Hướng dẫn học sinh sử dụng tư duy hàm số giải nhanh phương trình, bất phương trình chứa tham số trong thi trắc nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG TƯ DUY HÀM SỐ
GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA THAM SỐ TRONG THI TRẮC NGHIỆM

Người thực hiện: Lê Văn Lâm
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN môn:
Toán

THANH HÓA NĂM 2019
0


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU

Trang
01

1.1. Lí do chọn đề tài

01

1.2. Mục đích nghiên cứu

01

1.3. Đối tượng nghiên cứu

02

1.4. Phương pháp nghiên cứu

02

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

03

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

03

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

04

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

04

2.3.1 Mục tiêu của giải pháp

04

2.3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
2. 3.2.1GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các dạng câu hỏi
cơ bản

04

2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh khai thác bảng biến thiên.
2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh khai thác đồ thị hàm số.
2.3.2.4 GP4: Hướng dẫn học sinh khai thác mối liên hệ giữa
bảng biến thiên và đồ thị hàm số.
2.3.2.5GP5: Hướng dẫn học sinh xây dựng “sự tương ứng” .
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,

17

đồng nghiệp và nhà trường
3. KẾT LUẬN

18

3.1. Kết luận

18

3.2. Kiến nghị

18

1

1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình, bất phương trình là một vấn đề quan trọng của Toán học
phổ thông, nó trải dài và xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT. Đây là một
vấn đề hay và khó, xuất hiện nhiều ở dạng câu phân loại mức độ cao trong các
đề thi. Việc giải toán phương trình, bất phương trình cũng rất đa dạng và phong
phú, ngoài việc phân loại theo các dạng toán cơ bản đặc trưng chúng ta cũng có
thể phân loại theo phương pháp giải toán. Do sự đa dạng về dạng toán, phương
pháp giải cũng như mật độ xuất hiện dày đặc trong các đề thi nên học sinh có
một khối lượng lớn các kiến thức và bài tập thực hành khổng lồ. Vì vậy, nếu
không có chiến lược trong cách học phần kiến thức này học sinh rất dễ sa vào
việc chỉ lo giải bài tập toán mà không có những định hướng tư duy phương
pháp.
Giải bài tập Toán là phần quan trọng, không thể thiếu trong môn Toán học,
làm bài tập không những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà
đồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh. Bài tập phương trình, bất
phương trình chứa tham số là một bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiều trong
các đề thi THPT quốc gia ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Tuy nhiên các
nội dung lí thuyết phần này trong hệ thống SGK phổ thông được trình bày khá
đơn giản, và chưa có hướng xử lí nhanh cho thi trắc nghiệm khách quan
(TNKQ). Điều này gây khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình
thành dạng toán và phương pháp giải toán cho học sinh.
Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương
pháp suy luận giải toán, các kĩ năng thực hành giải nhanh phương trình, bất
2


phương trình chứa tham sô. Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi

muốn nêu ra một cách xây dựng các định hướng “ giải nhanh bài toán phương
trình, bất phương trình chứa tham số” theo hướng TNKQ.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra nội dung phương pháp đã trang bị
cho học sinh để giải toán phương trình, bất phương trình chứa tham số cũng như
các kĩ năng giải nhanh câu hỏi TNKQ. Đó là: “ Hướng dẫn học sinh sử dụng
tư duy hàm số giải nhanh phương trình, bất phương trình chứa tham số
trong thi trắc nghiệm ”. Từ đó đề ra các giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả giải
toán phương trình, bất phương trình chứa tham số của học sinh trường THPT
Hoằng Hóa 3.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Các phương pháp giải bài toán phương trình , bất phương trình chứa tham số .
Các kĩ thuật giải nhanh phương trình , bất phương trình chứa tham số .
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề
Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm
Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh
Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đề
liên quan đến nội dung đề tài
Phương pháp thống kê, phân tích số liệu

3


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.1. Câu hỏi cơ bản phương trình, bất phương trình có chứa tham số
- Bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số ta thường gặp các câu
hỏi dạng sau:
D1: Điều kiện về số nghiệm của phương trình f  x, m   0 trên K .

CH1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f  x, m   0 có
nghiệm trên K .
CH2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f  x, m   0 có
đúng k nghiệm trên K .
CH3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f  x, m   0 có ít
nhất (nhiều nhất) k nghiệm trên K .
D2: Điều kiện về tính chất nghiệm của phương trình f  x, m   0 trên K .
CH1: Tính chất về hệ thức nghiệm .
CH2: Tính chất về điều kiện nghiệm .
D3: Điều kiện về nghiệm của bất phương trình f  x, m   0 trên K .
CH1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f  x, m   0
có nghiệm trên K .
CH2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f  x, m   0
nghiệm đúng với mọi x �K .

