MỘT vài KINH NGHIỆM GIÚP học SINH lớp 11 TRƯỜNG TRUNG học PHỔ THÔNG TRIỆU sơn 6 tự TIN GIẢI bài tập GIỚI hạn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 6
*****   *****

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT VÀI KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 11
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRIỆU SƠN 6
TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
BẰNG SƠ ĐỒ TƯ DUY

Người thực hiện: Lê Thị Tâm
Chức vụ: Giáo viên –Tổ phó chuyên môn.
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

1


MỤC LỤC
Nội dung
1 : MỞ ĐẦU

trang
1

1.1. Lí do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu

1

1.3.Đối tượng nghiên cứu

1

1.4.Phương pháp nghiên cứu

1-2

2 : NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lí luận

2

2.2. Thực trạng của vấn đề

2

2.3.Giải pháp thực hiện

2-15

2.4.Hiệu quả của SKKN.

15-16

3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

16-17

2


1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan
trọng, là môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác trong
trường phổ thông như: Lý, Hóa, Sinh, Văn…Như vậy, nếu học tốt môn Toán thì
những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở
thành công cụ để học tốt những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học
sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho
học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có
tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, đặc biệt là những trường có tuyển
sinh đầu vào thấp với đa số học sinh có học lực trung bình như trường
THPT Triệu Sơn 6 thì hầu hết các em đều rất sợ học môn Toán.
Qua gần 20 năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học chương
giới hạn, đặc biệt là phần bài tập về giới hạn của hàm số thì các em rất khó tiếp
thu và áp dụng mà bài tập về giới hạn hàm số lại luôn có mặt trong đề các đề thi
học kì, đề thi đại học và cao đẳng.
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống,
không áp đặt hoặc dập khuôn máy móc do đó học sinh dễ dàng áp dụng vào việc
giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó.
Vì vậy để giúp học sinh khối 11học tốt phần bài tập giới hạn hàm số tôi đã
mạnh dạn chọn đề tài “Một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 11 trường trung

học phổ thông Triệu Sơn 6 tự tin giải bài tập giới hạn của hàm số bằng sơ đồ
tư duy ”.
1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập
cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới
hạn hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
1.3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Học sinh: Học sinh khối 11 trường THPT Triệu Sơn 6.
- Giáo viên: Giảng dạy bộ môn Toán trường THPT Triệu Sơn 6.
- Phạm vi nghiên cứu: Chương IV: “Giới hạn” sách giáo khoa đại số và giải
tích 11 ban cơ bản.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm:
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo
sát thực tế dạy học toán nói chung và dạy học phân môn Đại số và giải tích ở
trường THPT Triệu Sơn 6 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc xây dựng
hệ thống bài tập về giới hạn hàm số trong chương IV - Đại số và giải tích 11
trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Trên cơ sở tài liệu
phân phối chương trình môn học, chuẩn kiến thức - kỹ năng, sách giáo khoa Đại
1


số và giải tích 11 – cơ bản và tài liệu về dạy học giới hạn của hàm số để xây
dựng hệ thống bài tập theo mục đích đã đặt ra.
2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.CƠ SỞ LÍ LUẬN
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học trong chương trình
toán trung học phổ thông.
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải

bài tập.
- Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã được
chứng minh, thừa nhận.
2.2.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
2.2.1.Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2016-2017.
2.2.2.Khảo sát chất lượng đầu năm:
Thông qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết quả như sau:
Trên trung bình 20 %.
2.2.3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến
thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự
nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó
không chỉ đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trong việc truyền tải
kiến thức tới các em. Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo
dục, động cơ học tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh.
Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác
định được động cơ học tập.
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có
biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần
giúp đỡ học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng
biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp.
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp
đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của
tiết học, học sinh khá không nhàm chán.
Từ những nguyên nhân trên tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến : “một vài kinh

nghiệm giúp học sinh lớp 11 trường trung học phổ thông Triệu Sơn 6 tự tin
giải bài tập giới hạn của hàm số bằng sơ đồ tư duy ”.
2.3.GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
I/ Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan:
A-KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa giới hạn của hàm số:
2


Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có
giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn ∈ K và xn ≠ a ,
∀n∈ ¥ * mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim f ( x)  = L .
x→a

2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: lim f ( x )  = L , lim g ( x )  = M thì:
x →a

x →a

lim f ( x ) ± g ( x )  = lim f ( x )  ± lim g ( x )  = L ± M
x →a
x →a
x →a
lim f ( x ) .g ( x )  = lim f ( x )  .lim g ( x )  = L .M
x →a
x →a
x →a
f ( x )  L

f ( x ) lim
=
x →a 
lim
=
,M ≠0
x →a g x
g ( x )  M
( ) lim

x →a 

lim f ( x ) = lim f ( x )  = L ; f ( x ) ≥ 0,L ≥ 0
x →a
x →a
c) Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng
K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x∈ K , x ≠ a và
lim g( x)  = lim h( x)  = L ⇒ lim f ( x)  = L .
x→a

x→a

x→a

3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) =
a , đều có lim[f(xn)]= ∞ thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí
hiệu: lim f ( x)  = ∞ .
x→a

b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = ∞ đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói
f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu: lim f ( x)  = L .
x→∞

c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà
xn > a ∀n∈ ¥ * , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :
lim+  f ( x)  . Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a ∀n∈ ¥ * thì ta
x→ a

 f ( x) 
nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: xlim
→a− 
B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3
trường hợp tìm giới hạn cơ bản sau:
Một là : Giới hạn của hàm số tại một điểm: lim f ( x) 
x→a

 f ( x) 
Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số : xlim
→±∞ 

 f ( x)  , lim−  f ( x) 
Ba là: Giới hạn một bên của hàm số: xlim
→ a+ 
x→a
Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tôi
không xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách
3

nhìn vào giá trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới
hạn trái, giới hạn phải)
Trong mỗi trường hợp nêu trênlại chia ra từng dạng bài tập nhất
định.Ở đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ
đồ tư duy sau:

ĐỀ BÀI

Quan sát chia
trường hợp

Giới hạn vô cực

Giới hạn tại một điểm:

Giới hạn một bên

Dạng 1:

Dạng 1:Tính
trực tiếp

 0
÷
 0

Dạng 3:()

Dạng:

Dạng 2 

lim f ( x) = f (a)
x→a

Dạng3:

Dạng 2:()

lim
x→
a

f ( x)
g( x)

Sau đây tôi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu
trong sơ đồ tư duy.
• KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM

 f ( x) 
CỦA HÀM SỐ: lim
x→ a 

4


f ( x) = f (a)
Dạng 1: lim

x→a
Phương pháp:

f ( x) = f (a)
Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x). Kết luận: lim
x→a
Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:
2
x + 3)
1/. xlim(2
2/. lim ( x + 5 − 1)
→2
x→−2

3/. lim
x→3

x −1
x+2

x + 3) = 2.2 + 3 =7
1/ xlim(2
→2
2 / lim (
x→
−2

3 / lim

x→3

.

2 x 2 + 3x + 1
)
x→−1 − x 2 + 4 x + 2
BÀI GIẢI
4/

lim (

x 2 +5 −1) = ( −2) 2 +5 −1 =2

x −1
3 −1
2
=
=
x +2 3 +2
5

2(−1) 2 + 3( −1) + 1 0
2 x 2 + 3x + 1
=
=0
4/ lim ( 2
)=
x→−1 − x + 4 x + 2
−(−1) 2 + 4(−1) + 2 −3
Bài tập tương tự:

Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:
2
2
+ 2x+1)
lim(x + 2 x +1)
lim ( 3 - 4x )
1. lim(x
2.
3.
x → -1
x →3
x →1

x +1
;
x →1 2x - 1

4. lim

f ( x)
g( x)

x 2 + x +1
x →-1 2x 5 + 3

5. lim

 0
→  ÷. (ta tính nhẩm dạng 2 bằng cách thay a vào f(x) và
 0

f ( x)
 0
g(x)). Ta thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0. nên lim
lúc
này
có
dạng
 ÷.
x→a g( x)
 0
Phương pháp:
Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số
và mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
Chú ý 1:
• Nếu f (x) = ax2 + bx + c có 2 nghiệm x1, x2 thì ta phân tích
f (x) = ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
• Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
Dạng 2: lim
x→a

