Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung gắn liền với thực tiễn nhằm tạo hứng thú cho học sinh trong dạy học môn toán lớp 12

MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU.....................................................................................................................................1

1. Lý do chọn đề tài...........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................2
3. Đối tượng nghiên cứu....................................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................2
1. Cơ sở lý luận.................................................................................................3
1.1. Những quan điểm về vấn đề Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn................................................3
1.2. Việc xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa, phát triển
Chương trình, sách giáo khoa hiện hành................................................................................................. 4
1.4. Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được triệt để khai thác ở những chủ đề có nhiều tiềm năng..5
1.5. Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được chọn lọc để nội dung sát với đời sống thực tế, sát với
quá trình lao động sản xuất và đảm bảo tính đa dạng về nội dung...........................................................5
1.6. Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học Toán ở trường Trung học phổ thông giúp học
sinh làm quen dần với phương pháp mô hình hóa toán học.....................................................................6
1.7. Hệ thống bài tập được chọn lựa một cách thận trọng, vừa mức về số lượng và đảm bảo tính khả thi
trong khâu sử dụng................................................................................................................................ 8

2. Thực trạng của vấn đề...................................................................................8
2.1. Nội dung thực tiễn xuất hiện trong SGK và các đề thi ở nước ta......................................................8
2.2. Thực trạng dạy toán gắn với thực tiễn ở nước ta và nhu cầu hiểu biết toán học của HS hiện nay......9

3. Các giải pháp đã sử dụng..............................................................................9
3.1. Tìm kiếm và xây dựng các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán học..........................................................9
3.2. Một số bài toán thực tiễn được xây dựng....................................................................................... 10

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm..........................................................19
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ...................................................................................................20

1. Kết luận......................................................................................................20

2. Kiến nghị.....................................................................................................20

I. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Luật giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định “ Hoạt động giáo dục phải được
thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động
sản xuất, lý luận phải gắng liền với thực tiễn...”
Mục tiêu của giáo dục ngày nay là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ để
phục vụ đất nước. Do vậy các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với
thực tế. Chính vì lẽ đó mà các nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa cải cách
nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu của xã hội.
Đối với môn học xã hội thì các ứng dụng thực tế là rất dễ thấy. Học môn địa
lý thì các em có thể hiểu vì sao có các hiện tượng ngày, đêm, mưa , gió... vì vậy
rất dễ lôi cuốn sự hứng thú của học sinh. Ngược lại môn toán thì sao? Có lẽ ai đã
từng học toán, đang học toán đều có suy nghĩ rằng toán học ngoài những phép
1


tính đơn giản như cộng , trừ nhân chia... thì hầu hết các kiến thức toán khác là
rất trừu tượng đối với học sinh. Vì vậy việc học toán trở thành một áp lực nặng
nề đối với học sinh. Họ nghĩ rằng toán học là mơ hồ xa xôi, học chỉ là học mà
thôi. Học sinh học toán chỉ có một mục đích duy nhất đó là thi cử. Hình như
ngoài điều đó ra các em không biết học toán để làm gì. Vì vậy họ có quyền nghi
ngờ rằng liệu toán học có ứng dụng vào thực tế được không nhỉ?
Sự thật là toán học có rất nhiều ứng dụng vào thực tế và nó thể hiện rất rõ
trong cuộc sống hằng ngày của con người nhưng chúng ta không để ý mà thôi.
Với mục đích giúp cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với cuộc sống
xung quanh, hoàn toàn rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở nhà
trường không chỉ để thi cử mà nó còn là những công cụ đắc lực để giúp các em
giải quyết các vấn đề, tình huống đơn giản trong thực tế.

Hiện nay chưa có tài liệu hướng dẫn việc xây dựng các tiết học có nội
dung gắn liền với thực tiễn mà giáo viên thường qua nghiên cứu hoặc bằng kinh
nghiệm bản thân sưu tầm những bài toán có nội dung gắn liền với thực tiễn để
xây dựng nên những tiết học hay, gây hứng thú đối với học sinh trong học tập
môn toán. Qua nghiên cứu tài liệu, cùng với kinh nghiệm 12 năm công tác của
bản thân, tôi xây dựng đề tài: “Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung gắn liền
với thực tiễn nhằm tạo hứng thú cho học sinh trong dạy học môn toán lớp
12”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của dạy học toán, là phải mang lại cho học sinh những kiến
thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản của người lao động, qua đó rèn luyện tư
duy logic, phát triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan và
nhân sinh quan đúng đắn cho các em.
Quan điểm này đã dẫn đến khái niệm hiểu biết toán. Theo PISA, “hiểu
biết toán là năng lực của một cá nhân, cho phép xác định và hiểu vai trò của
toán học trong cuộc sống, đưa ra những phán xét có cơ sở, sử dụng gắn kết với
toán học theo những cách khác nhau nhằm đáp ứng nhu cầu cuộc sống của cá
nhân đó với tư cách là một công dân có tinh thần xây dựng, biết quan tâm và
biết phản ánh” [1].
Như vậy, liên hệ với mục tiêu của dạy học toán, ta thấy quan điểm này
hoàn toàn phù hợp với một thực tế là đại đa số học sinh mà chúng ta đào tạo
sau này sẽ là người sử dụng toán chứ không phải là người nghiên cứu toán.
Do đó, xu hướng đổi mới hiện nay là không nặng về mức độ nắm các nội dung
có mặt trong chương trình giảng dạy, mà chú trọng vào khả năng sử dụng các
kiến thức đã học vào thực tiễn và năng lực xử lý các tình huống mà họ có thể
đối mặt trong cuộc sống sau khi rời ghế nhà trường.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán thực tế trong chương trình Toán lớp 12 để giúp nâng cao hứng
thú và kết quả học tập của học sinh.
4. Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
2


Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,
phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh
dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả
thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và
đi đến kết luận.
Lựa chọn các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh
vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh
để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
II. Nội dung
1. Cơ sở lý luận
1.1. Những quan điểm về vấn đề Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn
Trong Mục này, Bài viết sẽ đưa ra những Quan điểm cho việc xây dựng và
sử dụng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong giảng dạy Toán ở trường
THPT - với chủ ý làm đậm nét hơn nữa các ứng dụng của Toán học vào thực
tiễn. Những Quan điểm Bài viết đưa ra sẽ nhằm vào tính mục đích, tính khả thi,
tính hiệu quả của việc xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong
giảng dạy Toán ở trường Trung học phổ thông.
- Mục đích của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được xác định dựa
trên cơ sở những mục đích chung của giáo dục Toán học, có chú ý đến những
đặc điểm cụ thể của Hệ thống. Mục đích của Hệ thống bài tập có nội dung thực
tiễn liên quan chặt chẽ, phụ thuộc và phục vụ cho việc thực hiện các mục đích
dạy học Toán ở nhà trường. Mục đích của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn
với ý nghĩa ứng dụng rõ rệt, thông qua quá trình rèn luyện cho học sinh khả
năng và ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học vào thực tiễn, đồng thời góp phần
tích cực để thực hiện tốt và toàn diện các nhiệm vụ dạy học Toán ở trường

