Thiết kế bộ lọc FIR thông thấp bằng phương pháp cửa sổ Hamming

Lời mở đầu

Xử lý tín hiệu số ( Digital Signal Processing – DSP) đã trở thành một môn học cơ
sơ cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thông, Tự
động hóa … Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và thiết bị
như CD, VCD, DVD, Camere, Scanner, y khoa …, trong các hệ thống truyền hình số,
thông tin địa lý, bản đồ số, viễn thông …
Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đề cập đến nhiều
nhất trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (Digital Filter). Nếu xét về đáp ứng xung
có thể chia các bộ lọc thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR ( Finite
Impulse Response) còn gọi là lọc không đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR
( Infinte Impulse Response) còn gọi là lọc đệ quy. Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể
chia các bộ lọc FIR hay IIR thành 4 loại cơ bản: thông thấp, thông cao, thông dải, chắn
dải. Các bộ lọc này được thiết kế bằng phương pháp sau đây: Phương pháp cửa sổ (
Window Design Techniques), Phương pháp lấy mẫu tần số ( Frequency Sampling
Design Techniques) và phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng ( Optimal
Equiripple Design Techniques). Mỗi phương pháp đều có đặc điểm và ưu nhược điểm
riêng.
Trong khuôn khổ của bài tiểu luận môn học, chúng em xin phép được trình bày bài toán
thiết kế bộ lọc FIR thông thấp bằng phương pháp cửa sổ Hamming. Nội dung tiểu luận
được chia thành 3 phần:

Phần 1. Cơ sở lý thuyết
Phần 2. Thiết kế bộ lọc FIR thông thấp bằng phương pháp cửa sổ Hamming
Phần 3. Kết luận


Phần 1. Cơ sở lý thuyết
1. Tổng quan về lọc số
1.1 Khái niệm lọc số
Hoạt động chọn lọc tín hiệu (filtering) đóng vai trò hết sức quan trọng trong lĩnh

vực điện –điện tử. Các bộ lọc (filters) được sử dụng để chọn ra tín hiệu mong muốn,
hoặc chặn nhiễu từ hỗn hợp tín hiệu thu được, chúng có thể được thực hiện trên miền
thời gian hoặc miền tần số.
Trên miền tần số, mạch lọc có thể được chia thành các dạng sau:
 Lọc thông thấp (Low Pass Filter -LPF): Bộ lọc thông thấp chỉ cho qua tín
hiệu ở vùng tần số thấp, không cho qua (chặn) tín hiệu ở vùng tần số cao.
 Lọc thông cao (High Pass Filter- HPF): Ngược lại với lọc thông thấp, bộ
lọc thông cao chỉ cho qua tín hiệu ở vùng tần số cao, không cho qua (chặn)
tín hiệu ở vùng tần số thấp.
 Lọc thông dải (Band Pass Filter- BPF): Bộ lọc dạng này cho tín hiệu đi
qua ở một dải tần từ c1  0  c 2  0 và gọi là dải thông của mạch, bên
ngoài dải này là dải chặn.
 Lọc chặn dải (Band Stop Filter- BPF): Bộ lọc dạng này chặn tín hiệu ở
một dải tần từ c1  0  c 2  0 , bên ngoài dải này là dải thông.
Mạch lọc có thể thực hiện bằng mạch tương tự (analog) hoặc số (digital). So với lọc
tương tự, lọc số có rất nhiều ưu điểm như độ chính xác, tính ổn định, tin cậy, kích thước
nhỏ gọn, dễ dàng tích hợp và kết nối với các thành phần khác của hệ thống. Thực hiện
mạch lọc bằng con đường số cho phép thực hiện các thuật toán lọc phức tạp và tinh thế
như các mạch lọc thích nghi. Cùng với sự phát triển của kỹ thuật vi điện tử, mạch lọc
số ngày nay được ứng dụng hết sức rộng rãi, hiện diện trên hầu hết các thiết bị điệnđiện tử hiện đại.
Dải tần số mà bộ lọc cho tín hiệu đi qua gọi là dải thông, còn dải tần số mà bộ
lọc không cho tín hiệu đi qua gọi là dải chặn. Tần số phân cách giữa dải thông và dải


chặn gọi là tần số cắt và ký hiệu là c . Theo dạng của đặc tính biên độ tần số H (e i )
người ta chia bộ lọc số thành các loại sau:
- Bộ lọc thông thấp có dải thông   (0, c ).
- Bộ lọc thông cao có dải thông   ( c ,  ).
- Bộ lọc dải thông có dải thông   ( 1 , 2 ).
- Bộ lọc chặn dải có dải thông   (0,  c1 ),   ( c 2 ,  ).

