Một số phương pháp giải các bài toán vận dụng của chủ đề hình học không gian

MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU.................................................................................................................................2
1.1. Lí do chọn đề tài.........................................................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu.................................................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu..........................................................................................................3

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN.................................................................................................................3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm..................................................................................3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm................................................4
2.3. Một số phương pháp giải bài toán hình học không gian ở mức độ vận dụng và vận dụng
cao......................................................................................................................................................4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng
nghiệp và nhà trường.....................................................................................................................13

3. Kết luận, kiến nghị...............................................................................................................13
3.1. Kết luận....................................................................................................................................13
3.2. Kiến nghị..................................................................................................................................14

TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................................15

1


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG
CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình môn Toán THPT, chủ đề Hình học không gian chiếm
một khối lượng lớn kiến thức và được bố trí ở lớp 11 và lớp 12. Phần lớn học

sinh gặp khó khăn khi học phần này. Thực tế giảng dạy tại trường THPT Tống
Duy Tân, tôi nhận thấy rằng, nếu có thể chuyển bài toán Hình học không gian
sang bài toán tọa độ trong không gian thì nhiều em học sinh lại có thể làm tốt
các bài toán này. Nhiều em học sinh cũng chưa có kĩ năng đưa khối đa diện đang
xét về khối đa diện quen thuộc, do đó rất lúng túng khi tìm lời giải.
Câu hỏi đặt ra là: Làm sao có thể giúp học sinh yêu thích học phần hình
học không gian, giúp các em giải được các bài toán hình học không gian? Câu
trả lời đó là: Chuyển được bài toán hình học không gian (mang nặng định tính)
về bài toán định lượng. Nghĩa là, thay vì chứng minh các mối quan hệ trong
không gian, ta đưa về bài toán tính toán. Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình
học không gian giúp chúng ta làm được điều này. Một phương pháp nữa có thể
giúp các em giải được các bài toán hình học không gian là kĩ năng quy về các
hình đa diện quen thuộc, hoặc đưa về bài toán hình học phẳng. Các em có thể sử
dụng các kiến thức hình học phẳng để giải bài toán hình học không gian, và như
vậy sẽ giảm bớt sự trừu tượng của hình học không gian cho các em.
Từ những lí do đó, tôi lựa chọn đề tài SKKN: “Một số phương pháp giải
các bài toán vận dụng của chủ đề hình học không gian”. Đề tài SKKN này là
một góp ý, trao đổi của tác giả với các đồng nghiệp để nâng cao chất lượng dạy
học chủ để hình học không gian.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là đưa ra những phương pháp giúp các em
học sinh lớp 12, các em học sinh chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc Gia áp
dụng vào các bài tập hình học không gian cụ thể. Đồng thời thông qua đó nâng
cao khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các nội dung kiến thức và kĩ năng chủ
đề hình học không gian; phương pháp tọa độ trong không gian; véc-tơ và các
phép toán véc-tơ trong không gian.

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về chủ đề hình học không
gian; phương pháp tọa độ trong không gian; véc-tơ và các phép toán véc-tơ.
Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh khi học và giải các
bài toán thuộc chủ đề hình học không gian; những khó khăn mà học sinh thường
mắc phải trong việc lựa chọn phương pháp giải toán cụ thể.
Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học
sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA
CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Chủ đề hình học không gian trong chương trình môn Toán THPT
Chủ đề hình học không gian được phân phối ở chương trình môn toán lớp
11 và 12. Cụ thể như sau:
Trong chương trình môn Toán 11: Chủ đề hình học không gian được học ở
hai chương (Chương 2: Quan hệ song song trong không gian; Chương 3: Quan
hệ vuông góc trong không gian).
Trong chương trình môn Toán 12: Chủ đề hình học không gian được tiếp
nối chương trình môn Toán 11 và được học ở hai chương (Chương 1: Khối đa
diện và thể tích của chúng; Chương 2: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón).
2.1.2. Một số nội dung kiến thức được sử dụng trong sáng kiến kinh nghiệm
a) Phương pháp tọa độ trong không gian
•
•
•
•