THPT.
- Tính khả thi của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được hiểu là khả
năng thực hiện được (xây dựng được, sử dụng được) Hệ thống bài tập này trong
thực tế dạy học ở trường THPT Việt Nam hiện nay. Tính khả thi của việc xây
dựng và sử dụng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn phụ thuộc vào rất nhiều
yếu tố: Chương trình, sách giáo khoa, kế hoạch dạy học và quỹ thời gian thực
hiện, trình độ nhận thức chung của học sinh, khả năng và trình độ thực hiện của
giáo viên, sự tương hợp giữa các nội dung thực tiễn chứa đựng trong các bài tập,
... Một giải pháp khả thi là giải pháp thoả mãn một cách đầy đủ và hài hoà các
yếu tố trên.
- Tính hiệu quả của việc xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn
trong dạy học Toán được hiểu là sự tiến bộ vững chắc, mức độ thành thạo trong
việc giải các bài tập có nội dung thực tiễn của học sinh, hình thành và phát triển
ở họ thói quen và hứng thú vận dụng kiến thức Toán học vào các tình huống
trong học tập, lao động sản xuất và trong đời sống. Tính hiệu quả phụ thuộc vào
hệ thống bài tập (nội dung, mức độ, số lượng, ...) cũng như các biện pháp sử
dụng hệ thống bài tập này trong thực tế giảng dạy ở trường THPT.
Tính mục đích, tính khả thi và tính hiệu quả của việc xây dựng và sử dụng
hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn có liên quan và gắn bó mật thiết với nhau,
3


phối hợp, phụ thuộc và ảnh hưởng lẫn nhau một cách biện chứng. Chúng được
cụ thể hóa bằng những Quan điểm sau:
1.2. Việc xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn đảm bảo sự tôn
trọng, kế thừa, phát triển Chương trình, sách giáo khoa hiện hành
Chương trình và sách giáo khoa môn Toán được xây dựng trên cơ sở kế
thừa những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nước theo một hệ thống quan
điểm nhất quán về phương diện Toán học cũng như về phương diện sư phạm, nó
đã được thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn Quốc trong nhiều năm và được

điều chỉnh nhiều lần cho phù hợp với mục tiêu đào tạo mới, phù hợp với thực
tiễn giáo dục ở nhà trường nước ta.
Vì vậy, Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn muốn được thực thi phải phù
hợp với Chương trình và sách giáo khoa, hay nói cách khác: Hệ thống bài tập có
nội dung thực tiễn phải được xây dựng trên cơ sở tôn trọng, kế thừa và phát huy,
khai thác hết tiềm năng của Chương trình và sách giáo khoa hiện hành, cụ thể là:
- Tận dụng triệt để những cơ hội sẵn có trong sách giáo khoa (những tình
huống lý thuyết, bài tập thực hành hay ngoại khóa, ...) để đưa các bài toán có nội
dung thực tiễn vào giảng dạy;
- Khai thác những tình huống ứng dụng Toán học vào thực tiễn còn ẩn tàng;
- Trong sách giáo khoa có khá nhiều bài tập, nhưng trong đó bài tập có nội
dung thực tiễn còn rất ít, cần được bổ sung và thay đổi cho phù hợp.
Tính khả thi và hiệu quả của việc chọn lọc, thay thế, bổ sung các bài toán
có nội dung thực tiễn phụ thuộc rất nhiều yếu tố, như: Quỹ thời gian thực hiện,
bài tập đưa vào (nội dung, số lượng, mức độ), tiềm năng thực hiện của thầy và
trò, phương pháp dạy học các bài toán có nội dung thực tiễn, ... Những yếu tố
này không độc lập với nhau, mà trái lại chúng phụ thuộc và ảnh hưởng lẫn nhau.
1.3. Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn góp phần giúp học sinh nắm
vững những kiến thức và kỹ năng cơ bản của Chương trình Toán nói chung
và Trung học phổ thông nói riêng
Giúp học sinh nắm vững chắc các kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản của
Chương trình là một trong những nhiệm vụ trọng tâm hàng đầu của giáo dục
Toán học trong nhà trường.
Theo Nguyễn Bá Kim: Các nhiệm vụ môn Toán không tách rời nhau mà
ngược lại, chúng có liên hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau. Hay nói
cách khác, các nhiệm vụ môn Toán có tính "thống nhất trong toàn thể" [2].
Sự liên quan giữa các nhiệm vụ dạy học Toán thể hiện ở những khía cạnh
sau đây:
Tính toàn diện của các nhiệm vụ, vai trò cơ sở của tri thức, tầm quan trọng
của kỹ năng, sự thống nhất của các nhiệm vụ trong hoạt động.

Tác giả Nguyễn Bá Kim trong cuốn sách Phương pháp dạy học môn Toán
(1992) đã nhấn mạnh vai trò cơ sở của tri thức và tầm quan trọng của kỹ năng
[3].
Tri thức là cơ sở để rèn luyện khả năng và thực hiện các nhiệm vụ khác. Sở
dĩ tri thức đóng vai trò "cơ sở" của giáo dục Toán học là vì: không thể thực hiện
tốt việc rèn luyện kỹ năng, phát triển năng lực trí tuệ, trau dồi các phẩm chất
4


nhân cách cho học sinh, nếu như không làm cho họ nắm vững chắc các kiến
thức cơ bản.
Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cũng cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ
năng. Sự nhấn mạnh này đặc biệt cần thiết đối với môn Toán vì môn này được
coi là môn học công cụ trong nhà trường. Muốn nắm được công cụ, cần thiết
phải tăng cường luyện tập vận dụng tri thức và rèn luyện kỹ năng.
Như vậy chúng ta thấy rằng, giúp cho học sinh nắm vững các kiến thức và
kỹ năng toán học cơ bản không những là một nhiệm vụ quan trọng mà còn là cơ
sở cần thiết để thực hiện tốt toàn diện các nhiệm vụ khác của giáo dục Toán học
trong nhà trường. Vì thế, mọi hoạt động dạy học, ở tất cả các nội dung, trước hết
và luôn phải chú ý hướng tới làm cho học sinh nắm vững chắc các kiến thức và
kỹ năng cơ bản.
1.4. Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được triệt để khai thác ở những
chủ đề có nhiều tiềm năng
Việc xây dựng và sử dụng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn không
phải ở chủ đề nào cũng có thể thực hiện được một cách khả thi và có hiệu quả.
Nó phụ thuộc vào ngay chính bản thân của chủ đề, kiến thức có trong chủ đề đó
(có những chủ đề có thể khai thác được nhiều bài tập ở nhiều tình huống khác
nhau, ứng dụng được nhiều lĩnh vực trong đời sống thực tiễn, chẳng hạn: Hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn, Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, Đạo hàm,
Phương trình bậc hai, ... Tuy nhiên cũng có những chủ đề rất khó khai thác

những bài toán có nội dung thực tiễn phù hợp trong giảng dạy). Những tình
huống thực tiễn xung quanh chúng ta phong phú và đa dạng, có rất nhiều vấn đề
đặt ra cần phải giải quyết, tuy nhiên đối với học sinh phổ thông những vấn đề
quen thuộc, gần gũi chỉ phù hợp với một số chủ đề kiến thức nào đó mà thôi.
Chính vì vậy, cần khai thác tốt bài toán có nội dung thực tiễn ở những chủ
đề có nhiều tiềm năng, đó chính là cơ sở quan trọng trong việc rèn luyện cho học
sinh ý thức và khả năng sẵn sàng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
Có những chủ đề, việc vận dụng kiến thức thể hiện ở mức độ cao trong
cuộc sống, khó và không thực sự gần gũi với học sinh, không nên cố khai thác
nhiều ở những chủ đề này.
Vì những lý do trên, để đảm bảo tính khả thi và hiệu quả của hệ thống
bài tập có nội dung thực tiễn, cần lựa chọn các bài toán một cách cẩn thận, có
chú ý triệt để khai thác các bài toán ở những chủ đề có nhiều tiềm năng.
1.5. Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được chọn lọc để nội dung sát với
đời sống thực tế, sát với quá trình lao động sản xuất và đảm bảo tính đa
dạng về nội dung
Trong phạm vi nhà trường, việc tăng cường rèn luyện và bồi dưỡng ý thức
ứng dụng Toán học cho sinh được thực hiện chủ yếu thông qua các bài tập có
nội dung thực tiễn. Qua các bài tập này, học sinh được luyện tập sử dụng các
kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết bài toán thực tiễn trong đời sống sản
xuất. Để đảm bảo tính khả thi và tính hiệu quả, những tình huống này phải đơn
giản, gần gũi, quen thuộc với học sinh, nói chung chỉ mang tính mô phỏng. Vì
vậy, khi xây dựng hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn, cần phải chọn lọc
những bài toán là những tình huống sát hợp với sách giáo khoa hay những tình
5


