SKKN sử dụng phần mềm GEOMETER’S SKETCHPAD vào dạy toán quỹ tích lớp 9

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
"ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD VÀO
DẠY BÀI TOÁN QUỸ TÍCH MÔN HÌNH HỌC LỚP 9"
I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn sáng kiến
Trong thời đại hiện nay, công nghệ thông tin là một lĩnh vực được quan tâm
đối với tất cả các ngành trong xã hội nói chung và đặc biệt là ngành giáo dục chúng
ta nói riêng. Việc ứng dụng công nghệ thông tin trong trường học là việc làm rất
cần thiết cho các thầy cô khi đứng lớp, đặc biệt là giáo viên dạy môn hình học ở
cấp THCS. Thật vậy, trước đây khi hướng dẫn cho học sinh một định nghĩa, một
tính chất hoặc giải một bài toán để cho học sinh nắm được bài thực sự đã khó, ở
đây lại là bài toán quỹ tích lại còn khó hơn vì thường rất trừu tượng với học sinh.
Học sinh khó hình dung được đường chuyển động của quỹ tích nên rất mơ hồ về
bài học.
Tuy nhiên từ khi có phấn mềm Geometer’s Sketchpad (GPS) và áp dụng
được phần mềm Geometer’s Sketchpad trong dạy học môn hình học quỹ tích ở cấp
THCS thì việc học tập trở nên dễ dàng hơn với học sinh. Phương pháp dùng hình
ảnh trực quan mà các phương pháp khác không có được, làm cho học sinh thấy rõ
đường đi của quỹ tích, từ đó học sinh nắm được bài và tìm ra hướng giải dễ dàng
hơn. Đó cũng chính là lý do mà tôi chọn đề tài trên.
2. Điểm mới của sáng kiến
Sáng kiến đã hệ thống hóa và cung cấp những bài tập kèm các công cụ
Geometer’s sketchpad có sẵn dễ áp dụng khi giảng dạy các bài toán quí tích lớp 9.
Qua những bài tập và hướng dẫn đơn giản hi vọng các thầy cô có thể có thêm
nhiều phương án tham khảo việc giảng bài trực quan.

1


II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
1. Cơ sở lý luận

Cơ sở triết học: “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư duy
trừu tượng đến thực tiễn. Đó là con đường biện chứng của quá trình tìm ra chân lý”
Cơ sở tâm lý học: con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu
cần tư duy. Tự mình đề xuất được hướng giải quyết vấn đề.
Trong dạy học, phương tiện dạy học tạo ra khả năng tái hiện lại các sự vật
hiện tượng một cách gián tiếp, bởi vì các hiện tượng sự vật đó không phải bao giờ
cũng xảy ra một cách trực tiếp trong các giờ học. Nó góp phần tạo nên trong ý thức
của học sinh những hình ảnh trực quan cảm tính của sự vật hiện tượng, ở giai đoạn
này hình ảnh trực quan bao giờ cũng là thành phần và tiền đề bắt buộc của tư duy.
Ở giai đoạn kết thúc nghiên cứu sự vật hiện tượng cần phải cho học sinh thấy sự
vận dụng trong thực tiễn của nó. Điều này khó đạt nếu thiếu phương tiện dạy học.
Phương tiện dạy học góp phần tạo cho học sinh động cơ học tập đúng đắn. Để làm
được điều đó thì việc sử dụng phương tiện dạy học là rất cần thiết.
2. Thực trạng vấn đề
2.1. Thực trạng chung
Với dạng toán quỹ tích là một trong những vấn đề khá khó đối với học sinh.
Vì vậy việc dạy cho học sinh giải bài toán quỹ tích là không dễ. Học sinh thường
có tâm trạng lo sợ, e ngại trước những bài toán về quỹ tích. Khi gặp một bài toán
về quỹ tích, các học sinh như đi trong bóng tối, băn khoăn không biết quỹ tích phải
tìm là hình gì, nên hướng lý luận về đường nào và đi đến kết luận gì thì mới đúng.
Để đoán nhận được quỹ tích của một điểm nào đó thường thì người học phải vẽ
hình ở những vị trí riêng biệt khác nhau, rồi rút ra tính chất chung từ các trường
hợp riêng đó.
2.2. Thực trạng cụ thể.
Do đặc điểm nữa là gần 100% HS của nhà trường thuộc dân tộc ít người còn
nhiều thói quen, tập tục lạc hậu, chất lượng học tập thấp, đa số HS không có hứng
2


