SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM : Một số kinh nghiệm giúp học sinh tự tin giải bài tập giới hạn của hàm số

Một số kinh nghiệm giúp học sinh tự tin giải bài tập giới hạn của hàm số
A-KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa giới hạn của hàm số:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là
L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn ∈ K và xn ≠ a , ∀n ∈ ¥ * mà lim(xn)=a
đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim  f ( x )  = L .
x →a

2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
 f ( x )  = L , lim  g ( x )  = M thì:
b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: lim


x →a 
x →a 
lim  f ( x ) ± g ( x )  = lim  f ( x )  ± lim  g ( x )  = L ± M
x →a
x →a
x →a
lim  f ( x ) .g ( x )  = lim  f ( x )  .lim  g ( x )  = L .M
x →a
x →a
x →a
f ( x )  L
f ( x ) lim
=
x →a 
lim
=
,M≠0

x →a g x
g ( x )  M
( ) lim

x →a 
lim f ( x ) = lim  f ( x )  = L ; f ( x ) ≥ 0, L ≥ 0
x →a
x →a

c) Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa
điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀x ∈ K , x ≠ a và
lim  g ( x )  = lim  h ( x )  = L ⇒ lim  f ( x )  = L .
x →a

x →a

x →a

2. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều
có lim[f(xn)]= ∞ thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu:
lim  f ( x )  = ∞ .
x →a

b) Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = ∞ đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có
giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu: lim  f ( x )  = L .
x →∞

c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a
∀n ∈ ¥ * , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : lim+  f ( x )  . Nếu

x →a

*

chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a ∀n ∈ ¥ thì ta nói hàm số có giới hạn
bên trái tại a , kí hiệu: lim−  f ( x ) 
x →a

B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN


Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3 trường hợp
tìm giới hạn cơ bản sau:
 f ( x ) 
Một là : Giới hạn của hàm số tại một điểm: lim
x →a 
 f ( x ) 
Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số : xlim
→±∞ 
 f ( x )  , lim−  f ( x ) 
Ba là: Giới hạn một bên của hàm số: xlim
→a+ 
x →a
Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tôi không xét
tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách nhìn vào giá trị mà
x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải)
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất định.Ở đây
tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ đồ tư duy sau:

ĐỀ BÀI
Quan sát
chia trường
hợp
Giới hạn vô cực

Giới hạn tại
một điểm:

Dạng 1:

Dạng 1:Tính
trực tiếp

Dạng 2

Dạng 2:()

Dạng3:

Giới hạn một bên

Dạng 3:()

Dạng:

lim f ( x ) = f (a)
x →a

Sau đây tôi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu trong sơ đồ

tư duy
• KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA

 f ( x ) 
HÀM SỐ: lim
x→ a 

f ( x ) = f ( a)
Dạng 1: lim
x →a
Phương pháp:

f ( x ) = f ( a)
Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x). Kết luận: lim
x →a


Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:

( 2 x + 3)
1/. Lim
x →2
3/. Lim
x→3

x −1
x+2

( x 2 + 5 − 1)
2/. xLim

→−2

.

 2x 2 + 3x +1 
Lim
4/ x→-1  2
÷
 -x + 4x + 2 

BÀI GIẢI

( 2 x + 3) = 2.2 + 3 = 7
1/ Lim
x →2
2 / Lim (
x→
−2

3 / Lim
x →3

x 2 +5 −1) = ( −2) 2 +5 −1 =2

x −1
3 −1
2
=
=
x +2 3 +2 5

 2 x 2 + 3 x + 1  2.( − 1) 2 + 3.( − 1) + 1 0

=
=
=0
4/ xLim
→−1 − x 2 + 4 x + 2  − ( − 1) 2 + 4 ( − 1) + 2
−3



Bài tập tương tự:
Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:
2
+ 2x +1)
1. lim(x
x → -1

x +1
;
x →1 2x - 1

4. lim

f ( x)
g( x)

+ 2 x +1)
2. lim(x

x →1

( 3 - 4x )
3. lim
x →3

2

x 2 + x +1
x →-1 2x 5 + 3

5. lim

0
→  ÷. (ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x). Ta
0
f ( x)
0
thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0. nên lim
lúc
này
có
dạng
 ÷.
x →a g ( x )
0
Phương pháp:
Dạng 2: lim
x →a

Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số và mẫu số
cho (x-a) hoặc (x-a)2.
Chú ý 1:
• Nếu f ( x ) = ax 2 + bx + c có 2 nghiệm x1 , x2 thì ta phân tích
f ( x ) = ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( x − x2 )
• Các hằng đẳng thức đáng nhớ:


A2 − B 2 = ( A − B ) ( A + B )

(
= ( A + B) ( A

A3 − B3 = ( A − B ) A2 + AB + B 2
A3 + B 3

2

− AB + B 2

)
)

Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu
cho các biểu thức liên hợp
Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp
a −1
a +1
a −1
2/ a +1 =

a −1
a−b
3/ a − b =
a+ b
a−b
4/ a + b =
a− b

1/ a − 1 =

5/ 3 a − 1 =
6/ 3 a +1 =

a −1
3

a2 + 3 a + 1
a −1

a2 − 3 a + 1
a−b
7/ 3 a − 3 b =
3 2
a + 3 ab + 3 b2
a+b
8/ 3 a + 3 b =
3 2
a − 3 ab + 3 b 2
3

Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:
 x+3 
1/Lim  2
x→3  x + 2 x − 3 ÷


 x2 + 2x − 3 
2 / Lim  2
x→1 2 x − x − 1 ÷



 x2 + x − 2 
3/ Lim 
÷
2
x→1
 x −1 

( 1+ x)
4 / Lim

4x


5/ Lim 
x→0  9 + x − 3 ÷

7 / Lim
x→1

x→0

6 / Lim
x →2

3

−1

x

2x − 2
x−2

x+2 −2
x+7 −3
Bài giải.

x+3
1
−1
 x+3 
1/ Lim  2
= Lim
=
÷= Lim
4
x→−3  x + 2 x − 3 
x→−3 ( x − 1) ( x + 3 )

x→−3 x − 1


 x2 + 2 x − 3 
( x − 1) ( x + 3) = Lim x + 3 = 4
2 / Lim  2
= Lim
÷
x→1 2 x − x − 1

 x→1 2( x − 1)( x + 1 ) x→1 2( x + 1 ) 3
2
2
 x2 + x − 2 
( x − 1) ( x + 2 ) = Lim x + 2 = 3
3/ Lim 
= Lim
÷
2
x→1
 x − 1  x→1 ( x − 1) ( x + 1) x→1 x + 1 2

( 1+ x)
4 / Lim

3

( 1 + x − 1) ( 1 + x )

−1

2

= Lim
x →0
x
x
2
x( x + 3x + 3)
= Lim
= Lim ( x 2 + 3 x + 3) = 3
x→0
x→0
x
x→0

4x


5/ Lim 
= Lim
x→0  9 + x − 3 ÷
 x→0
= Lim

4x

(

x→0

6 / Lim
x →2

9+ x +3
x

2x − 2
= Lim
x →2
x−2

(

2( x − 2)

= Lim

( x − 2) (

x →2

2x + 2

)

4x

(

2x − 2

( x − 2) (

9+ x +3

9+ x −3

) = Lim 4
x→0

(

)(

= Lim
x →2

(

+ ( 1 + x ) + 1


)(

)

9+ x +3

)

= Lim
x→0

x→1

x→1

(

9+ x +3

9+ x−9

)

9 + x + 3 = 24
2x + 2
2x + 2

)

) = Lim
x →2

2x − 4

( x − 2) (

2x + 2

2
1
=
2x + 2 2

( x + 2 − 2 ) ( x + 2 + 2 ) ( x + 7 + 3)
( x + 7 − 3) ( x + 7 + 3) ( x + 2 + 2 )
( x − 2 ) ( x + 7 + 3)
x+7 +3 6 3
= Lim
= Lim
= =
x+2+2 4 2
( x − 2) ( x + 2 + 2)

7 / Lim

4x

x+2 −2
= Lim
x + 7 − 3 x→1

x→1

Bài tập tương tự:
Bài tập 2:Tính các giới hạn sau:

)

)


1 / Lim
x→3

x 2 + 2x - 15
x-3

2 / Lim
x→-1

8 / Lim
x→0

2x 2 + 3x +1
x2 - 1

x +4 −2
x

x − 2 x −1
9 / Lim
x→1 x 2 −12 x +11

8 x3 −1
3 / Lim
2
x→1 6 x − 5 x +1

2
3
x + 3 ) − 27
(
4/
Lim
x
x→0

2 x −1 − x
x −1

10 / Lim
x→1

x +1 −1
11 / Lim
x→0 3 − 2 x + 9

5/

Lim
x→5

x-5
x− 5

12 / Lim
x→1

2 x + 2 − 3 x +1
x −1

6/

Lim
x→0

1+ 2x −1
2x

13 / Lim
x→1

x +3 −2
x −1

x-3
7 / Lim
2
x→3 x + 2 x −15

15/ Lim
x→
1

14 / Lim
x→6

x3 +1 −1

x2 + x

1
16 / Lim
x→0 x

(

1 + x − 1 −x

x +2 − 2 x
x −1 − 3 − x

22/ Lim
x→2

)

x −2 −2
x −6

23/ Lim
x→3

x +1 − 3x −5
2 x +3 − x +6

24/ Lim
x→−2

x 2 +5 −3
x +2

4 − x 2 −2
9 −x 2 −3
4 x +5 − 3x +5
18/ Lim
x +3 −2
x→
1

 1
3 
25/ Lim 
−
÷
1 − x
÷
x→
1
1 − x3 

2 − x −3
19/ Lim
x→7 x 2 −49

26/ Li m
x→
1

17/ Lim
x→
1

20 / Lim
x→3

x 2 −2 x +6 − x 2 +2 x −6
x 2 −4 x +3

21/ Lim
x→
1

−x 2 +2 x −1
x 2 −x

27/ Lim
x→−2
28/ Lim
x→2

x −1
x +3 −2
2 −x
x +7 −3

3 − 2 x +5
x +2 −2

f ( x)
g( x)

L
→  ÷. (với L ≠ 0 ) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x)
0
f ( x)
L
và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên lim
lúc
này
có
dạng
 ÷.
x →a g ( x )
0
Phương pháp:
Dạng 3: lim
x →a

f ( x ) = L (với L ≠ 0 )
Bước 1: Tính lim
x →a
g( x ) = 0 và xét dấu biểu thức g(x) với x ≠ a
Bước 2: : Tính lim
x →a


Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim
x →a

f ( x)
g( x)

lim f ( x ) = L

lim g( x ) = 0

lim

L>0
L>0
L<0
L<0

g(x) > 0
g(x) < 0
g(x) > 0
g(x) < 0

x →a

f ( x)
x →a g ( x )
+∞
−∞
−∞
+∞

x →a

Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:
1/ lim
x →4

x+2

( x − 4)

2/ lim

2

x →3

x−5

( x − 3)

3x + 1
x →−2 x + 2
(
) ( x 3 + 8)

3/ lim

2

Bài giải
1/ lim

x →4

x+2

( x − 4)

2

Ta có:
 lim ( x + 2 ) = 6 > 0
 x →4

2
2
x − 4 ) = 0 va ( x − 4 ) > 0 (∀x ≠ 4)
(
 lim
 x →4
x+2
Vay lim
= +∞
2
x →4
( x − 4)
2 / lim
x →3

x −5

( x − 3)

2

Ta có:
 lim ( x − 5) = −2 < 0
 x →3

2
2
x − 3) = 0 va ( x − 3) > 0 (∀x ≠ 3)
(
 lim
 x →3
x−5
Vay lim
= −∞
2
x →4
( x − 3)
3x + 1
x →−2 x + 2
(
) x3 + 8

3/ lim
= lim

x →−2

(

3x + 1

)

( x + 2) ( x2 − 2x + 4)
2

3x + 1
x →−2 x + 2
(
) ( x + 2) x2 − 2x + 4

= lim

(

)


Ta có:
 lim ( 3 x + 1) = −5 < 0
 x →−2

2
2
x + 2 ) x 2 − 2 x + 4 = 0 va ( x + 2 ) x 2 − 2 x + 4 > 0 (∀x ≠ −2)
(
 lim
 x →−2