huống sát hợp với vốn kinh nghiệm trong đời sống, lao động sản xuất của học
sinh. Những tình huống đó phải là những tình huống xuất hiện trong thực tế. Các
tình huống như vậy tạo ra một bức tranh sinh động về bài toán thực tiễn mà học

sinh có thể cảm thụ được.
Sự đa dạng về nội dung của Hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn
được thể hiện ở sự đa dạng về các tình huống, phạm vi các lĩnh vực lao động sản
xuất đời sống phản ánh trong Hệ thống bài tập. Sự đa dạng đó làm cho học sinh
thấy được ứng dụng rộng rãi và sâu sắc của các bài tập có nội dung thực tiễn
trong nhiều lĩnh vực khác nhau, làm nổi bật ý nghĩa ứng dụng của Toán học.
Sự đa dạng về nội dung của các bài tập có nội dung thực tiễn góp phần làm
phong phú thêm khả năng ứng dụng Toán học vào các tình huống thực tiễn, tích
cực hóa việc lĩnh hội kiến thức; thể hiện tính khả thi và tính hiệu quả của Hệ
thống bài tập có nội dung thực tiễn.
Tuy nhiên cần tránh sự phức tạp hóa do cố liên hệ với thực tế một cách
khiên cưỡng.
1.6. Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học Toán ở trường
Trung học phổ thông giúp học sinh làm quen dần với phương pháp
mô hình hóa toán học
Theo Từ điển bách khoa phổ thông Toán học [4] của X. M. Nicôlski thì: Mô
hình toán học là sự mô tả gần đúng, dưới dạng Toán học, một lớp nào đó các
hiện tượng trong thế giới khách quan.
Phương pháp mô hình hóa toán học (nghiên cứu hiện tượng nhờ mô hình
toán học) đưa việc khảo sát các hiện tượng, các tình huống trong thực tế về các
bài toán phải giải (toán học hóa các tình huống) có vai trò to lớn trong số các
phương pháp nghiên cứu, đặc biệt là gắn với máy tính. Nó giúp thiết kế các
phương tiện kỹ thuật mới, làm trong các chế độ tối ưu, để giải quyết các vấn đề
phức tạp của khoa học và kỹ thuật; dự báo những hiện tượng mới. Các mô hình
toán học được áp dụng trong những lĩnh vực tri thức rất khác nhau, là công cụ
cần thiết trong điều khiển kinh tế, là một bộ phận quan trọng của các hệ điều
khiển tự động.
Mô hình toán học của nhiều hiện tượng trong thực tế được thể hiện dưới
dạng hàm số cho bằng công thức (mô hình đại số hay mô hình giải tích) và đồ
thị (mô hình đồ thị hay mô hình hình học). Ba bước quan trọng trong quá trình

mô hình hóa đó là:
Bước 1: Lập mô hình toán học, bước trừu tượng hóa, hình thức hóa.
Bước 2: Khảo sát các bài toán do mô hình toán học đưa lại. Trong hai
Bước 1 và 2, nhiều khi phải sử dụng mô hình hình học (vẽ sơ đồ, đồ thị, giải
phương trình bằng đồ thị).
Bước 3: Đối chiếu kết quả khảo sát toán học ở Bước 2 với các hiện tượng
và tình huống thực tế (chẳng hạn, đối chiếu xem nghiệm của phương trình tìm
được có thoả mãn bài toán đã cho không và trả lời).
Ví dụ: Trong kho có 500 tấn hàng, mỗi ngày người ta lấy đi 30 tấn hàng.
Hỏi số hàng còn lại trong kho là bao nhiêu tấn sau 2 ngày, 4 ngày, 10 ngày?

6


Mô hình toán học của tình huống này là là hàm số bậc nhất
y = 500 - 30x. Nhờ mô hình này, có thể trả lời dễ dàng: x = 2 thì y = 440; x =
4 thì y = 380; x = 10 thì y = 200.
Một trong những đặc điểm nổi bật của các khoa học là sự gia tăng vai trò
của Toán học, hay nói cách khác, là sự "Toán học hóa" các khoa học khác một
cách sâu sắc và rộng rãi. Toán học không phải chỉ là một lĩnh vực nhất định của
tri thức mà còn là một phương pháp, là một dạng nhất định của nhận thức khoa
học, nó góp phần xây dựng chính xác các khoa học. Trong thực tế Toán học hóa
các khoa học chỉ ra rằng, phương pháp toán học hóa các kiến thức khoa học tăng
cường mối quan hệ lẫn nhau và tính thống nhất của tri thức khoa học hiện đại
đang được phân chia mạnh mẽ, làm phong phú và sâu sắc thêm những dạng
phản ánh thực tiễn. Vì thế, sự toán học hóa các khoa học giúp hiểu đúng hơn tự
nhiên xã hội và góp phần thúc đẩy nhanh tiến bộ khoa học kỹ thuật .
Sự thâm nhập rộng rãi và sâu sắc của Toán học, theo [5], có những nguyên
nhân chủ yếu sau:
1 - Sự cần thiết của giai đoạn định lượng trong việc nghiên cứu thực tiễn;

2 - Sự phát triển Toán học như là một điều kiện để nó thâm nhập vào các
khoa học khác;
3 - Sự cần thiết của việc mô hình hóa bằng Toán học.
Các phương pháp toán học về nguyên tắc không thể áp dụng được trực tiếp
vào thực tiễn mà chỉ có thể sử dụng được chúng trên những mô hình toán học.
Các kết quả thu được chỉ có ý nghĩa thực tế đáng kể nếu mô hình phản ánh tình
huống cụ thể một cách đúng đắn. V. Upenski đã chỉ rõ: Toán học nêu ra trong
những mô hình khá tổng quát và đủ rõ ràng để nghiên cứu thực tiễn xung quanh
ta khác với các mô hình kém tổng quát và ít chính xác hơn do các khoa học khác
nêu ra. Đây chính là ưu điểm và sức mạnh của Toán học so với các khoa học
khác nêu ra. Mô hình toán học là điểm xuất phát và là yếu tố quan trọng của việc
toán học hóa tình huống thực tiễn [6]. Theo [1], quá trình nghiên cứu một tình
huống thực tiễn bằng phương pháp toán học được chia thành các giai đoạn chính
sau đây:
1 - Xây dựng mô hình toán học của tình huống (mô hình hóa toán học tình
huống, hay nói cách khác, phát biểu bài toán toán học tương ứng với tình huống
tương ứng);
2 - Xử lý mô hình toán học;
3 - Phân tích và biểu thị thực tế kết quả toán học đã nhận được.
Như vậy, mô hình hóa là một bước quan trọng để có thể nghiên cứu một
tình huống bằng phương pháp toán học. Việc xây dựng mô hình có ý nghĩa rất
quan trọng, ảnh hưởng trực tiếp tới toàn bộ quá trình nghiên cứu.
Việc xây dựng mô hình toán học của những tình huống thực tế là cơ sở
quan trọng để có thể thực hiện các ứng dụng Toán học. Do đó, rèn luyện khả
năng xây dựng mô hình toán học của các tình huống thực tế cho học sinh là một
bước cần thiết để chuẩn bị cho họ có khả năng ứng dụng Toán học một cách có
hiệu quả.
Trong điều kiện giảng dạy Toán học ở nhà trường, có thể rèn luyện cho học
sinh tập dượt xây dựng mô hình của những tình huống thực tế đơn giản, gần gũi
7

