Phát huy tính chủ động, sáng tạo của học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Bài toán tính giới hạn của một dãy số là một bài toán khó đối với học
sinh trung học phổ thông nói chung và học sinh khối 11 nói riêng. Bài toán
này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30
tháng 4, đề thi học sinh giỏi quốc gia. Liên quan đến dạng toán này đã có nhiều
cuốn sách giáo khoa, sách tham khảo đề cập đến, tuy nhiên những cuốn sách
đề cập kỹ về cơ sở lý thuyết để dẫn đến những phương pháp giải cụ thể phù
hợp với kiến thức phổ thông là chưa nhiều. Đôi khi chỉ đưa ra một công
thức, một quy trình giải một cách áp đặt và chưa logic. Do không có đủ cơ
sở lý thuyết nên khi áp dụng các kết quả đó học sinh thường thắc mắc “tại
sao lại có được như vậy?” hay “Sao lại có kết quả đó?”...; Cũng chính vì
không có đủ cơ sở lý thuyết nên các em học sinh rất khó nhớ công thức,
không tìm được mối liên hệ giữa các bài toán, không tự xây dựng được một
lớp các bài toán cùng dạng và quy trình để giải các bài toán đó; Điều này
làm ảnh hưởng đến khả năng tìm tòi sáng tạo toán của học sinh – một yếu tố
rất quan trọng đối với người học toán.
Để tính giới hạn của một dãy số ta có nhiều phương pháp, trong đó có
một phương pháp rất cơ bản là tìm số hạng tổng quát của một dãy số; để xác
định số hạng tổng quát của một dãy số ta lại có nhiều phương pháp. Vì lí do
về thời lượng nên trong SKKN này tôi chỉ xin đề cập phương pháp xác định
SHTQ của một số dạng dãy số có công thức truy hồi dạng đặc biệt bằng cách
sử dụng CSC-CSN.Vì vậy tôi chọn sáng kiến kinh nghiệmlà:“Phát huy tính
chủ động, sáng tạo của học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của
dãy số có công thức truy hồi đặc biệt bằng cách sử dụng cấp số cộng-cấp số
nhân”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trong phạm vi đề tài này tôi không có tham vọng đưa ra một hệ thống
kiến thức hoàn toàn mới, một kết quả mới về mặt toán học; ở đây tôi chỉ
trình bày những kết quả mà trong quá trình dạy học về cấp số cộng, cấp số
nhân, dãy số và giới hạn tôi đã tích luỹ, tìm tòi; nhằm hướng tới mục đích

giúp các em học sinh chủ động, sáng tạo trong việc xác định SHTQ của dãy
số qua đó tính được giới hạn của dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi. Trên
1


cơ sở từ một số bài toán điển hình tôi sẽ đưa ra phương pháp giải cho bài
toán đó và một nhóm các bài toán tương tự; đồng thời giúp học sinh khái
quát hóa để được các bài toán mới và đưa ra phương pháp giải tương ứng,
qua đó giúp rèn luyện, phát triển tư duy giải toán cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài này sẽ nghiên cứu các dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt mà có thể
dùng tính chất của CSC-CSN để tìm được số hạng tổng quát và được áp dụng vào
học sinh lớp 11A1 trường THPT Vĩnh Lộc - Vĩnh Lộc - Thanh Hoá.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu các tài liệu liên quan.
+ Thực hành qua các bài dạy.
+ Khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
+ Thống kê, xử lý số liệu.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Cấp số cộng
Định nghĩa: Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn)
thoả mãn:

un+1 = un + d n ∈ N *

(

) [1], d là số thực không đổi gọi là “công sai”.

Tính chất:
•
•

Số hạng tổng quát của cấp số cộng:

un = u1 + ( n − 1) d

[1].

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng:

n
n
= ( u1 + un )
=

2
u
+
n
−
1
d

(
)
1



S n = u1 + u2 + ... + un 2
2

[1].
2


2.1.2. Cấp số nhân
Định nghĩa:
Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn:
số không đổi gọi là “công bội ”[1].

un +1 = un .q

(

n∈ N*

),q là

Tính chất:
•

•

Số hạng tổng quát:

un = u1.q n −1

[1].

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

S n = u1 + u2 + ... + un

= u1.

qn −1
q −1

≠
(q 1)[1].

(nếu q = 1 thì hiển nhiên S = n.u1)
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Khi dạy chủ đề dãy số và giới hạn về dãy số ta bắt gặp một số bài toán trong
sách giáo khoa lớp 11 và một số đề thi học sinh giỏi như sau:

Bài tập 1.

Cho dãy số (un) xác định như sau:

vn = un −
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi
b) Tính limun[1].

Bài tập 2. Cho dãy số (
Tính lim

un

un

) xác định bởi

15
4

u1 = 10


1
un+1 = 5 un + 3, ∀n ≥ 1

là một cấp số nhân.

u1 = 2

un+1 = 2 + un , ∀n ≥ 1

[2].
3


Sau khi nghiên cứu Sách giáo khoa và giải bài toán này ta rút ra một số nhận
xét sau đây:
•

Đây là bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi, học sinh

thường lúng túng trong việc tìm ra cách giải cho bài toán.
•

Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu giải câu b) thì bài toán trở nên
rất khó đối với học sinh. Việc đề bài yêu cầu thêm câu a) là một gợi ý giúp học sinh
có thể xác định hướng giải quyết cho bài toán. Cụ thể có thể xác định SHTQ của
(u n )
dãy số
nhờ vào việc tìm công thức tổng quát của một CSC-CSN qua đó tìm
giới hạn của dãy số.
•

