Khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật trong chương trình toán 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY CÁC PHÂN SỐ
CÓ QUY LUẬT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6

Người thực hiện:
Chức vụ:
Đơn vị công tác:
SKKN thuộc lĩnh vực:

Nguyễn Thị Lâm
Giáo viên
Trường THCS Thăng Long
Toán

NÔNG CỐNG, NĂM 2017
0


MỤC LỤC
TT
1
2
3
4
5
6
7

8
9
10
11
12
13

Tên mục
I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm
3. Các giải pháp giải quyết vấn đề
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
2. Kiến nghị

Trang
02
02
02
03
03
04

04
04
04
19
21
21
21

1


I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII đã nêu rõ: “Giáo dục là quốc sách hàng
đầu”, phát triển giáo dục luôn là động lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp công
nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước, là điều kiện phát huy nguồn nhân lực con
người, yếu tố cơ bản để phát triển xã hội. Giáo dục đào tạo thực hiện mục đích
“nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Trong thời đại hội nhập
hiện nay, sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ đòi hỏi dân trí ngày càng
phải được nâng lên. Vì vậy, ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường, học sinh cần
được giáo dục nhân cách và trí tuệ một cách toàn diện nhất, tạo nền tảng vững chắc
để giúp các em trở thành những con người đủ phẩm chất và năng lực, có ích cho xã
hội. Muốn vậy, các em cần được rèn luyện lối tư duy sắc bén, lập luận chặt chẽ,
linh hoạt và nhanh nhẹn, có khả năng phán đoán, phân tích, tổng hợp, khái quát
vấn đề,... Để đáp ứng những yêu cầu này trong giáo dục, bộ môn Toán chiếm một
vị trí vô cùng quan trọng vì toán học không chỉ giúp học sinh có khả năng tính
toán, phát triển tư duy, suy luận lôgic mà toán học còn là tiền đề cho các môn khoa
học khác. Tuy nhiên, trong toán học, có rất nhiều vấn đề trừu tượng, không phải
chỉ cần vận dụng trực tiếp công thức là làm được. Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận
thấy có một số dạng toán mà học sinh khi gặp phải đều thấy có nhiều khó khăn,

như dạng toán đòi hỏi vẽ đường phụ trong hình học, toán về bất đẳng thức, toán
suy luận lôgic,... Đối với lớp 6, đặc biệt có dạng toán về dãy số viết theo quy luật,
đây là dạng toán tương đối khó với các em khi mới tiếp xúc. Nhiều học sinh khó
hiểu khi gặp dạng toán này, chưa tìm ra quy luật của dãy số, vì thế các em còn lúng
túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập cho hợp lý. Trong khi đề thi học sinh
giỏi các cấp thường hay gặp dạng toán này mà sách giáo khoa lại chưa đề cập
nhiều, sách nâng cao có đề cập đến nhưng cũng chưa sâu, thường cho các em một
số bài tập rời rạc, không hệ thống, chưa hướng cho các em biết cách khai thác bài
toán cơ bản thành bài toán mới đa dạng hơn hơn, nên khi gặp bài khác đi một chút
thì các em lại lúng túng. Vì vậy, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Khai thác bài toán về
dãy các phân số có quy luật trong chương trình toán 6” để nghiên cứu, tìm tòi
và viết sáng kiến kinh nghiệm.
2. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích của việc nghiên cứu đề tài này là khai thác, mở rộng dạng bài toán
cơ bản về dãy các phân số có quy luật thành những bài toán mới đa dạng hơn, giúp
học sinh biết cách nhận ra quy luật của dãy một cách nhanh chóng để từ đó định
hướng phương pháp giải. Không chỉ vậy, đề tài còn giúp học sinh được rèn luyện
thói quen khi gặp một bài toán, không chỉ tìm cách giải bài toán đó mà còn phải cố
gắng tìm cách khai thác bài toán để được những bài toán mới, góp phần nâng cao
kiến thức, khả năng tư duy toán học, suy luận lôgic cho học sinh, khuyến khích các
em luôn biết tìm tòi, khám phá, tăng đam mê và niềm yêu thích toán học cho các
2


em. Đề tài cũng giúp cho giáo viên hệ thống hóa các dạng bài toán về dãy các phân
số có quy luật một cách rời rạc thành một chuỗi thống nhất, từ đó giúp học sinh
tiếp thu bài dễ dàng, quá trình dạy học đạt hiệu quả cao nhất.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
a. Đối tượng nghiên cứu:
- Nghiên cứu một số dãy các phân số có quy luật trong chương trình toán lớp 6

- Nghiên cứu các hướng khai thác đối với bài toán về dãy các phân số có quy luật.
Cụ thể, trong đề tài này, tôi nghiên cứu các hướng khai thác đối với hai bài toán cơ
bản về tổng của dãy các phân số có quy luật, đó là:
- Khai thác bài toán 1: tổng của một dãy các phân số có quy luật: tử các phân
số này đều là 1, mẫu các phân số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
- Khai thác bài toán 2: tổng của một dãy các phân số có quy luật: tử các phân
số này đều là 1, mẫu các phân số là lũy thừa cơ số 2 với số mũ là các số tự nhiên
liên tiếp.
b. Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài này được tôi nghiên cứu trên phạm vi 33 em học sinh lớp 6D trường
THCS Trần Phú năm học 2016 - 2017 (trường THCS Trần Phú là nơi tôi làm
nhiệm vụ dạy tăng cường).
4. Phương pháp nghiên cứu:
a. Phương pháp xây dựng, hệ thống kiến thức:
- Dựa trên vốn kiến thức sẵn có của bản thân.
- Thảo luận, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp.
- Tham khảo tài liệu (sách vở, mạng internet) các kiến thức về đề tài.
b. Phương pháp điều tra, khảo sát tình hình thực tế:
- Nghiên cứu các bài giải của học sinh.
- Trò chuyện với học sinh về những khó khăn khi gặp dạng bài toán về dãy
các phân số có quy luật, cách xử lý vấn đề của các em.
c. Phương pháp phân tích, tổng hợp:
- Phân tích các bài toán dạng dãy các phân số có quy luật.
- Phân tích nguyên nhân những khó khăn của học sinh.
- Tổng hợp kinh nghiệm khai thác bài toán một cách có hệ thống.