(mà nói chung chỉ mang tính mô phỏng). Theo [7], cần phải luyện tập cho học
sinh trong suốt quá trình học Toán ở nhà trường, để chuẩn bị một cách thiết thực
cho họ có khả năng và ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
1.7. Hệ thống bài tập được chọn lựa một cách thận trọng, vừa mức về số
lượng và đảm bảo tính khả thi trong khâu sử dụng
Việc xây dựng và đưa vào giảng dạy Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn
nhằm đạt được mục đích dạy học đã nêu ở trên, không được làm thay đổi lớn tới
hệ thống Chương trình, sách giáo khoa cũng như kế hoạch dạy học hiện hành.
Đây là một trong những điều kiện cơ bản để có thể đảm bảo được tính khả thi
của Hệ thống. Vì vậy, Hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn cần phải được
tinh lọc một cách thận trọng, vừa mức về số lượng và mức độ.
Không thể đạt được các mục đích đã đặt ra cho Hệ thống các bài tập có nội
dung thực tiễn nếu ta chỉ đưa ra số ít bài tập có nội dung thực tiễn. Trái lại, nếu
bổ sung quá nhiều các bài tập có nội dung thực tiễn sẽ dẫn tới tình trạng quá tải,
không đủ thời gian để thực hiện, ảnh hưởng đến kế hoạch chung của môn học.
Nói cách khác, Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn như vậy không có tính
khả thi.
Đồng thời chúng ta cũng thấy rõ ràng về mức độ, các bài tập có nội dung
thực tiễn cần được lựa chọn để phù hợp với trình độ nhận thức chung của học
sinh.
Đây cũng là một yêu cầu quan trọng để có thể đảm bảo được tính khả thi và
tính hiệu quả của Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn.
Các bài toán có nội dung thực tiễn cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn
giản đến phức tạp, nhất là những bài toán có nội dung thực tiễn đầu tiên. Người
học tự mình giải được một bài tập có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý. Ngược lại,
việc thất bại ngay từ bài tập đầu tiên dễ làm cho học sinh mất nhuệ khí, dễ gây
tâm trạng bất lợi cho quá trình luyện tập tiếp theo. Kinh nghiệm cho thấy rằng,
nguyên nhân không thành công ngay từ bài tập đầu tiên thường do thầy giáo vội

vã yêu cầu vận dụng quá nhiều tri thức và kĩ năng của những nội dung trước đó
hơn là do những thiếu sót ngay trong cách tiến hành giải bài tập này hoặc trong
cách dạy phần lý thuyết trực tiếp của bài tập đó. Sự trải nghiệm thành công ở
những bài tập đầu tiên tạo cho học sinh thêm tự tin phấn khởi, hào hứng thực
hiện những yêu cầu luyện tập tiếp theo đạt kết quả cao hơn.
2. Thực trạng của vấn đề
2.1. Nội dung thực tiễn xuất hiện trong SGK và các đề thi ở nước ta
Theo nhà giáo ưu tú Trần Dư Sinh: “Thực tế cho thấy chương trình dạy
học Toán ở trường phổ thông vẫn còn nặng về tính hàn lâm, thiếu thực tiễn cuộc
sống”. Chương trình và SGK Toán trong đợt thay CT và SGK của ta gần đây
nhất đã có nhiều cố gắng đưa vào một số bài toán thực tiễn, tuy nhiên vẫn còn
tính điểm xuyết. Chúng tôi cho rằng có thể do những nguyên nhân chính sau
đây:
Thứ nhất, do ảnh hưởng trực tiếp của sách giáo khoa và tài liệu tham
khảo: Số lượng bài tập mang nội dung thuần túy Toán học cũng như kiến thức
dành cho mỗi tiết học là khá nhiều đã khiến nhiều giáo viên vất vả trong việc
hoàn thành kế hoạch bài giảng; số lượng bài toán, chất lượng và quy mô bài toán
8


ứng dụng vào thực tiễn rất ít ở các chủ đề môn Toán trong giảng dạy; một lý do
nữa là do khả năng liên hệ kiến thức Toán học vào thực tiễn của của giáo viên
Toán còn gặp nhiều khó khăn.Trong khi đó thì ta thấy đối với một số nước có
nền giáo dục hiện đại trên thế giới như Mỹ, Singapore, Anh, Pháp…thì trong đề
thi HSG của họ luôn có câu hỏi thực tiễn, suy luận logic…
Thứ hai, do yêu cầu vận dụng Toán học vào thực tế không được đặt ra một
cách thường xuyên và cụ thể trong quá trình đánh giá (tức là trong các đề thi
không có những nội dung như vậy). Chúng tôi qua tìm hiểu thấy có đề thi tuyển
sinh vào lớp 10 của tỉnh Thừa Thiên Huế và trường Quốc học Huế, một số kì thi
Máy tính cầm tay có đề cập tới các bài toán có nội dung thực tiễn.

Mặt khác, lối dạy phục vụ thi cử (chỉ chú ý những gì để học sinh đi thi)
như hiện nay cũng là một nguyên nhân góp phần tạo nên tình trạng này. Ngoài ra
có thể kể đến một nguyên nhân khác nữa: Trong Chương trình và quá trình đào
tạo ở các trường đại học và cao đẳng Sư phạm, tình hình "ứng dụng" (trong giáo
trình, trong đánh giá, trong dạy học,...) cũng xảy ra tương tự. Do đó ảnh hưởng
trực tiếp đến tiềm năng dạy các vấn đề ứng dụng Toán học của các thầy giáo, cô
giáo.
Như vậy, việc tăng cường rèn luyện cho học sinh ứng dụng Toán học vào
thực tiễn đã được coi là xuyên suốt toàn bộ quá trình dạy học Toán ở phổ thông.
2.2. Thực trạng dạy toán gắn với thực tiễn ở nước ta và nhu cầu hiểu biết
toán học của HS hiện nay
Mục đích của dạy học toán, là phải mang lại cho học sinh những kiến thức
phổ thông, những kỹ năng cơ bản của người lao động, qua đó rèn luyện tư duy
logic, phát triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan và nhân
sinh quan đúng đắn cho các em. Quan điểm này đã dẫn đến khái niệm hiểu biết
toán. Theo PISA, “hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân, cho phép xác định
và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, đưa ra những phán xét có cơ sở, sử
dụng gắn kết với toán học theo những cách khác nhau nhằm đáp ứng nhu cầu
cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tinh thần xây dựng,
biết quan tâm và biết phản ánh”. Do đó, xu hướng đổi mới hiện nay là không
nặng về mức độ nắm các nội dung có mặt trong chương trình giảng dạy, mà chú
trọng vào khả năng sử dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn và năng lực xử lý
các tình huống mà họ có thể đối mặt trong cuộc sống sau khi rời ghế nhà trường.
Do đó, xu hướng đổi mới hiện nay là không nặng về mức độ nắm các nội
dung có mặt trong chương trình giảng dạy, mà chú trọng vào khả năng sử dụng
các kiến thức đã học vào thực tiễn và năng lực xử lý các tình huống mà họ có
thể đối mặt trong cuộc sống sau khi rời ghế nhà trường.
3. Các giải pháp đã sử dụng
3.1. Tìm kiếm và xây dựng các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán học
Làm thế nào để tìm kiếm và xây dựng các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán

học? Đây là một cách tiếp cận mới, một câu hỏi mà các nhà giáo dục, giáo
viên… còn băn khoăn. Hiện nay, giáo dục Việt Nam không nhiều các tài liệu
bàn về lĩnh vực này. Bản thân tác giả cũng chưa được tiếp cận tài liệu chính
thống nào chỉ rõ các nguyên tắc, các bước hoặc có nhiều các ví dụ minh hoạ
một cách đầy đủ về việc tìm kiếm và xây dựng ví dụ thực tiễn hoặc tích hợp
9


liên môn ứng dụng toán học.
Qua tự tìm hiểu và kinh nghiệm của bản thân, tác giả nhận thấy các ví dụ
thực tiễn ứng dụng toán học có thể được tìm thấy thông qua các hoạt động như:
- Nghiên cứu khoa học luận tri thức: lịch sử hình thành của các khái
niệm, quá trình phát triển của tri thức, ý nghĩa thực tiễn của tri thức…
- Tham khảo từ các môn học khác, đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên.
- Tìm kiếm trong các tài liệu, đặc biệt là tài liệu, sách giáo khoa nước
ngoài, tìm kiếm trên Internet.
- Tham khảo các vấn đề cuộc sống có nhiều yếu tố toán học trong đó như
thống kê, ngân hàng, chứng khoán, bảo hiểm, quản lý giao thông, điều phối sản
xuất…
- Một trong những phương pháp hiệu quả nhất để xây dựng ví dụ
chính là phương pháp mô hình hoá.
3.2. Một số bài toán thực tiễn được xây dựng
Với phạm vi thực hiện của đề tài, tác giả chỉ giới thiệu hệ thống các bài
tập gắn liền với thực tiễn trong chương trình toán lớp 12. Nội dung của các
tình huống được tác giả sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau: Tài liệu,
sách giáo khoa nước ngoài, diễn đàn khoa học trên mạng Internet, các báo cáo
chuyên đề, sách về phương pháp dạy học trong nước và một số tình huống do
tác giả tự thiết kế trong thực tế giảng dạy của bản thân. Các bài toán xây dựng
được chia theo các dạng là các kiến thức chươgn trình toán 12:
DẠNG 1: Các bài toán ứng dụng đạo hàm, GTLN-GTNN của hàm số

Câu 2: Một người nông dân có 15.000.000 đồng để làm một cái hàng rào
hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần
chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí
nguyên vật liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song
nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất
của đất rào thu được.

A. 6250 m 2
B. 1250 m 2
C. 3125 m 2 .
Hướng dẫn:
Phân tích: Ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ

D. 50 m 2

Từ đề bài ban đầu ta có được mối quan hệ sau:
10


Do bác nông dân trả 15.000.000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá
thành từng mặt nên ta có mối quan hệ:
3 x.50000 + 2 y.60000 = 15000000

150 − 15 x 500 − 5 x
=
12
4
Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:
⇔ 15 x + 12 y = 1500 ⇔ y =

500 − 5 x 1
= ( −5 x 2 + 500 x )
4
2
Đến đây ta có hai cách để tìm giá trị lớn nhất của diện tích:
Cách 1: Xét hàm số trên một khoảng, vẽ BBT và kết luận GTLN:
f ( x ) = 2.x. y = 2 x.

Xét hàm số f ( x ) =

1
−5 x 2 + 500 x ) trên ( 0;100 )
(
2

1
( −10 x + 500 ) , f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 50
2
Ta có BBT
f '( x) =

2
Cách 2: Nhẩm nhanh như sau: Ta biết rằng A − g ( x ) ≤ A với mọi x, nên ta có thể
nhẩm nhanh được:
5
5
5
2
f ( x ) = ( − x 2 + 100 x ) = ( − x 2 + 2.50.x − 2500 + 2500 ) = .  2500 − ( x − 5 )  ≤ 6250 .

2

2

2 



Đáp án A.
Câu 4: Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018 vừa kết thúc, Nam đỗ vào
trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Kỳ I của năm nhất gần qua, kỳ II sắp đến.
Hoàn cảnh không được tốt nên gia đình rất lo lắng về việc đóng học phí cho
Nam, kỳ I đã khó khăn, kỳ II càng khó khăn hơn. Gia đình đã quyết định bán
một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50m, lấy tiền lo cho việc học của
Nam cũng như tương lai của em. Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình
vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền
lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá tiền 1m2 đất khi bán là
1500000 đồng.
A. 112687500 đồng.
B. 114187500 đồng.
C. 115687500 đồng.
D. 117187500 đồng.
Hướng dẫn:
Diện tích đất bán ra càng lớn thì số tiền bán được càng cao

11


Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu lần lượt là
x, y ( m ) , ( x, y > 0 )

Chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu bằng 50m ⇒ 2 ( x + y ) = 50 ⇔ y = 25 − x
Bài ra, ta có ngay mảnh đất được bán là một hình chữ nhật có diện tích là
2

25  625 625

S = x ( y − x ) = x ( 25 − x − x ) = 25x − 2x = −  x 2 −
÷ + 8 ≤ 8 = 78,125
2 2

25
25
25 175
=0⇔ x=
⇒ y = 25 −
=
Dấu "=" xả ra ⇔ x 2 −
8
8
8
2 2
2

Như vậy, diện tích đất nước được bán ra lớn nhất 78,125 m2.
Khi đó số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất
là 78,125.1500000 = 117187500
Câu 12: Trên một đoạn đường giao thông có 2 con
đường vuông góc với nhau tại O như hình vẽ. Một địa danh
lịch sử có vị trí đặt tại M, vị trí M cách đường OE 125cm và

cách đường Ox 1km. Vì lý do thực tiễn người ta muốn làm một
đoạn đường thẳng AB đi qua vị trí M, biết rằng giá trị để làm
100m đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí của A và B để hoàn
thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để
hoàn thành con đường là bao nhiêu ?
A. 1,9063 tỷ đồng. B. 2,3965 tỷ đồng. C. 2,0963 tỷ đồng. D. 3 tỷ đồng.
Hướng dẫn:
Để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất thì phải chọn A, B sao cho đoạn
thẳng AB là bé nhất.
⇒ Thiết lập khoảng cách giữa hai điểm A, B và tìm giá trị nhỏ nhất.


Chọn hệ trục tọa độ là Oxy với OE nằm trên Oy. Khi đó tọa độ M  ;1÷ .
1
8 

Gọi B ( m;0 ) , A ( 0; n ) ( m, n > 0 ) . Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn là:
x y
+ =1
m n
8m − 1



+ = 1 ⇒ = 1−
=
⇒n=
Do đường thẳng đi qua M  ;1÷ nên
8m n
n

8m
8m
8m − 1
8 
2
 8m 
Có AB2 = m 2 + n 2 = m 2 + 
÷
 8m − 1 
1

1

1

1

1

8m

2


8m
−8
64
 8m 
2
f

m
=
m
+
.
= 2m. 1 −
÷
Xét hàm số ( )

÷ ; f ' ( m ) = 2m + 2.
2
3
 ( 8m − 1) ÷
8m − 1 ( 8m − 1)
 8m − 1 



12


m = 0 ( L )
5

3
f '( m) = 0 ⇔ 
⇔ ( 8m − 1) = 64 ⇔ m =
64
1−
=0

8
 ( 8m − 1) 3

2
5 

2
8. ÷
25 25 125
125 5 5
5 5 
8
f ( m) ≥ f  ÷=  ÷ + 
=
+
=
⇒ AB ≥
=
÷
64
8
 8   8   8. 5 − 1 ÷ 64 16 64
 8 

Vậy đoạn đường ngắn nhất là

5 5
(km).
8

Giá để làm 1km đường là 1500 triệu đồng=1,5 tỉ đồng.
Khi đó chi phí để hoàn thành con đường là:

5 5
.1,5 ≈ 2, 0963 (tỷ đồng)
8

Đáp án C
Câu 18: Một công ty muốn làm một đường ống
dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn
đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống
trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km
để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’
vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km.
Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì
số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng:
A. 6.5km
B. 6km
C. 0km
D. 9km
Hướng dẫn:
Đặt x = B ' C (km) , x ∈ [0;9]
BC = x 2 + 36; AC = 9 − x

Chi phí xây dựng đường ống là C ( x ) = 130.000 x 2 + 36 + 50.000(9 − x)


(USD )



− 5÷
 x + 36

25
5
2
2
2
⇔x=
C '( x ) = 0 ⇔ 13x = 5 x 2 + 36 ⇔ 169 x = 25( x + 36) ⇔ x =
4
2
 5
C (0) = 1.230.000 ; C  ÷ = 1.170.000 ; C (9) ≈ 1.406.165
2
Vậy chi phí thấp nhất khi x = 2,5 . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km.

