Hướng dẫn học sinh THPT ứng dụng dãy số trong giải quyết một số bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT ỨNG DỤNG DÃY SỐ TRONG GIẢI
QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện:

Lê Thị ngọc

Chức vụ:

Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn):

Thanh Hóa năm 2019
1

Toán


MỤC LỤC
Nội dung

Trang

Phần I: MỞ ĐẦU …….............................................................. …
2
1. Lý do chọn đề tài ………………………………………..
2
2. Mục đích nghiên cứu ……………………………………
3
3. Đối tượng nghiên cứu ………………………………………..
3
4. Phương pháp nghiên cứu ………………………………...
3
5. Những điểm mới của SKKN …………………………...
3
Phần II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ………………
4
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ...................... …………
4
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
4
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề .....................
4
3.1. Phương pháp xây dựng ví dụ thực tiễn......................................
4
3.2. Hệ thống hóa các bài toán, qui lạ về quen ..................................
4. Các dạng bài tập thông qua HĐ mô hình hóa………………………. 5
4.1 Ứng dụng cấp số cộng, giải quyết một số bài toán thực tế………… 5
4.2 Ứng dụng cấp số nhân, giải quyết một số bài toán thực tế………….7
4.3 Hệ thống các bài tập về dãy số có nội dung thực tiễn…………….. 11
4.4 Bài tập học sinh tự sáng tạo…………………………………………13
5. Kết quả đạt được trong việc vận dụng đề tài vào giảng dạy...................15.
Phần II. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ................................................................15

- Tài liệu tham khảo .........................................................17

2


Phần I. MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài:
Từ năm học 2016-2017 Bộ giáo dục và đào tạo chuyển hướng thi môn
Toán THPT Quốc gia theo hình thức tự luận sang trắc nghiệm thì các bài
toán có nội dung thực tiễn được khai thác một cách mạnh mẽ.
Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản
xuất và đời sống. Mặt khác, giáo dục cần đào tạo ra những con người lao
động có hiểu biết, có kỹ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán
học vào mọi lĩnh vực trong cuộc sống. Bởi vậy việc hướng dẫn học sinh vận
dụng các kiến thức Toán được học trong nhà trường vào giải quyết các bài
toán thực tế là điều vô cùng cần thiết cho bản thân mỗi học sinh, cho sự phát
triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo dục.
Tuy nhiên, những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn, cụ thể là
những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và sản xuất
còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình sách giáo khoa
THPT hiện hành. Dẫn đến khoảng cách giữa việc học sinh giải quyết bài toán
“mô hình” trong SGK với việc giải quyết bài toán thực tế còn nhiều khó khăn.
Và trong quá trình giảng dạy môn Toán ở phổ thông, một số giáo viên còn
chưa thường xuyên liên hệ thực tế để giúp các em phải luôn đặt câu hỏi trong
đầu là “Những vấn đề toán học này có ứng dụng không và ứng dụng trong
trường hợp nào?”
Xuất phát từ những nhu cầu trên tôi đã tìm tòi, nghiên cứu và viết đề tài
sáng kiến kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh THPT ứng dụng dãy số trong
giải quyết một số bài toán thực tế”. Với một hy vọng là sẽ giúp các em phần

nào có phương pháp tiếp cận một bài toán thực tế để đưa về bài toán “mô
hình”, đồng thời hình thành ý thức mạnh dạn, tự tin và sáng tạo trong học tập
môn Toán nói riêng và các môn Khoa học tự nhiên nói chung.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài.
Qua nội dung của đề tài này, tôi mong muốn cung cấp cho học sinh kĩ
năng phân tích một bài toán thực tế, quy lạ về quen, và hình thành cho các em
phương pháp giải quyết một lớp các bài toán liên quan đến dãy số, cấp số.
Hơn nữa giúp học sinh nhìn thấy sự gần gũi của Toán học với cuộc sống, từ
đó các em thêm yêu thích bộ môn toán học.
Xây dựng hệ thống bài tập đa dạng có nội dung thực tế, liên quan đến
dãy số, cấp số, đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân.
3. Đối tượng nghiên cứu
3


- Đối tượng : Chương Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân trong
chương trình Đại số &Giải tích lớp 1.
- Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 11, sách hướng dẫn giáo viên và
mạng internet.
- Giảng dạy cho HS lớp 11.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
4. 1. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung
đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
- Các đề thi thử THPT quốc gia và đề thi THPT quốc gia các năm học
2016-2017, 2017-2018, 2018-2019.
4. 2. Nghiên cứu thực tế :
* Phương pháp quan sát:

