Một số kĩ năng trong dạy học áp dụng cho việc giải phương trình tích ở lớp 8b, trường THCS quảng châu

MỤC LỤC
Nội dung
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.

Trang
2
3
3
4
4

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Thuận lợi.
2.2.2. Khó khăn.
2.2.3.Thực trạng về việc giải bài tập toán của học sinh.

4
4
5
5
6
6

2.3. Các giải pháp thực hiện.
2.3.1. Các giải pháp giải quyết vấn đề.

2.3.2. Biện pháp tổ chức thực hiện.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
3.2. Kiến nghị.
TÀI LIỆU THAM KHẢO.

6
6
7
18
18
18
19
20

1. MỞ ĐẦU
1


1.1 Lý do chọn đề tài
Trong nghị quyết TW 2- khóa VIII đã nêu: Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản
của giáo dục là nhằm xây dựng những con người và thế hệ tha thiết gắn bó với
lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; Có đạo đức trong sáng. Có ý thức
kiên cường xây dựng và bảo vệ tổ quốc, công nghiệp hóa- hiện đại hóa đất nước,
giữ gìn và phát huy các giá trị văn hóa của dân tộc có năng lực tiếp thu văn hóa
của nhân loại, phát huy tiềm năng của dân tộc và của con người Việt Nam. Có ý
thức cộng đồng và phát huy năng lực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và
công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kĩ năng thực hành giỏi, có tác phong
công nghiệp, có tính tổ chức và kỷ luật, có sức khỏe, là những người kế thừa xây

dựng CNXH vừa “hồng” vừa “chuyên” như lời Bác Hồ đã dạy.
Muốn làm tốt được nhiệm vụ trên, để đóng góp có hiệu quả vào công
việc nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, tạo nguồn lực cho
công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Là nhà giáo dục chúng ta
không thể không đặt mục tiêu giáo dục lên hàng đầu. Do đó việc bồi dưỡng năng
lực sáng tạo và tư duy trừu tượng cho học sinh là một nhiệm vụ trọng tâm của
nhà trường và của mỗi thầy cô giáo dạy bộ môn toán.
Toán học là một ngành, một môn học mang tính trừu tượng cao, nói đến
toán học là nói đến sự gọn gàng, chính xác và lôgic. Với lượng kiến thức rộng
lớn, toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác.
Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo
viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt
khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho
học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính
tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để
vận dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức
toán học được trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú
trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán, nhưng để nắm
vững cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến
thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo
và kinh nghiệm đã tích luỹ được để giải quyết các bài tập có liên quan. Thông
qua việc giải bài tập các em được rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học
vào giải bài tập, kĩ năng trình bày, kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy
học. Do đó nâng cao năng lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả năng
phán đoán, suy luận của học sinh.
Trong chương trình toán THCS, các bài toán giải phương trình có một vị trí
quan trọng.

2

Các bài toán đưa về dạng phương trình tích rất phong phú đa dạng, nó đòi
hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức, cách giải linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu
cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy. Vì
vậy, những năm gần đây, trong các kì thi học kỳ, các kì thi tuyển chọn học sinh
giỏi lớp 8 các em thường gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán
này; có những bài toán các em không biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì
trong chương trình đã học? Làm thế nào để đưa được về dạng phương trình tích?
Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán;
hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc
cụ thể trong cuộc sống sau này.
Xuất phát từ thực tế đó tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài :
“Một số kỹ năng trong dạy học áp dụng cho việc giải các bài toán đưa về
phương trình tích ở lớp 8 B, trường THCS Quảng Châu.”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Chuyên đề “giải các bài toán đưa về phương trình tích ” được học khá kỹ
ở lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài
tập trong chương trình giải toán cấp II. Vì vậy, yêu cầu học sinh nắm chắc và
vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích là vấn đề quan
trọng. Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học
sinh. Trong SGK đã trình bày các phương pháp phân tích vế trái thành tích của
những đa thức bằng các phương pháp đặt nhân tử chung, tách hạng tử, phương
pháp thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ, để làm một số dạng bài tập giải
phương trình tích.
Khi học chuyên đề này học sinh rất thích thú vì có các ví dụ đa dạng, có
nhiều bài vận dụng cách giải khác nhau nhưng cuối cùng cũng đưa về được dạng
tích từ đó giúp các em học tập kiến thức mới và giải được một số bài toán khó.
Trong nhiều năm tôi được phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy . Tôi đã
tích lũy được nhiều kiến thức về dạng toán “ giải các bài toán đưa về phương

trình tích “ và những dạng bài tập vận dụng đặc biệt là hướng dẫn học sinh cách
nhận dạng bài toán để biết được nên áp dụng phương pháp nào để vừa giải
nhanh gọn vừa dễ hiểu; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học bộ môn toán
và cách giải toán theo mạch kiến thức mang tính logic. Nghiên cứu đề tài nhằm
mục đích giúp học sinh nắm rõ các phương pháp giải các phương trình đưa
được về dạng “ phương trình tích“. Đồng thời vận dụng các phương pháp đó để
giải các bài toán hay và khó.
Nội dung chủ yếu của đề tài này là các kinh nghiệm của bản thân đã rút ra
trong quá trình giảng dạy trực tiếp môn Toán tại trường THCS Quảng Châu cùng
với việc học hỏi đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
3


