PHỐI hợp kỹ THUẬT KWL và kỹ THUẬT MẢNH GHÉP TRONG GIẢNG dạy một số bài TOÁN TÍCH PHÂN hàm ẩn

MỤC LỤC
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2.Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.5. Không gian nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1 Các tính chất và phương pháp tính tích phân
2.1.2 Kỹ thuật dạy học KWL và kỹ thuật mảnh ghép.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các giải pháp tiến hành để giải quyết vấn đề
2.3.1 Chuyên đề tích phân hàm ẩn
2.3.2 Áp dụng phối hợp kỹ thuật KWL và kỹ thuật mảnh ghép để giảng dạy
chuyên đề Tích phân hàm ẩn
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị

1


1. MỞ ĐẦU
1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong chương trình Toán lớp 12, bài toán Tích phân là một trong những bài
toán khó đối với đa số học sinh. Đặc biệt những năm gần gần đây, Bộ giáo dục
và đào tạo đã sử dụng hình thức trắc nghiệm trong kỳ thi THPT Quốc gia đối với
môn Toán với số lượng 50 câu hỏi, thời gian làm bài là 90 phút thì các vấn đề

toán ở chương trình phổ thông, đặc biệt là lớp 12 ngày càng được khai thác một
cách triệt để. Nhiều dạng Toán mới xuất hiện, buộc người học phải có tư duy
sáng tạo mới có thể hoàn thành tốt bài thi trong thời gian quy đinh. Các bài Toán
Tích phân cũng vậy, các dạng toán của nó ngày càng phong phú hơn, trong đó có
các bài toán Tích phân dưới dạng hàm ẩn. Để giải quyết bài toán này đòi hỏi học
sinh phải nắm vững các tính chất trong tích phân từ đó hình thành tư duy khái
quát để giải quyết các bài toán Tích phân hàm ẩn một cách tốt nhất.
Thực tế tại trường THPT Bỉm Sơn hiện nay các giáo viên ngày càng quan
tâm nhiều đến tất cả khâu trong chu trình lên lớp như thiết kế bài giảng, chuẩn bị
bài lên lớp, các phương pháp và kĩ thuật lên lớp, quản lí học sinh trên lớp,
hướng dẫn học sinh chủ động học tập…Tuy nhiên phần lớn các hoạt động giảng
dạy vẫn theo phương pháp dạy học truyền thống, tập trung cả lớp học dưới sự
truyền đạt của giáo viên. Học sinh học tập dưới một áp lực lớn, thụ động, hạn
chế tư duy sáng tạo, chưa phát huy được hết khả năng bản thân, chưa có điều
kiện rèn luyện được các kỹ năng sống cần thiết sau này.
Trước tình hình đó tôi luôn có ý thức đổi mới phương pháp giảng dạy, đổi
mới hình thức giảng dạy trong từng tiết học phù hợp với điều kiện cho phép có
thể. Ngoài việc dạy tốt từng tiết học theo thời khóa biểu, mỗi tháng tôi cố gắng
thực hiện tổ chức một đến hai buổi học bồi dưỡng hoàn toàn theo phương pháp
dạy học tích cực tại lớp hoặc hội trường, giúp các em thay đổi không khí học
tập, tạo điều kiện cho các em thể hiện và rèn luyện bản thân một các toàn diện,
tạo hứng thú, khơi dậy sự say mê đối với môn Toán học. Và đó là lý do đề tài
“PHỐI HỢP KỸ THUẬT KWL VÀ KỸ THUẬT MẢNH GHÉP TRONG
GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN” ra đời với
mong muốn các em học sinh không chỉ có thêm tự tin giải quyết các bài toán
Tích phân hàm ẩn mà qua đó còn rèn luyện cho học sinh nhiều kỹ năng sống
quan trọng.
1.2 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI:
- Giúp học sinh hình thành khả năng phân tích, tìm mối liên hệ giữa giả thiết và
yêu cầu bài toán từ đó xác định cách giải quyết bài toán một cách chuẩn xác,

nhanh gọn.
- Hình thành cho học sinh khả năng đánh giá tình huống, biến những bài toán lạ,
chưa có cách giải về những bài toán quen thuộc đã biết cách giải.
- Giúp các em học sinh thay đổi không khí học tập, phát triển kỹ năng làm việc
tập thể, khả năng thuyết trình, thể hiện mình trước đám đông, tạo điều kiện cho
2


các em vượt qua nỗi sợ hãi và rèn luyện bản thân một cách toàn diện, tạo hứng
thú, khơi dậy sự say mê đối với môn Toán học.
1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
- Nghiên cứu các tính chất cơ bản, quan trọng trong tích phân, các phương pháp
tính tích phân, các phương pháp xử lý một số bài toán tích phân hàm ẩn.
- Nghiên cứu và vận dụng kỹ thuật KWL và kỹ thuật mảnh ghép trong dạy học.
1.4 KHÔNG GIAN NGHIÊN CỨU
Hai lớp 12A2, 12A3 của trường THPT Bỉm Sơn Thanh hóa.
- Lớp 12A2 không áp dụng đề tài nghiên cứu
- Lớp 12A3 thường xuyên áp dụng đề tài nghiên cứu.
1.5 THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Từ tháng 12 năm 2018 đến tháng 3 năm 2019.
2. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI:
2.1 Cơ sở lý luận của đề tài
2.1.1 Về tích phân hàm ẩn:
F  x; y   0  1

- Xét phương trình
F  x; y 

, nói chung không giải ra đối với y, trong đó

là một hàm số xác định. Nếu x �E thì (1) có nghiệm duy nhất y  f  x  .
Khi đó y được gọi à hàm ẩn theo biến số x trên E .
- Các tính chất tích phân, các phương pháp tính tích phân là công cụ, là cơ sở
cho lời giải các bài toán tích phân hàm ẩn. Nắm vững các tính chất này, học sinh
sẽ có thể tự tin mở ra nhiều con đường để đi đến lời giải chính xác
Tính chất của tích phân:
f  x , g  x

Cho hàm số

a; b
liên tục trên   . Ta có các tính chất sau:

a

f  x  dx  0
�

+)

a
b

a

a

b

f  x  dx   �

f  x  dx
�

+)

b

b

a

a

k . f  x  dx  k �
f  x  dx
�

+)
b

, với k là hằng số.

b

b

dx  �
f  x  dx ��
g  x  dx
�

�f  x  �g  x  �
�
�

a
z
+) a
+) Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a, b mà không phụ

thuộc biến số x hay t :
b

c

b

b

a

a

f  x  dx  �
f  t  dt
�
b

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx; c � a; b 

�

a
c
+) a
+) So sánh giá trị của tích phân

3


b

i. Nếu

f  x  �0; x � a; b

thì

f  x  dx �0
�
a

ii. Nếu f  x  �g  x  ; x � a; b thì

b

b

a

a

f  x  dx ��
g  x  dx
�
b

iii. Nếu
iv.

m �f  x  �M ; x � a; b 

b

b

a

a

f  x  dx
�f  x  dx ��

f  x  �0; x � a; b 

thì

m  b  a  ��
f  x  dx �M  b  a 
a

. Dấu đẳng thức xảy ra khi

f  x  �0; x � a; b 

hoặc

Các phương pháp tính tích phân
- Phương pháp đổi biến số:
b

�f ( x)dx

+) Tính tích phân a
mà f ( x) không có trong bảng các nguyên hàm cở bản:
Đặt u  u( x) , vi phân hai vế du  u '( x)dx . Khi đó, ta có :
b

u (b)

a

u(a)

�f  u ( x) u '( x)dx  �f (u)du  F (u )

u (b )
u (a)

.