Người thực hiện đề tài tự tìm tòi, nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm từ thực
tiễn giảng dạy .
* Phương pháp trao đổi, thảo luận:
Từ kết quả nghiên cứu, khi thực hiện đề tài tôi tiến hành trao đổi, thảo
luận với đồng nghiệp, rút kinh nghiệm để hoàn thiện đề tài.
* Phương pháp thực nghiệm:
Tiến hành dạy thể nghiệm theo phương pháp đã nghiên cứu trong đề tài.
* Phương pháp điều tra:
Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua
các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
Phần II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHỆM
1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Kiến thức về dãy số, cấp số thường gây khó khăn cho học sinh vì phải tư
duy một dãy nhiều số hạng, phải tìm được quy luật giữa hai số hạng liên tiếp.
Với những bài toán “mô hình”, cho cấp số cụ thể, áp dụng trực tiếp các công
thức đã học, hỏi trực tiếp các nội dung liên quan đến công thức, thì học sinh có
thể làm được khá tốt. Tuy nhiên khi giải quyết các bài toán liên quan đến thực
tế thì cả học sinh khá, giỏi cũng lúng túng khi phân tích để tìm ra cấp số được
sử dụng trong bài.
2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
4


Nghiên cứu đối tượng học sinh năm học: 2016- 2017; 2017-2018 khi tiếp
cận với hình thức ra đề mới của Bộ giáo dục & đào tạo, tôi nhận thấy đa số
HS rất sợ bài toán có liên quan đến dãy số. Các em chỉ làm tốt được những
bài toán áp dụng ngay qui tắc, công thức và bỏ qua những bài toán trong Sgk
nếu nó mang nội dung thực tiễn.
Hoặc là GV dạy không chú trọng đến những kiến thức thực tiễn, để HS
không cảm nhận được cái hay cái đẹp cuả toán học.

Thực trạng học sinh
- Các em còn lúng túng trong các bài toán có nội dung thực tiễn
- Đa số chưa có kỹ năng sáng tạo để đề xuất các bài toán tương tự.
Những vấn đề này người giáo viên phải luôn luôn tìm tòi và đưa ra hướng
giải quyết khắc phục sao cho học sinh của mình đạt kết quả cao nhất trong các
kì thi và phải tìm ra được những cách giải phù hợp và nhanh cho từng dạng
toán cụ thể để truyền thụ cho học sinh. Thực trạng trên là những động lực
giúp tôi nghiên cứu đề tài này
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3.1 Phương pháp xây dựng ví dụ thực tiễn toán học
Một phương pháp xây dựng ví dụ hiệu quả nhất là phương pháp mô hình
hoá. Toán học hoá các tình huống thực tế (mô hình hoá)
Quá trình mô hình hoá toán học được mô tả gồm 4 bước:
Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố
có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các quy luật mà chúng ta
phải tuân theo.
Bước2:Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét,tức là diễn tả lại dưới
dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian. Lưu ý là ứng với vấn đề
đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tuỳ theo chỗ các
yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan
trọng.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình
thành ở bước2..Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây
dựng phương pháp giải cho phù hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3. Trong
phần này phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với
vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia.
Giảng dạy toán hiện nay tại Việt Nam đang tập trung ở bước 3, bởi vì:
- Chương trình, nội dung, sách giáo khoa chủ yếu trình bày bước3;
- Các đề thi cũng tập trung nội dung ở bước3;

- GV giỏi ở bước 3 và chưa có nhiều kinh nghiệm ở các bước còn lại.
5


3.2 Hệ thống hóa các bài toán, qui lạ về quen thông qua hoạt động khám
phá
Giáo viên đưa ra hệ thống các bài tập thực tế, qua đó hướng dẫn các em
cách phân tích đề bài để tìm ra quy luật, hình thành dãy số, sau đó áp dụng
các công thức phù hợp.
Để làm được các bài toán thực tế liên quan đến cấp số cộng hoặc cấp số
nhân, các em thường phải qua các bước sau:
- Đọc kĩ đề bài, tìm ra các từ khóa, dự đoán cấp số và chứng minh.
- Đọc kĩ yêu cầu của bài toán, thành lập công thức tính và kết luận.
4. Các dạng bài tập thông qua hoạt động mô hình hóa, khám phá
4.1 Ứng dụng cấp số cộng, giải quyết một số bài toán thực tế.
Bài 1.Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: Hàng thứ
nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….. Hỏi có bao
nhiêu hàng?