- Đề tài này được áp dụng trong dạy học sinh lớp 8B trường THCS Quảng Châu
1.4. Phương pháp nghiên cứu : Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các
phương pháp sau đây :
- Sử dụng phương pháp sơ đồ tư duy, nêu vấn đề.
- Phương pháp đàm thoại, vấn đáp.
- Tự tìm hiểu khai thác dữ liệu trên mạng thông qua bài tập hướng dẫn.
- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp dùng số liệu, thống kê, kiểm định
- Phương pháp khái quát hóa
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
- Môn toán có khả năng to lớn trong việc phát triển trí tuệ của học sinh
thông qua việc rèn luyện kĩ năng: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá,
trừu tượng hoá và cụ thể hóa, năng lực lĩnh hội các khái niệm trừu tượng, năng
lực suy luận lô gíc và ngôn ngữ chính xác đồng thời rèn luyện các phẩm chất

của trí tuệ như linh hoạt, độc lập, sáng tạo.
- Rèn luyện các kĩ năng (phân tích, tổng hợp...) chính là rèn luyện các thao
tác của tư duy mà năng lực tư duy là một bộ phận của nhân cách và có tác động
qua lại với nhân cách. Muốn có tư duy nhanh nhạy chính xác ngoài kiến thức ra
còn có những phẩm chất trung thực, khách quan, có động cơ trong sáng, yêu
chân lí, yêu khoa học.
- Để nâng cao chất lượng dạy học môn toán sở giáo dục, phòng giáo dục
đã triển khai chuyên đề về đổi mới phương pháp dạy ở trường THCS đến từng
giáo viên. Hướng đổi mới của phương pháp dạy toán hiện nay là tích cực hoá
hoạt động học tập của học sinh khơi dậy và phát triển khả năng tự học nhằm
hình thành cho học sinh tư duy độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện
giải quyết vấn đề trên cơ sở những kiến thức toán học đã tích luỹ có hệ thống.
- Quá trình chiếm lĩnh kiến thức toán học của học sinh là quá trình tái tạo
khái niệm, tính chất, định lí, quy tắc gần giống với quá trình hình thành chính
những kiến thức ấy trong lịch sử do đó phương pháp dạy học đổi mới rất được
coi trọng việc trình bày kiến thức có hệ thống khái quát là nền móng tư duy bằng
những hoạt động đa dạng, độc đáo tạo tiền đề cho phương pháp dạy học sáng
tạo.
- Muốn đạt được kết quả cao trong dạy học, phải có phương pháp dạy học
tích cực. Người dạy phải chú ý đến nhu cầu và nguyện vọng của người học, đến
các đặc điểm tâm sinh lý của người học được học theo phương pháp tích cực
chắc chắn học sinh biết cách làm, cách học, cách giải quyết vấn đề, cách ứng xử
thích nghi với cuộc sống.
4


- Quá trình học bao hàm cả quá trình tự học, tự học là điều kiện tốt để phát
triển tư duy học tập. Tư duy học tập sẽ dần đến tư duy phê phán, khả năng phát
hiện vấn đề rồi đến tư duy sáng tạo, phương tiện dạy học cực kì quan trọng vì
nó là nội sinh, nội lực, phương tiện này yếu kém thậm chí không hoạt động thì

năng lực sáng tạo cũng mất. Cho nên trước hết giáo viên cần tạo cho học sinh
tinh thần tự giác trong học tập, giúp học sinh tự học có kết quả. Việc hướng dẫn
học sinh một số bài toán dạng toán “giải các bài toán đưa về phương trình tích “
là một nội dung quan trọng trong chương trình toán 8. Vì vậy học sinh phải được
rèn luyện kĩ năng giải phương trình.
Trong hoạt động giáo dục hiện nay đòi hỏi học sinh cần phải tự học; tự
nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá
trình tự giáo dục. Như vậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư
duy khoa học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội.
Một trong những phương pháp để học sinh đạt được điều đó đối với môn
toán (cụ thể là môn đại số lớp 8) đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một
lượng kiến thức các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan. Để làm
được như vậy thì giáo viên cần gợi sự say mê học tập; tự nghiên cứu, đào sâu
kiến thức của các em học sinh.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
2.2.1. Thuận lợi:
Xã hội ngày nay đang phát triển theo chiều hướng hiện đại. Các ngành
nghề đều từng bước hiện đại hoá và áp dụng công nghệ thông tin. Ngành Giáo
dục cũng vậy. Đối với giáo viên, công nghệ thông tin là một công cụ hỗ trợ đắc
lực cho việc giảng dạy. Từ việc học hỏi, trau dồi kiến thức, việc tìm kiếm tư liệu,
hình ảnh đến việc thiết kế bài giảng, đưa bài giảng của giáo viên đến với học
sinh một cách sinh động, rõ ràng, thuận tiện.
Trường THCS Quảng Châu - Nơi tôi công tác - có một truyền thống thi
đua học tốt dạy tốt rất tích cực. Điều đó càng thôi thúc tôi tìm tòi, sáng tạo, làm
sao để hoàn thiện phương pháp giảng dạy của mình để các em học sinh được
học tập một cách tốt nhất, hiệu quả nhất. Nhà trường cũng luôn tạo điều kiện tối
đa hỗ trợ về phương tiện dạy học, sắp xếp thời khoá biểu hợp lí và đặc biệt có
những nhận xét, đánh giá hết sức khách quan, sát thực, tích cực, trên tinh thần
xây dựng cho những bài giảng của tôi sau những lần dự giờ, thăm lớp. Điều đó
làm tôi rất cảm động, khâm phục và cố gắng.

