SKKN MỘT SỐ CÁCH SUY LUẬN HỢP LÝ ĐỂ TÌM RA CÁCH VẼ ĐƯỜNG PHỤ

Phòng giáo dục - đào tạo thị xã Thái Hoà
trờng THCS hoà hiếu II

Đề tài
một phơng pháp suy luận hợp lý để tìm ra cách vẽ
đờng phụ dùng trong chứng minh một số hệ thức hình học
Ngời thực hiện
:
Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS hoà hiếu II

Năm học 2008 - 2009
Saựng kieỏn kinh nghieọm
I. đặt vấn đề
Trong quá trình kiếm tìm lời giải cho các bài toán hình học, đôi khi việc
vẽ thêm các đờng phụ sẽ giúp cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi
hơn. Thậm chí có những bài toán nếu không vẽ thêm đờng phụ sẽ không giải đ-
ợc. Vấn đề đặt ra là đờng phụ đợc vẽ nh thế nào? Có phơng pháp chung nào để
vẽ đợc đờng phụ hay không?Đó là điều khiến chúng ta cần phải đầu t suy nghĩ .
Thực tế cho thấy rằng không có phơng pháp chung để vẽ đờng phụ khi
giải các bài toán hình học. Tuỳ vào từng bài toán cụ thể chúng ta sẽ có những
cách vẽ đờng phụ hợp lý để có đợc những lời giải hay và độc đáo.Tuy nhiên việc
vẽ thêm đờng phụ không thể tuỳ tiện, không phải do sự may mắn trong quá trình
tìm kiếm lời giải mà nó phải bắt nguồn từ sự suy luận hợp lý trên cơ sở phân tích
các giả thiết và kết luận của bài toán .Sau đây tôi xin trình bày một ví dụ sử dụng
phơng pháp suy luận hợp lý để tìm ra cách vẽ đờng phụ.
II. Nội dung
Ví dụ 1: Trên cung BC không chứa điểm A của đờng tròn ngoại tiếp
đều ABC, lấy một điểm P tuỳ ý, các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại Q, chứng
minh rằng:

PC
1
PB
1
PQ
1
+=
* Cách 1: Phân tích bài toán
Ta có:
PC
1
PB
1
PQ
1
+=
<=> PQ . PC + PQ. PB = PB.PC (*)
- Từ (*) giúp ta nghĩ đến chọn điểm phụ K CP để tách PB.PC = PB.
(PK+KC).
- Bây giờ ta tìm tính chất của điểm K bằng cách cho PB.PK = PQ.PB
(hoặc PQ.PB = PB.KC).
Từ PB.PK = PB.PQ => PK = PQ
- Từ đó ta suy ra cách chọn điểm phụ nh sau: Trên đoạn PC ta lấy K sao
cho PQ = PK.
Giải:


PQC có P = 60
0
; PQC > 60

0

=> PC > PQ
Trên đoạn PC lấy điểm K
sao cho PK = PQ
=>
PQK đều (vì QPK = 60
0
; PQ = PK)
Nguyễn Anh Tuấn
T
rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 2
A
B
P
Q
C
Saựng kieỏn kinh nghieọm
=> PQ = PK = QK
=> PQ. PB = PK.PB (1)
Mặt khác: KQC
S
PBC (vì QKC = BPC = 120
0
; KCQ = PCB)
=>
KQ.PCPB.CK
PC

PB
KC
KQ
==
=> PB.CK = PQ.PC (2)
Từ (1) và (2) => PQ.PC + PQ.PB = PB.CK + PK.PB
= PB (CK+ KP) = PB.CP
=> PQ (PC + PB) = PB.PC =>
PB
1
PC
1
PQ
1
+=
(đpcm)
* Nhận xét:
- ở bớc phân tích ta đã có PK.PB = PB.PQ, phần còn lại ta chỉ cần chứng
minh: PQ.PC = PB. KC là đợc.
- ở cách giải thứ nhất ta đã chọn điểm phụ K thuộc đoạn PC, tơng tự nh
vậy ta có thể chọn điểm K thuộc PB.
* Cách 2:
Ta có:
PC
1
PB
1
PQ
1
+=

