Một số vấn đề về hình học giả euclide

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU..................................................................................................2

PHẦN NỘI DUNG..............................................................................................4

CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EƯCLIDE............................4
1.1. CÁC KHÁI NIỆM Cơ BẢN........................................................................4
1.2......................................................................................................................... T
RỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN.........................................................................9
1.3. CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ CON CỦA KHÔNG GIAN VECTO GIẢ
EUCLIDE............................................................................................................13
1.4. PHÉP BIẾN ĐỒI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP.............................................20
1.5. PHÉP BIẾN ĐỒI TRựC GIAO...................................................................25
1.6. PHÉP BIẾN ĐỒI ĐỒNG DẠNG................................................................32

CHƯƠNG II: KHÔNG GIAN GIẢ EƯCLIDE......................................... 41
2.1. CÁC KHÁI NIỆM Cơ BẢN.......................................................................41
2.2. CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE..........................43
2.3. PHÉP DỜI...................................................................................................45
2.4. PHÉP ĐỒNG DẠNG..................................................................................48
2.5. SIÊU MẶT BẬC HAI - SIÊU CẦU TRONG KHÔNG GIAN GIẢ
EUCLIDE............................................................................................................52
2.6. MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE.....................56

PHẦN KẾT LUẬN............................................................................................64

Trang


1. TÀI LIỆU THAM KHẢO

65LÝ DO CHỌN ĐỂ TÀI

“Hĩnh học cao cấp” là mảng kiến thức quan trọng được xây dựng trên nền “Đại
số tuyến tính” và đã được Bộ môn Toán, Khoa Sư phạm chọn làm các môn học chính
thức để giảng dạy cho sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán, Toán - Tin. Đây là những
môn học rất hay, thú vị, kích thích được lòng say mê học và nghiên cứu Toán của sinh
viên. Nhưng trong khuôn khổ chương trình quy định, thầy cô không thể giới thiệu hết tất
cả những vấn đề về hĩnh học cho sinh viên mà chỉ dạy những kiến thức trọng tâm, cơ bản
nhất làm tiền đề cho việc tự nghiên cứu của sinh viên sau này.
Do vậy, được sự gợi ý của Giáo viên hướng dẫn cùng với sự yêu thích tim hiểu về
các loại hĩnh học, mối liên hệ cùng những điểm giống và khác nhau giữa chúng, em đã
quyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về hĩnh học giả Euclide” để thực hiện luận văn tốt
nghiệp của minh.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Luận vãn với đề tài “Một số vấn đề về Hĩnh học giả Euclide” nhàm làm rõ định
nghĩa và một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong Hĩnh học giả Euclide. Đồng
thời, luận văn đi vào tim hiểu một số bất biến của Hĩnh học giả Euclide, mối liên hệ giữa
Hĩnh học giả Euclide với Hĩnh học Euclide và với Hĩnh học xạ ảnh.
Ngoài ra, việc thực hiện đề tài cũng giúp em có dịp củng cố những kiến thức về
Đại số tuyến tính, Hĩnh học Afin, Hĩnh học Euclide, Hĩnh học xạ ảnh và bước đầu làm
quen với việc nghiên cứu các vấn đề mới của Toán học.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
i- Đọc lại và nắm vững những vấn đề trọng tâm, cơ bản của Không gian vectơ, Hĩnh
học Afin, Hĩnh học Euclide, Hĩnh học xạ ảnh.
i Phân tích kỹ định nghĩa và tìm hiểu một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong
hĩnh học giả Euclide.
4- Dựa vào một số định lý, mệnh đề trong Hĩnh học Euclide, phân tích, so sánh để rút
ra các định lý, mệnh đề có liên quan đến các khái niệm trong Hĩnh học giả Euclide. Sau
đó chứng minh lại một cách đầy đủ, rõ ràng và có hệ thống.

4- Dựa vào cách xây dựng mô hĩnh xạ ảnh của không gian Afin và không gian Euclide để rút
ra cách xây dựng mô hĩnh xạ ảnh của không gian giả Euclide. Trên cơsở đó, tim hiểu mối
liên hệ giữa Hĩnh học giả Euclide với Hĩnh học Euclide và với Hĩnh học xạ ảnh.
4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu một số khái niệm cơ bản trong không gian vectơ giả Euclide, không
gian giả Euclide n chiều chỉ số k thông qua tim hiểu lý thuyết tổng quát.
5. NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
ị - Chương I: Trình bày các định nghĩa và tính chất của tích vô hướng, không gian
vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k, cơ sở trực chuẩn và tọa độ trực chuẩn, các không gian
con, các phép biến đổi trực giao và các phép biến đổi đồng dạng nhàm tạo nền tảng kiến
thức cho phần tiếp theo.


PHẦN NÔI DUNG
i - Chương II: Trình bày các định nghĩa và tính chất của không gian giả Euclide n chiều chỉ số k, tọa độ trực chuẩn, các không
gian con, khoảng cách và góc, các phép dời hĩnh và các phép đồng dạng, siêu mặt bậc hai, mô hĩnh xạ ảnh của không gian giả
Euclide; từ đó rút ra mối liên hệ giữa hĩnh học giả Euclide và hĩnh học xạ ảnh.

CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE
1.1.

CÁC KHÁI NIỆM Cơ BẢN

1.1.1.

Định nghĩa

Cho không gian vectơ n chiều Vn trên trường số thực R.
Một ánh xạ: Vn X Vn — > R

( ã , b ) h->a*ố

c gọi là một tích vô hướng trên vn nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
(Ei*) ã * b = b * ã ,Vấ,ồeFn.
(E2*) ã*(b+c) = ã*b+ã*c yấ,ĩ>,csv n .
(E3*) (Ẳã)*b = Ẳ.(ã*b) ,VA e R, Vấ,ồ e V n .
(E4*) Có n vectơ ã ị ụ = 1,») sao cho:
ã ị *ãị >0

, với i < k.

ãị *ãị<0

, với i > k.

ã ị * ãj = 0

, vớii^j.