1.2 Phân loại lọc số theo dải thông
a. Bộ lọc số thông thấp lý tưởng:
 Đáp ứng biên độ:

(

) =

1,

≤ ≤
ò ạ

0,

(1.1)

Hình 1.1. Đặc tính biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng
 Đáp ứng xung:

h(n) =

1
2







H(e j )e jn d  =

1
2

c



 e
c

in

d =

1
1
(e jc n -e  jc n ) = sin c n (1.2)
n
2 jn


b. Bộ lọc số thông cao lý tưởng:
 Đáp ứng biên độ:

(

) = ( )=

≤ ≤
≤ ≤
ò ạ

1
0

1

-ωc

(1.3)

H(ejω)

ω

ωc

0

Hình1.2. Đặc tính biên độ của bộ lọc số thông cao lý tưởng


Đáp ứng xung h(n):

1
h(n) =
2

=





j

H(e )e



jn

1
d =
2



1
jn
e d - 2

 sin c n
sin n c sin c n
=  (n)  c
  cn
  cn

n

c. Bộ lọc số thông dải lý tưởng:
 Đáp ứng biên độ:

(

1

) =
0

(1.5)

≤ ≤
≤ ≤
ò

ạ

c



 e

jn

d

c

(1.4)


≤

với

1

-ωc2

-ωc1

0

≤

H(ejω)

ωc1

ω

ωc2

Hình1.3. Đặc tính biên độ của bộ lọc số thông dải lý tưởng
 Đáp ứng xung:

h(n) =

1
2



1
2

c 2
jn
 e d -



H(e j )e jn d  =

=

c 2 sin c 2n c1 sin c1n
 c 2 n
 c1n



 c 2

1
2

 c1



 e

jn

d

c1

(1.6)

d. Bộ lọc chắn dải lý tưởng.
 Đáp ứng biên độ:

(1.7)


H(ejω)

1

π

-ωc2

-ωc1

ωc1

0

ωc2

Hình1.4. Đặc tính biên độ của bộ lọc chắn dải lý tưởng

 Đáp ứng xung:

1
h(n) =
2





j

H(e )e

j n



=  (n) -

1

d =
2



 e



jn

1
d 2

c 2



e


c 2 sin c 2 n c1 sin  c1n
 c 2 n
 1n

c2

jn

1

d +
2

 c1

e

jn

d

 1

(1.8)

2. Các chỉ tiêu kỹ thuật:

Hình 2.1: Các chỉ tiêu của bộ lọc FIR: các chỉ tiêu tuyệt đối và tương đối
Trên Hình 2.1 là mô tả các chỉ tiêu của bộ lọc FIR thông thấp ( Low Pass Filter).


Trong đó:
 Band [0,wp] được gọi là dải thông, và δ1 là dung sai ( gợn sóng) được chấp
nhận trong đáp ứng dải thông lý tưởng, wp là tần số giới hạn ở dải thông.
 Band [ws , π] được gọi là dải chắn, và δ2 là dung sai ở dải chắn, ws là tần số
giới hạn dải chắn.
 Band [wp , ws] được gọi là dải chuyển tiếp, và không có ràng buộc nào về
đáp ứng biên độ trong dải này.
Các chỉ tiêu tương đối gồm:
 Rp: Độ gợn sóng trong dải thông tính theo dB.