+) Trong đó, u  u ( x) có đạo hàm liên tục trên miền K, hàm số y  f (u ) liên tục

 xác định trên miền K; a và b là hai số thuộc miền
và sao cho hàm hợp 
K và F (u ) là một nguyên hàm của f (u ) .
-Phương pháp tích phân từng phần
+) Công thức tích phân từng phần:
Giả sử các hàm u  u ( x); v  v( x) có đạo hàm liên tục trên miền K và a,b là hai số
thuộc K. Khi đó, ta có công thức tích phân từng phần:
f u ( x)

b

u ( x)v '( x)dx   u ( x).v( x) 
�
a

b
a

b

�
v( x)u '( x)dx.
a

+) Nhận dạng : Hàm số dưới dấu tích phân là hai loại hàm số khác nhau.
* Chú ý: Cần phải chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính v đồng thời tích
b

vdu
�

b

udv
�

phân a
đơn giản hơn tích phân a
.
2.1.2 Kỹ thuật KWL và kỹ thuật mảnh ghép.
2.1.2.1 Kỹ thuật KWL:
K: What we know ( Chúng ta biết gì)
W: What we want to learn (Chúng ta muốn học cái gì)
L: What we learn (Chúng ta học cái gì)
Sơ đồ KWL là một công cụ để tổ chức tư duy nhằm giúp người học liên hệ các
kiến thức đã biết liên quan đến bài học, các kiến thức muốn biết và các kiến thức
học được sau mỗi bài học.
Cách tiến hành:
4


Bước 1: Sau khi giới thiệu bài học, mục tiêu cần đạt được của bài học, giáo viên
phát phiếu học tập sau:
PHIẾU HỌC TẬP
Tên bài học (hoặc chủ đề)……………………………………………………
Tên học sinh (hoặc nhóm)…………………………………….Lớp…………..
“SƠ ĐỒ KWL”

K
W
L
Những điều em đã biết
Những điều em muốn Những điều e đã học
biết
được

Bước 2: Hướng dẫn học sinh điền các thông tin vào phiếu
- Yêu cầu học sinh viết vào cột K những gì mà em cho là đã biết liên quan đến
bài học
- Sau đó khuyến khích học sinh suy nghĩ và viết vào cột W những gì mà các em
cho là cần phải biết, phải học để có thể đạt được mục tiêu bài học
-Sau khi học song bài học, học sinh điền vào cột L của phiếu những gì vừa học
được. Lúc này, các em xác nhận sự chính xác về những điều các em đã viết ở 2
cột và so sánh với những gì các em vừa học được về bài học.
Một số điểm cần lưu ý:
Tổ chức: Có thể sử dụng kỹ thuật này cho học sinh học cá nhân hoặc học theo
nhóm 2-5 học sinh
Công cụ: Ngoài các đồ dùng học tập theo yêu cầu của bài học cần có phiếu học
tập cho cá nhân hoặc cho nhóm
Ưu điểm và hạn chế:
Ưu điểm: Áp dụng được cho tất cả các môn học. Dễ thực hiện, không tốn kém.
Giúp học sinh biết cách tự học thông qua việc xác định những kiến thức, kỹ
năng đã có, xác định mục tiêu học tập cá nhân cũng như nhìn lại quá trình học
tập. Nếu kỹ thuật này được tiến hành theo nhóm cũng giúp nâng cao các mối
quan hệ, giao tiếp, cộng tác giữa các học sinh trong nhóm. học sinh học cách
chia sẻ và tôn trọng lẫn nhau.
Hạn chế: Không có
Một số lưu ý tại cột K

Chuẩn bị những câu hỏi để giúp học sinh động não. Đôi khi để khởi động, học
sinh cần nhiều hơn là chỉ đơn giản nói với các em : "Hãy nói những gì các em đã
biết về..."
Khuyến khích học sinh giải thích. Điều này rất quan trọng vì đôi khi những điều
các em nêu ra có thể là mơ hồ hoặc không bình thường.
Hỏi học sinh xem các em muốn biết thêm điều gì về chủ đề. Cả giáo viên và học
sinh ghi nhận câu hỏi vào cột W. Hoạt động này kết thúc khi học sinh đã nêu ra
5


tất cả các ý tưởng. Nếu học sinh trả lời bằng một câu phát biểu bình thường, hãy
biến nó thành câu hỏi trước khi ghi nhận vào cột W.
Một số lưu ý tại cột W
Hỏi những câu hỏi tiếp nối và gợi mở. Nếu chỉ hỏi các em : "Các em muốn biết
thêm điều gì về chủ đề này?" Đôi khi học sinh trả lời đơn giản "không biết", vì
các em chưa có ý tưởng. Hãy thử sử dụng một số câu hỏi sau :
"Em nghĩ mình sẽ biết thêm được điều gì sau khi em đọc chủ đề này?"
Chọn một ý tưởng từ cột K và hỏi: "Em có muốn tìm hiểu thêm điều gì có liên
quan đến ý tưởng này không?"
Chuẩn bị sẵn một số câu hỏi của riêng bạn để bổ sung vào cột W. Có thể bạn
mong muốn học sinh tập trung vào những ý tưởng nào đó, trong khi các câu hỏi
của học sinh lại không mấy liên quan đến ý tưởng chủ đạo của bài đọc. Chú ý là
không được thêm quá nhiều câu hỏi của bạn. Thành phần chính trong cột W vẫn
là những câu hỏi của học sinh.
Yêu cầu học sinh đọc và tự điền câu trả lời mà các em tìm được vào cột L.
Trong quá trình đọc, học sinh cũng đồng thời tìm ra câu trả lời của các em và ghi
nhận vào cột W.
Học sinh có thể điền vào cột L trong khi đọc hoặc sau khi đã đọc xong.
Một số lưu ý tại cột L
Ngoài việc bổ sung câu trả lời, khuyến khích học sinh ghi vào cột L những điều

các em cảm thấy thích. Để phân biệt, có thể đề nghị các em đánh dấu những ý
tưởng của các em. Ví dụ các em có thể đánh dấu tích vào những ý tưởng trả lời
cho câu hỏi ở cột W, với các ý tưởng các em thích, có thể đánh dấu sao.
Đề nghị học sinh tìm kiếm từ các tài liệu khác để trả lời cho những câu hỏi ở cột
W mà bài đọc không cung cấp câu trả lời. (Không phải tất cả các câu hỏi ở cột
W đều được bài đọc trả lời hoàn chỉnh)
Thảo luận những thông tin được học sinh ghi nhận ở cột L
Khuyến khích học sinh nghiên cứu thêm về những câu hỏi mà các em đã nêu ở
cột W nhưng chưa tìm được câu trả lời từ bài đọc.
2.1.2.2 Kỹ thuật Mảnh ghép:
Kỹ thuật mảnh ghép là gì?
Kỹ thuật “Mảnh ghép” là một trong số các kỹ thuật học hợp tác, trong đó kết
hợp giữa hoạt động cá nhân, hoạt động nhóm và liên kết giữa các nhóm
Cách tiến hành:
Cách tiến hành kĩ thuật "Các mảnh ghép"

VÒNG 1: Nhóm chuyên gia
- Hoạt động theo nhóm 3 đến 8 người [số nhóm được chia = số chủ đề x n (n =
1,2,…)]
- Mỗi nhóm được giao một nhiệm vụ [Ví dụ : nhóm 1 : nhiệm vụ A; nhóm 2:
nhiệm vụ B, nhóm 3: nhiệm vụ C, … (có thể có nhóm cùng nhiệm vụ)]
- Mỗi cá nhân làm việc độc lập trong khoảng vài phút, suy nghĩ về câu hỏi, chủ
đề và ghi lại những ý kiến của mình
6


- Khi thảo luận nhóm phải đảm bảo mỗi thành viên trong từng nhóm đều trả lời
được tất cả các câu hỏi trong nhiệm vụ được giao và trở thành “chuyên gia” của
lĩnh vực đã tìm hiểu và có khả năng trình bày lại câu trả lời của nhóm ở vòng 2.