Học sinh của tôi đa số đều ngoan ngoãn, lễ phép, phần lớn ham học hỏi,
cầu tiến bộ. Tôi yêu mến các em như con em của mình và mong cho các em có
một nền giáo dục tốt nhất. Nhiều phụ huynh học sinh cũng rất quan tâm đến giờ
giấc và kết quả học tập của con em mình. Đó cũng là điều kiện thuận lợi để
chúng tôi hoàn thành nhiệm vụ.
5


2.2.2. Khó khăn:
Bên cạnh những thuận lợi nêu trên vẫn đang còn không ít những khó
khăn, tồn tại ảnh hưởng đến kết quả dạy học như:
- Một số phụ huynh học sinh chưa quan tâm đúng mức đến học hành của
con em mình, học sinh’ ít tài liệu tham khảo,... Nhiều học sinh vì phải phụ giúp
bố mẹ nên lơ là việc học tập, không có nhiều thời gian để học. Một bộ phận học
sinh khác vì tính ỷ lại quá lớn nên cũng chưa quan tâm đến học hành.
- Đối với học sinh THCS Quảng Châu. Kỹ năng phân tích, nhận dạng, tìm
ra dấu hiệu của các bài toán đang còn hạn chế, lúng túng, gặp nhiều khó khăn.
- Dạng toán giải các bài toán đưa về phương trình tích được đưa vào
SGK, SBT dưới dạng bài tập chưa đầy đủ. Do đó đa số học sinh chưa nắm chắc
cách giải dạng toán này.
- Trường không có đủ phòng học để bồi dưỡng học sinh nên thời gian các
em được bồi dưỡng là rất ít.
2.2.3. Thực trạng về việc giải bài tập toán của học sinh:
- Thực tế dạy học cho thấy việc giải các bài tập của học sinh nói chung và
của học sinh khá, giỏi hiệu quả và chất lượng chưa cao. Với một số bài toán giải
phương trình tích học sinh còn lúng túng và khó khăn khi giải.
- Phương pháp dạy học của giáo viên chưa thật sự hiệu quả, học sinh chưa
được rèn luyện kĩ năng giải bài tập thường xuyên.
- Các em chưa có kĩ năng tìm hiểu về các dạng bài toán.
- Sử dụng không đúng cách các công cụ hỗ trợ học tập như: máy tính,

sách giáo khoa, sách giải bài tập, sách học tốt toán.
- Khảo sát ban đầu đối với 20 em học sinh lớp 8B kết quả thu được
Lớp
8B

Sĩ
số
20

0÷<3,5điểm
SL
%
3
15

3,5÷<5điểm
SL
%
8
40

5÷<6,5điểm
SL
%
6
30

6,5÷<8,5điểm
SL
%

2
10

8,5÷10điểm
SL
%
1
5

2.3. Các giải pháp thực hiện:
2.3.1. Các giải pháp giải quyết vấn đề:
Giải pháp tôi đưa ra là :
+ Học sinh tự học, tự nghiên cứu, kết hợp với giáo viên dạy phải đi sâu
vào bản chất, tìm ra quy luật, phương pháp để giải bài toán một cách khoa học
nhất.
+ Hướng cho học sinh cách phân tích bài tập, chứ không chỉ đi sâu vào
giải cụ thể.
+ Học sinh phải được làm nhiều bài tập về giải phương trình khác nhau,
đi sâu vào tìm hiểu các dấu hiệu đặc biệt (nếu có).
+ Kết hợp với kiểm tra, đánh giá.
2.3.2. Biện pháp tổ chức thực hiện:
6


2.3.2.1. Lý thuyết.
Phương pháp giải
- Tính chất nêu trên của phép nhân có thể viết
ab = 0 � a = 0 hoặc b = 0 ( với a; b là các số )
- Phương trình tích tổng quát như sau :
Phương trình tích : A(x 1 ) . A(x 1 ) . …………….A(x n ) = 0 (I)

Thì ta cần giải những phương trình nào ?
Giải phương trình ( I) ta cần giải các phương trình sau :
A( x 1 ) = 0
(1)
A( x 2 ) = 0
(2)
……………………..
A ( xn ) = 0
(n)
Nghiệm của các phương trình ( 1 ); ( 2 ); ... ;( n ) là nghiệm của phương trình (I)
Với các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của phương trình (I).
2.3.2.2. Các bước hướng dẫn học sinh giải bài tập.
Khi thực hiện đề tài vào giảng dạy, do đặc thù các dạng bài tập đưa về
dạng phương trình tích rất phong phú đa dạng, đòi hỏi sự linh hoạt trong quá
trình vận dụng. Do đó tôi đưa ra hệ thống bài tập, các dạng bài theo các mức độ
rèn luyện từ dễ đến khó, nhằm bồi dưỡng học sinh phát triển kỹ năng từ biết làm
đến đạt độ mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Để bồi dưỡng mỗi dạng tôi thường
thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Giới thiệu bài tập mẫu và nhận xét.
Bước 2: Rút ra nguyên tắc và phương pháp áp dụng.
Bước 3: Học sinh tự luyện theo mẫu và nâng cao.
Tuỳ độ khó mỗi dạng tôi có thể hoán đổi thứ tự của bước 1 và 2.
Sau đây là một số dạng bài tập, cách nhận dạng, kinh nghiệm giải quyết đã
được tôi thực hiện và đúc kết từ thực tế.
2.3.2.3. Cụ thể đối với dạng toán:
DẠNG I. DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN
Ví dụ 1: Giải phương trình :  x  1   x  4    2 – x   2  x 
Nhận xét : Hai tích không có nhân tử chung thi ta phải khai triển và thu gọn để
tìm cách đưa về dạng tích , do đó để giải phương trình này ta cần thực hiện hai
bước sau :