 As: Suy hao trong dải chắn tính theo dB.
Quan hệ giữa các chỉ tiêu này như sau:
Rp = -20log10

> 0 (≈ 0)

AS = -20log10

> 0 (>> 1)

Các chỉ tiêu trên được đưa ra đối với bộ lọc FIR thông thấp, và đối với các bộ lọc khác
như thông cao HPF ( High Pass Filter), thông dải BPF ( Band Pass Filter) đều có thể
được định nghĩa tương tự. Tuy nhiên, các tham số thiết kế quan trọng nhất là các dung
sai dải tần và các tần số cạnh – dài ( tolerance or ripples and band-edge frequencies).

3. Cấu trúc của bộ lọc FIR
Một bộ lọc đáp ứng hữu hạn với hàm hệ thống có dạng:
H(z) = b0 + b1z-1 + … + bM-1 z1-M = ∑

(3.1)

Như vậy đáp ứng xung h(n) là:
h(n) =

0≤
0

≤

1

(3.2)


Và phương trình sai phân là:
y(n) = b0x(n) + b1x(n-1) + … + bM-1x(b-M+1)

(3.3)

Đây chính là tích chập tuyến tính của dãy hữu hạn.
Bậc của bộ lọc là M-1, trong khi chiều dài của bộ lọc là M ( bằng với số lượng
các hệ số). Các cấu trúc bộ lọc FIR luôn luôn ổn định, và tương đối đơn giản hơn so với
các cấu trúc bộ lọc IIR.
Các cấu trúc của bộ lọc FIR:
a. Cấu trúc dạng trực tiếp
Phương trình sai phân được thực hiện bởi một dãy liên tiếp các bộ trễ do không có
đường phản hồi:
y(n) = b0x(n) + b1x(n-1) + … + bM-1x(b-M+1)

(3.4)

Do mẫu thức bằng đơn vị nên ta chỉ có một cấu trúc dạng trực tiếp duy nhất. Cấu trúc
dạng trực tiếp được cho trong hình 3.1 với M=5:

Hình 3.1. Cấu trúc lọc FIR trực tiếp

b. Cấu trúc ghép tầng:
Hàm hệ thống H(z) được biến đổi thành các tích của các khâu bậc 2 với hệ số thực.
Các khâu này được thực hiện ở dạng trực tiếp và các bộ lọc tổng thể có dạng ghép tầng
của các khâu bậc 2.

H(z) = b0 + b1z-1 + … + bM-1z1-M = ( 1 +
= b0∏

(1 +

,

+

,

z-1 + … +
)

z1-M )
(3.5)

Trong đó: K = [ ] , Bk,1 và Bk,2 là các số thực đại diện cho các hệ số của các khâu bậc2.


Hình 3.2 Cấu trúc lọc FIR dạng ghép tầng
Cấu trúc dạng ghép tầng được cho trong hình 3.2 với M = 7.

c. Cấu trúc dạng pha tuyến tính:
Đối với các bộ lọc chọn tần, người ta mong muốn có đáp ứng pha là hàm tuyến
tính theo tần số, nghĩa là:
∠H(ejw) = β – αw – π ≤ w ≤ π
Trong đó β = 0 hoặc ±

(3.6)

và α = const.

Đối với bộ lọc FIR nhân quả có đáp ứng xung trong khoảng [0, M-1], thì các
điều kiện tuyến tính là:
h(n) = h(M-1-n); β = 0, 0 ≤ n ≤ M – 1

(3.7)

h(n) = -h(M-1-n); β = ±π/2, 0 ≤ n ≤ M - 1

(3.8)

Xét phương trình sai phân được cho trong phương trình (3.4) với đáp ứng xung đối xứng
trong phương trình (3.7), ta có:
y(n) = b0x(n) + b1x(n-1) + … + b1x(n-M+2) + b0x(n-M+1)
= b0[ x(n) + x(n-M+1)] + b1[ x(n-1) + x(n-M+2)] + …

Sơ đồ khối thực hiện phương trình sai phân trên được mô tả trong hình 3.3 dưới
đây đối với cả M lẻ và M chẵn:

Đối với M lẻ: M = 7, còn đối với M chẵn: M = 6


Hình 3.3 Cấu trúc lọc FIR pha tuyến tính với hệ số M chãn và lẻ
4. Các đặc tính của bộ lọc pha tuyến tính
Cho h(n), trong đó 0 ≤ n ≤ M-1, là đáp ứng xung có chiều dài M thì hàm truyền
hệ thống là:
H(z) = ∑