•

•

Hoạt động khám phá:
Giáo viên yêu cầu học sinh phát hiện ra cấp số được sử dụng trong bài qua
dữ liệu “Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3
cây…”, vậy hàng sau hơn hàng liền trước 1 cây, từ đó ta có cấp số cộng với
là số cây ở hàng thứ i.
Bài toán thực tế đang hỏi vấn đề gì của cấp số cộng trên?số hạng tổng quat
hay là tổng ? từ nào thể hiện điều đó?

Lời giải:Gọi là số cây ở hàng thứ i.Theo bài ra ta có:
là một cấp số cộng với.
Vì tổng số cây trồng là 3003 cây tương ứng với tổng số cây ở các hàng đã
trồng:
. Vậy có 77 hàng đã được trồng.
Nhận xét: Đây là bài toán khá đơn giản,dễ phát hiện ra dấu hiệu của cấp số
cộng. Khuyến khích học sinh tự đưa ra các bài tập tương tự, có thể cho số
hàng và tính tổng số cây đã được trồng.
Bài 2.Một trò chơi được tổ chức trên truyền hình theo phương thức:
- Nếu người chơi trả lời đúng câu đầu tiên thì được thưởng 1 triệu đồng.
6


Tiếp đến, nếu mỗi câu trả lời đúng thì được cộng thêm 500 000 đồng.
-Trò chơi được chấm dứt khi bị vướng vào câu trả lời sai.
Hỏi số câu trả lời đúng tối thiểu là bao nhiêu để người chơi đạt số tiền tối
thiểu là 10 triệu đồng?

•

•

Hoạt động khám phá:
Qua dữ liệu “Tiếp đến, mỗi câu trả lời đúng thì được cộng thêm 500 000
đồng” suy ra mỗi câu trả lời đúng sẽ có mức thưởng bằng mức thưởng của
cây trả lời đúng ngay trước đó công thêm 500 000 đồng. Ta được một cấp số
cộngvới là số tiền thưởng ở câu trả lời đúng thứ i liên tiếp.
Số tiền thưởng của người chơi bằng tổng số tiền thưởng ở các câu trả lời
đúng liên tiếp. Vậy 10 triệu đồng liên quan đến .
Lời giải:

Gọi là số tiền thưởng ở câu trả lời đúng liên tiếp thứ i. Theo bài ra ta có:
là một cấp số cộng có .
Theo bài ra, để tổng số tiền thưởng lớn hơn hoặc bằng 10 triệu đồng thì
người chơi phải trả lời đúng ít nhất 5 câu liên tiếp.
Bài 3. Khi ký hợp đồng làm việc 10 năm với các công nhân được tuyển
dụng. Công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người
lao động chọn, cụ thể là:
Phương án 1: người lao động sẽ nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc
đầu tiên và kể từ năm thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 3 triệu đồng mỗi
năm.
Phương án 2: người lao động sẽ nhận 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu
tiên và kể từ quý làm việc thứ 2 mức lương sẽ tăng thêm 500.000 đồng
mỗi quý.
Nếu là người lao động bạn sẽ chọn phương án nào?
Hoạt động khám phá:Số tiền nhận được liên tiếp hàng năm (hàng quý)tuân
theo quy luật của cấp số cộng.
Lời giải:
7


Phương án 1: Số tiền lương nhận được hàng năm liên tiếp lập thành cấp số
cộng với số hạng đầu triệu và công sai triệu. Vì vậy tổng số tiền người lao
động nhận được trong 10 năm là: triệu.
Phương án 2: Số tiền lương nhận được hàng quý liên tiếp lập thành cấp số
cộng với số hạng đầu triệu và công sai triệu. Vì vậy tổng số tiền người lao
động nhận được trong 40 quý là: triệu.
Vì vậy người lao động nên chọn phương án 2.