4


D4: Bài toán dạng kết hợp
CH1: Kết hợp bảng biến thiên hàm số.
CH2: Kết hợp đồ thị hàm số.
CH3: Kết hợp giao điểm các đồ thị
2.1.2. Tư duy hàm số giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số
- Tư duy hàm số giải quyết các bài toán có chứa tham số ta thường sử dụng các
cách tiếp cận cơ bản sau:
* Cách tiếp cận 1: Dùng tính chất hàm đặc trưng
* Cách tiếp cận 2: Dùng bảng biến thiên
Cô lập tham số m , đưa bài toán về việc lập bảng biến thiên hàm số .Căn cứ vào
bảng biến thiên để giải quyết các dạng câu hỏi cụ thể.
Giả sử hàm số y  f  x  có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D lần lượt

là M và N. Với hàm phụ thuộc tham số thực m là g  m  , ta có:
� N g  m M
+ Phương trình f  x   g  m  có nghiệm trên D ۣ
+ Bất phương trình f  x  �g  m  có nghiệm trên D  g  m  M
+ Bất phương trình f  x  �g  m  có nghiệm với mọi x �D  g  m  N
Trong trang này: Mục 2.1.1 và 2.1.2 tác giả tự viết và tổng hợp.

* Cách tiếp cận 3: Dùng đồ thị hàm số
Trong các bài toán đồ thị cho trước hoặc phải sử dụng biến đổi đồ thị thì chúng
ta sẽ chuyển về bài toán giao điểm hình học.
Căn cứ vào đồ thị để giải quyết các dạng câu hỏi cụ thể.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG
KIẾN KINH NGHIỆM
2.2.1.Thuận lợi:
Nội dung phương trình, bất phương trình được học sinh làm quen từ THCS
nên gần gũi với học sinh và đa số học sinh đã biết một số thao tác cơ bản.
Phương trình, bất phương trình chứa tham số xuất hiện nhiều trong các đề
thi THPT Quốc Gia nên học sinh được làm quen với một khối lượng lớn các bài
tập đặc sắc, phong phú, đa dạng về nội dung cũng như dạng toán.
2.2.2. Khó khăn:
Do đây là một nội dung khó, có nhiều câu xuất hiện trong các đề thi với tư
cách là câu phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn. Vì
vậy gây cho học sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực
để vượt qua.
Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khối
lượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phân
biệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bài
toán.
Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưa
thực sự chú trọng đến tư duy phương pháp, tư duy giải nhanh. Do đó hiệu quả

5


học và giải toán chưa cao.
Việc thi TNKQ đòi hỏi học sinh tư duy nhanh, giải toán nhanh, kĩ năng
nhanh nên nhiều học sinh chưa đáp ứng được, nhất là phần phương trình, bất
phương trình có chứa tham số dạng đáp án gián tiếp.
2.3. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.3.1.Mục tiêu của giải pháp
Đưa ra được nội dung phương pháp giải toán , các dấu hiệu nhận biết và
phương pháp giải nhanh tương ứng để giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan
(TNKQ) về phương trình, bất phương trình chứa tham số .
2. 3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp
2. 3.2.1 GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các dạng câu hỏi cơ bản.
Việc hướng dẫn học sinh giải các dạng câu hỏi cơ bản về phương trình,
bất phương trình chứa tham số là rất quan trọng. Một mặt giúp học sinh nắm
vững kiến thức cơ bản để tránh các sai lầm giải toán, mặt khác giúp học sinh
rèn luyện kỹ năng giải toán. Từ đó tăng tốc độ giải toán tiến tới mục tiêu giải
nhanh các câu hỏi trong đề thi TNKQ.
Trong trang này: Mục 2.2 tác giả tự viết. Mục 2.3.1 ; 2.3.2 tác giả tự viết và tổng hợp.

Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m không lớn hơn 15 để
phương trình 2 x  m  x  1 có nghiệm
A. 15 .
B. 14 .
C. 18 .
D.19 . [1]
Tư duy: Đây là phương trình chứa căn bậc hai dạng cơ bản đã có cách giải chi
tiết. Việc giải phương trình này cần chú ý điều kiện xác định của phương trình
để tránh sai lầm. Câu hỏi cơ bản: Phương trình có nghiệm.

Lời giải
�
�x �1
�x  1 �0
2
x

m

x

1
�
�
Ta có:
�
�
2
2
�2 x  m   x  1
�m  x  4 x  1
Pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi pt m  x 2  4 x  1 có nghiệm x �1 .
Bằng phương pháp bảng biến thiên ta thu được m �1
Kết hợp yêu cầu bài toán, có 15 giá trị nguyên của tham số m.
Do đó chọn đáp án A
Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm :
Sai lầm 1: Không đặt điều kiện xác định cho phương trình
2
2 x  m  x  1 � 2 x  m   x  1 � x 2  4 x  1  m  0
Pt đã cho có nghiệm � pt x 2  4 x  1  m  0 có nghiệm ۳ m 3 .