Khi đó, không gian vectơ Vn được gọi là không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k, ký hiệu là vnk.
1.1.2.
Tính chất
a) (ã + b)*c = ã*b +b*c ,Va,ồ,ceVnk.
Thật vậy:
(£*)
r (£2)
r (£*)
(ã + b)*c = c*(ã + b) = c*ã + c*b = ã*c + b*c
b) ã*(Ẵb) = Ẵ.(ã*b) ,VĂ G R,vã,b G Vnk .
Thật vậy:

_ (£1*) _
(£3*) ^
(£*)
ã*(Ẳb) = (Àb)*ã = Ẳ(b*ã) = Ẳ.(ã*b)
c) H*Õ = Õ*a = 0 , Va G

vk .

Thật vậy:

r (<)
0 *«=((). b ) * ã - 0.(ố *«) = () , vớiồeVnk.

ã*Õ=ã*(0.b) D = ì 0.(ã*b) = 0 , với b eVnk
d) (ã-b)*c = ã*c-b *c ,Vấ,ồ,ceVnk.
Trang 4


Thật vậy:
Dob)
r
r
r
(£3*)
(ơ-b)*c = (ơ + (~b))*c = ơ*c + (~b)*c = ã*c -b*c

e) ã*(b-c) = ã*b-ã*c ,\/ã,b,c e Vnk.
Thật vậy:
(Ẽ) r

Dod)

(E

~)

ữ*(ố-c) = (ố-c)*ữ = b*ã-c*ã = ã*b -ã*c
1.1.3.

Nhận xét

1.1.3.1. n vectơ {ấ t ) r nói trong tiên đề (E 4 *) là cơ sở của vnk.
Thật vậy:
Từ (E4*) ta suy ra ã ị 0, Ví = 1 , n . (Vĩ nếu 3i sao cho ã ị =0 thi ta có ã ị * ã ị = 0 , mâu thuẫn với tiên đề (E4*))
Xét: ¿*,«,=0.
i=1
Nhân vô hướng hai vế với ã j ( j = 1,77), ta được: ã j * ( ^ j k i ã ị ) = 0, j = 1,77.
i=1
=>

¿*ị( ổ 7* ẩ ỉ) = 0, j = \ n .

i=l
=> k j ( ã j * ã j ) = 0, j = 1,77. (Vì ã j * 5 1; = 0 , với i V j)
=> k j = 0, j = 1,77. (Vĩ ã j * ã j * 0)
Vậy {«,}, độc lập tuyến tính trong Vnk.
Do hệ n vectơ {«,}, độc lập tuyến tính trong không gian vectơ n chiều Vnk nên ta suy ra { ã t } r là cơ sở của Vnk.
1.1.3.2. Không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ sổ n chính là không gian vectơ Euclide.
Thật vậy

Trang 5


:Xét vnn là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số n. Vĩ tích vô hướng
trên Y n n thỏa các tiên đề (El*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng
thỏa các tiên đề (El), (E2), (E3) của không gian vectơ Euclide. Do đó ta chỉ cần chứng
minh tích vô hướng trên vnn thỏa tiên đề (E4) của không gian vectơ Euclide, tức
là chứng minh Y x e Vn11 thi X * X > 0 và x * x = 0 < í > x = Õ .
Theo câu a) ta có hệ {ajj— nêu trong tiên đề (E4*) là cơ sở của Y n n thỏa
d ị * ã ị > 0 (Vỉ = 1,») và d ị * ã j = 0, Vỉ'5É j .
Từ đó: Y x e Y n thi X có dạng: X = ^k ị d ị f với kị e R (Vỉ = \ , r ì ) .
i= 1
=> X*X=(^k i d i )*(^k J d J ) = Ỷ4 k i- k Á ã i* ã ^ =
i=1
ỳ=l
i,j=1
Dấu “=” xảy ra

i=1

*«;) * °-

*ã,) = 0

i=1

k ị - 0, Vỉ' = l, n
X =

õ

Vậy tích vô hướng trên Y n n thỏa tiên đề (E4) nên Y n n là không gian vectơ Euclide
n chiều.
1.1.4.

Ví dụ

a) Trường các số phức c là một không gian vectơ giả Euclide 2 chiều chỉ số 1 với
tích vô hướng:

X

* ỷ = ( a + i b ) * (c + i d ) = a c - b d , trong đó

X

= a + ib

e C , ỷ = c + i d e c.
b) Không gian R4 là một không gian vectơ giả Euclide 4 chiều chỉ số 3 với tích vô
hướng:
X =

X

*ỹ = (x ì ,x 2 ,x ĩ ,x ậ )*(y ì ,y 2 ,y ĩ ,y ậ ) = x ỉ y ỉ +x 2 y 2 +x 3 y 3 -x A y A , trong đó

(*!,*2J*3, JC4) E R 4 ,

ỹ =

(y u y 2 ,y 3 ,y 4 ) e R 4 .

Khi đó R4 được gọi là không gian Minkowski hay không gian Không gian - Thời
gian. Người ta thường dùng mô hĩnh không gian này khi nghiên cứu về hĩnh học vũ trụ.
c) Không gian Rn là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k với tích vô
hướng: x*ỹ = Ỵ j x i y i - Xjyj, trong đó X =
i-\
j=k+1
1.1.5.

Module của vectơ

e Rn , ỹ = (y 1 ,...,y„)e Rn.


1.1.6.
Ta định nghĩa module của vectơ ũ là số \ ũ \ sao cho:
\ũI = yjũ*ũ , nếu ũ * ũ > 0
\ ũ \ = ỉ y j - ũ * ũ , nếu ũ * ũ < 0, trong đó i là đơn vị ảo.
Trong cả hai trường họp, ta đều ký hiệu \ ũ \ = y j ũ * ũ . Như vậy module của một
vectơ có thể là một số thực dương, bàng 0 hoặc một số thuần ảo.
N h â n x é t : Vw eVnk, VA <=R thì: ị Ẳ ũ ị = Ậ Ả Ũ ) *( Ắ ũ ) = J Ă 2 ( U * U ) =
141«! .
Vectơ ũ được gọi là vectơ đơn vị nếu \ ũ \ = 1 hoặc \ ũ \ = ỉ .
1.1.7.