•

•

Bài 4. Dựng các nửa đường tròn có
bán kính từ nhỏ đến lớn như hình
vẽ. Gọi u1 là diện tích của nửa
đường tròn nhỏ nhất (thứ nhất), u2
là diện tích phần hình nằm giữa
đường tròn thứ nhất và thứ hai,…,
uk là diện tích phầnhình nằm giữa
đường tròn thứ (k-1) và đường tròn
thứ k. Tính u10?
Hoạt động khám phá:
Diện tích phần cần tính nằm giữa hai nửa đường tròn liên tiếp.
Diện tích của các nửa đường tròn liên quan trực tiếp đến bán kính, từ đó
nhìn ra bán kính hai đường tròn liên tiếp hơn kém nhau 1/2.
Thành lập công thức tính diện tích các u k và dễ dàng chứng minh (uk)là cấp
số cộng.
Lời giải:Ta có diện tích nửa đường tròn đầu tiên có bán kính bằng 1 là: ,
(bán kính của các nửa đường tròn là một cấp số cộng có )…..
Suy ra là một cấp số cộng. Nên là số hạng thứ 9 trong cấp số cộng.
4.2. Ứng dụng cấp số nhân, giải quyết một số bài toán thực tế.
1.Bài toán trang trí liên quan đến diện tích các hình.

8


Bài 1.Hình vuông có cạnh bằng 1, người ta
nối trung điểm các cạnh liên tiếp để được
một hình vuông, rồi lại tiếp tục làm như thế
đối với hình vuông mới (như hình bên). Tính

tổng diện tích các hình vuông liên tiếp đó
(kể cả hình vuông ban đầu).

•

•

Hoạt động khám phá:
Nếu nối , dễ thấy diện tích tam giác vuông AMQ bằng diện tích tam giác
vuông OMQ, từ đó so sánh diện tích của hình vuông MNPQ và hình vuông
ABCD.
Dựa vào cụm từ “Làm tiếp tục như thế mãi” có thể liên quan đến cấp số nhân
lùi vô hạn.
Lời giải: Gọi s1 là diện tích hình vuông ABCD, là diện tích hình vuông thứi
(liên tiếp từ ngoài vào trong). Theo bài ra ta có:
là một cấp số nhân lùi vô hạn với .
Khi đó tổng diện tích các hình vuông dựng được: (đv diện tích).

Bài 2.Cho hình vuông (C1) có cạnh bằng 4 cm Người ta
cạnh của hình vuông thành 4 phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thíc
được hình vuông (C2)(như hình vẽ). Từ hình vuông (C2) lại tiếp tục như trên để đ
vuông (C3), …tiếp tục như trên, hỏi độ dài cạnh của hình vuông thứ 15 là bao nhiê
•

Hoạt động khám phá:
Bài toán này, các cạnh hình vuông (C2) hình thành không đi qua trung điểm
các cạnh của hình vuông(C1), nên khó nhìn thấy ngay tỉ lệ về độ dài cạnh của
hai hình vuông. Tuy nhiên độ dài các cạnh liên tiếp sẽ tạo thành một cấp số,
9

do đó nên tính toán trực tiếp độ dài cạnh hình vuông C k qua độ dài cạnh hình
vuông thứ Ck-1 sẽ tìm ra quy luật.
Lời giải: Gọi ak là độ dài cạnh của hình vuông C k. Ta có a1=4. .là một cấp số
nhân có số hạng đầua1=4, .
Vậy cạnh hình vuông thứ 15 có chiều dàicm.
•

Bài toán mua bán, xây dựng.
Bài 3.Người ta thiết kế một tòa tháp 11 tầng, theo cấu trúcdiện tích mặt
sàn tầng trên bằng nửa diện tíchmặt sàn của tầng ngay bên dưới. Hãy tính
số viên gạch hoa cần dùng để lát nền tòa tháp, biết diện tích mặt đáy tháp
là 50m2 và kích cỡ mỗi viên gạch hoa là 50x50cm.
Lời giải:Gọi s1 là diện tích mặt đáy tháp: s1=50 m2. Gọi si là diện tích mặt sàn
của tầng thứ thì. …..Vậy là một cấp số nhân có số hạng đầu s 1=50 m2, công
bội .
Vậytổng diện tích mặt sàn của 11 tầng là:
Diện tích mỗi viên gạch là 50x50=2500cm2ứng với 0,25m2.
Vậy số lượng gạch cần dùng tối thiểu là 400 viên vì 99,95: 0,25=399,8.

