
quả cuối cùng.
Câu 1: (Câu 28 đề thi minh họa 2018)
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB =
OC. gọi M là trung điểm của BC. Tính góc giữa hai đường thẳng OM và AB.
Hướng dẫn:
Bước 1: Chọn ba tia OA, OB, OC lần lượt là tia Oz, Oy, Ox;
Cho OA = OB = OC =1 đơn vị
1 1
2 2

Bước 2: Tìm tọa độ các điểm: O(0;0;0); A(0;0;1); B(0;1;0); C (1;0;0); M ( ; ;0)
Bước 3: Áp dụng công thức tính góc của hai véc tơ.

uuuu
r uuu
r
OM , AB 1
uuuu
r uuur
cos OM , AB = uuuu
r uuur = suy ra góc giữa OM và AB bằng 600
OM AB 2

(

)

Câu 2: (Câu 21 đề thi minh họa 2018)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa BD
và A’C’
Hướng dẫn:
+ Chọn bai tia A’A, A’D’, A’B’ lần lượt là tia Oz, Oy, Ox; cho a =1
+ Tìm tọa độ A '(0;0;0); C '(1;1;0); B(1;0;1); D(0;1;1)
uuur uuur uuuur
BA′ BD ∧ A′C ′
d
BD
,
A
'
C
'
=

=1
uuur uuuur
)
+ Tính (
BD ∧ A′C ′

(

)

Vậy khoảng cách cần tìm bằng a.
Câu 3: (Câu 47 đề minh họa 2018)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = 2 3 ; AA ' = 2 . Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm của các cạnh A’B’, A’C’ và BC. Tính côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng
(AB’C’) và (MNP)
Hướng dẫn:
Bước 1: Gắn hệ trục tọa độ: Chọn P(0;0;0); Ox, Oy, Oz lần lượt là các tia PA, PC, PK
(với K là trung điểm của B’C’)
Bước 2: Xác định tọa độ
3 − 3
3 3
A(3;0;0); B (0; − 3;0); C (0; 3;0); B '(0; − 3; 2); C '(0; 3; 2); A '(3;0; 2); M ( ;
; 2); N ( ;
; 2)
2 2
2 2

Bước 3: Tìm được véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (AB’C’) và (MNP) và áp dụng
công thức tính cosin góc của chúng
Kết luận: cos((AB'C'),(MNP))=

13
65

2.3.8 Bài tập tự luyện
Câu 1. (Câu 34. Mã đề 101. 2017).

19


Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (−1;1;3) và hai đường thẳng
d:

x −1 y + 3 z −1
x +1 y
z
=
=
= =
, ∆′ :
. Phương trình nào dưới đây là phương trình
3
2
1
1
3 −2

đường thẳng đi qua M, vuông góc với ∆ và ∆ ′ .
 x = −1 − t


A.  y = 1 + t
 z = 1 + 3t


 x = −t

B.  y = 1 + t
z = 3 + t


 x = −1 − t

C.  y = 1 − t
z = 3 + t


 x = −1 − t

D.  y = 1 + t
z = 3 + t


Câu 2(Câu 37. Mã đề 101. 2017).
 x = 1 + 3t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :  y = −2 + t ,
z = 2


x −1 y + 2 z

=
= và mặt phẳng ( P ) : 2 x + 2 y − 3 z = 0 . Phương trình nào dưới đây là
2
−1
2
phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của d1 và (P), đồng thời vuông góc với d 2 .
d2 :

A. 2 x − y + 2 z + 22 = 0
B. 2 x − y + 2 z + 13 = 0
C. 2 x − y + 2 z − 13 = 0
D. 2 x + y + 2 z − 22 = 0
Câu 3. (Câu 33. Mã đề 102. 2017).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 + ( z + 2) 2 = 2 và
x − 2 y z −1
x y z −1
= =
, ∆: = =
. Phương trình nào dưới đây là
1
2
−1
1 1
−1
phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với ( S ) , song song với d và ∆ ?
A. x + z + 1 = 0
B. x + y + 1 = 0
C. y + z + 3 = 0
D. x + z − 1 = 0

hai đường thẳng d :

Câu 4. (Câu 34. Mã đề 102. 2017).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(1; −2;3) và hai mặt phẳng
( P) : x + y + z + 1 = 0 , (Q) : x − y + z − 2 = 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình
đường thẳng đi qua A , song song với ( P ) và (Q) ?
 x = −1 + t