Với các bài toán được đề cập trong các kỳ thi, đặc biệt là các kỳ thi chọn học sinh
giỏi thì việc gợi mở bằng cách cho câu a) không được đưa ra. Vấn đề là học sinh
biết cách nhận dạng, phân tích bài toán để có hướng giải quyết. Đây là một vấn đề
không dễ đối với học sinh. Vì vậy giáo viên cần định hướng giúp cho học sinh chủ
động và sáng tạo trong việc giải quyết vấn đề này.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi
đã tổng hợp và đưa ra một số dạng dãy số có công thức truy hồi đặc biệt và xây
dựng phương pháp xác định SHTQ của dãy. Trong khuôn khổ của SKKN này, tôi
xin đưa ra một số dạng sau đây:

Ví dụ 1.1. Cho dãy số (un) xác định như sau
SHTQ của dãy số[2].

u1 = 1
∀n ∈ N *

un+1 = un + 2

. Hãy xác định

Nhận xét:Để giải quyết bài toán này học sinh có thể giải theo 2 cách như sau:
Cách 1: (Dùng phương pháp quy nạp)
Từ giả thiết ta có: u1 = 1 = 1+0.2 =1+(1-1).2
u2 = 3 = 1+1.2 =1+(2-1).2
u3 =5 = 1+2.2 =1+(3-1).2
4


...
Dự đoán un = 1+(n-1).2
Ta chứng minh kết qủa đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Cách 2:(Sử dụng định nghĩa về cấp số cộng)
Từ giả thiết ta có: un+1 – un = 2

∀ ∈ *
n N

Nên theo định nghĩa cấp số cộng thì (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, công sai
d=2. Suy ra un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2. Vậy un = -1+2n

Ví dụ 1.2. Cho dãy số (un) xác định bởi:

u1 = 10


1
un+1 = 5 un + 3, ∀n ≥ 1

vn = un −
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi
b) Tính limun[1].

15
4

.

là một cấp số nhân.

Lời giải:
vn +1 = un +1 −
a) Ta có

15 1
15 1
15 3 1
= un + 3 − = (vn + ) − = vn
4 5
4 5
4
4 5

Nên (vn) là một CSN có công bội

1
q=
5

và v1
n −3

b) Từ câu a) suy ra

15 1  1 
un = vn + = . ÷
4 4 5

+

25
=
4
15
4

.
n −3

vn = v1.q

n −1

. Do đó

lim un =
. Do đó

15
4

1 1
= . ÷
4 5

.

.

Nhận xét:
1. Câu hỏi mà học sinh đặt ra là tại sao lại nghĩ ra được phép đổi biến

5


vn = un −

15
4

để dãy (vn) là một CSN? Từđó giáo viên gợi ý hướng giải là ta cần tìm

số b sao cho

1
1
1
1

15
un+1 − b = (un − b) ⇒ un+1 = b − b + un = un + 3 ⇒ b =
5
5
5
5
4

vn = un −
Do vậy nếu đặt

15
4

2. Ngoài ra có thể đặt

thì

1
vn +1 = vn , ∀n ≥ 1
5

vn = 5n.un , ∀n ≥ 1

nên (vn) là một cấp số nhân.

, khi đó ta có

vn+1 − vn = 3.5n +1 , ∀n ≥ 1
n −3

Suy ra

15 n
vn 15 5n − 1 35 1  1 
vn = (5 − 1) + 35 ⇒ un = n = . n + n =  ÷
4
5
4 5
5
45

+

.

15
4

3. Từ bài toán trên giáo viên dẫn dắt, gợi ý cho học sinh đến một vấn đề mới:
"đềxuất bài toán tổng quát hơn cùng với quy trình để giải bài toán đó"
Bình luận: Thực chất các bài toán dạng này đều được giải quyết triệt để nhờ lý
thuyết về phương trình sai phân tuyến tính, tuy nhiên đối với đại đa số học sinh
trung học phổ thông thì các kiến thức đó là quá tầm. Trong phạm vi SKKN này tôi
chỉ đưa ra các hoạt động toán học nhằm phát triển tư duy cho học sinh bằng cách
giúp học sinh xây dựng các bài toán và cách giải các bài toán đó bằng các kiến thức
phổ thông.
Ví dụ 1.3.Cho dãy số

( un )

[ 1]
định SHTQ của dãy số

được xác định bởi:

u1 = −2, un = 3un−1 − 1, ∀n ≥ 2

. Hãy xác

.

Lời giải:
un

Trong bài toán này chúng ta gặp khó khăn vì dãy ( ) không phải là CSC hay CSN!
un

Ta thấy dãy ( ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng số -1 ở VP. Ta tìm cách làm
mất -1 và đưa dãy số về CSN.
6


Ta có
un −

3 1
−1 = − +
2 2

nên viết công thức truy hồi của dãy như sau:

1
3
1
= 3un −1 − = 3(un −1 − )
2
2
2
vn = u n −

Đặt

1
5
⇒ v1 = −
2
2

5
⇒ vn = v1q n −1 = − .3n −1
2

và

(1)
vn = 3vn −1 ∀n ≥ 2.
un = vn +

.Vậy

(vn )

Dãy

là CSN công bội q=3

1
5
1
= − .3n −1 +         ∀n = 1, 2,...,...
2
2
2

Nhận xét: Mấu chốt ở cách làm trên là ta phân tích

3 1
−1 = − +
2 2

để chuyển công

( vn )

thức truy hồi của dãy về (1), từ đó ta đặt dãy phụ để chuyển về dãy
là 1 CSN .
Tuy nhiên việc làm trên có vẻ không tự nhiên lắm ! Làm thế nào ta biết phân tích
3 1
−1 = − +

2 2

? Ta có thể làm như sau:Ta phân tích

1
−1 = k − 3k ⇒ k = .
2

Với cách làm này ta xác định được SHTQ của dãy
Thật vậy:
un

*Nếu a=1 thì dãy ( ) là CSC có công sai d=b nên
≠

b=

*Nếu a 1 ta viết
un +

sau:

ab
b
−
a −1 a −1

b
b
= a (un−1 +

)
a −1
a −1

un = u1a n −1 + b

u1 = x0
; ∀n ≥ 2

(un ) un = aun −1 + b

:

un u1 + ( n − 1)b

=

.