Hàm C ( x ) , xác định, liên tục trên [0;9] và C '( x ) = 10000. 

13x
2

Đáp án A.
Câu 24: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gửi
trong kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt
là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi
năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất?
A. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái ti vi.
B. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 100 cái ti vi.
C. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 90 cái ti vi.

D. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 90 cái ti vi.
13


Hướng dẫn:
Gọi x là số ti vi mà cừa hàng đặt mỗi lần ( x ∈ [ 1; 2500] , đơn vị cái)
Số lượng ti vi trung bình gửi trong kho là

10.

x
nên chi phí lưu kho tương ứng là
2

x
= 5x
2

Số lần đặt hàng mỗi năm là

2500
2500
( 20 + 9x )
và chi phí đặt hàng là:
x
x

Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là:
2500
50000

+ 22500
( 20 + 9x ) + 5x = 5x +
x
x
Lập bảng biến thiên ta được: C min = C ( 100 ) = 23500
C( x) =

Kết luận: Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái tivi.
Đáp án A.
DẠNG 2: Các bài toán ứng dụng hình đa diện
Câu 1: Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể
tích 12 m3 để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có
dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích
thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất
(không tính đến bề dày của thành bể). Ta có kích thước (dài; rộng - tính theo đơn
vị m, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là:
A. Dài 2,42m và rộng 1,82m
B. Dài 2,74m và rộng 1,71m
C. Dài 2,26m và rộng 1,88m
D. Dài 2,19m và rộng 1,91m
Hướng dẫn:
Gọi chiều sâu và chiều rộng của bể lần lượt là 3x và 2x (m)
Chiều dài của bể là

12
2
= 2 ( m)
2 x.3 x x

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của bể phải nhỏ nhất.

Ta có:
2 2 
10 


Stp = 2  2 x.3x + 2 x. 2 . 2 ÷ = 2  6 x 2 + ÷
x x 
x 


5 5
6 x 2 + + ≥ 3 3 150 ⇒ S xq ≥ 6 3 150 m 2
x x

( )
5
x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 6 x 2 + ⇔ x = 3

5
6

Khi đó chiều rộng và chiều dài của bể lần lượt là 2 x = 1,88m;

2
= 2, 26m . Chọn C
x2

Câu 4: Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên

trong dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp có thể tích là 62,5dm 2 . Để tiết
kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích
xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất, S bằng
A. 106, 25dm 2 .
B. 75dm2 .
C. 50 5dm 2 .
D. 125dm2 .
14


Hướng dẫn:
Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ.
62,5
. Suy ra
a2
62.5
250
125 125
125 125 2
S = 4. 2 .a + a 2 =
+ a2 =
+
+ a2 ≥ 33
.
.a = 75 .
a
a
a
a
a a

Dấu bằng xảy ra khi a = 3 125 = 5 . Vậy S là nhỏ nhất bằng 75 .

Theo bài ta có chiều cao của lăng trụ là

Chọn đáp án B
Câu 12: Người thợ cần làm một bể cá hai
ngăn, không có nắp ở phía trên với thể tích 1,296 m3.
Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá
dạng hình hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c như
hình vẽ. Hỏi người thợ phải thiết kế các kích thước a,
b, c bằng bao nhiêu để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy
của kính không đáng kể.
A. a = 3, 6m; b = 0, 6m; c = 0, 6m
B. a = 2, 4m; b = 0,9m; c = 0, 6m
C. a = 1,8m; b = 1, 2m; c = 0, 6m
D. a = 1, 2m; b = 1, 2m; c = 0,9m
Hướng dẫn:
Thể tích bể cá là: V = abc = 1, 296
Diện tích tổng các miếng kính là S = ab + 2ac + 3bc (kể cả miếng ở giữa)
S
1 2 3
1 2 3 33 6
33 6
= + + ≥ 33 . . =
=
c 4b4 4a 2 4 4c 4b 3a
abc
1, 296
Ta có: abc 1
1 2 3

Cauchy cho 3 so , ,
c b a

a = 1,8
1 2 3
 = =

Dấu “=” xảy ra khi  c b a ⇔ b = 1, 2 .

c = 0, 6
abc = 1, 296


Đáp án C.
DẠNG 3: Các bài toán ứng dụng hàm số Mũ – Lôgarit
6
3
Câu 16: Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 3.10 ( m ) . Biết tốc độ sinh
trưởng của các cây trong khu rừng đó là 5% mỗi năm. Sau 10 năm nữa, trữ
lượng gỗ trong rừng là:
3
3
A. 4886683,88 ( m )
B. 4668883 ( m )
C. 4326671,91( m )
D. 4499251( m )
Hướng dẫn:
3
Gọi A là trữ lượng gỗ ban đầu của khu rừng ( m ) ; r là tốc độ sinh trưởng
3

3

3
hàng năm(%); M n là trữ lượng gỗ sau n năm ( m ) .

Năm đầu tiên, M 1 = A + A.r = A(1 + r )
15


Năm thứ hai, M 2 = M 1 + M 1.r = M 1 (1 + r ) = A(1 + r ) 2
Năm thứ ba, M 3 = M 2 + M 2 .r = M 2 (1 + r ) = A(1 + r )3
Tương tự năm thứ n, M n = A(1 + r ) n

Áp dụng công thức ta có M 10 = A(1 + r ) = 3.10 ( 1 + 0, 05 ) = 4886683,88 ( m )
Đáp án A.
Câu 33: Bà hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi
suất 8%/năm. Sau 5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền
còn lại bà tiếp tục gửi vào ngân hàng. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.
A. 81,412tr
B. 115,892tr
C. 119tr
D. 78tr
Hướng dẫn:
5
Sau 5 năm bà Hoa rút được tổng số tiền là: 100 ( 1 + 8% ) = 146.932 triệu
10

6

10

3

Suy ra số tiền lãi là: 100 ( 1 + 8% ) − 100 = L1
Bà dùng một nửa để sửa nhà, nửa còn lại gửi vào ngân hàng.
5
Suy ra số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là: 73.466 ( 1 + 8% ) = 107.946 triệu. Suy ra
số tiền lãi là 107.946 − 73.466 = L 2
Vậy số tiền lãi bà Hoa thu được sao 10 năm là: ∑ L = L1 + L 2 ≈ 81, 412tr
Đáp án A.
Câu 44: Bạn Hùng trúng tuyển vào trường đại học A nhưng vì do không đủ
nộp học phí nên Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm vay
3.000.000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3%/năm. Sau khi tốt nghiệp đại học
bạn Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất
0,25%/tháng trong vòng 5 năm. Số tiền T hàng tháng mà bạn Hùng phải trả cho
ngân hàng (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị) là:
A. 232518 đồng .
B. 309604 đồng.
C. 215456 đồng.
D. 232289
đồng.
Hướng dẫn:
Vậy sau 4 năm bạn Hùng nợ ngân hàng số tiền là:
4
3
2
s = 3000000 ( 1 + 3% ) + ( 1 + 3% ) + ( 1 + 3% ) + ( 1 + 3% )  = 12927407,43