( )

= z-(M-1) ∑

( )

(4.1)

Có (M-1) điểm cực ở gốc ( trivial poles) và M-1 điểm không nằm ở vị trí bất kì trên mặt
phẳng z. Đáp ứng tần số là:
H(ejw) = ∑

( )

, -π < w < π

(4.2)

a. Đáp ứng xung h(n):
Chúng ta có thể đưa ra ràng buộc pha tuyến tính:
∠ H(ejw) = αw, -π < w < π

(4.3)

Trong đó: α là một hằng số trễ pha. Ta đã biết rằng h(n) phải đối xứng, nghĩa là:
h(n) = h(M-1-n), 0≤ n≤M-1, α =

(4.4)

Do đó h(n) là đối xứng theo α, là chỉ số đối xứng. Có hai kiểu đối xứng:

 M lẻ: trong trường hợp này, α =
mô tả trong hình 4.1 dưới đây:

là một số nguyên. Đáp ứng xung được


Hình 4.1 Đáp ứng xung đối xứng, M lẻ
 M chẵn: trong trường hợp này, α =

không phải là một số nguyên. Đáp

ứng xung được mô tả trong hình 4.2 dưới đây:

Hình 4.2 Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn
Ta cũng có bộ lọc pha tuyến tính loại hai nếu ta yêu cầu đáp ứng pha ∠ H(ejw) thỏa mãn
điều kiện:
∠ H(ejw) = β –αw với –π < w ≤

(4.5)

Đáp ứng pha là đường thắng nhưng không đi qua gốc. Trong trường hợp này α không
phải là hằng số trễ pha, nhưng:
∠ (

)

= -α

(4.6)

là hằng số, chính là trễ nhóm ( α lầ một hằng số trễ nhóm). Trong trường hợp này, các
tần số được làm trễ với một tốc độ không đổi. Nhưng một số tần số có thể được làm trễ
với tốc độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn.


Đối với kiểu pha tuyến tính này, có thể thấy rằng:
h(n) = - h(M-1-n), 0 ≤ n ≤ M-1 và α =

,β=±

(4.7)

Điều này có nghĩa rằng đáp ứng xung h(n) là phản đối xứng (antisymmetric). Chỉ
số đối xứng vẫn là α =

. Chúng ta lại có 2 kiểu, cho M lẻ và M chẵn.

 M lẻ: trong trường hợp này, α =

là một số nguyên. Đáp ứng xung được

mô tả bằng hình 4.3 dưới đây:

Hình 4.3 Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ
Lưu ý rằng mẫu h(α) tại α =

phải bằng 0, nghĩa là , h(

 M chẵn: trong trường hợp này, α =

) = 0.

không phải là số nguyên. Đáp ứng

xung được mô tả trong hình 4.4 dưới đây:

Hình 4.4 Đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn


b. Đáp ứng tần số H(ejw):
Khi tổ hợp hai loại đối xứng và phản đối xứng với M chẵn và M lẻ, ta có bốn
kiểu lọc FIR pha tuyến tính. Đáp ứng tần số của mỗi kiểu có biểu thức và hình dạng
riêng. Để nghiên cứu các đáp ứng pha của các kiểu này, ta viết biểu thức của H(ejw) như
sau:
H(ejw) = Hr(ejw)ej(β-αw) ; β = ± , α =

(4.8)

Trong đó Hr(ejw) là hàm đáp ứng độ lớn chứ không phải hàm đáp ứng biên độ. Đáp ứng
độ lớn là một hàm thực, có thể vừa âm vừa dương, không giống đáp ứng biên dộ luôn
luôn dương. Đáp ứng pha kết hợp với đáp ứng biên độ là một hàm không liên tục, trong
khi kết hợp với đáp ứng dộ lớn là một hàm tuyến tính liên tục.
 Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 ( type 1): đáp ứng xung đối xứng, M lẻ
Trong trường hợp này β = 0, α =

là một biến nguyên, và h(n) = h(M-1-n),

0≤n≤M-1, thì ta có thể chứng tỏ rằng:
(
H(ejw) = ∑

)/

(

( ) cos

)/

(4.9)