. Khi đó công thức truy hồi của dãy được viết như
un +

, từ đây ta có được :

b
b
= a n −1 (u1 +
)
a −1
a −1

a n −1 − 1
.
a −1

Hay
Vậy ta có kết quả sau:

7


un u1 = x0 , un = aun−1 + b     ∀n ≥ 2 ( a, b ≠ 0

Dạng 1:Dãy số ( ):

là các hằng số) có SHTQ là:

u1 + (n − 1)b                   khi    a = 1

un = 
a n −1 − 1
n −1
        khi     a ≠ 1
u1.a + b
a −1


un

Ví dụ 1.4.Xácđịnh SHTQ của dãy ( ) được xác định:

u1 = 2; un = 2un −1 + 3n − 1, n ≥ 2

[ 3]
Lời giải:
Để tìm SHTQ của dãy số ta tìm cách làm mất 3n-1 để chuyển về dãy số là
một CSN. Muốn làm vậy ta viết:

3n − 1 = −3n − 5 + 2[3(n − 1) + 5] (2).

truy hồi của dãy được viết như sau:
Đặt

vn = un + 3n + 5,

ta có

Vậy SHTQ của dãy
Nhận xét :

v1 = 10

và

Khi đó công thức

un + 3n + 5 = 2[un + 3( n − 1) + 5].

vn = 2vn−1 , ∀n ≥ 2 ⇒ vn = v1 2n −1 = 10.2n −1

(un ) un = vn − 3n − 5 = 5.2 n − 3n − 5.∀n = 1, 2, 3,...

:

1) Để phân tích được đẳng thức (2), ta làm như sau:
3n − 1 = an + b − 2[a( n − 1) + b].

cho n=1;n=2 ta có

a − b = 2
a = −3
⇔

 −b = 5
b = −5

u1 = b
∀n ≥ 2

(un ) un = aun −1 + f (n)

2) Trong trường hợp tổng quát dãy
:
một đa thức bậc k theo n , ta xác định SHTQ như sau:
phân tích

f ( n)

=

g ( n)

-a

g ( n − 1)

(3)Với

g ( n)

, trong đó

f ( n)

là

cũng là 1 đa thức theo n . Khi đó ta có:

un − g (n) = a[un −1 − g (n − 1)]=...=a n −1[u1 − g (1)]

8


Vậy ta có:

un = [u1 − g (1)]a n −1 + g (n).

Vấn đề còn lại ta xác định
Ta thấy:
*Nếu a=1 thì hàm số

g ( n).

như thế nào?

g (n) a.g (n − 1)

-

là 1 đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của

và không phụ thuộc vào hệ số tự do của
(3) ta chọn
g (n)

g ( n)

g ( n)

, mà

f ( n)

g ( n)

một bậc

là đa thức bậc k nên để có

là đa thức bậc k+1, có hệ số tự do bằng 0 và khi đó để xác định

thì trong đẳng thức (3) ta cho k+1 giá trị của n bất kì ta được hệ k+1 phương

trình, giải hệ này ta tìm được các hệ số của

g ( n)

g ( n) a.g ( n − 1)

≠

g ( n)

g ( n)

*Nếu a 1 thì
là 1 đa thức cùng bậc với
nên ta chọn
là đa
thức bậc k và trong đẳng thức (3) ta cho k+1 giá trị của n thì ta sẽ xác định được
g ( n)

.Vậy ta có kết quả sau:

Dạng 2:Để xác địnhSHTQ của dãy
đó

f (n)

được xác định bởi

trong

là 1 đa thức bậc k theo n; a là hằng số. Ta làm như sau:

Ta phân tích:
vn = un − g (n)

f ( n)

=

g (n) a.g (n − 1)

-

ta có được:

(Lưu ý nếu a=1, ta chọn
≠

(un )

u1 = x0

un = aun−1 + f (n)

nếu a 1 ta chọn

g (n)

với

un = [u1 − g (1)]a
g ( n)

g ( n)
n −1

là 1 đa thức theo n.Khi đó, ta đặt

+ g ( n).

là đa thức bậc k+1 có hệ số tự do bằng không, còn

là đa thức bậc k)

Ví dụ 1.5. Cho dãy số
Lời giải: Ta phân tích

u1 = 2
(un ) : 
.
un = un −1 + 2n + 1

Tìm SHTQ của dãy

(un ) [ 3]

.

2n + 1 = g (n) − g (n − 1) = a[n 2 − ( n − 1) 2 ]+b[n − (n − 1)]

9


(Trong đó

g ( n) = an 2 + bn

− a + b = 1 a = 1
⇔
⇒ g ( n) = n 2 + 2n

⇒ un = n 2 + 2 n + 1
a + b = 3
b = 2

Cho: n=0,n=1 ta có hệ

Ví dụ 1.6. Cho dãy số

Tìm SHTQ của dãy

).

u1 = 2
(u n ) : 
, n ∈ N*
n

u
=
4
u
+
3.4
 n +1
n

( un )

lim

và tính

2n 2 + 3n + 1
[ 4]
un

(Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2018-2019 của Sở GD&ĐT Thanh Hóa)