•

•
•

Bài toán tính lương,lãi suất, khấu hao…
Bài 4.Ông An có 200 triệu đồng gửi ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi
suất 8%/ năm. Sau 5 năm ông An thu được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Hoạt động khám phá:
Lãi kép là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc, mà còn tính trên số tiền

lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kì.
Từ đó lần lượt tính số tiền cả gốc lẫn lãi sau từng kì hạn, và hình thành công
thức tổng quát.
Lời giải:
Gọi M là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất theo kì hạn gửi.
Sau 1 kì hạn số tiền cả gốc lẫn lãi là: .
Sau 2 kì hạn số tiền là: .
Sau 3 kì hạn số tiền là: .
10


Tổng quát sau n kì hạn số tiền cả gốc lẫn lãi là:
Áp dụng với M=200 triệu, r=8%=0,08 và n=5, số tiền ông An nhận được cả
gốc lẫn lãi sau 5 năm : đồng.
Bài 4.Ông An có 200 triệu đồng gửi ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi
suất 8%/ năm. Sau 5 năm ông An thu được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Bài 5.Một chiếc ô tô mới mua năm 2016 với giá 900 triệu đồng. Cứ sau
mỗi năm, giá chiếc ô tô này giảm 10%. Hỏi đến năm 2020, giá tiền chiếc ô
tô này còn khoảng bao nhiêu?
•

Hoạt động khám phá:
Bài toán phải chú ý là giá chiếc ô tô giảm từng năm, nên công thức cần hình
thành là .
Lời giải:
Áp dụng công thức với M=900.106, r=0,1 và N=4, ta có giá thành chiếc ô tô
năm 2020 là: đồng.
Bài 6. Một học sinh vừa tốt nghiệp cấp 3 ra trường làm công nhân
cơ khí, bạn ấy được lĩnh lương khởi điểm 2 300 000đ/tháng. Cứ 6 tháng
bạn ấy lại được tăng lương thêm 7%. Hỏi sau 4 năm làm việc bạn ấy lĩnh

được tất cả bao nhiêu tiền.

•

Hoạt động khám phá:
Thông qua đề bài, các em cần tìm ra các dữ liệu cơ bản: Lương khởi điểm
(M), mức tăng r, thời gian tính và số chu kì tăng lương.
Lời giải:
Gọi M là lương khởi điểm của người công nhân: M = 2 300 000 đồng.
Số tiền người công nhân nhận được trong 6 tháng đầu là : 6M.
Sáu tháng tiếp theo, lương người công nhân mỗi tháng tăng thêm 0,07M. Vì
vậy mỗi tháng người đó nhận số tiền lương: M(1+0,07). Vậy số tiền người
công nhân nhận được trong 6 tháng tiếp theo là: 6M(1+0,07). Lập luận tương
tự, số tiền người công nhân nhận được trong 6 tháng tiếp nữa là: …
Sau 4 năm ứng với 8 chu kì (7 lần tăng). Tổng số tiền người công nhân lĩnh
là:…. đồng.
11


Bài 7.Một người, đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi
kép là 1%/ tháng. Biết lãi suất không thay đổi trong quá trình gửi. Hỏi sau
2 năm người đó lãi bao nhiêu?

•

Hoạt động khám phá:
Các dữ liệu cần chú ý: Hàng tháng đều gửi ngân hàng số tiền như nhau và
chỉ tính số tiền lãi sau 2 năm.Học sinh hình thành công thức tính tương tự
như khi hình thành công thức lãi kép cho bài toán tổng quát.
Lời giải:

Gọi a là số tiền cố định được gửi hàng tháng, r là lãi suất/ tháng của ngân
hàng và Tn là số tiền cả vốn lẫn lãi sau n tháng gửi.
Áp dụng, ta có sau 2 năm ứng 24 tháng số tiền cả gốc lẫn lãi người gửi có
được là:…. đồng.
Vậy số tiền lãi sau 2 năm gửi là:….. đồng.
Bài 8.Bác Hà cần xây căn nhà với chi phí1 tỉ đồng. Đặt kế hoạch sau 5 năm
phải có đủ số tiền trên thì mỗi năm bác Hà cần gửi vào ngân hàng một
khoản tiền tiết kiệm như nhau là bao nhiêu, biết lãi suất ngân hàng là 7%/
năm và lãi được nhập vào vốn? (đơn vị là triệu đồng).
Lời giải:
Gọi a (triệu) là số tiền cố định bác Hà cần gửi vào ngân hàng hàng tháng.Ta
có : …..triệu. Vậy bác Hà cần gửi ngân hàng mỗi năm 162,5 triệu.
4.3 Hệ thống các bài tập về dãy số có nội dung thực tiễn
Bài 1: Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên
một tháng (chuyển vào tại khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ
tháng 1 năm 2016 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi
suất 1% trên một tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền
(gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi từ tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về
bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn đồng).
A. 50 triệu 730 nghìn đồng
B. 48 triệu 480 nghìn đồng
C. 53 triệu 760 nghìn đồng
D. 50 triệu 640 nghìn đồng
Hướng dẫn giải
12