<=>
PB
1
PQ
1
PC
1
=

<=> PB . PC - PQ. PC = PQ.PB (**)
- Từ (* *) giúp ta nghĩ đến chọn điểm phụ M trên tia đối của tia QP để
tách PB.PQ = PB (PM - MQ).
- Bây giờ ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho PB.PM = PB.PC <=>
PM = PC.
-Từ đó ta suy ra cách chọn điểm phụ M nh sau: Trên tia đối của tia QP
lấy điểm M sao cho PM = PC .
Giải:
Trên tia đối của tia QP lấy điểm
M sao cho PM = PC
=>
PMC đều (vì PM = PC; MPC = 60
0
)
=> PM = PC = MC => PB.PM =
PB.PC (1).
Mặt khác: PQB
S
MQC (vì Q
1
= Q

2
; BPQ = QMC = 60
0
)
Nguyễn Anh Tuấn
T
rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 3
A
B
P
Q
M
O
C
1
2
Saựng kieỏn kinh nghieọm
=>
MC
MQ
PB
PQ
=
=> PQ.MC = PB.MQ => PB.MQ = PQ.PC (2)
(Vì: MC = PC):
Từ (1) và (2) => PC.PB - PC.PQ = PB.PM - PB.MQ
= PB (PM - MQ) = PB.PQ
=> PC (PB-PQ) = PB.PQ =>

PB
1
PQ
1
PC
1
=
hay
PC
1
PB
1
PQ
1
+=
(đpcm)
* Nhận xét:
+Tơng tự nh cách 2 ta có thể lấy điểm M trên tia đối của tia QP sao cho
PM = PB.
+ở cách 2 ta đã chọn điểm phụ M trên tia PQ. Vậy ta có thể chọn điểm
phụ M trên tia đối của tia PB đợc không ?. Nếu chọn điểm phụ M trên tia đối của
tia PB thì ta có:
PB.PQ = (BM - MP) PQ
= PQ.BM - PQ.MP
- Ta tìm tính chất của điểm M
bằng cách cho PQ.MP = PQ.PC =>
MP=PC, từ đó ta suy ra cách cọn điểm
phụ M nh sau:
- Trên tia đối của tia PB ta lấy
điểm M sao cho PM = PC.

- Phần còn lại ta chỉ cần chứng minh đợc: PQ.BM = PC.PB
Hay:
PB
MB
PQ
PC
=
Tuy nhiên ở đây P, M, B thẳng hàng nên không có BMP
S
PCQ. Vậy
ta có thể thay tỉ số
PB
MB
bằng tỉ số nào đợc ở đây ta cần chú ý đến một điều đó là
ta có thể chứng minh đợc MB = BP+PM = BP + PC = AP. Nh vậy ta cần phải
chứng minh
PB
AP
PQ
PC
=
. Điều này có đợc nhờ PCA
S
PQB (g.g). Từ đó ta có
lời giải nh sau:
* Cách 3:
Nguyễn Anh Tuấn
T
rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 4
A
B
P
Q
M
C
Saựng kieỏn kinh nghieọm
Trên tia đối của tia PB ta lấy điểm M sao cho PM = PC Ta có: MPC = BAC = 60
0
(cùng bù với góc BPC) => PCM đều => PC = PM = CM.
Xét APC và BMC có:
AC = BC (gt)
ACP = BCM ( = 60
0
+ PCB) ; PC = CM (chứng minh trên)
=> APC = BMC (c.g.c) => AP = BM
Ta có: PCA
S
PQB (g.g) =>
PB
PA
PQ
PC
=
=>
PB
MB
PQ
PC