Lời giải: Trường hợp này ta phân tích

4n = n.4n − 4( n − 1)4n −1

⇒ un − 3n.4n = 4(un −1 − 3(n − 1).4 n −1 ) = ... = 4 n−1 (u1 − 3.4) ⇒ un = 3(n − 1)4n + 2.4n−1.

lim

Đến đây dễ dàng tìm được giới hạn

Nhận xét

: Trong trường hợp tổng quát dãy

α n = k .α n − ak .α n −1

Suy ra

2n 2 + 3n + 1
un

với

(a ≠ α )

un = a n−1 (u1 − bk ) + kb.α n

.Khi đó:

(un ) : un = a.un −1 + b.α n

, ta phân tích

un − kb.α n = a (un −1 − kb.α n −1 ) = ... = a n −1 (u1 − bk )

Trường hợp

α =a

, ta phân tích

n
n −1
n −1
α n = n.α n − α (n − 1)α n−1 ⇒ un − bn.α = α (un−1 − b( n − 1).α ) = ... = α (u1 − bα )

⇒ un = b( n − 1)α n + u1α n −1.

Vậy ta có kết quả sau:

Dạng 3: Để xác định SHTQ của dãy

u1
(un ) : 
∀n ≥ 2
n −1
un = a.un−1 + b.α

, ta làm như sau:
10


•
•

Nếu
Nếu

a = α ⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n−1.

a ≠ α,

ta phân tích
k=

Ta tìm được:

α
α −a

α n = k .α n − ak .α n −1

. Khi đó:

un = a n −1 (u1 − bk ) + bk .α n

.

Ví dụ 1.7.Tìm SHTQ của dãy

u1 = −2
(u n ) : 
n
n
un = 5un −1 + 2.3 − 6.7 + 12

;n=2,3,…

[ 3]

3

k = − 2

l = 7
 2

n
n
n −1

3 = k .3 − 5k .3
 n
n
n −1

7 = l.7 − 5.7

Lời giải:Ta có
cho n=1, ta được
Hơn nữa 12=-3+5.3 nên công thức truy hồi của dãy được viết lại như sau:
un + 3.3n + 21.7 n + 3 = 5(un −1 + 3.3n −1 + 21.7 n −1 + 3) = ... = 5n−1 (u1 + 9 + 147 + 3)

Vậy

un = 157.5n −1 − 3n +1 − 3.7 n +1 − 3

Ví dụ 1.8.Tìm SHTQ của dãy

Lời giải: Ta phân tích:

3n = 3.3n − 2.3.3n−1

 n = −n − 2 + [( n − 1) + 2]

Vậy

n −1

un − 3.3 − n − 2 = 2[un −1 − 3.3
n

như sau:

u1 = 1
(un ) : 
n
un = 2un −1 + 3 − n; ∀n ≥ 2 [ 3]

− ( n − 1) − 2] = ... = 2 n−1 (u1 − 12)

un = 3n +1 + n + 2 − 11.2 n −1

Dạng 4: Để xác định SHTQ của dãy
f (n)

nên ta viết công thức truy hồi của dãy

u1 = p

(un ) : 
n
un = a.un −1 + b.α + f ( n) ∀n ≥ 2

, trong đó

là đa thức bậc k của n.
11


Nhận xét:Đây là một sự kết hợp của dạng 2 và 3 nên ta phân tích từ

αn

và

f ( n)

như

cách phân tích ở dạng 2 và dạng 3.
Ví dụ 1.9. Xác định SHTQ của dãy

( un )

u0 = −1, u1 = 3, un = 5un −1 − 6un − 2 ; ∀n ≥ 2

:
(un )

Lời giải:Để xác định SHTQ cả dãy số trên, ta thay thế dãy
bằng một dãy số
khác là một CSN. Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau:
un − x1.un −1 = x2 (un−1 − x1un − 2 )

của phương trình :

, do đó ta phải chọn

x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇔ x = 2; x = 3

x + x = 5
x1 , x2 :  1 2
 x1 x2 = 6

. Ta chọn

hay

x1 = 2; x2 = 3

x1 , x2

là nghiệm

. Khi đó :

un − 2un −1 = 3(un −1 − 2un − 2 ) = ... = 3n −1 (u1 − 2u0 ) = 5.3n −1
⇒ un = 2un −1 + 5.3n −1.

Sử dụng kết quả dạng 3, ta tìm được:
u = 2; u2 = 5
(un ) :  1
;n ∈ N*
un + 2 = 5un +1 − 6un

Ví dụ 1.10. Cho dãy số

Tìm SHTQ của dãy

un = 5.3n − 6.2 n

( un )

lim

và tính

un
3n [ 4]

(Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2017-2018 của Sở GD&ĐT Thanh Hóa)
Lời giải: Từ giả thiết ta có

Suy ra dãy

un + 2 − 2un +1 = 3 ( un +1 − 2un ) , ∀n ≥ 1

vn +1 = un +1 − 2un

⇒ vn +1 = 3n −1.v2 = 3n−1 ( 5 − 2.2 ) = 3n−1

Cũng từ giả thiết ta có

là một cấp số nhân có công bội

q=3

(1)

un + 2 − 3un +1 = 2 ( un +1 − 2un ) , ∀n ≥ 1

12


w n +1 = un +1 − 3un

Suy ra dãy

là một cấp số nhân có công bội

⇒ w n +1 = 2n −1.w 2 = 2n −1 ( 5 − 3.2 ) = −2n −1

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

n −1
un +1 − 2un = 3
⇒

⇒ un = 3n −1 + 2 n −1
n −1
un +1 − 3un = −2

Nhận xét: Tương tự với cách làm trên ta xác định SHTQ của dãy

định bởi:
a 2 − 4b ≥ 0

u0 ; u1

un − a.un −1 + b.un − 2  , ∀n ≥ 2

x 2 - ax + b = 0

un − x1.un −1 = x2 (un −1 − x1.un − 2 ) = ... = x2n−1 (u1 − x1u0 ).