5

Lúc này ta coi như bạn Hùng nợ ngân hàng khoản tiền ban đầu là
đồng,
số tiền này bắt đầu được tính lãi và được trả góp trong 5 năm.
Ta có công thức:
N ( 1 + r ) .r
n

⇒Τ=

(1+ r)

n

−1

12927407, 4 ( 1 + 0,0025 ) .0,0025

12.927.407, 43

60

=

( 1+ 0,0025)

60

−1

≈ 232289

Đáp án D.
DẠNG 4: Các bài toán ứng dụng hình nón, hình trụ, hình cầu
Câu 2: Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, các nhà sản xuất luôn
đặt chỉ tiêu sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất, tức là nguyên liệu (sắt
tây) được dùng là ít nhất. Hỏi khi đó tổng diện tích toàn phần của lon sữa là bao
nhiêu, khi nhà sản xuất muốn thể tích của hộp là V cm3
16


A. Stp = 3 3

πV 2
4

B. Stp = 6 3

πV 2
4

C. Stp = 3

πV 2
4

D. Stp = 6

πV 2

4

Hướng dẫn:
Đây là bài toán vừa kết hợp yếu tố hình học và yếu tố đại số. Yếu tố hình
học ở đây là các công thức tính diện tích toàn phần, diện tích xung quanh, thể
tích của hình trụ. Còn yếu tố đại số ở đây là tìm GTNN của Stp
V
(*)
π R2
V 
V


= 2.π R 2 + 2π R.h = 2  π R 2 + π R. 2 ÷ = 2  π R 2 + ÷
R
πR 



Ta có yếu tố đề bài cho: V = B.h = π R 2 .h ⇒ h =
Stp = S xq + 2S day

Đến đây ta có hai hướng giải quyết, đó là tìm đạo hàm rồi xét y ' = 0 rồi vẽ BBT
tìm GTNN. Tuy nhiên ở đây tôi giới thiệu đến quý độc giả cách làm nhanh bằng
BĐT Cauchy.
Ta nhận thấy ở đây chỉ có một biến R và bậc của R ở hạng tử thứ nhất là bậc 2,
nhưng bậc của R ở hạng tử thứ 2 chỉ là 1. Vậy làm thế nào để khi áp dụng BĐT
Cauchy triệt tiêu được biến R. Ta sẽ tìm cách tách

V

thành 2 hạng tử bằng nhau
R

để khi nhân vào triệt tiêu được R2 ban đầu. Khi đó ta có như sau:
V
V 
πV 2

3
Stp = 2.  π R 2 +
+
≥
2.3
=> Đáp án B.
÷
2R 2R 
4


Câu 11: Người ta cần chế tạo một ly dạng hình cầu tâm O, đường kính
2R. Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước chỉ
chứa được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ để ly chứa được
nhiều nước nhất.
A. r =

R 6
3

B. r =

2R
3

C. r =

2R
3

D. r =

R
3

Hướng dẫn:
Gọi h và r là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Bài toán quy về việc
tính h và r phụ thuộc theo R khi hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong hình tròn
(O,R) thay đổi về V = πr 2 h đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: AC2 = AB2 + BC 2 ⇔ 4R 2 = 4r 2 + h 2
1 

 1

V = π  R 2 − h 2 ÷h = π  − h 3 + R 2h ÷ ( 0 < h < 2R )
4 

 4

2R
 3


V ' = π  − h 2 + R 2 ÷⇔ h = ±
3
 4

4 3
2R
Vậy V = Vmax = 9 πR 3 ⇔ h =
3

17


Câu 23: Một người thợ xây, muốn xây dựng một
bồn chứa nước hình trụ tròn với thể tích là 150m3 (như
hình vẽ bên). Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn
và bề làm bằng bằng nhôm. Tính chi phí thấp nhất để
bồn chứa nước (làm tròn đến hàng nghìn). Biết giá thành
các vật liệu như sau: bê tông 100.000đ/ m2 , tôn 90.000đ/
m 2 và nhôm 120.000đ/ m 2 .
A. 15037000 đồng. B. 15038000 đồng. C. 15039000 đồng. D. 15040000 đồng.
Hướng dẫn:
2
Gọi r , h ( m ) ( r > 0, h > 0 ) lần lượt là bán kính đường tròn đáy và đường cao của
150
. Khi đó chi phí làm nên bồn chứa
π r2
150
27000
nước được xác định theo hàm số f ( r ) = 220π r 2 + 90.2π r 2 = 220π r 2 +
πr

r
27000
675
=a.
(nghìn đồng). f ' ( r ) = 440π r − 2 , f ' ( r ) = 0 ⇔ r = 3
r
11π

hình trụ. theo đề ta có π r 2 h = 150 ⇔ h =

BBT:

Dựa vào BBT ta suy ra chi phí thấp nhất là
 675 
f ( a ) = f  3
÷
÷ ≈ 15038,38797 nghìn đồng. Đáp án B.
 11π 

DẠNG 5: Các bài toán ứng dụng Nguyên hàm, tích phân
Câu 4: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h ( t ) là thể tích
2
nước bơm được sau t giây. Cho h ' ( t ) = 3at + bt và ban đầu bể không có nước.
Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m3
Sau 10 giây thi thể tích nước trong bể là 1100m3
Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.
A. 8400 m3
B. 2200 m3
C. 600 m3
D. 4200 m3

Hướng dẫn:
Nhìn vào bài toán ta có thể nhận ra ngay đây là bài toán tính tích phân, vì đã
có đạo hàm. Nên từ các dữ kiện đề cho ta có:
5

1

5
25
+ bt ) dt =  at 3 + bt 2 ÷ = 125a + b = 150
2
2

0
0
Tương tự ta có 1000a + 50b = 1100
Vậy từ đó ta tính được a = 1; b = 2

∫ ( 3at

2

20

Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là

∫ h ' ( t ) dt = ( t
0

3

+ t2 )

20
= 8400.
0
18


Đáp án A.
Câu 19: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban
2
đầu là 24,5 ( m / s ) và gia tốc trọng trường là 9,8 ( m / s ) . Quãng đường viên đạn đi
từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là (coi như viên đạn được bắn lên từ mặt
đất):
A. 61, 25 ( m )
B. 30, 625 ( m ) C. 29, 4 ( m )
D. 59,5 ( m )
Hướng dẫn:
Chọn chiều dương từ mặt đất hướng lên trên, mốc thời gian t = 0 bắt
đầu từ khi vật chuyển động.
Ta có vận tốc viên đạn theo thời gian t là v ( t ) = v0 − gt = 24,5 − 9,8t ( m / s )
Khi vật ở vị trí cao nhất thì có vận tốc bằng 0 tương ứng tại thời điềm t =

5
2

Quãng đường viên đạn đi được từ mặt đất đến vị trí cao nhất là
5
2

5
2

0

0

S ( t ) = ∫ v ( t ) dt = ∫ 24,5 − 9,8t dt =

245
8

Vậy quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là
2.