Do đó chọn đáp án D
Sai lầm 2: Biến đổi sai điều kiện phương trình dẫn đến bài toán phức tạp hơn
6


� m
�
�2 x  m �0
�x �
2x  m  x 1 � �
2
2 � �
2
x

m

x

1


2
�x  4 x  1  m  0
�
�
2
Đến đây học sinh xét phương trình x  4 x  1  m  0 có hai nghiệm phân biệt
m
hoặc nghiệm kép thỏa mãn x � .

2
Đây là cách giải làm phức tạp bài toán ban đầu.
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m không lớn hơn 200 để
2
phương trình m  x  6 x  7 có đúng 2 nghiệm phân biệt.

A. 185 .
B. 186 . C.188 .
D.187 .
Tư duy: Đây là phương trình chứa giá trị tuyệt đối cơ bản . Việc giải phương
trình này cần chú ý lựa chọn hướng xử lí phù hợp để tránh làm phức tạp bài
toán. Câu hỏi cơ bản: Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Lời giải
Nhận xét: Số nghiệm phương trình đã cho tương ứng với số giao điểm của
2
đường thẳng d : y  m và đồ thị hàm số : y  x  6 x  7 .
Trong trang này: Ví dụ 1 được tham khảo từ TLTK số [1] ; Ví dụ 2 là “của” tác giả.

Bằng phương pháp bảng biến thiên hoặc đồ thị ta thu được: m  0; 16  m .
Khi đó có 186 giá trị tham số. Do đó chọn đáp án B
Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm :
Biến đổi làm phức tạp bài toán
�
�
x2  6x  7  m
x2  6 x  7  m  0
2
m  x  6 x  7 � �2
� �2
x


6
x

7


m
x  6x  7  m  0
�
�
Lúc này học sinh gặp khó khăn và dễ mắc sai lầm khi biện luận số nghiệm cũng
như không để ý đến điều kiện m �0 .
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình
x  1 �3m 2 x 2  1 nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x .
2
6
2
6
2
.
B. m � .
C. 
. [1]
 m � . D. m  
6
6
6
6
6

Tư duy: Đây là bất phương trình dạng cơ bản. Việc giải bất phương trình này
cần chú ý đến yêu cầu nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x để tránh sai lầm.
Câu hỏi cơ bản: Bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x.
Lời giải
x 1
3m  1 .
Ta có: x  1 �3m 2 x 2  1 ۳
2x2  1
A. m �

7


Hàm số f  x  

x 1

2x  1 
2

trên �, có

2x2  2x

2x  1
2
2x  1
1
1
; lim f  x   

.
f�
f
x

 x   0 � x  1 ; xlim


��
x ��
2
2
2
Bảng biến thiên:
2x2  1

f�
 x 

2



1  2x

 2x

2

 1

3

.

Dựa vào bảng biến thiên, bất phương trình  1 nghiệm đúng với mọi giá trị thực
1
2
của x khi và chỉ khi: 3m 
�m
.
6
2
Do đó chọn đáp án D
Trong trang này: Ví dụ 3 được tham khảo từ TLTK số [2] .

Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi
không chú ý có tồn tại giá trị nhỏ nhất hay không hoặc nhầm điều kiện giải toán
dẫn đến chọn phương án sai.
Sai lầm 1: Không chú ý có tồn tại giá trị nhỏ nhất hay không
Dựa vào bảng biến thiên, bất phương trình  1 nghiệm đúng với mọi giá trị thực
1
2
của x khi và chỉ khi: 3m 

�
m
. Dẫn đến chọn đáp án sai: A
6
2

Sai lầm 2: Nhầm điều kiện giải toán
6
6
+ Nhầm điều kiện : 3m �
. Dẫn đến chọn đáp án sai: B
m
2
6
2
6
2
6
 3m � � 
 m � . Chọn đáp án sai: C
2
2
6
6
2.3.2.2 GP2: Hướng dẫn học sinh khai thác bảng biến thiên .
Một đặc trưng thường gặp của tư duy hàm số là việc thể hiện bảng biến thiên
của hàm số. Thông qua bảng biến thiên của hàm số ta đọc và khai thác được
nhiều dữ kiện của hàm số, từ đó vận dụng vào giải quyết bài toán phương trình,
bất phương trình. Để giải nhanh cần hướng dẫn và rèn kĩ năng lập bảng biến
+ Nhầm điều kiện : 

8


thiên, đọc bảng biến thiên, xử lí và khai thác bảng biến thiên cho học sinh để
tăng khả năng phát hiện và xử lí bài toán, giúp giải nhanh bài toán TNKQ.

Ví dụ 4. Tập tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình
m





1  x  1  x  3  2 1  x 2  5  0 có đúng hai nghiệm phân biệt

5
là một nửa khoảng  a; b  . Tính b  a .
7
65 2
65 2
12  5 2
A.
.
B.
.
C.
.
35
7
35

D.