Số tiền tháng 1 mẹ được nhận là 4 triệu, gửi đến đầu tháng 12 (được 11 kỳ

hạn), vậy cả vốn lẫn lãi do số tiền tháng 1 nhận sinh ra là:

(triệu đồng).
Tương tự số tiền tháng 2 nhận sẽ sinh ra:
(triệu đồng)
......................................................
Số tiền tháng 12 mẹ lĩnh luôn nên là: 4 (triệu đồng).
Vậy tổng số tiền mẹ lĩnh là:
(50 triệu 730 nghìn đồng). Đáp án A.
Bài 2: Một anh công nhân được lĩnh lương khởi điểm là 700.000đ/tháng. Cứ
ba năm anh ta lại được tăng lương thêm 7%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh
công nhân được lĩnh tổng cộng bao nhiêu tiền (lấy chính xác đên hàng đơn
vị)
A. 456.788.972
B. 450.788.972
C. 452.788.972
D. 454.788.972
Hướng dẫn giải
+ Tiền lương 3 năm đầu:
+ Tiền lương 3 năm thứ hai:
+ Tiền lương 3 năm thứ ba:
+ Tiền lương 3 năm thứ tư:
……………………
+ Tiền lương 3 năm thứ 12:
Tổng tiền lương sau 36 năm:

Bài 3: Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại là 100 triệu đồng và sau 3
năm nó sẽ đem lại 150 triệu đồng. Với lãi suất 8%, hãy đánh giá xem có nên
thực hiện dự án này không?
13

Bài 4: Bạn định mua một chiếc xe máy theo phương thức trả góp. Theo
phương thức này sau một tháng bạn nhận được xe bạn cần trả một lượng tiền
nhất định nào đó, liên tiếp trong 44 tháng. Giả sử giá xe máy thời điểm bạn
mua là 16 triệu đồng và giả sử lãi suất ngân hàng là 1% một tháng. Với mức
phải trả hàng tháng là bao nhiêu thì việc mua xe trả góp là chấp nhận được?
Bài 5: Một ngân hàng quy định đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức
có kì hạn như sau: “Khi kết thúc kì hạn mà người gử không đến rút tiền thì
toàn bộ số tiền cả vốn và lãi sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn mà người đã
gửi”.Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân hàng
nói trên và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là 0,4%
Hỏi sau 6 tháng, kể từ ngày gửi, người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số
tiền được bao nhiêu?
Bài 6: Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu
tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt
vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,…và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n.
Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn
cờ đó có bao nhiêu ô?
A.

98

B.

100

C.

102

D.

104

.

Bài 7: Hai người cùng chơi đưa ngựa về đích. Bàn cờ được kẻ sẵn, gồm 107
ô vuông bằng nhau được xếp theo hàng ngang. Ô đầu tiên (ô số 1) bên trái
bàn cờ là ô xuất phát, ô cuối cùng bên phải (ô 107) của bàn cờ được gọi là
đích (như minh họa dưới đây)
rên bàn cờ có 1 chú ngựa, đứng ở ô xuất phát. Đến lượt đi, người chơi di
chuyển ngựa theo một chiều, từ trái sang phải, với bước đi từ 1 đến 4 ô. Hai
người thay nhau di chuyển ngựa, ai đưa được ngựa vào ô đích là thắng. Để
người chơi thứ nhất (là người đi ngựa từ ô xuất phát) luôn thắng cần tiến hành
theo cách nào sau đâu
A. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 2 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô
k = 1, 2,....., 21

thứ 4k+2 với
.
B. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 3 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô
thứ 4k+2 với k= 1,2,….21.
14


C. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 2 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô
thứ 5k+2 với k= 1,2,3,…..21
D. Lần đầu di chuyển ngựa vào ô thứ 3 và mỗi lần sau di chuyển ngựa vào ô
thứ 5k+2 với k=1,2,3,…..21.
4.4. Bài tập học sinh tự sáng tạo
Đặt vấn đề: Từ những dạng bài tập giáo viên đưa ra trong quá trình giảng dạy

cùng với việc hướng dẫn cho các em hình thành ý thức tự nghiên cứu, tìm tòi
để từ đó biết sáng tạo ra những bài toán mà mình có thể giải quyết được. Sau
đây là một số bài toán các em tự sáng tạo:
Bài 1. Trong một trò chơi game, bạn Nam muốn có 200 viên đá quý để nâng
cấp trang bị. Nam đi phó bản vượt ải để kiếm đá. Hỏi Nam phải đi ít nhất bao
nhiêu ải để có đủ đá, biết rằng ải đầu có 5 viên đá và mỗi ải sau hơn ải liền
trước 5 viên.
Bài 2.Bác Vấn thuê hai mẫu ruộng để trồng hoa. Giá thuê năm nay là 2 triệu/
xào/ năm. Mỗi năm giá thuê ruộng lại tăng 5%. Hỏi 4 năm trước bác Vấn thuê
ruộng với giá bao nhiêu và 5 năm sau giá thuê ruộng sẽ là bao nhiêu (biết 1
mẫu là 10 xào).
Bài 3. Ông Vân có 800 triệu gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi
suất 3% một quý. Hỏi sau 5 năm, ông Vân nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là
bao nhiêu. Biết rằng cứ sau mỗi một quý ông lại rút 2% số tiền cả gốc lẫn lãi
mà mình có để đưa vào sinh hoạt.
Bài 4.Để trang trí hai bên cổng trại, lớp 11D1 cần sử dụng dây kim tuyến
cứng, dựng hình như sau: xen kẽ các nửa đường tròn là hai cạnh liên tiếp của
một tam giác đều (như hình vẽ). Biết AB=1m, AB=2BC, BC=2CD, CD=2DE,
….quá trình dựng tiếp tục mãi mãi. Tính chiều dài dây kim tuyến lớp
11D1cần sử dụng để trang trí hai bên cổng trại.

5. Kết quả đạt được trong việc vận dụng đề tài vào giảng dạy.
15


-Học sinh tự đánh giá:
+Biết tìm kiếm các dữ liệu cơ bản và quan trọng trong đề bài.
+Biết được cách giải quyết bài toán theo từng loại ứng dụng trong thực tế.
+Rèn luyện phương pháp tự học, tự tìm kiếm và chiếm lĩnh kiến thức, học và
làm quen với phương pháp nghiên cứu, sáng tạo bài tập áp dụng.

-Giáo viên đánh giá: dựa vào 3 tiêu chí và trên cơ sở tiêu chí đánh giá.
+Về kiến thức: kết quả thể hiện học sinh không chỉ nắm bắt được nội dung
kiến thức trong sgk mà còn hiểu rộng hơn, sâu hơn.
+Về phương pháp: rèn luyện được phương pháp tự học, phương pháp nghiên
cứu, cách làm việc khoa học, cách trình bày.
+Về thái độ: phải làm việc nghiêm túc, say mê, có trách nhiệm, mong muốn
tạo 1 sản phẩm có kết quả cao.
6. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này cho học sinh trong năm học
2018-2019 và thu được những kết quả khả quan. Học sinh có hứng thú học
tập hơn, tích cực hoạt động trong các giờ học, đồng thời cũng rất linh hoạt
trong từng bài tập cụ thể. Không khí học tập sôi nổi, nhẹ nhàng. Học sinh có
cơ hội để khẳng định mình, không còn lúng túng, lo ngại khi gặp bài tập phần
này vì nội dung sáng kiến kinh nghiệm có thể áp dụng cho tất cả các bài toán
có ứng dụng thực tiễn trong thi THPT Quốc gia.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy kết quả học sinh khá, giỏi tăng lên rõ
rệt còn học sinh yếu, kém thì giảm so với những năm khi chưa đưa ý tưởng
này vào áp dụng.
Tỉ lệ và kết quả học sinh khi áp dụng sáng kiến
Lớp

Tổng số
HS

Học sinh
yếu

Học sinh
Trung bình

Học sinh
Khá

Học sinh
Giỏi

11A5

40

4 (10%)

15 (37,5%)

12 (30%)

9 (22,5%)

11A9

42

6 (14,3%)

20 (47,6%)

9 (21,4%)

7 (16,7%)