245
= 61, 25 ( m ) . Đáp án A.
8

3.3. Sử dụng các bài toán có nội dung gắn với đời sống để xây dựng tiết học
nhằm tạo hứng thú cho học sinh trong dạy học môn toán
Trong các tiết học, đặc biệt là trong thời gian ôn thi THPT Quốc gia tôi đã
khéo léo lồng ghép các bài toán có nội dung gắn liền với đời sống và được đồng
nghiệp đánh giá cao, học sinh hứng thú hơn trong học tập.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Các giải pháp trên được xây dựng trên quan điểm mô hình hoá các tình
huống thực tiễn hoặc tích hợp liên môn (vật lý, hoá học…); đã cố gắng giới
thiệu được một số ứng dụng của toán học lớp 12 vào thực tiễn và các môn học
khác.

Nhìn chung các tình huống đưa vào khá đa dạng, nội dung phù hợp với đặc
điểm lứa tuổi học sinh, hình ảnh minh hoạ hài hoà. Tuy nhiên, một số tình
huống chưa thực sự tự nhiên, còn gượng ép và chưa đảm bảo được các tiêu chí
của một “mô hình tốt”.
Trong quá trình giảng dạy, tác giả nhận thấy những vấn đề toán học
gắn với tình huống thực tiễn luôn được các học sinh quan tâm, chú ý hơn. Cách
tiếp cận vấn đề bằng một bài toán, một tình huống cuộc sống luôn tạo được ấn
tượng tốt, giúp học sinh thấy được vẻ đẹp của toán học trong các mối liên hệ
với hiện thực. Từ đó, bằng cảm quan của bản thân, tác giả nhận thấy học sinh
yêu thích các giờ học toán hơn, từ đó học toán tốt hơn và nhận thấy các giờ học
đều có động cơ, mục tiêu rõ ràng.
Tuy nhiên, việc thay đổi phương pháp tư duy, phương pháp dạy học,
phương pháp tiếp cận vấn đề như trên thực sự không phải dễ dàng. Trong thực
hành dạy học, tác giả đã gặp không ít khó khăn trong việc cân chỉnh thời gian,
19


điều tiết nội dung, dung hoà với chương trình dạy học hiện tại. Những kiểu bài
toán, vấn đề liên hệ thực tiễn, tích hợp liên môn như trên khi thực hiện chiếm
một thời lượng không nhỏ trong giờ học, nhưng lại không hề có mặt trong các
đề kiểm tra, đề thi, gây ra một sự “khập khiễng” và giữa dạy học và kiểm tra,
đánh giá.
Nhìn từ phía học sinh, với nhiều lý do chủ quan và khách quan (như chưa
quen với việc đọc các đề bài dài, nhiều lời văn; tâm lý giải toán nhưng biết chắc
sẽ không có những kiểu bài tập như vậy trong các đề kiểm tra, đề thi; quan điểm
học tập phục vụ khoa cử, áp lực điểm số, v.v…) đã gây khó khăn không nhỏ
trong quá trình triển khai dạy học.
III. Kết luận, kiến nghị
1. Kết luận
Với những bài tập thực tế tôi đã đưa ra trong bài viết phải nói là rất gần

gũi với cuộc sống hằng ngày của chúng ta. Và có lẽ thực tế chúng ta còn gặp
nhiều tình huống khác nữa. Vấn đề còn lại là chúng ta có kịp nhận ra và vân
dụng toán để giải quyết vấn đề đó hay không mà thôi. Đến lúc này tôi muốn
khẳng định một điều rằng: Toán học cũng thực tế, nó không trừu tượng hoàn
toàn và nó có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Qua thực nghiệm sư phạm tôi thấy rằng học sinh phổ thông cũng đã rất
nhạy bén trong vận dụng toán học vào thực tiễn. Do vậy tôi nghĩ rằng để 45 phút
lên lớp của mỗi người giáo viên chúng ta có hiệu quả thì các thầy cô giáo cần
liên hệ thực tế những kiến thức cần truyền thụ cho học sinh, nếu làm được điều
đó thì quá trình tiếp thu tri thức mới đối với học sinh sẽ tự nhiên và dễ dàng hơn.
Mặc dù đã rất cố gắng trong qúa trình tìm tòi và nghiên cứu, nhưng do
hạn chế về mặt về mặt năng lực và thời gian nên những trình bày trong khóa
luận không tránh khỏi những thiếu sót, việc khai thác đề tài chắc chắn chưa hoàn
thiện triệt để. Ở đây tôi chỉ cố gắng đưa ra những tình huống thực tế để học sinh
giải quyết, việc đưa ra những phương pháp giúp học sinh vận dụng kiến thức
toán học vào giải quyết các tình huống toán học thực tế như thế nào vấn đề này
nếu có điều kiện tôi sẽ nghiên cứu thêm. Kính mong được sự nhận xét, bổ sung
góp ý của quý thầy cô và các bạn.
2. Kiến nghị
Để các quan điểm tiếp cận vấn đề và việc triển khai thực hiện được các
nội dung trên một cách hiệu quả, rất cần sự đổi mới đồng bộ: Quan điểm dạy
học, mục tiêu bộ môn, nội dung chương trình, nội dung và hình thức kiểm tra
đánh giá… và phải có sự quan tâm, vào cuộc từ phía các nhà hoạch định chương
trình, những lãnh đạo chuyên môn của ngành và nhà trường; đặc biệt rất cần tinh
thần đổi mới của giáo viên và học sinh – những chủ thể trực tiếp thực hiện việc
dạy và học.

20

XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết sáng kiến

Thiều Văn Tài
Cao Văn Quý

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. I. I. Blekman, A. D. Mưskix, Ia. G. Panôvko (1985), Toán học ứng dụng (bản
dịch của Trần Tất Thắng), Nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
2. Nguyễn Bá Kim (1992), "Tính thống nhất Toàn thể của các nhiệm vụ môn
Toán", Tạp chí Nghiên cứu giáo dục.
3. Nguyễn Bá Kim, vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn Toán,
Nxb Giáo dục, Hà Nội.
4. X. M. Nikolxki (chủ biên) (2002), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học,
Nxb Giáo dục, Hà Nội.
5. R. I. Ruzavin, A. Nưxanbaép, G. Sliakhin (1979), Một số quan điểm triết học
trong Toán học, Nxb giáo dục, Hà Nội.
6. Toán học trong thế giới ngày nay (bản dịch) (1976), Nxb Khoa học và Kỹ
thuật, Hà Nội.
7. Trần Kiều (1978), "Suy nghĩ bước đầu về "Toán ứng dụng" trong Chương
trình Toán phổ thông", Tạp chí Nghiên cứu giáo dục.
8. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2014). Tài liệu tập huấn dạy học và kiểm tra,

đánh giá kết quả học tập theo định hướng phát triển năng lực học sinh môn
Toán cấp THPT, Chương trình phát triển giáo dục trung học.
9. Nguồn internet luanvan.net.vn.
.

22


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Thiều Văn Tài
Chức vụ và đơn vị công tác: Tổ trưởng chuyên môn trường THPT Ngọc Lặc.
Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
Năm học
giá xếp loại
TT
Tên đề tài SKKN
xếp loại đánh giá xếp
(Phòng, Sở,
(A, B,
loại
Tỉnh...)
hoặc C)
Giúp học sinh yếu đạt điểm
1
cao môn toán trong kỳ thi tốt Cấp ngành C

2010-2011
nghiệp THPT
Một số kinh nghiệm hướng
dẫn học sinh yếu đạt điểm
2
Cấp ngành C
2015-2016
trung bình môn toán trong kỳ
thi THPTQG
Xây dựng tập thể lớp tự quản
dựa trên những điểm tích cực
3
của mô hình trường học mới Cấp ngành C
2016-2017
Việt Nam tại lớp 10A2
trường THPT Ngọc Lặc
Xây dựng các tiết học có nội
dung thực tiễn nhằm tạo
4
Cấp ngành C
2017-2018
hứng thú cho học sinh trong
học toán lớp 11

23


Phụ lục

24