thú khi học tập đặc biệt là môn toán trong đó có phân môn hình học. Tâm lý lo sợ,

e ngại của các em về toán quỹ tích phần nào cũng ảnh huởng đến việc học tập.
Mặt khác, chúng ta có thể thấy rằng việc soạn giảng một tiết bằng
Geometer's Sketchpad tốn khá nhiều công sức và đòi hỏi người giáo viên dạy Toán
phải có kiến thức nhất định về Tin học, nhất là kỹ năng sử dụng phần mềm dạy học
toán Geometer's Sketchpad.
Phòng học riêng biệt cho việc giảng dạy có lắp đặt cố định máy chiếu chưa
có, do đó khi bắt đầu một tiết dạy giáo viên phải đưa đến từng lớp nên rất cồng
kềnh và tốn thời gian. Học sinh bước đầu chưa quen với phương pháp dạy học có
sự hỗ trợ của phần mềm toán học Gemeter’s Sketchpad nên tiếp thu có phần bỡ ngỡ.
2.3. Kết quả khảo sát.
Được sự quan tâm, giúp đỡ của BGH nhà trường. Tôi đã tiến hành khảo sát
sự tiếp thu của học sinh học sinh khối 9 khi học xong bài Cung chứa góc với bài
tập “Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba
đường phân giác trong. Tìm quĩ tích điểm I khi A thay đổi ” năm học 2017 – 2018
khi Geometer’s Sketchpad chưa được áp dụng vào giảng dạy.
Kết quả thu được như sau:
Tổng số

Giỏi

Khá

Trung

Yếu

Kém

TB trở

Bình
SL %
Lớp 9 (29 HS) 0

0

SL %
1

SL

3,4 10

lên

%

SL %

34,5

12

SL %

41,4 6

SL %

20,7 11

37,9

Nhìn vào kết quả trên có thể thấy rằng đa số các em vẫn chưa nắm được bài,
tỉ lệ học sinh yếu kém vẫn còn nhiều.
3. Các biện pháp thực hiện
Hầu hết các bài toán quỹ tích luôn có trong chương trình hình của các khối
lớp từ 6 đến 9 và đã có một số giáo viên thực hiện dạy bài toán quỹ tích bằng phần
mếm Geometer’s Sketchpad và kết quả thu được từ thực tế rất khả quan. Bản thân
3


tôi đang tham gia giảng dạy ở khối 9. Tôi sẽ đưa ra cách thực hiện giảng dạy và vài
ví dụ minh họa một số bài tập.
3.1. Định nghĩa quỹ tích.
Một hình H được gọi là quỹ tích của các điểm M có tính chất T (hay tập hợp
các điểm M có tính chất T) khi và chỉ khi nó chứa các điểm có tính chất T.
3.2. Cách giải bài toán quỹ tích.
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một
hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần :
a) Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm được hình H, chứa các
điểm M có tính chất T, nhưng do các điều kiện hạn chế của bài toán, tập hợp điểm
M là hình H’ chỉ là một bộ phận của hình H. Trong trường hợp này ta phải thực
hiện thêm một công việc nữa gọi là: “ giới hạn quỹ tích”.
b) Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H ( hoặc hình H’) đều có tính chất T.
Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta rút ra kết luận: Quỹ tích những điểm M
thỏa mãn tính chất T là hình H ( hoặc hình H’).
Đối với bài toán tìm tập hợp điểm có tính chất T thì phải lập luận để đưa về
một trong các tập hợp điểm cơ bản ( Trong chương trình hình học ở THCS có 5 tập

hợp điểm cơ bản), nhưng vì thời gian có hạn tôi xin giới thiệu hai tập hợp cơ bản là
“ đường tròn” và “cung chứa góc”.
3.3. Tập hợp điểm về đường tròn và cung chứa góc.
a) Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng R ( R > 0) không đổi là
đường tròn tâm O, bán kính R.
b) Tập hợp điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một
góc ·AMB có số đo bằng α (0 ≤ α ≤ 1800 ) cho trước là hai cung tròn đối xứng với
nhau qua AB, gọi là cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.