3


II. PHẦN NỘI DUNG

1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Trong quá trình dạy học và ôn tập cho học sinh thi học sinh giỏi môn toán lớp
6, dạng bài toán về dãy các phân số có quy luật là dạng bài thường gặp. Nhưng
0thực tế, khi mới gặp dạng này, nhiều học sinh tỏ ra lúng túng, không tìm ra cách
giải, đặc biệt là với những dãy không phải dạng cơ bản mà đã có sự biến đổi phức
tạp thì càng gây khó khăn cho học sinh, nhiều em thấy khó còn nản chí. Vì vậy,
việc tìm ra quy luật của dãy và khai thác bài toán cơ bản theo nhiều dạng bài tập
khác nhau càng trở nên cần thiết, giúp học sinh thành thạo hơn khi gặp dạng này và
tự tin hơn khi gặp đề thi có các bài tập liên quan.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trong quá trình dạy chương III phần Số học lớp 6 - chương “Phân số”, tôi
thấy nhiều em rất lúng túng, không tìm ra phương pháp giải cho dạng bài toán về
dãy các phân số có quy luật. Cả lớp được 18/33 em làm được bài tính tổng của dãy
các phân số có quy luật cơ bản mà các em đã được học từ lớp 4, nhưng khi có sự
thay đổi nhỏ trong đề bài thì hầu như không em nào làm được bài. Trong quá trình
trao đổi, trò chuyện với học sinh và quá trình khảo sát bài làm thực tế của các em,
tôi nhận ra một số khó khăn của các em thường gặp, đó là: không tìm ra quy luật
của dãy hoặc có em tìm được quy luật nhưng không biết cách giải quyết vấn đề,
các em chưa biết cách khai thác dạng bài toán này nên khi thay đổi đề bài một chút
thì lại không có hướng giải.
3. Các giải pháp giải quyết vấn đề:
Qua tham khảo các tài liệu và quá trình tìm tòi, nghiên cứu cùng với kinh
nghiệm thực tế giảng dạy của mình, tôi đã hướng dẫn học sinh khai thác bài toán
về chủ đề “dãy các phân số viết theo quy luật” thành những bài toán mới. Cụ thể
như sau:
Bài toán 1:
1
1
1
1

1


 ... 

2 2�
3 3�
4
48 �
49 49 �
50
Tính giá trị biểu thức: A = 1 �
Nhận thấy: A là tổng của một dãy các phân số có quy luật: tử các phân số này đều
là 1, mẫu các phân số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Giải:
Ta có:
1
1
1
1
1


 ... 

2 2�
3 3�
4
48 �
49 49 �

50
A = 1�
1 1 1 1 1
1
1
1
1
 1       ...    
2 2 3 3 4
48 49 49 50
1 � 1
� 1 1� � 1 1�
� 1
 1  �  � �
  � ...  �
  �
� 2 2� � 3 3�
� 49 49 � 50
4


 1


1
50

49
50

Từ bài toán này, ta có một số cách khai thác bài toán như sau:
Khai thác 1: Thêm vào biểu thức trên nhiều số hạng theo đúng quy luật của
dãy, ta được bài toán mới. Chẳng hạn:
1
1
1
1
1


 ... 

2 2�
3 3�
4
2015 �
2016 2016 �
2017
Tính giá trị biểu thức: A1 = 1 �
1
1
1
1
1


 ... 

2 2�
3 3�

4
2015 �
2016 2016 �
2017
Giải: Ta có: A1 = 1 �

1 1 1 1 1
1
1
1
1
     ... 



2 2 3 3 4
2015 2016 2016 2017
1 � 1
� 1 1� �1 1�
� 1
 1 �
  � �
  � ...  �



�
� 2 2� � 3 3�
� 2016 2016 � 2017
1

 1
2017
2016

2017
 1

Khai thác 2: Từ bài toán 1, ta phát triển thành bài toán tổng quát. Cụ thể là:
Tính giá trị biểu thức:
1
1
1
1
1


 ... 

2 2�
3 3�
4
(n  1) �
n n�
( n  1) với n �*
A2 = 1 �

Giải:

*
Với n � , ta có:

1
1
1
1
1


 ... 

2 2�
3 3�
4
(n  1) �
n n�
( n  1)
A2 = 1 �

1 1 1 1 1
1
1 1
1
     ... 
  
2 2 3 3 4
n 1 n n n 1
� 1 1� �1 1�
�1 1� 1
 1 �
  �
�

  �
 ...  �
  �

� 2 2� � 3 3�
� n n � n 1
1
 1
n 1
n

n 1
 1

Khai thác 3: Từ kết quả bài toán trên, ta phát triển thành bài toán so sánh hai
biểu thức trong đó một biểu thức là tổng của một dãy các phân số theo quy
luật trên. Chẳng hạn:
1
1
1
1
1


 ... 

2 2�
3 3�
4
98 �

99 99 �
100 với 1.
So sánh: A3 = 1 �
5


1
1
1
1
1


 ... 

2 2�
3 3�
4
98 �
99 99 �
100
Giải: Ta có: A3 = 1 �
1 1 1 1 1
1
1
1
1
 1       ... 




2 2 3 3 4
98 99 99 100
1 � 1
� 1 1� �1 1�
� 1
 1 �
  �
�
  �
 ...  �



�
� 2 2� � 3 3�
� 99 99 � 100
1
 1
100
1
1
Vì 100 > 0 nên 1 - 100 < 1.