Bước 1 : Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích bằng cách chuyển
tất cả các hạng tử từ vế phải sang vế trái và đổi dấu các hạng tử đó, vế phải bằng

7


0; rồi áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái
thành tích.
Ta có :  x  1   x  4    2 – x   2  x 
�   x  1



x  4



–



2 – x

 

2  x



 0

�

x 2  x  4 x  4  22  x 2  0
� 2 x 2  5 x  0 � x(2 x  5)  0

Bước 2 : Giải phương trình tích vừa tìm được rồi kết luận nghiệm.
x



2x  5



x0
�
x0
x0
�
�
�
 0  � �
��
�
5
�
2x  5  0
2 x  5
x

�
�
�
2

� 5�
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = �0;  �
�

Ví dụ 2: Giải phương trình :

2

3
1
x  1  x  3x  7 
7
7

Nhận xét : Tương tự ví dụ 1 ta thực hiện phép chuyển vế ta có :
Giải
3
1
3
3
x  1  x  3x  7  � x  1  x 2  x  0
7
7
7
7

3
3
3 �
�3
� x  1  x 2  x  0 � � x  x 2 �  1  x   0
7
7
7 �
�7
�

3
�3
�
x  1  x    1  x   0 �  1  x  � x  1� 0
7
�7
�

1 x  0
x 1
�
�
�
�
� 3
�
7
� x 1  0
�

x
7
�
� 3
7
�3

� �
1; �
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = �

Ví dụ 3: Giải phương trình : x 2  2 x  1  4  0
Nhận xét : Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi
vế trái dựa vào hằng đẳng thức .
Giải
2
2
x  2 x  1  4  0 �  x  2 x  1  4  0
Ta có :
�  x  1  22  0 �  x  1  2   x  1  2   0
2

�  x  3  x  1  0
x3 0
x3
�
�
��
��
x 1  0

x  1
�
�

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  1;3

8


Ví dụ 4: Giải phương trình :  x  1  2  x  1  x  2    x  2   0
Nhận xét : Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận ra
được hằng đẳng thức bình phương của một tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc
nhân đa thức rồi mới phân tích thành nhân tử .
Ta xem ( x- 1) =A ; ( x + 2 ) = B � phương trình có dạng ( A + B) 2 = 0
Giải
2

Ta có:

 x  1

2

2

 2  x  1  x  2    x  2   0
2

��
 x  1   x  2  �

�
� 0
2

��
 x  1   x  2  �
�
� 0
�  x 1 x  2  0 � 2x 1  0
� 2 x  1 � x  

1
2
� 1�
�2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = � �
Ví dụ 5: Giải phương trình :







3  x 5 2x 2 1  0

Nhận xét: Đây là một phương trình tích có chứa căn thức bậc hai để tránh cho
học sinh có thể hiểu bài toán môt cách phức tạp vì phương trình có chứa căn bậc
hai nên giáo viên hướng dẫn học sinh vẫn thực hiện cách giải thông thường . Vì

2; 3; 5 cũng được coi là các hệ số thông thường.
Giải
Ta có







3  x 5 2x 2 1  0

�
x
�
�3  x 5  0
�
��
�
�
2x 2  1  0
�
x
�
�

�
3
15
x

�
5
5 ��
�  2
1
x
�
2 2
4
�
� 15  2 �
;
�
4 �
�5

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = �

DẠNG II. DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG
PHÁP TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH
Ví dụ 1: Giải phương trình : x3  3x 2  2 x  0
Nhận xét: Đối với phương trình này thì học sinh có thể có các cách giải
khác nhau chẳng hạn ở đây ta có thể tham khảo hai cách giải sau:
Giải
Cách 1 : Ta có : x3  3x 2  2 x  0
9


� x ( x 2  3 x  2)  0





� x x2  x  2x  2  0





( tách 3x = x + 2x )

2
�
� x�
�x  x   2 x  2  � 0

(nhóm hạng tử)

� x�
x  x  1  2  x  1 �
�
� 0

(đặt nhân tử chung)

� x  x  1  x  2   0

(đặt nhân tử chung)

x0
x0
�
�
�
�
��
x 1  0 � �
x  1
�
�
x20
x  2
�
�

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  0; 1; 2
Cách 2: Giải : Ta có



x3  3x 2  2 x  0 � x3  x 2  2 x 2  2 x  0

 



( tách 3x 2  x 2  2 x 2 )

� x 3  x 2  2 x 2  2 x  0 � x 2  x  1  2 x  x  1  0





�  x  1 x 2  2 x  0 �  x  1 x  x  2   0

(đặt nhân tử chung)

x0
x0
�
�
�
�
��
x 1  0 � �
x  1
�
�
x20
x  2
�
�

Vậy nghiệm của phương trình là : S =  0; 1; 2
Ví dụ 2: Giải phương trình : x3  19 x  30  0
Nhận xét: Đối với phương trình này đầu tiên chưa xuất hiện nhân tử chung và
cũng không ở dạng hằng đẳng thức nào cả. Do vậy khi giải giáo viên cần lưu ý

cho học sinh cần sử dụng phương pháp nào đã biết để phân tích vế trái thành
tích (gợi ý phương pháp tách hạng tử) ở đây ta cần tách hạng tử:-19x =-9x – 10x
Giải
3
3
x  19 x  30  0 � x  9 x  10 x  30  0
Ta có :