Trong đó:
(0) =

ớ

( )=2

ẫ ở
ớ 1 ≤

í

ữ
(4.10)

≪

 Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 2 (Type 2): Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn
Trong trường hợp này β = 0, h(n) = h(M-1-n), 0 ≤ n ≤ M-1, nhưng α =

không phải

là một biến nguyên, thì ta có thể chứng tỏ rằng:
H(ejw) = ∑

/

( ) cos

(

)/

Trong đó:
b(n) = 2h

với n = 1,2,…,

(4.12)

(4.11)


So sánh (4.11) và (4.8), ta có:
Hr(w) = ∑

/

( ) cos

(4.13)

Lưu ý: tại w = π, ta có Hr(π) = ∑

/

( ) cos

= 0 mà không quan

tâm đến b(n) hoặc h(n). Do đó chúng ta không thể sử dụng laoij này ( h(n) đối xứng, M
chẵn) đối với bộ lọc thông cao hoặc bộ lọc chắn dải.
 Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 ( Type 3): Đáp ứng xung phản đối xứng, M
lẻ
Trong trường hợp này có β = , α =
1, và

là một biến nguyên, h(n) = -h(M-1-n), 0≤n≤M-

= 0 thì ta có thể chứng tỏ:
(
H(ejw) = ∑

)/

( ) sin

(4.14)

với n = 1,2,…,

(4.15)

Trong đó
c(n) = 2h

So sánh (4.14) và (4.8) ta có:
Hr(w) = ∑

(

)/

( ) sin

(4.16)

 Lọc FIR pha tuyến tính loại 4 ( Type 4): đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn
Trong trường hợp này β = , h(n) = -h(M-1-n), 0 ≤ n ≤ M-1, nhưng α =
là một biến nguyên, thì ta có thể chứng tỏ rằng:
H(ejw) = ∑

/

( ) sin

(4.17)

Trong đó:

d(n) = 2h

n với n = 1,2,…,

So sánh (4.17) với (4.8), ta có:

(4.18)

không phải


Hr(w) = ∑

/

( ) sin

(4.19)

Bảng sau đây mô tả khả năng thích hợp trong việc thiết kế các bộ lọc và các bộ biến đổi
Hilbert số, bộ vi phân số của 4 loại lọc FIR pha tuyến tính:
Type

LPF

HPF

BPF

SBF

Hilbert

Diferentiator

FIR Type 1

√

√

√

√

FIR Type 2

√

√

√

√

√

√

√

√

FIR Type 3
FIR Type 4

√

5. Phương pháp tổng hợp lọc số.
Có 3 phương pháp tổng hợp lọc số:
- Phương pháp cửa sổ.
- Phương pháp lấy mẫu tần số.
- Phương pháp tối ưu Chebyshev

5.1. Phương pháp cửa sổ.
Phương pháp cửa sổ còn gọi là phương pháp tổng hợp bộ lọc FIR nhờ khai
triển Fourier.
Biến đổi Fourier là phương pháp cơ bản để thiết kế các bộ lọc số. Về nguyên
tắc nó có thể dùng để thiết kế lọc cho bất cứ yêu cầu đáp ứng tần số biên độ. Tuy
nhiên từ hàm đáp ứng tần số
(
Với

) = ∑∝
1
h(n) =
2

( )

(5.1)





H(e j )e jn d 

(5.2)



Việc thiết kế bộ lọc FIR, nhân quả, pha tuyến tính, ta chỉ cần chú ý đến một số
số hạng của chuỗi Fourier, nghĩa là bỏ đi các đáp ứng xa gốc khi chúng trở nên khá nhỏ


so với các đáp ứng ở gần gốc. Hậu quả của sự cắt gọt này là đáp ứng tần số thực tế
(