12  5 2
.
7

Tư duy:
Câu hỏi cơ bản: Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Giải toán cơ bản: Đếm nghiệm thông qua phép ẩn phụ.
Do đó phải có 2 bảng biến thiên: Cho ẩn phụ và cho phương trình.
Lời giải
B1: Đặt ẩn phụ và xác định điều kiện cho ẩn phụ
Đặt t  1  x  1  x với 1 �x �1 .
Khi đó: t 2  2  2 1  x 2 � 2 1  x 2  t 2  2 .
1
1


 0 � 1 x  1 x � x  0 .
Vậy: t �
2 1 x 2 1 x
Bảng biến thiên hàm t  1  x  1  x với 1 �x �1
Trong trang này: Phần giải pháp do tác giả viết. Ví dụ 4 được tham khảo từ TLTK số [2] .
+-

Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Điều kiện của t
t  2 hoặc t  2
t2
2 �t  2
B2: Giải yêu cầu bài toán

Số giá trị x thỏa mãn
0
1

2

t 2  7
Ta có phương trình: m  t  3  t  7  0 � m 
.
t 3
t 2  6t  7
t 2  7
�
�
f
t

�
 
Xét hàm số: f  t  
, t ��
.
2
� 2;2 �
 t  3
t 3
2

9

[2]


�

f�
 t   0 � t  3 � 2 ��
� 2;2 �.
Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt khi
3
5 3 2
5 3 2
5
12  5 2
� a  ,b 
và chỉ khi 3  m �
.
�b a 
5
7
7
5
7
7
Do đó chọn đáp án D









Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp khó khăn:
+ Không đặt ẩn phụ mà xét trực tiếp hàm số nên gặp khó khăn để xử lí được
bảng biến thiên.
+ Khi đặt ẩn phụ chưa “ đếm được sự tương ứng giữa t và x ” nên gặp khó
khăn khi xử lí yêu cầu bài toán.
Trong trang này: Lời giải được tham khảo từ TLTK số [2] .

Ví dụ 5. Cho hàm số u  x  liên tục trên đoạn  0;5 và có bảng biến thiên như
hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên m bé hơn 20 để bất phương trình
3x  10  2 x �m.u  x  có nghiệm trên đoạn  0;5 ?
x

0
4

1

2
3

u  x
1

A. 18 .

B. 19 .

3

5
3

1

C. 20 .

D. 21 . [3]

Tư duy:
Câu hỏi cơ bản: Bất phương trình có nghiệm trên K.
Giải toán cơ bản: Cô lập tham số và sử dụng min, max của hàm số..
Lời giải
Theo bảng biến thiên ta có trên  0;5 thì 1 �u  x  �4  1 ,

10


Ta có

3x �
10 2 x

m.u  x 

3x  10  2 x
u  x

m

Xét hàm số f  x   3x  10  2 x trên  0;5

3
2

; f�
 x   0 � 3 10  2 x  2 x
2 x 2 10  2 x
� 3  10  2 x   4 x � x  3 .

Ta có f �
 x 

Bảng biến thiên hàm số f  x   3x  10  2 x trên  0;5 .

Do đó ta có trên  0;5 thì 10 �f  x  �5  2  .

�
�
max f  x   f  3  5
min f  x   f  0   10
�
�
Từ  1 và  2  ta có �
và �
min u  x   u  3  1
maxu  x   u  0   4
�
�
10 f  x 

�
�5 với mọi x � 0;5 .
Do đó
4
u  x
Trong trang này:Ví dụ 5 được tham khảo từ TLTK số [3].
BPt :

3x  10  2 x �m.u  x  có nghiệm trên đoạn  0;5

3x  10  2 x
�m có nghiệm trên đoạn  0;5 ۣ 10 m .
u  x
4
Kết hợp m nguyên bé hơn 20 nên có 20 giá trị m . Do đó chọn đáp án C.
�

Nhận xét: Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp khó khăn:
+ Không xử lí được bảng biến thiên hàm số u  x  đã cho để giải toán
+ Chưa hình dung được sự “ đồng nhất dấu bằng xảy ra ” tại giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của các hàm u  x  , f  x  .
Nguyên nhân là chưa có kĩ năng khai thác bảng biến thiên của hàm ẩn u  x  .
Ví dụ 6. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

11


Với các giá trị thực của tham số m , phương trình f  x  m   0 có nhiều nhất
bao nhiêu nghiệm?
A. 4 .

B. 5 .
C. 6 .
D. 3 . [3]
Tư duy:
Câu hỏi cơ bản: Phương trình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trên K.
Giải toán cơ bản: Xử lí bảng biến thiên.
Lời giải
Bước 1: Đếm “ sự tương ứng giữa t và x ”.
Đặt: t  x  m � x  t  m
Điều kiện của t
Số giá trị x thỏa mãn
tm
0
tm
1
tm
2
Bước 2: Khai thác bảng biến thiên đã cho
t  t1 � 0;1
�
Khi đó: f  x  m   0 trở thành f  t   0 � �
t  t2  1
�
Trong trang này:Ví dụ 6 được tham khảo từ TLTK số [3].