Góc giữa hai vectơ trong không gian vectơ giả Euclide

1.1.6.1. Định nghĩa

Cho hai vectơ ã và b thỏa \ ã \ * 0, b * 0. số phức ọ xác định bởi công thức:
(1)

cos =

được gọi là số đo góc của hai vectơ ấ và b . Ký hiệu: ọ { a , b ) .
Từ công thức (1), ta suy ra c o s ẹ có thể là số thực hoặc là số thuần ảo.
Ta có các trường hợp:

♦♦♦ Trường hạp 1: c o s ọ là số thực. Ta xét:
• -1 < cos ọ < 1: Khi đó ( p là số thực và ta quy ước chọn ( p e [0,7ĩ].
• cos ẹ > 1: Khi đó ta đặt: a = cos ọ

=> oe(l; +oo).

Nhận thấy: hàm chx là một hàm số thực liên tục trên R và nhận giá trị trên [l;+oo)
nên với a e (l;+oo) thì tồn tại số thực 6 sao cho: COSỘ3 = a = c h o .
Mà c h o = cos i O nên suy ra: COS ( Ọ = COS i 6 .
Do đó ta chọn < p = Ỉ O và nhận thấy trong trường hợp này < p là số thuần ảo.
• cosẹ? < - 1 : Khi đó -C0SỘ7 > 1
Do đó tương tự như trên ta có: tồn tại số thực 6 sao cho: -COSq > = c h o .
=> cos

Ta chọn < p = Ĩ Ĩ - Ỉ O và nhận thấy trong trường họp này < p là số phức.
♦♦♦ Trưởng hon 2: cos < p là số thuần ảo. Lúc này ta có thể viết: cosẹ? = i b , với b eR.


Nhận thấy: hàm shx là một hàm số thực liên tục và nhận giá trị trên R nên với b eR thì
tồn tại số thực 9 sao cho: b - s h O . 7 t
cos < p = i b = i s h O = sin i O = cos(— - i 0 ) .

,

r

Do đó ta chọn < p = — - Ỉ O và nhận thây trong trường họp này ( p là sô phức.
Vâv: Trong không gian vectơ giả Euclide, ngoài các góc có số đo thực còn có
r

>

>

các góc có sô đo thuân ảo hay phức với phân thực là 7 Ĩ hoặc —.
1.1.6.2. Tính chất
i) Thật vậy:
- ã*b b*ữ
cos < p { a , b ) = , = ,
= cos < p { b , a )
\ã . b b . 5

=>
ii) Với p, q e R thi:

Thật vậy:
L

>

0.

7T-0.

^ (pã)*(qb) pq(ã*b) pq cos ẹ{pă,qb) =
_=
—=r = f-,.cosẹ{ă,b)
ịpãị.qb |pợ||õ|.ò
\pq\

Do đó:
+ Nếu pq > 0 thi: cos< p ( p ã , q b ) = cos < p ( ã , b )
=> + Nêu pq < 0 thì: cos <=> cosọ(a,b) =1 Thật vậy:
ã cùng phương với b <=> ã = p b , với p e R .
ã * b (p b ) * b p b * b p <=>
cos< p ( a , b ) = ——— = J
= f - 7.—r = ị
\ã\.b pb .b \p\ ị
Ip

=
1.
Trang 8

cos q)(a,b)Thật vậy:
< p ( ã , $ ) = — <=> c o s < p ( ã , b ) = 0 <=> ——= 0 <=> 5 * 0 = 0 .
2
lãl.ồ

1.2.

TRựC GIAO VÀ TRựC CHUẨN

1.2.1.

Định nghĩa
k

Hai vectơ ã , b e vn được gọi là trực giao (vuông góc) với nhau nếu ã * b = 0.
Ký hiệu: ã 1 b .
Ta thấy ràng có những vectơ khác 0 mà lại vuông góc với chính nó, những
,
ã,
ã
vectơ như vây goi là vectơ đãng hướng. Ví du: vectơ V = ,
= + j = = = = (trong
vổ1 Ổ1 v_ổ- ã n
đó ã x , ã n là các vectơ nói trong tiên đề (E4*)) là một vectơ đẳng hướng.
k

Hệ vectơ { b ị } ^ gồm các vectơ b ị * 0 thuộc vn được gọi là hệ trực giao nếu
b ị * b ị * 0 (Vỉ = 1 , m ) và b ị : * b j = 0 (Ví * j ' , i , j = 1 , r ì ) (tức là chúng từng đôi một
trực giao với nhau).
Hệ trực giao gồm các vectơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn.

N h â n x é t : Theo định nghĩa, hệ {«¿Ịp nói trong tiên đề (E4*) là một cơ sở trực
k
n

giao của v

.

1.2.2.

Định lý

Mọi hệ trực giao đều là hệ độc lập tuyến tính.
Chứns minh:
Giả sử hệ { b ị } — là hệ trực giao.
Xét:

m

¿=1

=Õ.

Nhân vô hướng hai vế với b j (ỹ = 1, m ), ta được: b j * (^ k ị b ị ) = 0, ì = 1, m .
i =1


=> k j ( b j * b j ) = 0, j = 1 , m . (Vì b j * b ị = 0, với i^j)

m

=> k j = 0, j = 1, m . (VĨ b j * b j * 0)
Vậy { b ị } Ị độc lập tuyến tính trong ynk.
1.2.3.
Định lỷ
k

Trong vn

, nếu ta có n vectơ b i { ỉ

= \ , n ) sao cho b ị * b ị : * ■ 0 (Vỉ = \ , n ) và

b ị * b j = 0 (V/ ^ j ) thi ta sẽ có đúng k vectơ b ị sao cho b ị * b ị >0 và (n - k) vectơ b j
sao cho b j * b j < 0.
Chứns minh:
k

Theo đề bài ta suy ra hệ {¿Jr là cơ sở trực giao của vn
k

tính trong vn

. Không mất tổng quát giả sử b ị

, do đó {¿Jr độc lập tuyến

* b ị > 0, V/ < / và

b ị * b ị < 0, V/ > /. Ta sẽ chứng minh 1 = k.