Khi đó:
có các trường hợp sau:
x1 ≠ x2

un =

thì

nghiệm của hệ:
•

Nếu

được xác

, trong đó a,b là các số thực cho trước và

Gọi
là 2 nghiệm của phương trình:
phương trình đặc trưng của dãy)

Nếu

(un )

như sau:

x1 , x2

•

q=2

x1 = x2

thì

nghiệm của hệ:

x2 .x0 − u1 n u1 − x.u0 n
x1 +
x2
x2 − x1

y−x

.Hay

(phương trình này được gọi là

Sử dụng kết quả của dạng 3, ta

un = k .x1n + l .x2n

, trong đó k,l là

 k + l = u0

 x1.k + x2 .l = u1
au 
u a
un = α n =1  0 + (u1 − 0 )n 
2 
 2

, hay

un = (kn + l )α n −1

, trong đó k, l là

l = α .u0

k + l = u1

Vậy ta có kết quả sau:
13


Dạng 5: Để xác định SHTQ của dãy
a − 4b ≥ 0

u0 ; u1
(u n ) : 
un + a.un −1 + b.un −2 = 0 ∀n ≥ 2

, trong đó a,b,c

2

là các số thực khác không;
Gọi
•

•

x1 , x2

Nếu

Nếu

là 2 nghiệm của phương trình đặc trưng:

x1 ≠ x2

thì

x1 = x2 = α

un = k .x + l .x
n
1

thì

un

SHTQ của dãy ( )
Lời giải:
Phương trình

Vậy

(

[ 3]

(un )

. Vì

1
2+ 5

2 

là nghiệm của hệ:

n −1

, trong đó

k,l

được xác định bởi:

có 2 nghiệm

u0 = 1; u1 = 2

) + ( 2 − 5)
n

, trong đó

k,l

x 2 -ax+b=0

 k + l = u0

 x1.k + x2 .l = u1

là nghiệm của hệ:

l = α .u0

k + l = u1

u0 = 1; u1 = 2
;

un +1 = 4un + un −1 ∀n ≥ 1

.

.Hãy xác định

.

x2 − 4x − 1 = 0

n
n
⇒ un = k .x1 + l.x2

n
2

un = (kn + l )α

Ví dụ 1.11. Cho dãy số

un =

ta làm như sau:

n




x1 = 2 + 5; x2 = 2 − 5.

nên ta có hệ :


k + l = 1
1

⇔k =l = .
(2
+
5)
k
+
(2
−
5)
l
=
2



2

.

Ví dụ 1.12. Xác định SHTQ của dãy:

u0 = 1; u1 = 3
(u n ) : 
;
u
−
4
u
+
4
u
=
0
n
n
−
1
n
−
2

∀n ≥ 2 [ 3]

14

Lời giải:
Phương trình đặc trưng:

Vì

u0 = 1; u1 = 3

nên ta có hệ:

Ví dụ 1.13. Cho dãy
dãy

x2 − 4 x + 4 = 0

có nghiệm kép x=2 nên

l = 2
k = 1
⇔

 k + l = 3 l = 2

.Vậy

un = ( kn + l ) 2n −1

un = ( n + 2 ) 2n −1

u0 = −1; u1 = 3

(un ) : 
2
un − 5un −1 + 6un −2 = 2n + 2n + 1 ∀n ≥ 2

.

. Xác định SHTQ của

(un ) [ 3]

.

Lời giải:
Với cách làm tương tự như ví dụ 5, ta phân tích:
2
2n 2 + 2n + 1 = ( kn 2 + ln + t ) − 5  k ( n − 1) + l ( n − 1) + t  + 6  k ( n − 2) 2 + l (n − 2) + t 



Ở (5) cho n=0;n=1;n=2 ta có hệ:
Đặt

19k − 7l + 2t = 1
k = 1


7 k − 5l + 2t = 5 ⇔ l = 8
− k − 3l + 2t = 13 t = 19



vn = un − n 2 − 8n − 19 ⇒ v0 = −20; v1 = −25

⇒ vn = α .3 + β .2 .
n

n

Ta có hệ

(1)

và

vn − 5vn−1 + 6vn− 2 = 0

α + β = −20
α = 15
⇔

3α + 2 β = −25  β = −35

⇒ vn = 15.3n − 35.2 n ⇒ un = 15.3n − 35.2 n + n 2 + 8n + 19

Nhận xét : Để xác định SHTQ của dãy số
đó
•

f (n )

là đa thức bậc k theo n và

u0 ; u1

(un ) un +1 + aun + bun−1 = f (n) ∀n ≥ 2

:

a 2 − 4b ≥ 0

) ta làm như sau:
vn = un − g (n)

f (n) = g (n) + ag (n − 1) + bg (n − 2)

Ta phân tích

(trong

(2) rồi đặt
15


v0 = u0 − g (0); v1 = u1 − g (1)
(vn ) : 
vn + aun −1 + bun −2 = 0    ∀n ≥ 2

Ta có được dãy số

.Đây là dãy số mà ta đã xét ở dạng

vn ⇒ un

5. Do đó ta sẽ xác định được SHTQ của
•

g ( n)

Vấn đề còn lại là ta xác định

như thế nào để có (2)?

f ( n)

Vì

g (n) + ag ( n − 1) + bg (n − 2)

g ( n)

là đa thức bậc k nên ta phải chọn

sao cho

là

k +1

một đa thức bậc k theo n.Khi đó ta chỉ cần thay

giá trị bất kì của n vào (2) ta

f ( n)

sẽ xác định được

.

g (n) = am n m + am−1n m−1 + ... + a1n + a0 (am ≠ 0)