Phương trình f  x  m   0 có nhiều nghiệm nhất � Các phương trình
x  t1  m và x  t2  m không có nghiệm chung và mỗi phương trình có hai
nghiệm phân biệt � m  t1 .Do đó chọn đáp án A
Nhận xét: Trên các nhóm giải toán trên mạng có lời giải sai như sau:
.f �

 x    x  m �
 x  m   xx . f � x  m  .
Đặt g  x   f  x  m  . Ta có g �
g�
 x  không xác định tại x  0 và x  m  0 ; g �
 x   0 � x  m  1 suy ra
g�
 x  đổi dấu tối đa 5 lần. Suy ra g  x   0 có tối đa 6 nghiệm.
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp khó khăn:
+ Không xử lí được bảng biến thiên hàm số f  x  đã cho để giải toán.
+ Việc xử lí hàm hợp f  x  m  và yêu cầu nhiều nghiệm nhất làm học sinh
lúng túng.

12


2.3.2.3 GP3: Hướng dẫn học sinh khai thác đồ thị hàm số .
Với bài thi trắc nghiệm sẽ có dạng câu hỏi “xử lí hình ảnh cho trước” mà đồ thị
hàm số là một điển hình. Đồ thị hàm số là hình ảnh trực quan của hàm số,thông
qua đồ thị của hàm số ta đọc và khai thác được nhiều dữ kiện của hàm số, từ đó
vận dụng vào giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình. Để giải nhanh
cần hướng dẫn và rèn kĩ năng vẽ đồ thị , đọc đồ thị , xử lí và khai thác đồ thị
cho học sinh để tăng khả năng phát hiện và xử lí bài toán, giúp giải nhanh bài toán
TNKQ.

Ví dụ 7. Cho hàm số bậc bốn trùng phương
y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm
giá trị của tham số m để phương trình
f  x   1  m có 6 nghiệm phân biệt.
A. 4  m  3 .

B. 4  m  5 .
C. m  5 .
D. 0  m  4 . [2]
Lời giải
Sử dụng phép suy đồ thị ta vẽ được đồ thị
hàm số y  f  x  như hình bên.
Phương trình f  x   1  m có 6 nghiệm
phân biệt � đường thẳng y  m  1 cắt đồ
thị hàm số y  f  x  tại 6 điểm phân biệt
� 3  m  1  4 � 4  m  5 .Do đó chọn đáp án B
Trong trang này:Ví dụ 7 được tham khảo từ TLTK số [2].

Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh lựa chọn lấy đối xứng đồ thị
chứ không vẽ và biến đổi bảng biến thiên. Với hình ảnh cho trước, học sinh sẽ lựa chọn cách
xử lí hình ảnh đã cho để giải nhanh bài toán.
y
Ví dụ 8. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên.
4

Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình

f  x  2   2  20  m có đúng hai nghiệm thực phân biệt?
A. 20.
B. 19.
C. 18.
D. 15. [2]
Tư duy:
Câu hỏi cơ bản: Phương trình có đúng k nghiệm trên K.
Giải toán cơ bản: Xử lí đồ thị cho trước.

Lời giải
Cách 1: Phương pháp biến đổi đồ thị

13

2
1 O

1

x


r
+ Tịnh tiến đồ thị y  f  x  theo vectơ u   2;0  ta được đồ thị hàm số
y  f  x  2  (hình a)
r
+ Tịnh tiến đồ thị y  f  x  2  theo vectơ v   0; 2  ta được đồ thị hàm số
y  f  x  2   2 (hình b)
+ Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  2   2 như hình c.
y

y
4

4

y
y  20  m
2

2
1 O

1

3

x

1 O

1

3

2
Hình a.

x

1 O

1

x

2
Hình b.

Hình c.

Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  2   2 ta có:

Pt f  x  2   2  20  m có đúng hai nghiệm phân biệt � 20  m  2 � m  18
Kết hợp m là số tự nhiên ta được 19 giá trị m .
Do đó chọn đáp án B
Cách 2: Phương pháp thử giá trị
Nhận thấy đồ thị có dạng bậc ba có hai điểm cực trị là M  1;4  , N  1;0  và đi
3
3
2
qua E  0;2  nên tìm được f  x   x  3x  2 � f  x  2   2  x  6 x  9 x  6 .
Trong trang này:Ví dụ 8 được tham khảo từ TLTK số [2].
Nhận xét
Bài toán này một số học sinh gặp khó khăn khi xử lí biến đổi đồ thị.
Tuy nhiên sau khi trải nghiệm học sinh nhận thấy được bản chất của phép tịnh
tiến đồ thị và hiểu các bước giải toán.
Một số học sinh sử dụng cách giải 2 cũng cho kết quả, tuy nhiên nó cũng là dự
đoán kiểu trắc nghiệm.