� x3  9 x   10 x  30   0 � x x 2  9  10  x  3  0





� x x 2  32  10  x  3  0 � x  x  3  x  3  10  x  3  0





2
�  x  3 �

x  x  3  10 �
�
� 0 �  x  3 x  3x  10  0





�  x  3 x 2  5 x  2 x  10  0 �  x  3 �
( x 2  5 x)   2 x  10  �
�
� 0
�  x  3 �
x  x  5  2  x  5  �
�
� 0 �  x  3   x  5   x  2   0
x3 0
x  3
�
�
�
�
��
x5  0 � �
x5
�
�
x20
x  2
�

�

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  3;5; 2
Ví dụ 3: Giải phương trình : 3x 2  5 x  2  0
10


Nhận xét: Đối với phương trình này ta tách hạng tử 5x = 6x – x
Giải
2
2
Ta có : 3x  5 x  2  0 � 3x  6 x  x  2  0





� 3x 2  6 x   x  2   0 � 3 x  x  2    x  2   0
x  2
�
x20
�
�
��
�
1
�
3x  1  0
x
�

� 3

�  x  2   3 x  1  0

� 1�
� 3

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = �2; �
Ví dụ 4: Giải phương trình : 4 x3  14 x 2  6 x  0
Nhận xét: Đối với phương trình này bước đầu tiên ta phải biến đổi vế trái thành
tích bằng cách đặt nhân tử chung để biểu thức trong ngoặc đơn giản hơn, sau đó
dung phương pháp tách hạng tử để đưa về dạng tích.
Giải
3
2
2
Ta có : 4 x  14 x  6 x  0 � 2 x  2 x  7 x  3  0









2
�
� 2x 2 x2  6 x  x  3  0 � 2x �
�2 x  6 x   x  3  � 0

� 2x �
2 x  x  3   x  3  �
�
� 0 � 2 x  x  3  2 x  1  0
�
�
2x  0
x0
�
�
�
��
x3 0 � �
x  3
�
�
2x 1  0
1
�
x
�
2
�
1�
�
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = �0; 3;  �
�

2

Ví dụ 5: Giải phương trình : x 2  9 x  20  0
Nhận xét: Đối với phương trình này vế trái chưa xuất hiện nhân tử chung. Do
đó ta cần biến đổi để đưa vế trái về dạng tích bằng cách. Tách 9x = 4x + 5x
Giải
2
2
Ta có : x  9 x  20  0 � x  4 x  5 x  20  0





� x 2  4 x   5 x  20   0 � x  x  4   5  x  4   0
x40
x  4
�
�
�  x  4  x  5  0 � �
��
x5  0
x  5
�
�
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  4; 5

Ví dụ 6: Giải phương trình : x 2  x  6  0
Nhận xét: Ta biến đổi vế trái của phương trình thành tích bằng cách tách hạng
tử x = 3x – 2x sau đó nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
Giải

11


Ta có : x 2  x  6  0 � x 2  3x  2 x  6  0





� x 2  3 x   2 x  6   0 � x  x  3  2  x  3   0
x3 0
x  3
�
�
�  x  3  x  2   0 � �
��
x2 0
x2
�
�
Vậy nghiệm của phương trình là : S =  3; 2

Ví dụ 7: Giải phương trình : x 2  3 x  2  0
Nhận xét: Đối với phương trình này có nhiều cách giải khác nhau. Sau đây là
một số cách giải .
Giải
Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x
x 2  3x  2  0 � x 2  x  2 x  2  0
Ta có :





� x 2  x   2 x  2   0 � x  x  1  2  x  1  0
x 1  0
x 1
�
�
�  x  1  x  2   0 � �
��
x20
x2
�
�
Vậy nghiệm của phương trình là : S =  1; 2

Cách 2 : Tách hạng tử 2 = - 4 + 6
x 2  3 x  2  0 � x 2  3x  4  6  0
Ta có :





� x 2  4   3x  6   0 �  x  2   x  2   3  x  2   0
�  x  2 �
 x  2   3�
�
� 0 �  x  2   x  1  0

x2 0
x2
�
�
��
��
x 1  0
x 1
�
�

Vậy nghiệm của phương trình là : S =  1; 2
3x  2.x.

Cách 3 : Biến đổi
Ta có :

3
2

9
4

; 2 

1
4

3 9 1
x 2  3x  2  0 � x 2  2 x    0

2 4 4
2
2
�2
3 9� 1
3 �3 �� �1 �
�2
� �x  2 x  �  0 � �
x  2 x.  � �� � � 0
2 4� 4
2 �2 �� �2 �
�
�
2

2

�
� 3 � �1 �
� 3 � 1 ��
� 3� 1�
� �x  � � � 0 � �
�x  � ��
�x  � � 0
� 2 � �4 �
� 2 � 2 ��
� 2 � 2�
�
� 3 1�
� 3 1�

� �x   �
�x   � 0 �  x  1  x  2   0
� 2 2�
� 2 2�
x20
x2
�
�
��
��
x 1  0
x 1
�
�

Vậy nghiệm của phương trình là : S =  1; 2

12


DẠNG III. DẠNG BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Ví dụ 1: Giải phương trình: x 4  13 x 2  36  0
Nhận xét: Đây là phương trình bậc 4 ẩn x . để giải dạng phương trình này ta cần
đặt biến phụ sau khi tìm được giá tri của biến phụ ta lắp giá trị đó vào biểu thức
liên quan ban đầu để tìm nghiệm. Ở đây ta đặt x 2  a ta có cách giải sau
Giải
Đặt x 2  a (đk: a �0)
Ta có : x 4  13x 2  36  0 � a 2  13a  36  0