Tọa độ của véc-tơ và của điểm;

Công thức tọa độ của tích vô hướng của hai véc-tơ;
Tích có hướng của hai véc-tơ;
Phương trình mặt phẳng; phương trình đường thẳng; phương trình mặt
cầu;
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
b) Tỉ số thể tích
Cho hình chóp S . ABC , trên các tia SA , SB , SC lần lượt lấy các điểm A′
VS . A′B′C ′ SA′ SB′ SC ′
=
.
.
, B′, C ′ . Khi đó, ta có
.
VS . ABC
SA SB SC

3


c) Một số công thức trong hình học phẳng: định lí cô-sin trong tam giác; định lí
sin trong tam giác; …
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy, đa phần học sinh rất ngại học hình, đặc
biệt phần hình học không gian. Các em cho rằng, phần hình học không gian rất
trừu tượng và nhiều bài toán không tìm ra hướng giải. Mong muốn của các em là
có thể chuyển các bài toán hình học nặng về định tính sang bài toán định lượng.
Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học không gian có thể giúp các em học
sinh giải bài toán hình học không gian một cách dễ dàng hơn. Tất nhiên, không
phải bài toán nào cũng có thể tọa độ hóa được, nhưng đây cũng là một hướng tư

duy tìm lời giải cho bài toán rất có ích cho học sinh.
Một trong những khó khăn của học sinh trong việc học hình học không
gian là chưa biết quy lạ về quen. Công thức thể tích khối tứ diện đều ABCD các
em đều biết, như khi ta thay đổi kích thước các cạnh AB , AC , AD thì nhiều
em lại không tính được thể tích khối này.
Một dạng bài tập nữa gây khó cho học sinh là bài toán tìm đường đi ngắn
nhất khi đi quanh khối chóp; khối tròn xoay. Bài toán này sẽ trở nên đơn giản
khi học sinh biết kĩ thuật trải hình.
Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học không gian; qui về các khối đa
diện quen thuộc và phương pháp trải hình cũng đã có một số tài liệu đề cập đến
nhưng chưa thành hệ thống. Thực tế đó đòi hỏi cần hệ thống lại các phương
pháp này để giúp học sinh dễ dàng tiếp thu và vận dụng hiệu quả vào học tập, đó
cũng là mục tiêu của SKKN này.
2.3. Một số phương pháp giải bài toán hình học không gian ở mức độ vận
dụng và vận dụng cao
2.3.1. Phương pháp 1: Tọa độ hóa bài toán hình học không gian
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là
·
trung điểm của BC và H là trung điểm của AM . Biết HB = HC , HBC
= 30° ;
góc giữa mặt phẳng ( SHC ) và mặt phẳng ( HBC ) bằng 60° . Tính côsin của
góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ( SHC ) ?
1
A. .
2

B.

3
.

2

C.

13
.
4

D.

3
.
4

Phân tích: Khi giải bài toán này, học sinh gặp khó khăn khi giải phải dựng được
góc giữa hai mặt phẳng và dựng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Chúng ta

4


để ý rằng, từ giả thiết ta thấy tam giác ABC cân đỉnh A và SA vuông góc với
mặt phẳng đáy nên ta có thể tọa độ hóa để giải bài toán này.
Lời giải
Chọn C.
Từ M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM , HB = HC suy ra
AM ⊥ BC , hay tam giác ABC cân đỉnh A .
Đặt BC = a ⇒ BM =

a
a 3

a 3
·
. Do HBC
. Đặt
⇒ AM =
= 30° suy ra HM =
2
6
3

SA = b .
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

a a 3 
 a a 3 
 a 3 
;0 ÷ , C  − ;
;0 ÷; H  0;
;0 ÷, S ( 0;0; b ) .
Ta có A ( 0;0;0 ) , B  ;
2
3
2
3
6







uuur  a a 3  uuur  a 3

;0 ÷; SH =  0;
; −b ÷.
Từ đó HC =  − ;
6
 2 6



uuur uuur  ab 3 ab a 2 3 

;− ;−
Nên  HC , SH  =  −
÷.
6
2
12 

Suy ra ( SHC )

r
n
có một véc-tơ pháp tuyến là 1 = 2b 3;6b; a 3 .