14


Ví dụ 9. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm
 x  như hình vẽ bên. Với tham số m , điều
số y  f �
kiện cần và đủ để 2 f  x   2 x3  4 x  3m  6 5 �0

 5; 5 �

nghiệm đúng với mọi giá trị x ��
�
�là:
2
2
A. m � f 5 .
B. m � f  5 .
3
3
2
2
C. m � f  0  .
D. m � f 5 .[3]
3
3
Tư duy:
Câu hỏi cơ bản: Bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị trên K.
Giải toán cơ bản: Xử lí đồ thị cho trước.
Lời giải

 





 

 5; 5 �
Xét hàm số: g  x   2 f  x   2 x 3  4 x  3m  6 5 trên �

�
�.
 x  2 f �
 x   6 x2  4 ; g�
 x  0 � f �
 x   3 x2  2 .
có g �
Vẽ đồ thị hàm số y  3x 2  2 trên đồ thị đã cho ta thu
được như hình vẽ.
 5; 5 �
 x  �3x 2  2 , x ��
Quan sát ta có: f �
�
�
۳ g ' x 

0 , x ��
 5; 5 �
�
�� hàm số g  x  đồng

 5; 5 �
biến trên �
�
�.
Yêu cầu bài toán ۣ max g  x 
�
 5; 5 �
�
�

2
3

� m� f

0 g

 5

0

 5 .

Do đó chọn đáp án B
Nhận xét: Bài toán này một số học sinh gặp khó khăn khi xử lí biến đổi đồ thị,
Trong trang này:Ví dụ 9 được tham khảo từ TLTK số [3].
trong đó có việc vẽ thêm đồ thị hàm số y  3 x 2  2 trên đồ thị đã cho và “quan
sát” để đánh giá đạo hàm.
2.3.2.4 GP4: Hướng dẫn học sinh khai thác mối liên hệ giữa bảng biến
thiên và đồ thị hàm số .
Đồ thị hàm số và bảng biến thiên của hàm số có mối chặt chẽ với nhau. Từ đồ
thị hàm số sẽ lập được bảng biến thiên và từ bảng biến thiên sẽ “ hình dung”
được đồ thị hàm số. Tuy nhiên, với mỗi bài toán cụ thể thì đồ thị hay bảng biến

15


thiên sẽ có ưu thế hơn. Do đó cần hướng dẫn học sinh khai thác mối liên hệ
giữa bảng biến thiên và đồ thị hàm số để giải toán linh hoạt và sáng tạo hơn.

Ví dụ 10. Cho hàm số f ( x ) mà đồ thị hàm số y  f '( x) như hình vẽ .

Bất phương trình f ( x)  sin
khi:
A. m  f (0) .

x
 m nghiệm đúng với mọi x � 1;3 khi và chỉ
2

B. m  f (1)  1 .

C. m  f (1)  1 .

D. m  f (2) . [2]

Tư duy:
Câu hỏi cơ bản: Bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị trên K.
Giải toán cơ bản: Xử lí đồ thị hàm số đạo hàm.
Lời giải
x
 m (1) với x � 1;3 , ta có:
Xét bất phương trình f ( x)  sin
2
x
x
f ( x)  sin
 m � f ( x)  sin
 m (2)
2

2
x
Đánh giá f ( x)  sin
với x � 1;3
2
+ Từ đồ thị của hàm số y  f '( x) đã cho ta suy ra BBT của f ( x) như sau:

Trong trang này: Phần giải pháp do tác giả viết. Ví dụ 10 được tham khảo từ TLTK số [2] .

Từ BBT ta suy ra: f ( x) �f (1), x � 1;3 (*)
  x 3
+ Do x � 1;3 nên: 1 �x �3 �  � �
2 2
2
x
x
�1 (**)
�1 � 1 � sin
Suy ra: 1 �sin
2
2
x
�f (1)  1, x � 1;3 .
+ Từ (*) và (**) cho ta: f ( x)  sin
2
16


Dấu "  " xảy ra khi x  1 . Do đó: Bất phương trình f ( x)  sin
đúng với mọi x � 1;3 � m  f (1)  1 .

x
 m nghiệm
2

Do đó chọn đáp án B
Nhận xét
Bài toán này một số học sinh gặp khó khăn khi đánh giá để tìm giá trị nhỏ nhất
của hàm f ( x)  sin  x trên  1;3 .
2
Ví dụ 11. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
x3  3 x  1  m  1 có đúng 6 nghiệm phân biệt là một khoảng có dạng  a; b  .

Tính S  a 2  b 2 .
A. 1 .

B. 5 .

C. 25 .

D. 10 . [2]

Tư duy:
Câu hỏi cơ bản: Phương trình có đúng k nghiệm trên K.
Giải toán cơ bản: Xử lí hai lớp giá trị tuyệt đối.
Lời giải
Bước 1: Xử lí giá trị tuyệt đối lớp thứ nhất.
�x3  3 x  1 khi x �0
3
Xét hàm số f  x   x  3 x  1  �3

�x  3 x  1 khi x  0
Ta có bảng biến thiên

Bước 2: Xử lí giá trị tuyệt đối lớp thứ hai.
Trong trang này: Ví dụ 11 được tham khảo từ TLTK số [2].Phần lời giải do tác giả viết.
3
Do đó ta có đồ thị của hàm số f  x   x  3 x  1 (H1)
3
Suy ra đồ thị hàm số  C  : y  g  x   x  3 x  1 (H2)