• Neu 1 > k:

vnk (Vĩ độc lập tuyến
tính). Vĩ vậy chúng sinh ra một không gian vectơ con 1 chiều Vi. Tương tự, gọi vn-k là
Dễ thấy ràng 1 vectơ b ị , b 2 , ố, độc lập tuyến tính trong

không gian vectơ con sinh bởi (n - k) vectơ độc lập tuyến tính ã k + l , ã k + 2 , ..., ã n nói
trong tiên đề (E4*).
Vĩ 1 > k nên Vi và vn_k sẽ giao nhau theo một không gian vectơ có số chiều ít
nhất là 1 - k. Gọi C e V Ị n V n _ k và C ^ õ thì:

Ẫịbị — ^ jUjäj .
i=ì

j=k+1

Do đó:
ỉ*ỉ =

*í) > 0 (1)

(Ế ¥,)*(ẺM) = É W*| **,-) =
i=l

ỳ=l

vàc*c=(ị ụ a )*( Ỳ V j ã j ) =
i=k+1

j=k+\

í,ỹ=l

i=l

Ẻ W j ( ỉ *«;) = Ẻ (« * a ) < 0 ( 2 )
ổ

iJ=k+\

i=k+1

(1) và (2) mâu thuẫn nhau nên 1 > k là không thể được.
• Neu 1 < k:
Gọi Vn_i là không gian vectơ con sinh bởi (n - 1) vectơ độc lập tuyến tính

Trang 10


Gọi Vk là không gian vectơ con sinh bởi k vectơ độc lập tuyến tính a x ,
2 , ..., ■
^ ì + 2 >ã■■■>

Trang 11


ã k nói trong tiên đề (E4*).
Chứng minh tương tự như trường họp 1 > k, ta nhận thấy trường họp 1 < k là
không thể được.
Vậy 1 = k và ta có điều phải chứng minh.

1.2.4.

Định lỷ
k

Trong không gian vn luôn tồn tại một cơ sở trực chuẩn.
Chứns minh:
Gọi { ã ị } r là hệ vectơ nói trong tiên đề (E4*). Khi đó, { ã ị } r là cơ sở trực giao
e

i <
k.
i >
k.

Khi đó ta có:

ã i * ã.

°; v ớ i i ^ i e * "

Ta chọn các vectơ e t sao cho:
và i,j = l,n .
k

Do đó { ẽ ị } J— là một cơ sở trực chuẩn của vn

.

Trong cơ sở trực chuẩn này có k vectơ ể, sao cho ể, * ẽ ì : — 1 và (n - k) vectơ ể

■ sao cho ẽ j * ê j — -1. Điều này cũng đúng với mọi cơ sở trực chuẩn khác (vĩ suy ra từ
định lý ở trên).
k

Từ đây, khi nhắc đến cơ sở trực chuẩn {M,}, bất kỳ của vn

, nếu không nói rõ thì

ta quy ước cơ sở trực chuẩn đó phải thỏa ũ ị * ũ i — 1, với i<k, ũ j * ũ j — -1, với j>k
và ũ ị * ũ j = 0, với i Ỷ j và i, j = 1 ,n .

Trang 12


Tọa độ trực chuẩnTọa độ của vectơ

X

e ynk đối với một cơ sở trực chuẩn được

k

gọi là tọa độ trực chuẩn của X trong vn

.

Giả sử { ẽ i } Ị là một cơ sở trực chuẩn trong

vnk thỏa ẽ ị

* ẽ ị > 0, với i < k. Khi

đó: với X , ỷ e ynk thi:
x = (x ỉ ,...,x n )l {ị}^
ỹ = (yx,-,yn)l {ị}^
Suy ra:
Z*ỹ = dLX&) *(Êyjẽj) = X x i y j (ị
i =1

i j =1

7-1

k

n

=

ỉ'=l

-Ẹw
ỉ'=l

j=k+\

1.2.5. Ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn
j=k+ì

Giả sử { e i } Ị là một cơ sở trực chuẩn trong vnk. Với X <= vnk thi:

Nhận thấy:
x*ị= (¿x m ẽj* ị = £x m (ẽ m * ị) = x t (ề t * ị) = X, với i < k.
m=1
m=1
x * ẽ j = (Ỵ J x m e m )*e j =

m= 1
Vây: nếu X =

* ẽ j ) = x j ( e j * ẽ j ) = - X j , với j > k.

m=l
x„) / thì:

X; = X * Êị, với i < k.
X j = - x * ẽ j , với j > k.
k

k

> Nhân xét. Từ trên ta có: nếu X e vn thỏa mãn X * ỷ = 0 , vỹ e vn thì X = 0 . Thật vậy:
Vĩ X eVnk nên X = (x1,...,x(J)/{e;}p, với {^}j là một cơ sở trực chuẩn trong
k

1■

Mà X * ỷ = 0 , Vỹ eVnk nên:

Xj =-x*ếj = 0 ,
Xị = X * êị = 0,

i=l

1.2.6.

với j > k
với i < k.Do đó: * =

i=l

=X0^ =0

Công thức đổi cơ sở trực chuẩn

Gọi { ế ị }r, ị ẽ ị '}j— là các cơ sở trực chuẩn trong ynk.
Dựa vào công thức đổi cơ sở

trong không gian

vectơ, ta có công thức đổi cơ sở trực

chuẩn trong

vnk

là:
[x] = Ax[x'] hoặc [x'] = (Ax)-'[x]
Trong đó:

A là ma trận chuyển cơ sở từ { ế i } 1 sang
{ị \n
[x], [x’] lần lượt là ma trận cột tọa độ
của vectơ X e

vnk đối với cơ sở { ế ị }r, ị ẽ ị

'}j

—.

1.3.

CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ CON CỦA KHÔNG GIAN YECTƠ
GIẢ EUCLIDE

1.3.1.

Định nghĩa

❖ Dinh nghĩa

7: Giả sử p là không gian vectơ con của vnk. Khi đó trong p xác

định hai phép toán cộng các vectơ và nhân một số với một vectơ, đó chính là hai phép
toán cộng và nhân trong Vnk. Ta lấy tích vô hướng * đã định nghĩa trong Vnk áp dụng cho
p, khi đó trên p ánh xạ * thỏa 3 tiên đề (Ei*), (E2*), (E3*). Nếu ánh xạ * thỏa thêm tiên
đề (E4*) thì trên p xác định được một tích vô hướng, do đó p sẽ là một không gian vectơ
giả Euclide. Khi đó ta gọi p là không gian con của Vnk.
N h ă n x é t : Từ định nghĩa, ta nhận thấy không phải mọi không gian vectơ con

vnk đều là không gian vectơ giả Euclide. Ví dụ: không gian vectơ con một chiều
k
của vn sinh bởi vectơ đẳng hướng V = e x + e n (với {e,}, là một cơ sở trực chuẩn
của

trong Vnk) không thỏa tiên đề (E4*) nên không là không gian vectơ giả Euclide.
k

♦♦♦ Đ i n h n g h ĩ a 2 \ Cho p là không gian vectơ con của vn

. Khi đó p được gọi là

xác định dương (không âm, đẳng hướng, không dương, âm) nếu X * x > 0 ( X * x > 0,