Kỹ thuật "Các mảnh ghép"
VÒNG 2: Nhóm các mảnh ghép
- Hình thành nhóm 3 đến 6 người mới (1 – 2 người từ nhóm 1, 1 – 2 người từ
nhóm 2, 1 – 2 người từ nhóm 3…)
- Các câu trả lời và thông tin của vòng 1 được các thành viên trong nhóm mới
chia sẻ đầy đủ với nhau
- Khi mọi thành viên trong nhóm mới đều hiểu được tất cả nội dung ở vòng 1 thì
nhiệm vụ mới sẽ được giao cho các nhóm để giải quyết
- Các nhóm mới thực hiện nhiệm vụ, trình bày và chia sẻ kết quả
Một vài ý kiến cá nhân với kĩ thuật "Các mảnh ghép"
- Kĩ thuật này áp dụng cho hoạt động nhóm với nhiều chủ đề nhỏ trong tiết học,
học sinh được chia nhóm ở vòng 1 (chuyên gia) cùng nghiên cứu một chủ đề.
- Phiếu học tập mỗi chủ đề nên sử dụng trên giấy cùng màu có đánh số 1,2,…,n
(nếu không có giấy màu có thể đánh thêm kí tự A, B, C, ... . Ví dụ A1, A2, ... An,
B1, B2, ..., Bn, C1, C2, ..., Cn).
- Sau khi các nhóm ở vòng 1 hoàn tất công việc giáo viên hình thành nhóm mới
(mảnh ghép) theo số đã đánh, có thể có nhiều số trong 1 nhóm mới. Bước này
phải tiến hành một cách cẩn thận tránh làm cho học sinh ghép nhầm nhóm.
- Trong điều kiện phòng học hiện nay việc ghép nhóm vòng 2 sẽ gây mất trật tự.
Tuy nhiên kỹ thuật mảnh ghép tạo điều kiện cho học sinh có môi trường học tập
tích cực, buộc phải tập trung tối đa, chủ động lĩnh hội kiến thức để trở thành
chuyên gia trong vòng 1; sau đó ở vòng 2 học sinh được rèn luyện kỹ năng
thuyết trình trước đám đông, kỹ năng chia sẻ những hiểu biết của mình, kỹ năng
lắng nghe và nhanh chóng lĩnh hội kiến thức trong khoảng thời gian ngắn…
Điều đó giúp học sinh dần vượt qua sự sợ hãi của bản thân, tự tin và năng động
trong các hoạt động trước tập thể.
- Giáo viên nên sắp xếp bố trí thời gian để có bài tests nhanh, kiểm tra và đánh
giá hiệu quả làm việc của một vài cá nhân bất kỳ trong lớp.
2.2 Thực trạng vấn đề cần giải quyết
- Trong quá trình giảng dạy khả năng học tích phân của học sinh còn chưa tốt.

Đa số học sinh khi gặp bài toán tích phân thường dùng máy tính bỏ túi trong khi
7


đó trong các đề thi THPT của những năm gần đây xuất hiện rất nhiều câu tích
phân hạn chế sử dụng máy tính. Do vậy học sinh rất lo ngại và tỏ ra sợ hãi trước
nhưng câu hỏi không thể dùng máy tính để giải quyết. Một trong cách cho bài
toán như vậy là yêu cầu học sinh làm việc với các hàm số ẩn, không cho định
nghĩa hàm số đó một cách tường minh mà chỉ cho những tính chất đặc trưng,
buộc người học phải giải bằng chính hiểu biết và năng lực bản thân.
- Học sinh ít chú ý đến các tính chất cơ bản của tích phân, không nắm rõ mục
tiêu, bản chất của các phương pháp tính tích phân. Đối với học sinh, nếu việc
giải các bài tích phân với các hàm số được cho một cách tường minh là đã khó
thì việc sử lý các bài tích phân hàm ẩn lại càng khó khăn rất nhiều lần. Do đó
các em mất nhiều thời gian làm bài mà hiệu quả lại không cao.
- Việc học quá nhiều môn gây cho các em học sinh cảm giác chán nản, không
tập trung trong học tập. Các hình thức dạy học truyền thống làm hạn chế sự phát
triển kỹ năng sống toàn diện ở học sinh, học sinh giảm hứng thú và thiếu sự say
mê trong học tập nói chung và môn Toán nói riêng.
2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết
- Thông qua việc giải quyết một số bài toán minh họa, giúp học sinh rút ra cách
nhận diện bài toán tích phân hàm ẩn, cách sử lý sao cho gọn gàng, tránh dài
dòng lê thê, mất thời gian.
- Phối hợp sử dụng kỹ thuật dạy học: kỹ thuật KWL và kỹ thuật mảnh ghép để
thay đổi không khí học tập, giúp học sinh hào hứng hơn, tiếp thu kiến thức một
cách tự nhiên, không gò ép đồng thời rèn luyện cho học sinh các kỹ năng sống
một cách toàn diện.
2.3.1 Một số bài toán Tích phân hàm ẩn:
Thông qua việc giải quyết một số bài toán minh họa dưới đây, ta rút ra cách
nhận diện bài toán tích phân hàm ẩn, cách sử lý bài toán sao cho gọn gàng, tránh

dài dòng lê thê, mất thời gian.
Bài toán 1: Cho hàm số
1)

y  f  x

b

b

a

a

a; b
liên tục trên đoạn   . chứng minh rằng:

f  x  dx  �
f  a  b  x  dx
�
b

b

1
2) �
f  x  dx  �
dx
�f  x   f  a  b  x  �
�

2a�
a
b

I �
f  x  dx

a
Chứng minh (1):
Xét tích phân
.
x

a

b

t
,
Đặt
dễ thấy dx  dt . Với x  a ta được t  b , Với x  b ta được t  a
a

Khi đó
Vậy

b

b

a

a

I  �
f  a  b  t  dt  �
f  a  b  t  dt  �
f  a  b  x  dx
b

b

b

a

a

.

f  x  dx  �
f  a  b  x  dx
�

8


b
b
b

�
1
1�
�
f  x  f  a  b  x �
dx  �
f  x  dx  �
f  a  b  x  dx �
�
�
�
�
2a
2�
a
a
�

Chứng minh (2): Ta có:
b

b

1
 .2 �
f  x  dx  �
f  x  dx
2 a
a

Nhận xét:
Dấu hiệu đặc trưng của bài toán tích phân là xuất hiện hàm số
b là hai cận của tích phân.
Sau đây là một kết quả được trực tiếp suy ra từ bài toán 1:
Cho các hàm số
1.

f  x

với a,

a;a 
liên tục trên đoạn 
với a  0 , ta có :

a

a

a

a

�f  x  dx  �f   x  dx
a

2.