5


A2 − B2 = ( A − B) ( A + B)

(
= ( A + B) ( A

)
− AB + B )

A3 − B3 = ( A − B) A2 + AB + B2
A3 + B3

2

2

Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử
và mẫu cho các biểu thức liên hợp
Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp
a−1
a−1
1/ a − 1=
5/ 3 a − 1=
3 2
a +1
a + 3 a +1
a−1
a−1
2/ a + 1=
6/ 3 a + 1=
3 2
a −1
a − 3 a +1
a− b
a− b
3/ a − b =
7/ 3 a − 3 b =
3 2

a+ b
a + 3 ab + 3 b2
a− b
a+ b
4/ a + b =
8/ 3 a + 3 b =
3 2
a− b
a − 3 ab + 3 b2
Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:
 x2 + 2x − 3 
 x+3 
1/lim  2
2 / lim  2
x→1 2 x − x − 1 ÷
x→3  x + 2 x − 3 ÷



 x2 + x − 2 
3 / lim 
÷
2
x→1
 x −1 
4x


5 / lim 
x→0  9 + x − 3 ÷


7 / lim

x→1

( 1+ x)
4 / lim
x →0

6 / lim

x →2

3

−1

x

2x − 2
x−2

x+2 −2
x +7 −3

BÀI GIẢI
x+3
1
−1
 x+3 

1/ lim  2
= lim
=
÷= lim
4
x→−3  x + 2 x − 3 
x→−3 ( x − 1) ( x + 3 )
x→−3 x − 1
 x2 + 2x − 3 
( x − 1) ( x + 3) = lim x + 3 = 4
2 / lim  2
= lim
÷
x→1 2 x − x − 1

 x→1 2( x − 1)( x + 1 ) x→1 2( x + 1 ) 3
2
2
 x2 + x − 2 
( x − 1) ( x + 2 ) = lim x + 2 = 3
3 / lim 
=
lim
÷
2
x→1
 x − 1  x→1 ( x − 1) ( x + 1) x→1 x + 1 2

6

( 1 + x)
4 / lim
x→0

3

−1

= lim

x→0

x

( 1 + x − 1) ( 1 + x )

4x


5 / lim 
= lim
x→0  9 + x − 3 ÷
 x→0
6 / lim

x →2

7 / lim

x→1

4x

(

(

x

2

+ ( 1 + x ) + 1
 =3

9+ x +3

)

= lim

4x

(

9+ x +3

9+ x−9
) ( 9 + x + 3)
( 2 x − 2) ( 2x + 2) = lim 2 x − 4 = 1

2x − 2
= lim
x−2
( x − 2) ( 2x + 2)
( x − 2) ( 2x + 2) 2
( x + 2 − 2 ) ( x + 2 + 2 ) ( x + 7 + 3) = 3
x+2 −2
= lim
x +7 −3
( x + 7 − 3) ( x + 7 + 3) ( x + 2 + 2 ) 2
x→0

9+ x −3

x →2

) = 24

x →2

x→1

Bài tập tương tự:
Bài tập 2:Tính các giới hạn sau:
1 / lim
x→3

x 2 + 2x - 15
x-3

5 / lim
x→0

2x 2 + 3x+1
x2 - 1

x − 2x −1
6 / lim
x→1 x 2 − 12 x + 11

2 / lim
x→-1

8 x3 − 1
3 / lim
2
x→ 1 6 x − 5 x + 1
2
3
x +3 ) − 27
(
4/
lim
x
x→0

7 / lim
x→1

x+4 −2

x

2x −1 − x
x −1

x +1 −1
8 / lim
x→0 3 − 2 x + 9

f ( x)
g( x)

