Nguyên Hàm - Tích phân

NGUYÊN HÀM
I. ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT
1. Đònh nghóa
a/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b)
nếu
x (a; b)" Ỵ
ta có
/
F (x) f(x)=
.
b/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nếu
x (a; b)" Ỵ
ta có
/
F (x) f(x)=
và
/
/
F (a) f(a), F (b) f(b)
+ -
= =
.
Nhận xét:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì
F(x) C, C+ Ỵ ¡
cũng là nguyên hàm
của f(x). Do đó nếu f(x) có một nguyên hàm thì sẽ có vô số nguyên hàm (họ nguyên
hàm) khác nhau hằng số C.
Ký hiệu:
f(x)dx F(x) C= +
ò

.
2. Tính chất
a/
( )
/
f(x)dx f(x)=
ò
b/
a.f(x)dx a. f(x)dx (a 0)= ¹
ò ò
c/
[ ]
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx± = ±
ò ò ò
.
3. Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng (a
≠
0)
a.dx ax C, a= + Ỵ
ò
¡
1
x
x dx C, 1
1
a +
a
= + a ¹ -
a +

ò
1
(ax b)
1
(ax b) dx . C
a 1
a +
a
+
+ = +
a +
ò
dx
ln x C, x 0
x
= + ¹
ò
dx 1
.ln ax b C
ax b a
= + +
+
ò
1
dx 1
C
x ( 1)x
a a-
= - +
a -

ò
1
dx 1 1
C
(ax b) a( 1)(ax b)
a a-
= - +
+ a - +
ò
x x
e dx e C= +
ò
ax b ax b
1
e dx .e C
a
+ +
= +
ò
x
x
a
a dx C
lna
= +
ò
x
x
1 a
a dx . C

lna
a +b
a +b
= +
a
ò
cosxdx sinx C= +
ò
1
cos(ax b)dx .sin(ax b) C
a
+ = + +
ò
sinxdx cosx C= - +
ò
1
sin(ax b)dx .cos(ax b) C
a
+ = - + +
ò
2
1
dx tanx C
cos x
= +
ò
2
1 1
dx tan(ax b) C
cos (ax b) a

= + +
+
ò
2
1
dx cotx C
sin x
= - +
ò
2
1 1
dx cot(ax b) C
sin (ax b) a
= - + +
+
ò
1
4. Bài tập
Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1/
5
f(x) (2x 3)= -
2/
f(x) sin xcosx=

3/
3
f(x) (sin2x 1) cos2x= -
4/
2

x
f(x)
x 1
=
+

5/
2
2x 3
f(x)
x 3x 1
-
=
- +
6/
2
x 2x 1
f(x) (x 1)5
+ -
= +

7/
lnx
f(x)
2x
=
8/
3
(lnx 3)
f(x)

2x
+
=

9/
2
f(x) sin(ax b)cos (ax b)= + +
10/
f(x) tanx=

11/
2 3
f(x) x x 1= +
12/
3cosx
f(x) e sinx=

13/
2
2
f(x)
1 x
=
-
14/
2
5
f(x)
x 3x 2
=

- +
15/
f(x) sin7xcos5x cosx=
16/
2
17x
f(x)
10x 13x 3
=
+ -

17/
cosx 3sinx
f(x)
sin x cosx
+
=
+
18/
3
2cosx
f(x)
(sin x cosx)
=
+

19/
2 2
2
5sin x 3cotg x

f(x)
cos x
-
=
20/
( )
2
x x
f(x) sin cos
2 2
= -

21/
( )
3
x 1
f(x)
x x
-
=
22/
( )
x
5 x
2
f(x) e 3
x e
= -

23/

2
4x 3
f(x)
2x 1
+
=
+
24/
2
3x
f(x)
3x 2
=
+

25/
2
1
f(x)
xcos (lnx)
=
26/
2 2
sinx cosx
f(x)
cos x sin x
=
-

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau với điều kiện kèm theo:

1/
x
x
e
f(x)
e 2
=
+
,
F(0) ln3= -
2/
20
cosx
f(x)
sin x
=
,
( )
F 0
2
p
- =
3/
2 3
f(x) sin 2xcos 2x=
,
( )
F 0
2
p

=
4/
( )
2
2
f(x) 1
3x 1
= +
-
,
( )
2
F 0
3
=

5/
1x2x
1x3x3x
)x(f
2
23
++
−++
=
,
3
1
F(1)
=

TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng
( )
; a b
và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên
khoảng đó, với
( )
a, b ; Ỵ a b
ta gọi hiệu
F(b) F(a)-
là tích phân từ a đến b của f(x).
Ký hiệu:
b
b
a
a
f(x)dx F(b) F(a) F(x)= - =
ò

(công thức Newton - Leibniz).
+ Hàm số f(x) được gọi là hàm dưới dấu tích phân.
+ f(x)dx là vi phân của mọi nguyên hàm của f(x).
2
+ a là cận dưới và b là cận trên của tích phân (a có thể lớn hơn hay bằng b).
+ x là biến số tích phân.
Nhận xét:
b b b
a a a
f(x)dx f(t)dt f(u)du ... F(b) F(a)= = = = -

ò ò ò
.
2. Tính chất
Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng
( )
; a b
và
( )
a, b, c ; Ỵ a b
ta có
1/
a
a
f(x)dx 0=
ò
2/
b a
a b
f(x)dx f(x)dx= -
ò ò
3/
b b
a a
k.f(x)dx k f(x)dx k= " Ỵ
ò ò
¡
5/
b b b
a a a
[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx± = ±

ò ò ò
6/
[ ]
b
a
f(x) 0 x a; b f(x)dx 0³ " Ỵ Þ ³
ò

[ ]
b
a
f(x) 0 x a; b f(x)dx 0£ " Ỵ Þ £
ò
4. Bài tập
DẠNG 1 : Tính tích phân bằng đònh nghóa
PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có
nguyên hàm
Bài 1 : Tính các tích phân :
1/
dxxx )1(
2
1
0
+
∫
2/
dxxxx )1(
2
16
1

−
∫
3/
dx
x
xx
∫
+−
8
1
3
2
35
4/
dx
xx
x
∫
−
4
1
3
)1(
Bài 2 : Tính các tích phân :
1/
dx
x
∫
−
2

1
35
3
2/
dx
x
x
∫
−
−
2
1
21
12
3/
dx
x
xx
∫
−
+−
5
4
2
3
52
4/
dx
xx
x

∫
+−
−
5
4
2
23
32
5/
dx
xx
∫
+−
5
4
2
23
1
6/
dx
xx
x
∫
+−
−
4
3
2
23
3

7/
dx
xx
∫
+−
5
4
2
96
3
8/
dx
xx
x
∫
+−
−
5
4
2
96
12
9/
dx
x
x
2
2
1
3

1
∫






−
+
10/
dx
x
x
∫
+
1
0
2
3
1
Bài 3 : Tính các tích phân :
1/
∫
2
0
cos3cos
π
xdxx
2/

∫
2
0
sin2sin
π
xdxx
3/
∫
2
0
3sincos
π
xdxx
4/
∫
2
0
5cos2sin
π
xdxx
3
5/
∫
2
0
4
cos
π
xdx
6/

∫
3
6
22
cossin
1
π
π
dx
xx
7/
∫
3
6
22
cossin
2cos
π
π
dx
xx
x
8/
dx
x
e
e
x
x
)

cos
3(
4
0
2
∫
−
+
π
DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2
* p dụng cho những tích phân có dạng
∫
b
a
dxxuxuf )(')].([
( trong đó u(x) là
hàm số biến x)
*Phương pháp:
+ Đặt t = u(x)
⇒
dt = u’(x)dx
+ Đổi cận : Khi x = a
⇒
t = u(a), khi x = b
⇒
t= u(b)
+ Thay thế :
Khi đó
∫
b

a
dxxuxuf )(')].([
=
∫
)(
)(
)(
bu
au
dttf
*Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu, mập.
Bài 1 :Tính các tích phân :
1/
∫
+
8
3
1
dx
x
x
2/
∫
+
1
0
815
1 dxxx
3/
∫