) khác với đáp ứng tần số thiết kế được theo phương pháp Fourier (
(

khi

) trong

) chỉ là gần đúng so với đáp ứng yêu cầu.
Sự cắt gọt tương đương với nhân đáp ứng xung h(n) với cửa sổ hay còn gọi

hàm của sổ w(n) rộng hữu hạn. Khi nhìn qua cửa sổ này ta thấy nguyên vẹn phần

trung tâm của đáp ứng xung còn phần xa hai bên bị khuất. Khi đó đáp ứng xung thực
tế được tính như sau:
( )=

( ) ( )

(5.3)

Như công thức (5.3) đã chỉ ra, ý tưởng của phương pháp cửa sổ rất đơn giản: để
đảm bảo tính nhân quả thực hiện bỏ đi các mẫu của đáp ứng xung khi n<0, để đáp ứng
xung hữu hạn tiếp tục bỏ đi các mẫu có giá trị nhỏ khi n>0. Điều này rõ ràng dẫn tới
đặc tính tần số của mạch lọc thực tế khác với lý tưởng.
Yêu cầu chung đối với tất cả các hàm cửa sổ là đối xứng, bề rộng của cửa sổ phụ
thuộc vào yêu cầu đối với các tham số của mạch lọc.
Phương pháp cửa sổ gồm các bước chính sau:
-

Cho 4 chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số: 1 ,  2 ,  p ,  s .

-

Chọn dạng cửa sổ và chiều dài M của cửa sổ, trong miền n cửa sổ có tâm đối
xứng tại
=
. Vậy trong miền tần số cửa sổ có pha tuyến tính
=
Chọn loại bộ lọc số lý tưởng có đáp ứng xung là h(n), h(n) có tâm đối xứng tại
trong miền n. Vậy trong miền tần số, h(n) sẽ có pha tuyến tính
=
Nhân cửa sổ w(n) với h(n) lý tưởng để được bộ lọc thực tế

( )=

( ) . ( )

Khi đã có ( ) thử lại trong miền tần số xem có thỏa mãn 4 chỉ tiêu kỹ thuật ở
trên hay không, nếu không thỏa mãn tăng N rồi lặp lại các bước trên cho đến khi nào
thỏa mãn thì ngừng.
(

)=

(

)

Hàm cửa sổ

(

) cho bởi :

=∑

(

( )

)=

. (

∫

(5.5)

)

′ (5.4)


Nhận xét:
( ) xấp xỉ càng đúng H( ) nếu dạng của hàm
( ) càng giống hàm
( ) càng nhọn thì sự xấp xỉ càng tốt hơn.
delta dirac. Như vậy nêu
Độ gợn sóng trong dải thông, độ suy giảm trong dải chắn phụ thuộc vào dạng
cửa sổ.
Có rất nhiều loại cửa sổ được sử dụng, trong đó thông dụng là các cửa sổ sau:
- Cửa sổ chữ nhật.
- Cửa sổ tam giác( của sổ Bartlett).
- Cửa sổ Hamming và Hanning.
- Cửa sổ Blackman
a. Cửa sổ chữ nhật ( Rectangular Window)
Trong miền n cửa sổ chữ nhật được định nghĩa như sau:
w(n) =

1
0 á
w(

0 ≤ ≤
ườ
ợ ò

1
ạ

(5.5)

)=

Hình 5.1 Rectangular Window M = 45

(5.6)


b. Cửa sổ Hanning ( Hanning Window)
w(n) =

0.42

0.5

+ 0.08
0

á

ườ

0≤
ợ

ò

≤

ạ

Hình 5.3 Hanning Window M = 45

c. Cửa sổ Hamming ( Hamming Window)
w(n) =

0.54
0

0.46
á

0≤
ườ

ợ

ò

≤
ạ

(5.8)

(5.7)


Hình 5.3 Hamming Window M = 45

d. Cửa sổ Blackman ( Blackman Window)

w(n) =

0.42

0.5

+ 0.08
0

á

ườ

0≤
ợ

ò

ạ

≤

(5.8)


Hình 5.4 Blackman Window M = 45

5.2. Phương pháp lặp tối ưu.
Phương pháp cửa sổ và phương pháp lấy mẫu tần số là hai phương pháp gián tiếp
thiết kế bộ lọc FIR chúng tồn tại một số nhược điểm:
- Một là không thể xác định các tần số cắt

và

.