Giả sử

là đa thức bậc m. Khi đó hệ số của

và

 − ( a + 2b ) m.am + ( 1 + a + b ) am −1 

am .(1 + a + b)

x m −1

xm

trong VP là

và

Do đó:
i)

1+ a + b ≠ 0

x 2 + ax + b = 0

Nếu PT:

(3) có hai nghiệm phân biệt khác 1 thì

nên VP

(2) là một đa thức bậc m.
ii )

x =1 ⇒1+ a + b = 0

Nếu PT (3) có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm

và

− ( a + 2b ) m.am + ( 1 + a + b ) am −1 = − ( a + 2b ) .m.am ≠ 0

m −1

nên VP (2) là một đa thức bậc
x = 1 ⇒ a = −2; b = 1

iii )

Nếu PT (3) có nghiệm kép

nên VP (2) là một đa thức bậc

m−2

.
g ( n)

Vậy để chọn

ta cần chú ý như sau:
g ( n)

+) Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, thì

f ( n)

là một đa thức cùng bậc với
16


+)Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn
g (n) = n.h( n)

h( n)

trong đó

f ( n)

là đa thức cùng bậc với

+)Nếu (1) có nghiệm kép

.

g (n) = n 2 .h(n)

x =1

thì ta chọn

h( n)

trong đó

là đa thức

f ( n)

cùng bậc với

.
u0 ; u1
(un ) : 
un + a.un −1 + b.un − 2 = f (n) ∀n ≥ 2

Dạng 6: Để tìm SHTQ của dãy
n

đa thức theo

và

•

là

) ta làm như sau:
g ( n) = ak n k + ... + a1k + a0

g (n)

Xét

(trong đó

b 2 − 4ac ≥ 0

k

bậc

f ( n)

là một đa thức bậc k:
x 2 + ax + b = 0

Nếu phương trình :

(1) có 2 nghiệm phân biệt, ta phân tích

vn = un − g (n)

f (n) = g (n) + ag (n − 1) + bg (n − 2)

rồi đặt
•

x =1

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm

, ta phân tích

vn = un − n.g (n)

f ( n) = n.g (n) + a (n − 1) g ( n − 1) + b(n − 2) g ( n − 2)

rồi đặt
•

x =1

Nếu (1) có nghiệm kép

, ta phân tích
vn = un − n 2 .g (n)

f (n) = n 2 .g (n) + a (n − 1) 2 g (n − 1) + b(n − 2) 2 g (n − 2)

rồi đặt

u0 = 1; u1 = 4
(un ) : 
un − 3un−1 + 2un − 2 = 2n + 1 ∀n ≥ 2 [ 3]

Ví dụ 1.14. Xác định SHTQ của dãy
Lời giải:
x = 1; x = 2

x 2 − 3x + 2 = 0

Vì phương trình

có 2 nghiệm

nên ta phân tích

17


2n + 1 = n ( kn + l ) − 3 ( n − 1)  k ( n − 1) + l  + 2 ( n − 2 )  k [ n − 2] + l 

n = 0; n = 1

, cho
5k − l = 1
 k = −1
⇔

3k − l = 3 l = −6

vn = un + n ( n + 6 ) ⇒ v0 = 1; v1 = 11

Đặt

vn − 3vn −1 + 2vn − 2 = 0

và

α + β = 1
α = 10
α, β : 
⇔
 2α + β = 11  β = −9

⇒ vn = α .2 + β .1
n

ta có hệ:

n

với
⇒ vn = 10.2 − 9 ⇒ un = 5.2n +1 − n 2 − 6n − 9 ∀n = 0,1, 2,...
n


u0 = −1; u1 = 3
(un ) : 
;
n

u
−
4
u
+
3
u
=
5.2

n −1
n−2
 n
∀n ≥ 2 [ 3]

Ví dụ 1.15. Tìm SHTQ của dãy số
Lời giải: Ta phân tích
n=2

Cho

2n = a.2n − 4a.2 n−1 + 3a.2 n− 2

.
vn = un + 5.4.2n ⇒ v0 = 19; v1 = 43

4 = 4a − 8a + 3 ⇔ a = −4

ta có

Đặt

vn − 4vn −1 + 3vn− 2 = 0

x = 1; x = 3

x2 − 4 x + 3 = 0

Vì phương trình

có hai nghiệm

nên

α + β = 19
α = 12
α, β : 
⇔
⇒ vn = 12.3n + 7
3
α
+
β
=
43
β
=
7



vn = α .3 + β .1
n

và

n

Với
un = 4.3n +1 − 5.2n + 2 + 7 ∀n = 1, 2,...

Vậy
(un )

Nhận xét: Với ý tưởng cách giải trên, ta tìm SHTQ của dãy số

được xác định

bởi:
u0 ; u1
(un ) : 
n
un + a.un−1 + b.un − 2 = c.α ∀n ≥ 2

a 2 − 4b ≥ 0

(với

) như sau:
n=2

α n = k .α n + a.k .α n −1 + b.k .α n −2

Ta phân tích

(1).Cho

thì (1) trở thành:
18


k ( α 2 + a.α + b ) = α 2

k=

Từ đây, ta tìm được

α2
α 2 + aα + b

α

khi

không phải là nghiệm của phương trình:

x 2 + ax + b = 0

(8)
v0 = u0 − kc; v1 = u1 − kcα

(vn ) : 
vn + a.vn−1 + b.vn −2 = 0
∀n ≥ 2

vn = un − kc.α n ,

Khi đó, ta đặt

ta có dãy
⇒ un = p.x1n + q.x2n + kc.α n

⇒ vn = p.x1n + q.x2n ( x1 , x2

là 2 nghiệm của (2))
x =α

Vậy nếu

.