Trang 14


❖ j? * jc = 0, x * f < 0 , x * f < 0 ) , với mọi vectơ X eP, X

^

0.D i n h n g h ĩ a 3 : Cho p

là không gian vectơ con của vnk. Khi đó p được gọi là không suy biến nếu có

X

eP và X *

ỷ - 0, Vỹ eP thi ta suy ra được X = 0 .
Ngược lại thi p được gọi là suy biến.
❖ D i n h n g h ĩ a 4 : Cho p là không gian vectơ con của vnk và vectơ X e vnk. Ta nói
ràng X trực giao với p nếu như X trực giao với mọi vectơ của p.
❖ D i n h n g h ĩ a 5 : Cho p, Q là các không gian vectơ con của vnk. Ta nói ràng p và

Q trực giao với nhau nếu như mọi vectơ của p trực giao với mọi vectơ của Q.
Ký hiệu: Q _L p hay p _L Q.
❖ D i n h n g h ĩ a 6 : Cho p là không gian vectơ con của vnk. Đặt:
Q = { x e Vnk:x * ỹ = 0,Vỹ e P}
Ta dễ dàng chứng minh được Q là một không gian vectơ con của vnk và Q trực
giao với p. Khi đó Q được gọi là phần bù trực giao của p.
Ký hiệu: Q = p1.
N h â n x é t 1 : Từ định nghĩa ta nhận thấy có duy nhất một không gian vectơ con

Q bù trực giao với không gian vectơ con p đã cho.
N h â n x é t 2 : Nếu p 1 R thì R e p1.
1.3.2.

Tính chất

1.3.2.1. Mọi không gian vectơ con dương của vnk đều là không gian
vectơ giả Euclide.
Thật vậy:
Gọi p là không gian vectơ con dương của vnk. Vĩ trên p ánh xạ * thỏa các tiên đề
(Ei*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng thỏa các tiên đề (EO,
(E2), (E3) của không gian vectơ Euclide.
Mặt khác, do p dương nên: Vx eP thì X * X > 0 và x*x = 0 < » x = 0 .
Do đó trên p ánh xạ * thỏa tiên đề (E4) của không gian vectơ Euclide.
Vậy p là một không gian vectơ Euclide. Suy ra p là một không gian vectơ giả

Euclide.
N h â n x é t : Neu p dương thì p thỏa tất cả các tính chất của không gian vectơ
Euclide.
1.3.2.2. Mọi không gian vectơ con âm của Vn* đều là không gian
vectơgìả Euclide.
Thật vậy:


Gọi p là không gian vectơ con âm của vnk. Khi đó trên p ánh xạ * thỏa các tiên đề
(El*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide. Do đó ta sẽ chứng minh * thỏa tiên
đề (E4*) của không gian vectơ giả Euclide.
Gọi m là số chiều của p và {xjj— là một cơ sở tùy ý của p.
Vĩ p âm nên V3c eP, X * 0 thi je * je <
0 =>;*?,. * X ị <0, V/ = ỉ , m .
Đặt: ũ x => ũ x * ũ x < 0.
_ _ ^ _ ¿1, X ị * ũ ị _
Đặt: ũ , = ị - 2, f . ũ
, Vi = m
2,
Dễ thấy ũ ị õ (Vỉ = 1 , m ) do

—

là hệ độc lập tuyến tính. Ta kiểm tra bàng

quy nạp ràng ũ h trực giao với các vectơ Ũ Ị , ũ 2 , ..., ũ h _ x .
Thấy: ũ 2 *ũ l =(x 2 -ị^.ũ l )*ũ l =x 2 *ũ l -^ C Ẵ
với h.

“^=0

Giả sử mệnh đề trên đúng tới h-1, ta chứng minh ràng mệnh đề trên cũng đúng
Với 1 < i < h -1, ta có:
h —1 y -ỊJ

«*

= (*A -

*

h— 1

ũ

i

V -ỊJ

= *«/ ~ ỵ í ĩ r ^ r - { U j * « , )

MŨJ ŨJ

MŨJ ŨJ

Nhưng theo giả thiết quy nạp thi

ũ j * ũ i - 0; Vỉ' ^ j ;1 < i , j < h - \

nên hệ thức trên trở

thành:
ũ h * ũ. =x h * ũ. -

p

*W,) = 0

Vậy {wjj— là một cơ sở trực giao của p thỏa ũ ị * ũ ị < 0, V/ = 1 , m . Do đó trên

ánh xạ * thỏa tiên đề (E4*) của không gian vectơ giả Euclide. Suy ra p là một không gian vectơ
giả Euclide chỉ số 0.
1.3.2.3. Nếu p là không gian vectơ con âm của Vnk thì p thỏa hất đẳng
thức Schwarz: (x * ỷf < (x * x)(ỹ *ỹ), Vx, ỷ eP.
C h ứ n s m i n h : Xét hai trường họp:
♦♦♦ Trưởng hơp Ị: Neu X - 0 hoặc ỷ - 0 thì hiển nhiên bất đẳng thức được thỏa.
♦♦♦ Trưởng hơp 2: Neu X ^ 0 và ỷ ^ 0 thì:


- Nếu { x , ỹ } phụ thuộc tuyến tính thi 3p*0 sao cho: X = p ỷ
Khi đó: (x * ỹ )2 = { p ỹ * ỹ )2 = p 2 { ỹ * ỹ ) 2 = { p ỹ *p ỹ ) { ỹ *ỹ ) = (x*x ) ( ỹ *ỹ ) - Nếu
Khi đó do p âm nên: (í - pỹ) * (je - pỹ) = x*x-2p{x*y) + p 2 {y* ỹ)■*
( V *2
= **y í ' ĩ*ĩ r,{x*ỹ) 2
{x*ỹ)
, ta có: x * x - 2 —
Chon p = —rb, ta
y wcó:
y X *X - 2 _ H——f z r ~ < u

y*y
y*y
(x*x)(ỹ*ỹ)-(x*ỹ) 2
<=>
<0
ỹ*ỹ
n

{ x , ỹ } độc lập tuyến tính thi : X p ỷ , e R
(x * ỹ)2 < (x * x ) ( ỹ * ỹ ) (Vĩ ỹ * ỹ < 0 )
Vậy trong cả hai trường hợp ta luôn có: ( x * ỷ )2 < (x * x ) { ỹ * ỹ ) , Vx , ỹ eP.
N h â n x é t : Bất đẳng thức Schwartz vẫn đúng cho trường hợp p là không gian vectơ con
không dương hoặc không âm. Ta có thể chứng minh điều này dựa vào câu a của định lý
bên dưới và cách chứng minh bất đẳng thức Schwartz dành cho không gian vectơ con âm
ở trên.
1.3.2.4. Sổ chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con
dương của
Thật vậy:

vnk là k.
k

Gọi p là không gian vectơ con dương của vn

. Giả sử dimP > k.

vn-k là không gian vectơ con sinh bởi (n - k) vectơ độc lập tuyến tính ã
2, ..., ã nói trong tiên đề (E4*). Khi đó dễ thấy Vn-k là không gian vectơ con âm của vn .
Gọi

ãk+

k+l

,

n

Mà dimP + dimVn_k > n nên PnVn_k là không gian vectơ con khác không của

Vnk.

(1)

Mặt khác p dương và V _k âm nên PnV _k = {0} .
n

n

(2)

Từ (1) và (2) suy ra vô lý. Vậy ta có số chiều lớn nhất có thể có của p là k.
1.3.2.5. Sổ chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con
âm của Vnk là n-k.
(Chứng minh tương tự tính chất 1.3.2.4.)
1.3.2.6. {0} trực giao với mọi không gian vectơ con của Vnk.
(Tính chất này dễ thấy)


1.3.2.7. Nếu p 1 Q thì PnQ là không gian vectơ con đẳng hướng của vnk

hoặc không gian không.
Thật vậy:
Vx e PnQ thi do p _L Q nên ta có: X * X = 0
Suy ra X là vectơ đẳng hướng hoặc vectơ không. Do đó ta có điều cần chứng
minh.
1.3.2.8.

(P1)1 = p và dimP + dim p1 = n.

(Tính chất này ta công nhận, không chứng minh)
1.3.2.9. Cho p, Q là các không gian vectơ con của vnk. Khi đó:
(PnQ)1 = p1 + Q1 và (P + Q)1 = P1nQ1 Nếu p
c Q thì p1 =3 Q1 (Tính chất này ta dễ dàng chứng
minh)
1.3.2.10. PnP = {0} và P0P1 = ynk khi và chỉ khi p không suy biến.
* Chứng minh:
(=>):
Cho p là không gian vectơ con của vnk thỏa mãn PnP1 = {0} và p©p- = ynk. Khi
đó, nếu có X eP và X * ỷ — 0 , Vỹ eP thi suy ra: X eP1.
=> jcePnP1= {0}

=>X = Õ

Do đó p không suy biến.
(<=):
Cho p là không gian vectơ con không suy biến của vnk.
Khi đó, với X ePnP1 thì do X eP1 nên X * ỷ — 0 , vỹ eP.
Vĩ p không suy biến nên suy ra: X

-

0 Vậy PnP1 = {0}

Mặt khác: dimP + dim p1 = n (theo tính chất 1.3.2.8.) và P0P1 Do đó P0P1 = vnk.
1.3.2.11. Nếu p là không gian con của Vnk thì p không suy biến.
Thật vậy:
Vĩ p là không gian con của vnk nên p là một không gian vectơ giả Euclide.

Xét x e P v à X * ỷ = 0 , vỹ e P thì theo nhận xét ở mục 1.2.6 (phần Ý nghĩa của
tọa độ trực chuẩn) cho không gian vectơ giả Euclide ta suy ra: X - 0
Do đó p không suy biến.


1.3.2.12. Nếu p là không gian con của vnk thì p1 không suy biến.
Thật vậy:
Vĩ p là không gian con của vnk nên p không suy biến (theo tính chất 1.3.2.11.). Do
đó theo tính chất 1.3.2.10 ta có: PnP1 = {0} và P0P1 = vnk Mặt khác theo tính chất
1.3.2.8 thi: (P1)1 = p Suy ra: (P1)1 nP1 = {0} và (P1)1 ©p1 = vnk
Từ đó ta có p1 không suy biến.
1.3.3.
Định lý (Sự phân tích các không gian vectơ con)
a) Mọi không gian vectơ con p của vnk đều có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp p =
Po©Pi, trong đó Po là không gian vectơ con đẳng hướng, Pi là không gian vectơ
con không suy biến và Po -1 Pi (trường họp p không suy biến thi ta xem Po = {0},
trường họp p đẳng hướng thi ta xem P! = {0}).
b) Mọi không gian vectơ con không suy biến p của vnk đều có thể biểu diễn thành
tổng trực tiếp p = p + © p _ , trong đó P+ là không gian vectơ con dương, p. là không
gian vectơ con âm và P+ _L p. (trường hợp p dương (hoặc âm) thi ta xem p.= {0}
(hoặc p+ = {õ})).

Chứns minh:
a) Đặt Po = PnP1. Khi đó Po là không gian vectơ con đẳng hướng.
Vĩ Po là không gian vectơ con của vnk nên tồn tại không gian vectơ con N của vnk
sao cho: P0©N = vnk
Vì vậy: P0©(NnP) = p
Đặt p 1 = NnP. Suy ra: P! _L p0 (Vĩ p0 <= p1 và P!Ta sẽ chứng minh P! không suy biến.
Xét vectơ x0 eP! sao cho x0 = 0, V3c ePi
Nhận thấy: X * ỹ = 0, vỹ eP0 (Do Pi 1 p0)
Vĩ P0©Pi = p nên ta suy ra: x ữ * z = 0, Vz eP Do đó : í 0 eP1 í>ỉ0e NnPnP1 = p0n P!
= {0}
Nên: x0 = 0
Vậy Pi không suy biến và ta có điều phải chứng minh.
b) Gọi P+ là không gian vectơ con dưcmg có số chiều lớn nhất của p. Khi đó P+ không suy
biến và P+QÍP-^)1 = vnk.
Vì vậy: P+©(Pn(P+)1) = p


Đặt p. = Pn(P+)1. Suy ra: p+ _L p. và p+©p_ = p
Ta sẽ chứng minh p. âm.
Giả sử tồn tại X e P. , X 0 sao cho X

*X

> 0.