L
→  ÷. (với L ≠ 0 ) .Ta tính nhẩm dạng bằng cách thay a
 0
f ( x)
vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên lim
lúc này có
x→a g( x)
Dạng 3: lim
x→ a

L
dạng  ÷.
 0
Phương pháp:
f (x) = L (với L ≠ 0 )
Bước 1: Tính lim
x→a
g(x) = 0 và xét dấu biểu thức g(x) với x ≠ a

Bước 2: : Tính lim
x→a
Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim
x→a

f ( x)
g( x)

7


lim f (x) = L

limg(x) = 0

L> 0
L> 0
L< 0
L< 0

g(x) > 0
g(x) < 0
g(x) > 0
g(x) < 0

x→a

f ( x)
x→ a g( x)
+∞

−∞
−∞
+∞

lim

x→a

Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:
x+ 2
x− 5
1/ lim
2/ lim
2
2
x→4
x→3
( x − 4)
( x − 3)

x→4

BÀI GIẢI

x+ 2

1/ lim

( x − 4)

3x + 1
x→−2 x + 2 x3 + 8
(
)(
)

3/ lim

2

Ta có:
 lim ( x + 2) = 6> 0
 x→4

2
2
x − 4) = 0; ( x − 4) > 0 (∀x ≠ 4)
 lim
(
 x→4
x+ 2
lim
= +∞
2
x→4
( x − 4)
2/ lim
x→3

x− 5

( x − 3)

Ta có:

2

 lim ( x − 5) = −2< 0
 x→3

2
2
x − 3) = 0; ( x − 3) > 0 (∀x ≠ 3)
 lim
(
 x→3
x− 5
lim
= −∞
2
x→4
( x − 3)

3x + 1
3x + 1
=
lim
x→−2 x + 2 x3 + 8
x→−2 x + 2 x + 2 x2 − 2x + 4
(

)
(
)(
)

3/ lim
= lim

x→−2

(

)

(

)

3x + 1

( x + 2) ( x2 − 2x + 4)
2

Ta có:

8


 lim ( 3x + 1) = −5< 0
 x→−2


2
2
x + 2) x2 − 2x + 4 = 0; ( x + 2) x2 − 2x + 4 > 0 (∀x ≠ −2)
 lim
(
 x→−2
3x + 1
lim
= −∞
x→−2
( x + 2) x3 + 8

(

)

(

(

)

)

Bài tập tương tự:
Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:
x+ 2
x3 + 1
1/ lim

2/
lim
2
2
x→2
x→−2
( x − 2)
( x + 2)
3/ lim

2x + 1

x→−2

( x + 2)

x+ 1
x→−3 x + 3 x2 + 4x + 3
(
)

4/ lim

2

(

)

• KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA

 f ( x) 
HÀM SỐ: lim
x→ ∞ 

f ( x)
∞
→  ÷
g( x)
∞
Phương pháp:
Dạng 1: lim
x→∞

Chia tử và mẫu cho xk với k là lũy thừa cao nhất của tử hoặc mẫu. Chú ý
rằng nếu x → +∞ thì coi như x>0, nếu x → −∞ thì coi như x < 0 khi đưa x
ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn
Chú ý các giới hạn cơ bản sau:
1/ limxk = +∞
2/ limx2k = +∞
x→−∞

x→+∞

3/ limx2k+1 = −∞
x→−∞

1
=0
x→±∞ xk

4/ Lim

Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau:
1/.

2x +1
x→−∞ x − 2
lim

3/. lim

x→+∞

x2 − 1
x +1

2/. xlim
→+∞

x −1
x2 − 1

x2 − 1
4/. lim
x→−∞ x + 1
BÀI GIẢI

9

1

1
x 2 + ÷
2+
2x + 1
x
x = 2 =2
= lim 
= lim
1/. lim
x→−∞ x − 2
x→−∞ 
2 1
2  x→−∞
1−
x 1 − ÷
x
x

1 1 
1 1
x2  − 2 ÷
− 2
x −1
x x 

x
x = 0 =0

=
lim
=
lim
2/. xlim
→+∞ x 2 − 1 x→+∞ 2 
1
1  x→+∞
1− 2 1
x 1 − 2 ÷
x
 x 
x −1
= lim
x→+∞
x +1
2

3 / lim

x→+∞

.