=
(Vì PA = BM)
=> PC.PB = PQ.MB (1)
Mặt khác: Vì PC = PM => PC.PQ = PM.PQ (2)
Từ (1) và (2) => PB.PC - PQ.PC = PQ.MB - PQ.PM
= PQ.(MB - PM) = PQ.BP
=> PC. (PB - PQ) = PQ.PB =>
=
PQ
1
PC
1
PB
1
hay
+=
PB
1
PQ
1
PC
1
(đpcm)
* Nhận xét:
+ ở cách 2 ta đã lấy điểm M trên tia đối của tia QP để tách PQ = PM - MQ.
Tại sao ta không lấy M trên tia đối của tia PQ ?. Nếu lấy M trên tia đối của tia PQ
thì ta tách PQ.PB = (QM - PM) PB = QM.PB - PM.PB. Đến đây ta tìm tính chất
của điểm M bằng cách cho QM.PB = PC.BP => QM = PC, tuy nhiên đến đây ta
không thể chứng minh đợc PM.PB = PC.PQ. Vì không thể vận dụng đợc giả thiết
của bài toán đã cho là ABC đều.

+ ở cách 3 ta đã lấy điểm phụ M trên tia đối của tia PB để tách
PB .PQ=(BM-MP).PQ. Vậy ta có thể chọn điểm phụ M trên tia đối của tia PB đợc
không ? Nếu lấy M trên tia đối của tia BP thì ta có :
BP.PQ=(PM-BM).PQ=PM.PQ-BM.PQ
- Ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho BM.PQ=PC.PQ => BM =PC
Phần còn lại ta chỉ cần chứng minh PB.PC = PM.PQ là đợc hay:
PQ
PC
PB
PM
=
ở đây ta cần chú ý đến PM= PB+PM = PB+PC=PA Do đó ta cần chứng
minh
PQ
PC
PB
PA
=
điều này có đợc nhờ PAB
S
PCQ(g-g)
Nguyễn Anh Tuấn
T
rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 5
Saựng kieỏn kinh nghieọm
- Từ giả thiết:
=>+=
PBPCPQ

111

PC
1
PQ
1
PB
1
+=

<=> PQ . PC = PB.CP - PB . PQ
Nh vậy chúng ta cũng có thể chọn điểm phụ trên tia đối của tia PC(Hoăc
trên tia đối của tia CP)
Ví dụ 2:
Cho ABC, AD là đờng phân giác trong của góc BAC (D BC) . Chứng
minh rằng: AD
2
= AB . AC - DB . DC.
* Phân tích:
- Ta chọn điểm phụ M trên tia đối của tia AD để tách AD
2
= AD (AM - MD)
= AD . AM - AD . MD.
- Ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho AB . AC = AM . AD (Hoặc
BD . DC = AD.MD), từ AB . AC = AM . AD.
=>
AC
AD
AM
AB

=
=> ABM
S
ADC (c.g.c) ( vì A
1
= A
2
)
=> AMB = ACD => tứ giác ACMB nội tiếp.
- Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ M nh sau:
Gọi M là giao điểm của AD với đờng tròn ngoại tiếp
ABC.
Lời giải:
* Cách 1 (lớp 9):
Gọi M là giao điểm của AD với
đờng tròn ngoại tiếp ABC
Ta có: AMC
S
ABD (g.g)
=>
AD
AB
AC
AM
=
=> AC . AB = AD . AM (1)
Mặt khác: ABD
S
CMD (g.g)
=>

MD
BD
CD
AD
=
=> BD . CD = AD . MD (2)
Nguyễn Anh Tuấn
T
rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 6
A
B
D
M
C
1
2
Saựng kieỏn kinh nghieọm
Từ (1) và (2) => AB . AC - BD . CD = AD . AM - AD . MD
= AD (AM - MD) = AD . AD = AD
2
(đpcm)
* Cách 2 (lớp 8):
Đối với học sinh lớp 8, các em cha học đến đờng tròn, do đó từ ABM
S

ADC => AMB = ACD
Mặt khác, ta có: C + A
2

= D
1
CBM + M = D
1
=> CBM = A
2
Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ
M nh sau: Trên nửa mặt phẳng bờ
BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho
CBx = A
2
, Gọi M là giao điểm của
tia AD và tia Bx.
Ta có: B
1
+ M = D
1
(định lý về
góc ngoài của tam giác).
C + A
2
= D
1
=> M = C
=> ABM
S
ADC (g.g) =>
AD
AB
AC