Chú ý:
4


- Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
- Khi α = 900 thì hai cung này là hai nửa đường tròn đường kính AB. Như vậy
ta có: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là
đường tròn đường kính AB.
3.4. Những điều cần chú ý khi giải bài toán quỹ tích.
a) Tìm hiểu kĩ bài toán:
Tìm hiểu kĩ bài toán để nắm vững các yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một
bài toán quỹ tích thường có ba loại yếu tố.
* Yếu tố cố định: thông thường là các điểm, đoạn thẳng, đường thẳng.
* Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích của hình, ...
* Yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích, hoặc các
đoạn thẳng, hoặc các hình mà trên đó chứa điểm ta cần tìm quỹ tích.
b) Dự đoán quỹ tích:
Trong nhiều trường hợp, ta cần dự đoán hình H trước khi chứng minh. Để đoán
nhận quỹ tích ta thường tìm ba điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét ba vị trí đặc
biệt, tốt nhất là sử dụng các vị trí giới hạn, với điều kiện hình vẽ chính xác, bằng
trực giác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng của quỹ tích.

- Nếu ba điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường
thẳng (ta không xét trong chuyên đề này).
- Nếu ba điểm ta vẽ được không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường tròn
hoặc cung tròn.
3.5. Các ví dụ minh họa.
* Quỹ tích về đường tròn.
Phương pháp: Tìm được tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng R
( R > 0) không đổi là đường tròn tâm O, bán kính R.

5


Bài 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A cố định trên đường tròn.
Điểm M di động trên tiếp tuyến d tại điểm A của (O; R). Qua M vẽ tiếp tuyến thứ
hai với (O; R). Gọi B là tiếp điểm. Gọi H là trực tâm của tam giác AMB.
a) Chứng minh tứ giác AOBH là hình thoi.
b) Tìm quỹ tích điểm H.
* Hướng dẫn:
Yếu tố cố định: Điểm A, O, đoạn OA
Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB
Yếu tố thay đổi: điểm M, B, H, độ dài MB, MO, MH…
Ở câu a) ta đã chứng minh được AOBH là hình thoi nên suy ra HA = R (không
đổi), A cố định. Vậy ta đã đưa về bài toán quỹ tích cơ bản đường tròn, từ đó ta có
lời giải như sau:
* Tóm tắt lời giải:

B'

M'
H'

a)

OA ⊥ AM , BH ⊥ AM ⇒ OA / / BH
OB ⊥ BM , AH ⊥ BM ⇒ OB / / AH

⇒ Tứ giác AOBH là hình bình hành, có OB = OA = R
⇒ Tứ giác AOBH là hình thoi (dhnb)
⇒ HA = AO = R (không đổi)

b) * Phần thuận:
6


Ta có HA = AO = R (không đổi) (CMT); A cố định.
Vậy M di động thì H di động theo nhưng H luôn cách A cố định một khoảng không
đổi là HA = AO = R. Nên H thuộc đường tròn tâm A, bán kính R.
* Phần đảo:
Lấy H’ thuộc (A; R), nối OH’ cắt d tại M’, vẽ tiếp tuyến M’B’. Chứng minh H’ là
trực tâm của tam giác AM’B’. Thật vậy:
Ta chứng minh được tứ giác AOB’H’ là hình thoi
⇒ OA // B’H’, OA ⊥ AM’
⇒ B’H’ ⊥ AM’ (1)

Chứng minh tương tự AH’ ⊥ B’M’ (2)
Từ (1), (2) ⇒ H’ là trực tâm của tam giác AM’B’.
* Kết luận quỹ tích:
Vậy M di động thì H di động theo nhưng H luôn cách A cố định một khoảng
không đổi là HA = AO = R. Nên H thuộc đường tròn tâm A, bán kính R.
Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, AC là một dây cung bất kỳ, M là

điểm chính giữa của cung »AC . Hai đường thẳng AM và BC cắt nhau ở D.
a) Chứng minh tam giác BAD cân.
b) Tìm quỹ tích điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đã cho.
* Hướng dẫn:
Yếu tố cố định: Điểm A, O, B đoạn OA, OB, AB
Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB, AB…
Yếu tố thay đổi: điểm M, C, D, độ dài BM, AC...
Ở câu a) ta đã chứng minh được tam giác BAD cân nên suy ra BA = BD = 2R
(không đổi), B cố định. Vậy ta đã đưa về bài toán quỹ tích cơ bản đường tròn, từ
đó ta có lời giải như sau:

7


D

M

D'

E

M'
C
C'

A

O

B

* Tóm tắt lời giải:
» = MC
¼ ⇒ MBA
·
·
a) MA
= MBC
·AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ BM ⊥ AD .