1 
1


x 2 1 − 2 ÷
x 1 − 2 ÷

 x 
 x 
= lim
x→+∞
x +1
 1
x 1 + ÷
x


1

x 1 − 2 ÷
 x 
= lim
= lim
x→+∞
x→+∞
 1
x 1 + ÷
x


4 / lim

x→−∞

x2 − 1
= lim
x→−∞

x +1

1 

1 − 2 ÷
 x  1
= =1
1
1
1+
x

1 
1 


x 2 1 − 2 ÷
x 1 − 2 ÷
 x 
 x 
= lim
x→−∞
x +1
 1
x 1 + ÷
x


1 
1 



− x 1 − 2 ÷
− 1 − 2 ÷
 x 
 x  −1
= lim
= lim
=
= −1
x→−∞
x→−∞
1
 1
1
1+
x 1 + ÷
x
x


Bài tập tương tự:
Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:
2x −3
x→+∞ 1−3x

1/ lim

2x2 +3x +1
x→−∞ 3x2 − x +5

3/ lim

5

x +2x2 +1
5/ lim
x→+∞
x3 +1
7/ lim

x→−∞

x2 +2x +3
3

x3 − x +1

2x3 − x2 +1
x→−∞ 3x6 +2x4 +1
( x −2) ( 2x +1) ( 1−4x)
4/ lim
3
x→+∞
( 3x +4)

2/ lim

x2 +3x −8
x→−∞ x4 −6x +1

6/ lim

8/ lim

x→−∞

4x2 +1
3x −1

10


f ( x) .g( x) → ( 0.∞ )
Dạng 2: lim
x→∞
Phương pháp:
f ( x) .g( x) → ( 0.∞ ) về dạng 1: lim
Ta biến đổi lim
x→∞
x→∞

f ( x)
∞
→  ÷
g( x)
∞

Sau đó sử dụng phương pháp của dạng 1 để giải
Chú ý: A B = A2B với A,B ≥ 0

A B = − A2B với A ≤ 0, B ≥ 0
Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau:

1 ) lim ( x+ 2 )
x → +∞

x -1
x3 + x

2) lim ( x+1)
x→ -∞

2x+1
x 3 + x+ 2

BÀI GIẢI
2

1 ) lim ( x+ 2 )
x → +∞

x -1
= lim
x 3 + x x → +∞
2

( x+ 2 ) ( x - 1) =

 2  1
x  1+ ÷ .  1- ÷

 x   x  = lim
= lim
x → +∞
x → +∞
1

x 3  1+ 2 ÷
 x 

2x+1
2) lim ( x+1) 3
= lim  −
x→ - ∞
x + x+ 2 x → - ∞ 

3

2

x3 + x

 2  1
x  1+ ÷ .x  1- ÷
 x  x
1

x 3  1+ 2 ÷
 x 
2

lim

x → +∞

2

 2  1
 1+ ÷ .  1- ÷ 1
 x  x = =1
1
1

 1+ 2 ÷
 x 
2
( x+1) ( 2x+1) 
x 3 + x+ 2 

2

 1  1
x  1+ ÷ .x  2+ ÷
2
( x+1) ( 2x+1) = − lim  x   x  = − 2
= − lim
x→ - ∞
x→ -∞
1 2
x 3 + x+ 2
x 3 (1+ 2 + 3 )

x x
2

Bài tập tương tự:
Bài tập 5: Tính các giới hạn sau:

2x 3 + x
1 ) lim ( 1 - 2x )
2 ) lim x 5 2
.
x →+∞
x →- ∞
x - x +3
 f ( x) ± g( x)  → ( ∞ ± ∞ )
Dạng 3: lim
x→∞ 