AM
=
=> AB . AC = AM . AD (1)
Mặt khác: DBM
S
DAC (g.g) =>
CD
AD
DM
BD
=

=> BD . CD = DM . AD (2)
Từ (1) và (2) => AB . AC - BD . CD = AD . AM - DM . AD
= (AM - MD) . AD = AD
2
(đpcm)
* Cách 3 (lớp 8):
Từ điều cần chứng minh AD
2
= AB . AC - DB . DC
=> AB . AC = AD
2
+ DB . DC
- Từ đó ta chọn điểm phụ K thuộc AB để tách AB . AC = (AK + KB) AC =
AK . AC + KB . AC
- Ta tìm tính chất của điểm K bằng cách cho AK . AC = AD
2
Nguyễn Anh Tuấn
T

rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 7
A
B
D
M
X
C
1
1
1
2
Saựng kieỏn kinh nghieọm
=>
AC
AD
AD
AK
=
=> AKD
S
ADC (c.g.c)
(Vì A
1
= A
2
) => ADK = ACD
- Từ đó ta suy ra cách chọn điểm
phụ K nh sau:

Bên trong góc ADB vẽ tia DK sao
cho ADK = C (K AB)
Lời giải:
Bên trong góc ADB vẽ tia DK sao
cho ADK = C (K AB) => ADK
S
ACD (g.g) =>
AD
AC
AK
AD
=
=> AD
2
= AC . AK (*)
Mặt khác: A
1
+ D
1
= K
1
; C + A
2
= ADB; C + A
2
=
D
1
+ A
1

=> K
1


= ADB;
=> KBD
S
DBA (g.g) =>
AB
BD
BD
KB
=
(1)
Ta lại có
AC
DC
AB
DB
=
(2) (vì AD là phân giác của A )
Từ (1) và (2) =>
AC
DC
BD
KB
=
=> DB . DC = AC . KB (**)
Từ (*) và (**) => DB . DC + AD
2

= AC . KB + AC . AK = AC (AK + KB)
= AC . AB => AD
2
= AB . AC - DB . DC (đpcm)
* Cách 4: Phân tích
AD
2
= AB . AC - DB . DC <=> DB.DC = AB . AC - AD
2
.
Lấy I trên tia đối của tia DB để tách DB . DC = (BI - DI) DC.
- Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách
cho BI . DC = AB . AC (Hoặc DI . DC =
AD
2
)
Nguyễn Anh Tuấn
T
rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 8
A
B
D
K
C
1
1
1
2

A
B
D
I
C
Saựng kieỏn kinh nghieọm
=>
DC
AC
AB
BI
=
Mặt khác: Vì AD là tia phân giác
của góc BAC =>
BD
AB
DC
AC
=
Do đó
BD
AB
AB
BI
=
=> BIA
S
BAD) (c.g.c) => BIA = BAD
- Từ đó ta suy ra cách điểm phụ nh sau: Trên tia đối của tia DB lấy điểm I
sao cho BIA = BAD

Lời giải:
Trên tia đối của tia DB lấy I sao cho BIA = BAD
=> BIA
S
BAD (g.g) =>
BD
AB
AB
BI
=
(1)
Mặt khác: AD là phân giác của góc BAC =>
DC
AC
BD
AB
=
(2)
Từ (1) và (2) =>
DC
AC
AB
BI
=
=> AB.AC = BI.DC (3)
Ta lại có: IDA
S
ADC (g.g) =>
DC
AD

AD
ID
=
=> AD
2
= ID . DC (4)
Từ (3) và (4) => AB . AC - AD
2
= (BI - ID) DC = BD . DC
Hay AD
2
= AB . AC - DB . DC (đpcm)
* Nhận xét.
+ Ta đã chọn điểm phụ K trên AB để tách AB = AK . KB. Tơng tự nh vậy ta
cũng có thể chọn điểm phụ K trên AC.
+ Khi đã chứng minh đợc AD
2
= AC . AK, phần còn lại ta chỉ cần chứng
minh AC . KB = DB . DC <=>
AC
DC
DB
KB
=
, tuy nhiên ta không thể chứng minh trực
tiếp đợc kết quả này mà phải sử dụng kết quả
AD
AB
AC
AD