17


H2
H1
3
Số nghiệm của phương trình x  3 x  1  m  1 là số giao điểm của đồ thị  C 
và đường thẳng d : y  m  1 .Yêu cầu bài toán � 0  m  1  1 � 1  m  2 .
a 1
�
Vậy �
suy ra S  a 2  b 2  5 . Do đó chọn đáp án B
b2
�
Nhận xét: Bài toán này một số học sinh xử lí từng lớp giá trị tuyệt đối và chỉ lập
bảng biến thiên vẫn cho đáp án đúng. Một số học sinh chỉ sử dụng cách biến đổi
đồ thị vẫn cho đáp án đúng. Tuy nhiên cả hai cách trên đều phải xử lí phức tạp
và mất nhiều thời gian.
Việc phối hợp giữa đồ thị và bảng biến thiên trong việc xử lí bài toán cho cách
nhìn toàn diện và sáng tạo trong giải toán. Học sinh hứng thú và rất thích cách

xử lí kết hợp giữa đồ thị và bảng biến thiên.
2.3.2.5 GP5: Hướng dẫn học sinh xây dựng “sự tương ứng”.
Trong tư duy hàm số, việc giải toán bằng cách xây dựng “sự tương ứng”tỏ ra
rất hiệu quả trong giải toán phương trình, bất phương trình. Việc hướng dẫn
học sinh xây dựng “sự tương ứng”trong giải toán một mặt giúp học sinh giải
nhanh bài toán, mặt khác giúp học sinh phát triển toàn diện tư duy hàm số.
Ví dụ 12. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình
m  x  2 x  3  2 có ba nghiệm phân biệt là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
[3]
Tư duy: Xây dựng được “ sự tương ứng giữa nghiệm x và bộ ẩn phụ u , v ”.
Lời giải
3

Trong trang này: Phần giải pháp do tác giả viết. Ví dụ 12 được tham khảo từ TLTK số [3] .

+ Đặt u  3 m  x , v  2 x  3

18


v  2u
�
� uv2
��
Ta có hệ : � 3 2
.

3
2m  3 � 2u  u 2  4u  7  2m  
2u  v  2m  3 �
�
+ Xây dựng “ sự tương ứng giữa nghiệm x và bộ ẩn phụ u , v ”
3
�۳ v 0 u 2 .Với cách đặt u  3 m  x ta có: với mỗi giá trị
Ta có: x ۳
2
3
u �2 có một và chỉ một giá trị x � tương ứng.
2
Vì vậy: Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt � Phương trình   có ba
145
145
 2m  10 �
 m  5 (Dùng phương pháp hàm sô)
27
54
Kết hợp m nguyên ta được 2 giá trị m thỏa mãn. Do đó chọn đáp án C
Nhận xét: Sau khi giải bài toán này, học sinh nhận thấy việc xây dựng sự tương
ứng trong bài toán đếm nghiệm là rất quan trọng và dùng tư duy hàm số để xây
dựng sự tương ứng là một cách thực hành hiệu quả.
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
- Việc rèn luyện và thực hành giải Toán đã giúp học sinh tự tin và có cơ sở
phương pháp để giải nhanh câu hỏi TNKQ. Từ đó nâng cao dần năng lực giải
Toán nói chung và giải phương trình, bất phương trình chứa tham số nói riêng.
Thể hiện ở việc học sinh các lớp tôi dạy có nhiều học sinh đã vượt qua được
những câu hỏi khó về phương trình, bất phương trình chứa tham số trong các kì
thi học sinh giỏi cấp Tỉnh cũng như các kì thi THPT Quốc gia năm 2018.

- Việc xây dựng các giải pháp, các dấu hiệu cũng như sáng tạo các kĩ thuật giải
Toán không những giúp học sinh học Toán sáng tạo, kích thích tư duy, sự say mê
học Toán mà còn định hướng cách học cho học sinh ở những nội dung khác của
Toán học phổ thông. Điều này góp phần rất lớn vào phong trào học tập của học
sinh trường THPT Hoằng Hóa 3, đặc biệt là nhóm học sinh chất lượng cao,
chinh phục điểm cao ở các kì thi, qua đó giúp nhà trường từng bước cải thiện và
nâng dần công tác học sinh mũi nhọn.
- Nội dung SKKN cũng đã được trình bày ở Tổ chuyên môn đến các đồng
nghiệp và được các đồng nghiệp áp dụng vào thực tiễn dạy học ở trường THPT
Hoằng Hóa 3. Qua thực tiễn nhiều năm đã nhận thấy tính hiệu quả cao của
SKKN này cũng như đã tạo ra một cách dạy, một cách tiếp cận độc đáo đến một
nội dung Toán học. Nó như là bài mẫu để giáo viên có thể áp dụng cho các nội
dung khác cũng như tạo nên một phong cách học Toán sáng tạo cho học sinh.
- SKKN này cũng giúp ích bản thân rất nhiều, đặc biệt là khi trực tiếp giảng dạy
học sinh. Việc dạy cho học sinh lớp chất lượng cao, học sinh đội tuyển học sinh
giỏi trong thực tế đã giúp bản thân rút ra nhiều kinh nghiệm quý báu, để từ đó
sáng tạo ra các kĩ thuật mới, giúp cho việc dạy học trở nên thực sự tư duy và
sáng tạo.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
nghiệm phân biệt �

19


3.1. KẾT LUẬN
Muốn thành công trong công tác giảng dạy trước hết đòi hỏi người giáo
viên phải tâm huyết với nghề, phải đam mê tìm tòi học hỏi, phải nắm vững các
kiến thức cơ bản, phải tổng hợp các kinh nghiệm áp dụng vào bài giảng. SKKN
này đã chỉ ra được các dạng toán, các dấu hiệu đặc trưng cũng như các kĩ thuật
giải nhanh phương trình, bất phương trình chứa tham số .

Giáo viên cần phải biết phát huy tính tích cực chủ động chiếm lĩnh tri thức
của học sinh. Trong quá trình giảng dạy phải coi trọng việc hướng dẫn học sinh con
đường tìm ra kiến thức mới, khơi dậy óc tò mò, tư duy sáng tạo của học sinh, tạo
hứng thú trong học tập, dẫn dắt học sinh từ chỗ chưa biết đến biết, từ dễ đến khó.
Trong thực tế vận dụng SKKN không những giúp học sinh trong việc định hướng
giải toán với một nội dung cụ thể mà thông qua đó để học sinh thấy được rằng
việc “ tư duy phương pháp ” và kĩ năng giải nhanh phương trình, bất phương
trình chứa tham số là rất tốt và có kết quả. Từ đó thôi thúc học sinh tìm tòi sáng
tạo để trang bị cho mình những quy trình và lượng kiến thức mới.
Nội dung kiến thức của SKKN là nội dung được học sinh tiếp cận đầu của
lớp 12, do đó đối với một số học sinh trung bình và trung bình khá thì khả năng
vận dụng vào giải toán còn đang lúng túng, nhất là trong các bài toán cần sự linh
hoạt lựa chọn phương pháp hay khi gặp bế tắc trong giải toán học sinh thường
không chuyển hướng được cách suy nghĩ để giải bài toán ( thể hiện sức “ỳ” tư
duy vẫn còn lớn). Vì vậy khi dạy cho học sinh nội dung này, giáo viên cần tạo ra
cho học sinh cách suy nghĩ linh hoạt và sáng tạo trong khi vận dụng giải toán
.Điều đó đòi hỏi người giáo viên cần phải khéo léo truyền thụ quy trình và cách
giải toán linh hoạt đối với các bài toán.
Khả năng ứng dụng thực tiễn giảng dạy ở nhà trường của SKNN là rất
cao, hầu như giáo viên nào, lớp học nào đều có thể áp dụng vào giảng dạy hiệu
quả. SKKN này cũng có thể mở rộng ra lớp bài toán hệ phương trình, hệ bất
phương trình có chứa tham số cũng như tư duy phương pháp cho các nội dung
khác của Toán học.
3.2. KIẾN NGHỊ
Qua sự thành công bước đầu của việc áp dụng nội dung này thiết nghĩ
rằng chúng ta cần thiết phải có sự đổi mới trong cách dạy và học. Không nên
dạy học sinh theo những quy tắc máy móc nhưng cũng cần chỉ ra cho học sinh
những quy trình mô phỏng đang còn mang tính chọn lựa để học sinh tự mình tư
duy tìm ra con đường giải toán.
SKKN đã tiếp cận đến một vấn đề khó và phổ dụng trong việc dạy học

sinh chất lượng cao, thực tế giảng dạy ở trường THPT Hoằng Hóa 3 nhiều năm
đã cho thấy hiệu quả rõ rệt. Vì vậy, các giáo viên khác có thể áp dụng và sáng
tạo thêm để nâng cao chất lượng học sinh mà mình giảng dạy.
Mong rằng qua báo cáo kinh nghiệm này các đồng nghiệp cho tôi thêm
những ý kiến và phản hồi những ưu nhược điểm của cách dạy nội dung này.
20


Cuối cùng tôi mong rằng nội dung này sẽ được các đồng nghiệp nghiên cứu và
áp dụng vào thực tiễn dạy học để rút ra những điều bổ ích.
Bài viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến,
phê bình, phản hồi của các đồng nghiệp
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Văn Lâm

TÀI LIỆU THAM KHẢO
*********
21


[1]. Đề thi học kì Toán 10; 12 các sở và trường THPT năm 2018.
[2]. Đề thi thử THPT Quốc Gia các năm 2017, 2018 của các Sở Giáo
Dục và Đào Tạo.

[3]. Đề thi thử THPT Quốc Gia các năm 2017, 2018 của các trường THPT
trong cả nước.
[4]. Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet
- Nguồn: />- Nguồn: />- Các nhóm Toán trên mạng.

22