Chuyên đề hinh 8 : Vẽ đường phụ

Chuyên đề bồi dỡng HSG toán 8 Tạ Phạm Hải
Chuyên đề hình học 8
tìm lời giải bằng vẽ thêm đờng phụ
Ngời viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình
A.Một số ví dụ hình thành ph ơng pháp
Ví dụ 1 : Cho h.b.h ABCD , lấy M là một điểm tùy ý trên cạnh AD . Gọi H , L , K thứ tự là
hình chiếu vuông góc của A , C , D trên đờng thẳng BM . Chứng minh AH + DK = CL
Tìm lời giải :
Chú ý : Từ kết luận AH + DK gợi ý cho ta
cần vẽ đờng phụ nh thế nào để tạo đợc một
đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng AH và
DK rồi chứng minh đoạn thẳng tổng đó bằng
CL.
Cách 1 : Đẩy đoạn KD về phía AH
Cách 2 : Đẩy đoạnAH về phía DK
Nh vậy ta có bốn hình vẽ sau đây ứng với bốn
cách giải là :
K
K
Hỡnh 1 .bHỡnh 1 .a
P
P
L
H
C
I
L
H
C
A

D
B
B
D
A
M
M
KK
Hỡnh 2 .bHỡnh 2 .a
P
P
L
H
C
L
H
C
B
D
AA
D
B
MM
ở hình 1a : Để chứng minh PH = CL bằng cách chứng minh
v
PHK =
v
CLB
ở hình 1b : Để chứng minh AP = CL ta cần chứng minh
v

APD =
v
CLB
1
K
I
L
H
C
A
D
B
M
Chuyên đề bồi dỡng HSG toán 8 Tạ Phạm Hải
ở hình 2 a : Ta cần chứng minh
v
BLC =
v
APD
ở hình 2 b : Ta cần chứng minh
v
BLC =
v
HKP
Bạn đọc tự chứng minh .
Tuy nhiên nếu biến đổi kết luận về dạng hiệu là : AH = CL DK hoặc DK = CL
AH
thì bằng cách vẽ tạo ra các đoạn thẳng hiệu và ta lại có thêm những cách giải khác theo các
hình vẽ sau :
K

K
K
K
Hỡnh 3 .d
Hỡnh 3 .c
Hỡnh 3 .b
Hỡnh 3 .a
P
P
L
H
C
L
H
C
P
P
L
H
C
L
H
C
B
D
A
A
D
B
B

D
A
B
D
A
M
M
M
M
Tóm lại có 8 cách giải nh trên .
Bạn đọc tự trình bày lời giải .
Ví dụ 2 : Cho ABC có AB > AC và góc A bằng
0
. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho
BD = AC . Gọi E và F thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD , BC . Tính góc BEF
theo .
Tìm lời giải :
Câu hỏi đặt ra là làm thế nào để tìm hoặc tạo
ra các mối quan hệ giữa các góc BEF và góc BAC
? Cần vẽ đờng phụ nh thế nào ?
Để ý rằng AC = BD , Hãy tìm cách vẽ đẩy
chúng về phía nhau , làm xuất hiện các tam giác
cân ; hoặc vẽ hình để lợi dụng yếu tố trung điểm
mà đề bài đã cho .
1. Đẩy BD về phía AC ta đợc hình 1; 4 ; 6 và
ngợc lại ta đợc hình 2 ; 3 ; 5
2

B
C

A
D
E
F
Chuyªn ®Ò båi dìng HSG to¸n 8 T¹ Ph¹m H¶i
α
H×nh 4
H×nh 3
H×nh 2
H×nh 1
α
α
α
P
P
P
K
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B C
A
D
E