(

)

r
HBC
) có một véc-tơ pháp tuyến là k = ( 0;0;1) .
Mặt phẳng (
5


Góc giữa mặt phẳng ( SHC ) và mặt phẳng ( HBC ) bằng 60° nên
r r
n1.k
a 3
cos ( ( SHC ) , ( HBC ) ) = r r ⇔ cos60° =
n1 . k
12b 2 + 36b 2 + 3a 2
⇔ 12b 2 + 36b 2 + 3a 2 = 2 a 3 ⇔ b = a 3 .
4
r  3a 3a 3

; a 3 ÷, đường thẳng BC có véc-tơ chỉ phương
Khi đó n1 =  ;
2
 2

r
i = ( 1;0;0 ) .
Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ( SHC ) , ta có
r r
n1.i
sin ϕ = r r =
n1 . i

3a
2
9a 2 27a 2
+
+ 3a 2
4
4

=

3
.
4

2

 3
13
Do đó cos ϕ = 1 − sin 2 ϕ = 1 − 
.
÷ =
4
4


Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại
A , cạnh BC = a 6 . Góc giữa mặt phẳng ( AB ' C ) và mặt phẳng ( BCC ′B′ ) bằng
600 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ ?
2a 3 3

A. V =
.
3
C. V =

a3 3
B. V =
.
2

3a 3 3
.
4

D. V =

3a 3 3
.
2

Lời giải
Chọn D.
Gọi chiều cao của hình lăng trụ là h .

6


(

)

Đặt hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ. Khi đó A ( 0;0;0 ) , B a 3;0;0 ,
a 3 a 3 
C 0; a 3;0 , B′ a 3;0; h ⇒ M 
;
;0 ÷ là trung điểm của BC .
2
2



(

)

(

)

uuuu
r a 3 a 3 
r
′
′
AM
⊥
BCC
B
AM
=

;
;0
(
)
n
Vì
và

÷ nên = ( 1;1;0 ) là véc-tơ pháp
2
2


tuyến của ( BCC ' B ') .
uuur uuur
r
2
Ta có  AC , AB′ = ah 3;0; −3a ⇒ n1 = h;0; − 3a là véc-tơ pháp tuyến của
( AB′C ) .

(

)

(

)

Theo giả thiết góc giữa ( AB′C ) và mặt phẳng ( BCC ′B′ ) bằng 60°
r r

h
1
⇒ cos 60° = cos n, n1 ⇒ =
⇒ h = 3a
2
2
2
2. h + 3a

(

)

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ là V =

3a 3 3
.
2

Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Gọi M , N , P
lần lượt là trung điểm của CD , CB , A′B′ . Tính khoảng cách từ A đến mp
( MNP ) .
A.

a 3
.
4

B.

a 3
.
2

C. a 2 .

D.

a 2
.
2

Lời giải
7


Chọn B.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
 a 
a

 a 
Ta có A ( 0;0;0 ) , M  a; ;0 ÷, N  ; a;0 ÷, P  0; ; a ÷
 2 
2

 2 
uuuu
r  a a  uuur

MN  − ; ;0 ÷, MP ( −a;0; a )
 2 2 
uuuu
r uuur  a 2 a 2 a 2 

Véc tơ pháp tuyến của ( MNP ) là  MN , MP  =  ; ; ÷
 2 2 2
Phương trình của ( MNP ) là x + y + z −

3a
=0
2

Suy ra khoảng cách từ A đến mp ( MNP ) là:

d ( A, ( MNP ) ) =

−

3a
a 3.
2
=
2
3

2.3.2. Phương pháp 2: Quy về các hình đa diện quen thuộc
·
·
Ví dụ 4. Cho khối chóp S . ABC có ·ASB = BSC

= CSA
= 60° ; SA = a , SB = 2a ,
SC = 4a . Tính thể tích S . ABC theo a .
A.

a3 2
.
3

B.