f  a  b  x

a

1
f  x  dx  �
�f  x   f   x  �
dx
�
�
2 a �
a

f  x

3. Nếu

a;a 
chẵn trên 
thì

a

0

a

a

a

0

f  x  dx
�f  x  dx  2 �f  x  dx  2�

a

f  x

f  x  dx  0
�
a;a 

lẻ trên
thì  a

4. Nếu
Bài toán 2: (Bất đẳng thức Holder trong tích phân)
Chứng minh rằng nếu

f  x

g x
a; b
và   là hai hàm số liên tục trên đoạn   thì ta

2

b
�b
� b 2

f
x
g
x
dx
�
f
x
dx
.
g 2  x  dx
��    � �   �
a
� a
có: �a

g x  t. f  x 
Dấu đẳng thức xảy ra khi tồn tại t �R sao cho  
Chứng minh:
2
2
2
0 ��
t. f  x   g  x  �
�
�  t . f  x   2t. f  x  g  x   g  x 
Với mọi t �R ta có:
2

Suy ra

h t  t

b

2

b

f  x  dx  2t �
g  x  dx �0, t �R
�
2

a

2

a

2

b
�b
� b 2
 '  ��
f  x  g  x  dx � �
f  x  dx.�
g 2  x  dx �0
a

�a
� a
Điều này tương đương với
2

b
�b
� b 2
f  x  g  x  ���
f  x  dx.�
g 2  x  dx
��
a
� a
Hay �a

g x  t. f  x 
Rõ ràng dấu đẳng thức xảy ra khi tồn tại t �R sao cho  
. Từ đó ta có
điều phải chứng minh.

9


Bài toán 3: Cho các hàm số

a; b f x
liên tục trên đoạn   ,   có

f  x ; g  x ; h  x

a; b
f ' x  g  x . f  x  h  x
f b 
đạo hàm và liên tục trên đoạn   . Biết  
và  
.

Tính   ?
Phân tích:
Cơ sở để sử lý bài toán này là xuất phát từ nguyên tắc tính đạo hàm của tích hai
f b

hàm số u  x  và v  x  . Ta đã biết nếu u  x  và v  x  cùng có đạo hàm trên D thì:

 u.v  '  u ' v  uv '

      về dạng đạo hàm
Từ đó ta sẽ tìm cách biến đổi biểu thức  
của một hàm số nào đó rồi áp dụng công thức nguyên hàm, tích phân thích hợp.
Lời giải bài toán 3:
f ' x  g x .f x  h x

- Tìm

G  x

G x
g x
là một nguyên hàm của hàm số   , từ đó timg hàm số e

G x
- Nhân hai vế của biểu thức f '  x   g  x  . f  x   h  x  với e ta được:

f '  x  .eG  x   g  x  .eG x  . f  x   h  x  .eG x 

 1

Vì vế trái của (1) là đạo hàm của hàm số

 f  x e   
G x

'

 h  x  .e

G x 

f  x e

G x 

 2

do đó ta viết lại

 2
b

a; b
- Lấy tích phân hai vế của (2) trên đoạn   ta có:





'

b

G x
h  x  .eG  x  dx
�f  x  .e dx  �
a

a

b

� f  b  .eG  b   �
h  x  .eG  x  dx  f  a  .eG  x 
a

Bài toán 4: Cho hàm số

f  t

. từ đó ta tìm được

f  b

một cách dễ dàng

a; b
u x ,v x
liên tục trên đoạn   , hai hàm số     có

a; b
đạo hàm trên tập D và có tập giá trị thuộc đoạn   . Xét hàm số
g  x 

v x 

�f  t  dt

u x

. Khi đó đạo hàm của hàm số

sau: g '  x   v '  x  f  v  x    u '  x  f  u  x  
Chứng minh:
Gọi

F  t

là một nguyên hàm của hàm số

g  x 

Ta có

v x 

f  t

g  x

trên tập D được xấc định như

a; b
F ' t  f  t
trên đoạn   tức là  

�f  t  dt  F  v  x    F  u  x  

u x 

g ' x  v ' x  F ' v  x   u ' x  f  u  x  
Suy ra  
. Ta có điều phải chứng minh.
Các ví dụ vận dụng:

10


Ví dụ 1: Cho hàm số
1

y  f  x

0;1
f 1 x  f  x
liên tục trên đoạn   thỏa mãn 

1

f  x  dx  4
�

xf  x  dx
�

và
. Tính 0
*) Lời giải khi chưa áp dụng cách giải nhanh
0

1

xf  x  dx  4  1
�

Xét tích phân 0
Đặt x  1  t suy ra dx  dt . Đổi cận: x  0 � t  1; x  1 � t  0
0

Thay vào ta có

I  �

 1  t  f  1  t  dt
1

1

Vì tích phân không phụ thuộc tham số nên ta có

I �
 1  x  f  1  x  dx

 2

0

1

Cộng hại tích phân ở (1) và (2) ta được

2I  �
�
xf  x    1  x  f  1  x  �
dx
�
�
0

1

I

1
f  x  dx  2
2�
0

Từ đó suy ra
*) Lời giải khi áp dụng cách giải nhanh: Trong lời giải trên, đoạn lấy tích phân

0;1
f 1 x  f  1 0  x
là   và có sự xuất hiện của hàm số 
nên ta áp dụng kết
quả đã được chứng minh trong bài toán 1 để sử lý. Lời giải như sau:
1

xf  x  dx 
�
0

Ví

1

1
1
xf  x    1  x  f  1  x  �
dx  f  x  dx  2
�
�
�

�
20
2

dụ 2:

Cho hàm số

f  x f  a  x  1

với mọi

f  x

x � 0; a 

liên tục và

. Tính tích phân

a  0 . Biết rằng f  x   0 và
a
dx
I �
1 f  x
0

0; a
Phân tích: Trong bài toán yêu cầu tính tích phân trên đoạn   và có sự xuất

hiện của hàm số

f  a  x  f  0  a  x

Dễ dàng nhận thấy

nên ta sử dụng kết quả của bài toán 1

f  x
1
1
1



1
1 f  x 1 f  a  x 1 f  x 1 f  x

a
a
�
dx
1 � 1
1
I �
 �

dx
�
�

1 f  x 2 0 �
1 f  x 1 f  a  x �
0
Lời giải chi tiết:
a
f  x � 1 a
1 � 1
a
 �

dx  �
dx 
�
�
20�
1 f  x 1 f  x � 2 0
2

Nhận xét: lời giải rất đơn giản, nhanh gọn, phù hợp với trắc nghiệm và tâm lý
học sinh.