Tam giác ABD có BM vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên là tam giác
cân tại B.
b) * Phần thuận:
Tam giác ABD cân tại B (cmt)
⇒ BA = BD = 2R (không đổi), B cố định

Vậy C di động thì D di động theo nhưng D luôn cách B cố định một khoảng
không đổi là BD = AB = 2R. Nên D thuộc đường tròn tâm B, bán kính BA = 2R.
* Giới hạn quỹ tích:
Vì điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính BC nên:
- Khi C trùng với A thì D trùng với A.
- Khi C trùng với B thì BC trở thành tiếp tuyến của đường tròn (O) ở B, khi
đó D trùng với E là giao điểm của đường tròn tâm B, bán kính BA với tiếp
tuyến nói trên.
Vậy D chạy trên

1
đường tròn tâm B, bán kính BA (trên cùng nửa mặt phẳng bờ
4

AB chứa nửa đường tròn (O) là cung »AE như hình vẽ).

8


* Phần đảo:
Lấy D’ bất kỳ thuộc cung »AE . Nối D’A, D’B cắt nửa đường tròn (O) lần lượt
tại M’ và C’. Ta phải chứng minh M’ là điểm chính giữa của ¼
AC ' . Thật vậy:
Ta có tam giác BAD’ cân tại B (vì BA = BD’ = 2R)
· ' A = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ BM ' ⊥ AD '
Mà BM
⇒ BM’ là đường cao đồng thời là phân giác của tam giác ABD’
· ' BM ' ⇒ ¼
¼ 'C '
⇒ ·ABM ' = D
AM ' = M

Vậy M’ là điểm chính giữa của ¼
AC ' .
* Kết luận quỹ tích:
Vậy C di động thì D di động theo nhưng D luôn cách B cố định một khoảng
không đổi là BD = AB = 2R. Nên D thuộc

1
đường tròn tâm B, bán kính BA (trên
4

cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) là cung »AE như hình vẽ).

Bài 3: Cho đường tròn (O; R) cố định, B và C là hai điểm cố định trên đường tròn,
A là một điểm tuỳ ý trên đường tròn. Gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua
trung điểm I của AB. Tìm quỹ tích các điểm M.
Hướng dẫn:
B

C

O'

O
I'

M'

I

A'
M

A

Yếu tố cố định: Điểm B, C, O đoạn OC, OB, BC
Yếu tố không đổi: Độ dài OB, OC, BC…
Yếu tố thay đổi: điểm M, I, A, độ dài BA, CM, CA, BM...
9


Theo bài ra ta dễ dàng chứng minh được tứ giác AMBC là hình bình hành ⇒
MB = AC nhưng AC thay đổi nên không thể sử dụng được bài toán quỹ tích đường

tròn. Nên có thể ta sử dụng độ dài không đổi là bán kính R và BC, từ đó ta nghĩ tạo
thêm đường phụ, tạo thêm điểm cố định bằng cách vẽ OO’// BC và OO’= BC ⇒
O’ cố định và dễ dàng chứng minh được AMO’O là hình bình hành ⇒ MO’ = OA
= R (không đổi). Vậy ta đã đưa về bài toán quỹ tích cơ bản đường tròn, từ đó ta có
lời giải như sau:
* Tóm tắt lời giải:
a) * Phần thuận:
Kẻ OO’// BC và OO’= BC (O’ và B trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC)
⇒ O’ cố định (vì O, B, C cố định và BC không đổi)

Tứ giác AMBC là hình bình hành (vì I là trung điểm của hai đường chéo AB và
MC)
⇒ MA // BC và MA = BC mà OO’// BC và OO’= BC (cd)
⇒ MA // OO’ và MA = OO’
⇒ Tứ giác AMO’O là hình bình hành (dhnb)
⇒ O’M = OA = R (không đổi), O’ cố định

Vậy A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố định một khoảng
không đổi là O’M = OA = R. Nên M thuộc đường tròn tâm O’, bán kính OA = R.
b)* Phần đảo:
Trên (O’, R) lấy điểm M’ bất kỳ. Nối M’B. Qua C kẻ đường thẳng song song với
BM’ cắt đường tròn (O) ở điểm thứ hai A’. Ta phải chứng minh M’ đối xứng với C
qua trung điểm I’ của A’B (Bạn đọc tự chứng minh).
* Kết luận quỹ tích: Vậy A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố
định một khoảng không đổi là O’M = OA = R. Nên M thuộc đường tròn tâm O’,
bán kính OA = R.