Khi đó Vỹ eP+ thi: x*ỹ = ữ và ỹ*ỹ>0 ^ (x + ỹ)* (x
+ ỹ) =

X * X

+ ỹ * ỹ + 2(x *ỹ) = x*x + ỹ*ỹ>0

=> ({x}) © p+ dương (trái điều kiện P+ là không gian con dương có số chiều lớn nhất của P)
Vậy p. không dương. Do đó ta có bất đẳng thức Schwarz: (x * y ) 1 < (x * x ) { ỹ
* ỹ ) , V3c, ỷ e P. .
Ta xét vectơ x0 eP. sao cho x0 * x0 = 0
Khi đó, Vx eP_ ta luôn có: (x0 * x f < (x0 * x0)(;*f

=0

Suy ra: * x = 0, Ví eP.
Mặt khác ta có: x ữ * ỹ = 0 , Vỹ eP+ (Vì p+ 1 p.)
Do p+©p. = p nên ta suy ra: x ữ * z - 0, Vz e p
Vĩ p không suy biến nên ta được: ^0=0
Vậy p_ âm và ta có điều phải chứng minh.
>

H ệ q u ả 1 : Mọi không gian vectơ con p của V nk đều có thể biểu diễn được dưới

dạng p = P+ffiP_ffiP0, trong đó P+ là không gian vectơ con dương, p_ là không gian vectơ
con âm và p0 là không gian vectơ con đẳng hướng.
>

H ệ q u ả 2 : Mọi không gian vectơ con không suy biến p của V nk đều là không

gian vectơ giả Euclide. Từ đó p là không gian con của V nk khi và chỉ khi p không suy
biến.
>

H ệ q u ả 3 : Nếu p là không gian con của V nk thì p cũng là không gian con của

Vnk. Từ đó, nếu p _L Q và p (hoặc Q) là không gian con của Vnk thì p n Q = {0} .
1.3.4.
Định lý


1.3.5.
Cho p, Q là các không gian con của vnk. Khi đó, điều kiện cần và đủ để p -L Q là
trong p tim được cơ sở trực chuẩn

và trong Q tim được cơ sở trực chuẩn

{ ế ị '}r sao cho 'Ịí=1— là hệ trực chuẩn của ynk.
Chứns minh:
Vĩ p _L Q và p, Q là các không gian con của vnk nên p n Q = {0}. Do đó, nếu ta
lấy lần lượt trong p và Q các cơ sở trực chuẩn { ẽ ị } 1 và ị ẽ ị '}j— thi hệ Ịếị,^. 'Ịí=ĩ^ sẽ là hệ
trực chuẩn trong vnk.

Nếu trong vnk có một hệ trực chuẩn { é ị , e j ' } i = ĩ p sao cho , { ế ị ' } r lần lượt
7-1.?

là cơ sở trực chuẩn của p và Q thi với X e p, ỷ e Q, ta có:
Vậy X -L ỹ . Do đó p -L Q.

1.4.

PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP

1.4.1.

Dạng song tuyến tính

1.4.1.1. Định nghĩa
Cho không gian vectơ V trên trường số thực R. Khi đó ánh xạ:

s :V xV —>R
(x,ỹ)H>
S(x,ỹ)
được gọi là một dạng song tuyến tính nếu V Ă , / Í G R ; V x , x v x 2 , ỹ , ỹ l , ỹ 2 G V thì:
(i) s (Ãị + ụx 2 ,ỹ) = ẤS , ỹ) + ụS (x 2, ỷ)
(ii) S(x, Ẳỹ l + ụỹ 2) = ẢSịx, ỹ l) + juSịx, ỷ 2)
I.4.I.2. Biểu thức tọa độ
Trong vn cho cơ sở {cjr và s là một dạng song tuyến tính.


Đặt Sịc^Cy) = Cy, Vỉ, j = l,n.
Với X , ỷ e Vn thì X , ỷ có dạng: X = ỵ ^ X ị C ị , ỹ = ỵ ^ y j C j
i=l

7=1

Khi đó: S(x,ỹ) = S(Ỳ,x i c i ,Ỳ,y^j) = ị i x i y J S(c i t c J ) =
i =1

ỳ=l

i , j =1

(!)

i , j =1

Gọi [*], [y ] lần lượt là ma trận cột tọa độ của X , ỹ và c = [cỉ;/.]nxn thi từ (1) ta có:
■S(Í,?) = M*CM (2)
Dạng (2) được gọi là dạng ma trận của dạng song tuyến tính s. Ma trận c được gọi
là ma trận của dạng song tuyến tính s đối với cơ sở {cjr.
1.4.2.

Sự liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính trong

không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k
I.4.2.I.

Liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến

tính
> Cho phép biến đổi tuyến tính ọ : v k -» v k .
Xét ánh xạ S : V k x v k - + R
(x,ỹ) S(x,ỹ) = Dễ dàng nhận thấy s là một dạng song tuyến tính và s xác định duy nhất (do tính
duy nhất của q > và tích vô hướng xác định trên vnk).
Giả sử {ếjp là một cơ sở trực chuẩn trong vnk, A là ma trận của phép biến đổi
tuyến tính ọ đối với cơ sở trực chuẩn đó. Ta tìm ma trận c của dạng song tuyến tính liên
hợp s đối với cơ sở trực chuẩn {ejr .
Ta có: c i j =S(ê i ,ê j ) = n

Mà Í3(ể.) eVnk nên: < p ( ê i ) =
m=\

Suy ra:
n

Cí

n
m Y ẻ, = *ị) = aji(ị *ị) = Oa,
m=]
[ m=1
n
n
m Y ẻ, = *ị) = aji(ị *ị) = -aji,
[ m=1

Cí
<2:

> với A = [«..] n x n

với j < k.

với j > k.