A.  y = 2
 z = −3 − t


x = 1

B.  y = −2
 z = 3 − 2t


 x = 1 + 2t

C.  y = −2
 z = 3 + 2t


x = 1+ t

D.  y = −2
z = 3 − t


Câu 5. (Câu 29. Đề thi thử nghiệm lần 3. 2017).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) có tâm I (3; 2; −1) và đi qua điểm
A(2;1; 2). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với ( S ) tại A ?
A. x + y − 3z − 8 = 0.
B. x − y − 3z + 3 = 0.
C. x + y + 3 z − 9 = 0.
D. x + y − 3z + 3 = 0.
Câu 6. (Câu 30. Đề thi thử nghiệm lần 3. 2017).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 2 x − 2 y − z + 1 = 0 và đường
x −1 y + 2 z −1
=
=
. Tính khoảng cách d giữa ∆ và ( P).
2
1
2
1
5
2
A. d = .
B. d = .
C. d = .
3
3
3

thẳng ∆ :

D. d = 2.

Câu 7. (Câu 49. Đề minh họa lần 1. 2017)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1;0; 2 ) và đường thẳng d có phương
20


x −1 y z +1
= =
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc và cắt d.
1
1
2
x −1 y z − 2
x −1 y z − 2
= =
= =
A. ∆ :
B. ∆ :
1
1
1
1
1
−1
x −1 y z − 2
x −1 y z − 2
= =
=
=
C. ∆ :
D. ∆ :

2
2
1
1
−3
1

trình

2.4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Thực tế cho thấy, với cách đưa ra cách phân tích bài toán và hướng giải quyết linh
hoạt như trên đã tạo được cho học sinh sự nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm
được rất nhiềuthời gian hơn trong quá trình giải toán. Đó là một điều hết sức quan trọng
trong hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay. Học sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo
hơn trong học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, nhiều phương pháp giải cho mỗi
phần trong cùng một bài toán. Cách làm trên đã đáp ứng được nhu cầu học tập tích cực
của học sinh. Sau khi đã được ôn tập những kiến thức cơ bản về lý thuyết, học sinh đã
tự giải được những bài tập tương tự, nhất là những bài tập nằm trong các đề thi
THPTQG gần đây của Bộ giáo dục. Hiệu quả trong học tập của học sinh đã được nâng
lên rõ rệt.
Để có được bài viết trên, tôi đã phải nghiên cứu rất nhiều tài liệu và kiểm chứng qua
một số nhóm học sinh có học lực giỏi, khá và trung bình khá trong các lớp mà tôi giảng
dạy năm học 2017 -2018.
Với các bài toán 1,2,3,4 trong hệ thống bài tập tự luyện ở trên, mỗi lớp tôi đã
chọn ra hai nhóm học sinh với số lượng bằng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tôi
cho làm sau khi triển khai bài viết, nhóm II: tôi cho làm trước khi triển khai bài viết;
tôi thấy kết quả như sau: cả nhóm I và nhóm II đều không có học sinh nào để trống, số
lượng học sinh làm được cả 4 câu chỉ có ở nhóm I, nhóm II học sinh làm được nhiều
nhất là 3 câu còn lại là làm được 1-2 câu. Kết quả thu được cụ thể thể hiện ở bảng sau:

Số học sinh có lời Số học sinh có lời
Nhóm
Số học giải đúng 1-2 câu giải đúng 3-4 câu
sinh
1 câu
2 câu
3 câu
4 câu
NHÓM I
Lớp 12B
Lớp 12E

15
20

0
1

2
3

6
6

7
10

NHÓM II
Lớp 12B
Lớp 12E

15
20

6
7

8
9

1
4

0
0

Qua bảng thống kê trên ta thấy cách làm trên đã thể hiện được sự hiệu quả vượt trội.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên nắm chắc cơ
sở lý thuyết, chủ động trong việc tìm tòi cách giải mới, kế thừa và phát huy những kiến
21


thức có sẵn một cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải và đưa ra hệ thống các bài
tập phù hợp với từng đối tượng học sinh, hướng dẫn học sinh vận dụng hợp lý vào việc
giải các bài tập tương ứng một cách có hệ thống thì sẽ tạo được điều kiện để học sinh
củng cố và hiểu sâu về lý thuyết cùng với việc thực hành giải toán hiệu quả hơn, tạo
được sự hứng thú, phát huy được tính chủ động và sự sáng tạo trong việc học của học
sinh.
Mặc dù đã có sự đầu tư kĩ lưỡng nhưng bài viết chắc không tránh khỏi những thiếu

sót, tôi rất mong các bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn,
cũng như ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp mình giảng dạy, đem lại cho học
sinh những bài giảng hay hơn, cuốn hút hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25/ 05/ 2018
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.
Người viết:
Lê Diễm Hương

TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa Hình học 12 - Bộ GD& ĐT
- Đề thi minh họa và đề thi THPT QG năm 2017, 2018

22