10

* Quỹ tích về cung chứa góc.
Phương pháp: Tìm tập hợp điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB
cho trước một góc ·AMB có số đo bằng α (0 ≤ α ≤ 1800 ) cho trước là hai cung tròn
đối xứng với nhau qua AB, gọi là cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.
Chú ý:
- Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
- Khi α = 900 thì hai cung này là hai nửa đường tròn đường kính AB. Như vậy
ta có: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là
đường tròn đường kính AB.
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C, D là hai điểm trên nửa
đường tròn sao cho OC ⊥ OD (C thuộc cung AD). Các tia AC và BD cắt nhau ở P.
Tìm tập hợp điểm P khi C và D chuyển động trên nửa đường tròn.
Hướng dẫn:
x

y
P

P'

P2

P1

C

K

C'
A

D'
D

O

B

Yếu tố cố định: Điểm A, O, B đoạn OA, OB, AB

·
·
Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB, AB, ·ACB = 900 , OCD
= 900 ; CBD
= 450 .
Yếu tố thay đổi: điểm C, D, P, độ dài AC, BC, BD, BP, AP...
Theo bài ra ta chứng minh được ·APB = 450 (không đổi), AB cố định.
11


* Tóm tắt lời giải:
a) * Phần thuận:
·ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ BCP
·
= 900
1·
·
⇒ Tam giác BCP vuông mà CBP
= COD
(góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng

2

» ); COD
·
·
chắn CD
= 450
= 900 (vì OC ⊥ OD ) ⇒ CBP

·
·
Tam giác BCP vuông cân ở C, ta có BPC
= 450
= 450 hay BPA
·
Điểm P tạo với hai mút A, B của đoạn thẳng AB cố định góc BPA
= 450 nên P
thuộc cung chứa góc 450 vẽ trên đoạn AB.

* Giới hạn: Qua A và B vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (O) cắt
cung chứa góc nói trên ở P1, P2. Kẻ bán kính OK ⊥ AB.
- Khi C trùng với A thì D trùng với K, AC trùng với tia tiếp tuyến Ax nên P
trùng với P1.
- Khi C trùng với K thì D trùng với B, BD trùng với tia tiếp tuyến By nên P
trùng với P2.

¼ P thuộc cung chứa góc 450 vẽ trên AB (hình vẽ).
Vậy P chạy trên cung P
1 2
b)* Phần đảo:

¼ nói trên, lấy điểm P’ bất kỳ. Nối P’A, P’B cắt nửa đường tròn
Trên cung PP
1 2

(O) ở C’ và D’. Ta phải chứng minh OC’ ⊥ OD’. Thật vậy:
Nối A với D’, ta có ·AD ' B = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
⇒ ·AD ' P ' = 900 (hai góc kề bù) ⇒ ∆AD ' P ' vuông ở D’

·AP ' B = 450 (vì P’ thuộc cung chứa góc 450 vẽ trên AB)
⇒ ∆AD ' P ' vuông cân ở D’

· ' AD ' = 450 ⇒ C
· ' OD ' = 2 P
· ' AD ' = 2.450 = 900
⇒P

Nên OC’ ⊥ OD’.

¼ P thuộc cung chứa góc 450 vẽ trên
* Kết luận: Vậy tập hợp điểm P là cung P
1 2
đoạn AB (hình vẽ).
12


Bài 2: Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
BC chứa nửa đường tròn (O) vẽ tam giác đều BAC, AB cắt nửa đường tròn (O) ở
E. Gọi M là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn. Vẽ tam giác đều MCN
sao cho đỉnh N nằm khác phía với điểm B qua MC.
a) Chứng minh ba điểm M, E, N thẳng hàng;

b) Tìm quỹ tích điểm N.
Hướng dẫn: Nếu chứng minh E, M, N thẳng hàng thì ta có :
Yếu tố cố định: Điểm A, C, B, E đoạn OC, OB, BC, CE…
·
·
Yếu tố không đổi: Độ dài BC, AB, CE, CAB
= 600 , ENC
= 600 …

Yếu tố thay đổi: điểm M, N, độ dài MC, NC, NM, NE...
·
Theo câu a) chứng minh được ENC
= 600 (không đổi), EC cố định. Vậy áp dụng bài

toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc, từ đó ta có lời giải như sau:

·
a) BEC
= 900 ⇒ CE ⊥ AB

A

CE là đường cao của tam giác đều
N

ABC nên CE là phân giác của góc

M

·

·
BCA
⇒ BCE
= 300

E

M'
N'

·
·
⇒ EMB
= ECB
= 300 (2 góc nội
tiếp cùng chắn một cung)
·
BMC
= 900 (góc nội tiếp chắn nửa

B

O

đường tròn)

·
NMC
= 600 (tam giác NMC đều)
·

·
·
⇒ EMB
+ BMC
+ CMN
= 300 + 900 + 600 = 1800

Nên ba điểm E, M, N thẳng hàng.

a) * Phần thuận:
13

C


·
ENC
= 600 (vì ba điểm E, M, N thẳng hàng)

·
» = 600 , điểm B cố định, đường tròn (O) cố định
BCE
= 300 (cmt ) ⇒ sđ BE
⇒ E cố định, C cố định ⇒ CE cố định

·
Điểm N tạo với hai mút C, E của đoạn thẳng CE cố định góc ENC
= 600 nên N
thuộc cung chứa góc 600 vẽ trên đoạn CE.

* Giới hạn: Vì M chuyển động trên nửa đường tròn (O) nên:
- Khi M trùng với B thì N trùng với A.
- Khi M trùng với C thì N trùng với C.
Vậy M chuyển động trên cung »AC thuộc cung chứa góc 600 vẽ trên đoạn CE .
b)* Phần đảo:
Trên cung »AC nói trên, lấy điểm N’ bất kỳ. Nối N’E cắt nửa đường tròn (O) ở M’.
Ta phải chứng minh tam giác CM’N’ đều. Thật vậy:
Nối C với M’, C với N’ ta có
· ' C = 600 ⇒ M
· ' N ' C = 600 (vì N’ thuộc cung chứa góc 600 vẽ trên CE)
EN

·
Ta chứng minh được ·N ' M ' C = EBC
= 600 (góc ngoài của tứ giác nội tiếp
BEM’C bằng góc trong của đỉnh đối diện)
⇒ ∆CM ' N ' đều

* Kết luận: Vậy quỹ tích điểm N là cung »AC thuộc cung chứa góc 600 vẽ trên
đoạn CE (hình vẽ).
Bài 3: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định. Gọi N là một điểm chuyển động
trên đường tròn, I là trung điểm của AN, M là hình chiếu của điểm I trên BN. Tìm
tập hợp các điểm M.
Hướng dẫn:
Yếu tố cố định: Điểm A, O, B đoạn AB

·
Yếu tố không đổi: Độ dài OA, OB, AB, ·ANB , IMB
= 900 …
Yếu tố thay đổi: điểm N, I, M, độ dài AN, BN, AI, BM,...

14


Theo bài ra ta chỉ có AB cố định. Vậy ta xem có chứng minh được M nhìn AB
dưới một góc không đổi không? Nếu không chứng minh được thì ta phải vẽ thêm
đường phụ để tìm ra thêm đoạn cố định bằng cách gọi giao điểm của BO với
đường tròn (O) là P thì điểm P cố định, nên AP cố định. Gọi MI cắt AP ở Q thì
·
cũng chứng minh được Q cố định, nên PQ cố định ⇒ QMB
= 900 , BQ cố định.

Vậy ta đã đưa về bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc (trường hợp α = 900 ),
từ đó ta có lời giải như sau:
N'

N
M
P

M'
I'
I

Q

O

B

A

* Tóm tắt lời giải:
a) * Phần thuận:
Gọi giao điểm của BO với đường tròn (O) là P thì điểm P cố định, nên AP cố
định. Gọi MI cắt AP ở Q.
Ta có NP // MQ (vì cùng vuông góc với NB)
Ta chứng minh được IQ là đường trung bình của tam giác ANP nên Q là trung
điểm của AP ⇒ Q cố định ⇒ BQ cố định
·
Vậy điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng BQ cố định một góc QMB
= 900

, do đó M thuộc đường tròn đường kính BQ
b)* Phần đảo:
Lấy M’ thuộc đường tròn đường kính BQ. Tia BM’ cắt đường tròn (O) ở N’.
15