� a 2  4a  9a  36  0 � a 2  4a   9a  36   0
� a  a  4  9  a  4  0 �  a  4  a  9  0
a40
�
��
�
a9  0
�

�
a4
x2  4
x  �2
�
�
��
( tm đk) � �2
�
a 9
x  �3
x 9
�
�
�

Vậy nghiệm của phương trình là : S =  �2; �3

Ví dụ 2: Giải phương trình : 2 x 4  5 x 2  2  0
Nhận xét: Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn
phụ là: Đặt x 2  a nên ta có cách giải sau
Giải
2
Đặt x  a (đk: a �0)
Ta có : 2 x 4  5 x 2  2  0 � 2a 2  5a  2  0
� 2a 2  4a  a  2  0 �  2 a 2  4 a    a  2   0
(tách 5a  4a  a )
� 2a  a  2    a  2   0 �  a  2   2a  1  0
a  2
�
a20
�
�
��
�
1
�
2a  1  0
a
�
�
2

( không tmđk a 2 �0 )

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là : S =   
Ví dụ 3: Giải phương trình : 9 x 4  6 x 2  1  0
Nhận xét: Ta biến đổi vế trái bằng cách đặt ẩn phụ x 2  a (đk a 0) để đưa về

dạng tích.
Giải
2
Đặt x  a (đk: a �0)
Ta có : 9 x 4  6 x 2  1  0 � 9a 2  6a  1  0
�  3a   2.3a  12  0 �  3a  1  0
2

2

1
� 3a  1  0 � a   ( không tmđk a 2 �0 )
3
Tập hợp nghiệm của phương trình là : S =   

13


Ví dụ 4: Giải phương trình : 2 x 4  7 x 2  4  0
Giải
2
Đặt x  a (đk: a �0)
Ta có : 2 x 4  7 x 2  4  0 � 2a 2  7a  4  0





� 2a 2  8a  a  4  0 � 2a 2  8a   a  4   0
� 2a  a  4    a  4   0 �  a  4   2a  1  0

a  4(tm)
�
a40
�
�
��
�
1
�
2a  1  0
a   (loai )
�
�
2
2
Với a  4 � x  4 � x  �2

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  �2
Ví dụ 5: Giải phương trình : 2 x 4  20 x 2  18  0
Giải
2
Đặt x  a (đk: a �0)
Ta có : 2 x 4  20 x 2  18  0 � 2a2  20 x  18  0









� 2 a 2  10a  9  0 � 2 a 2  9a  a  9  0





2
�
�
� 2�
a  a  9   a  9 �
� 0
�a  9a   a  9  � 0 � 2 �

a9  0
a9
�
�
� 2  a  9   a  1  0 � �
��
a 1  0
a 1
�
�
Vì x 2  a � x 2  9 � x  �3 và : x 2  1 � x  �1
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  �1; �3

DẠNG IV: DẠNG BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở

MẪU VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Nhận xét: Đây là dạng phương trình mà khi giải ta cần phải tìm điều kiện xác
định của phương trình. Điều kiện xác định của phương trình là tìm giá trị của ẩn
để mẫu thức khác không . Sau đây là một số ví dụ về dạng phương trình này .
x2

1

2

Ví dụ 1: Giải phương trình : x  2  x  x  x  2 

(I)

Giải
�x �0
�x �0
��
�x  2 �0
�x �2

ĐKXĐ: �

x2

1

2

Ta có : ( I ) � x  2  x  x x  2 �




 x  2 x   x  2
x  x  2



2
x  x  2

�  x  2 x   x  2  2 � x2  2x  x  2  2
� x 2  x  0 � x  x  1  0

(đưa về dạng phương trình tích)
� x = 0 (loại) hoặc x = -1( tmđk)
14


Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  1
Ví dụ 2: Giải phương trình :

2  x  11
x2
3

 2
x2 x2
x 4

( II )

Giải
ĐKXĐ: x ��2

2  x  11
x2
3

 2
Ta có : (II) �
x2

x2

x 4

 x  2   3  x  2   2  x  11
 x  2  x  2
 x  2  x  2
2
�  x  2   3  x  2   2  x  11
2

�

� x 2  9 x  20  0 � x 2  4 x  5x  20  0 (đưa về dạng phương trình tích)





� x 2  4 x   5 x  20   0 � x  x  4   5  x  4   0
x4 0
x4
�
�
�  x  4   x  5  0 � �
��
(tmđk)
x5  0
x5
�
�

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  4;5
Ví dụ 3: Giải phương trình :

3
2x 1

x
x2 x2

( III)

Giải
ĐKXĐ: x �2

2x 1  x  x  2

3
2x 1
3

x�

x2 x2
x2
x2
2
� 3  2x 1  x  2x

�

Ta có : (III)

� x2  4x  4  0 �  x  2  0
2

(đưa về dạng phương trình tích)

� x  2  0 � x  2 ( loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =   
1
x

Ví dụ 4: Giải phương trình : x   x 2 

1

x2

( IV )

Giải
ĐKXĐ: x �0
Ta có : ( IV ) �

x3  x x 4  1
 2 � x3  x  x 4  1
x2
x





� x3  x 4  1  x  0 � x 3  x 4   1  x 





� x3  1  x    1  x   0 � (1  x ) x 3  1  0





�  x  1  x  1 x 2  x  1  0 �  x  1

2

x

2



 x  1  0 (đưa về dạng phương trình

tích)