Vây: Nếu có một phép biến đổi tuyến tính ( p của vnk thi xác định duy nhất một
dạng song tuyến tính
trận A=[aij]
c

nxn

s sao cho S ( x , ỹ )

= ẹ ( x ) * ỹ , V x , ỹ eVnk. Khi đó nếu < p có ma

đối với một cơ sở trực chuẩn đã chọn thi

s có ma trận C=[cij ] nxn thỏa

i j = a j i » với j < k, và cij=-aji, v ớ i j > k.
>

Ngược lại, cho một dạng song tuyến tính

s trong vnk thi tồn tại duy nhất một phép

biến đổi tuyến tính ọ : V * - > V * sao cho S ( x , ỹ ) = ạ > ( x ) * ỹ .
Thật vậy:
Giả sử {ếjr là một cơ sở trực chuẩn trong vnk. Gọi c = \Cịị\ m n là ma trận của

s đối

với cơ sở trực chuẩn đó.
Xét phép biến đổi tuyến tính ( p : V * -» V * sao cho ( p có ma trận đối với cơ sở
{ ị } ụ , là A=[aij] nxn thỏa mãn a^i, với i < k, và aij= -c^, với i > k.
Dễ dàng thấy ràng: S ( x , ỹ ) = < p ( x ) * ỹ .
Ta sẽ chứng minh ọ là duy nhất
Thật vậy: Giả sử tồn tại phép biến đổi tuyến tính \ ự : Kn* —» Kn* sao cho S { x , ỹ )
= y/{x)*ỹ
Khi đó:

Nên: (Theo nhận xét ở mục 1.2.6, ta suy ra: ọ ( x ) - ụ / ( x ) = Q hay ọ ( x ) = y / ( x ) , V x
eVnk.
Vậy ọ - y / hay ọ là duy nhất.
Do trên nên ta có định lý:
>

Đ i n h l ý : Công thức S ( x , ỹ ) = < p ( x ) * ỷ thiết lập trong vnk một sự tương ứng

1-1 giữa các dạng song tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính.
I.4.2.2.

Có thể xác định sự liên hệ giữa dạng song tuyến tỉnh với

phép biến đổi tuyến tính theo một cách khác như sau:
>

Cho phép biến đổi tuyến tính ( p :

—» V *

và dạng song tuyến tính S ( x , ỹ ) tương ứng. Ta xác định phép biến đổi tuyến tính ( Ị ) bởi
điều kiện: S ( x , ỹ ) = x * < p \ ỹ ) (3)
Thật vậy: Giả sử {e,}, là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk.
Đặt: Ọ ( ẽ ị ) - ^ d m i ^ m , trong đó dmi là các số cần xác định.


m =1
Ta có: c 9 = S(ị,ej) = ị* ẹ{êj) t Vỉ, j = \,n Nên:
s = ị *(2X,eJ =

C

m=ì

iJ

ỲsdẠị * ẽ J

=

d

ij(ị*ị)

m=ì
m=ì
= * ( Ế d ^ m ) = ị,dr»M *ej = d y ( ị * ị ) =
m=ì
nxn • Suy
Đặt D=[d;j]

, với i > k.

a

n

a

21

a

kl

(k+l)l

- a nl

a

i2

a

22

a

k2 (k+l)2

- a n2

a

ik

a

2k

a

kk (k+l)k

" a nk

-a

i(k+l)

Đặt:

~dij

= d 9 , với i < k.

" a in

-a

2(k+l)

" a 2n

k(k+l)( k+l)(k+l)

" a kn (k+l)n

... 0

0

... 0

0

... 1

0
-1

n(k+l)

a

^nn

*■ kdòng

J

... 0
*■ n - k dòng
... 0

0

Ta nhận thấy: D = IkAxIk và Ik = (Ik) '
Vậy: nếu < p * là phép biến đổi tuyến tính của Vnk thỏa mãn điều kiện (3) thì ma

trận D của ( p thỏa mãn D = IkAxIk . Do đó ( p là duy nhất.
> K ế t l u ậ n : Cho một phép biến đổi tuyến tính < p : V * —» V * thì tồn tại duy nhất
một phép biến đổi tuyến tính (p : V * —> V * thỏa mãn ọ ( x ) * ỹ

= x*ọ*(ỹ)

và ngược lại.


Định nghĩaCho phép biến đổi tuyến tính ọ : V * - > v k. Khi đó phép biến đổi
tuyến tính ç > * - V * thỏa mãn < p ( x ) * ỹ = x * ẹ ( ỹ ) , Vf , ỹ e V n k được gọi là phép
biến đổi
tuyến tính liên họp của q >.
1.4.3.

Tính chất

a) (ạ>y=Thật vậy:
Gọi A, A’, A” lần lượt là ma trận của ( p , ( f > và ( ọ ' ) đối với cơ sở trực chuẩn
đã chọn thi theo trên ta có: A' = IkAxIk
Suy ra: A" = IkA'xIk = Ik(IkAxIk)xIk = IkIk(Ax)xIkIk = (Ax)x = A
b) ( i d ) * = i d , trong đó id là ánh xạ đồng nhất từ V * — > v k .
Thật vậy:
Ánh xạ đồng nhất id có ma trận đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn là I thỏa
Ikixik=Ikik=I
c) ụp + yr)* =

Thật vậy:
Gọi A, B lần lượt là ma trận của ( p , \ ự đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. Khi đó
A + B là ma trận của ( p + \ ự đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. Nhận thấy:

Ma trận của ( ọ + y / ) * là: Ik(A+B)xIk
Ma trận của < p + ự * là: IkAxIk + IkBxIk = Ik(AxIk + B x I k ) = Ik(Ax + Bx)Ik Mà:
I k (A x +B x )I k

= I (A+B) I Nên ta suy ra: ( < p + y / ) * = ( f > + y / *
k

x

k

d) (ẹ ° y/)* = ự* ° ẹ
Thật vậy:
((ọ o y/)(x )) *ỹ

=


=

y/(x)*ọ (ỹ)

=

x*y/* (ọ (y))

x*((y/* o ọ)(ỹ)) Mặt khác:
((ẹoy/)(x))*ỹ = x*((y/oệ) (ỹ))
Suy ra: x*((ự/o ẹy (ỷ) - (ự o ẹ)(ỹ)) = 0, Vf G v k

Do đó theo nhận xét ở bài 2 ta có: ( y / o ( p ) ( ỹ ) - ( y / * ° ( p * ) ( ỷ ) = 0
Vậy: (y/°ẹ)*(ỹ) = (y/* °ẹ)(ỷ), vỹGV k

=