Vậy A3 < 1.
Khai thác 4: Ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức trong đó
một vế là tổng của một dãy các phân số theo quy luật trên. Chẳng hạn:
1
1
1

1
1


 ... 

2 2�
3 3�
4
998 �
999 999 �
1000 .
Cho biểu thức: A4 = 1 �
2017
Chứng minh: A4 < 2016
1
1
1
1
1


 ... 

2 2�
3 3�
4
998 �
999 999 �
1000

Giải: Ta có: A4 = 1 �
1 1 1 1 1
1
1
1
1
     ... 



2 2 3 3 4
998 999 999 1000
1 � 1
� 1 1� �1 1�
� 1
 1 �
  �
�
  �
 ...  �



�
� 2 2� � 3 3�
� 999 999 � 1000
1
 1
1000
1

1
2017
1
2017
Vì 1000 > 0 nên 1 - 1000 < 1. Lại có : 1 < 2016 suy ra 1 - 1000 < 2016
2017
Vậy A4 < 2016 (đpcm).
 1

Khai thác 5: Từ bài toán 1, ta thay dãy các phân số có tử số là 1 thành dãy các
phân số có cùng tử số khác 1, mẫu số là tích các số tự nhiên liên tiếp, ta có bài
toán khác. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức:

Giải:

2017 2017 2017
2017
2017


 ... 

2
2�
3
3�
4
2015 �
2016 2016 �

2017
A5 = 1 �
2017 2017 2017
2017
2017


 ... 

2
2�
3
3�
4
2015 �
2016 2016 �
2017
Ta có: A5 = 1 �

6


1
1
1
1
�1
�
 2017 �


 ... 

� 
�
1�
2 2�
3 3�
4
2015 �
2016 2016 �
2017 �
�
1
1
1
1 �
� 1 1 1 1 1
 2017 �
1       ... 



�
�
2015 2016 2016 2017 �
� 2 2 3 3 4
� � 1 1� � 1 1�
1 � 1 �
� 1
 2017 �

1 �
  � �
  �
 ...  �


�
�
�
� 2016 2016 � 2017 �
� � 2 2� � 3 3�
1 �
�
 2017 �
1
�
�
� 2017 �
2016
 2017 �
2017
 2016

Khai thác 6: Từ bài toán trên, ta thay dãy các phân số có tử số là 1 thành dãy
các phân số có cùng tử số khác 1, mẫu số là tích các số tự nhiên chẵn (hoặc lẻ)
liên tiếp, ta có bài toán khác. Chẳng hạn:
2
2
2
2

2


 ... 

3 3�
5 5�
7
95 �
97 97 �
99
Tính giá trị biểu thức: A6 = 1 �

Giải: Ta có: A

2
2
2
2
2


 ... 

1�
3 3�
5 5�
7
95 �
97 97 �

99
6 =
1 1 1 1 1
1
1
1
1
 1       ...    
3 3 5 5 7
95 97 97 99
1 � 1
� 1 1� � 1 1�
� 1
 1  �  � �
  � ...  �
  �
� 3 3� � 5 5�
� 97 97 � 99
1
 1
99
98

99

Khai thác 7: Từ bài toán trên, ta thay dãy các phân số có tử số là 1 thành dãy
các phân số có cùng tử số khác 1, mẫu số là tích hai số tự nhiên hơn kém nhau
đúng bằng tử số, ta có bài toán khác. Chẳng hạn:
5
5

5
5
5


 ... 

6 6�
11 11 �
16
2006.2011 2011.2016
Tính giá trị biểu thức: A7 = 1 �
5
5
5
5
5


 ... 

6 6�
11 11 �
16
2006.2011 2011.2016
Giải: Ta có: A7 = 1 �

7

1 1 1 1
1
1
1
1
1
     ... 



6 6 11 11 16
2006 2011 2011 2016
1 � 1
�1 1�� 1 1 �
� 1
 1 �
  �
�
  �
 ...  �



�
� 6 6 � � 11 11 �
� 2011 2011 � 2016
1
 1
2016
2015


2016
 1

Khai thác 8: Từ bài toán trên, ta phát triển thành dãy các phân số có cùng
tử số khác 1, mẫu số là tích các số tự nhiên cách đều một lượng khác tử số, ta
có bài toán khác. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức:
3
3
3
3
3


 ... 

6 6�
11 11 �
16
2006 �
2011 2011 �
2016
A8 = 1�
3
3
3
3
3



 ... 

6 6�
11 11 �
16
2006 �
2011 2011 �
2016
Giải: Ta có: A8 = 1 �


3 �5
5
5
5
5
�
�

 ... 

� 
�
5 �
1�
6 6�
11 11 �
16
2006 �

2011 2011 �
2016 �



3 � 1 1 1 1 1
1
1
1
1 �
�
1       ... 



�
�
5 � 6 6 11 11 16
2006 2011 2011 2016 �



3 � �1 1�� 1 1 �
1 � 1 �
� 1
�
1 �
  �
�
  �

 ...  �



�
�
�
5 � � 6 6 � � 11 11 �
� 2011 2011 � 2016 �

3 �
1 �
�
1
�
�
5 � 2016 �
3 2015
 �
5 2016
403

672


Khai thác 9: Từ bài toán 1, bỏ đi các số hạng ở vị trí chẵn (tính từ trái sang
phải), ta được bài toán mới. Cụ thể như sau:
1
1
1

1
1


 ... 

2 3�
4 5�
6
97 �
98 99 �
100
Tính giá trị biểu thức: A9 = 1 �
1
1
1
1
1


 ... 