3x +1
x 3 +1

3 ) lim x
x →- ∞

2x +1
.
3x + x 2 + 2
3

11

Phương pháp:
 f ( x) ± g( x)  về dạng
Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa lim
x→∞ 

f ( x) − g( x)
f ( x) − g( x)
lim
lim
hoặc x→∞
x→∞
f ( x) + g( x)
f ( x) − g( x)
Nếu gặp căn bậc 3 ta cũng nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp
A ; A≥ 0
2
Chú ý: A = A = 
− A ; A < 0
Ví dụ 6:Tính các giới hạn sau:

( x + x − x − 2)
3/ lim ( x+ x + x + 1 )
2

1 ) lim

2

2) lim

x → +∞

x → −∞

(

x2 + x − x2 − 2

(

4 / lim x+ x 2 + x + 1

2

x → +∞

x → −∞

BÀI GIẢI

1 ) lim

x → +∞

(

x2 + x −

(

x − 2 ) = lim
2

x2 + x + x2 − 2

x→ +∞

= lim

x → +∞

)(

x2 + x + x2 − 2

x+ 2
x2 + x + x2 − 2

 2
 2
x 1+ ÷
x 1+ ÷
1
 x
 x
= lim
= lim
=
x → +∞
2

1
2 x → +∞
1
2
x 1+ + x 1− 2
x 1+ + x 1− 2
x
x
x
x
2 ) lim

x → −∞

= lim

x → −∞

(

x2 + x −

(
x − 2 ) = lim
2

x2 + x - x2 + 2
x2 + x + x2 − 2

x2 + x − x2 − 2

x → −∞

)(

x2 + x + x2 − 2

)

x2 + x + x2 − 2

x → −∞

= lim

)

x2 + x + x2 − 2

x → +∞

x2 + x - x2 + 2

= lim

x2 + x − x2 − 2

)

)

x+ 2
x2 + x + x2 − 2

=−

1
2

12


)

(

3/ lim x+ x 2 + x + 1 =
x → +∞

x+
(
lim

x → +∞

)(

x2 + x + 1 x - x2 + x + 1

)

x - x2 + x + 1

1

x
−
1
−

÷
x - ( x + x + 1)
−x −1
x

= lim
= lim
= lim
2
2
x → +∞
x → +∞
x- x + x+1
x - x + x + 1 x → +∞ x - x 1 + 1 + 1
x x2
1
1


1

x  −1− ÷
x  −1− ÷
−1−
x
x


x
= lim
= lim
= lim
x → +∞
x
→
+
∞
x
→
+
∞

1 1
1 1
1 1 
x - x 1+ + 2
1- 1 + + 2
x  1- 1 + + 2 ÷
x x
x x
x x 


2

2


1
1 1 
1 1

( lim  − 1 − ÷ = − 1, lim  1- 1 + + 2 ÷÷ = 0 ; 1- 1 + + 2 < 0)
x → +∞
x → +∞
x
x x 
x x



= +∞

Chú ý:Ta cũng có thể giải bài 3 của ví dụ 6 này theo cách sau tạm gọi là:
Cách 2

)

(


3/ lim x+ x 2 + x + 1 = lim  x+ x

x → +∞
x → +∞


1 1 
= lim x  1+ 1 + + 2 ÷÷ = +∞
x → +∞
x x 


1 1
lim
x
=
+
∞
,
lim
1+
1
+
+ 2
Vì

x → +∞
x → +∞ 
x x


(

)

4 / lim x+ x 2 + x + 1 =

x+
(
lim


1 1 
1 1 
1 + + 2 ÷÷ = lim  x+ x 1 + + 2 ÷÷
x x  x → +∞ 
x x 


÷÷ = 2


)(

x2 + x + 1 x - x2 + x + 1

)

x - x2 + x + 1
1
1



1
x  −1 − ÷
x  −1 − ÷
−1 −
x
x


x
= lim
= lim
= lim
x → −∞
1 1 x → +∞ 
1 1
1 1  x → +∞
x+ x 1 + + 2
1+ 1 + + 2
x  1+ 1 + + 2 ÷
x x
x x
x x 

x → −∞

=

x → −∞

−1
2

13


• Như vậy sau khi giải bài 4 của ví dụ 6 nhiều học sinh sẽ thắc mắc rằng bài
4 này có thể giải theo cách 2 của bài 3 như trên không?
Câu trả lời là không vì nếu giải theo giải theo cách 2 của bài 3 ta sẽ có:

)

(



1 1 
1 1 
4 / lim x+ x 2 + x + 1 = lim  x + x 1 + + 2 ÷÷ = lim  x - x 1 + + 2 ÷÷
x → −∞
x → −∞
x x  x → −∞ 
x x 


1 1 
= lim x  1- 1 + + 2 ÷÷
x → −∞
x x 



1 1 
lim
x
11
+
+ 2 ÷÷ sẽ dẫn đến dạng vô định (0. ∞ ) lại quay
Tới kết quả

x → −∞ 
x
x 

về dạng 2 của trường hợp giới hạn hàm số ở vô cực mà việc khử dạng vô
định(0. ∞ ) lại gây khó khăn cho một số em học sinh có học lực trung bình,
yếu.
Bài tập tương tự:
Bài tập 6: Tính các giới hạn sau:
1) lim

x →+∞

(

(
5) lim (
7) lim (

x +1 -

x →−∞

x →−∞

x2 + x -

(

(
4) lim (
6) lim (
8 ) lim (
2) lim

x →+∞

)

3x 2 + x +1 + x 3

x →−∞

9 ) lim x

)

x 2 +1 + x - 1

3) lim

x →+∞

x

x2 + 4

4x 2 + 9 + 2x

)

)

)

x →+ ∞

x →−∞

x →+ ∞

10) lim x
x →+ ∞

x 2 + x +1 - x

)

3x 2 + x +1 - x 3
2x 2 +1 + x

)

x 2 + 2x + 4 -

(

x 2 +1 - x

)

)

x 2 - 2x + 4

)

* KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM

SỐ: lim+  f ( x)  hoặc lim−  f ( x)  .Cần lưu ý học sinh đây chỉ là trường hợp đặc
x→ a
x→ a
biệt của giới hạn tại một điểm, lúc này x không tiến đến a mà tiến đến bên trái
điểm a ( x → a− ), hoặc tiến về bên phải bên phải điểm a ( x → a+ ).Bài tập Giới
hạn một bên: lim+  f ( x)  hoặc lim−  f ( x)  .chủ yếu rơi vào dạng 3 của trường
x→ a
x→ a

f ( x)
L
→  ÷. (với L ≠ 0 ) .Ta tính nhẩm

x→a g( x)
 0
dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên
f ( x)
L
lim±
lúc này có dạng  ÷.
x→a g( x)
 0
hợp Giới hạn tại một điểm là lim±

Phương pháp:
14


f (x) = L (với L ≠ 0 )
Bước 1: Tính xlim
→a±
g(x) = 0 và xét dấu biểu thức g(x) với x < a hoặc
Bước 2: : Tính xlim
→a±
x> a
f ( x)
Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim
(bảng xét dấu
x→a g( x)
đã nêu ở dạng 3- trường hợp 1 Giới hạn tại một điểm)
Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau:
2x − 3
2x − 3

1/ lim−
2/ lim+
x→1 x − 1
x→1 x − 1
BÀI GIẢI
2x − 3
1/ lim−
x→1 x − 1
 lim( 2x − 3) = 2.1− 3 = −1< 0
 x→1−
Ta có: 
 lim− ( x − 1) = 0; x − 1< 0
∀x < 1
 x→1
2x − 3
= +∞
Vậy lim−
x→1 x − 1
2x − 3
2/ lim+
x→1 x − 1
 lim+ ( 2x − 3) = 2.1− 3 = −1< 0
 x→1
Ta có: 
 lim+ ( x − 1) = 0 va x − 1> 0
∀x > 1
 x→1
2x − 3
= −∞
Vậy lim−

x→1 x − 1
Bài tập tương tự:
Bài tập 7: Tính các giới hạn sau:
2x - 1
x→ 2 x - 2
x2 - 2
3) lim−
x→ 2 x - 2