Phần III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận.
16


Chuyên đề đã đưa ra được hệ thống các bài tập thực tế, đa dạng các lĩnh
vực và gần gũi với cuộc sống hàng ngày. Việc ứng dụng chuyên đề vào giảng
dạy đã hình thành cho các em phương pháp tiếp cận một bài toán thực tế, giúp
các em tự tin, mạnh dạn ứng dụng toán học vào cuộc sống. Qua mỗi bài tập
hướng dẫn, tôi đều liên hệ cho các em đến các tình huống tương tự, và kết quả
các em đã có thể tự đưa ra các bài toán thực tế của riêng mình. Các em dần
hiểu toán học có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Mặt khác, tôi nhận thấy học sinh cũng rất nhạy bén trong vận dụng toán
học vào thực tiễn. Do vậy, tôi nghĩ rằng để 45 phút lên lớp của mỗi giáo viên
có hiệu quả thì các thầy cô giáo cần liên hệ thực tế những kiến thức cần
truyền thụ cho học sinh, nếu làm được điều đó thì quá trình tiếp thu tri thức
mới đối với học sinh sẽ tự nhiên và dễ dàng hơn.
Đây là phương pháp dạy học tích cực theo chủ trương của Bộ giáo dục.
Phần trình bày nội dung chuyên đề của tôi chắc chắn còn nhiều thiếu sót, chưa
đáp ứng hết được sự kỳ vọng của quí thầy cô. Kính mong quí thầy cô cùng
thảo luận, góp ý kiến để đi đến thống nhất một số vấn đề cơ bản trong việc
vận dụng phương pháp này vào dạy học bộ môn Toán để ngày càng đạt hiệu
quả thiết thực hơn.
2. Kiến nghị.
Xuất phát từ cơ sở lý luận, thực tiễn, mục đích dạy học cũng như những
thành công và hạn chế trong khi thực hiện đề tài, để góp phần vào việc giảng
dạy bộ môn đạt kết quả tốt, tôi có những kiến nghị sau:
* Đối với tổ chuyên môn cần tăng cường hơn nữa hoạt động trao đổi, thảo
luận nội dung chuyên môn trong các buổi sinh hoạt tổ, cần chuẩn bị và đưa

những nội dung mới và khó để thảo luận, bàn phương pháp giải quyết trước
khi truyền đạt vấn đề cho học sinh.
* Cần tạo điều kiện cho HS giao lưu với HS các lớp cùng khối về các
chuyên đề mình tự nghiên cứu để các em tích cực sáng tạo ra những bài toán
hay có nội dung thực tiễn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2019

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

CAM KẾT KHÔNG COPY.
Người viết SKKN :

17


Lê Thị Ngọc

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Báo Toán học và Tuổi trẻ từ năm 2013 đến nay.
2. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 – NXB Giáo dục
3. Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 – NXB Giáo dục
4. Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 – NXB Giáo dục
5. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Đại số và Giải tích 11 – Nguyễn
Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng – NXB Giáo dục, 2008.
6. Tuyển tập các đề thi thử Tốt nghiệp THPT Quốc gia năm học 2017 –
2018 2018-2019 của các trường trên cả nước qua Internet.
7. Giới thiệu đề thi chính thức Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng môn

Toán – NXB Đại học Sư phạm, 2014.

18


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT,
CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:

Lê Thị ngọc

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường THPT Lê Lợi
– Thọ Xuân – Thanh Hóa
Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
Năm học
giá xếp loại
TT
Tên đề tài SKKN
xếp loại
đánh giá
(Phòng,
(A, B,
xếp loại
Sở, Tỉnh...)
hoặc C)
Sở GD&ĐT
1 Một số biện pháp nhằm phát huy

tính tích cực của HS trong học tập
Thanh Hóa
thông qua bài tập lượng giác 11
C
2007 – 2008
2 Dạy học giải một số bài tập hình học Sở GD&ĐT
không gian cho HS thông qua
Thanh Hóa
phương thức khai thác các bài toán
C
2012 – 2013
3 Rèn luyện cho HS THPT kỹ năng giải
quyết một số bài toán có nội dung
Sở GD&ĐT
thực tiễn và vận dụng kiến thức liên Thanh Hóa
B
2014 – 2015
môn.

19


4

5

Rèn luyện cho học sinh lớp 11 các
kỹ năng giải toán lượng giác bằng
phương pháp xây dựng chuỗi các
bài toán".

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

Dạy học dự án thông qua chuyên đề
ứng dụng Đạo hàm vào giải quyết
các bài toán có nội dung thực tiễn”.

Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

20

C

2016 – 2017

C

2016 - 2017