2 3�
4 5�
6
97 �
98 99 �
100
Giải: Ta có: A9 = 1 �

8


1 1 1
1
1
 1     ...  
2 3 4
99 100
1
1 � �1 1 1
1
1 �
� 1 1 1
�
1     ...  
� 2 �
�    ...  
�
99 100 � �2 4 6
98 100 �
� 2 3 4
1
1 �� 1 1
1 1 �
� 1 1 1
�
1     ...  
1    ...   �
� �

99 100 � � 2 3
49 50 �
� 2 3 4
1 1 1
1
1
    ...  
51 52 53
99 100

Khai thác 10: Từ bài toán 1, ta phát triển thành bài toán mới với các tử số
bằng nhau, mẫu số theo quy luật của bài toán 1 nhưng được tính giá trị cụ
thể. Chẳng hạn:
1 1
1
1
1
1



 ... 

4850 5150
Tính giá trị biểu thức: A10 = 2 14 35 65
1 1
1
1
1
1




 ... 

4850 5150
Giải: Ta có: A10 = 2 14 35 65
2 2
2
2
2
2
 


 ... 

4 28 70 130
9700 10300
2
2
2
2
2
2




 ... 


1�
4 4�
7 7�
10 10 �
13
97 �
100 100 �
103
2 �3
3
3
3
3
�
 �

 ... 

� 
�
3 �
1�
4 4�
7 7�
10
97 �
100 100 �
103 �
2 � 1 1 1 1 1

1
1
1
1 �
 �
1       ... 



�
�
3 � 4 4 7 7 10
97 100 100 103 �
2 � �1 1��1 1�
1 � 1 �
� 1
 �
1 �
  �
�
  � ...  �



�
�
�
3 � � 4 4�� 7 7�
� 100 100 � 103 �
2 � 1 �

�
1
�
�
3 � 103 �
2 102
 �
3 103
68

103


Khai thác 11: Từ bài toán 1, ta phát triển thành bài toán mới với các tử số
bằng nhau, mẫu mỗi phân số là tích ba số tự nhiên liên tiếp. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức:
1
1
1
1
1


 ... 

2 3 2 ��
3 4 3 ��
4 5
97 �
98 �

99 98 �
99 �
100
A11 = 1��
1
1
1
1
1


 ... 

2 3 2 ��
3 4 3 ��
4 5
97 �
98 �
99 98 �
99 �
100
Giải:Ta có:A11 = 1��

9


1 �1
1
1
1

1
1
1
1 �
 �


 ... 



� 
�
2 �
1�
2 2�
3 2�
3 3�
4
97 �
98 98 �
99 98 �
99 99 �
100 �
1 �1
1 �
 �
� 
�
2 �

1�
2 99 �
100 �
1 4949
 �
2 9900
4949

19800
Khai thác 12: Kết hợp dạng bài toán 1 và bài toán vừa phát triển ở hướng
khai thác 11 ta được bài toán mới. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức:
1
1
1
1
1
1
1
1





 ... 

2 1 ��
2 3 2�
3 2 ��

3 4 3�
4 3 ��
4 5
99 �
100 99 �
100 �
101
A12 = 1�

Giải: Ta có:
1
1
1
1
1
1
1
1





 ... 

2 1 ��
2 3 2�
3 2 ��
3 4 3�
4 3 ��

4 5
99 �
100 99 �
100 �
101
A12 = 1�
1
1
1 �� 1
1
1
1
�1
�
� 

 ... 


 ... 
� �
�
1�
2 2�
3 3�
4
99 �
100 � �
1 ��
2 3 2 ��

3 4 3 ��
4 5
99 �
100 �
101 �
�
1
1 �
� 1 1 1 1 1
�
1       ...  
�
99 100 �
� 2 2 3 3 4
1 �1
1
1
1
1
1
1
1 �
 �




 ... 

� 

�
2 �
1�
2 2�
3 2�
3 3�
4 3�
4 4�
5
99 �
100 100 �
101 �
1 �
� 1 � 1 �1
�
1
� �
� 
�
1�
2 100 �
101 �
� 100 � 2 �
99 5049


100 20200
14949

20200

Khai thác 13: Từ bài toán 1, ta phát triển thành bài toán mới với các tử số
bằng nhau, mẫu mỗi phân số là tích bốn số tự nhiên liên tiếp. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức:
1
1
1
1
1


 ... 

2 3 4 2 ���
3 4 5 3 ���
4 5 6
96 �
97 �
98 �
99 97 �
98 �
99 �
100
A13 = 1���

Giải:

Ta có:

1

1
1
1
1


 ... 

2 3 4 2 ���
3 4 5 3 ���
4 5 6
96 �
97 �
98 �
99 97 �
98 �
99 �
100
A13 = 1 ���

10


1 �1
1
1
1
1
1
1

1
�
 �



 ... 



�
�
3 �1��
2 3 2 ��
3 4 2 ��
3 4 3 ��
45
96 �
97 �
98 97 �
98 �
99 97 �
98 �
99 98 �
99 �
100 �
1 �1
1
�
 �


�
�
3 �1��
2 3 98 �
99 �
100 �
1 161699
 �
3 970200
161699

2910600
Khai thác 14: Đổi dấu các phân số ở bài 1, ta được bài toán mới. Cụ thể là:
Tính giá trị biểu thức: A14 =

Giải:

Ta có: A

14

=





1
1

1
1
1


 ... 

1�
2 2�
3 3�
4
48 �
49 49 �
50

1
1
1
1
1


 ... 

1�
2 2�
3 3�
4
48 �
49 49 �

50

1
1
1
1 �
�1
 � 

 ... 