11


Ví dụ 3: Cho hàm số

 0; 2 . Biết

x
I �

2

3

f  0  1

 3x2  f '  x 
f  x

0

f  x

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn

2 x 4x
x � 0; 2
và f  x  f  2  x   e
với mọi
. Tính tích phân
2

dx

Phân tích: - Trong tích phân cần tính có sự xuất hiện của hàm số

f ' x
f  x

với

0; 2
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên   nên ta suy ra một

f  x

f ' x
f  x

  . Từ đó áp dụng phương pháp tích phân từng
nguyên hàm của
là
phần để biến đổi về tích phân dễ tính hơn
ln f x

 
 , hơn nữa cận tích
- Có sự xuất hiện của hàm số 
phân là x  0, x  2 nên ta áp dụng kết quả của Bài toán 1 để giải quyết bài toán.
Lời giải:
f 2 x  f 20 x

  nên ta tính được
- Vì
và
-nBằng phương pháp tích phân từng phần ta có:
f  0  1

f  x  f  2  x   e2 x

2

4 x

x � 0; 2

2

f  2  1

2

I   x  3x  ln f  x  | �
3x  x  2  ln f  x  dx
 3x  6x  ln f  x   �
3

2

2
0

2

0

0

- Áp dụng kết quả bài toán 1:
2

I 

3
x  x  2  ln f  x    2  x   2  x  2  ln  2  x  �
dx
�
�
�
2�
0
2



2

2

2
3
3
16
2
x  x  2  ln  f  x  . f  2  x   dx   �
x  x  2  ln e 2 x  4 x dx  3�
x 2  x  2  dx  
�
20
20

5
0

Ví dụ 4: (Đề minh họa Toán THPT Quốc gia 2018)
Cho hàm số
1

0;1
có đạo hàm và liên tục trên đoạn   thỏa mãn

f  x
2

f  1  0, �
�
�f '  x  �
�dx  7

1

x 2 f  x  dx 
�

1
3

1

f  x  dx
�

và
. Tính tích phân 0
Phân tích: Dấu hiệu đặc trưng của bài toán này là giả thiết đưa ra hai tích phân.
0

0

Một tích phân của một hàm số dạng   , tích phân còn lại thông qua phương
pháp tính tích phân từng phần sẽ thu được một tích phân “liên quan” với tích
phân đầu tiên. Từ đó ta sẽ có lời giải bài toán như sau:
Lời giải:
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có:
f2 x

1

1

1

1
1
1 3
�
x 2 f  x  dx  �
f  x  d  x3   �
x f '  x  dx
3 0
30

30
1

Kết hợp với giả thiết

f  1  0

x f '  x  dx  1  1
�
3

suy ra:

0

12


Bình phương hai vế của (1) và áp dụng bất đẳng thức ở bài toán 2: Ta có:
2

�1 3
� 1 6 1
2
1
1  ��
x f '  x  dx ���
x dx.�
�
�f '  x  �

�dx  7 .7  1
0
�0
� 0

3
Vậy dấu đẳng thức đã xảy ra, suy ra sự tồn tại k �R sao cho f '  x   kx

f '  x   kx 3

Thay

f ' x  7 x 3
vào (1) ta thu được k  7 và d đó  

7 x3 7
f  x  

4
4 Vậy
Từ đó dễ dàng có

Bình luận:
Một cách khác để chứng minh
1

Xét phương trình
1

Vì

7

f  x  dx 
�
5
0

f '  x   7 x 3
1

1

0

0

�
x3 f '  x  dx  k 2 �
x 6 dx  0 (*)
�f '  x  �
�dx  2k .�
�
2

0

1

x 3 f '  x  dx  1; �

�
�f '  x  �
�dx  7
�
0

1

1

2

0

1

x dx 
�
7
6

và

nên ta có phương trình:

0

2

k

 2k  7  0,
7
giải ra tìm được k  7

Mặt khác biến đổi tương đương phương trình (*) ta được:
1

�
�
�f '  x   kx

3

2

�
�dx  0,

�f '  x   kx3 �
��0, x � 0;1
mà �
f '  x   kx3  0
f '  x   kx 3
f '  x   7 x 3

0

2

Do đó

hay
. Vậy
*) Sắp xếp các bài toán tích phân theo tiến trình như trê sẽ giúp học sinh hình
thành các bước cần thiết để giải quyết bài toán. Tránh loay hoay đi sai hướng.
Ví dụ 5:

Cho hàm số

� �
f � � 0
�4 � . Biết


4

f  x



��
0; �
�
có đạo hàm và liên tục trên đoạn � 4 � và


4



f  x  dx  ; �

f '  x  sin 2 xdx  
�
8
4
2

0


4

0

. Tính tích phân

f  2 x  dx
�
0

Lời giải:
- Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có:



4


4



4
0


4


 f '  x  sin 2 xdx  �
sin 2 xd  f  x    cos os sin 2 x | 2 �
f  x  cos 2 xdx
4 �
0
0
0

� �
f � � 0
- Kết hợp với giả thiết �4 � , suy ra:


4


f  x  cos2xdx=
 1
�
8
0

- Bình phương hai vế của (1) và áp dụng bất đẳng thứ ở bài toán 2, ta có:

2


�4
� 4
4

 
2
�
�
 ��
f  x  .cos 2 xdx ���
f 2  x  dx.�
 cos 2 x  dx  .
64 �0
8 8
0
� 0
�
�
2

13


f x  k cos 2 x
- Vậy dấu đẳng thúc đã xảy ra, suy ra tồn tại k �R sao cho  

- Thay

f  x   k cos 2 x

f x  cos 2 x
vào (1) ta thu được k  1 và do óó  


8


8

0

0

I �
f  2 x  dx  �
cos 4 xdx 

Vậy

Ví dụ 6: Cho hàm số

1
4

1; 2
có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn   và thỏa

f  x

1
2 x
e ; x. f '  x    x  1 f  x   3 x e , x � 1; 2  . Tính f  2 

f  1 

mãn
Phân tích:

- Vế trái bài toán chưa có dạng

f ' x  g  x f  x  h  x

như trong bài toán tổng

1; 2
quát nhưng xét trên   ta sẽ đưa về dạng trên bằng cách chia hai vế cho x

1
g  x   1  , h  x   3xe x ,
x
- Khi đó
áp dụng cách giải như Bài toán 3 để giải quyết

bài toán.
Lời giải:

Ta có:

xf '  x    x  1 f  x   3x 2e  x , x � 1; 2

� 1�
� f ' x  �
1  �f  x   3xe  x , x � 1; 2 ;  1
� x�

1
x ; chọn một nguyên hàm của g  x  là G  x   x  ln x
 xe x

g  x  1

- Xét
G
suy ra e



- Nhân hai vế của (1) với xe

x

f  x  .x.e 
ta sẽ thu được 

x '

2

f  2  .2e 2  �
3x 2 dx  f  1 .e  8

f  2 

 3x 2

4
e2

1
- Từ đó ta có
. Vậy
Nhận xét:
- Đối với đại đa số học sinh, đây là bài toán khó. Rất khó khăn cho các em khi
phải tìm xem, phải đưa giả thiết bài toán về dạng đạo hàm của hàm số nào.
- Thông qua cách xây dựng bài toán mẫu, giáo viên sẽ định hướng học sinh
những bước cần thiết để hình thành lời giải nhanh chóng, cụ thể hóa các việc cần
làm, đưa bài toán khó thành bài toán dễ dàng hơn.

Ví dụ 7:

f  1  2 ln 2

có đạo, liên tục trên đoạn  1; 2 thỏa mãn

Cho hàm số f  x 
và

x  x  1 f '  x   f  x   x 2  x, x � 1; 2 

a, b �Q . Tính a 2  b 2 .

Lời giải:
-

Ta

f ' x 

có

x  x  1 f '  x   f  x   x 2  x, x � 1; 2 

1
f  x   1, x � 1; 2
x  x  1

. Giá trị

f  2   a  b ln 3

tương

đương

, với

với

 1

14


- Xét hàm số
G  x   ln

g  x 

1
,
x  x  1

chọn một nguyên hàm của hàm số

g  x

là

x
x
G x
.
e   
x  1 Suy ra
x 1

x

1
x
x
. f ' x 
f  x 
2
x 1
x 1
 x  1
- Nhân hai vế của (1) với x  1 ta thu được
'

�x
� x
� . f  x  �
� x 1
- Tiếp tục biến đổi ta sẽ có �x  1
2

2
x
1
3 3
f  2   � dx 
. f  1  1  ln 3
f  2    ln 3
x 1
11
2 2
1

- Suy ra 2  1
. Do đó

Nhận xét:
Ở bài toán trên, để tìm nguyên hàm của hàm số

g  x 

dx

1
x  x  1

một cách nhanh

ax  b

1


ln
�
 ax  b   cx  d  ad  bc cx  d

C

chóng, ta áp dụng công thức sau:
Đây là một công thức ngoài sách giáo khoa nhưng rất hữu ích trong việc tìm
nguyên hàm của hàm số
Ví dụ 8: Cho hàm số

g  x 

f  x  0

x

g  x   1  2018�
f  t  dt ; g  x   f

2

0

1

 ax  b   cx  d 
0;1
xác định, có đạo hàm trên đoạn   và thỏa mãn

 x

1

. Tính

�g  x  dx
0

.