15


2

1 1 3 �
1 1� 3 � 1� 3
( Vì x  x  1  x  2 x.    �x 2  2.x.  �  �x  �  0 )
2 4 4 �
2 4� 4 � 2� 4





2

2

�  x  1  0 � x  1  0 � x  1 ( tmđk)
2

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  1
DẠNG V: MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC
Nhận xét: Tùy theo mỗi dạng phương trình mà ta có thể có những cách biến đổi
khác nhau. Để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích . Sau đây là
một dạng phương trình đặc trưng.
Ví dụ 1: Giải phương trình :

2 x
1 x
x
1 

2001
2002 2003

Nhận xét: Đây là một phương trình nếu áp dụng cách giải thông thường thì
chúng ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do đó để giải được phương trình này ta sử
dụng phương pháp sau :
Để biến đổi đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích đơn giản hơn
ta cộng thêm 2 vào hai vế của phương trình và biến đổi phương trình như sau.
Giải
2 x
1 x
x
2x

�1  x
� � x
�
1 

�
1 �
 1�
�
 1�
2001
2002 2003
2001
�2002 � �2003 �
2003  x 2003  x 2003  x
2003  x 2003  x 2003  x
�


�


0
2001
2002
2003
2001
2002
2003
1

1 �
�1
�  2003  x  �


1
1
1
� 0


�0 )
( Vì :
�2001 2003 2003 �
2001 2002 2003
� 2003  x  0 � x  2003
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  2003

Ví dụ 2: Giải phương trình :

x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6





94
93
92
91

90
89

Giải
Cộng thêm 3 vào hai vế của phương trình ta được :
�x  1 � �x  2 � �x  3 � �x  4 � �x  5 � �x  6 �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1�
�
�94
� �93
� �92
� � 91
� �90
� �89
�
x  95 x  95 x  95 x  95 x  95 x  95
�





94
93
92

91
90
89
x  95 x  95 x  95 x  95 x  95 x  95
�





0
94
93
92
91
90
89
1
1 1 1
1 �
�1
�  x  95  �      � 0
�94 93 92 91 90 89 �
1
1
1 1 1
1
� x  95  0 � x  95
(Vì :      �0 )
94 93 92 91 90 89

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  95
16


Ví dụ 3: Giải phương trình :
59  x 57  x 55  x 53  x 51  x




 5
41
43
45
47
49

Nhận xét: Đối với phương trình này ta chuyển hạng tử -5 sang vế trái và tách
thành 5 hạng tử. Mỗi hạng tử là 1 đơn vị nên ta có cách giải sau .
Giải
59  x 57  x 55  x 53  x 51  x




 5
41
43
45
47

49
�59  x � �57  x � �55  x � �53  x � �51  x �
��
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� 0
� 41
� � 43
� � 45
� � 47
� � 49
�
100  x 100  x 100  x 100  x 100  x
�




0
41
43
45
47
49
1
1
1
1 �

�1
�  100  x  �   
 � 0
�41 43 45 47 49 �
1
1
1
1
1
� 100  x  0 � x  100
(Vì :     �0 )
41 43 45 47 49
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  100

Ví dụ 4: Giải phương trình :
x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6





59
58
57
56
55
54

Nhận xét: Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cộng
thêm 3 vào hai vế của phương trình và tách thành từng nhóm như sau.

Giải
x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6





59
58
57
56
55
54
�x  1 � �x  2 � �x  3 � �x  4 � �x  5 � �x  6 �
��
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1�
�59
� �58
� �57
� �56
� �55
� �54
�
x  60 x  60 x  60 x  60 x  60 x  60
�






59
58
57
56
55
54
x  60 x  60 x  60 x  60 x  60 x  60
�





0
59
58
57
56
55
54
1
1
1
1 1 �
�1

�  x  60  �      � 0
�59 58 57 56 55 54 �
1
1
1
1
1 1
� x  60  0 � x  60
(Vì :      �0 )
59 58 57 56 55 54
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  60

Ví dụ 5: Giải phương trình :
x  5 x  15 x  25 x  1990 x  1980 x  1970





1990 1980 1970
5
15
25

17


Nhận xét: Đối với phương trình này giáo viên hướng dẫn cho học sinh trừ hai
vế đi 3 đơn vị và tách ra từng phần và ta có cách giải sau.
Giải

x  5 x  15 x  25 x  1990 x  1980 x  1970





1990 1980 1970
5
15
25
�x  5 � �x  15 � �x  5 � �x  1990 � �x  1980 � �x  1970 �
��
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1�
1990 � �1980
1970 � � 5
�
��
� � 15
� � 25
�
x  1995 x  1995 x  1995 x  1995 x  1995 x  1995
�






1990
1980
1970
5
15
25
x  1995 x  1995 x  1995 x  1995 x  1995 x  1995
�





0
1990
1980
1970
5
15
25
1
1
1 1 1 �
�1
�  x  1995  �


   � 0

1990 1980 1970 5 15 25 �
�
1
1
1
1 1 1


  
�0 )
� x  1995  0 � x  1995
(Vì :
1990 1980 1970 5 15 25
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  1995