�
1�
2 2�
3 3�
4
48 �
49 49 �
50 �
�
1
1
1
1 �
� 1 1 1 1 1
 �
1       ...   
 �
48 49 49 50 �
� 2 2 3 3 4

� 1 �
 �
1 �
� 50 �



49
50

Khai thác 15: Ta phát triển bài toán 1 thành bài toán tìm x trong đó một biểu
thức là tổng của một dãy các phân số theo quy luật trên. Chẳng hạn:
Tìm x biết :
1
1
1 � 2017 2017 2017
2017
�1

 ... 
�
x


 ... 
� 
�
1�
2 3�
4 5�

6
99 �
100 �
51
52
53
100
�

1
1
1 � 2017 2017 2017
2017
�1

 ... 
�
x


 ... 
� 
�
1�
2 3�
4 5�
6
99 �
100 �
51

52
53
100 (1)
�
Giải :
1
1
1
1
1


 ... 

2 3�
4 5�
6
97 �
98 99 �
100
Nhận thấy : 1�
1 1 1
1
1
 1     ...  
2 3 4
99 100
1
1 � �1 1 1
1

1 �
� 1 1 1
�
1     ...  
� 2 �
�    ...  
�
99 100 � �2 4 6
98 100 �
� 2 3 4
1
1 �� 1 1
1 1 �
� 1 1 1
�
1     ...  
1    ...   �
� �
99 100 � � 2 3
49 50 �
� 2 3 4
1 1 1
1
1
    ...  
51 52 53
99 100
11

2017 2017 2017
2017 2017


 ... 

51
52
53
99
100

Lại có:

1
1 �
�1 1 1
 2017 �
�    ...  
�
99 100 �
�51 52 53

Nên từ (1) suy ra :
1
1 �
1
1 �
�1 1 1
�1 1 1

�
x  2017 �
�    ...  
�
�    ...  
�
99 100 �
99 100 �
�51 52 53
�51 52 53
� x  2017

Khai thác 16: Ta phát triển dạng bài toán 1 thành bài toán tính tỉ số của hai
biểu thức, trong đó có biểu thức là tổng dãy các phân số theo quy luật trên.
1
1
1
1
A


 ... 
2 3�
4 5�
6
2015 �
2016
Chẳng hạn: Tính tỉ số B với: A = 1�

Giải: Ta có:

1
1
1
1


 ... 
2016
và B = 1009 1010 1011
1
1
1
1


 ... 
2 3�
4 5�
6
2015 �
2016
A = 1�
1 1 1 1 1
1
1
 1       ... 

2 3 4 5 6
2015 2016

1
1 � �1 1 1
1 �
� 1 1 1 1 1
�
1       ... 

� 2 �
�    ... 
�
2015 2016 � �2 4 6
2016 �
� 2 3 4 5 6

1
1 �� 1 1
1 �
� 1 1 1 1 1
�
1       ... 

1    ... 
� �
�
2015 2016 � � 2 3
1008 �
� 2 3 4 5 6
1
1
1

1



 ... 
1009 1010 1011
2016
1
1
1
1
A


 ... 
1
1009
1010
1011
2016
B
Mà B =
nên suy ra
A
1
B
Vậy

Khai thác 17: Từ bài toán 1, giữ nguyên tử số là 1, phát triển dãy mẫu số từ
dạng dãy tích hai số tự nhiên liên tiếp thành dạng dãy giai thừa của các số tự

nhiên liên tiếp, ta được bài toán mới. Chẳng hạn:
1 1 1
1
   ... 
200! . Chứng minh: A17 < 1.
Cho biểu thức: A17 = 2! 3! 4!

Giải: Nhận thấy:

12


1
1
1

 1
2! 1 �
2
2
1
1
1
1 1


 
3! 1 ��
2 3 2�
3 2 3

1
1
1
1 1


 
4! 1 ���
2 3 4 3�
4 3 4
............................
1
1
1
1
1




200! 1 ���
2 3 ... �
199 �
200 199 �
200 199 200

Từ đó, suy ra:
1 1 1 1 1
1
1

1
1 1 1
1
1       ... 

 1
1
   ... 
2
2
3
3
4
199
200
200
2!
3!
4!
200!
A17 =
<

Vậy A17 < 1.
Khai thác 18: Từ bài toán 1, ta phát triển thành bài toán về tính chia hết.
a
1
1
1
1




 ... 
2 3�
4 5�
6
99 �
100
Chẳng hạn: Cho phân số: b 1 �

 a, b �; b �0 

Chứng minh: a chia hết cho 151.
1
1
1
1
1


 ... 

2 3�
4 5�
6
97 �
98 99 �
100
Giải: Ta có: 1�

1 1 1
1
1
 1     ...  
2 3 4
99 100
1
1 � �1 1 1
1
1 �
� 1 1 1
�
1     ... 

� 2 �
�    ...  
�
99 100 � �2 4 6
98 100 �
� 2 3 4
1
1 �� 1 1
1
1 �
� 1 1 1
�
1     ... 

1    ... 
 �

� �
99 100 � � 2 3
49 50 �
� 2 3 4
1 1
1
1
1
    ...  
51 52 53
99 100

a 1 1 1
1
1
    ...  
99 100
Suy ra: b 51 52 53
1 � �1 1 � �1
1 �
�1
� 
� �  � ... �  �
�51 100 � �52 99 � �75 76 �
151
151
151


 ... 