Phân tích:

g x
- Dựa vào giả thiết của ta sẽ tìm cách xác định phương trình của hàm số  

- Ta có

g  x  f 2  x

là một mối liên hệ giữa hai hàm số

g  x

f x
và   . Mặt khác

x

từ biểu thức

g  x   1  20180 �
f  t  dt

phân của hàm số

f  t

mối liên hệ nữa giữa

, ta thấy g  x  được biểu diễn thông qua tích

nên ta sẽ tính đạo hàm của hàm số

g  x

và

f  x

g  x

để tìm thêm một

. Từ hai mối liên hề trên, ta sẽ cố gắng tìm

g x
được hàm số   và cs đáp án chính xác cho bài toán.
Lời giải:
0
�
g
0

1

2018
f  t  dt



�
�
�
0
�g 0  f 2 x
 
� 

suy ra

f  0  1

15


x
�
f  t  dt
�g  x   1  2018�
�
0
�g x  f 2 x
 
� 

Hơn nữa
Vì

�
�g '  x   2018 f  x 

�
g ' x  2 f ' x f  x
suy ra �  
f  x   0 x � 0;1
f '  x   2009

f  0  1
1

,

nên
1

nên

suy ra

f  x   1009 x  1
1

f  x  dx  �
 1009 x  1 dx 
�g  x   �

f  x   2009 x  c

1011
2

0
0
Vậy 0
2.3.2 Vận dụng phối hợp kỹ thuật KWL và kỹ thuật mảnh ghép để giảng
dạy chuyên đề trên:
*) Buổi học bồi dưỡng thứ nhất (120 phút)
Hoạt động 1: (kỹ thuật KWL) . Dự kiến thời gian là 20 phút
Phát phiếu học tập số 1 cho học sinh (xem phục lục)
Bước 1:
- Giáo viên gợi mở, hướng dẫn các em viết vào ô K (Những điều em đã biết)
Hãy nói cho cô và các bạn nghe những gì các em đã biết về Tích Phân?
+) Các tính chất của tích phân
+) Các phương pháp tính tích phân
- Giáo viên cho học sinh thời gian nhớ lại và kết nối các kiến thức trên
- Giáo viên tổng kết, viết ngắn gọn, súc tích vào ô K trên bảng
Bước 2
Giáo viên: Như vậy là các em đã được học, rèn luyện tính tích phân của nhiều
loại hàm số, đặc điểm chung của các hàm số này là đã được cho bởi công thức .
Em có muốn tìm hiểu thêm điều gì liên quan không?
Học sinh: Em muốn tìm hiểu nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số ẩn,
không cho định nghĩa hàm số đó một cách tường minh mà chỉ cho những tính
chất đặc trưng thì tích phân của hàm s đó sẽ đợc tính như thế nào?
Giáo viên:"Em nghĩ mình sẽ biết thêm được điều gì sau khi em học chủ đề
này?"
Học sinh: Em nghĩ mình sẽ biết thêm về cách nhận diện bài toán tích phân hàm
ẩn, các dạng thường gặp, phương pháp giải ngắn gọn các dạng toán đó…
Giáo viên: Bây giờ các em sẽ cùng nhau tìm hiểu vấn đề này nhé.
Hoạt động 2: (kỹ thuật mảnh ghép) Dự kiến thời gian là 50 phút.
Bước 1: (Dự kiến là 20 phút)
Chia lớp thành 4 nhóm, mỗi nhóm 9 học sinh (lớp thực hành sĩ số 36), kê lại

bàn ghế hoạt động theo nhóm (số học sinh mỗi nhóm tùy vào sỹ số của lớp, nên
chọn và chia đều các học sinh giỏi ra 4 nhóm). Mỗi nhóm này gọi là nhóm
chuyên gia, mỗi nhóm thực hiện một nhiệm vụ khác nhau
Giáo viên phát cho mỗi nhóm 1 phiếu học tập số 2 (xem phụ lục)
Chú ý:
+) 9 phiếu học tập số 2 của nhóm chuyên gia 1 được đánh số lần lượt là: A1,
A2, A2, A4, A5, A6, A7, A8 và A9

16


+) 9 phiếu học tập số 2 của nhóm chuyên gia 2 cũng được đánh số lần lượt là:
B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7, B8 và B9
+) 9 phiếu học tập số 2 của nhóm chuyên gia 3 cũng được đánh số lần lượt là:
C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8 và C9
+) 9 phiếu học tập số 2 của nhóm chuyên gia 4 cũng được đánh số lần lượt là:
D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8 và D9
Mỗi thành viên của nhóm độc lập suy nghĩ sau đó thảo luận thống nhất lời giải,
sau khi hiểu được lời giải bài toán, mỗi thành viên trong nhóm tự viết lại lời giải
vào phiếu học tập của mình. Ở vòng này học sinh buộc phải tập trung tối đa, chủ
động lĩnh hội kiến thức để trở thành chuyên gia trong vòng 1
Thời gian cho các nhóm thực hiện nhiệm vụ có thể linh động, tùy theo năng
lực của học sinh, giáo viên là người bao quát, theo dõi sự thảo luận của các
nhóm, có thể đưa ra những gợi ý và nhận xét cho từng nhóm khi cần, đảm
bảo mỗi thành viên trong từng nhóm đều trả lời được tất cả các câu hỏi trong
nhiệm vụ được giao và trở thành “chuyên gia” của lĩnh vực đã tìm hiểu và có
khả năng trình bày lại câu trả lời của nhóm ở vòng 2.
Bước 2: (Dự kiến là 30 phút)
Hình thành nhóm mảnh ghép thực hiện nhiệm vụ mới
- Các học sinh có phiếu học tập đánh ký hiệu 1, 2 về một nhóm. Các học sinh có

phiếu học tập đánh ký hiệu 3, 4 về một nhóm. Các học sinh có phiếu học tập
đánh ký hiệu 5, 6 về một nhóm. Các học sinh có phiếu học tập đánh ký hiệu 7, 8
về một nhóm. Học sinh có phiếu học tập đánh ký hiệu 9 ngồi tại chỗ.
- Các câu trả lời và thông tin của vòng 1 được các thành viên trong nhóm mới
chia sẻ đầy đủ với nhau. Khi mọi thành viên trong nhóm mới đều hiểu được tất
cả nội dung ở vòng 1 thì nhiệm vụ của các nhóm đã hoàn thành.
- Ở vòng 2 học sinh được rèn luyện kỹ năng thuyết trình trước đám đông, kỹ
năng chia sẻ những hiểu biết của mình, kỹ năng lắng nghe và nhanh chóng lĩnh
hội kiến thức trong khoảng thời gian ngắn… Điều đó giúp học sinh dần vượt qua
sự sợ hãi của bản thân, tự tin và năng động trong các hoạt động trước tập thể.
Hoạt động 3: (Dự kiến 15 phút)
Yêu cầu học sinh tự viết lại vào cột L, (phiếu học tập số 1) những điều đã học
được trong quá trình hoạt động nhóm vừa xong.
Hoạt động 4: (Dự kiến 10 phút)
Giáo viên yêu cầu các học sinh trở về nhóm chuyên gia ban đầu để thực hiện
nhiệm vụ mới:
Bước 1: (5 phút) Giáo viên phát phiếu học tập số 3 cho các nhóm, yêu cầu các
nhóm chứng minh các kết quả sau: (Phiếu học tập số 3- xem phụ lục)
Các phiếu học tập số 3 được đánh số tương tự như phiếu học tập số 2
Bước 2: (5 phút) Hình thành nhóm mảnh ghép thực hiện nhiệm vụ mới. Các câu
trả lời và thông tin của vòng 1 được các thành viên trong nhóm mới chia sẻ đầy
đủ với nhau. Khi mọi thành viên trong nhóm mới đều hiểu được tất cả nội dung
ở vòng 1 thì nhiệm vụ của các nhóm đã hoàn thành.
17