F
D
E
F
D
E
F
D
E
F
α
α
H×nh 5
H×nh 6
K
P
H
K
A
C
B
A
C
B
D
E
F
D
E
F

Tãm t¾t lêi gi¶i cho h×nh 1: Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm K sao cho AK = BD = AC ,
⇒ E lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BK ; ACK c©n t¹i A vµ EF lµ ®êng trung b×nh cña
BCK . Ta ®îc gãc BEF b»ng gãc AKC vµ b»ng 1/2 sè ®o cña gãc BAC . VËy gãc BEF b»ng
α/2.
3
Chuyên đề bồi dỡng HSG toán 8 Tạ Phạm Hải
Tóm tắt lời giải cho hình 2 : Lấy P đối xứng với C qua điểm E thì tứ giác ACDP la hình
bình hành , PBD cân tại D . Ta có góc ADP bằng ( so le trong ) và góc ADP bằng
hai lần góc DBP ( quan hệ góc trong và góc ngoài của DPB ) . Lại có góc DBP bằng góc
BEF ( so le trong ). Vậy BEF bằng / 2 .
Tóm tắt lời giải cho hình 5 : Dựng hình bình hành ACBK BDK cân tại B . Gọi H là
trung điểm của DK thì BH là phân giác của góc DBK . Vậy góc EBH = 1/2 góc EBK = /2
= góc BEF ( so le trong )
Bạn đọc hãy tìm lời giải cho hình 3 và 4 , 6
2. Lợi dụng yếu tố trung điểm mà đề bài đã cho
Hình 8
Hình 7


Q
P
B
C
A
A
C
B
D
E
F

D
E
F
K
Tóm tắt lời giải cho hình 7 : Trên tia đối của tia AC lấy điểm P sao cho PA = BA , ta
đợc ABP cân tại A . Gọi Q là trung điểm của đoạn CP thì CQ = CP/2 = ( AB + AC )/
2 = BE . Từ đó AQ = AE = DE và AQE cân tại A và ba điểm E , F , Q thẳng hàng .
Từ đây dẽ dàng tính đợc góc BEF bằng / 2 .
Ví dụ 3 : Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD ; I
và J thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng DH và BC . Tính số đo cú góc AIJ .
Tìm lời giải
Từ hình vẽ ( khá chính xác ) ta dự đoán góc AIJ = 90
0
.Dựa vào yếu tố trung điểm mà
đề đã cho mà vẽ thêm hình tạo sự liên kết giữa I và J .
Cách 1 : ( hình 1,2) Vẽ hình phụ khai thác yếu tố trung điểm
Cách 3 ( hình 3 , 4 ) Vẽ hình phụ tạo các tam giác đồng dạng để xét các quan hệ về góc
4
Chuyên đề bồi dỡng HSG toán 8 Tạ Phạm Hải
J
I H
A
D
C
B
Hình 2
Hình 1
O
P
P

J
I
H
J
I H
B
C
D
A
B
C
D
A
Hình 4
Hình 3
O
K
P
Q
J
I
H
J
I H
B
C
D
A
B
C

D
A
Tóm tắt lời giải cho hình 1 Gọi P là trung điểm của AH thì IP AB và P là trực
tâm của ABI . Từ đó tứ giác BPIJ là h.b.h , BP // IJ mà BP AI nên JI AI .
Tóm tắt lời giải cho hình 4 ( xem hình vẽ ) Vì góc DAH = góc ACB < 90
0
nên

v
AHD
v
ABC
: 2
: 2
AH DH DH IH
AB BC BC JB
= = =
nên lại có
v
AHI
v
ABJ . Ta đợc
0
0
90
AJB < 90
IAH JAB
AIH

= <

=


AOI BOJ ( g g ) AOB IOJ ( c g c )
nên góc JAB = góc JIB = góc IAH mà góc AIH + góc IAH = 90
0
nên góc AIH + góc JIB
= 90
0
. Hay góc AIJ = 90
0
.( Với lớp 9 nên dùng tứ giác nội tiếp với hình 4 )
Bạn đọc tự giải cho hình 2 và hình 3 .
Qua các ví dụ trên có thể rút ra một kết luận là :
1. Thông thờng cách vẽ đờng phụ xuất phát từ cách tìm kiếm lời giải bằng phân tích đi lên
2. Vẽ đờng phụ để liên kết những yếu tố đã cho với nhau : Đẩy chúng về phía nhau , tạo ra
hình trung gian
3. Vẽ đờng phụ để khai thác hoặc tạo thêm giả thiết ( dựa vào kiến thức đã học )
5