- Hai là không thể rằng buộc điều kiện đồng thời điều kiện về độ gợn song

và

ở cả dải thông và dải chắn.
- Ba là hàm sai số xấp xỉ phân bố không đều trên các dải và có xu hướng tăng lên
khi đến gần dải chuyển tiếp.
Phương pháp lặp dựa trên thuật toán tối ưu có thể khắc phục được các nhược
điểm của hai phương pháp trên.


Bản chất của phương pháp lặp là xuất phát từ một chiều dài dãy N cho trước,
bằng thuật toán trao đổi Remez để tìm dãy đáp ứng xung sao cho cực đại của hàm sai
số giữa đáp ứng tần số của bộ lọc lý tưởng và đáp ứng tần số của bộ lọc thực tế là nhỏ
nhất. Nếu như hàm đáp ứng tần số ứng với dãy đáp ứng xung tìm được nói trên vẫn

chưa thỏa mãn điều kiện yêu cầu thiết kế, giá trị N cần phải tăng. Qúa trình này được
lặp đi lặp lại cho đến khi tìm được bộ lọc thỏa mãn các yêu cầu đã được đặt ra.

Dưới đây ta sẽ xét cách biểu diễn hàm độ lớn của đáp ứng tần số của 4 loại bộ
lọc FIR về dạng sau:
(

)= (

) (

)

(5.9)

Trong đó:

(

)=

( ) cos(

)
(5.10)

(

) là hàm cố định.

Bảng sau đây đưa ra giá trị R, các hàm (

) và . (

) cho 4 loại bộ lọc:


(

Loại bộ lọc

)

Bộ lọc FIR loại 1

( ) cos

Bộ lọc FIR loại 2

( ) cos

Bộ lọc FIR loại 3

( ) cos

Bộ lọc FIR loại 4

( ) cos

(

R
1

1

2

cos

1

2
1

1

2

1

2

)

2

sin

sin

2

Hàm sai số giữa bộ lọc lý tưởng và bộ lọc thực tế được xây dựng như sau:
(

)=

(

)[ (

)

(

)]

(5.11)

Ở đây:
(

) : là sai số có miền xác định là phần dải thông và dải chắn, không xác

định tại dải chuyển tiếp.
(

): đáp ứng tần số của độ lớn của bộ lọc số lý tưởng.
(

): đáp ứng tần số của độ lớn cả bộ lọc thực tế.

(

): hàm trọng số trên sai số gần đúng. Có tác dụng trải đều sai số giữa bộ

lọc thực tế và bộ lọc lý tưởng trên cả dải thông và dải chắn.
Ta thấy rằng sai số ở dải thông và dải chắn của các loại bộ lọc số nói chung là
khác nhau:
(

)

(

) =

ở dải thông.


(

)

(

) =
(

Vì vậy hàm trọng số
(

chắn. Vấn đề chọn

ở dải chắn.
) cũng được xác định khác nhau ở dải thông và dải

) cũng phụ thuộc vào giá trị tương đối của

và

xem giá

trị nào lớn hơn.
(

=

ta có

=

Giả sử gọi
Thì

=

,

>

Giả sử

bằng 1 ở dải chắn, bằng

khi đó hàm trọng số

(

) sẽ được chuẩn hóa

ở dải thông, tức là:

(

ở ả

)=

ô

1 ở ả
Mặt khác ta thấy hàm (

(5.12)

ắ

) ở cả 4 loại bộ lọc là khác nhau, để triệt tiêu hàm

này, hàm sai số được biến đổi như sau:

=

(

(

)=

=

(

). (

(

)[ (

)[ (

)

(

) (

(

(

)
)

(

) (1.1. . )

)

)

(

)]
)]
(5.13)

Về mặt quy ước toán học ta có thể định nghĩa một hàm trọng số biến dạng là
(

)=

(

). (

)

Và đáp ứng tần số biến dạng là (

)=

Khi đó hàm sai số của cả 4 loại bộ lọc có dạng chung là:
(

)=

(

)

(

)

Tối ưu kiểu Chebyshev và thuật toán Remez.