+
1
0
1
dx
x
x
4/
∫
−
2ln
0
1dxe
x
5/
∫
+
2
1
2
1 xx
dx
6/
∫
−
2
3
21
2
1 xx

dx
Bài 2 : Tính các tích phân :
1/
xdxe
x
∫
+−
1
0
2
2
2/
xdxe
x
cos
2
0
sin21
∫
+
π
3/
dxee
xe
x
∫
1
0
4/
∫

e
x
x
dxe
1
ln
5/
dx
x
e
tgx
∫
2
0
2
cos
π
Bài 3 :Tính các tích phân :
1/
dx
x
x
∫
+
2
0
cos21
sin
π
2/

dx
xx
e
e
∫
2
ln
1
3/
∫
1
0
sin dxee
xx
4/
∫
−
+
1
0
dx
ee
e
xx
x
5/
∫
+
27
1

3
)1(
dx
xx
dx
6/
∫
π
0
4
cos xdx
7/
∫
−
−−
1
1
2
)1112( dxxx
8/
2
3
6
cos
sin
x
dx
x
π
π

∫
9/
∫
−
2ln2
2ln
1
x
e
dx
10/
∫
+
2
0
33
3
cossin
sin
π
dx
xx
x
11/
∫
+
dx
xx
x
33

3
cossin
cos
12/
∫
−
+
2ln
0
xx
ee
dx
DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần
* p dụng cho những tích phân có dạng
∫
b
a
dxxvxu )(').(
( trong đó u(x), v’(x)
là những hàm số biến x)
*Phương pháp:
4
+ Đặt



=
=
dxxvdv
xuu

)('
)(
ta có



=
=
)(
)('
xvv
dxxudu
Khi đó
∫
b
a
dxxvxu )(').(
=
b
a
xvxu )()(
-
∫
b
a
dxxvxu )().('
*Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, …...
- Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/

∫
2
0
cos
π
xdxe
x
2/
∫
2
4
2
sin
π
π
dx
x
x
3/
∫
π
0
2
cos
sin
dx
x
xx
4/
∫

+
1
0
2
)1ln( dxxx
5/
∫
e
dxx
0
2
)(ln
6/
∫
+
+
2
6
cos1
sin
π
π
dx
x
xx
7/
∫
2
0
2

sin
π
xdxx
8/
∫
−
e
dxx
1
2
)ln1(
9/
∫
e
e
dxx
1
ln
10/
∫
2
0
sin
π
xdxe
x
11/
∫
+
1

0
)1ln( dxxx
12/
dx
x
x
e
e
∫






−
2
ln
1
ln
1
2
DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1
* p dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức
22
xa
−
,
22
1

xa
+
mà
không thể tính bằng các phương đã học .
*Phương pháp:
+ Đặt biến mới
-Dạng chứa
22
xa
−
: Đặt x = asint, t






−∈
2
;
2
ππ
- Dạng chứa
22
1
xa
+
: Đặt x = atant, t







−∈
2
;
2
ππ
+ Các bước tiếp theo : đổi cận, thay thế tương tự như phương pháp
đổi biến dạng 2
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/
∫
−
a
dxxax
0
222
( a > 0 ) 2/
dx
x
x
∫
−
1
22
2
2
1

3/
∫
−
e
xx
dx
1
2
ln4
4/
dxxx
∫
++−
1
0
2
32
5/
∫
+
3
0
2
9
1
dx
x
6/
∫
−

++
1
1
2
52
1
dx
xx
7/
∫
−
3
1
22
4
1
dx
xx
8/
∫
−
1
0
22
1 dxxx
9/
∫
+
2
1

22
4
1
dx
xx
BÀI TẬP ÔN TẬP
5