2a 3 2
.
3

C.

4a 3 2
.
3

D.

8a 3 2
.
3

Phân tích: Học sinh đã quen thuộc với công thức tính thể tích của khối tứ diện
a
đều cạnh a là V =

3

12

2

·
·
. Từ giả thiết ·ASB = BSC
= CSA
= 60° ta có thể quy bài

8


toán về tính thể tích của khối tứ diện đều, sau đó sử dụng công thức tỉ số thể tích
ta tính được thể tích của khối chóp S . ABC .
Lời giải
Chọn B.
Trên cạnh SB ta lấy điểm B′ sao cho SB′ = a ,
trên cạnh SC ta lấy điểm C ' sao cho SC ′ = a .
Từ
SA = SB′ = SC ′ = a
và
·ASB = BSC
·
·
= CSA
= 60° ta suy ra hình chóp

S . AB′C ′ là một tứ diện đều cạnh a . Do đó
a3 2
.
VS . AB′C ′ =
12
Mặt khác:

VS . AB′C ′ SA SB′ SC
a a 1
=
.
.
= 1. . =
VS . ABC SA SB SC ′
2 a 4a 8

⇒ VS . ABC = 8VS . AB′C ′ = 8.

a 3 2 2a 3 2
=
12
3

2.3.3. Phương pháp 3: Phương pháp trải hình
Ví dụ 5. Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S . ABCD
cạnh bên bằng 200m , góc ·ASB = 15° bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng
quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS . Trong đó điểm L cố định và LS = 40m . Hỏi
khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?

9

S

L
K
J

I
H
G
E

F

C

B

A

D

A. 40 67 + 40 mét.

B. 20 111 + 40 mét.

C. 40 31 + 40 mét.

D. 40 111 + 40 mét.

Lời giải

Chọn C.
Ta sử dụng phương pháp trải đa diện
Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau

Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng AL + LS .
S

10


Từ giả thiết về hình chóp đều S . ABCD ta có ·ASL = 120° .
Ta có
AL2 = SA2 + SL2 − 2SA.SL.cos ·ASL = 2002 + 402 − 2.200.40.cos120° = 49600 .
Nên AL = 49600 = 40 31 .
Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là 40 31 + 40 mét.
Ví dụ 6. Để chào mừng 20 năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức quyết định
trang trí cho cổng chào có hai hình trụ. Các kỹ thuật viên đưa ra phương án quấn
xoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng 20 vòng đèn Led cho mỗi cột, biết bán kính
hình trụ cổng là 30 cm và chiều cao cổng là 5π m. Tính chiều dài dây đèn Led
tối thiểu để trang trí hai cột cổng.
A. 24π m .

B. 20π m .

C. 30π m .

D. 26π m .

Lời giải
Chọn D.
Cắt hình trụ theo đường sinh của nó rồi trải liên tiếp trên mặt phẳng 20 lần ta
được hình chữ nhật ABCD có AB = 5π m và BC = 20.2π r = 20.2π .0,3 = 12π m
.
Độ dài dây đèn Led ngắn nhất trang trí 1 cột là
AC = AB 2 + BC 2 =

( 5π )

2

+ ( 12π ) = 13π ( m ) .
2

Chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng là: 2.13π = 26π ( m ) .

Bài tập tương tự
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a Gọi M , N , P lần
lượt là trung điểm của CD, CB, A′B′ . Tính khoảng cách giữa AM đến NP .

11


A.

a 3
.
7

B.

a 21
.
7

C.

a 21
.
3

D.

a 7
.
3

Bài 2. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của CD, CB . Tính khoảng cách từ D′ đến MN .
A.

a 3
.
4

B.

3a 2
.