(

)

(5.14)


Bài toán chebyshev đặt ra là tìm các hệ số ( ) hoặc ( ) hoặc ( ) hoặc ( )
nhằm tối thiểu hóa cực đại của trị tuyệt đối hàm sai số trên dải thông và dải chắn để tìm
| ( )|

ra:

Định lý xoay chiều: S là một khoảng đóng bất kỳ trên đoạn [0, ], giả sử ( )
có dạng
(

)=

( ) cos(

Hàm sai số (

)

(5.15)

) được tính theo công thức:

(

)=

(

Điều kiện cần và đủ để (

)

(

)

(

)

(5.16)

) duy nhất và xấp xỉ theo kiểu cực đại nhỏ nhất

theo nghĩa gần đúng Chebyshev, so với (

) trên S là: hàm sai số (

) phải có tối

thiểu R+2 giá trị cực trị đổi dấu xen kẽ nhau trên S mà:
(
Với

<

)=
<

(

)=±

∈

(

)

(5.17)

<

Định lý trên không chỉ ra cách thức để thu được hàm (

). Nhưng nó chỉ ra

rằng nghiệm đó tồn tại, không những thế nghiệm là duy nhất và điều kiện để biết đó là
nghiệm thì hàm sai số (

) có ít nhất R+2 cực trị, các cực trị này có giá trị tuyệt đối

bằng nhau, hai cực trị liên tiếp có một cực đại và một cực tiểu. Để tìm ra hàm (

)

thuật toán Remez được tiến hành như sau:
Bước 1: Chọn lấy R+2 điểm rời rạc, giả sử đó là các cực trị của hàm số
Bước 2: Trên cơ sở tại R+2 điểm rời rạc nói trên, hàm (
và có trị tuyệt đối bằng một giá trị
đó tính ra hàm sai số (

nào đó, tính nội suy lại giá trị

) luân phiên đổi dấu
và hàm (

), tính được giá trị cực trị thực của hàm sai số đó.

) từ


Bước 3: Xem xét xem các giá trị rời rạc được chọn ban đầu có thực sự là các
điểm mà hàm (

) đạt cực trị và có giá trị tuyệt đối bằng nhau hay không. Nếu không,

tìm các điểm tại đó (

) đạt cực trị.

Bước 4: Trong các điểm cực trị tìm được của (

) ta lấy ra R+2 điểm và quay

về lặp lại từ bước 2.
Bước 5: Lặp lại các bước 2,3,4 cho đến khi tập hợp các điểm rời rạc hội tụ.
Bước 6: Từ tập các điểm rời rạc cuối cùng, tính ra hàm (

), từ đó tính ra các

hệ số ( ).
Vòng lặp tiếp theo bao giờ cũng thu được R+2 điểm rời rạc tiến gần tới những
( ) theo nghĩa

cực trị của hàm P( ) mà chúng ta mong muốn gần đúng với
Chebyshev hơn, và cuối cùng nó sẽ hội tụ về các điểm cực trị thực.

Parks và McClellan đã đưa ra giải pháp sử dụng thuật toán Remez để tìm ra đáp
ứng xung của bộ lọc tối ưu nhất, tức là gần đúng theo nghĩa Chebyshev đối với một bộ
lọc lý tưởng, cho giá trị N là chiều dài của dãy đáp ứng xung nào đó với các điều rang
buộc về độ gợn sóng ở dải thông và dải chắn như sau:
- Xác định loại bộ lọc, tính giá trị R và xây dựng các hàm ( ) , ( )
- Xây dựng bài toán gần đúng bằng cách xác định các hàm

( ),

( )

- Sử dụng thuật toán trao đổi Remez để tìm ra hàm tối ưu ( )
- Tính cá giá trị của dãy đáp ứng xung h(n).
Ta chọn giá trị N càng chuẩn thì kết quả là thu được bộ lọc có đáp ứng tần số
càng gần với yêu cầu bài toán. Nếu giá trị N chưa chuẩn thì phải tăng giá trị N đến khi
nào thỏa mãn các điều kiện rằng buộc cho

và

thì thôi.