Hoạt động 6: (5 phút) Giáo viên yêu cầu học sinh ghi 4 kết quả vừa học vào cột
L của phiếu học tập số 1.
Khi học sinh được cung cấp các kết quả trên bằng kỹ thuật mảnh ghép, tôi thấy
học sinh tiếp thu rõ hơn, hứng thú hơn, khả năng ghi nhớ của các em có tiến bộ

hơn, các em hào hứng, phấn khởi vì đã hiểu bài nhanh hơn và sâu sắc hơn.
Hoạt động 7: (Thời gian còn lại – khoãng 10 phút)
Giáo viên thu phiếu học tập số 1 của ít nhất 4 em học sinh bất kỳ, nhanh chóng
đánh giá nhận xét quá trình hoạt động và kết quả hoạt động của các em.
Nhận xét chung hoạt động của cả lớp trong buổi học hôm nay, khen ngợi, khích
lệ các em nhiều nhất có thể, điều đó sẽ khơi dậy sự hứng thú cho các em trong
học tập. Buổi học kết thúc trong không khi vui vẻ, phấn khởi và đầy cảm hứng.
Chú ý: Trong dạy học tích cực theo phương pháp mới, vấn đề quan trọng là quá
trình làm việc và hiệu quả công việc của học sinh, thời gian có thể linh động tùy
theo năng lực của học trò.
*) Buổi học bồi dưỡng thứ hai (120 phút) (phương pháp và trình tự tương tự
như buổi học số 1)
Hoạt động 1: (kỹ thuật KWL) . Dự kiến thời gian là 20 phút
Phát phiếu học tập số 1 cho học sinh (xem phụ lục)
Bước 1:
- Giáo viên gợi mở, hướng dẫn các em viết vào ô K (Những điều em đã biết)
Em hãy viết ra những bài toán em đã học được ở buổi học lần trước
- Giáo viên cho học sinh thời gian nhớ lại và lần lượt viết bốn bài toán và bốn
kết quả vào ô K trên bảng.
Bước 2
Giáo viên: Ở buổi học trước các em đã được học và nắm rất vững bốn bài toán
trên, bốn kết quả suy ra từ bài toán 1. Em có muốn tìm hiểu thêm điều gì liên
quan không?
Học sinh: Em muốn tìm hiểu xem các bài toán và kết quả trên ứng dụng như thế
nào trong việc tính tích phân của hàm ẩn.
Giáo viên: Bây giờ cô và các em sẽ cùng nhau tìm hiểu vấn đề này nhé.
Hoạt động 2: (kỹ thuật mảnh ghép) Dự kiến thời gian là 40 phút.
Bước 1: (Dự kiến là 15 phút)
Chia lớp thành 4 nhóm. Phát cho mỗi nhóm phiếu học tập số 1, mỗi nhóm thực
hiện một nhiệm vụ khác nhau, các phiếu học tập được đánh số giống buổi học

trước (xem phụ lục)
Bước 2: ( dự kiến 25 phút) Hình thành nhóm mảnh ghép thực hiện nhiệm vụ
mới. Các câu trả lời và thông tin của vòng 1 được các thành viên trong nhóm
mới chia sẻ đầy đủ với nhau. Khi mọi thành viên trong nhóm mới đều hiểu được
tất cả nội dung ở vòng 1 thì nhiệm vụ của các nhóm đã hoàn thành.
Hoạt động 3: (15 phút) Giáo viên yêu cầu học sinh ghi 4 bài toán vừa học vào
cột L của phiếu học tập số 1.
Hoạt động 4: (Dự kiến 45 phút)
Giáo viên yêu cầu học sinh trở về nhóm chuyên gia và thực hiện nhiệm vụ mới
18


Giáo viên phát phiếu hoc tập số 3 cho học sinh (xem phụ lục), thực hiện nhiệm
vụ theo các bước của kỹ thuật mảnh ghép.
Hoạt động 5: (5 phút) Giáo viên yêu cầu học sinh ghi 4 kết quả vừa học vào cột
L của phiếu học tập số 1.
Hoạt động 7: (Thời gian còn lại – khoãng 10 phút)
Giáo viên thu phiếu học tập số 1 của ít nhất 4 em học sinh bất kỳ, nhanh chóng
đánh giá nhận xét quá trình hoạt động và kết quả hoạt động của các em.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
- Khi làm xong đề tài nghiên cứu trên bản thân tôi thấy mình thay đổi rất lớn, tôi
nhận ra rằng bên cạnh việc luôn tự học hỏi, trao dồi kiến thức chuyên môn mình
luôn luôn phải cố gắng thay đổi liên tục phương pháp dạy. Khi nào dùng kỹ
thuật mạnh ghép, khi nào dùng kỹ thuật khăn chải bàn, kỹ thuật phòng tranh, sơ
đồ tư duy…không đủ điều kiện thực hiện tôi quay về phương pháp truyền thống,
miễn là cố gắng hết mình để hiệu quả giáo dục cao nhất.
3. KẾT LUẬN:
3.1 Kết quả:
- Sau khi thực hiện đề tài nghiên cứu trên đối với lớp 12A3, năm học 20182019, tôi nhận thấy học sinh học học tập rất tích cực, sôi nổi và hứng thú hơn.

Các em tự tin hơn, tập trung hơn, kỹ năng thuyết trình tốt hơn, kỹ năng làm việc
tập thể tốt hơn, kỹ năng giao tiếp và ứng xử tôt hơn , kỹ năng đối diện và ứng
phó khó khăn trong cuộc sống tốt hơn, kỹ năng đánh giá người khác được nâng
cao…
- Các em hiểu bản chất của bài toán, biết phân tích đề, tìm được cách giải quyết
nhanh chóng, Các em có thể vận dụng các tính chất trong tích phân một cách
chủ động, sáng tạo. Từ đó hiểu rõ ràng hơn bản chất của tích phân.
- Trong bài kiểm tra 1 định kỳ lớp 12 của trường THPT Bỉm Sơn ngày 6/3/2019
có hai câu hỏi tích phân hàm ẩn như sau:
1

1
x f  x  dx  
�
21
0

2

1

2

và

1
�
�f '  x  �
�dx  7
�

0

5
A. 12

B.