4

C.

a 2
.
4

D.

a 3
.
2

Bài 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi M
là trung điểm của SD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC là
A.

a 3
.
2

B.

a 5
.
5

C. a .

D.

a
.
2

Bài 4. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Một đường thẳng
d đi qua đỉnh D′ và tâm I của mặt bên BCC ′B′ . Hai điểm M, N thay đổi lần lượt
thuộc các mặt phẳng ( BCC ′B′ ) và ( ABCD ) sao cho trung điểm K của MN thuộc
đường thẳng d (tham khảo hình vẽ).

Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là ?
A.

3a
.
2

B.

3 5.a
.
10

C.

2 5.a
.
5

D.

2 3.a
.
5

·
·
Bài 5. Cho khối chóp S . ABC có ·ASB = BSC
= 60° , CSA
= 90° , SA = 1 , SB = 5
SC = 3 . Tính thể tích S . ABC .

12


Bài 6. Bên cạnh con đường trước khi vào
thành phố người ta xây một ngọn tháp đèn
lộng lẫy. Ngọn tháp hình tứ diện đều
S . ABCD cạnh bên SA = 600 mét,
·ASC = 15° . Do có sự cố đường dây điện
tại điểm Q (là trung điểm của SA ) bị
hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A
đến Q gồm bốn đoạn thẳng AM , MN ,
NP , PQ (hĩnh vẽ). Để tiết kiệm kinh phí,
kỹ sư đã nghiên cứu và có được chiều dài
con đường từ A đến Q ngắn nhất. Tính tỉ
số k =

AM + MN
.
NP + PQ

A. k =

3
.
2

B. k =

3
.
2

C. k =

3
.
2

D. k =

3
.
2

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

SKKN đã được tác giả triển khai dạy cho học sinh lớp 12A năm học
20175 – 2018 của trường THPT Tống Duy Tân ở các tiết tự chọn. Sau khi học
nội dung này, tác giả nhận thấy các em học sinh tiếp nhận tốt nội dung kiến thức
được đề cập. Thông qua các ví dụ được trình bày, các em có thể giải các bài toán
tương tự và tìm ra cách giải các bài toán cụ thể cùng chủ đề.
SKKN cũng được các thầy cô bộ môn toán trường THPT Tống Duy Tân
giảng dạy các tiết dạy tự chọn toán lớp 12, dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi và
nhận được phản hồi tốt. SKKN được các thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy
hữu ích.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Những phương pháp giải bài toán hình học không gian được trình bày
trong SKKN này giúp học sinh có những cách tiếp cận với bài toán hình học
không gian một cách dễ dàng hơn. Nội dung SKKN là tài liệu tham khảo tốt
cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, là tài liệu tham khảo phục vụ cho công tác
giảng dạy đối với giáo viên.

13


3.2. Kiến nghị
Xuất phát từ tâm nguyện của một giáo viên đang từng ngày giảng dạy cho
học sinh, tôi mong muốn nếu đề tài của tôi được đánh giá tốt thì cần được phổ
biến một cách rộng rãi để tài liệu đến tay những giáo viên và học sinh yêu thích
môn toán.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm
2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

ĐỖ ĐƯỜNG HIẾU

14


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.

Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu).

2.

Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt
Nam, 2008 (Tái bản lần thứ hai).

3.

Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 12 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo
dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu).

4. Các Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 của các trường THPT, các Sở
Giáo dục và Đào tạo trên cả nước.

15

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:

Đỗ Đường Hiếu

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Tống Duy Tân
Cấp đánh giá
xếp loại
TT

1.

Tên đề tài SKKN

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm học

đánh giá
xếp loại

Hướng dẫn học sinh giải bài
toán hình học giải tích
không gian bằng kĩ thuật

Ngành GD cấp
tỉnh

C

2014

Ngành GD cấp
tỉnh

C

2016

Ngành GD cấp
tỉnh

C

2017

tham số hóa
2.

Hướng dẫn học sinh giải
phương trình, bất phương
trình bậc hai chứa tham số
và thỏa mãn điều kiện phụ

3.

Xây dựng hệ thống bài tập
dạy học chủ đề ứng dụng
hình học của tích phân theo
định hướng phát triển năng
lực
----------------------------------------------------

16