=
nhờ vào tính chất đờng
phân giác của tam giác.
+ Sau khi học sinh giải xong bài tập này, giáo viên nên cho học sinh xét bài
toán trong trờng hợp AD là đờng phân giác ngoài của góc BAC (D thuộc đờng
thẳng BC) để các em tự tìm ra đợc kết quả AD
2
= DB . DC - AB . AC.
Nguyễn Anh Tuấn
T
rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 9
Saựng kieỏn kinh nghieọm
+ Tơng tự nh cách 4 có thể chọn điểm phụ trên tia đối của tia DC.
Ví dụ 3: (Toán 8)
Cho hình bình hành ABCD, một
đờng thẳng d thay đổi cắt các đoạn
thẳng AB, AD, AC lần lợt tại M, N, P.
Chứng minh rằng:
AP
AC
AN
AD
AM
AB
=+
* Phân tích:
- Ta chọn điểm phụ I thuộc AC để tách
AP

IC
AP
AI
AP
ICAI
AP
AC
+=
+
=
- Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho
AP
AI
AM
AB
=
hoặc






=
AP
IC
AM
AB
Từ
AP

AI
AM
AB
=
=> ABI
S
AMP (c.g.c) => BIA = MPA => BI//d
-Từ đó suy ra cách vẽ điểm phụ I nh sau: Kẻ IB //d (I AC)
Lời giải:
Kẻ BI//d (I AC) =>
AP
AI
AM
AB
=
(1) (định lý ta-let)
Xét CBI và ANP có: PAN = ICB (so le trong)
APN = CIB ( = CPM) => CBI
S
ANP (g.g)
=>
AP
IC
AN
AD
AP
IC
AN
BC
==>=

(2) (vì BC = AD).
Từ (1) và (2) =>
AP
AC
AP
ICAI
AN
AD
AM
AB
=
+
=+
(đpcm)
Cách 2:
Ta có:
AN
AD
AP
AC
AM
AB
AP
AC
AN
AD
AM
AB
=<=>=+
- Ta chọn điểm phụ I trên tia đối của tia BA để tách

AM
BIAI
AM
AB

=
Nguyễn Anh Tuấn
T
rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 10
A
M
B
D
P
1
d
N
I
C
A
M
B
D
P
1
d
N
I

C
Saựng kieỏn kinh nghieọm
- Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho
AP
AC
AM
AI
=
hoặc






=
AN
AD
AM
BI
Từ
AP
AC
AM
AI
=
=> AIC
S
AMP (g.c.g) => AIC = AMP
=> CI // MP hay CI // d

- Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau: Qua C kẻ đờng thẳng song song với d
cắt AB kéo dài tại I
Lời giải
Qua C kẻ đờng thẳng song song với d, cắt AB kéo dài tại I
=>
AP
AC
AM
AI
=
(định lý ta-lét)
Mặt khác: BCI
S
ANM (g.g) =>
AM
BI
AN
BC
=
=>
AM
BI
AN
AD
=
(2)
(vì AD = BC).
Từ (1) và (2) =>
AN
AD

AP
AC

=
AM
BI
AM
AI

=
AM
AB
AM
BIAI
=

hay:
AM
AB
AP
AC
=
+
AN
AD
(đpcm)
Cách 3:
Ta có :
AM
AB

AP
AC
=
+
AN
AD
<=>
AP
AC
AN
AD
=
-
AM
AB
.
- Ta chọn điểm phụ I trên tia đối của tia DA để tách
AN
DIAI
AN
AD

=
;
- Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho
AP
AC
AN
AI
=

hoặc
AM
AB
AN
DI
=
Từ
AP
AC
AN
AI
=
=> AIC
S
ANP(c.g.c)
=> AIC = ANP
=> CI // NP. Hay CI // d
- Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau:
Qua C kẻ đờng thẳng song song với d cắt
AD kéo dài tại I =>
AN
AI
AP
AC
=
(1) (định lý ta-lét)
Nguyễn Anh Tuấn
T
rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 11
A
M
B
D
P
1
d
N
I
C