α 2 + aα + b = 0

là nghiệm của (2) , tức là

thì ta sẽ xử lí thế nào?

Nhìn lại cách giải ở dạng 3, ta phân tích:
α n = kn.α n + a.k ( n − 1) .α n−1 + bk ( n − 2 ) .α n−2

(3).

α k ( 2α + a ) = α 2 ⇔ k ( 2α + a ) = α ⇔ k =

n=2

Cho

ta có:

⇒ ( 2)

α
2α + a

α ≠−

(

a
2

).

k ⇔α

có nghiệm

là nghiệm đơn của phương trình (2).

⇒ un = p.x1n + q.x2n + kcn.α n

Khi đó:

.
x =α = −

Cuối cùng ta xét trường hợp

a
2

là nghiệm kép của (2). Với tư tưởng như

α n = kn 2 .α n + a.k ( n − 1) α n−1 + bk ( n − 2 ) α n − 2
2

trên, ta phân tích:

2

(4).

19


n=2

Cho

α 2 = 4k .α 2 + ak .α ⇒ k =

⇔

ta có : (10)

α
1
=
4α + a 2

.

1
⇒ un = p.x1n + qx2n + cn 2 .α n .
2

Khi đó:

Vậy ta có kết quả sau:
u0 ; u1

n
un + a.un −1 + b.un −2 = c.α ∀n ≥ 2

(un )

Dạng 7: Cho dãy số

xác định bởi :

;

(un )

Để xác định SHTQ của dãy

ta làm như sau:

x 2 + ax + b = 0

Xét phương trình:
•

(1).

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác
k=

un = p.x1n + q.x2n + kc.α n

với
•

α

α2
α 2 + aα + b
x =α

Nếu phương trình (1) có nghiệm đơn
k=

un = p.x1n + q.x2n + kcn.α n

thì

thì

α
2α + a

với
•

1


un =  p + qn + cn 2 ÷.α n .
2



x =α

Nếu

là nghiệm kép của (1) thì:
u0 = −1; u1 = 3
(un ) : 
n
un − 5un−1 + 6un −2 = 5.2 ∀n ≥ 2 [ 3]

Ví dụ 1.16. Xác định SHTQ của dãy
Lời giải:
x1 = 2; x2 = 3

x2 − 5x + 6 = 0

Phương trình

có 2 nghiệm

un = p.2n + q.3n + 5kn.2n

, do đó

20


α
2

k = 2α + a = 4 − 5 = −2
 k = −2


⇔  p = −26
 p + q = −1
2 p + 3q + 10k = 3
q = 25





Với

.
un = −26.2n + 25.3n − 10n.2n = 25.3n − 2n +1 ( 5n + 13)

∀n = 1, 2,....

Vậy

.
u0 = 1; u1 = 3
(un ) : 
n
un − 4un −1 + 4un − 2 = 3.2 [ 3]

Ví dụ 1.17. Tìm SHTQ của dãy
Lời giải:

Phương trình

có nghiệm kép

nên

p =1
p =1
⇔


p+q = 0
 q = −1

u0 , u1

Dựa vào

3 

un =  p + qn + n 2 ÷2n
2 


x=2

x − 4x + 4 = 0
2

ta có hệ:

un = ( 3n 2 − 2n + 2 ) 2 n−1 ∀n = 1, 2,...

.Vậy

.

Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau:
u0 ; u1 ; u2
(un ) : 

;
un + a.un −1 + b.un − 2 + cun −3 = 0 ∀n ≥ 3

Dạng 8:Cho dãy

.
x3 + ax 2 + bx + c = 0

Để xác định SHTQ của dãy ta xét phương trình:
•

(1).

x1 , x2 , x3 ⇒ un = α x1n + β x2n + γ x3n

Nếu (1) có 3 nghiệm phân biệt

u0 , u1 , u2

. Dựa vào

ta

α, β ,γ

tìm được
x1 = x2 ≠ x3 ⇒ un = (α + β n) x1n + γ x3n

•

Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép:
α, β ,γ

u0 , u1 , u2

Dựa vào

ta tìm được

.
21


x1 = x2 = x3 ⇒ un = (α + β n + γ n 2 ) x1n .

•

Nếu (1) có nghiệm bội 3
α , β ,γ

u0 , u1 , u2

Dựa vào

ta tìm được

.

Nhận xét: Thực tế đến dạng toán này là bắt đầu phức tạp thêm, các ví dụ được
trình bày lời giải chỉ mang tính minh họa. Dạng này ta ít gặp trong đề thi.

u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3
(u n ) : 
;
un = 7un −1 − 11un − 2 + 5un −3 ∀n ≥ 4 [ 3]

Ví dụ 1.18. Tìm SHTQ của dãy
Lời giải: Xét phương trình đặc trưng :

x3 − 7 x 2 + 11x − 5 = 0
an = α + β n + γ 5 n

x1 = x2 = 1, x3 = 5

Phương trình có 3 nghiệm thực:

Vậy

n = 1, n = 2, n = 3

Cho
α =−

và giải hệ phương trình tạo thành, ta được
1
3
1
, β = ,γ =
16
4
16

an = −

1 3
1
+ ( n − 1) + .5n −1.
16 4
16

Vậy

Bài tập vận dụng:
Tôi xin trích một số câu trong các đề minh họa, giao lưu hoặc thi HSG cấp
trường của một số trường trên địa bàn tỉnh thay cho các đề minh họa cho các dạng
toán vì hai lí do: thứ nhất các ví dụ minh họa cho các dạng toán đã rất tốt; thứ hai
tôi muốn định hướng đến các dạng toán mà kỳ thi HSG cấp tỉnh hay gặp.
1. (Đề giao lưu THPT Triệu Sơn 1) Cho dãy số xác định bởi:
1

u1 =
5

u .u = u − 2u , ∀n ∈ N *
 n +1 n
n
n +1

Tính số hạng tổng quát của dãy số.