51�
100 52 �
99
75 �
76
52 �
53 ��
... 99 �
100 , gọi các thừa số phụ tương ứng là k 1, k2, k3, ...,
Chọn MC = 51�
k25, ta được :
 k1  k2  k3  ...  k25 
a 151 �

b
51 �
52 �
53 �
... �
99 �
100
Phân số trên có tử số chia hết cho 151 (151 là số nguyên tố) mà mẫu số không
chứa thừa số nguyên tố 151 nên khi rút gọn đến phân số tối giản thì tử số vẫn chia
hết cho 151 hay a chia hết cho 151.
13


Vậy a chia hết cho 151.
1
1

1
1
 2  3  ...  10
2
2
Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức: B = 2 2

Nhận thấy: A là một tổng của các phân số có quy luật: tử các phân số này đều là 1,
mẫu các phân số là lũy thừa cơ số 2 với số mũ là các số tự nhiên liên tiếp.
1
1
1
1
 2  3  ...  10
2 2
2
2
Giải: Ta có: B =
(1)
1
1
1
1   2  ...  9
2 2
2 (2)
Suy ra:
2B =

Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được :
1

 1  10
2
B
1
1024
1023

1024
 1

1023
Vậy B = 1024

Từ bài toán này, ta có một số cách khai thác bài toán như sau:
Khai thác 1: Thêm vào biểu thức trên nhiều số hạng theo đúng quy luật của
dãy, ta được bài toán mới. Chẳng hạn:
1
1
1
1
 2  3  ...  2017
2
2
Thu gọn biểu thức: B1 = 2 2
Giải: Ta có:
Suy ra:

1
1
1

1
 2  3  ...  2017
2 2
2
2
B1 =
(1)
1
1
1
1   2  ...  2016
2 2
2
2B1 =
(2)
 1

1
2016

2
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được : B1
Khai thác 2: Từ bài toán 2, ta phát triển thành bài toán tổng quát. Cụ thể là:
1
1
1
1
 2  3  ...  n
*
2

2 với n �
Thu gọn biểu thức: B2 = 2 2

Giải:

*
Với n � , ta có:

1
1
1
1
 2  3  ...  n
2 2
2
2 (1)

B2 =
Suy ra :

2B2 =

1

1
1
1
 2  ...  n1
2 2
2

(2)

Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được: B2

 1

1
2n
14


1

1
*
2n với n �

Vậy B2
Khai thác 3: Từ kết quả bài toán trên, ta phát triển thành bài toán so sánh hai
biểu thức trong đó một biểu thức là tổng của một dãy các phân số theo quy
luật trên. Chẳng hạn:
1 1 1
1
 2  3  ...  100
2
So sánh : B3 = 2 2 2
với 1.
1
1

1
1
 2  3  ...  100
2 2
2
2
(1)

Giải :Ta có : B3 =
Suy ra :

2B3 =

1

1
1
1
 2  ...  99
2 2
2

(2)

Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được : B3

 1

1
2100

1
1
100
100
Vì 2 > 0 nên 1 - 2 < 1. Suy ra B3 < 1.

Khai thác 4: Từ bài toán 2, ta thay dãy các phân số có tử số là 1 thành dãy các
phân số có cùng tử số khác 1, mẫu các phân số là các lũy thừa cùng cơ số với
số mũ là các số tự nhiên liên tiếp, ta có bài toán khác. Chẳng hạn:
3
3
3
3
 3  4  ...  100
2
4
4
4
Thu gọn biểu thức: B4 = 4
.
3
3
3
3
 3  4  ...  100
2
4
4
4

4
Giải: Ta có : B4 =

=

1
1
1 �
�1
3�
� 2  3  4  ...  100 �
4
4
4 �(1)
�4
1 1
1
1 �
�
3�
�  2  3  ...  99 �
4 4
4
4 �(2)
�

Suy ra : 4B4 =
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được :
�1 1 �
 3�

�  100 �
�4 4 �
3B4
1
1
 100
� B4 = 4 4

Khai thác 5: Ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức trong đó
một vế là tổng của một dãy các phân số theo quy luật trên. Chẳng hạn:
3
3
3
3
1
 3  4  ...  1000
2
4
4
4
Cho B5 = 4
. Chứng minh: B5 < 4 .
Giải: Ta có: B5 =

3
3
3
3
 3  4  ...  1000
2

4
4
4
4
15


=
Suy ra :

1
1
1 �
�1
3�
� 2  3  4  ...  1000 �
4
4
4
�4
�(1)
1
1
1
1 �
�
3�
�  2  3  ...  999 �
4 4
4

4 �(2)
�

4B5 =

1 �
�1
 3�
�  1000 �
�4 4 �
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được : 3B5
1
1
 1000
� B5 = 4 4

1
1000

1
1
1
1
 1000
> 0 nên 4 4
< 4 . Suy ra B5 < 4 .

Vì 4
Khai thác 6: Từ bài toán 2, ta phát triển thành bài toán mới với dãy các phân
số có cùng tử số khác 1, mẫu các phân số là các lũy thừa cùng cơ số với số mũ

là các số tự nhiên theo cấp số cộng. Chẳng hạn:
2017 2017 2017
2017


 ...  2017
4
7
10
4
4
4
Thu gọn biểu thức: B6 = 4
.
2017 2017 2017
2017

 10  ...  2017
4
7
4
4
4
4
Giải: Ta có : B6 =
1
1
1 �
�1
2017 �

� 4  7  10  ...  2017 �
4
4
4
4
�
�(1)

=

1 1
1
1 �
�
2017 �
�  4  7  ...  2014 �
4 4
4
4
�
�(2)

Suy ra : 43. B6 =
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được :
1 �
�1
 2017 �
�  2017 �
�4 4 �
63 . B6

2017 �1
1 �

�
�  2017 �
63 �4 4 �
� B6

Khai thác 7:Từ bài toán 2,đổi dấu giữa các phân số (dấu “+” thành dấu “-”, ta
có bài toán mới. Chẳng hạn:
Tính giá trị biểu thức: B7 =



1
1
1
1
 2  3  ...  10
2 2
2
2

1
1
1
1
 2  3  ...  10
2
2 (1)

Giải: Ta có: B7 = 2 2
1
1
1
1   2  ...  9
2 2
2 (2)
Suy ra:
2B7 =


Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được :
1
 1  10
2
B7
16


1
1024
1023

1024
 1 

Khai thác 8: Từ bài toán 2, đan xen dấu giữa các phân số, ta có bài toán mới.
Chẳng hạn:
5
5