3x + 1
Vay
lim
= −∞
x →−2 x + 2
(
) x3 + 8

(

)

(

(

)

)

Bài tập tương tự:
Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:
1/ lim
x →2

x+2

( x − 2)

3/ lim

2 / lim

2

x →−2

2x + 1

x →−2

( x + 2)

x3 + 1

( x + 2)

2

x +1
x →−3 x + 3
(
) x2 + 4x + 3

4 / lim

2

(

)

• KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ:

lim  f ( x ) 
x→ ∞

f ( x)
∞
→  ÷
g( x)
∞
Phương pháp:
Dạng 1: lim
x →∞

Chia tử và mẫu cho xk với k là lũy thừa cao nhất của tử hoặc mẫu. Chú ý rằng nếu
x → +∞ thì coi như x>0, nếu x → −∞ thì coi như x < 0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi
căn bậc chẵn
Chú ý các giới hạn cơ bản sau:
1/ lim x k = +∞
2 / lim x 2 k = +∞
x →+∞

3/ lim x 2 k +1 = −∞
x →−∞

x →−∞

1

=0
x →±∞ x k

4 / Lim

Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau:
1/.

2x +1
x→−∞ x − 2
Lim

x −1
x→+∞ x 2 − 1

2/. Lim


x2 − 1
x +1

3/. Lim

x→+∞

4/. Lim

x→−∞

x2 − 1

x +1

BÀI GIẢI

1

1
x2 + ÷
2+
2x +1
x
x = 2 =2
= Lim 
= Lim
1/. Lim
x→−∞ x − 2
x→−∞ 
2 1
2  x→−∞
1−
x 1 − ÷
x
x

1 1 
1 1
x2  − 2 ÷
− 2
x −1
x x 


x
x = 0 =0
= Lim
= Lim
2/. xLim
2
→+∞ x − 1 x→+∞ 2 
1
1  x→+∞
1− 2 1
x 1 − 2 ÷
x
 x 
x −1
= Lim
x→+∞
x +1
2

3/ Lim

x→+∞

.

1 
1 



x 2 1 − 2 ÷
x 1 − 2 ÷
 x 
 x 
= Lim
x→+∞
x +1
 1
x 1 + ÷
x


1

x 1 − 2 ÷
 x 
= Lim
= Lim
x→+∞
x→+∞
 1
x 1 + ÷
x

x −1
= Lim
x→−∞
x +1
2

4 / Lim

x→−∞

1 

1 − 2 ÷
 x  1
= =1
1
1
1+
x

1 
1 


x 2 1 − 2 ÷
x 1 − 2 ÷
 x 
 x 
= Lim
x→−∞
x +1
 1
x 1 + ÷
x


1 
1 


− x 1 − 2 ÷
− 1 − 2 ÷
 x 
 x  −1
= Lim
= Lim
=
= −1
x→−∞
x→−∞
1
 1
1
1+
x 1 + ÷
x
x

Bài tập tương tự:
Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:


2x − 3
1/ Lim
x →+∞ 1 − 3 x
2 x 2 + 3x + 1

3/ Lim 2
x →−∞ 3 x − x + 5
5

x + 2x2 + 1
5/ Lim
x →+∞
x3 + 1
x2 + 2x + 3

7/ Lim

3

x →−∞

9/ Lim

x →−∞

x3 − x + 1
14 − x

x − x2 − 1

11/ Lim

x →−∞

2x + 3

2x2 + 3

2x3 − x2 + 1
2 / Lim 6
x →−∞ 3 x + 2 x 4 + 1
( x − 2 ) ( 2 x + 1) ( 1 − 4 x )
4 / Lim
3
x →+∞
( 3x + 4 )
x 2 + 3x − 8
6 / Lim 4
x →−∞ x − 6 x + 1
4x2 + 1
8/ Lim
x →−∞ 3 x − 1
3x − 1

10 / Lim

x2 − 1 + 2x

x →−∞

12 / Lim

x →+∞

(

x4 + x2 + 1
x 3 + 1 ( x − 1)

)