[ 5]

22


2. (Đề giao lưu THPT Thạch Thành 1) Cho dãy số xác định bởi:
u1 = 2

2
*
un +1 = 3un + n + 1, ∀n ∈ N

Tính số hạng tổng quát của dãy số

( un )

.Từ đó tính tổng

S 2019 = u1 + u2 + ... + u2019 [ 5]

3. (Đề minh họa nhóm toán THPT Thanh Hóa năm học 2018-2019) Cho dãy số xác

định bởi :

u1 = 2

n
*
un +1 = 3un + 4 , ∀n ∈ N

lim

Tính số hạng tổng quát của dãy và tìm

un
un +1 [ 5]

4. (Đề giao lưu trường THPT Dương Đình Nghệ) Cho dãy số xác định bởi:
u1 = 2018, u2 = 2019

*
un ( un −1 + un+1 ) = 2un .un+1 , ∀n ∈ N , n ≥ 2

Tính

lim un [ 5]

5. (Đề minh họa lớp tập huấn toán THPT Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho dãy
số xác định bởi :

un +1 = aun + b, ∀n ∈ N *

hạng tổng quát của dãy theo

u1 ,

Với a, b là 2 số thực dương cho trước. Tính số

a, b và n.

[ 5]

6. (Đề giao lưu trường THPT Vĩnh Lộc) Cho dãy số xác định bởi:
u1 = 2, u2 = 3

*
un +1 − 2un + un −1 = 1, ∀n ∈ N , n ≥ 2

lim

Tính

un
n 2 [ 5]

7. (Đề minh họa lớp tập huấn toán THPT Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho dãy

số xác định bởi:

u1 = 1

un

*
un +1 = u + 1 , ∀n ∈ N
n


lim

Tính

2017 ( u1 + 1) ( u2 + 1) ... ( un + 1)
[ 5]
2018n

23


8.(Đề giao lưu trường THPT Đặng Thai Mai) Cho dãy số xác định bởi:
u1 = 1

un

*
un +1 = 2 + u , ∀n ∈ N
n


Tính

un [ 5]

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
•

Đề tài đã chỉ ra được một số vướng mắc và cách khắc phục của một lớp đối
tượng học sinh trong khi giải các bài toán về tìm số hạng tổng quát và tìm giới hạn
của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
•

Đề tài đã đưa ra được 8 dạng cơ bản từ đơn giản đến phức tạp để tìm số hạng
tổng quát của các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi trên cở sở từ các bài toán cơ bản
trong sách giáo khoa cũng như các bài toán khó trong các đề thi học sinh giỏi.
•

Đề tài được áp dụng trong những tiết luyện tập, các tiết tự chọn ở trên lớp cũng
như các buổi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường.
•

Thông qua việc xuất phát từ những bài toán cơ bản, giáo viên đã gợi ý, dẫn dắt
học sinh tổng quát bài toán, tạo ra bài toán mới, dần dần hình thành cho các em khả
năng làm việc độc lập, phát triển tư duy chủ động, sáng tạo, phát hiện vấn đề và
giải quyết vấn đề. Phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần đổi
mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Từ đó tạo cho các em niềm tin, hứng thú khi học
tập bộ môn Toán.
•

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong năm học giảng dạy lớp 11,được học
sinh nhiệt tình tham gia và đã nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề dãy số và
giới hạn dãy số. Các em hứng thú học tập hơn, ở những học sinh được hướng dẫn
các phương pháp này các em học sinh với mức học trung bình trở lên đã có căn cứ
để giải các bài tập khó. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt, chất lượng đội tuyển thi
24


HSG cấp tỉnh tăng qua các năm và đảm bảo chỉ tiêu nhà trường giao. Cụ thể ở các
nhóm học sinhthực nghiệm(II) và nhóm đối chứng (I) tôi cho làm bài kiểm tra vaf
thu được kết quả như sau :

Năm
Nhóm/ Lớp
học

2018
2019

Tổng
số HS

Điểm 8 trở lên

Điểm từ 5 đến
dưới 8

Điểm dưới 5

Số
lượn
g

Tỷ lệ

Số
lượng

Tỷ lệ

Số
lượn

g

Tỷ lệ

I /11B1

20

4

20 %

10

50 %

6

30 %

II /11B1

20

13

65%

6

30%

1

5%

3. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của một quá trình tìm tòi, nghiên cứu và
đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua một
năm triển khai thực hiện đề tài này với cách xây dựng và phát triển các bài toán,
xây dựng quy trình giải quyết các bài toán một cách "tự nhiên” như vậy, tôi nhận
thấy các em đã nắm được vấn đề, biết vận dụng các kết quả trên vào giải quyết các
bài toán một cách linh hoạt, sáng tạo. Từ đó giúp cho các em yêu thích môn toán
hơn, chất lượng giờ học đã được nâng cao rõ rệt. Trong năm học tới, tôi sẽ tiếp tục
nghiên cứu và bổ sung để đề tài này được hoàn thiện hơn, đáp ứng được nhu cầu
bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi để các em đạt kết quả cao trong các kỳ thi chọn
học sinh giỏi và kỳ thi trung học phổ thông Quốc giasau này.
Trong quá trìnhbiên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không
tránh khỏi những thiếu sót.Tôi rất mong được các thầy cô giáo, các bạn đồng
nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài này hoàn thiện hơn. Hy vọng tài liệu này có thể sử
dụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh và thầy cô giáo trong quá trình học tập,
giảng dạy.
Xin chân thành cảm ơn!

25