5
5
5
5
 9  13  17  ...  197  201
5
7
7
7
7
7
Thu gọn biểu thức: B8 = 7
.
5
5
5
5
5
5
 9  13  17  ...  197  201
5
7
7
7
7
7
Giải: Ta có:
B8 = 7

Suy ra :

1
1
1
1
1 �
�1
5�
� 5  9  13  17  ...  197  201 �
7
7
7
7
7
7 �(1)
�
=
1 1
1
1
1
1 �
�
5�
 5  9  13  ...  193  197 �
�
7 7
7
7
7

7 �(2)
�
74.B8 =

1 �
�1
 5�
�  201 �
�7 7 �
c (2) với đẳng thức (1), ta được: 2402 B8

Cộng vế với vế đẳng thứ
5 �1
1 �
�
�  201 �
2402 �7 7 �



� B8

Khai thác 9: Ta phát triển dạng bài toán 2 thành bài toán tìm x trong đó một
biểu thức là tổng của một dãy các phân số theo quy luật trên.
� �
1
1
1
1 �
�

1




...

�
x  21917
� �
�
2
3
100 �
2 2
2
2 �
�
Chẳng hạn: Tìm x biết : � �
Giải :

Đặt B9 =

Suy ra :

2B9 =

1

1

1
1
1
 2  3  ...  100
2 2
2
2

(1)

1
1
1
 2  ...  99
2 2
2

(2)

Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1), ta được : B9

 1

1
2100

� �
1
1
1

1 �
�
1  �  2  3  ...  100 �
�
x  21917
�
�
2 2
2
2 �
�
Khi đó: � �
�
�
�

Vậy x  2

� �
1 �
�
1 �
1  100 �
�
x  21917
�
�
�
� � 2
�

1
�
x  21917
100
2
x  22017

2017

17


Khai thác 10: Từ bài toán 2, giữ nguyên tử các phân số là 1, thay dãy mẫu số
các phân số thành dãy các lũy thừa bậc hai của các số tự nhiên liên tiếp, ta
được bài toán mới. Chẳng hạn:
1
1
1
1
 2  2  ... 
1
2
3
4
1002
B10 = 2

Chứng minh:
Giải:

Nhận thấy:

1
1
1

 1
2
2
1�
2
2
1
1
1 1

 
32
2�
3
2 3
1
1
1 1

 
2
4
3�
4

3 4
.....................
1
1
1
1



2
100
99 �
100
99 100

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
 2  2  ... 
 1       ... 

2
2
3
4

100
2 2 3 3 4
99 100
B10 = 2
� B10 <

1

1
1
100

Vậy B10 < 1.
Khai thác 11: Từ bài toán 2, giữ nguyên tử các phân số là 1, thay dãy mẫu số
các phân số thành dãy các lũy thừa bậc ba của các số tự nhiên liên tiếp, ta
được bài toán mới. Chẳng hạn:
1
1
1
1
1



...


3
33 43
1003 4

B11 = 2

Chứng minh:
Giải:
Nhận thấy:

1
1
1 �1
1 �

 � 
�
3
2
1 ��
2 3 2�
1�
2 2�
3�
1
1
1 �1
1 �

 � 
�
3
3
2 ��

3 4 2�
2�
3 3�
4�
1
1
1 �1
1 �

 � 
�
3
4
3 ��
4 5 2�
3�
4 4�
5�
.....................
1
1
1� 1
1
�

 �

�
3
100

99 �
100 �
101 2 �99 �
100 100 �
101 �

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
1
1
1
1
1 �1
1
1
1
1
1
�
 3  3  ... 
 � 


 ... 

�
3
3
100
2�
1�

2 2�
3 2�
3 3�
4
99 �
100 100 �
101 �
B11= 2 3 4
1 �1
1
1
1
� 1

� 
� 
1�
2 100 �
101 � 4 2 �
100 �
101 4
� B11 < 2 �

18


1
Vậy B11 < 4 .

Khai thác 12: Từ bài toán 2, giữ nguyên tử các phân số là 1, thay dãy mẫu số

các phân số thành dãy các lũy thừa bậc bốn của các số tự nhiên liên tiếp, ta
được bài toán mới. Chẳng hạn:
Chứng minh:
Giải:

1
1
1
1
1
 4  4  ... 

4
4
5
6
100
18
B12 = 4

Nhận thấy:
1
1
1� 1
1 �

 �

�
4

4
1 ���
2 3 4 3�
1 ��
2 3 2 ��
3 4�
1
1
1� 1
1 �

 �

�
4
5
2 ���
3 4 5 3�
2 ��
3 4 3 ��
4 5�
1
1
1� 1
1 �

 �

�
4

6
3 ���
4 5 6 3�
3 ��
4 5 4 ��
5 6�
.....................
1
1
1� 1
1
�

 �

�
4
100
97 �
98 �
99 �
100 3 �
97 �
98 �
99 98 �
99 �
100 �

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
1

1
1
1
 4  4  ... 
4
4
5
6
100 4
1� 1
1
1
1
1
1
�
 �



 ... 

�
3�
1��
2 3 2 ��
3 4 2 ��
3 4 3 ��
4 5
97 �

98 �
99 98 �
99 �
100 �

B12 

1� 1
1
1
1
� 1



�
�
1 ��
2 3 98 �
99 �
100 � 18 3 �
98 �
99 �
100 18
� B12 < 3 �
1
18 .

Vậy B12 <
Khai thác 13: Từ bài toán 2, ta phát triển thành bài toán mới với tử số khác 1,

dãy mẫu số là dãy các lũy thừa bậc năm của các số tự nhiên liên tiếp. Chẳng
hạn:
Chứng minh:
Giải:

4
4
4
4
1
 5  5  ... 