Gọi I’ là giao điểm của AN’ và M’Q. Ta phải chứng minh I’ là trung điểm của AN’
và M’ là hình chiếu của I’ trên BN’ (Bạn đọc tự chứng minh).
* Kết luận: Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BQ.
III. KẾT LUẬN
1.Ý nghĩa, phạm vi áp dụng
1.1.Ý nghĩa
Sáng kiến kinh nghiệm đã đạt được một số kết quả như sau:
i. Nghiên cứu về các ứng dụng của GSP vào giảng dạy toán: vẽ hình, sử
dụng khi dạy định nghĩa, các tính chất cũng như vận dụng trong tiết bài tập.
ii. Xây dựng các bài toán cụ thể sử dụng phần mềm Geometer's Sketchpad
nhằm hỗ trợ dạy học ba dạng toán cơ bản của bài toán quĩ tích. Trong những ví dụ
khó đều có những hướng dẫn cụ thể về cách dựng hình.

iii. Phân tích và làm rõ hiệu quả của các chương trình trên vào dạy học.
2. Phạm vi áp dụng
Áp dụng trong các tiết dạy quỹ tích của giáo viên toán môn hình học lớp 9
Trường PTDTBT TH & THCS Tả Phìn – Đồng Văn.
3. Hiệu quả dự kiến của sáng kiến
Qua một số năm học gần đây, từ khi có phần mềm Geometer’s Sketchpad,
tôi có áp dụng dạy đề tài trên cho các em học sinh. Kết quả đạt được cho thấy, khi
học các em hoạt động rất sôi nổi trên mọi đối tượng, thích thú học tập và đạt được
kết quả khá cao. Số học sinh hiểu bài chiếm đa số.
Như vậy, với dạy mô hình trên đã tạo cho học sinh thói quen làm việc theo
hướng tích cực, luôn luôn sáng tạo để tìm ra cái mới. Tập cho học sinh tự suy nghĩ
để chiếm lĩnh kiến thức, mở rộng kiến thức mà không nhàm chán khi làm việc.
Đưa toán học lại gần với các em học sinh hơn.

16


IV. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT
1. Đối với các cơ quan quản lý giáo dục.
Tạo điều kiện cho giáo viên nhiều hơn nữa trong việc ứng dụng phần mềm
GSP này vào dạy các bài toán quỹ tích để kết quả học sinh được tốt hơn
2. Đối với HĐND - UBND tỉnh Hà Giang, huyện Đồng Văn.
Kính mong các cấp lãnh đạo trong HĐND - UBND huyện Đồng Văn tạo
điều kiện trang bị thêm cơ sở vật chất cho nhà trường, xây dựng phòng học tin học,
phòng học có lắp máy chiếu phục vụ cho việc dạy học có ứng dụng CNTT tốt hơn.
Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích cùng trao đổi với các
thầy cô dạy bộ môn toán về việc sử dụng phần mềm này thế nào sao cho hiệu quả.
Vì kiến thức và thời gian còn nhiều hạn chế nên chắc rằng tài liệu có thiếu sót, tôi
chân thành đón nhận sự góp ý của quý thầy cô.
Xin chân thành cảm ơn !

Tả Phìn, ngày

tháng

năm 2019

Giáo viên thực hiện

Lương Thị Mai

17


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Toán 9 tập 1, tập 2 – NXB Giáo dục & đào tạo
2. Nâng cao và phát triển Hình học 9 – NXB tổng hợp TP. Hồ Chí Minh
3.

18


NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN CẤP TRƯỜNG:
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….
NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN CẤP HUYỆN:
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….

19


MỤC LỤC
Nội dung
I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn sáng kiến
2. Điểm mới của sáng kiến
II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
1. Cơ sở lý luận
2. Thực trạng của vấn đề
3. Các biện pháp thực hiện

Trang
1
1
1
2
2
2
3
4

3.1. Định nghĩa quỹ tích
3.2. Cách giải bài toán quỹ tích.

3.3. Tập hợp điểm về đường tròn và cung chứa góc
3.4. Những điều cần chú ý khi giải bài toán quỹ tích
3.5. Các ví dụ minh họa
III. KẾT LUẬN
1. Ý nghĩa, phạm vi áp dụng
1.1. Ý nghĩa
1.2. Phạm vi áp dụng
2. Hiệu quả dự kiến của sáng kiến
3. Những kiến nghị đề xuất
3.1. Đối với các cơ quan quản lý giáo dục.
3.2. Đối với HĐND, UBND tỉnh Hà Giang, huyện Đồng
* Tài liệu tham khảo

20

4
4
5
5-15
16
16
16
16
16
17
17
17
18