Đáp án đúng: B
2. Cho hàm số
f  x
dx
kx
�
1

e
a

0;1
f 1 0
có đạo hàm liên tục trên đoạn   thỏa mãn  
,

f  x

1. Cho hàm số

f  x



1
12

1

. Giá trị của
4
C. 5

f  x  dx
�
0

D.



bằng:
7
10

 a; a 
là hàm số chẵn trên đoạn 
và k  0 . Giá trị tích

a

phân

bằng
19


a

2�
f  x  dx

A. 0
Đáp án đúng: C

a

B.

2�
f  x  dx
a

a

C.

f  x  dx
�
0

a

D.

�f  x  dx

a

Kết quả làm bài của học sinh 12A2(40 học sinh) và 12A3(38 học sinh) như sau:
Đối với câu 1:
Lớp
Tỉ lệ học sinh làm đúng
Tỉ lệ học sinh làm sai
12A2
10/40 (31,43%)
30/40 (68,57%)
12A3
27/38 (71,05%)
11/38 (28,95%_
Đối với câu 2:
Lớp
Tỉ lệ học sinh làm đúng
Tỉ lệ học sinh làm sai
12A2
13/40 (32,50%)
27/40 (67,50%)
12A3
33/38 (86,84%)
5/38 (13,16%)
Đối với cả hai câu:
Lớp
Tỉ lệ học sinh làm Tỉ lệ học sinh làm Tỉ lệ học sinh làm

đúng cả hai câu
đúng 1 câu
sai cả hai câu
12A2
8/40 ( 20%)
15/40 (37,5 %)
17/40 ( 42,5%)
12A3
26/38 (68,42 %)
5/38 ( 13,16%)
7/38 (18,42 %)
Từ bảng số liệu trên tôi thấy:
- Tỉ lệ học sinh làm đúng Câu 1 của lớp 12A3 cao hơn 2 lần tỉ lệ học sinh làm
đúng Câu 1 của lớp 12A2
- Tỉ lệ học sinh làm đúng Câu 2 của lớp 12A3 cao hơn 2 lần tỉ lệ học sinh làm
đúng Câu 2 của lớp 12A2
- Tỉ lệ học sinh làm đúng cả hai câu của lớp 12A3 cao hơn 3 lần tỉ lệ học sinh
làm đúng cả hai câu của lớp 12A2
- Tỉ lệ học sinh làm sai cả hai câu của lớp 12A3 thấp hơn 2 lần tỉ lệ học sinh làm
đúng cả hai câu của lớp 12A2
3.2 Ý kiến kiến nghị:
- Tích phân là một chủ đề rộng lớn của lớp 12 nên quanh nó có rất nhiều vấn đề
cần bàn tới. Qua các bài toán trên cho thấy nếu khai thác tốt giả thiết thì học sinh
dễ tìm được lời giải bởi vì trong giả thiết chứa các gợi ý cho lời giải. Vấn đề tìm
ra lời giải là điều kiện cần để giải quyết bài toán còn trình bày lời giải là điều
kiện đủ. Như vậy khai thác triệt để giả thiết của một bài toán là một trong các
giải biện sư phạm cho việc tăng cường khả năng giải quyết vấn đề cho học sinh
phổ thông.
- Giáo viên cần giúp học sinh vượt qua khó khăn, giúp học sinh hình thành tư
tưởng xem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích liên tưởng,

kết nối dữ kiện và yêu cầu bài toán. Phân tích đánh giá, tìm mối liên hệ giữa các
bài toán chưa biết cách giải với các bài bài toán quen thuộc đã biết cách giải.
biết phân tích, tổng hợp, so sánh từng trường hợp riêng lẻ để đem đến cái chung
nhất mang tính chân lý.
20


- Để tổ chức học tập theo phương pháp mới cần có điều kiện tốt về phòng học,
sỹ số lớp phải ít, tạo điều kiện cho việc phân nhóm, quan sát và hướng dẫn các
em học tập đạt kết quả cao hơn.
- Đề tài của tôi không tránh khỏi những hạn chế, rất mong được sự đóng góp ý
kiến của các đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2019

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VI

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác
Người viết sáng kiến

Đỗ Thị Thanh Mai

4. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
[1] Kiến thức cơ bản giải tích 12 (Phan Văn Đức-Đỗ Quang Minh- Nguyễn
Thanh Sơn-Lê Văn Tường-Nhà xuất bản Quốc gia thành phố HCM-2002)
[2] Phương pháp giải toán tích phân và Giải tích tổ hợp (Nguyễn Cam-NXB

Giáo dục)
[3] Phương pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên-Trần Chí Chung-NXB
Giáo dục)
[4] Phương pháp giải toán Tích phân (Lê Hồng Đức-Lê Bích Ngọc-NXB Hà Nội
2015)
[5] Dùng ẩn phụ để giải toán (Nguyễn Thái Hòe-NXB Giáo Dục)
[6] Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ.
[7] Tài liệu bồi dưỡng giáo viên trung học phổ thông về dạy học tích cực (Trần
Kiều và Bùi Phương Nga làm chủ biên)

21


5. PHỤ LỤC:
5.1. Phiếu học tập của buổi học bồi dưỡng thứ nhất (120 phút)
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1:
Chuyên đề: TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Tên học sinh (hoặc nhóm)……………………………………….Lớp…………..
“SƠ ĐỒ KWL”
K
W
L
Những điều em đã biết
Những điều em muốn Những điều e đã học
biết
được

22

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
(Nhóm chuyên gia 1)

Bài toán 1: Cho hàm số
1)

y  f  x

b

b

a

a

f  x  dx  �
f  a  b  x  dx
�
b

2)

a; b
liên tục trên đoạn   . chứng minh rằng:

f  x  dx 
�
a

b

1
dx
�
�f  x   f  a  b  x  �
�
2�
a

Lời giải:
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
(Nhóm chuyên gia 2)
Bài toán 2: (Bất đẳng thức Holder trong tích phân)
Chứng minh rằng nếu

f  x

và

g  x

a; b
là hai hàm số liên tục trên đoạn   thì ta

2

b
�b
� b 2
f
x
g
x
dx
�
f
x
dx
.
g 2  x  dx






��

� �
�
a
� a
có: �a

 
Dấu đẳng thức xảy ra khi tồn tại t �R sao cho  
Lời giải:
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
g x  t. f x

23


PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
(Nhóm chuyên gia 3)
Bài toán 3: Cho các hàm số

f  x ; g  x ; h  x

a; b

f x
liên tục trên đoạn   ,   có

a; b
f ' x  g  x . f  x  h  x
f b 
đạo hàm và liên tục trên đoạn   . Biết  
và  
.

Tính   ?
Lời giải:
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
f b

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
(Nhóm chuyên gia 4)

Bài toán 4: Cho hàm số

f  t

a; b
u x ,v x
liên tục trên đoạn   , hai hàm số     có

a; b
đạo hàm trên tập D và có tập giá trị thuộc đoạn   . Xét hàm số
g  x 

v x 

�f  t  dt

u x

. Khi đó đạo hàm của hàm số

g ' x  v ' x f  v  x   u ' x f  u  x 

sau:  
Lời giải:

g  x

trên tập D được xấc định như

24


……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
(Nhóm chuyên gia 1)
Kết quả 1: Cho các hàm số
a

�f  x  dx 

a

f  x

 a; a 
liên tục trên đoạn 
với a  0 , ta có

a

�f   x  dx

a

Lời giải:
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
(Nhóm chuyên gia 2)
Kết quả 2: Cho các hàm số
a

f  x

 a; a 
liên tục trên đoạn 
với a  0 ta có

a

1
f  x  dx  �
dx
�f  x   f   x  �
�
�
2 a �
a

Lời giải:
25