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Sau một thời gian lồng ghép cách hướng dẫn học sinh lớp 8B giải một số
bài toán về dạng phương trình tích vào các tiết học trên lớp, các buổi bồi
dưỡng học sinh giỏi và phụ đạo học sinh khá-giỏi. Tôi đã áp dụng đề tài trong
năm học 2017- 2018 đối với 20 em học sinh lớp 8B và được kiểm nghiệm vào
cuối năm học đó ở trường THCS Quảng Châu với kết quả như sau:
Lớp
8B

Sĩ
số
20

0÷<3,5điểm
SL

%
1
5

3,5÷<5điểm
SL
%
3
15

5÷<6,5điểm
SL
%
8
40

6,5÷<8,5điểm
SL
%
5
25

8,5÷10điểm
SL
%
3
15

Kết quả kiểm nghiệm cho thấy chất lượng của các em học sinh được áp
dụng đề tài nâng lên rõ rệt. Các em đã biết đưa về dạng phương trình tích khoa

học hơn.
Tuy nhiên, cũng cần phải khẳng định rằng để có được chất lượng đó cần
phải có sự kết hợp nhiều biện pháp trong việc rèn kĩ năng giải toán cho học sinh.
Nhưng đây cũng là biện pháp góp phần quan trọng trong mục tiêu dạy học này
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
Như vậy với các ví dụ được đưa ra, phần nào đã giúp được học sinh tiếp
thu kiến thức một cách chủ động. Học sinh dễ nhận ra bài toán đã cho thuộc
dạng nào, không còn rơi vào trạng thái gò ép, lúng túng, giúp học sinh có hứng
thú khi gặp các bài toán giải phương trình đưa được về dạng phương trình tích.
Đối với nhiều học sinh, không những làm tốt dạng toán trên mà còn giúp các em
khắc sâu hơn nữa các kiến thức về bài toán giải phương trình. Một bộ phận các

18


em học sinh đã biết cách suy luận để mở rộng, phát triển bài toán. Suy luận của
học sinh có một hệ thống lôgic và chặt chẽ. Khả năng chủ động tìm kiếm kiến
thức của học sinh được phát huy. Tư duy độc lập của học sinh được phát triển.
Có được dấu hiệu đáng mừng đó trước hết là do sự đoàn kết nhất trí của các
đồng chí trong tổ toán và sự tạo điều kiện của ban giám hiệu nhà trường THCS
Quảng Châu.
Tuy nhiên do kinh nghiệm còn ít và sự hạn chế của bản thân, trong quá
trình đưa ra sáng kiến và vận dụng cho học sinh không tránh khỏi những thiếu
sót. Bản thân tôi cũng chỉ mới nghiên cứu các bài tập mà phạm vi kiến thức là
sách giáo khoa, sách bài tập, các đề thi học sinh giỏi và các tài liệu nâng cao.
3.2. Kiến nghị.
Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải phương trình là một vấn đề lớn, mang tính
thiết thực. Vì vậy tôi đề nghị lãnh đạo các cấp quan tâm đầu tư kinh phí và tổ
chức nhiều hội nghị trao đổi kinh nghiệm giữa các trường, các huyện, đồng thời

học tập kinh nghiệm của các thầy, cô giáo giỏi từ đó có nhiều đề tài nghiên cứu
về lĩnh vực này, làm cho chất lượng học môn toán ngày càng cao, học sinh giỏi
toán sẽ tăng lên cả về số lượng, chất lượng nhằm đạt mục tiêu giáo dục mà luật
giáo dục ban hành. Sáng kiến này còn được mở rộng và khai thác nhiều với các
kiến thức rộng hơn nữa. Chính vì vậy tôi rất mong được sự góp ý của đồng
nghiệp, của hội đồng khoa học các cấp để sáng kiến này hoàn thiện hơn nữa.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 07 tháng 04 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết sáng kiến

Nguyễn Thanh Quảng
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa toán lớp 8.
Tác giả : Phan Đức Chính - Tôn Thân
[2]. Sách giáo viên toán lớp 8.
Tác giả : Phan Đức Chính - Tôn Thân
[3]. Sách bài tập toán lớp 8.
Tác giả : Tôn Thân – Vũ Hữu Bình – Trần Đình Châu – Trần Kiều
[4]. Dạy – học toán THCS theo hướng đổi mới.
Tác giả : Tôn Thân

19


[5]. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên trung học cơ sở chu kỳ
III (2004 – 2007) môn Toán.

[6]. Tài liệu dạy học theo các chủ đề tự chọn ở trường trung học cơ sở môn
Toán.
[7]. Toán phát triển lớp 8.
Tác giả : Vũ Hữu Bình
[8]. Tạp chí toán học tuổi thơ 2 – NXB Giáo dục.
[9]. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8.
Tác giả : Bùi Văn Tuyên.
[10]. Toán nâng cao và một số chuyên đề toán 8.
Tác giả : Vũ Dương Thụy-Nguyễn Ngọc Đạm
[11]. Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở 8.
Tác giả: Vũ Hữu Bình- Trần Hữu Nam – Phạm Thị Bạch Ngọc- Nguyễn
Tam sơn.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP SẦM SƠN

TRƯỜNG THCS QUẢNG CHÂU

20


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ KỸ NĂNG TRONG DẠY HỌC
ÁP DỤNG CHO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Ở LỚP 8 B,
TRƯỜNG THCS QUẢNG CHÂU

Người thực hiện : Nguyễn Thanh Quảng
Chức vụ

: Giáo viên
Đơn vị công tác
: Trường THCS Quảng Châu
SKKN thuộc lĩnh vực: Môn Toán

THANH HÓA NĂM 2019

21