1) lim+

2x - 1
x→ 2 x - 2
2 x -7
4) lim−
x →1 x - 1
2) lim−

5 ) lim+
x →1

2 x -7
x -1

2.4.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.4.1.Kết quả thực tiễn.
Qua quá trình giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy, ban đầu học
sinh gặp khó khăn nhất định trong việc phân loại và giải những dạng bài tập như
đã nêu. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài
toán từ nhận dạng hàm số: Hàm số dạng cơ bản, hàm số dạng nhân liên hợp …

15


để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà
học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, trong các bước tính tích phân
này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng.
2.4.2.Kết quả thực nghiệm.
Kết quả kiểm tra đánh giá sau khi ôn tập nội dung trên cho lớp 11CB năm học
2016– 2017, hai lớp đối chứng là 11B1 và 11B3 năm học 2017-2018, kết quả
như sau:
Tỉ lệ
Lớp
Sĩ số
Dưới TB
Trên TB
11C2
40
12 (30%)
28 (70%)
11C3
39
10 (26%)
29 (74%)
12B1
38
25 (66%)
13 (34%)
12B3

39

27 (69%)

12 (31%)

C: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1.KẾT LUẬN
Sau khi thực tế vận dụng đề tài “một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp
11 trường THPT Triệu Sơn 6 tự tin giải bài tập giới hạn của hàm số bằng sơ
đồ tư duy”.
Đối với giáo viên và học sinh trường THPT Triệu Sơn 6, tôi rút ra một số
kết luận sau:
*Đối với học sinh:
- Thứ nhất: Việc dạy cho học sinh kỹ năng giải bài tập giới hạn của hàm
số bằng sơ đồ tư duy là việc làm cần thiết và mang lại hiệu quả cao, đa số các
em đều hứng thú chủ động và tích cực học tập.
- Thứ 2: Giúp nâng cao hiệu quả giảng dạy cho bản thân nói riêng và kết
quả giáo dục của nhà trường THPT Triệu Sơn 6 nói chung, góp phần thực hiện
thắng lợi mục tiêu đổi mới giáo dục mà Bộ GD&ĐT đã đề ra.
- Thứ 3: Sáng kiến kinh nghiệm có thể áp dụng rộng rãi cho học sinh khối
11. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm là ở phương pháp đặt vấn đề,
phân tích, hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
*Đối với giáo viên: Để việc giảng dạy học sinh đạt hiệu quả cao thì giáo
viên cần phải có một số kỹ năng sau:
- Kỹ năng soạn thảo hệ thống bài tập.
- Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
Giáo viên phải tâm huyết, nhiệt tình, gương mẫu quan tâm đến học sinh,
giúp đỡ các em để các em không cảm thấy áp lực trong học tập. Luôn tạo ra tình
huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh. Phải thường
xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với

từng đối tượng học sinh.

16


2.KIẾN NGHỊ
Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn phần giới hạn hàm số, bản than tôi
kiến nghị với Ban giám hiệu có kế hoạch mua bổ sung các thiết bị dạy học, trang
bị thêm phòng giáo án điện tử,… Tổ chuyên môn cần tổ chức hội giảng, các
buổi trao đổi về phương pháp giảng dạy, nhằm giúp cho việc giảng dạy của giáo
viên được thuận lợi hơn.
Trong dạy học cần bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, nhấn mạnh kiến
thức trọng tâm, các phương pháp chứng minh phục vụ trong quá trình làm bài
tập. Nắm vững các yếu tố trên sẽ giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được
thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt hơn. Từ đó góp phần nâng
cao hiệu quả giảng dạy.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của bản thân tôi, trong quá trình thực
hiện vẫn còn nhiều thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp của đồng nghiệp để
nội dung đề tài được hoàn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Thị Tâm

17

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO.
1. Trần Đình Cư : Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên đề
giới hạn - NXB Giáo dục.
2. Vũ Tuấn : Bài tập đại số và giải tích 11-NXB GD .
3. Nguyễn Quốc Tuấn :Phương pháp và thủ thuật giải nhanh Giới hạn
Toán 11 - NXB ĐHQG .
4. Tài liệu từ nguồn internet.

18