5
5
100
24
B13 = 4 5 6

Nhận thấy:
4
4
1
1



5
4 1����
2 3 4 5 1 ���
2 3 4 2 ���

3 4 5
4
4
1
1



5
5
2 ����
3 4 5 6 2 ���
3 4 5 3 ���
4 5 6
4
4
1
1



5
6
3 ����
4 5 6 7 3 ���
4 5 6 4 ���
5 6 7
.....................
4
4

1
1



5
100
97 �
98 �
99 �
100 �
101 97 �
98 �
99 �
100 98 �
99 �
100 �
101

19


Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
4
4
4
4
 5  5  ... 
5
4

5
6
1005
1
1
1
1
1
1




 ... 

1 ���
2 3 4 2 ���
3 4 5 2 ���
3 4 5 3 ���
4 5 6
97 �
98 �
99 �
100 98 �
99 �
100 �
101
1
1
1

1
1




� B13 < 1 ���
2 3 4 98 �
99 �
100 �
101 24 98 �
99 �
100 �
101 24
B13 

1
Vậy B13 < 24 .

Từ đây, ta còn có thể khai thác để phát triển bài toán thành nhiều bài toán mới
về dãy các phân số có quy luật mà trong giới hạn của đề tài chưa thể trình bày hết
được.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Qua quá trình vận dụng những kinh nghiệm trong việc giúp học sinh biết cách
khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật mà trên đây tôi đã trình bày, tôi
nhận thấy đề tài đã đạt được một số hiệu quả sau:
- Học sinh biết nhận dạng quy luật ở những dãy mới nhanh hơn, vận dụng bài
toán về dãy cơ bản để làm bài toán mới thành thạo hơn. Khi tôi thay đổi đề toán để
có bài toán mới, từ chỗ ban đầu các em lúng túng, nản chí vì chưa tìm ra cách giải
thì nay các em đều nhận ra quy luật, biết cách làm bài và tỏ ra rất hứng thú với

dạng toán này.
- Sự tò mò, thích khám phá của nhiều em như được kích thích, các em chủ
động tìm cách khai thác bài toán cơ bản để phát triển thành những bài toán mới cả
khi tôi chưa yêu cầu. Bài tập các em đưa ra rất phong phú, đa dạng và đầy sáng tạo.
Tham khảo hệ thống bài tập mà các em phát triển được khiến tôi có nhiều trải
nghiệm bất ngờ và thú vị. Nhiều bài tập hay mà các em khám phá được, tôi cho các
em trao đổi lẫn nhau để tăng cường khả năng rèn luyện cho bản thân cũng như tinh
thần học hỏi từ bạn bè, từ đó các em còn đua nhau học tập và kết quả học tập của
các em đều được nâng lên.
- Các em học tập tích cực, chủ động, tư duy linh hoạt, nhanh nhẹn hơn. Nhiều
em không chỉ tìm cách khai thác dạng toán về dãy các phân số có quy luật mà còn
tích cực tìm cách khai thác, phát triển cả những bài toán dạng khác mà các em gặp
trong quá trình học tập.
- Sau đây là bảng so sánh kết quả thu được trước và sau khi thử nghiệm đề tài:
+ Đánh giá theo sự hiểu biết, vận dụng làm bài:
Mức độ
Làm bài tốt, nhanh
Thời
điểm
Số lượng Phần trăm
Trước
2
6,06%
Sau
20
60,61%

Làm được bài,
chưa nhanh
Số lượng Phần trăm

16
48,48%
10
30,3%

Còn khúc mắc
Số lượng Phần trăm
15
45,46%
3
9,09%

+ Đánh giá theo tiêu chí sự hứng thú tích cực học tập của HS về nội dung này:
Mức độ
Thời điểm
Trước

Hứng thú
Số lượng
Phần trăm
2
6,06%

Chưa hứng thú
Số lượng
Phần trăm
31
93,94%
20

Sau

30

90,91%

3

9,09%

21


III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy việc khai thác bài toán về dãy các phân
số có quy luật trong chương trình toán lớp 6 thật sự rất cần thiết và quan trọng, vì
quy luật của nhiều dãy rất phong phú, đa dạng, các em được rèn luyện việc khai
thác bài toán càng làm cho các em tự tin hơn khi gặp một đề toán ở dạng này,
không những thế, việc thành thạo cách giải dạng bài toán khó mà lúc đầu thấy khó
khăn, không có hướng giải quyết làm cho các em hứng thú hơn, yêu thích toán học
hơn. Và đặc biệt, qua đề tài này, các em tạo được thói quen khai thác những bài
toán khác, đó là điều vô cùng cần thiết để phát huy khả năng tư duy của các em,
giúp các em có nhiều cơ hội để rèn luyện, phát triển tư duy lôgic toán học. Như
vậy, có thể nói “Khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật trong
chương trình toán 6” là một đề tài rất có hiệu quả để rèn luyện và phát triển tư
duy, cũng như rèn luyện tính kiên trì, sáng tạo của học sinh.
2. Kiến nghị:
Bài toán về dãy các phân số có quy luật là dạng bài tập hay và khó, quy luật

các dãy rất phong phú, bài tập liên quan đa dạng. Đề tài hướng dẫn học sinh biết
cách khai thác dạng bài toán này là rất cần thiết và quan trọng. Việc vận dụng đề
tài này vào quá trình giảng dạy cũng dễ dàng vì các hướng khai thác của bài toán
được sắp xếp từ dễ đến khó nên học sinh dễ dàng tiếp thu. Tuy nhiên, trong quá
trình trình bày đề tài, nếu có sai sót, kính mong được đồng nghiệp và chuyên môn
góp ý để công việc chuyên môn của tôi ngày một tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nông Cống, ngày 19 tháng 3 năm 2017
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác

Nguyễn Thị Lâm

22